System der Ungleichheiten.
Beispiel 1. Finden Sie die Domäne eines Ausdrucks
Lösung. Unter dem Schild Quadratwurzel muss sein nicht negative Zahl, was bedeutet, dass zwei Ungleichungen gleichzeitig erfüllt sein müssen: In solchen Fällen reduziert sich das Problem auf die Lösung eines Systems von Ungleichungen

Aber damit mathematisches Modell(System der Ungleichheiten) haben wir noch nicht kennengelernt. Das bedeutet, dass wir die Lösung des Beispiels noch nicht abschließen können.

Die Ungleichungen, die ein System bilden, werden mit einer geschweiften Klammer zusammengefasst (dasselbe gilt auch für Gleichungssysteme). Zum Beispiel aufzeichnen

bedeutet, dass die Ungleichungen 2x - 1 > 3 und 3x - 2 sind< 11 образуют систему неравенств.

Manchmal wird ein Ungleichungssystem in Form einer doppelten Ungleichung geschrieben. Zum Beispiel ein System von Ungleichheiten

kann als doppelte Ungleichung 3 geschrieben werden<2х-1<11.

Im Algebrakurs der 9. Klasse werden wir nur Systeme aus zwei Ungleichungen betrachten.

Betrachten Sie das System der Ungleichungen

Sie können mehrere seiner jeweiligen Lösungen auswählen, zum Beispiel x = 3, x = 4, x = 3,5. Tatsächlich hat für x = 3 die erste Ungleichung die Form 5 > 3 und die zweite die Form 7< 11. Получились два верных числовых неравенства, значит, х = 3 - решение системы неравенств. Точно так же можно убедиться в том, что х = 4, х = 3,5 - решения системы неравенств.

Gleichzeitig ist der Wert x = 5 keine Lösung des Ungleichungssystems. Für x = 5 hat die erste Ungleichung die Form 9 > 3 – wahr numerische Ungleichheit, und die zweite ist Ansicht 13< 11- неверное числовое неравенство .
Ein System von Ungleichungen zu lösen bedeutet, alle seine besonderen Lösungen zu finden. Es ist klar, dass die oben gezeigte Schätzung keine Methode zur Lösung eines Ungleichheitssystems ist. Im folgenden Beispiel zeigen wir, wie Menschen normalerweise denken, wenn sie ein Ungleichheitssystem lösen.

Beispiel 3. Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung.

A) Wenn wir die erste Ungleichung des Systems lösen, finden wir 2x > 4, x > 2; Lösen wir die zweite Ungleichung des Systems, finden wir 3x< 13 Отметим эти промежутки на одной координатной прямой , использовав для выделения первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 22). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. В рассматриваемом примере получаем интервал
B) Wenn wir die erste Ungleichung des Systems lösen, finden wir x > 2; Wir finden, dass wir die zweite Ungleichung des Systems lösen Markieren wir diese Intervalle auf einer Koordinatenlinie, wobei wir für das erste Intervall eine obere Schraffur und für das zweite eine untere Schraffur verwenden (Abb. 23). Die Lösung des Systems der Ungleichungen wird der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems sein, d. h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. Im betrachteten Beispiel erhalten wir einen Balken

V) Wenn wir die erste Ungleichung des Systems lösen, finden wir x< 2; решая второе неравенство системы, находим Отметим эти промежутки на одной координатной прямой, использовав для первого промежутка верхнюю штриховку, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 24). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали. Здесь такого промежутка нет, значит, система неравенств не имеет решений.

Lassen Sie uns die im betrachteten Beispiel durchgeführten Überlegungen verallgemeinern. Angenommen, wir müssen das System der Ungleichungen lösen

Sei beispielsweise das Intervall (a, b) eine Lösung der Ungleichung fx 2 > g(x) und das Intervall (c, d) eine Lösung der Ungleichung f 2 (x) > s 2 (x ). Markieren wir diese Intervalle auf einer Koordinatenlinie, wobei wir für das erste Intervall eine obere Schraffur und für das zweite eine untere Schraffur verwenden (Abb. 25). Die Lösung eines Systems von Ungleichungen ist der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems, d. h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. In Abb. 25 ist das Intervall (c, b).

Jetzt können wir das Ungleichungssystem, das wir oben in Beispiel 1 erhalten haben, leicht lösen:

Wenn wir die erste Ungleichung des Systems lösen, finden wir x > 2; Wenn wir die zweite Ungleichung des Systems lösen, finden wir x< 8. Отметим эти промежутки (лучи) на одной координатной прямой, использовав для первого -верхнюю, а для второго - нижнюю штриховку (рис. 26). Решением системы неравенств будет пересечение решений неравенств системы, т.е. промежуток, на котором обе штриховки совпали, - отрезок . Это - область определения того выражения, о котором шла речь в примере 1.

Natürlich muss das System der Ungleichheiten nicht bestehen Lineare Ungleichungen, wie es bisher war; Es können beliebige rationale (und nicht nur rationale) Ungleichheiten auftreten. Technisch gesehen ist die Arbeit mit einem System rationaler nichtlinearer Ungleichungen natürlich komplizierter, aber es gibt hier nichts grundlegend Neues (im Vergleich zu Systemen linearer Ungleichungen).

Beispiel 4. Lösen Sie das System der Ungleichungen

Lösung.

1) Lösen Sie die Ungleichung, die wir haben
Markieren wir die Punkte -3 und 3 auf dem Zahlenstrahl (Abb. 27). Sie unterteilen die Gerade in drei Intervalle, und in jedem Intervall behält der Ausdruck p(x) = (x- 3)(x + 3) ein konstantes Vorzeichen – diese Vorzeichen sind in Abb. 27. Uns interessieren die Intervalle, in denen die Ungleichung p(x) > 0 gilt (sie sind in Abb. 27 schattiert), und die Punkte, in denen die Gleichheit p(x) = 0 gilt, d. h. Punkte x = -3, x = 3 (sie sind in Abb. 2 7 mit dunklen Kreisen markiert). So ist in Abb. Abbildung 27 zeigt ein geometrisches Modell zur Lösung der ersten Ungleichung.

2) Lösen Sie die Ungleichung, die wir haben
Markieren wir die Punkte 0 und 5 auf dem Zahlenstrahl (Abb. 28). Sie unterteilen die Linie in drei Intervalle und in jedem Intervall den Ausdruck<7(х) = х(5 - х) сохраняет постоянный знак - эти знаки указаны на рис. 28. Нас интересуют промежутки, на которых выполняется неравенство g(х) >O (schattiert in Abb. 28) und die Punkte, an denen die Gleichheit g (x) - O erfüllt ist, d.h. Punkte x = 0, x = 5 (sie sind in Abb. 28 mit dunklen Kreisen markiert). So ist in Abb. Abbildung 28 zeigt ein geometrisches Modell zur Lösung der zweiten Ungleichung des Systems.

3) Markieren wir die gefundenen Lösungen für die erste und zweite Ungleichung des Systems auf derselben Koordinatenlinie, wobei wir die obere Schraffur für Lösungen der ersten Ungleichung und die untere Schraffur für Lösungen der zweiten verwenden (Abb. 29). Die Lösung des Systems der Ungleichungen wird der Schnittpunkt der Lösungen der Ungleichungen des Systems sein, d. h. das Intervall, in dem beide Schraffuren zusammenfallen. Ein solches Intervall ist ein Segment.

Beispiel 5. Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Lösung:

A) Aus der ersten Ungleichung finden wir x >2. Betrachten wir die zweite Ungleichung. Quadratisches Trinom x 2 + x + 2 hat nicht echte Wurzeln und sein führender Koeffizient (Koeffizient bei x 2) ist positiv. Das bedeutet, dass für alle x die Ungleichung x 2 + x + 2>0 gilt und daher die zweite Ungleichung des Systems keine Lösungen hat. Was bedeutet das für das System der Ungleichheiten? Das bedeutet, dass das System keine Lösungen hat.

B) Aus der ersten Ungleichung finden wir x > 2 und die zweite Ungleichung ist für alle Werte von x erfüllt. Was bedeutet das für das System der Ungleichheiten? Das bedeutet, dass seine Lösung die Form x>2 hat, d. h. stimmt mit der Lösung der ersten Ungleichung überein.

Antwort:

a) keine Lösungen; B) x >2.

Dieses Beispiel ist eine Veranschaulichung des folgenden Nützlichen

1. Wenn in einem System mehrerer Ungleichungen mit einer Variablen eine Ungleichung keine Lösungen hat, dann hat das System keine Lösungen.

2. Wenn in einem System aus zwei Ungleichungen mit einer Variablen eine Ungleichung für beliebige Werte der Variablen erfüllt ist, dann ist die Lösung des Systems die Lösung der zweiten Ungleichung des Systems.

Zum Abschluss dieses Abschnitts kehren wir zum eingangs angegebenen Problem mit der beabsichtigten Zahl zurück und lösen es, wie man sagt, nach allen Regeln.

Beispiel 2(siehe S. 29). Beabsichtigt natürliche Zahl. Es ist bekannt, dass die Summe größer ist als das Produkt aus der beabsichtigten Zahl und der Zahl 14, wenn Sie zum Quadrat der beabsichtigten Zahl 13 addieren. Wenn Sie zum Quadrat der beabsichtigten Zahl 45 addieren, ist die Summe größer Sei weniger Produkt die geplante Nummer und die Nummer 18. Welche Nummer ist geplant?

Lösung.

Erste Stufe. Erstellen eines mathematischen Modells.
Die beabsichtigte Zahl x muss, wie wir oben gesehen haben, das Ungleichungssystem erfüllen

Zweite Phase. Arbeiten wir mit dem kompilierten mathematischen Modell. Lassen Sie uns die erste Ungleichung des Systems in die Form umwandeln
x2- 14x+ 13 > 0.

Finden wir die Wurzeln des Trinoms x 2 - 14x + 13: x 2 = 1, x 2 = 13. Mit der Parabel y = x 2 - 14x + 13 (Abb. 30) schließen wir, dass die Ungleichung, an der wir interessiert sind, ist zufrieden bei x< 1 или x > 13.

Lassen Sie uns die zweite Ungleichung des Systems in die Form x2 - 18 2 + 45 umwandeln< 0. Найдем корни трехчлена х 2 - 18x + 45: = 3, х 2 = 15.

Zum Beispiel:

\(\begin(cases)5x+2≥0\\x<2x+1\\x-4>2\end(cases)\)

\(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

\(\begin(cases)(x^2+1)(x^2+3)(x^2-1)≥0\\x<3\end{cases}\)

Lösung des Ungleichheitssystems

Zu Lösen Sie das System der Ungleichungen Sie müssen die Werte von x finden, die zu allen Ungleichungen im System passen – das bedeutet, dass sie gleichzeitig ausgeführt werden.

Beispiel. Lösen wir das System \(\begin(cases)x>4\\x\leq7\end(cases)\)
Lösung: Die erste Ungleichung wird wahr, wenn x größer als \(4\) ist. Das heißt, die Lösungen der ersten Ungleichung sind alle x-Werte aus \((4;\infty)\) oder auf der Zahlenachse:

Die zweite Ungleichung eignet sich für x-Werte kleiner als 7, also jedes x aus dem Intervall \((-\infty;7]\) oder auf der Zahlenachse:

Welche Werte sind für beide Ungleichungen angemessen? Diejenigen, die zu beiden Lücken gehören, also dort, wo sich die Lücken schneiden.

Antwort: \((4;7]\)

Wie Sie vielleicht bemerkt haben, ist es praktisch, Zahlenachsen zu verwenden, um Lösungen für Ungleichungen in einem System zu schneiden.

Allgemeines Prinzip zur Lösung von Ungleichungssystemen: Sie müssen für jede Ungleichung eine Lösung finden und diese Lösungen dann mithilfe einer Zahlengeraden schneiden.

Beispiel:(Aufgabe der OGE) Lösen Sie das System \(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)

Lösung:

\(\begin(cases) 7(3x+2)-3(7x+2)>2x\\(x-5)(x+8)<0\end{cases}\)	Lassen Sie uns jede Ungleichung getrennt voneinander lösen.
	Lassen Sie uns die resultierende Ungleichung umkehren.
	Teilen wir die gesamte Ungleichung durch \(2\).
	Schreiben wir die Antwort für die erste Ungleichung auf.
\(x∈(-∞;4)\)	Lösen wir nun die zweite Ungleichung.
2) \((x-5)(x+8)<0\)	Ungleichheit liegt bereits in einer idealen Anwendungsform vor.
	Schreiben wir die Antwort für die zweite Ungleichung auf.
	Kombinieren wir beide Lösungen mithilfe der Zahlenachsen.
	Schreiben wir als Antwort das Intervall auf, in dem es eine Lösung für beide Ungleichungen gibt – die erste und die zweite.

Antwort: \((-8;4)\)

Beispiel:(Aufgabe der OGE) Lösen Sie das System \(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(cases)\)

Lösung:

\(\begin(cases) \frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)≥0\\ 2-7x≤14-3x \end(cases)\)	Auch hier werden wir die Ungleichungen separat lösen.
1)\(\frac(10-2x)(3+(5-2x)^2)\) \(≥0\)	Wenn Ihnen der Nenner Angst gemacht hat, haben Sie keine Angst, wir entfernen ihn jetzt. Tatsache ist, dass \(3+(5-2x)^2\) immer ein positiver Ausdruck ist. Urteilen Sie selbst: \((5-2x)^2 \)aufgrund des Quadrats ist es entweder positiv oder gleich Null. \((5-2x)^2+3\) – genau positiv. Das bedeutet, dass wir die Ungleichung sicher mit \(3+(5-2x)^2\) multiplizieren können.
	Vor uns liegt das Übliche – drücken wir \(x\) aus. Verschieben Sie dazu \(10\) auf die rechte Seite.
	Teilen wir die Ungleichung durch \(-2\). Da die Zahl negativ ist, ändern wir das Ungleichheitszeichen.
	Markieren wir die Lösung auf dem Zahlenstrahl.
	Schreiben wir die Antwort auf die erste Ungleichung auf.
\(x∈(-∞;5]\)	In diesem Stadium darf man vor allem nicht vergessen, dass es eine zweite Ungleichheit gibt.
2) \(2-7x≤14-3x\)	Wieder eine lineare Ungleichung – wieder drücken wir \(x\) aus.
\(-7x+3x≤14-2\)	Wir präsentieren ähnliche Begriffe.
	Wir teilen die gesamte Ungleichung durch \(-4\) und kehren dabei das Vorzeichen um.
	Tragen wir die Lösung auf dem Zahlenstrahl ein und schreiben wir die Antwort für diese Ungleichung auf.
\(x∈[-3;∞)\)	Nun kombinieren wir die Lösungen.
	Schreiben wir die Antwort auf.

Antwort: \([-3;5]\)

Beispiel: Lösen Sie das System \(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

Lösung:

\(\begin(cases)x^2-55x+250<(x-14)^2\\x^2-55x+250≥0\\x-14>0\end(cases)\)

Lösen einer Ungleichung in zwei Variablen, und noch mehr Ungleichungssysteme mit zwei Variablen, scheint eine ziemlich schwierige Aufgabe zu sein. Es gibt jedoch einen einfachen Algorithmus, der dabei hilft, scheinbar sehr komplexe Probleme dieser Art einfach und ohne großen Aufwand zu lösen. Versuchen wir es herauszufinden.

Stellen wir uns eine Ungleichung mit zwei Variablen eines der folgenden Typen vor:

y > f(x); y ≥ f(x); j< f(x); y ≤ f(x).

Darstellung der Lösungsmenge für eine solche Ungleichung Koordinatenebene gehen Sie wie folgt vor:

1. Wir erstellen einen Graphen der Funktion y = f(x), der die Ebene in zwei Bereiche unterteilt.

2. Wir wählen einen der resultierenden Bereiche aus und betrachten einen beliebigen Punkt darin. Wir prüfen für diesen Punkt die Machbarkeit der ursprünglichen Ungleichung. Wenn der Test eine korrekte numerische Ungleichung ergibt, schließen wir daraus, dass die ursprüngliche Ungleichung in der gesamten Region erfüllt ist, zu der der ausgewählte Punkt gehört. Somit ist die Lösungsmenge der Ungleichung der Bereich, zu dem der ausgewählte Punkt gehört. Wenn das Ergebnis der Prüfung eine falsche numerische Ungleichung ist, dann ist die Lösungsmenge der Ungleichung der zweite Bereich, zu dem der ausgewählte Punkt nicht gehört.

3. Wenn die Ungleichung strikt ist, werden die Grenzen der Region, also die Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), nicht in die Lösungsmenge einbezogen und die Grenze wird durch eine gepunktete Linie dargestellt. Wenn die Ungleichung nicht streng ist, werden die Grenzen der Region, also die Punkte des Graphen der Funktion y = f(x), in die Lösungsmenge dieser Ungleichung einbezogen und die Grenze in diesem Fall dargestellt als durchgezogene Linie.
Schauen wir uns nun einige Probleme zu diesem Thema an.

Aufgabe 1.

Welche Punktmenge ist durch die Ungleichung x gegeben? · y ≤ 4?

Lösung.

1) Wir erstellen einen Graphen der Gleichung x · y = 4. Dazu transformieren wir ihn zunächst. Offensichtlich wird x in diesem Fall nicht zu 0, da sonst 0 · y = 4 wäre, was falsch ist. Das bedeutet, dass wir unsere Gleichung durch x dividieren können. Wir erhalten: y = 4/x. Der Graph dieser Funktion ist eine Hyperbel. Es teilt die gesamte Ebene in zwei Bereiche: den zwischen den beiden Ästen der Hyperbel und den außerhalb davon.

2) Wählen wir einen beliebigen Punkt aus der ersten Region aus, sei es Punkt (4; 2).
Überprüfen wir die Ungleichung: 4 · 2 ≤ 4 – falsch.

Dies bedeutet, dass die Punkte dieser Region die ursprüngliche Ungleichung nicht erfüllen. Dann können wir daraus schließen, dass die Lösungsmenge der Ungleichung der zweite Bereich sein wird, zu dem der ausgewählte Punkt nicht gehört.

3) Da die Ungleichung nicht streng ist, zeichnen wir die Randpunkte, also die Punkte des Graphen der Funktion y = 4/x, mit einer durchgezogenen Linie.

Malen wir die Punktmenge, die die ursprüngliche Ungleichung definiert, in Gelb (Abb. 1).

Aufgabe 2.

Zeichnen Sie den vom System definierten Bereich auf der Koordinatenebene
( y > x 2 + 2;
(y + x > 1;
( x 2 + y 2 ≤ 9.

Lösung.

Zunächst erstellen wir Diagramme der folgenden Funktionen (Abb. 2):

y = x 2 + 2 – Parabel,

y + x = 1 – Gerade

x 2 + y 2 = 9 – Kreis.

1) y > x 2 + 2.

Wir nehmen den Punkt (0; 5), der über dem Graphen der Funktion liegt.
Überprüfen wir die Ungleichung: 5 > 0 2 + 2 – wahr.

Folglich erfüllen alle Punkte, die über der gegebenen Parabel y = x 2 + 2 liegen, die erste Ungleichung des Systems. Lasst uns sie gelb anmalen.

2) y + x > 1.

Wir nehmen den Punkt (0; 3), der über dem Graphen der Funktion liegt.
Überprüfen wir die Ungleichung: 3 + 0 > 1 – wahr.

Folglich erfüllen alle Punkte, die über der Geraden y + x = 1 liegen, die zweite Ungleichung des Systems. Lassen Sie uns sie mit grünen Schattierungen bemalen.

3) x 2 + y 2 ≤ 9.

Nehmen Sie den Punkt (0; -4), der außerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 9 liegt.
Überprüfen wir die Ungleichung: 0 2 + (-4) 2 ≤ 9 – falsch.

Daher sind alle Punkte, die außerhalb des Kreises liegen x 2 + y 2 = 9, erfüllen nicht die dritte Ungleichung des Systems. Dann können wir schließen, dass alle Punkte, die innerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 9 liegen, die dritte Ungleichung des Systems erfüllen. Lassen Sie uns sie mit violetten Schattierungen bemalen.

Vergessen Sie nicht, dass bei strenger Ungleichung die entsprechende Grenzlinie mit einer gepunkteten Linie gezeichnet werden sollte. Wir erhalten das folgende Bild (Abb. 3).

(Abb. 4).

Aufgabe 3.

Zeichnen Sie den vom System auf der Koordinatenebene definierten Bereich:
(x 2 + y 2 ≤ 16;
(x ≥ -y;
(x 2 + y 2 ≥ 4.

Lösung.

Zunächst erstellen wir Diagramme der folgenden Funktionen:

x 2 + y 2 = 16 – Kreis,

x = -y – gerade Linie

x 2 + y 2 = 4 – Kreis (Abb. 5).

Schauen wir uns nun jede Ungleichung einzeln an.

1) x 2 + y 2 ≤ 16.

Nehmen Sie den Punkt (0; 0), der innerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 16 liegt.
Überprüfen wir die Ungleichung: 0 2 + (0) 2 ≤ 16 – wahr.

Daher erfüllen alle Punkte, die innerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 16 liegen, die erste Ungleichung des Systems.
Lassen Sie uns sie mit roten Schattierungen bemalen.

Wir nehmen Punkt (1; 1), der über dem Graphen der Funktion liegt.
Überprüfen wir die Ungleichung: 1 ≥ -1 – wahr.

Folglich erfüllen alle Punkte, die über der Linie x = -y liegen, die zweite Ungleichung des Systems. Lassen Sie uns sie mit einer blauen Schattierung bemalen.

3) x 2 + y 2 ≥ 4.

Nehmen Sie den Punkt (0; 5), der außerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 4 liegt.
Überprüfen wir die Ungleichung: 0 2 + 5 2 ≥ 4 – wahr.

Folglich erfüllen alle Punkte, die außerhalb des Kreises x 2 + y 2 = 4 liegen, die dritte Ungleichung des Systems. Lasst uns sie blau anmalen.

Bei diesem Problem sind nicht alle Ungleichungen streng, was bedeutet, dass wir alle Grenzen mit einer durchgezogenen Linie zeichnen. Wir erhalten das folgende Bild (Abb. 6).

Der Suchbereich ist der Bereich, in dem sich alle drei farbigen Bereiche überschneiden (Abbildung 7).

Sie haben noch Fragen? Sie wissen nicht, wie Sie ein Ungleichungssystem mit zwei Variablen lösen können?
Um Hilfe von einem Tutor zu erhalten, registrieren Sie sich.
Die erste Lektion ist kostenlos!

Wenn Sie Material ganz oder teilweise kopieren, ist ein Link zur Quelle erforderlich.

In dieser Lektion beginnen wir mit der Untersuchung von Ungleichheitssystemen. Zunächst betrachten wir Systeme linearer Ungleichungen. Zu Beginn der Lektion werden wir darüber nachdenken, wo und warum Ungleichheitssysteme entstehen. Als nächstes werden wir untersuchen, was es bedeutet, ein System zu lösen, und uns an die Vereinigung und den Durchschnitt von Mengen erinnern. Am Ende werden wir konkrete Beispiele für Systeme linearer Ungleichungen lösen.

Thema: DiätAlle Ungleichheiten und ihre Systeme

Lektion:HauptsächlichKonzepte, Lösung von Systemen linearer Ungleichungen

Bisher haben wir einzelne Ungleichungen gelöst und die Intervallmethode darauf angewendet, diese könnten sein Lineare Ungleichungen, sowohl quadratisch als auch rational. Kommen wir nun zunächst zur Lösung von Ungleichheitssystemen lineare Systeme. Schauen wir uns ein Beispiel an, woher die Notwendigkeit kommt, Ungleichheitssysteme zu berücksichtigen.

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Finden Sie den Definitionsbereich einer Funktion

Eine Funktion existiert, wenn beide Quadratwurzeln existieren, d. h.

Wie löst man ein solches System? Es müssen alle x gefunden werden, die sowohl die erste als auch die zweite Ungleichung erfüllen.

Lassen Sie uns auf der Ochsenachse die Menge der Lösungen für die erste und zweite Ungleichung darstellen.

Das Schnittintervall zweier Strahlen ist unsere Lösung.

Diese Methode zur Darstellung der Lösung eines Ungleichungssystems wird manchmal als Dachmethode bezeichnet.

Die Lösung des Systems ist der Durchschnitt zweier Mengen.

Lassen Sie uns dies grafisch darstellen. Wir haben eine Menge A beliebiger Natur und eine Menge B beliebiger Natur, die sich schneiden.

Definition: Der Schnittpunkt zweier Mengen A und B ist die dritte Menge, die aus allen Elementen besteht, die sowohl in A als auch in B enthalten sind.

Schauen wir uns an konkrete Beispiele Lösungen für lineare Ungleichungssysteme, wie man Schnittpunkte von Lösungsmengen für einzelne im System enthaltene Ungleichungen findet.

Lösen Sie das Ungleichungssystem:

Antwort: (7; 10].

4. Lösen Sie das System

Woher kann die zweite Ungleichheit des Systems kommen? Zum Beispiel aus der Ungleichheit

Lassen Sie uns die Lösungen für jede Ungleichung grafisch bezeichnen und das Intervall ihres Schnittpunkts ermitteln.

Wenn wir also ein System haben, in dem eine der Ungleichungen einen beliebigen Wert von x erfüllt, kann sie eliminiert werden.

Antwort: Das System ist widersprüchlich.

Wir haben uns das Typische angeschaut unterstützende Aufgaben, auf die die Lösung jedes linearen Ungleichungssystems reduziert wird.

Betrachten Sie das folgende System.

7.

Manchmal ist ein lineares System durch eine doppelte Ungleichung gegeben; betrachten Sie diesen Fall.

8.

Wir haben uns Systeme linearer Ungleichungen angesehen, verstanden, woher sie kommen, haben uns Standardsysteme angesehen, zu denen alle gehören lineare Systeme, und einige davon gelöst.

1. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Lehrbuch. Für die Allgemeinbildung Institutionen. – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-192 S.: Abb.

2. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Aufgabenbuch für Schüler Bildungsinstitutionen/ A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina und andere – 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb.

3. Makarychev Yu. N. Algebra. 9. Klasse: pädagogisch. für Studierende der Allgemeinbildung. Institutionen / Yu. N. Makarychev, N. G. Mindyuk, K. I. Neshkov, I. E. Feoktistov. – 7. Aufl., rev. und zusätzlich - M.: Mnemosyne, 2008.

4. Alimov Sh.A., Kolyagin Yu.M., Sidorov Yu.V. Algebra. 9.Klasse. 16. Aufl. - M., 2011. - 287 S.

5. Mordkovich A. G. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 1. Lehrbuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, P. V. Semenov. – 12. Aufl., gelöscht. - M.: 2010. - 224 S.: Abb.

6. Algebra. 9.Klasse. In 2 Teilen. Teil 2. Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, L. A. Aleksandrova, T. N. Mishustina und andere; Ed. A. G. Mordkovich. – 12. Auflage, rev. - M.: 2010.-223 S.: Abb.

1. Portal Naturwissenschaften ().

2. Elektronisch Trainings- und Methodikkomplex zur Vorbereitung auf die Klassen 10-11 Aufnahmeprüfungen in Informatik, Mathematik, Russisch ().

4. Bildungszentrum „Teaching Technology“ ().

5. College.ru-Abschnitt über Mathematik ().

1. Mordkovich A.G. und andere. Algebra 9. Klasse: Problembuch für Studierende allgemeinbildender Einrichtungen / A. G. Mordkovich, T. N. Mishustina usw. - 4. Aufl. - M.: Mnemosyne, 2002.-143 S.: Abb. Nr. 53; 54; 56; 57.

Lektion und Präsentation zum Thema: „Systeme der Ungleichungen. Lösungsbeispiele“

Zusätzliche Materialien
Liebe Benutzer, vergessen Sie nicht, Ihre Kommentare, Bewertungen und Wünsche zu hinterlassen! Alle Materialien wurden von einem Antivirenprogramm überprüft.

Lernhilfen und Simulatoren im Integral Online-Shop für die 9. Klasse
Interaktives Lehrbuch für die 9. Klasse „Regeln und Übungen zur Geometrie“
Elektronisches Lehrbuch „Verständliche Geometrie“ für die Klassen 7-9

System der Ungleichheiten

Leute, habt ihr linear studiert und? quadratische Ungleichungen, lernte, Probleme zu diesen Themen zu lösen. Kommen wir nun zu einem neuen Konzept in der Mathematik – einem System von Ungleichungen. Ein Ungleichungssystem ähnelt einem Gleichungssystem. Erinnern Sie sich an Gleichungssysteme? Sie haben in der siebten Klasse Gleichungssysteme studiert. Versuchen Sie sich zu erinnern, wie Sie sie gelöst haben.

Lassen Sie uns die Definition eines Systems von Ungleichungen einführen.
Mehrere Ungleichungen mit einer Variablen x bilden ein Ungleichungssystem, wenn Sie alle Werte von x finden müssen, für die jede der Ungleichungen einen wahren Wert bildet numerischer Ausdruck.

Jeder Wert von x, für den jede Ungleichung den korrekten numerischen Ausdruck annimmt, ist eine Lösung der Ungleichung. Kann auch als private Lösung bezeichnet werden.
Was ist eine private Lösung? In der Antwort erhielten wir beispielsweise den Ausdruck x>7. Dann ist x=8 oder x=123 oder jede andere Zahl größer als sieben eine bestimmte Lösung, und der Ausdruck x>7 ist eine allgemeine Lösung. Die allgemeine Lösung wird durch viele private Lösungen gebildet.

Wie haben wir das Gleichungssystem kombiniert? Das ist richtig, eine geschweifte Klammer, und so machen sie dasselbe mit Ungleichungen. Schauen wir uns ein Beispiel für ein Ungleichungssystem an: $\begin(cases)x+7>5\\x-3
Wenn das Ungleichungssystem aus identischen Ausdrücken besteht, zum Beispiel $\begin(cases)x+7>5\\x+7
Was bedeutet es also: eine Lösung für ein System von Ungleichheiten zu finden?
Eine Lösung einer Ungleichung ist eine Menge von Teillösungen einer Ungleichung, die beide Ungleichungen des Systems gleichzeitig erfüllen.

Wir schreiben die allgemeine Form des Ungleichungssystems als $\begin(cases)f(x)>0\\g(x)>0\end(cases)$

Bezeichnen wir $Х_1$ als allgemeine Lösung der Ungleichung f(x)>0.
$X_2$ ist die allgemeine Lösung der Ungleichung g(x)>0.
$X_1$ und $X_2$ sind eine Reihe besonderer Lösungen.
Die Lösung des Ungleichungssystems sind Zahlen, die sowohl zu $X_1$ als auch zu $X_2$ gehören.
Erinnern wir uns an Operationen auf Mengen. Wie finden wir Elemente einer Menge, die zu beiden Mengen gleichzeitig gehören? Das ist richtig, dafür gibt es eine Schnittoperation. Die Lösung unserer Ungleichung ist also die Menge $A= X_1∩ X_2$.

Beispiele für Lösungen für Ungleichheitssysteme

Schauen wir uns Beispiele für die Lösung von Ungleichungssystemen an.

Lösen Sie das System der Ungleichungen.
a) $\begin(cases)3x-1>2\\5x-10 b) $\begin(cases)2x-4≤6\\-x-4
Lösung.
a) Lösen Sie jede Ungleichung einzeln.
$3x-1>2; \; 3x>3; \; x>1$.
$5x-10
Markieren wir unsere Intervalle auf einer Koordinatenlinie.

Die Lösung des Systems wird das Schnittsegment unserer Intervalle sein. Ist die Ungleichung streng, dann ist das Segment offen.
Antwort: (1;3).

B) Wir werden auch jede Ungleichung einzeln lösen.
$2x-4≤6; 2x≤ 10; x ≤ $5.
$-x-4 -5$.


Die Lösung des Systems wird das Schnittsegment unserer Intervalle sein. Die zweite Ungleichung ist streng, dann ist das Segment links offen.
Antwort: (-5; 5].

Fassen wir zusammen, was wir gelernt haben.
Nehmen wir an, es ist notwendig, das Ungleichungssystem zu lösen: $\begin(cases)f_1 (x)>f_2 (x)\\g_1 (x)>g_2 (x)\end(cases)$.
Dann ist das Intervall ($x_1; x_2$) die Lösung der ersten Ungleichung.
Intervall ($y_1; y_2$) ist die Lösung der zweiten Ungleichung.
Die Lösung eines Systems von Ungleichungen ist der Schnittpunkt der Lösungen jeder Ungleichung.

Ungleichungssysteme können nicht nur aus Ungleichungen erster Ordnung, sondern auch aus beliebigen anderen Arten von Ungleichungen bestehen.

Wichtige Regeln zur Lösung von Ungleichungssystemen.
Wenn eine der Ungleichungen des Systems keine Lösungen hat, dann hat das gesamte System keine Lösungen.
Wenn eine der Ungleichungen für beliebige Werte der Variablen erfüllt ist, dann ist die Lösung des Systems die Lösung der anderen Ungleichung.

Beispiele.
Lösen Sie das Ungleichungssystem:$\begin(cases)x^2-16>0\\x^2-8x+12≤0 \end(cases)$
Lösung.
Lassen Sie uns jede Ungleichung einzeln lösen.
$x^2-16>0$.
$(x-4)(x+4)>0$.

Lösen wir die zweite Ungleichung.
$x^2-8x+12≤0$.
$(x-6)(x-2)≤0$.

Die Lösung der Ungleichung ist das Intervall.
Zeichnen wir beide Intervalle auf derselben Linie und suchen wir den Schnittpunkt.
Der Schnittpunkt der Intervalle ist das Segment (4; 6).
Antwort: (4;6].

Lösen Sie das System der Ungleichungen.
a) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4 b) $\begin(cases)3x+3>6\\2x^2+4x+4>0\end(cases )$.

Lösung.
a) Die erste Ungleichung hat eine Lösung x>1.
Finden wir die Diskriminante für die zweite Ungleichung.
$D=16-4 * 2 * 4=-16$. $D Erinnern wir uns an die Regel: Wenn eine der Ungleichungen keine Lösungen hat, dann hat das gesamte System keine Lösungen.
Antwort: Es gibt keine Lösungen.

B) Die erste Ungleichung hat eine Lösung x>1.
Die zweite Ungleichung ist für alle x größer als Null. Dann stimmt die Lösung des Systems mit der Lösung der ersten Ungleichung überein.
Antwort: x>1.

Probleme auf Ungleichungssystemen zur unabhängigen Lösung

Ungleichungssysteme lösen:
a) $\begin(cases)4x-5>11\\2x-12 b) $\begin(cases)-3x+1>5\\3x-11 c) $\begin(cases)x^2-25 d) $\begin(cases)x^2-16x+55>0\\x^2-17x+60≥0 \end(cases)$
e) $\begin(cases)x^2+36