Der letzte Satz von Fermat (oft als Fermats letzter Satz bezeichnet), der 1637 vom brillanten französischen Mathematiker Pierre Fermat formuliert wurde, ist also von Natur aus sehr einfach und für jeden mit einer Sekundarschulbildung verständlich. Darin heißt es, dass die Formel a hoch n + b hoch n = c hoch n keine natürlichen (also keine gebrochenen) Lösungen für n > 2 hat. Alles scheint einfach und klar, aber die Die besten Mathematiker und gewöhnlichen Amateure kämpften mehr als dreieinhalb Jahrhunderte lang mit der Suche nach einer Lösung.

Warum ist sie so berühmt? Jetzt werden wir es herausfinden...



Gibt es viele bewiesene, unbewiesene und noch unbewiesene Theoreme? Der Punkt hier ist, dass Fermats letzter Satz den größten Kontrast zwischen der Einfachheit der Formulierung und der Komplexität des Beweises darstellt. Der letzte Satz von Fermat ist ein unglaublich schwieriges Problem, und dennoch kann seine Formulierung von jedem verstanden werden, der über ein Niveau der 5. Klasse verfügt. weiterführende Schule, aber der Beweis ist nicht einmal für jeden professionellen Mathematiker. Weder in der Physik, noch in der Chemie, noch in der Biologie, noch in der Mathematik gibt es ein einziges Problem, das so einfach formuliert werden könnte, aber so lange ungelöst blieb. 2. Woraus besteht es?

Beginnen wir mit der Pythagoräischen Hose. Der Wortlaut ist eigentlich einfach – auf den ersten Blick. Wie wir aus der Kindheit wissen, „sind die Hosen des Pythagoras auf allen Seiten gleich.“ Das Problem sieht so einfach aus, weil es auf einer mathematischen Aussage beruhte, die jeder kennt – dem Satz des Pythagoras: in jedem rechtwinkliges Dreieck ein Quadrat, das auf der Hypotenuse aufgebaut ist, gleich der Summe Quadrate auf Beinen gebaut.

Im 5. Jahrhundert v. Chr. Pythagoras gründete die Pythagoräer-Bruderschaft. Die Pythagoräer untersuchten unter anderem ganzzahlige Tripel, die die Gleichheit x²+y²=z² erfüllen. Sie bewiesen, dass es unendlich viele pythagoreische Tripel gibt, und erhielten allgemeine Formeln, um sie zu finden. Sie haben wahrscheinlich versucht, nach Dreiern oder mehr zu suchen hohe Abschlüsse. In der Überzeugung, dass dies nicht funktionierte, gaben die Pythagoräer ihre nutzlosen Versuche auf. Die Mitglieder der Bruderschaft waren eher Philosophen und Ästhetiker als Mathematiker.


Das heißt, es ist einfach, eine Menge von Zahlen auszuwählen, die die Gleichheit x²+y²=z² perfekt erfüllen

Beginnend mit 3, 4, 5 – tatsächlich versteht ein junger Student, dass 9 + 16 = 25.

Oder 5, 12, 13: 25 + 144 = 169. Großartig.

Und so weiter. Was wäre, wenn wir eine ähnliche Gleichung x³+y³=z³ nehmen würden? Vielleicht gibt es auch solche Zahlen?




Und so weiter (Abb. 1).

Es stellt sich also heraus, dass dies NICHT der Fall ist. Hier beginnt der Trick. Einfachheit ist offensichtlich, weil es schwierig ist, nicht die Anwesenheit von etwas, sondern im Gegenteil seine Abwesenheit zu beweisen. Wenn Sie nachweisen müssen, dass es eine Lösung gibt, können und sollten Sie diese Lösung einfach präsentieren.

Der Nachweis der Abwesenheit ist schwieriger: Beispielsweise sagt jemand: Für diese und jene Gleichung gibt es keine Lösungen. Ihn in eine Pfütze stecken? Ganz einfach: Bam – und hier ist sie, die Lösung! (Lösung angeben). Und das war's, der Gegner ist besiegt. Wie kann man Abwesenheit nachweisen?

Sagen Sie: „Ich habe solche Lösungen nicht gefunden“? Oder hast du vielleicht nicht gut ausgesehen? Was wäre, wenn es sie gäbe, nur sehr groß, so groß, dass selbst ein superstarker Computer immer noch nicht genug Kraft hätte? Das ist das Schwierige.

Anschaulich lässt sich das so darstellen: Nimmt man zwei Quadrate geeigneter Größe und zerlegt sie in Einheitsquadrate, so erhält man aus diesem Bündel von Einheitsquadraten ein drittes Quadrat (Abb. 2):


Aber machen wir das Gleiche mit der dritten Dimension (Abb. 3) – es funktioniert nicht. Es sind nicht genügend Würfel vorhanden oder es sind noch mehr übrig:





Aber der französische Mathematiker Pierre de Fermat aus dem 17. Jahrhundert war begeistert von der Forschung allgemeine Gleichung X n +y n =z n . Und schließlich kam ich zu dem Schluss: Für n>2 gibt es keine ganzzahligen Lösungen. Fermats Beweis ist unwiederbringlich verloren. Manuskripte brennen! Übrig bleibt nur seine Bemerkung in der Arithmetik des Diophantus: „Ich habe einen wirklich erstaunlichen Beweis für diesen Satz gefunden, aber der Rand hier ist zu eng, um ihn zu fassen.“

Tatsächlich wird ein Satz ohne Beweis als Hypothese bezeichnet. Aber Fermat hat den Ruf, niemals Fehler zu machen. Auch wenn er keine Beweise für eine Aussage hinterließ, wurde diese nachträglich bestätigt. Darüber hinaus hat Fermat seine These für n=4 bewiesen. So ging die Hypothese des französischen Mathematikers als Fermats letzter Satz in die Geschichte ein.

Nach Fermat arbeiteten so große Köpfe wie Leonhard Euler an der Suche nach einem Beweis (1770 schlug er eine Lösung für n = 3 vor),

Adrien Legendre und Johann Dirichlet (diese Wissenschaftler fanden 1825 gemeinsam den Beweis für n = 5), Gabriel Lamé (der den Beweis für n = 7 fand) und viele andere. Mitte der 1980er Jahre wurde das klar wissenschaftliche Welt ist auf dem Weg zur endgültigen Lösung von Fermats letztem Satz, aber erst 1993 erkannten und glaubten Mathematiker, dass das drei Jahrhunderte dauernde Epos, einen Beweis für Fermats letzten Satz zu finden, praktisch vorbei sei.

Es lässt sich leicht zeigen, dass es ausreicht, den Satz von Fermat nur für einfaches n zu beweisen: 3, 5, 7, 11, 13, 17, ... Für zusammengesetztes n bleibt der Beweis gültig. Aber auch Primzahlen unendlich viele...

Im Jahr 1825 bewiesen die Mathematikerinnen Dirichlet und Legendre unabhängig voneinander mit der Methode von Sophie Germain den Satz für n=5. Im Jahr 1839 zeigte der Franzose Gabriel Lame mit der gleichen Methode die Wahrheit des Theorems für n=7. Nach und nach wurde der Satz für fast alle n kleiner als einhundert bewiesen.


Schließlich zeigte der deutsche Mathematiker Ernst Kummer in einer brillanten Studie, dass mit den Methoden der Mathematik des 19. Jahrhunderts der Satz in Gesamtansicht lässt sich nicht beweisen. Der 1847 für den Beweis des Satzes von Fermat gestiftete Preis der Französischen Akademie der Wissenschaften blieb unbesetzt.

1907 beschloss der wohlhabende deutsche Industrielle Paul Wolfskehl aus unerwiderter Liebe, sich das Leben zu nehmen. Wie ein echter Deutscher legte er Datum und Uhrzeit des Selbstmordes fest: genau auf Mitternacht. Am letzten Tag verfasste er ein Testament und schrieb Briefe an Freunde und Verwandte. Die Sache endete vor Mitternacht. Man muss sagen, dass Paulus sich für Mathematik interessierte. Da er nichts anderes zu tun hatte, ging er in die Bibliothek und begann, Kummers berühmten Artikel zu lesen. Plötzlich schien es ihm, als hätte Kummer in seiner Überlegung einen Fehler gemacht. Wolfskel begann mit einem Bleistift in der Hand diesen Teil des Artikels zu analysieren. Mitternacht ist vergangen, der Morgen ist gekommen. Die Beweislücke ist geschlossen. Und der eigentliche Grund für den Selbstmord sah jetzt völlig lächerlich aus. Paulus zerriss seine Abschiedsbriefe und schrieb sein Testament um.

Er starb bald eines natürlichen Todes. Die Erben waren ziemlich überrascht: 100.000 Mark (mehr als 1.000.000 heutige Pfund Sterling) wurden auf das Konto der Königlichen Wissenschaftlichen Gesellschaft zu Göttingen überwiesen, die im selben Jahr einen Wettbewerb um den Wolfskehl-Preis ausschrieb. 100.000 Mark wurden der Person verliehen, die den Satz von Fermat bewies. Für die Widerlegung des Theorems wurde kein Pfennig belohnt...

Die meisten professionellen Mathematiker hielten die Suche nach einem Beweis für Fermats letzten Satz für eine hoffnungslose Aufgabe und weigerten sich entschieden, Zeit mit einer solch nutzlosen Aufgabe zu verschwenden. Aber die Amateure hatten viel Spaß. Wenige Wochen nach der Ankündigung erschütterte eine Lawine von „Beweisen“ die Universität Göttingen. Professor E.M. Landau, dessen Aufgabe es war, die übermittelten Beweise zu analysieren, verteilte Karten an seine Studenten:


Lieb. . . . . . . .

Vielen Dank, dass Sie mir das Manuskript mit dem Beweis von Fermats letztem Satz geschickt haben. Der erste Fehler ist auf Seite ... in Zeile ... . Dadurch verliert der gesamte Beweis seine Gültigkeit.
Professor E. M. Landau











Im Jahr 1963 bewies Paul Cohen, gestützt auf Gödels Erkenntnisse, die Unlösbarkeit eines von Hilberts 23 Problemen – der Kontinuumshypothese. Was wäre, wenn Fermats letzter Satz ebenfalls unentscheidbar wäre?! Aber echte Fanatiker des Großen Theorems wurden keineswegs enttäuscht. Das Aufkommen von Computern bot Mathematikern plötzlich eine neue Beweismethode. Nach dem Zweiten Weltkrieg bewiesen Teams aus Programmierern und Mathematikern Fermats letzten Satz für alle Werte von n bis 500, dann bis 1.000 und später bis 10.000.

In den 1980er Jahren erhöhte Samuel Wagstaff die Grenze auf 25.000, und in den 1990er Jahren erklärten Mathematiker, dass Fermats letzter Satz für alle Werte von n bis zu 4 Millionen wahr sei. Aber wenn man auch nur eine Billion Billionen von der Unendlichkeit abzieht, wird es nicht kleiner. Mathematiker lassen sich von Statistiken nicht überzeugen. Den Großen Satz zu beweisen bedeutete, ihn für ALLE bis ins Unendliche zu beweisen.




Im Jahr 1954 begannen zwei junge befreundete japanische Mathematiker mit der Erforschung modularer Formen. Diese Formen erzeugen Zahlenreihen, jede mit ihrer eigenen Reihe. Zufällig verglich Taniyama diese Reihen mit Reihen, die durch elliptische Gleichungen erzeugt wurden. Sie passten zusammen! Aber modulare Formen sind geometrische Objekte und elliptische Gleichungen sind algebraische. Es wurde noch nie eine Verbindung zwischen so unterschiedlichen Objekten gefunden.

Nach sorgfältiger Prüfung stellten Freunde jedoch eine Hypothese auf: Jede elliptische Gleichung hat einen Zwilling – eine Modulform und umgekehrt. Es war diese Hypothese, die zur Grundlage einer ganzen Richtung in der Mathematik wurde, aber bis die Taniyama-Shimura-Hypothese bewiesen war, könnte das gesamte Gebäude jeden Moment einstürzen.

Im Jahr 1984 zeigte Gerhard Frey, dass eine Lösung der Fermat-Gleichung, sofern sie existiert, in eine elliptische Gleichung einbezogen werden kann. Zwei Jahre später bewies Professor Ken Ribet, dass diese hypothetische Gleichung kein Gegenstück in der modularen Welt haben konnte. Von nun an war Fermats letzter Satz untrennbar mit der Taniyama-Shimura-Vermutung verbunden. Nachdem wir bewiesen haben, dass jede elliptische Kurve modular ist, kommen wir zu dem Schluss, dass es keine elliptische Gleichung mit einer Lösung für die Fermat-Gleichung gibt und Fermats letzter Satz sofort bewiesen wäre. Doch dreißig Jahre lang gelang es nicht, die Taniyama-Shimura-Hypothese zu beweisen, und die Hoffnung auf Erfolg wurde immer geringer.

Bereits 1963, als er gerade einmal zehn Jahre alt war, war Andrew Wiles von der Mathematik fasziniert. Als er vom Großen Satz erfuhr, wurde ihm klar, dass er ihn nicht aufgeben durfte. Als Schüler, Student und Doktorand bereitete er sich auf diese Aufgabe vor.

Nachdem er von Ken Ribets Erkenntnissen erfahren hatte, stürzte sich Wiles kopfüber in den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung. Er beschloss, in völliger Isolation und Geheimhaltung zu arbeiten. „Ich habe verstanden, dass alles, was mit Fermats letztem Satz zu tun hat, auch so war großes Interesse… Zu viele Zuschauer behindern bewusst das Erreichen des Ziels.“ Sieben Jahre harter Arbeit zahlten sich aus; Wiles vollendete schließlich den Beweis der Taniyama-Shimura-Vermutung.

Im Jahr 1993 präsentierte der englische Mathematiker Andrew Wiles der Welt seinen Beweis von Fermats letztem Satz (Wiles las seinen sensationellen Aufsatz auf einer Konferenz am Sir Isaac Newton Institute in Cambridge). Die Arbeit dauerte mehr als sieben Jahre.







Während der Hype in der Presse anhielt, begannen ernsthafte Arbeiten zur Überprüfung der Beweise. Jedes Beweisstück muss sorgfältig geprüft werden, bevor es als schlüssig und genau angesehen werden kann. Wiles verbrachte einen unruhigen Sommer damit, auf das Feedback der Rezensenten zu warten, in der Hoffnung, ihre Zustimmung zu gewinnen. Ende August befanden Experten, dass das Urteil nicht ausreichend untermauert sei.

Es stellte sich heraus, dass diese Entscheidung einen groben Fehler enthält, obwohl sie im Großen und Ganzen richtig ist. Wiles gab nicht auf, nahm die Hilfe des berühmten Spezialisten für Zahlentheorie Richard Taylor in Anspruch und veröffentlichte bereits 1994 einen korrigierten und erweiterten Beweis des Theorems. Das Erstaunlichste ist, dass diese Arbeit in der Mathematikzeitschrift „Annals of Mathematics“ ganze 130 (!) Seiten einnahm. Aber damit war die Geschichte noch nicht zu Ende – der endgültige Punkt wurde erst im nächsten Jahr, 1995, erreicht, als die endgültige und aus mathematischer Sicht „ideale“ Version des Beweises veröffentlicht wurde.

„...eine halbe Minute nach Beginn des festlichen Abendessens anlässlich ihres Geburtstages überreichte ich Nadya das Manuskript des vollständigen Beweises“ (Andrew Wales). Habe ich nicht schon gesagt, dass Mathematiker seltsame Menschen sind?






Diesmal gab es keinen Zweifel an den Beweisen. Zwei Artikel wurden einer sorgfältigsten Analyse unterzogen und im Mai 1995 in den Annals of Mathematics veröffentlicht.

Seitdem ist viel Zeit vergangen, aber in der Gesellschaft herrscht immer noch die Meinung vor, dass Fermats letzter Satz unlösbar sei. Aber selbst diejenigen, die über die gefundenen Beweise Bescheid wissen, arbeiten weiter in dieser Richtung – nur wenige sind zufrieden damit, dass der Große Satz eine Lösung von 130 Seiten erfordert!

Daher konzentrieren sich nun die Bemühungen vieler Mathematiker (hauptsächlich Amateure, keine professionellen Wissenschaftler) auf die Suche nach einem einfachen und prägnanten Beweis, aber dieser Weg wird höchstwahrscheinlich nirgendwohin führen ... - » Herausforderungen der Menschheit

VON DER MENSCHHEIT UNGELÖSTE MATHEMATISCHE PROBLEME

Hilbert-Probleme

23 die wichtigsten Probleme Mathematiker wurden vom größten deutschen Mathematiker David Hilbert auf dem Zweiten Internationalen Mathematikerkongress 1990 in Paris vorgestellt. Dann werden diese Probleme (die Grundlagen der Mathematik, Algebra, Zahlentheorie, Geometrie, Topologie, algebraische Geometrie, Lie-Gruppen, reelle und umfassende Analyse, Differentialgleichung, mathematische Physik, Variationsrechnung und Wahrscheinlichkeitstheorie wurden nicht gelöst. An dieser Moment 16 von 23 Problemen wurden gelöst. Weitere 2 sind keine korrekten mathematischen Probleme (eines ist zu vage formuliert, um zu verstehen, ob es gelöst wurde oder nicht, das andere ist alles andere als gelöst, sondern physikalisch und nicht mathematisch). Von den verbleibenden fünf Problemen wurden zwei in keiner Weise gelöst und drei wurden nur in einigen Fällen gelöst

Landaus Probleme

Es gibt noch viele Offene Fragen im Zusammenhang mit Primzahlen (eine Primzahl ist eine Zahl, die nur zwei Teiler hat: einen und die Zahl selbst). Die wichtigsten Themen wurden aufgelistet Edmund Landau auf dem Fünften Internationalen Mathematikerkongress:

Landaus erstes Problem (Goldbach-Problem): Stimmt es, dass jeder gerade Zahl, größer als 2, kann als Summe zweier Primzahlen dargestellt werden, und jede ungerade Zahl größer als 5 kann als Summe dargestellt werden drei einfache Zahlen?

Landaus zweites Problem: ist die Menge unendlich? „Einfache Zwillinge“— Primzahlen, deren Differenz 2 beträgt?
Landaus drittes Problem(Hypothese von Legendre): Stimmt das für jeden? natürliche Zahl n zwischen und gibt es immer eine Primzahl?
Landaus viertes Problem: Gibt es eine unendliche Menge von Primzahlen der Form, wobei n eine natürliche Zahl ist?

Millennium-Herausforderungen (Millennium-Preis-Probleme)

Es ist sieben mathematische Probleme, H und die Lösung, für die das Clay Institute jeweils einen Preis von 1.000.000 US-Dollar auslobte. Das Clay Institute machte Mathematiker auf diese sieben Probleme aufmerksam und verglich sie mit 23 Problemen von D. Hilbert, die Auswirkungen hatten großer Einfluss zur Mathematik des 20. Jahrhunderts. Von Hilberts 23 Problemen wurden die meisten bereits gelöst, und nur eines – die Riemann-Hypothese – wurde in die Liste der Probleme des Jahrtausends aufgenommen. Bis Dezember 2012 ist nur eines der sieben Millenniumsprobleme (Poincarés Vermutung) gelöst. Der Preis für seine Lösung wurde dem russischen Mathematiker Grigory Perelman verliehen, der ihn jedoch ablehnte.

Hier ist eine Liste dieser sieben Aufgaben:

Nr. 1. Gleichheit der Klassen P und NP

Wenn die Antwort auf eine Frage positiv ist schnellÜberprüfen Sie (anhand einiger Hilfsinformationen, die als Zertifikat bezeichnet werden), ob die Antwort selbst (zusammen mit dem Zertifikat) auf diese Frage wahr ist schnell finden? Probleme des ersten Typs gehören zur NP-Klasse, der zweite zur P-Klasse. Das Problem der Gleichheit dieser Klassen ist eines der wichtigsten Probleme in der Theorie der Algorithmen.

Nr. 2. Hodge-Vermutung

Ein wichtiges Problem in der algebraischen Geometrie. Die Vermutung beschreibt Kohomologieklassen zu komplexen projektiven Varietäten, die durch algebraische Subvarietäten realisiert werden.

Nr. 3. Poincaré-Vermutung (bewiesen von G.Ya. Perelman)

Es gilt als das bekannteste Topologieproblem. Einfacher ausgedrückt heißt es, dass jedes 3D-„Objekt“, das einige der Eigenschaften einer 3D-Kugel aufweist (z. B. muss jede Schleife darin kontrahierbar sein), bis zu einer Verformung eine Kugel sein muss. Der Preis für den Beweis der Poincaré-Vermutung ging an den russischen Mathematiker G.Ya. Perelman, der 2002 eine Reihe von Werken veröffentlichte, aus denen die Gültigkeit der Poincaré-Vermutung hervorgeht.

Nummer 4. Riemann-Hypothese

Die Hypothese besagt, dass alle nicht trivialen (d. h. von Null verschiedenen) Imaginärteil) haben die Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion einen Realteil von 1/2. Die Riemann-Hypothese stand an achter Stelle auf Hilberts Problemliste.

Nr. 5. Yang-Mills-Theorie

Ein Problem aus dem Bereich der Elementarteilchenphysik. Wir müssen das für jede einfache kompakte Eichgruppe G beweisen Quantentheorie Die Yang-Mills-Gleichung für einen vierdimensionalen Raum existiert und weist einen Massendefekt ungleich Null auf. Diese Aussage steht im Einklang mit experimentellen Daten und numerischen Simulationen, konnte jedoch noch nicht bewiesen werden.

Nr. 6. Existenz und Glätte von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Die Navier-Stokes-Gleichungen beschreiben die Bewegung einer viskosen Flüssigkeit. Eines der wichtigsten Probleme der Hydrodynamik.

Nr. 7. Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung

Die Hypothese bezieht sich auf die Gleichungen elliptischer Kurven und deren Menge rationale Entscheidungen.

„Ich weiß nur, dass ich nichts weiß, aber andere wissen das auch nicht.“
(Sokrates, antiker griechischer Philosoph)

NIEMANDEM wird die Macht gegeben, den universellen Geist zu besitzen und ALLES zu wissen. Die meisten Wissenschaftler und diejenigen, die einfach gerne denken und erforschen, haben jedoch immer den Wunsch, mehr zu lernen und Rätsel zu lösen. Aber bleiben für die Menschheit noch ungelöste Themen übrig? Schließlich scheint alles schon klar zu sein und man muss nur noch das im Laufe der Jahrhunderte gewonnene Wissen anwenden?

Nicht verzweifeln! Auf dem Gebiet der Mathematik und Logik gibt es noch immer ungelöste Probleme, die Experten des Clay Mathematics Institute in Cambridge (Massachusetts, USA) im Jahr 2000 in einer Liste der sogenannten 7 Mysterien des Jahrtausends (Millennium Prize Problems) zusammengefasst haben. Diese Probleme beschäftigen Wissenschaftler auf der ganzen Welt. Von da an bis heute kann jeder behaupten, eine Lösung für eines der Probleme gefunden zu haben, die Hypothese beweisen und einen Preis vom Bostoner Milliardär Landon Clay (nach dem das Institut benannt ist) erhalten. Zu diesem Zweck hat er bereits 7 Millionen US-Dollar bereitgestellt. Übrigens, Heute ist eines der Probleme bereits gelöst.

Bist du bereit, etwas über Mathe-Rätsel zu lernen?

Navier-Stokes-Gleichungen (formuliert 1822)

Fachgebiet: Hydroaerodynamik

Gleichungen über turbulente Strömungen und Luftströmungen sowie die Strömung von Flüssigkeiten werden als Navier-Stokes-Gleichungen bezeichnet. Wenn Sie beispielsweise auf etwas über einen See segeln, entstehen um Sie herum unweigerlich Wellen. Dies gilt auch Luftraum: Auch beim Fliegen eines Flugzeugs kommt es zu turbulenten Strömungen in der Luft.
Diese Gleichungen ergeben Beschreibung der Bewegungsvorgänge einer viskosen Flüssigkeit und sind die Kernaufgabe aller Hydrodynamik. Für einige Sonderfälle wurden bereits Lösungen gefunden, bei denen Teile der Gleichungen verworfen wurden, da sie das Endergebnis nicht beeinflussten, im Allgemeinen wurden jedoch keine Lösungen für diese Gleichungen gefunden.
Es ist notwendig, eine Lösung für die Gleichungen zu finden und glatte Funktionen zu identifizieren.

Riemann-Hypothese (formuliert 1859)

Fachgebiet: Zahlentheorie

Es ist bekannt, dass die Verteilung der Primzahlen (die nur durch sich selbst und durch eins teilbar sind: 2,3,5,7,11...) unter allen natürlichen Zahlen folgt keinem Muster.
Der deutsche Mathematiker Riemann dachte über dieses Problem nach und machte seine eigene Annahme, theoretisch über die Eigenschaften der existierenden Folge von Primzahlen. Seit langem sind die sogenannten gepaarten Primzahlen bekannt – Zwillingsprimzahlen, deren Differenz 2 beträgt, zum Beispiel 11 und 13, 29 und 31, 59 und 61. Manchmal bilden sie ganze Cluster, zum Beispiel 101, 103, 107, 109 und 113 .
Wenn solche Cluster gefunden und ein spezifischer Algorithmus abgeleitet werden, wird dies zu einer revolutionären Veränderung unseres Wissens auf dem Gebiet der Verschlüsselung und zu einem beispiellosen Durchbruch auf dem Gebiet der Internetsicherheit führen.

Poincaré-Problem (1904 formuliert. 2002 gelöst.)

Fachgebiet: Topologie oder Geometrie mehrdimensionaler Räume

Der Kern des Problems liegt in der Topologie und besteht darin, dass, wenn man beispielsweise an einem Gummiband an einem Apfel (einer Kugel) zieht, es theoretisch möglich ist, es bis zu einem Punkt zusammenzudrücken und es langsam zu bewegen, ohne es anzuheben Entfernen Sie das Klebeband von der Oberfläche. Wenn das gleiche Band jedoch um einen Donut (Torus) gezogen wird, ist es nicht möglich, das Band zu komprimieren, ohne dass das Band oder der Donut selbst reißt. Diese. Die gesamte Oberfläche einer Kugel ist einfach zusammenhängend, während dies bei einem Torus nicht der Fall ist. Die Aufgabe bestand darin zu beweisen, dass nur die Kugel einfach zusammenhängend ist.

Vertreter der Leningrader Geometrischen Schule Grigori Jakowlewitsch Perelman ist Träger des Millennium-Preises (2010) des Clay Mathematics Institute für seine Lösung des Poincaré-Problems. Er lehnte die berühmte Fields-Medaille ab.

Hodges Hypothese (formuliert 1941)

Fachgebiet: algebraische Geometrie

In Wirklichkeit gibt es viele einfache und viel komplexere geometrische Objekte. Je komplexer ein Objekt ist, desto schwieriger ist es, es zu untersuchen. Jetzt haben Wissenschaftler einen Ansatz entwickelt und nutzen ihn aktiv, der auf der Verwendung von Teilen eines Ganzen („Ziegel“) basiert, um dieses Objekt als Beispiel zu untersuchen – einen Baukasten. Wenn man die Eigenschaften der „Bausteine“ kennt, wird es möglich, sich den Eigenschaften des Objekts selbst anzunähern. Hodges Hypothese ist in diesem Fall mit bestimmten Eigenschaften sowohl von „Ziegeln“ als auch von Objekten verbunden.
Dies ist ein sehr ernstes Problem in der algebraischen Geometrie: genaue Wege und Methoden zur Analyse komplexer Objekte mithilfe einfacher „Bausteine“ zu finden.

Yang-Mills-Gleichungen (formuliert 1954)

Fachgebiet: Geometrie und Quantenphysik

Die Physiker Young und Mills beschreiben die Welt der Elementarteilchen. Nachdem sie den Zusammenhang zwischen Geometrie und Teilchenphysik entdeckt hatten, verfassten sie ihre Gleichungen im Bereich der Quantenphysik. Damit Es wurde ein Weg gefunden, die Theorien elektromagnetischer, schwacher und starker Wechselwirkungen zu vereinheitlichen.
Auf der Ebene der Mikropartikel entsteht ein „unangenehmer“ Effekt: Wenn mehrere Felder gleichzeitig auf ein Partikel einwirken, lässt sich ihre kombinierte Wirkung nicht mehr in die Wirkung jedes einzelnen von ihnen zerlegen. Dies geschieht aufgrund der Tatsache, dass in dieser Theorie nicht nur Materieteilchen voneinander angezogen werden, sondern auch Stromleitungen Felder.
Obwohl die Yang-Mills-Gleichungen von allen Physikern auf der Welt akzeptiert werden, wurde die Theorie zur Vorhersage der Masse von Elementarteilchen experimentell nicht bewiesen.

Birch- und Swinnerton-Dyer-Hypothese (formuliert 1960)

Fachgebiet: Algebra und Zahlentheorie

Hypothese im Zusammenhang mit den Gleichungen elliptischer Kurven und der Menge ihrer rationalen Lösungen. Im Beweis des Satzes von Fermat nahmen elliptische Kurven einen der wichtigsten Plätze ein. Und in der Kryptographie bilden sie einen ganzen Teil des Eigennamens, und einige russische Standards für digitale Signaturen basieren auf ihnen.
Das Problem besteht darin, dass Sie ALLE Lösungen in den ganzen Zahlen x, y, z beschreiben müssen algebraische Gleichungen, also Gleichungen mehrerer Variablen mit ganzzahligen Koeffizienten.

Cooks Problem (formuliert 1971)

Fachgebiet: Mathematische Logik und Kybernetik

Es wird auch „Gleichheit der Klassen P und NP“ genannt und ist eines der wichtigsten Probleme in der Theorie der Algorithmen, der Logik und der Informatik.
Kann die Überprüfung der Richtigkeit einer Problemlösung länger dauern als die Zeit, die für die Lösung dieses Problems selbst aufgewendet wird?(unabhängig vom Verifizierungsalgorithmus)?
Manchmal dauert es unterschiedlich lange, das gleiche Problem zu lösen, wenn man die Bedingungen und Algorithmen ändert. Beispiel: In einem großen Unternehmen suchen Sie einen Bekannten. Wenn Sie wissen, dass er in einer Ecke oder an einem Tisch sitzt, werden Sie ihn im Bruchteil einer Sekunde sehen. Wenn Sie jedoch nicht genau wissen, wo sich das Objekt befindet, werden Sie mehr Zeit damit verbringen, danach zu suchen und alle Gäste aufzusuchen.
Die Kernfrage lautet: Alle oder nicht alle Probleme, die sich einfach und schnell verifizieren lassen, lassen sich auch einfach und schnell lösen?

Die Mathematik ist, wie es vielen scheint, gar nicht so weit von der Realität entfernt. Es ist der Mechanismus, mit dem wir unsere Welt und viele Phänomene beschreiben können. Mathematik ist überall. Und V.O. hatte recht. Kljutschewski, der sagte: „Es ist nicht die Schuld der Blumen, dass der Blinde sie nicht sieht.“.

Abschließend….

Einer der beliebtesten Sätze der Mathematik – der Große (Letzte) Satz von Fermat: an + bn = cn – konnte 358 Jahre lang nicht bewiesen werden! Und erst 1994 konnte der Brite Andrew Wiles ihr eine Lösung geben.

Unlösbare Probleme sind 7 interessante mathematische Probleme. Jeder von ihnen wurde einst von berühmten Wissenschaftlern vorgeschlagen, meist in Form von Hypothesen. Seit vielen Jahrzehnten zerbrechen sich Mathematiker auf der ganzen Welt den Kopf, um sie zu lösen. Wer Erfolg hat, erhält eine Belohnung von einer Million US-Dollar, ausgelobt vom Clay Institute.

Clay-Institut

Dies ist der Name einer privaten gemeinnützigen Organisation mit Hauptsitz in Cambridge, Massachusetts. Es wurde 1998 vom Harvard-Mathematiker A. Jaffee und dem Geschäftsmann L. Clay gegründet. Ziel des Instituts ist die Popularisierung und Weiterentwicklung mathematischer Kenntnisse. Um dies zu erreichen, vergibt die Organisation Auszeichnungen an Wissenschaftler und fördert vielversprechende Forschung.

Zu Beginn des 21. Jahrhunderts vergab das Clay Mathematics Institute einen Preis an diejenigen, die Probleme lösten, die als die schwierigsten unlösbaren Probleme gelten, und nannte seine Liste „Millennium Prize Problems“. Von der Hilbert-Liste wurde nur die Riemann-Hypothese aufgenommen.

Millennium-Herausforderungen

Die Liste des Clay Institute umfasste ursprünglich:

• Hodge-Zyklus-Hypothese;
• Gleichungen der Quanten-Yang-Mills-Theorie;
• Poincaré-Vermutung;
• Problem der Gleichheit der Klassen P und NP;
• Riemann-Hypothese;
• über die Existenz und Glätte seiner Lösungen;
• Birch-Swinnerton-Dyer-Problem.

Diese offenen mathematischen Probleme sind von großem Interesse, da sie viele praktische Implementierungen haben können.

Was Grigory Perelman bewiesen hat

Im Jahr 1900 schlug der berühmte Wissenschaftler und Philosoph Henri Poincaré vor, dass jede einfach zusammenhängende kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand homöomorph zu einer dreidimensionalen Kugel sei. Ihr Beweis liegt vor Allgemeiner Fall wurde seit einem Jahrhundert nicht mehr gefunden. Erst in den Jahren 2002-2003 veröffentlichte der St. Petersburger Mathematiker G. Perelman eine Reihe von Artikeln zur Lösung des Poincaré-Problems. Sie erzeugten den Effekt einer explodierenden Bombe. Im Jahr 2010 wurde die Poincaré-Hypothese von der Liste der „Ungelösten Probleme“ des Clay Institute gestrichen, und Perelman selbst wurde angeboten, die ihm zustehende beträchtliche Belohnung zu erhalten, was dieser ablehnte, ohne die Gründe für seine Entscheidung zu erläutern.

Die verständlichste Erklärung dessen, was der russische Mathematiker beweisen konnte, kann man sich vorstellen, dass man eine Gummischeibe über einen Donut (Torus) spannt und dann versucht, die Ränder seines Kreises zu einem Punkt zu ziehen. Offensichtlich ist das unmöglich. Anders verhält es sich, wenn Sie dieses Experiment mit einem Ball durchführen. In diesem Fall scheint es, dass eine dreidimensionale Kugel, die aus einer Scheibe entsteht, deren Umfang durch eine hypothetische Schnur zu einem Punkt gezogen wird, im Verständnis dreidimensional sein wird gewöhnlicher Mensch, aber aus mathematischer Sicht zweidimensional.

Poincaré schlug vor, dass die dreidimensionale Kugel das einzige dreidimensionale „Objekt“ sei, dessen Oberfläche auf einen Punkt kontrahiert werden könne, und Perelman konnte dies beweisen. Somit besteht die Liste der „Unlösbaren Probleme“ heute aus 6 Problemen.

Yang-Mills-Theorie

Dieses mathematische Problem wurde 1954 von seinen Autoren vorgeschlagen. Die wissenschaftliche Formulierung der Theorie lautet wie folgt: Für jede einfache kompakte Eichgruppe das Quantum Raumtheorie, erstellt von Yang und Mills, existiert und weist gleichzeitig keinen Massendefekt auf.

Das Sprechen in einer Sprache, die der Durchschnittsmensch verstehen kann, die Interaktionen zwischen natürliche Objekte(Teilchen, Körper, Wellen usw.) werden in 4 Typen unterteilt: elektromagnetisch, gravitativ, schwach und stark. Seit vielen Jahren versuchen Physiker, etwas zu erschaffen allgemeine Theorie Felder. Es muss zu einem Werkzeug werden, um all diese Wechselwirkungen zu erklären. Die Yang-Mills-Theorie ist mathematische Sprache, mit deren Hilfe es möglich wurde, 3 der 4 Hauptkräfte der Natur zu beschreiben. Es gilt nicht für die Schwerkraft. Daher kann nicht davon ausgegangen werden, dass es Young und Mills gelungen ist, eine Feldtheorie zu entwickeln.

Darüber hinaus ist die Lösung der vorgeschlagenen Gleichungen aufgrund ihrer Nichtlinearität äußerst schwierig. Für kleine Kopplungskonstanten können sie näherungsweise in Form einer Störungstheoriereihe gelöst werden. Es ist jedoch noch nicht klar, wie diese Gleichungen unter starker Kopplung gelöst werden können.

Navier-Stokes-Gleichungen

Diese Ausdrücke beschreiben Prozesse wie Luftströmungen, Flüssigkeitsströmungen und Turbulenzen. Für einige Spezialfälle wurden bereits analytische Lösungen der Navier-Stokes-Gleichung gefunden, für den allgemeinen Fall ist dies jedoch noch niemandem gelungen. Gleichzeitig ermöglicht die numerische Modellierung für bestimmte Werte von Geschwindigkeit, Dichte, Druck, Zeit usw. hervorragende Ergebnisse. Wir können nur hoffen, dass es jemandem gelingt, die Navier-Stokes-Gleichungen in die entgegengesetzte Richtung anzuwenden, also die Parameter damit zu berechnen, oder zu beweisen, dass es keine Lösungsmethode gibt.

Birch-Swinnerton-Dyer-Problem

Die Kategorie „Ungelöste Probleme“ umfasst auch eine Hypothese, die von englischen Wissenschaftlern der Universität Cambridge vorgeschlagen wurde. Schon vor 2300 Jahren gab der antike griechische Wissenschaftler Euklid an Gesamte Beschreibung Lösungen der Gleichung x2 + y2 = z2.

Wenn wir für jede Primzahl die Anzahl der Punkte auf der Kurve modulo zählen, erhalten wir eine unendliche Menge ganzer Zahlen. Wenn Sie es gezielt in eine Funktion einer komplexen Variablen „einkleben“, erhalten Sie die Hasse-Weil-Zeta-Funktion für eine Kurve dritter Ordnung, bezeichnet mit dem Buchstaben L. Sie enthält Informationen über das Modulo-Verhalten aller Primzahlen gleichzeitig .

Brian Birch und Peter Swinnerton-Dyer schlugen eine Vermutung über elliptische Kurven vor. Danach hängen Struktur und Menge der Menge ihrer rationalen Lösungen mit dem Verhalten der L-Funktion in der Einheit zusammen. Die derzeit unbewiesene Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung basiert auf der Beschreibung algebraischer Gleichungen 3. Grades und ist die einzige relativ einfache im Allgemeinen Berechnen des Rangs elliptischer Kurven.

Um die praktische Bedeutung dieses Problems zu verstehen, genügt es zu sagen, dass in der modernen Kryptographie mit elliptischen Kurven eine ganze Klasse asymmetrischer Systeme basiert und inländische Standards für digitale Signaturen auf ihrer Verwendung basieren.

Gleichheit der Klassen p und np

Wenn die restlichen Millennium-Probleme rein mathematischer Natur sind, dann hängt dieses mit der aktuellen Theorie der Algorithmen zusammen. Das Problem der Gleichheit der Klassen p und np, auch Cook-Lewin-Problem genannt, lässt sich in anschaulicher Sprache wie folgt formulieren. Nehmen wir an, dass eine positive Antwort auf eine bestimmte Frage schnell genug, also in polynomieller Zeit (PT), überprüft werden kann. Ist es dann richtig zu sagen, dass die Antwort darauf relativ schnell gefunden werden kann? Es klingt noch einfacher: Ist es wirklich nicht schwieriger, die Lösung eines Problems zu überprüfen, als sie zu finden? Wenn die Gleichheit der Klassen p und np jemals bewiesen wird, können alle Auswahlprobleme durch PV gelöst werden. Derzeit bezweifeln viele Experten den Wahrheitsgehalt dieser Aussage, obwohl sie das Gegenteil nicht beweisen können.

Riemann-Hypothese

Bis 1859 wurde kein Muster identifiziert, das beschreiben würde, wie Primzahlen unter natürlichen Zahlen verteilt sind. Vielleicht lag das daran, dass sich die Wissenschaft mit anderen Themen beschäftigte. Mitte des 19. Jahrhunderts änderte sich die Situation jedoch und sie wurden zu einem der relevantesten Themen, die die Mathematik zu studieren begann.

Die in dieser Zeit entstandene Riemann-Hypothese geht davon aus, dass es ein bestimmtes Muster in der Verteilung von Primzahlen gibt.

Heutzutage glauben viele moderne Wissenschaftler, dass viele der Grundprinzipien der modernen Kryptographie, die die Grundlage vieler Mechanismen des elektronischen Handels bilden, überdacht werden müssen, wenn dies bewiesen wird.

Nach der Riemann-Hypothese kann die Art der Verteilung von Primzahlen erheblich von den derzeit angenommenen abweichen. Tatsache ist, dass bisher kein System in der Verteilung von Primzahlen entdeckt wurde. Es gibt zum Beispiel das Problem der „Zwillinge“, deren Differenz 2 beträgt. Diese Zahlen sind 11 und 13, 29. Andere Primzahlen bilden Cluster. Dies sind 101, 103, 107 usw. Wissenschaftler vermuten schon lange, dass solche Cluster bei sehr großen Primzahlen existieren. Wenn sie gefunden werden, wird die Stärke moderner Kryptoschlüssel in Frage gestellt.

Hodge-Zyklus-Vermutung

Dieses noch ungelöste Problem wurde 1941 formuliert. Hodges Hypothese legt die Möglichkeit nahe, die Form eines beliebigen Objekts durch „Zusammenkleben“ einfacher Körper höherer Dimension anzunähern. Diese Methode ist seit längerem bekannt und wird erfolgreich eingesetzt. Es ist jedoch nicht bekannt, inwieweit eine Vereinfachung durchgeführt werden kann.

Jetzt wissen Sie, welche unlösbaren Probleme derzeit bestehen. Sie sind Gegenstand der Forschung von Tausenden von Wissenschaftlern auf der ganzen Welt. Wir können nur hoffen, dass sie in naher Zukunft gelöst werden praktischer Nutzen wird der Menschheit helfen, in eine neue Phase der technologischen Entwicklung einzutreten.

Hallo zusammen!

Es gibt die Meinung, dass es sich heute nicht lohnt, Wissenschaft zu betreiben – man wird nicht reich! Aber ich hoffe, dass der heutige Beitrag Ihnen zeigt, dass dies bei weitem nicht der Fall ist. Heute erzähle ich Ihnen beim Üben, wie das geht grundlegende Forschung, können Sie eine ordentliche Summe verdienen.

In jeder Entwicklungsphase war jede Wissenschaft immer mit einer Reihe ungelöster Probleme und Aufgaben konfrontiert, die die Wissenschaftler beschäftigten. Physik – Kalte Kernfusion, Mathematik – Goldbachs Hypothese, Medizin – ein Heilmittel gegen Krebs usw. Einige von ihnen sind (aus dem einen oder anderen Grund) so wichtig, dass es eine Belohnung für ihre Lösung gibt. Und manchmal ist diese Belohnung sehr, sehr anständig.

In einer Reihe von Wissenschaften kann diese Belohnung sein Nobelpreis. Aber sie geben es nicht für mathematische Entdeckungen, und heute möchte ich über Mathematik sprechen.

Die Mathematik, die Königin der Wissenschaften, bietet Ihnen ein Meer ungelöster und interessanter Probleme, aber heute werden wir nur über sieben sprechen. Sie werden auch „Millennium Challenges“ genannt.

Es scheint, dass Aufgaben und sogar Aufgaben? Was ist das Besondere an ihnen? Tatsache ist, dass seit vielen Jahren keine Lösung für sie gefunden wurde und das Clay Institute für jede Lösung eine Belohnung von 1 Million Dollar versprochen hat! Stimme zu, nicht wenig. Natürlich nicht der Nobelpreis, der ungefähr 1,5 Millionen groß ist, aber er wird auch reichen.

Hier ist ihre Liste:

• Gleichheit der Klassen P und NP
• Hodge-Vermutung
• Poincaré-Vermutung (gelöst)
• Riemann-Hypothese
• Quanten-Yang-Mills-Theorie
• Existenz und Glätte von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen
• Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung

Schauen wir uns also jeden von ihnen genauer an.

1.Gleichheit der Klassen P und NP

Dieses Problem ist eines der wichtigsten Probleme in der Theorie der Algorithmen, und ich wette, viele von Ihnen haben zumindest indirekt davon gehört. Was ist dieses Problem und was ist sein Wesen? Stellen Sie sich vor, dass es eine bestimmte Klasse von Problemen gibt, auf die wir schnell eine Antwort geben, also schnell eine Lösung finden können. In der Algorithmentheorie nenne ich diese Problemklasse die P-Klasse. Und es gibt eine Klasse von Problemen, bei denen wir schnell die Richtigkeit ihrer Lösung überprüfen können – das ist die NP-Klasse. Und bis jetzt ist nicht bekannt, ob diese Klassen gleich sind oder nicht. Das heißt, es ist nicht bekannt, ob es zumindest theoretisch möglich ist, einen Algorithmus zu finden, mit dem wir schnell eine Lösung für ein bestimmtes Problem finden und seine Richtigkeit überprüfen können.

Klassisches Beispiel. Gegeben sei eine Menge von Zahlen, zum Beispiel: 50, 2, 47, 5, 21, 4, 78, 1. Problem: Ist es möglich, unter diesen Zahlen so auszuwählen, dass ihre Summe 100 ergibt? Antwort: Sie können zum Beispiel 50+47+2+1 = 100 sein. Es ist einfach, die Richtigkeit der Lösung zu überprüfen. Wenden Sie die Additionsoperation viermal an und fertig. Es kommt nur darauf an, diese Zahlen auszuwählen. Auf den ersten Blick ist dies viel schwieriger. Das heißt, es ist schwieriger, eine Lösung für ein Problem zu finden, als es zu überprüfen. Aus der Sicht banaler Gelehrsamkeit ist dies wahr, aber es ist mathematisch nicht bewiesen, und es bleibt die Hoffnung, dass dies nicht der Fall ist.

Ja und? Was also, wenn sich herausstellt, dass die Klassen P und NP gleich sind? Es ist einfach. Gleichheit der Klassen bedeutet, dass es zur Lösung vieler Probleme Algorithmen gibt, die viel schneller sind als die derzeit bekannten (wie oben erwähnt).

Natürlich wurde mehr als ein Versuch unternommen, diese Hypothese zu beweisen oder zu widerlegen, aber keiner war erfolgreich. Der jüngste Versuch war ein Versuch des indischen Mathematikers Vinay Deolalikar. Laut dem Autor der Problemstellung, Stephen Cook, war diese Lösung „ein relativ ernsthafter Versuch, das P-gegen-NP-Problem zu lösen“. Doch leider wurden im vorgelegten Beweis eine Reihe von Fehlern gefunden, deren Korrektur der Autor versprach.

2.Hodge-Vermutung

Komplexität ist die Summe einfacher Komponenten. Als Ergebnis der Untersuchung komplexer Objekte entwickelten Mathematiker Methoden zu ihrer Annäherung durch Zusammenkleben von Objekten mit zunehmender Dimension. Es ist jedoch noch nicht geklärt, inwieweit eine solche Näherung durchgeführt werden kann, und die geometrische Beschaffenheit einiger Objekte, die in der Näherung verwendet werden, bleibt unklar.

3.Poincaré-Vermutung

Die Poincaré-Vermutung ist derzeit das einzige der sieben Jahrtausendprobleme, das gelöst wurde. Es ist erfreulich festzustellen, dass der Urheber der Entscheidung unser Landsmann Grigori Jakowlewitsch Perelman war, der ebenfalls ein zurückgezogen lebendes Genie ist. Wir können viel und Interessantes darüber reden, aber konzentrieren wir uns auf die Hypothese selbst.

Formulierung:

Jede einfach zusammenhängende kompakte dreidimensionale Mannigfaltigkeit ohne Rand ist homöomorph zu einer dreidimensionalen Kugel.

Oder die verallgemeinerte Poincaré-Vermutung:

Für jede natürliche Zahl n ist jede Mannigfaltigkeit der Dimension n genau dann homotopieäquivalent zu einer Kugel der Dimension n, wenn sie zu ihr homöomorph ist.

Einfach ausgedrückt, liegt der Kern des Problems darin. Wenn wir einen Apfel nehmen und ihn mit einer Gummifolie bedecken, können wir mit Hilfe von Verformungen, ohne die Folie zu zerreißen, den Apfel in eine Spitze oder einen Würfel verwandeln, aber auf keinen Fall können wir ihn in einen Donut verwandeln. Würfel, 3D-Kugel und sogar dreidimensionaler Raum bis auf die Verformung identisch.

Trotz dieser einfachen Formulierung blieb die Hypothese jahrhundertelang unbewiesen. Allerdings gilt in der Mathematik manchmal, dass der Beweis umso komplexer ist, je einfacher die Formulierung ist (wir alle erinnern uns an Fermats letzten Satz).

Kehren wir zu Genosse Perelman zurück. Dieser Herr ist auch dafür bekannt, dass er die ihm zustehende Million ablehnte und sagte: „Wozu brauche ich Ihr Geld, wenn ich das ganze Universum in meinen Händen habe?“ Das konnte ich nicht. Aufgrund der Ablehnung wurde die zugeteilte Million an junge französische und amerikanische Mathematiker vergeben.

Abschließend möchte ich anmerken, dass die Poincaré-Hypothese absolut keine praktische Anwendung hat (!!!).

4. Riemann-Hypothese.

Die Riemann-Hypothese ist wahrscheinlich (zusammen mit der Poincaré-Hypothese) das berühmteste der sieben Jahrtausendprobleme. Einer der Gründe für seine Beliebtheit bei Menschen, die sich nicht beruflich mit Mathematik beschäftigen, ist seine sehr einfache Formulierung.

Alle nichttrivialen Nullstellen der Riemannschen Zetafunktion haben einen Realteil gleich ?.

Stimmen Sie zu, es ist ganz einfach. Und die scheinbare Einfachheit war der Grund für viele Versuche, diese Hypothese zu beweisen. Leider noch keine Ergebnisse.

Die große Zahl erfolgloser Versuche, die Riemann-Hypothese zu beweisen, hat bei einigen Mathematikern Zweifel an ihrer Gültigkeit geweckt. Unter ihnen ist John Littlewood. Aber die Zahl der Skeptiker ist nicht so zahlreich und die meisten Mathematiker neigen dazu zu glauben, dass die Riemann-Hypothese schließlich wahr ist. Eine indirekte Bestätigung hierfür ist die Gültigkeit einer Reihe ähnlicher Aussagen und Hypothesen.

Viele Algorithmen und Aussagen der Zahlentheorie wurden unter der Annahme formuliert, dass die obige Hypothese wahr ist. Somit wird der Beweis der Gültigkeit der Riemann-Hypothese die Grundlage der Zahlentheorie schaffen, und ihre Widerlegung wird die Zahlentheorie in ihren Grundfesten „erschüttern“.

Und zum Schluss noch eine ziemlich berühmte, aber sehr interessante Tatsache. David Gilbert wurde einmal gefragt: „Was wäre Ihre erste Handlung, wenn Sie 500 Jahre lang schlafen und dann aufwachen würden?“ - „Ich werde fragen, ob die Riemann-Hypothese bewiesen wurde.“

5. Yang-Mills-Theorie

Eine der Eichtheorien der Quantenphysik mit einer nichtabelschen Eichgruppe. Diese Theorie wurde Mitte des letzten Jahrhunderts vorgeschlagen, galt aber lange Zeit als rein mathematische Technik, die nichts mit der wahren Natur der Dinge zu tun hat. Später wurden jedoch auf der Grundlage der Yang-Mills-Theorie grundlegende Theorien entwickelt Standardmodell- Quantenchromodynamik und Theorie schwacher Wechselwirkungen.

Problemstellung:

Für jede einfache kompakte Eichgruppe existiert eine Quanten-Yang-Mills-Theorie für den Raum und weist einen Massendefekt ungleich Null auf.

Die Theorie wird durch die Ergebnisse von Experimenten und die Ergebnisse der Computermodellierung vollkommen bestätigt, hat jedoch keinen theoretischen Beweis erhalten.

6. Existenz und Glätte von Lösungen der Navier-Stokes-Gleichungen

Eines der wichtigsten Probleme der Hydrodynamik und das letzte ungelöste Problem der klassischen Mechanik.

Die Navier-Stokes-Gleichung, ergänzt durch Maxwell-Gleichungen, Wärmeübertragungsgleichungen usw., wird zur Lösung vieler Probleme der Elektrohydrodynamik, Magnetohydrodynamik, Konvektion von Flüssigkeiten und Gasen, Thermodiffusion usw. verwendet.

Die Gleichungen selbst sind ein System partieller Differentialgleichungen. Die Gleichungen bestehen aus zwei Teilen:

• Bewegungsgleichungen
• Kontinuitätsgleichungen

Das Finden einer vollständigen analytischen Lösung der Navier-Stokes-Gleichungen wird aufgrund ihrer Nichtlinearität und starken Abhängigkeit von Rand- und Anfangsbedingungen erheblich erschwert.

7. Birch-Swinnerton-Dyer-Vermutung

Das letzte Problem des Jahrtausends ist die Birch-Swinnerton-Dyer-Hypothese.

Die Hypothese besagt, dass

der Rang einer elliptischen Kurve r über Q ist gleich der Ordnung Null der Hasse-Weil-Zetafunktion

E(L,s) am Punkt s = 1.

Diese Hypothese ist die einzige relativ einfache Möglichkeit, den Rang elliptischer Kurven zu bestimmen, die wiederum die Hauptstudienobjekte sind moderne Theorie Zahlen und Kryptographie.

Das sind alle Probleme des Jahrtausends. Ich entschuldige mich dafür, dass einige Probleme viel weniger behandelt werden als andere. Dies ist auf den Mangel an Informationen zu diesen Problemen und die Unmöglichkeit zurückzuführen, ihr Wesen einfach (ohne umständliche und komplexe Mathematik) darzustellen. Das Clay Institute kündigte eine Belohnung von 1 Million US-Dollar für die Lösung jedes Problems an. Tue es! Mit der Weiterentwicklung der Grundlagenforschung besteht die Chance, gutes Geld zu verdienen, denn sechs von sieben Problemen sind noch nicht gelöst.