Zylinder als geometrische Figur. Geometrische Körper. Zylinder Schrägzylinder

1.1. Definition von Zylinder 4

1. 3. Abschnitte von Zylinder 8

1.5. Zylindervolumen 14

Aufgabe 1. 16

Aufgabe 2. 16

Aufgabe 3. 17

Aufgabe 4. 18

Aufgabe 5. 19

Aufgabe 6.20

Aufgabe 7. 21

Aufgabe 8. 22

Aufgabe 9. 23

Aufgabe 10. 24

Aufgabe 11. 25

Aufgabe 12. 26

Einführung

Stereometrie ist ein Zweig der Geometrie, in dem Figuren im Raum untersucht werden. Die Hauptfiguren im Raum sind ein Punkt, eine Gerade und eine Ebene. Eine neue Ansicht erscheint in der Stereometrie relative Position gerade Linien: gerade Linien kreuzen. Dies ist einer der wenigen wesentlichen Unterschiede zwischen Stereometrie und Planimetrie, da in vielen Fällen Probleme in der Stereometrie durch die Betrachtung verschiedener Ebenen gelöst werden, in denen die Planimetriegesetze erfüllt sind.

In der Natur um uns herum gibt es viele Objekte, die physische Modelle dieser Figur sind. Beispielsweise haben viele Maschinenteile die Form eines Zylinders oder sind eine Kombination daraus, und die majestätischen Säulen von Tempeln und Kathedralen in Zylinderform unterstreichen deren Harmonie und Schönheit.

griechisch − Kylindros. Ein alter Begriff. Im Alltag - eine Papyrusrolle, eine Rolle, eine Rolle (Verb – drehen, rollen).

Für Euklid entsteht ein Zylinder durch Drehen eines Rechtecks. In Cavalieri - durch die Bewegung der Generatrix (mit einer willkürlichen Führung - einem „Zylinder“).

Der Zweck dieses Aufsatzes besteht darin, einen geometrischen Körper zu betrachten – einen Zylinder.

Um dieses Ziel zu erreichen, müssen folgende Aufgaben berücksichtigt werden:

− Geben Sie Definitionen eines Zylinders an.

− Betrachten Sie die Elemente des Zylinders;

− Studieren Sie die Eigenschaften des Zylinders;

− Berücksichtigen Sie die Arten von Zylinderabschnitten.

− Leiten Sie die Formel für die Fläche eines Zylinders her;

− Leiten Sie die Formel für das Volumen eines Zylinders her.

− Probleme mit einem Zylinder lösen.

1 Theoretischer Teil

1.1. Definition eines Zylinders

Betrachten wir eine Linie (Kurve, unterbrochen oder gemischt) l, die in einer Ebene α liegt, und eine gerade Linie S, die diese Ebene schneidet. Durch alle Punkte einer gegebenen Geraden l zeichnen wir Geraden parallel zur Geraden S; Die durch diese Geraden gebildete Fläche α wird Zylinderfläche genannt. Die Linie l wird als Führung dieser Fläche bezeichnet, die Linien s 1, s 2, s 3,... sind ihre Erzeuger.

Wenn die Führung gebrochen ist, besteht eine solche zylindrische Oberfläche aus einer Reihe flacher Streifen, die zwischen Paaren paralleler gerader Linien eingeschlossen sind, und wird als prismatische Oberfläche bezeichnet. Die Erzeugenden, die durch die Scheitelpunkte der gestrichelten Führungslinie verlaufen, werden als Kanten der prismatischen Oberfläche bezeichnet, die flachen Streifen dazwischen sind ihre Flächen.

Wenn wir eine beliebige Zylinderfläche mit einer beliebigen Ebene schneiden, die nicht parallel zu ihren Erzeugenden verläuft, erhalten wir eine Linie, die auch als Orientierungslinie für diese Fläche dienen kann. Unter den Führungen sticht diejenige hervor, die man erhält, indem man die Oberfläche mit einer Ebene senkrecht zu den Erzeugenden der Oberfläche schneidet. Ein solcher Abschnitt wird als normaler Abschnitt bezeichnet, und die entsprechende Führung wird als normale Führung bezeichnet.

Wenn die Führung eine geschlossene (konvexe) Linie (gestrichelt oder gekrümmt) ist, wird die entsprechende Fläche als geschlossene (konvexe) prismatische oder zylindrische Fläche bezeichnet. Die einfachste zylindrische Oberfläche hat als normale Führung einen Kreis. Zerlegen wir eine geschlossene konvexe Prismenfläche mit zwei Ebenen parallel zueinander, aber nicht parallel zu den Erzeugenden.

In Abschnitten erhalten wir konvexe Polygone. Nun begrenzen der Teil der Prismenfläche, der zwischen den Ebenen α und α" eingeschlossen ist, und die beiden in diesen Ebenen gebildeten Polygonplatten einen Körper, der als prismatischer Körper bezeichnet wird – ein Prisma.

Zylindrischer Körper – ein Zylinder wird ähnlich wie ein Prisma definiert:
Ein Zylinder ist ein Körper, der an den Seiten durch eine geschlossene (konvexe) zylindrische Oberfläche und an den Enden durch zwei flache parallele Grundflächen begrenzt wird. Beide Grundflächen des Zylinders sind gleich, und alle Bestandteile des Zylinders sind ebenfalls gleich, d. h. Generatrixsegmente zylindrische Oberfläche zwischen den Ebenen der Basen.

Ein Zylinder (genauer ein Kreiszylinder) ist ein geometrischer Körper, der aus zwei Kreisen besteht, die nicht in derselben Ebene liegen und durch Parallelverschiebung kombiniert werden, und allen Segmenten, die die entsprechenden Punkte dieser Kreise verbinden (Abb. 1). .

Reis. 1 − Zylinder

1.2. Elemente und Eigenschaften eines Zylinders

Die Kreise werden als Basen des Zylinders bezeichnet, und die Segmente, die die entsprechenden Punkte des Kreisumfangs verbinden, werden als Generatoren des Zylinders bezeichnet.

Da es sich bei der Parallelverschiebung um eine Bewegung handelt, sind die Grundflächen des Zylinders gleich.

Da sich die Ebene bei der Parallelübertragung in eine parallele Ebene (bzw. in sich selbst) verwandelt, liegen die Grundflächen des Zylinders darin parallele Ebenen.

Da bei der Parallelverschiebung die Punkte entlang paralleler (oder zusammenfallender) Linien um den gleichen Abstand verschoben werden, sind die Erzeugenden des Zylinders parallel und gleich.

Die Oberfläche des Zylinders besteht aus Grund- und Seitenfläche. Die Mantelfläche besteht aus Erzeugenden.

Ein Zylinder heißt gerade, wenn seine Erzeugenden senkrecht zu den Grundflächenebenen stehen.

Einen geraden Zylinder kann man sich visuell als einen geometrischen Körper vorstellen, der ein Rechteck beschreibt, wenn man ihn um seine Seite als Achse dreht (Abb. 2).

Reis. 2 − Gerader Zylinder

Im Folgenden betrachten wir nur den geraden Zylinder und nennen ihn der Kürze halber einfach Zylinder.

Der Radius eines Zylinders ist der Radius seiner Basis. Die Höhe eines Zylinders ist der Abstand zwischen den Ebenen seiner Grundflächen. Die Achse eines Zylinders ist eine gerade Linie, die durch die Mittelpunkte der Grundflächen verläuft. Es liegt parallel zu den Generatoren.

Der Zylinder heißt gleichseitig, wenn seine Höhe dem Durchmesser der Basis entspricht.

Wenn die Grundflächen des Zylinders flach sind (und daher die sie enthaltenden Ebenen parallel sind), dann sagt man, dass der Zylinder auf einer Ebene steht. Stehen die Grundflächen eines auf einer Ebene stehenden Zylinders senkrecht zur Erzeugenden, so heißt der Zylinder gerade.

Insbesondere wenn die Grundfläche eines auf einer Ebene stehenden Zylinders ein Kreis ist, dann spricht man von einem kreisförmigen (Kreis-)Zylinder; Wenn es eine Ellipse ist, dann ist es elliptisch.

1. 3. Abschnitte des Zylinders

Der Querschnitt eines Zylinders mit einer zu seiner Achse parallelen Ebene ist ein Rechteck (Abb. 3, a). Seine beiden Seiten sind die Generatoren des Zylinders und die anderen beiden sind parallele Sehnen der Basen.

Reis. 3 – Abschnitte des Zylinders

Insbesondere handelt es sich um ein Rechteck Axialschnitt. Dies ist ein Abschnitt eines Zylinders, durch dessen Achse eine Ebene verläuft (Abb. 3, b).

Der Querschnitt eines Zylinders mit einer Ebene parallel zur Basis ist ein Kreis (Abbildung 3, c).

Der Querschnitt eines Zylinders mit einer zur Grundfläche nicht parallelen Ebene und einer ovalen Achse (Abb. 3d).

Satz 1. Eine Ebene parallel zur Ebene der Grundfläche des Zylinders schneidet seine Mantelfläche entlang eines Kreises, der dem Umfang der Grundfläche entspricht.

D
Rendern. Sei β eine Ebene parallel zur Ebene der Zylinderbasis. Die parallele Verschiebung in Richtung der Zylinderachse, die die Ebene β mit der Ebene der Basis des Zylinders kombiniert, kombiniert den Abschnitt der Seitenfläche durch die Ebene β mit dem Umfang der Basis. Der Satz ist bewiesen.

1.4. Zylinderbereich

Die Mantelfläche des Zylinders.

Als Fläche der Mantelfläche des Zylinders wird die Grenze angenommen, zu der die Fläche der Mantelfläche eines in den Zylinder eingeschriebenen regelmäßigen Prismas tendiert, wenn die Seitenzahl der Basis dieses Prismas auf unbestimmte Zeit zunimmt.

Satz 2. Die Fläche der Mantelfläche eines Zylinders ist gleich dem Produkt aus dem Umfang seiner Basis und seiner Höhe (S side.c = 2πRH, wobei R der Radius der Basis des Zylinders ist, H ist die Höhe des Zylinders).

A)
B)
Reis. 4 − Mantelfläche des Zylinders

Nachweisen.

Seien P n und H der Umfang der Basis bzw. die Höhe eines regelmäßigen n-eckigen Prismas, das in den Zylinder eingeschrieben ist (Abb. 4, a). Dann ist die Fläche der Seitenfläche dieses Prismas S Seite.c − P n H. Nehmen wir an, dass die Anzahl der Seiten des in die Basis eingeschriebenen Polygons unbegrenzt wächst (Abb. 4, b). Dann tendiert der Umfang P n zum Umfang C = 2πR, wobei R der Radius der Zylinderbasis ist und sich die Höhe H nicht ändert. Somit tendiert die Fläche der Seitenfläche des Prismas zur Grenze von 2πRH, d. h. die Fläche der Seitenfläche des Zylinders ist gleich S Seite.c = 2πRH. Der Satz ist bewiesen.

Quadrat Vollflächig Zylinder.

Die Gesamtoberfläche eines Zylinders ist die Summe der Flächen der Mantelfläche und der beiden Grundflächen. Die Fläche jeder Basis des Zylinders ist gleich πR 2, daher wird die Fläche der Gesamtoberfläche des Zylinders S total nach der Formel S side.c = 2πRH+ 2πR 2 berechnet.

T 1

F 1

Reis. 5 − Gesamtoberfläche des Zylinders

Wenn die Seitenfläche des Zylinders entlang der Erzeugenden FT (Abb. 5, a) geschnitten und so entfaltet wird, dass alle Erzeugenden in derselben Ebene liegen, erhalten wir als Ergebnis ein Rechteck FTT1F1, das als Entwicklung des bezeichnet wird Seitenfläche des Zylinders. Die Seite FF1 des Rechtecks ist die Entwicklung des Grundkreises des Zylinders, daher ist FF1=2πR, und ihre Seite FT ist gleich der Erzeugenden des Zylinders, d. h. FT = H (Abb. 5, b). Somit ist die Fläche FT∙FF1=2πRH der Zylinderentwicklung gleich der Fläche seiner Mantelfläche.

Rotationskörper Ein Körper, der durch die Drehung einer Linie um eine Gerade entsteht, wird genannt.

ZYLINDER

Ein Zylinder (Kreiszylinder) ist ein Körper, der aus zwei Kreisen besteht, die nicht in derselben Ebene liegen und durch Parallelverschiebung verbunden sind, und allen Segmenten, die die entsprechenden Punkte dieser Kreise verbinden. Die Kreise werden als Basen des Zylinders bezeichnet, und die Segmente, die die entsprechenden Punkte des Kreisumfangs verbinden, werden als Generatoren des Zylinders bezeichnet.

Da es sich bei der Parallelverschiebung um eine Bewegung handelt, sind die Grundflächen des Zylinders gleich. Da sich die Ebene bei der Parallelübertragung in eine Parallelebene umwandelt, liegen die Grundflächen des Zylinders in parallelen Ebenen. Da bei der Parallelverschiebung die Punkte entlang paralleler Linien um den gleichen Abstand verschoben werden, sind die Erzeugenden des Zylinders parallel und gleich. Die Oberfläche des Zylinders besteht aus Grund- und Seitenfläche.

Ein Zylinder heißt gerade, wenn seine Erzeugenden senkrecht zu den Grundflächenebenen stehen. Wir betrachten nur den rechten Kreiszylinder und nennen ihn der Kürze halber einfach Zylinder.

Einen Zylinder erhält man, indem man ein Rechteck um eine seiner Seiten dreht. Die Abbildung zeigt einen Zylinder, der durch Drehen des Rechtecks ABCD um die Seite AB entsteht. Dabei Seitenfläche Der Zylinder wird durch Drehung der Seite CD gebildet, und die Basis wird durch Drehung der Seiten BC und AD gebildet.

Zylinderabschnitte

1) Wenn die Schnittebene durch die Achse des Zylinders verläuft, ist der Schnitt ein Rechteck (siehe Abbildung), dessen zwei Seiten Erzeuger sind und die anderen beiden die Durchmesser der Grundflächen des Zylinders sind. Dieser Abschnitt wird als axial bezeichnet.

Zylinder(genauer gesagt ein Kreiszylinder) ist ein Körper, der aus zwei in parallelen Ebenen liegenden und durch Parallelverschiebung verbundenen Kreisen und allen Segmenten besteht, die die entsprechenden Punkte dieser Kreise verbinden. Die Kreise heißen Zylinderbasen, und die Segmente, die die entsprechenden Punkte der Kreise verbinden, sind Bildung.

Der Zylinder hat folgende Eigenschaften, die sich aus der Tatsache ergeben, dass die Basen des Zylinders durch Parallelverschiebung kombiniert werden:

1. Die Grundflächen des Zylinders sind gleich.

2. Die Generatoren des Zylinders sind parallel und gleich.

Der Zylinder heißt Direkte wenn seine Generatoren senkrecht zu den Ebenen der Basen stehen. Im Folgenden werden wir hauptsächlich gerade Zylinder betrachten, daher meinen wir, wenn nicht anders angegeben, mit Zylinder einen geraden Zylinder.

Radius Der Radius eines Zylinders wird als Radius seiner Basis bezeichnet. Höhe eines Zylinders ist der Abstand zwischen den Ebenen seiner Grundflächen. Bei einem geraden Zylinder entspricht die Höhe den Erzeugenden. Achse Der Zylinder wird als gerade Linie bezeichnet, die durch die Mittelpunkte der Basen verläuft.

Ein Zylinder ist ein Rotationskörper, da er durch Drehen eines Rechtecks um seine Achse erhalten werden kann.

Aufgaben

18.1 Die Höhe des Zylinders beträgt 6, der Radius der Grundfläche beträgt 5. Die Enden des Segments gleich 10 liegen auf den Kreisen beider Grundflächen. Finden kürzeste Distanz von diesem Segment zur Zylinderachse.

18.2 In einem gleichseitigen Zylinder (Durchmesser gleich der Höhe des Zylinders) ist ein Punkt auf dem Kreis der oberen Grundfläche mit einem Punkt auf dem Kreis der unteren Grundfläche verbunden. Der Winkel zwischen den zu diesen Punkten gezeichneten Radien beträgt 60°. Ermitteln Sie den Winkel zwischen dem gezeichneten Segment und der Zylinderachse.

Kegel

Definition eines Kegels

Kegel(genauer gesagt ein Kreiskegel) ist ein Körper, der aus einem Kreis besteht - Kegelbasis, ein Punkt, der nicht in der Ebene der Basis liegt - Scheitelpunkte des Kegels und alle Segmente, die die Spitze des Kegels mit den Spitzen der Basis verbinden. Die Segmente, die die Spitzen des Kegels mit den Punkten des Grundkreises verbinden, werden genannt einen Kegel bilden.

Kegelhöhe nennt man die Senkrechte, die von der Spitze des Kegels zur Ebene der Basis fällt. Fällt die Basis der Höhe mit dem Mittelpunkt des Basiskreises zusammen, spricht man von einem Kegel Direkte. Unter Kegel verstehen wir im Folgenden üblicherweise einen geraden Kegel.

Achse eines geraden Kreiskegels heißt Gerade, die seine Höhe enthält. Ein solcher Kegel kann durch Drehen erhalten werden rechtwinkliges Dreieck um eines der Beine.

Frustum

Eine Ebene parallel zur Basis des Kegels schneidet einen ähnlichen Kegel davon ab. Der verbleibende Teil heißt Kegelstumpf.

Aufgaben

19.1Zwei Erzeugende des Kegels, die auf den Enden des Durchmessers der Basis ruhen, bilden zwischen sich einen Winkel von 60 Grad. Der Radius des Kegels beträgt 3. Finden Sie die Erzeugende des Kegels und seine Höhe.

19.2 Durch die Mitte der Kegelhöhe wird eine Gerade parallel zur Erzeugenden gezogen. Ermitteln Sie die Länge eines im Kegel eingeschlossenen Liniensegments.

19.3 Die Erzeugende des Kegels beträgt 13, die Höhe beträgt 12. Der Kegel wird von einer Geraden parallel zur Grundfläche geschnitten; der Abstand von ihm zur Basis beträgt 6 und zur Höhe – 2. Suchen Sie das gerade Segment im Inneren des Kegels.

19.4Die Grundradien eines Kegelstumpfes betragen 3 und 6, die Höhe beträgt 4. Finden Sie den Generator.

Definition eines Balls

Ball ist ein Körper, der aus allen Punkten im Raum besteht, die sich in einer nicht größeren als einer bestimmten Entfernung von einem bestimmten Punkt befinden Mitte des Balls. Dieser Abstand wird aufgerufen Radius des Balls.

Die Grenze des Balls wird genannt sphärische Oberfläche oder Kugel. Somit sind die Punkte der Kugel alle Punkte der Kugel, die vom Mittelpunkt der Kugel in einem Abstand gleich dem Radius entfernt sind.

Das Segment, das zwei Punkte auf der Kugeloberfläche verbindet und durch den Mittelpunkt der Kugel verläuft, wird Kugeldurchmesser genannt.

Eine Kugel ist wie ein Zylinder und ein Kegel ein Rotationskörper. Man erhält es, indem man einen Halbkreis um seinen Durchmesser dreht.

Aufgaben

20.1 Auf der Oberfläche einer Kugel sind drei Punkte gegeben. Die geradlinigen Abstände zwischen ihnen betragen 6, 8 und 10. Der Radius des Balls beträgt 13. Ermitteln Sie den Abstand vom Mittelpunkt des Balls zu der Ebene, die durch diese drei Punkte verläuft.

20.2 Der Durchmesser einer Kugel beträgt 25. Auf ihrer Oberfläche sind ein Punkt und ein Kreis angegeben, deren Punkte alle (in einer geraden Linie) von 15 entfernt sind. Bestimmen Sie den Radius dieses Kreises.

20.3 Der Radius einer Kugel beträgt 7. Auf ihrer Oberfläche befinden sich zwei Kreise mit einer gemeinsamen Sehne der Länge 2. Bestimmen Sie die Radien der Kreise, wobei Sie wissen müssen, dass ihre Ebenen senkrecht stehen.

Der Name der Wissenschaft „Geometrie“ wird mit „Erdvermessung“ übersetzt. Es entstand durch die Bemühungen der ersten Landverwalter der Antike. Und es geschah so: Während der Überschwemmungen des heiligen Nils schwemmten Wasserströme manchmal die Grenzen der Grundstücke der Bauern weg, und die neuen Grenzen stimmten möglicherweise nicht mit den alten überein. Die Steuern wurden von den Bauern im Verhältnis zur Größe der Landzuteilung an die Staatskasse des Pharaos gezahlt. An der Vermessung der Ackerflächen innerhalb der neuen Grenzen nach der Katastrophe waren spezielle Personen beteiligt. Es war ein Ergebnis ihrer Aktivitäten, dass die neue Wissenschaft, das in entwickelt wurde Antikes Griechenland. Dort erhielt es seinen Namen und wurde praktisch erworben modernes Aussehen. Anschließend wurde der Begriff zu einer internationalen Bezeichnung für die Wissenschaft der flachen und dreidimensionalen Figuren.

Planimetrie ist ein Zweig der Geometrie, der sich mit der Untersuchung befasst flache Figuren. Ein weiterer Wissenschaftszweig ist die Stereometrie, die die Eigenschaften räumlicher (volumetrischer) Figuren untersucht. Zu diesen Figuren gehört auch die in diesem Artikel beschriebene – ein Zylinder.

Beispiele für das Vorhandensein zylindrischer Objekte in Alltagsleben eine Menge. Fast alle rotierenden Teile – Wellen, Buchsen, Zapfen, Achsen usw. – haben eine zylindrische (viel seltener – konische) Form. Der Zylinder wird auch häufig im Bauwesen verwendet: Türme, Stützsäulen, Ziersäulen. Und auch Geschirr, einige Verpackungsarten, Rohre mit verschiedenen Durchmessern. Und schließlich die berühmten Hüte, die längst zum Symbol männlicher Eleganz geworden sind. Die Liste geht weiter und weiter.

Definition eines Zylinders als geometrische Figur

Als Zylinder (Kreiszylinder) wird üblicherweise eine Figur bezeichnet, die aus zwei Kreisen besteht, die auf Wunsch durch Parallelverschiebung kombiniert werden. Diese Kreise sind die Grundflächen des Zylinders. Aber die Linien (gerade Segmente), die die entsprechenden Punkte verbinden, werden „Generatoren“ genannt.

Es ist wichtig, dass die Grundflächen des Zylinders immer gleich sind (wenn diese Bedingung nicht erfüllt ist, dann gilt - Kegelstumpf, alles andere, aber kein Zylinder) und liegen in parallelen Ebenen. Die Segmente, die entsprechende Punkte auf Kreisen verbinden, sind parallel und gleich.

Gesamtheit Unendliche Nummer Formung – nichts anderes als die Seitenfläche des Zylinders – eines der Elemente dieser geometrischen Figur. Seine andere wichtige Komponente sind die oben diskutierten Kreise. Sie werden Basen genannt.

Arten von Zylindern

Der einfachste und gebräuchlichste Zylindertyp ist der Kreiszylinder. Es besteht aus zwei regelmäßigen Kreisen, die als Basis dienen. Aber statt ihnen kann es andere Figuren geben.

Die Grundflächen der Zylinder können (neben Kreisen) auch Ellipsen und andere geschlossene Figuren bilden. Der Zylinder muss jedoch nicht unbedingt eine geschlossene Form haben. Beispielsweise kann die Basis eines Zylinders eine Parabel, eine Hyperbel oder eine andere offene Funktion sein. Ein solcher Zylinder ist offen oder entfaltet.

Je nach Neigungswinkel der die Sockel bildenden Zylinder können diese gerade oder geneigt sein. Bei einem geraden Zylinder stehen die Erzeugenden streng senkrecht zur Grundebene. Ist dieser Winkel ungleich 90°, ist der Zylinder geneigt.

Was ist eine Oberfläche der Revolution?

Der gerade Kreiszylinder ist zweifellos die in der Technik am häufigsten verwendete Rotationsfläche. Manchmal werden aus technischen Gründen konische, sphärische und einige andere Arten von Oberflächen verwendet, aber 99 % aller rotierenden Wellen, Achsen usw. werden in Form von Zylindern hergestellt. Um besser zu verstehen, was eine Rotationsfläche ist, können wir uns überlegen, wie der Zylinder selbst geformt ist.

Nehmen wir an, es gibt eine bestimmte gerade Linie A, vertikal angeordnet. ABCD ist ein Rechteck, dessen eine Seite (Segment AB) auf einer Geraden liegt A. Wenn wir ein Rechteck um eine gerade Linie drehen, wie in der Abbildung gezeigt, ist das Volumen, das es während der Drehung einnimmt, unser Rotationskörper – ein gerader kreisförmiger Zylinder mit der Höhe H = AB = DC und dem Radius R = AD = BC.

In diesem Fall entsteht durch Drehen der Figur – eines Rechtecks – ein Zylinder. Durch Drehen eines Dreiecks erhalten Sie einen Kegel, durch Drehen eines Halbkreises eine Kugel usw.

Zylinderoberfläche

Um die Oberfläche eines gewöhnlichen geraden Kreiszylinders zu berechnen, ist es notwendig, die Flächen der Grundflächen und Seitenflächen zu berechnen.

Schauen wir uns zunächst an, wie die Mantelfläche berechnet wird. Dies ist das Produkt aus Zylinderumfang und Zylinderhöhe. Der Umfang wiederum ist gleich dem doppelten Produkt der universellen Zahl P durch den Radius des Kreises.

Die Fläche eines Kreises ist bekanntlich gleich dem Produkt P pro Quadratradius. Indem wir also die Formeln für die Fläche der Seitenfläche mit dem doppelten Ausdruck für die Fläche der Basis (es gibt zwei davon) addieren und einfache algebraische Transformationen durchführen, erhalten wir den endgültigen Ausdruck zur Bestimmung der Fläche des Zylinders.

Bestimmen des Volumens einer Figur

Das Volumen eines Zylinders wird nach dem Standardschema ermittelt: Die Grundfläche wird mit der Höhe multipliziert.

Somit sieht die endgültige Formel so aus: Der gewünschte Wert ist definiert als das Produkt der Körpergröße mit der universellen Zahl P und durch das Quadrat des Radius der Basis.

Es muss gesagt werden, dass die resultierende Formel auf die Lösung der unerwartetsten Probleme anwendbar ist. Auf die gleiche Weise wie beispielsweise das Volumen des Zylinders wird auch das Volumen der elektrischen Leitungen bestimmt. Dies kann zur Berechnung der Masse der Drähte erforderlich sein.

Der einzige Unterschied in der Formel besteht darin, dass anstelle des Radius eines Zylinders der Durchmesser des Drahtstrangs halbiert wird und die Anzahl der Drähte im Draht im Ausdruck erscheint N. Außerdem wird anstelle der Höhe die Länge des Drahtes verwendet. Auf diese Weise wird das Volumen des „Zylinders“ nicht nur durch eins, sondern durch die Anzahl der Drähte im Geflecht berechnet.

Solche Berechnungen sind in der Praxis häufig erforderlich. Schließlich besteht ein erheblicher Teil der Wasserbehälter aus Rohren. Und auch im Haushalt ist es oft notwendig, das Volumen eines Zylinders zu berechnen.

Allerdings kann die Form des Zylinders, wie bereits erwähnt, unterschiedlich sein. Und in manchen Fällen ist es notwendig, das Volumen eines geneigten Zylinders zu berechnen.

Der Unterschied besteht darin, dass die Grundfläche nicht wie bei einem geraden Zylinder mit der Länge der Erzeugenden multipliziert wird, sondern mit dem Abstand zwischen den Ebenen – einem zwischen ihnen konstruierten senkrechten Segment.

Wie aus der Abbildung ersichtlich ist, ist ein solches Segment gleich dem Produkt aus der Länge der Mantellinie und dem Sinus des Neigungswinkels der Mantellinie zur Ebene.

So bauen Sie eine Zylinderentwicklung auf

In manchen Fällen ist es notwendig, ein Zylinderpaket auszuschneiden. Die folgende Abbildung zeigt die Regeln, nach denen ein Rohling für die Herstellung eines Zylinders mit einer bestimmten Höhe und einem bestimmten Durchmesser konstruiert wird.

Bitte beachten Sie, dass die Zeichnung ohne Nähte dargestellt ist.

Unterschiede zwischen einem abgeschrägten Zylinder

Stellen wir uns einen bestimmten geraden Zylinder vor, der auf einer Seite durch eine Ebene senkrecht zu den Generatoren begrenzt wird. Aber die Ebene, die den Zylinder auf der anderen Seite begrenzt, steht nicht senkrecht zu den Generatoren und nicht parallel zur ersten Ebene.

Die Abbildung zeigt einen abgeschrägten Zylinder. Flugzeug A in einem bestimmten Winkel, der von 90° zu den Generatoren abweicht, die Figur schneidet.

Solch Geometrische Figur in der Praxis häufiger in Form von Rohrleitungsanschlüssen (Bögen) anzutreffen. Es gibt aber auch Gebäude, die die Form eines abgeschrägten Zylinders haben.

Geometrische Eigenschaften eines abgeschrägten Zylinders

Die Neigung einer der Ebenen eines abgeschrägten Zylinders ändert geringfügig das Verfahren zur Berechnung sowohl der Oberfläche einer solchen Figur als auch ihres Volumens.

kýlindros, Rolle, Walze) – ein geometrischer Körper, der durch eine zylindrische Oberfläche (die Mantelfläche des Zylinders genannt) und nicht mehr als zwei Oberflächen (die Basen des Zylinders) begrenzt wird; Wenn außerdem zwei Basen vorhanden sind, wird eine von der anderen durch parallele Übertragung entlang der Mantellinie der Seitenfläche des Zylinders erhalten; und die Basis schneidet jede Erzeugende der Mantelfläche genau einmal.

Ein unendlicher Körper, der durch eine geschlossene unendliche Zylinderfläche begrenzt wird, heißt endloser Zylinder, begrenzt durch einen geschlossenen zylindrischen Balken und seine Basis, heißt Offener Zylinder. Die Basis und Generatoren eines zylindrischen Strahls werden als Basis bzw. Generatoren eines offenen Zylinders bezeichnet.

Ein endlicher Körper, der durch eine geschlossene endliche Zylinderfläche und zwei ihn trennende Abschnitte begrenzt wird, heißt Endzylinder, oder tatsächlich Zylinder. Die Abschnitte werden als Basen des Zylinders bezeichnet. Nach der Definition einer endlichen Zylinderfläche sind die Grundflächen des Zylinders gleich.

Offensichtlich sind die Erzeugenden der Mantelfläche des Zylinders gleich lang (genannt Höhe Zylinder) Segmente, die auf parallelen Linien liegen und deren Enden auf der Basis des Zylinders liegen. Zu den mathematischen Kuriositäten gehört die Definition jeder endlichen dreidimensionalen Oberfläche ohne Selbstüberschneidungen als Zylinder mit der Höhe Null (diese Oberfläche wird gleichzeitig als beide Basen des endlichen Zylinders betrachtet). Die Basen des Zylinders beeinflussen den Zylinder qualitativ.

Wenn die Grundflächen des Zylinders flach sind (und daher die sie enthaltenden Ebenen parallel sind), heißt der Zylinder im Flugzeug stehen. Stehen die Grundflächen eines auf einer Ebene stehenden Zylinders senkrecht zur Erzeugenden, so heißt der Zylinder gerade.

Das Volumen des Endzylinders ist gleich dem Integral der Grundfläche entlang der Mantellinie. Insbesondere ist das Volumen eines geraden Kreiszylinders gleich

(Wo ist der Radius der Basis, ist die Höhe).

Die Mantelfläche des Zylinders wird berechnet durch die folgende Formel:

Die Gesamtoberfläche eines Zylinders ist die Summe der Mantelfläche und der Fläche der Grundflächen. Für einen geraden Kreiszylinder:

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