Unser „Reshebnik“ enthält Antworten auf alle Aufgaben und Übungen aus „ Didaktische Materialien in Algebra 8. Klasse“; Methoden und Lösungsansätze werden ausführlich besprochen. Der „Reshebnik“ richtet sich ausschließlich an Eltern von Schülern, um Hausaufgaben zu überprüfen und bei der Lösung von Problemen zu helfen.
Hinter eine kurze Zeit Eltern können sehr effektive Nachhilfelehrer werden.
Option 1 4
zum Polynom (Wiederholung) 4
S-2. Faktorisierung (Wiederholung) 5
S-3. Ganze und Bruchausdrücke 6
S-4. Die Haupteigenschaft eines Bruchs. Brüche reduzieren. 7
S-5; Brüche kürzen (Fortsetzung) 9
Mit gleiche Nenner 10
Mit verschiedene Nenner 12
Nenner (Fortsetzung) 14
S-9. Brüche multiplizieren 16
S-10. Division von Brüchen 17
S-11. Alle Operationen mit Brüchen 18
S-12. Funktion 19
S-13. Rationale und irrationale Zahlen 22
S-14. Arithmetische Quadratwurzel 23
S-15. Lösen von Gleichungen der Form x2=a 27
S-16. Näherungswerte finden
S-17. Funktion y=d/x 30
Wurzelprodukt 31
Quotient der Wurzeln 33
S-20. Quadratwurzel der Potenz 34
S-21. Entfernen des Multiplikators unter dem Wurzelzeichen. Einfügen des Multiplikators unter dem Wurzelzeichen 37
S-23. Gleichungen und ihre Wurzeln 42
Unvollständige quadratische Gleichungen 43
S-25. Lösung quadratische Gleichungen 45
(Fortsetzung) 47
S-27. Satz 49 von Vieta
S-28. Probleme lösen mit
Quadratische Gleichungen 50
Multiplikatoren Biquadratische Gleichungen 51
S-30. Bruchteil rationale Gleichungen 53
S-31. Probleme lösen mit
rationale Gleichungen 58
S-32. Zahlen vergleichen (Wiederholung) 59
S-33. Eigenschaften numerischer Ungleichungen 60
S-34. Addition und Multiplikation von Ungleichungen 62
S-35. Beweis von Ungleichungen 63
S-36. Den Wert eines Ausdrucks auswerten 65
S-37. Näherungsfehlerschätzung 66
S-38. Zahlen runden 67
S-39. Relativer Fehler 68
S-40. Schnittpunkt und Vereinigung von Mengen 68
S-41. Zahlenintervalle 69
S-42. Ungleichungen lösen 74
S-43. Ungleichungen lösen (Fortsetzung) 76
S-44. Lösen von Ungleichungssystemen 78
S-45. Ungleichungen lösen 81
Variable unter dem Modulzeichen 83
S-47. Grad mit ganzzahligem Exponenten 87
Grad mit einem ganzzahligen Exponenten 88
S-49. Standardansicht der Nummer 91
S-50. Aufzeichnen von Näherungswerten 92
S-51. Elemente der Statistik 93
(Wiederholung) 95
S-53. Definition quadratische Funktion 99
S-54. Funktion y=ax2 100
S-55. Graph der Funktion y=ax2+bx+c 101
S-56. Lösung quadratische Ungleichungen 102
S-57. Intervallmethode 105
Option 2 108
S-1. Konvertieren eines gesamten Ausdrucks
zum Polynom (Wiederholung) 108
S-2. Factoring (Wiederholung) 109
S-3. Ganzzahlige und gebrochene Ausdrücke 110
S-4. Die Haupteigenschaft eines Bruchs.
Brüche reduzieren 111
S-5. Brüche reduzieren (Fortsetzung) 112
S-6. Brüche addieren und subtrahieren
mit gleichen Nennern 114
S-7. Brüche addieren und subtrahieren
Die verschiedenen Nenner 116
S-8. Addieren und Subtrahieren von Brüchen mit unterschiedlichen Zahlen
Nenner (Fortsetzung) 117
S-9. Brüche multiplizieren, 118
S-10. Division von Brüchen 119
S-11. Alle Operationen mit Brüchen 120
S-12. Funktion 121
S-13. Rationale und irrationale Zahlen 123
S-14. Arithmetische Quadratwurzel 124
S-15. Lösen von Gleichungen der Form x2-a 127
S-16. Finden ungefährer Quadratwurzelwerte 129
S-17. Funktion y=\/x " 130
S-18. Quadratwurzel des Produkts.
Wurzelprodukt 131
S-19. Quadratwurzel eines Bruchs.
Quotient der Wurzeln 133
S-20. Quadratwurzel der Potenz 134
S-21. Entfernen des Multiplikators unter dem Wurzelzeichen
Eingabe eines Multiplikators unter dem Wurzelzeichen 137
S-22. Ausdrücke konvertieren
S-23. Gleichungen und ihre Wurzeln 141
S-24. Definition einer quadratischen Gleichung.
Unvollständige quadratische Gleichungen 142
S-25. Quadratische Gleichungen lösen 144
S-26. Quadratische Gleichungen lösen
(Fortsetzung) 146
S-27. Satz von Vieta 148
S-28. Probleme lösen mit
Quadratische Gleichungen 149
S-29. Zersetzung quadratisches Trinom An
Multiplikatoren Biquadratische Gleichungen 150
S-30. Gebrochene rationale Gleichungen 152
S-31. Probleme lösen mit
rationale Gleichungen 157
S-32. Zahlen vergleichen (Wiederholung) 158
S-33. Eigenschaften numerischer Ungleichungen 160
S-34. Addition und Multiplikation von Ungleichungen 161
S-35. Beweis von Ungleichungen 162
S-36. Den Wert eines Ausdrucks auswerten 163
S-37. Näherungsfehlerschätzung 165
S-38. Zahlen runden 165
S-39. Relativer Fehler 166
S-40. Schnittpunkt und Vereinigung von Mengen 166
S-41. Zahlenintervalle 167
S-42. Ungleichungen lösen 172
S-43. Ungleichungen lösen (Fortsetzung) 174
S-44. Lösen von Ungleichungssystemen 176
S-45. Ungleichungen lösen 179
S-46. Gleichungen und Ungleichungen enthalten
Variable unter dem Modulzeichen 181
S-47. Abschluss mit einem ganzzahligen Index von 185
S-48. Konvertieren von Ausdrücken, die enthalten
Grad mit einem ganzzahligen Exponenten 187
S-49. Standardform der Nummer 189
S-50. Aufnahme von Näherungswerten 190
S-51. Elemente der Statistik 192
S-52. Der Funktionsbegriff. Graph einer Funktion
(Wiederholung) 193
S-53. Definition einer quadratischen Funktion 197
S-54. Funktion y=ax2 199
S-55. Graph der Funktion y=ax24-bx+c 200
S-56. Quadratische Ungleichungen lösen 201
S-57. Intervallmethode 203
Tests 206
Option 1 206
K-10 (final) 232
Option 2 236
K-2A 238
K-ZA 242
K-9A (insgesamt) 257
Abschließende Überprüfung nach Thema 263
Olympische Herbstspiele 274
Olympische Frühlingsspiele 275
ALGEBRA
Unterricht für die 9. Klasse
LEKTION Nr. 5
Thema. Termweise Addition und Multiplikation von Ungleichungen. Verwendung der Eigenschaften numerischer Ungleichungen zur Bewertung der Werte von Ausdrücken
Der Zweck der Lektion: sicherzustellen, dass die Schüler den Inhalt der Konzepte „Ungleichungen Term für Term addieren“ und „Ungleichungen Term für Term multiplizieren“ sowie den Inhalt der Eigenschaften numerischer Ungleichungen beherrschen, die durch Term-Theoreme ausgedrückt werden. Termweise Addition und termweise Multiplikation numerischer Ungleichungen und Konsequenzen daraus. Entwickeln Sie die Fähigkeit, die genannten Eigenschaften numerischer Ungleichungen zu reproduzieren und diese Eigenschaften zur Bewertung der Werte von Ausdrücken zu verwenden, und arbeiten Sie weiterhin an der Entwicklung der Fähigkeiten zum Beweisen von Ungleichungen und zum Vergleichen von Ausdrücken anhand der Definition und Eigenschaften numerischer Ungleichungen
Unterrichtsart: Wissenserwerb, Entwicklung grundlegender Fähigkeiten.
Visualisierung und Ausstattung: Supporthinweis Nr. 5.
Während des Unterrichts
I. Organisationsphase
Der Lehrer prüft die Unterrichtsbereitschaft der Schüler und bereitet sie auf die Arbeit vor.
II. Hausaufgaben überprüfen
Schüler treten auf Testaufgaben Anschließend erfolgt die Verifizierung.
III. Formulierung des Zwecks und der Ziele des Unterrichts.
Motivation Bildungsaktivitäten Studenten
Um die Schüler bewusst an der Formulierung des Unterrichtszwecks zu beteiligen, können Sie ihnen praktische Probleme mit geometrischem Inhalt anbieten (z. B. die Schätzung des Umfangs und der Fläche eines Rechtecks, dessen Längen benachbarter Seiten in Form von geschätzt werden). doppelte Ungleichungen). Während des Gesprächs sollte der Lehrer die Gedanken der Schüler darauf lenken, dass die Probleme zwar denen ähneln, die in der vorherigen Lektion gelöst wurden (siehe Lektion Nr. 4, Bedeutung von Ausdrücken bewerten), jedoch im Gegensatz zu den genannten, Sie können nicht mit denselben Mitteln gelöst werden, da die Bedeutung von Ausdrücken bewertet werden muss, die zwei (und in Zukunft mehr) Buchstaben enthalten. Auf diese Weise erkennen die Studierenden, dass ein Widerspruch zwischen dem bisher erworbenen Wissen und der Notwendigkeit besteht, ein bestimmtes Problem zu lösen.
Das Ergebnis der geleisteten Arbeit ist die Formulierung des Unterrichtszwecks: Untersuchung der Frage nach solchen Eigenschaften von Ungleichungen, die in Fällen angewendet werden können, die den in der vorgeschlagenen Aufgabe für Schüler beschriebenen ähneln; Warum es notwendig ist, klar zu formulieren mathematische Sprache und in verbaler Form, und erklären Sie dann die entsprechenden Eigenschaften numerischer Ungleichungen und lernen Sie, sie in Kombination mit den zuvor untersuchten Eigenschaften numerischer Ungleichungen zur Lösung von Standardproblemen zu verwenden.
IV. Aktualisierung der Grundkenntnisse und Fähigkeiten der Studierenden
Mündliche Übungen
1. Vergleichen Sie die Zahlen a und bif:
1) a - b = -0,2;
2) a – b = 0,002;
3) a = b – 3;
4) a - b = m 2;
5) a = b - m 2.
3. Vergleichen Sie die Werte der Ausdrücke a + b und ab, wenn a = 3, b = 2. Begründen Sie Ihre Antwort. Die resultierende Beziehung ist erfüllt, wenn:
1) a = -3, b = -2;
2) a = -3, b = 2?
V. Wissensgenerierung
Planen Sie das Erlernen neuer Materialien
1. Eigenschaft über die Addition numerischer Ungleichungen (mit Feinabstimmung).
2. Eigenschaft zur Term-für-Term-Multiplikation numerischer Ungleichungen (mit Feinabstimmung).
3. Konsequenz. Eigenschaft zur Term-für-Term-Multiplikation numerischer Ungleichungen (mit Anpassung).
4. Anwendungsbeispiele bewährter Eigenschaften.
Unterstützende Anmerkung Nr. 5
Satz (Eigenschaft) über die Term-für-Term-Addition numerischer Ungleichungen |
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Wenn a b und c d, dann a + c b + d. |
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Abschluss
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Satz (Eigenschaft) über die Term-für-Term-Multiplikation numerischer Ungleichungen |
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Wenn 0 a b und 0 c d, dann ac bd. Abschluss
Folge. Wenn 0 a b, dann ein bn, wobei n eine natürliche Zahl ist. |
||||||
Abschluss |
||||||
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(nach dem Term-by-Term-Theorem Multiplikation numerischer Ungleichungen). |
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Beispiel 1. Es ist bekannt, dass 3 a 4; 2 b 3. Schätzen wir den Wert des Ausdrucks: 1) a + b; 2) a - b; 3) b ; 4) . |
||||||
2) a - b = a + (-b) 2 b 31 ∙ (-1) 2 > -b > -3
|
(0) 2 b 3
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|||||
Beispiel 2. Beweisen wir die Ungleichung (m + n)(mn + 1) > 4mn, wenn m > 0, n > 0. |
||||||
Abschluss Ungleichheit nutzen |
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m + n ≥ 2, (1) mn + 1 ≥ 2. (2) |
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Unter Verwendung des Satzes über die Term-für-Term-Multiplikation von Ungleichungen multiplizieren wir die Ungleichungen (1) und (2) Term für Term. Dann haben wir: (m + n )(mn + 1) ≥ 2∙ 2, (m + n )(mn + 1) ≥ 4, also (m + n)(mn + 1) ≥ 4mn, wobei m ≥ 0, n ≥ 0. |
||||||
.
.
Methodischer Kommentar
Für eine bewusste Wahrnehmung von neuem Stoff kann der Lehrer in der Phase der Aktualisierung der Grundkenntnisse und -fähigkeiten der Schüler Lösungen für mündliche Übungen mit Reproduktion bzw. der Definition des Zahlenvergleichs und der Eigenschaften der untersuchten numerischen Ungleichungen anbieten vorherige Lektionen (siehe oben) sowie Betrachtung der Frage nach den entsprechenden Eigenschaften numerischer Ungleichungen.
Normalerweise beherrschen Studierende den Inhalt von Theoremen zur Term-für-Term-Addition und Multiplikation numerischer Ungleichungen gut, doch die Berufserfahrung zeigt, dass Studierende zu bestimmten falschen Verallgemeinerungen neigen. Um Fehler bei der Wissensvermittlung der Schüler zu diesem Thema durch die Demonstration von Beispielen und Gegenbeispielen zu vermeiden, sollte der Lehrer daher die folgenden Punkte hervorheben:
· Eine bewusste Anwendung der Eigenschaften numerischer Ungleichungen ist ohne die Fähigkeit, diese Eigenschaften sowohl in mathematischer Sprache als auch in verbaler Form zu schreiben, nicht möglich.
· Sätze zur Term-für-Term-Addition und Multiplikation numerischer Ungleichungen werden nur für Unregelmäßigkeiten mit den gleichen Vorzeichen erfüllt;
· Die Term-für-Term-Addition numerischer Ungleichungen ist unter einer bestimmten Bedingung (siehe oben) für beliebige Zahlen erfüllt, und der Term-für-Term-Multiplikationssatz (in der Form, die in angegeben ist Referenzzusammenfassung Nr. 5) nur für positive Zahlen;
· Sätze zur Term-für-Term-Subtraktion und Term-für-Term-Division numerischer Ungleichungen werden nicht untersucht. In Fällen, in denen es notwendig ist, die Differenz oder das Verhältnis von Ausdrücken abzuschätzen, werden diese Ausdrücke daher als Summe oder Produkt dargestellt. bzw. und dann werden unter bestimmten Bedingungen die Eigenschaften der Term-für-Term-Addition und Multiplikation numerischer Ungleichungen verwendet.
VI. Bildung von Fähigkeiten
Mündliche Übungen
1. Fügen Sie die Ungleichung Term für Term hinzu:
1) a > 2, b > 3;
2) c -2, d 4.
Oder können dieselben Ungleichungen Term für Term multipliziert werden? Rechtfertige deine Antwort.
2. Multiplizieren Sie die Ungleichungen Term für Term:
1) a > 2, b > 0,3;
2) c > 2, d > 4.
Oder können die gleichen Unregelmäßigkeiten hinzugefügt werden? Rechtfertige deine Antwort.
3. Bestimmen und begründen Sie, ob die Aussage richtig ist: Wenn 2 a 3, 1 b 2, dann:
1) 3 a + b 5;
2) 2 ab 6;
3) 2 - 1 a - b 3 - 2;
Schreibübungen
Um das didaktische Ziel des Unterrichts zu verwirklichen, sollten Sie Aufgaben mit folgendem Inhalt lösen:
1) Addiere und multipliziere diese numerischen Ungleichungen Term für Term;
2) Schätzen Sie den Wert der Summe, Differenz, des Produkts und des Quotienten zweier Ausdrücke basierend auf den gegebenen Schätzungen jeder dieser Zahlen;
3) Bewerten Sie die Bedeutung von Ausdrücken, die diese Buchstaben enthalten, gemäß den gegebenen Schätzungen jedes dieser Buchstaben;
4) beweisen Sie die Ungleichung unter Verwendung von Theoremen zur Term-für-Term-Addition und Multiplikation numerischer Ungleichungen und unter Verwendung klassischer Ungleichungen;
5) die in den vorherigen Lektionen untersuchten Eigenschaften numerischer Ungleichungen zu wiederholen.
Methodischer Kommentar
Die schriftlichen Übungen, die in dieser Unterrichtsphase zur Lösung angeboten werden, sollen zur Entwicklung stabiler Fähigkeiten zur Addition und Multiplikation von Ungleichungen in einfachen Fällen beitragen. (Gleichzeitig wird ein sehr wichtiger Punkt herausgearbeitet: die Überprüfung der Übereinstimmung der Schreibweise von Ungleichungen in den Bedingungen des Satzes und der korrekten Schreibweise der Summe und des Produkts der linken und rechten Seite der Ungleichungen. Vorarbeit(Übungen werden im Rahmen mündlicher Übungen durchgeführt.) Zur besseren Aufnahme des Stoffes sollten die Studierenden aufgefordert werden, die erlernten Theoreme bei der Kommentierung von Handlungen zu reproduzieren.
Nachdem die Studierenden die Theoreme in einfachen Fällen erfolgreich durchgearbeitet haben, können sie nach und nach zu fortgeschritteneren Fällen übergehen. komplexe Fälle(zur Schätzung der Differenz und des Quotienten zweier Ausdrücke und komplexerer Ausdrücke). In dieser Arbeitsphase sollte der Lehrer sorgfältig darauf achten, dass die Schüler dies nicht zulassen typische Fehler Versuchen Sie, etwas zu bewirken und den Anteil hinter Ihren eigenen falschen Regeln abzuschätzen.
Auch während des Unterrichts (natürlich, wenn die Zeit und der Grad der Beherrschung des Inhalts des Materials durch die Schüler dies zulassen) sollte auf Übungen zur Anwendung der untersuchten Theoreme geachtet werden, um komplexere Ungleichungen zu beweisen.
VII. Zusammenfassung der Lektion
Testaufgabe
Es ist bekannt, dass 4 ein 5; 6 b 8. Finden Sie falsche Ungleichungen und korrigieren Sie Fehler. Rechtfertige deine Antwort.
1) 10 a + b 13;
2) -4 a - b -1;
3) 24 ab 13;
4) ;
5) ;
7) 100 a2 + b 2 169?
VIII. Hausaufgaben
1. Studieren Sie Theoreme zur Term-für-Term-Addition und Multiplikation numerischer Ungleichungen (mit Verfeinerung).
2. Führen Sie Fortpflanzungsübungen durch, die denen im Klassenzimmer ähneln.
3. Zur Wiederholung: Übungen zur Anwendung der Definition von Zahlenvergleichen (zum Beenden von Unregelmäßigkeiten und zum Vergleichen von Ausdrücken).
35 verbindet die Attribute der Zahlen 3 und 5. Drei schwingt mit den Schwingungen von Inspiration und Freude, Begeisterung und Selbstausdruck mit. Dies ist die Dreifaltigkeit von Vergangenheit, Gegenwart und Zukunft; Körper, Geist und Seele. Eine Person im Zeichen der Drei ist energisch, talentiert, ehrlich, stolz und unabhängig.
Fünf fügt der Gesamtschwingung einen Anteil an Emotionalität und freier Wahl hinzu. Zu den Nachteilen zählen übermäßige Sensibilität und häufige Stimmungsschwankungen, deren negative Auswirkungen durch den Optimismus der Troika ausgeglichen werden. 35v allgemein gesagt verkörpert kreative Energie, günstige Gelegenheiten und den Wunsch, den Ort zu wechseln.
Der Zusammenhang zwischen Zahlen und Charakter
Was bedeutet die Zahl 35 für das Schicksal eines Menschen, wenn es durch das Geburtsdatum bestimmt wird? Es verleiht ihm eine besondere Ausstrahlung, die Freunde und Anhänger anzieht. Solche Leute sind immer von Fans umgeben, die sie für die Rolle auswählen Persönlichkeit des öffentlichen Lebens oder informeller Führer.
Die negative Seite dieser Zahlenkombination besteht darin, dass die Person ihre Autorität zur persönlichen Bereicherung nutzt. Vertreter von 35 haben eine schlecht entwickelte spirituelle Sphäre. Angesteckt von Pragmatismus und Eitelkeit sind sie in der Lage, unabhängig von ihrem Gesicht „über ihre Köpfe hinweg“ auf das angestrebte Ziel zuzusteuern.
Magische Eigenschaften
Die mystische Bedeutung von 35 beruht auf der Tatsache, dass sie eine Begegnung mit einer tödlichen Versuchung vorhersagt. Die schwerwiegenden Fehler eines solchen Tests können Sie nur vermeiden, wenn Sie Ruhe und Umsicht bewahren.
Heilige Vergleiche der Zahl finden sich in der Bibel, wo sie fünfmal erwähnt wird. Am fünfunddreißigsten Fastentag in der Wüste trat Luzifer an Jesus heran, um ihn in Versuchung zu führen.
Was bedeutet die Zahl 35, wenn sie häufig vorkommt?
Wenn Ihre Schutzengel Sie ständig 35 sehen lassen, zeigen sie, dass Sie Ihre Ziele nicht erreichen. Du bist ehrlich und fleißig, aber das Glück geht an dir vorbei.
Sie stehen vor unzähligen Hindernissen und rätseln über Ihre Zukunft. Der Herrscher der Zahl 35, der Planet Saturn, hat einen großen Einfluss auf Ihr Leben. Seine verborgene Wirkung wird durch die Zahl 8 manifestiert, die man durch Addition von 3 und 5 erhält. Vielleicht entziehen Sie sich Ihrem Schicksal und spielen die Rolle eines anderen. Um Ihre wahre Berufung zu finden, hören Sie auf das, wonach Ihre Seele fragt, und folgen Sie ihrem unausgesprochenen Ruf.
In diesem Artikel untersuchen wir erstens, was unter der Auswertung der Werte eines Ausdrucks oder einer Funktion zu verstehen ist und zweitens, wie die Werte von Ausdrücken und Funktionen ausgewertet werden. Zunächst stellen wir die notwendigen Definitionen und Konzepte vor. Anschließend beschreiben wir im Detail die wichtigsten Methoden zur Erstellung von Schätzungen. Unterwegs geben wir Lösungen für typische Beispiele.
Was bedeutet es, die Bedeutung eines Ausdrucks zu bewerten?
Auf die Frage, was unter der Bedeutungsbewertung eines Ausdrucks zu verstehen ist, konnten wir in Schulbüchern keine eindeutige Antwort finden. Versuchen wir es selbst herauszufinden, ausgehend von den Informationen zu diesem Thema, die noch in Lehrbüchern und Aufgabensammlungen zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen und zur Zulassung zu Universitäten enthalten sind.
Mal sehen, was wir zu dem Thema, das uns in Büchern interessiert, finden können. Hier ein paar Zitate:
Die ersten beiden Beispiele betreffen Auswertungen von Zahlen und numerischen Ausdrücken. Dabei geht es um die Auswertung eines einzelnen Wertes eines Ausdrucks. Bei den übrigen Beispielen handelt es sich um Auswertungen im Zusammenhang mit Ausdrücken mit Variablen. Jeder Wert einer Variablen aus der ODZ für Ausdruck oder aus einer für uns interessanten Menge X (die natürlich eine Teilmenge der Domäne ist). akzeptable Werte) entspricht seinem Ausdruckswert. Das heißt, wenn die ODZ (oder Menge X) nicht aus besteht Singular, dann entspricht ein Ausdruck mit einer Variablen einer Menge von Ausdruckswerten. In diesem Fall müssen wir über die Bewertung nicht nur eines einzelnen Werts sprechen, sondern über die Bewertung aller Werte des Ausdrucks auf der ODZ (oder Menge X). Eine solche Schätzung erfolgt für jeden Wert des Ausdrucks, der einem Wert einer Variablen aus der ODZ (oder Menge X) entspricht.
Während unserer Diskussion machten wir eine kleine Pause von der Suche nach einer Antwort auf die Frage, was es bedeutet, die Bedeutung eines Ausdrucks zu bewerten. Die obigen Beispiele bringen uns in dieser Angelegenheit weiter und ermöglichen uns, die folgenden zwei Definitionen zu akzeptieren:
Definition
Bewerten Sie den Wert eines numerischen Ausdrucks– Dies bedeutet, dass ein numerischer Satz angegeben wird, der den auszuwertenden Wert enthält. In diesem Fall ist der angegebene Zahlensatz eine Schätzung des Werts des Zahlenausdrucks.
Definition
Werten Sie die Werte eines Ausdrucks mit einer Variablen aus auf der ODZ (oder auf der Menge X) – dies bedeutet, dass eine numerische Menge angegeben wird, die alle Werte enthält, die der Ausdruck auf der ODZ (oder auf der Menge X) annimmt. In diesem Fall ist die angegebene Menge eine Schätzung der Werte des Ausdrucks.
Es ist leicht zu erkennen, dass für einen Ausdruck mehr als eine Schätzung angegeben werden kann. Zum Beispiel, numerischer Ausdruck kann geschätzt werden als , oder 
, oder 
, oder , usw. Gleiches gilt für Ausdrücke mit Variablen. Zum Beispiel der Ausdruck 
auf ODZ kann geschätzt werden als 
, oder 
, oder 
, usw. In diesem Zusammenhang lohnt es sich, zu den schriftlichen Definitionen eine Klarstellung bezüglich des angegebenen numerischen Satzes hinzuzufügen, bei dem es sich um eine Bewertung handelt: Die Bewertung sollte nicht irgendeiner Art sein, sondern den Zwecken entsprechen, für die sie bestimmt ist. Zum Beispiel um die Gleichung zu lösen 
geeignete Beurteilung 
. Diese Schätzung ist jedoch nicht mehr zur Lösung der Gleichung geeignet 
, hier sind die Bedeutungen des Ausdrucks 
Sie müssen es anders bewerten, zum Beispiel so: 
.
Es ist erwähnenswert, dass dies gesondert erwähnt wird Eine der Schätzungen der Werte des Ausdrucks f(x) ist der Wertebereich der entsprechenden Funktion y=f(x).
Zum Abschluss dieses Punktes werfen wir noch einen Blick auf das Formular zur Notenerfassung. Typischerweise werden Schätzungen mithilfe von Ungleichungen geschrieben. Das ist Ihnen wahrscheinlich schon aufgefallen.
Auswerten von Ausdruckswerten und Auswerten von Funktionswerten
In Analogie zur Schätzung der Werte eines Ausdrucks können wir über die Schätzung der Werte einer Funktion sprechen. Dies sieht ganz natürlich aus, insbesondere wenn wir durch Formeln definierte Funktionen im Auge behalten, da das Schätzen der Werte des Ausdrucks f(x) und das Schätzen der Werte der Funktion y=f(x) im Wesentlichen dasselbe sind. was offensichtlich ist. Darüber hinaus ist es oft zweckmäßig, den Prozess des Erhaltens von Schätzungen anhand der Schätzung der Funktionswerte zu beschreiben. In bestimmten Fällen erfolgt die Schätzung eines Ausdrucks insbesondere durch Ermitteln des größten und kleinsten Werts der entsprechenden Funktion.
Über die Genauigkeit von Schätzungen
Im ersten Absatz dieses Artikels haben wir gesagt, dass ein Ausdruck mehrere Bewertungen seiner Bedeutung haben kann. Sind einige davon besser als andere? Es kommt auf das zu lösende Problem an. Lassen Sie es uns anhand eines Beispiels erklären.
Mithilfe der in den folgenden Abschnitten beschriebenen Methoden zum Schätzen von Ausdruckswerten können Sie beispielsweise zwei Auswertungen von Ausdruckswerten erhalten 
: der erste ist 
, das zweite ist 
. Der Aufwand zur Erstellung dieser Schätzungen variiert erheblich. Die erste davon ist praktisch offensichtlich, und um die zweite Schätzung zu erhalten, muss man sie finden niedrigster Wert radikaler Ausdruck und weitere Verwendung der Monotonieeigenschaft der Quadratwurzelfunktion. In manchen Fällen kann jede der Schätzungen das Problem lösen. Jede unserer Schätzungen ermöglicht es uns beispielsweise, die Gleichung zu lösen 
. Es ist klar, dass wir uns in diesem Fall darauf beschränken würden, die erste offensichtliche Schätzung zu finden, und uns natürlich nicht die Mühe machen würden, die zweite Schätzung zu finden. In anderen Fällen kann sich jedoch herausstellen, dass eine der Schätzungen nicht zur Lösung des Problems geeignet ist. Zum Beispiel unsere erste Schätzung erlaubt keine Lösung der Gleichung 
, und die Schätzung ermöglicht Ihnen dies. Das heißt, in diesem Fall würde uns die erste offensichtliche Schätzung nicht ausreichen und wir müssten eine zweite Schätzung finden.
Dies bringt uns zur Frage der Genauigkeit von Schätzungen. Es ist möglich, im Detail zu definieren, was unter Schätzgenauigkeit zu verstehen ist. Für unsere Bedürfnisse besteht hierfür jedoch kein besonderer Bedarf, uns genügt eine vereinfachte Vorstellung von der Genauigkeit der Schätzung. Lassen Sie uns zustimmen, die Genauigkeit der Bewertung als eine Art Analogie wahrzunehmen Näherungsgenauigkeit. Das heißt, betrachten wir von zwei Schätzungen der Werte eines Ausdrucks f(x) diejenige, die „näher“ am Wertebereich der Funktion y=f(x) liegt, als genauer. In diesem Sinne ist die Bewertung ist die genaueste aller möglichen Schätzungen der Werte des Ausdrucks , da es mit dem Wertebereich der entsprechenden Funktion übereinstimmt 
. Es ist klar, dass die Bewertung genauere Schätzungen . Mit anderen Worten, die Bewertung gröbere Schätzungen .
Ist es sinnvoll, immer nach den genauesten Schätzungen zu suchen? Nein. Und der Punkt hier ist, dass relativ grobe Schätzungen oft ausreichen, um Probleme zu lösen. Und der Hauptvorteil solcher Schätzungen gegenüber genauen Schätzungen besteht darin, dass sie oft viel einfacher zu erhalten sind.
Grundlegende Methoden zum Erhalten von Schätzungen
Schätzungen der Werte grundlegender Elementarfunktionen
Schätzung der Funktionswerte y=|x|
Zusätzlich zum Hauptteil elementare Funktionen, gut untersucht und nützlich im Hinblick auf die Erlangung von Schätzungen Funktion y=|x|. Wir kennen den Wertebereich dieser Funktion: ; bearbeitet von S. A. Telyakovsky. - 16. Aufl. - M.: Bildung, 2008. - 271 S. : krank. - ISBN 978-5-09-019243-9.
