Sünde funktioniert Auf , cos, tg und ctg folgen immer Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens. Das eine folgt aus dem anderen, und Funktionspaare sind ebenso wichtig für die Arbeit mit trigonometrischen Ausdrücken.

Betrachten Sie die Figur Einheitskreis, das die Werte grafisch darstellt trigonometrische Funktionen.

Wenn Sie die Bögen OA, arcos OC, arctg DE und arcctg MK berechnen, sind sie alle gleich dem Wert des Winkels α. Die folgenden Formeln spiegeln die Beziehung zwischen den wichtigsten trigonometrischen Funktionen und ihren entsprechenden Bögen wider.

Um mehr über die Eigenschaften des Arkussinus zu verstehen, ist es notwendig, seine Funktion zu betrachten. Zeitplan hat die Form einer asymmetrischen Kurve, die durch den Koordinatenmittelpunkt verläuft.

Arcussinus-Eigenschaften:

Wenn wir Diagramme vergleichen Sünde und Bogensünde, können zwei trigonometrische Funktionen gemeinsame Muster finden.

Arkuskosinus

Arccos der Zahl a ist der Wert des Winkels α, dessen Kosinus gleich a ist.

Kurve y = Bogen x Spiegel Arcsin-Graph x, mit dem einzigen Unterschied, dass sie durch den Punkt π/2 auf der OY-Achse verläuft.

Betrachten Sie die Arkuskosinusfunktion genauer:

1. Die Funktion wird auf dem Segment [-1; 1].
2. ODZ für arccos - .
3. Der Graph befindet sich vollständig in den Vierteln I und II, und die Funktion selbst ist weder gerade noch ungerade.
4. Y = 0 für x = 1.
5. Die Kurve nimmt über ihre gesamte Länge ab. Einige Eigenschaften des Arkuskosinus sind die gleichen wie bei der Kosinusfunktion.

Einige Eigenschaften des Arkuskosinus sind die gleichen wie bei der Kosinusfunktion.

Es ist möglich, dass ein solches „detailliertes“ Studium der „Bögen“ Schulkindern überflüssig erscheint. Ansonsten aber irgendein elementarer Typ USE-Zuweisungen kann Schüler verwirren.

Übung 1. Geben Sie die in der Abbildung gezeigten Funktionen an.

Antworten: Reis. Abb. 1 - 4, Abb. 2 - 1.

In diesem Beispiel liegt die Betonung auf den kleinen Dingen. Normalerweise sind die Schüler sehr unaufmerksam gegenüber der Konstruktion von Graphen und dem Auftreten von Funktionen. In der Tat, warum sich die Form der Kurve merken, wenn sie immer aus berechneten Punkten aufgebaut werden kann. Vergessen Sie nicht, dass unter Testbedingungen die Zeit, die zum Zeichnen einer einfachen Aufgabe aufgewendet wird, zum Lösen komplexerer Aufgaben benötigt wird.

Arkustangens

Arctg die Zahl a ist ein solcher Wert des Winkels α, dass seine Tangente gleich a ist.

Betrachten wir den Plot des Arkustangens, so können wir folgende Eigenschaften unterscheiden:

1. Der Graph ist unendlich und auf dem Intervall (- ∞; + ∞) definiert.
2. Arkustangens komische Funktion, also arctan (- x) = - arctan x.
3. Y = 0 für x = 0.
4. Die Kurve steigt über den gesamten Definitionsbereich an.

Hier ist eine kurze vergleichende Analyse tg x und arctg x als Tabelle.

Bogentangente

Arcctg der Zahl a - nimmt einen solchen Wert von α aus dem Intervall (0; π), dass sein Kotangens gleich a ist.

Eigenschaften der Arcus-Cotangens-Funktion:

1. Das Funktionsdefinitionsintervall ist unendlich.
2. Region zulässige Werte ist das Intervall (0; π).
3. F(x) ist weder gerade noch ungerade.
4. Über seine gesamte Länge nimmt der Graph der Funktion ab.

Der Vergleich von ctg x und arctg x ist sehr einfach, Sie müssen nur zwei Zeichnungen zeichnen und das Verhalten der Kurven beschreiben.

Aufgabe 2. Korrelieren Sie den Graphen und die Form der Funktion.

Logischerweise zeigen die Grafiken, dass beide Funktionen zunehmen. Daher zeigen beide Figuren eine arctg-Funktion. Aus den Eigenschaften des Arcustangens ist bekannt, dass y=0 für x = 0,

Antworten: Reis. 1 - 1, Abb. 2-4.

Trigonometrische Identitäten arcsin, arcos, arctg und arcctg

Zuvor haben wir bereits die Beziehung zwischen Bögen und den Hauptfunktionen der Trigonometrie identifiziert. Diese Abhängigkeit kann durch eine Reihe von Formeln ausgedrückt werden, die es ermöglichen, beispielsweise den Sinus eines Arguments durch seinen Arcussinus, Arkuskosinus oder umgekehrt auszudrücken. Die Kenntnis solcher Identitäten kann beim Lösen spezifischer Beispiele nützlich sein.

Es gibt auch Verhältnisse für arctg und arcctg:

Ein weiteres nützliches Formelpaar legt den Wert für die Summe der arcsin- und arcos- und arcctg- und arcctg-Werte desselben Winkels fest.

Beispiele für Problemlösungen

Trigonometrie-Aufgaben lassen sich in vier Gruppen einteilen: Berechnen numerischer Wert einen bestimmten Ausdruck, erstellen Sie einen Graphen dieser Funktion, finden Sie ihren Definitionsbereich oder ODZ und führen Sie analytische Transformationen durch, um das Beispiel zu lösen.

Bei der Lösung der ersten Art von Aufgaben muss der folgende Aktionsplan eingehalten werden:

Bei der Arbeit mit Funktionsgraphen geht es vor allem um die Kenntnis ihrer Eigenschaften und das Auftreten krumm. Für Lösungen trigonometrische Gleichungen und Ungleichheitstabellen von Identitäten benötigt werden. Je mehr Formeln sich der Schüler merken kann, desto einfacher ist es, die Antwort auf die Aufgabe zu finden.

Angenommen, in der Prüfung muss die Antwort für eine Gleichung des Typs gefunden werden:

Wenn Sie den Ausdruck richtig transformieren und zu führen die richtige Sorte, dann ist es sehr einfach und schnell zu lösen. Lassen Sie uns zunächst arcsin x auf die rechte Seite der Gleichung verschieben.

Wenn wir uns an die Formel erinnern arcsin (sinα) = α, dann können wir die Suche nach Antworten auf die Lösung eines Systems aus zwei Gleichungen reduzieren:

Die Beschränkung auf das Modell x ergab sich wiederum aus den Eigenschaften von arcsin: ODZ für x [-1; 1]. Wenn a ≠ 0 ist, ist ein Teil des Systems quadratische Gleichung mit Wurzeln x1 = 1 und x2 = - 1/a. Bei a = 0 ist x gleich 1.

Lektion und Präsentation zu den Themen: "Arxinus. Arcussinustafel. Formel y=arcsin(x)"

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Was werden wir studieren:
1. Was ist der Arkussinus?
2. Bezeichnung des Arkussinus.
3. Ein bisschen Geschichte.
4. Definition.

6. Beispiele.

Was ist Arkussinus?

Leute, wir haben bereits gelernt, wie man Gleichungen für den Kosinus löst, jetzt lernen wir, wie man ähnliche Gleichungen für den Sinus löst. Betrachten Sie sin(x)= √3/2. Um diese Gleichung zu lösen, musst du eine Gerade y= √3/2 bauen und sehen: An welchen Punkten schneidet sie sich Zahlenkreis. Es ist ersichtlich, dass die Gerade den Kreis an zwei Punkten F und G schneidet. Diese Punkte sind die Lösung unserer Gleichung. Benennen Sie F in x1 und G in x2 um. Die Lösung dieser Gleichung haben wir bereits gefunden und erhalten: x1= π/3 + 2πk,
und x2 = 2π/3 + 2πk.

Lösen gegebene Gleichung ganz einfach, aber wie man zum Beispiel die Gleichung löst
sin(x)=5/6. Natürlich wird diese Gleichung auch zwei Wurzeln haben, aber welche Werte entsprechen der Lösung auf dem Zahlenkreis? Schauen wir uns unsere Gleichung sin(x)=5/6 genauer an.
Die Lösung unserer Gleichung sind zwei Punkte: F= x1 + 2πk und G= x2 ​​​​+ 2πk,
wobei x1 die Länge des Bogens AF ist, x2 die Länge des Bogens AG ist.
Beachte: x2= π - x1, weil AF= AC – FC, aber FC= AG, AF= AC – AG= π – x1.
Aber was sind das für Punkte?

Angesichts einer ähnlichen Situation entwickelten Mathematiker ein neues Symbol - arcsin (x). Es liest sich wie ein Arkussinus.

Dann wird die Lösung unserer Gleichung wie folgt geschrieben: x1= arcsin(5/6), x2= π -arcsin(5/6).

Und die Entscheidung drin Gesamtansicht: x= arcsin(5/6) + 2πk und x= π - arcsin(5/6) + 2πk.
Der Arkussinus ist der Winkel (Bogenlänge AF, AG) Sinus, der gleich 5/6 ist.

Ein bisschen Arcsine-Geschichte

Die Entstehungsgeschichte unseres Symbols ist genau die gleiche wie die von arccos. Zum ersten Mal taucht das Arcsin-Symbol in den Werken des Mathematikers Scherfer und des berühmten französischen Wissenschaftlers J.L. Lagrange. Etwas früher wurde das Konzept des Arkussinus von D. Bernuli betrachtet, obwohl er es mit anderen Symbolen aufschrieb.

Diese Symbole wurden erst in allgemein akzeptiert spätes XVIII Jahrhunderte. Die Vorsilbe „Arc“ kommt vom lateinischen „arcus“ (Bogen, Bogen). Dies stimmt mit der Bedeutung des Konzepts überein: arcsin x ist ein Winkel (oder Sie können sagen, ein Bogen), dessen Sinus gleich x ist.

Definition von Arkussinus

Ist |а|≤ 1, so ist arcsin(a) eine solche Zahl aus dem Intervall [- π/2; π/2], dessen Sinus a ist.

Wenn |a|≤ 1, dann hat die Gleichung sin(x)= a eine Lösung: x= arcsin(a) + 2πk und
x= π - arcsin(a) + 2πk

Schreiben wir um:

x= π - arcsin(a) + 2πk = -arcsin(a) + π(1 + 2k).

Leute, seht euch unsere beiden Lösungen genau an. Was denken Sie: können sie in einer allgemeinen Formel geschrieben werden? Beachten Sie, dass bei einem Pluszeichen vor dem Arkussinus π multipliziert wird gerade Zahl 2πk, und wenn das Vorzeichen "minus" ist, dann ist der Multiplikator ungerade 2k+1.
In diesem Sinne schreiben wir allgemeine Formel Lösungen für die Gleichung sin(x)=a:

Es gibt drei Fälle, in denen man Lösungen lieber einfacher schreibt:

sin(x)=0, dann x= πk,

sin(x)=1, dann x= π/2 + 2πk,

sin(x)=-1, dann x= -π/2 + 2πk.

Für jedes -1 ≤ a ≤ 1 gilt die folgende Gleichheit: arcsin(-a)=-arcsin(a).

Lassen Sie uns eine Tabelle mit Kosinuswerten in umgekehrter Richtung schreiben und eine Tabelle für den Arkussinus erhalten.

Beispiele

1. Berechnen: arcsin(√3/2).
Lösung: Sei arcsin(√3/2)= x, dann sin(x)= √3/2. Per Definition: - π/2 ≤ x≤ π/2. Schauen wir uns die Werte des Sinus in der Tabelle an: x= π/3, weil sin(π/3)= √3/2 und –π/2 ≤ π/3 ≤ π/2.
Antwort: arcsin(√3/2)= π/3.

2. Berechnen: arcsin(-1/2).
Lösung: Sei arcsin(-1/2)= x, dann sin(x)= -1/2. Per Definition: - π/2 ≤ x≤ π/2. Schauen wir uns die Werte des Sinus in der Tabelle an: x= -π/6, weil sin(-π/6)= -1/2 und -π/2 ≤ -π/6 ≤ π/2.
Antwort: arcsin(-1/2)=-π/6.

3. Berechnen: arcsin(0).
Lösung: Sei arcsin(0)= x, dann sin(x)= 0. Per Definition: - π/2 ≤x≤ π/2. Schauen wir uns die Werte des Sinus in der Tabelle an: Es bedeutet x = 0, weil sin(0)= 0 und - π/2 ≤ 0 ≤ π/2. Antwort: arcsin(0)=0.

4. Lösen Sie die Gleichung: sin(x) = -√2/2.
x= arcsin(-√2/2) + 2πk und x= π - arcsin(-√2/2) + 2πk.
Schauen wir uns den Wert in der Tabelle an: arcsin (-√2/2)= -π/4.
Antwort: x= -π/4 + 2πk und x= 5π/4 + 2πk.

5. Lösen Sie die Gleichung: sin(x) = 0.
Lösung: Verwenden wir die Definition, dann wird die Lösung in der Form geschrieben:
x= arcsin(0) + 2πk und x= π - arcsin(0) + 2πk. Schauen wir uns den Wert in der Tabelle an: arcsin(0)= 0.
Antwort: x= 2πk und x= π + 2πk

6. Lösen Sie die Gleichung: sin(x) = 3/5.
Lösung: Verwenden wir die Definition, dann wird die Lösung in der Form geschrieben:
x= arcsin(3/5) + 2πk und x= π - arcsin(3/5) + 2πk.
Antwort: x= (-1) n - arcsin(3/5) + πk.

7. Lösen Sie die Ungleichung sin(x) Lösung: Der Sinus ist die Ordinate des Punktes des Zahlenkreises. Also: Wir müssen solche Punkte finden, deren Ordinate kleiner als 0,7 ist. Zeichnen wir eine gerade Linie y=0.7. Sie schneidet den Zahlenkreis an zwei Punkten. Ungleichung y Dann lautet die Lösung der Ungleichung: -π – arcsin(0.7) + 2πk

Probleme auf dem Arkussinus zur unabhängigen Lösung

1) Berechnen Sie: a) arcsin(√2/2), b) arcsin(1/2), c) arcsin(1), d) arcsin(-0,8).
2) Lösen Sie die Gleichung: a) sin(x) = 1/2, b) sin(x) = 1, c) sin(x) = √3/2, d) sin(x) = 0,25,
e) sin(x) = -1,2.
3) Lösen Sie die Ungleichung: a) sin (x)> 0,6, b) sin (x) ≤ 1/2.

Arkustangens (y = arctg x) ist die Umkehrfunktion des Tangens (x = tg y
tg(arctg x) = x
arctg(tg x) = x

Der Arkustangens wird wie folgt bezeichnet:
.

Arcus-Tangens-Funktionsgraph

Graph der Funktion y = arctg x

Der Arcus-Tangens-Plot wird aus dem Tangens-Plot durch Vertauschen der Abszissen- und Ordinatenachse erhalten. Um Mehrdeutigkeiten zu beseitigen, wird die Wertemenge durch das Intervall begrenzt, auf dem die Funktion monoton ist. Diese Definition wird Hauptwert des Arkustangens genannt.

Bogentangente, arcctg

Arcustangens (y = arcctg x) ist die Umkehrfunktion des Kotangens (x = ctg y). Es hat einen Geltungsbereich und eine Reihe von Werten.
ctg(arctg x) = x
arcctg(ctg x) = x

Der Arkustangens wird wie folgt bezeichnet:
.

Arc-Cotangens-Funktionsgraph

Graph der Funktion y = arcctg x

Die Auftragung des Arcustangens erhält man aus der Auftragung des Kotangens durch Vertauschen der Abszissen- und Ordinatenachse. Um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen, wird der Wertebereich auf das Intervall beschränkt, auf dem die Funktion monoton ist. Eine solche Definition wird Hauptwert des Arkustangens genannt.

Parität

Die Arkustangensfunktion ist ungerade:
arctan(-x) = arctg(-tg arctg x) = arctg(tg(-arctg x)) = - Bogen x

Die Bogenkotangensfunktion ist weder gerade noch ungerade:
arcctg(-x) = arcctg(-ctg arcctg x) = arcctg(ctg(π-arcctg x)) = π - arcctg x ≠ ± arcctg x.

Eigenschaften - Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Arkustangens- und Arkuskotangens-Funktionen sind stetig in ihrem Definitionsbereich, d. h. für alle x. (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften des Arkustangens und des Arkokotangens sind in der Tabelle dargestellt.

	y= arctg x	y= arcctg x
Reichweite und Kontinuität	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Viele Werte
Aufsteigend absteigend	steigt monoton an	nimmt monoton ab
Höhen, Tiefen	Nein	Nein
Nullen, y= 0	x= 0	Nein
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	y= 0	y = π/ 2
	-	π
		0

Tabelle der Bogentangenten und Bogentangenten

Diese Tabelle zeigt die Werte von Arkustangens und Arkustangens in Grad und Bogenmaß für einige Werte des Arguments.

x	arctg x		arcctg x
	Grad	froh.	Grad	froh.
- ∞	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
- 1	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
1	45°		45°
	60°		30°
+ ∞	90°		0°	0

≈ 0,5773502691896258
≈ 1,7320508075688772

Formeln

Summen- und Differenzenformeln

bei

bei

bei

bei

bei

bei

Logarithmische Ausdrücke, komplexe Zahlen

,
.

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

Derivate

Siehe Ableitung von Arkustangens und Arkotangens > > >

Ableitungen höherer Ordnung:
Lassen . Dann kann die n-te Ableitung des Arkustangens auf eine der folgenden Arten dargestellt werden:
;
.
Symbol bedeutet Imaginärer Teil der folgende Ausdruck.

Siehe Ableitung von Ableitungen höherer Ordnung von arc tangens und arc tangens > > >
Dort sind auch die Formeln für Ableitungen der ersten fünf Ordnungen angegeben.

Ähnlich für den Arcus Tangens. Lassen . Dann
;
.

Integrale

Wir machen eine Substitution x = tg t und partiell integrieren:
;
;
;

Wir drücken den Arcustangens durch den Arcustangens aus:
.

Erweiterung der Potenzreihen

Für |x| ≤ 1 es findet folgende Zerlegung statt:
;
.

Umkehrfunktionen

Die Umkehrungen von Arkustangens und Arkotangens sind Tangens bzw. Kotangens.

Die folgenden Formeln gültig im gesamten Definitionsbereich:
tg(arctg x) = x
ctg(arctg x) = x .

Die folgenden Formeln gelten nur für die Wertemenge von Arkustangens und Arkustangens:
arctg(tg x) = x bei
arcctg(ctg x) = x bei .

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.

Zuvor haben die Schüler im Rahmen des Programms eine Vorstellung vom Lösen trigonometrischer Gleichungen bekommen und sich mit den Konzepten von Arkuskosinus und Arkussinus sowie Lösungsbeispielen vertraut gemacht cos-gleichungen t = a und sin t = a. In diesem Video-Tutorial betrachten wir die Lösung der Gleichungen tg x = a und ctg x = a.

Betrachten Sie zu Beginn des Studiums dieses Themas die Gleichungen tg x = 3 und tg x = - 3. Wenn wir die Gleichung tg x = 3 mithilfe eines Diagramms lösen, sehen wir, dass der Schnittpunkt der Diagramme der Funktionen y = tg x und y = 3 hat unendlicher Satz Lösungen, wobei x = x 1 + πk. Der Wert x 1 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen y = tg x und y = 3. Der Autor führt das Konzept des Arkustangens ein: arctg 3 ist eine Zahl, deren tg 3 ist, und zu dieser Zahl gehört das Intervall von -π/2 bis π/2. Unter Verwendung des Konzepts des Arkustangens kann die Lösung der Gleichung tan x = 3 geschrieben werden als x = arctan 3 + πk.

Analog wird die Gleichung tg x \u003d - 3 gelöst.Anhand der konstruierten Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d - 3 ist ersichtlich, dass die Schnittpunkte der Graphen und damit die Lösungen der Gleichungen wird x \u003d x 2 + πk sein. Unter Verwendung des Arkustangens kann die Lösung geschrieben werden als x = arctan (- 3) + πk. In der folgenden Abbildung sehen wir, dass arctg (- 3) = - arctg 3.

Die allgemeine Definition des Arkustangens lautet wie folgt: Der Arkustangens von a ist eine solche Zahl aus dem Intervall von -π / 2 bis π / 2, deren Tangens a ist. Dann ist die Lösung der Gleichung tg x = a x = arctg a + πk.

Der Autor gibt ein Beispiel 1. Finden Sie eine Lösung für den Ausdruck arctg. Führen wir die Notation ein: der Arkustangens der Zahl ist x, dann ist tg x gleich der gegebenen Zahl, wobei x zum Segment von -π/ gehört. 2 bis π/2. Wie in den Beispielen in den vorherigen Themen verwenden wir eine Wertetabelle. Gemäß dieser Tabelle ist die Tangente angegebene Nummer entspricht dem Wert x = π/3. Wir schreiben die Lösung der Gleichung des Arkustangens einer gegebenen Zahl gleich π / 3, π / 3 gehört auch zum Intervall von -π / 2 bis π / 2.

Beispiel 2 – Arkustangens berechnen negative Zahl. Geben Sie unter Verwendung der Gleichheit arctg (- a) = - arctg a den x-Wert ein. Ähnlich wie in Beispiel 2 schreiben wir den Wert von x, der zum Intervall von -π/2 bis π/2 gehört. Nach der Wertetabelle finden wir x = π/3, also -- tg x = - π/3. Die Antwort auf die Gleichung ist - π/3.

Betrachten Sie Beispiel 3. Lösen wir die Gleichung tan x = 1. Schreiben wir x = arctan 1 + πk. In der Tabelle entspricht der Wert von tg 1 dem Wert x \u003d π / 4, also arctg 1 \u003d π / 4. Setzen Sie diesen Wert in die ursprüngliche Formel x ein und schreiben Sie das Ergebnis x = π/4 + πk auf.

Beispiel 4: tg x = - 4,1 berechnen. In diesem Fall ist x = arctg (- 4,1) + πk. Weil Es ist in diesem Fall nicht möglich, den Wert von arctg zu finden, die Antwort sieht so aus: x = arctg (- 4,1) + πk.

Beispiel 5 betrachtet die Lösung der Ungleichung tg x > 1. Um sie zu lösen, zeichnen wir die Graphen der Funktionen y = tg x und y = 1. Wie in der Abbildung zu sehen ist, schneiden sich diese Graphen an den Punkten x = π /4 + πk. Weil in diesem Fall, tg x > 1, wählen wir im Diagramm den Bereich der Tangente aus, der über dem Diagramm y = 1 liegt, wobei x zum Intervall von π/4 bis π/2 gehört. Wir schreiben die Antwort als π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Als nächstes überlegen ctg-Gleichung x = a. Die Abbildung zeigt Graphen der Funktionen y = ctg x, y = a, y = - a, die viele Schnittpunkte haben. Lösungen können geschrieben werden als x = x 1 + πk, wobei x 1 = arcctg a und x = x 2 + πk, wobei x 2 = arcctg (- a). Es wird angemerkt, dass x 2 \u003d π - x 1. Daraus folgt die Gleichheit arcctg (- a) = π - arcctg a. Außerdem wird die Definition des Bogenkotangens gegeben: Der Bogenkotangens von a ist eine solche Zahl aus dem Intervall von 0 bis π, deren Kotangens gleich a ist. Die Lösung der Gleichung сtg x = a wird geschrieben als: x = arcctg a + πk.

Am Ende der Videolektion wird eine weitere wichtige Schlussfolgerung gezogen - der Ausdruck ctg x = a kann als tg x = 1/a geschrieben werden, vorausgesetzt, dass a ungleich Null ist.

TEXTEINTERPRETATION:

Betrachten Sie die Lösung der Gleichungen tg x \u003d 3 und tg x \u003d - 3. Wenn wir die erste Gleichung grafisch lösen, sehen wir, dass die Graphen der Funktionen y \u003d tg x und y \u003d 3 unendlich viele Schnittpunkte haben, die Abszissen, in deren Form wir schreiben

x \u003d x 1 + πk, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d 3 mit dem Hauptast der Tangente (Abb. 1) ist, für die die Bezeichnung erfunden wurde

arctan 3 (Arkustangens von drei).

Wie ist arctg 3 zu verstehen?

Dies ist eine Zahl, deren Tangens 3 ist, und diese Zahl gehört zum Intervall (-;). Dann können alle Wurzeln der Gleichung tg x \u003d 3 durch die Formel x \u003d arctan 3 + πk geschrieben werden.

In ähnlicher Weise kann die Lösung der Gleichung tg x \u003d - 3 geschrieben werden als x \u003d x 2 + πk, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d - 3 mit dem Hauptzweig der ist Tangente (Abb. 1), für die die Bezeichnung arctg (- 3) (arct tangens minus drei) steht. Dann können alle Wurzeln der Gleichung durch die Formel geschrieben werden: x \u003d arctg (-3) + πk. Die Abbildung zeigt, dass arctg(- 3)= - arctg 3.

Lassen Sie uns die Definition des Arkustangens formulieren. Arkustangens a ist eine solche Zahl aus dem Intervall (-;), deren Tangens gleich a ist.

Häufig wird die Gleichheit verwendet: arctg(-a) = -arctg a, die für jedes a gilt.

Wenn wir die Definition des Arkustangens kennen, ziehen wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung

tg x \u003d a: Die Gleichung tg x \u003d a hat eine Lösung x \u003d arctg a + πk.

Betrachten Sie Beispiele.

BEISPIEL 1. arctg berechnen.

Entscheidung. Sei arctg = x, dann tgx = und xϵ (-;). Wertetabelle anzeigen Daher x =, da tg = und ϵ (- ;).

Also arctg =.

BEISPIEL 2 Arctan (-) berechnen.

Entscheidung. Unter Verwendung der Gleichheit arctg (- a) \u003d - arctg a schreiben wir:

arctg(-) = - arctg . Sei - arctg = x, dann - tgx = und xϵ (-;). Also x =, da tg = und ϵ (- ;). Wertetabelle anzeigen

Also - arctg=- tgх= - .

BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung tgх = 1.

1. Schreiben wir die Lösungsformel auf: x = arctg 1 + πk.

2. Ermitteln Sie den Wert des Arkustangens

da tg = . Wertetabelle anzeigen

Also arctg1= .

3. Setzen Sie den gefundenen Wert in die Lösungsformel ein:

BEISPIEL 4. Lösen Sie die Gleichung tgx \u003d - 4,1 (Tangente x ist gleich minus vier Komma ein Zehntel).

Entscheidung. Schreiben wir die Lösungsformel auf: x \u003d arctg (- 4,1) + πk.

Wir können den Wert des Arkustangens nicht berechnen, also lassen wir die Lösung der Gleichung so wie sie ist.

BEISPIEL 5. Lösen Sie die Ungleichung tgх 1.

Entscheidung. Machen wir es grafisch.

1. Lassen Sie uns eine Tangente bauen

y \u003d tgx und eine gerade Linie y \u003d 1 (Abb. 2). Sie schneiden sich in Punkten der Form x = + πk.

2. Wählen Sie das Intervall der x-Achse aus, auf dem sich der Hauptast der Tangente über der geraden Linie y \u003d 1 befindet, da gemäß der Bedingung tgх 1. Dies ist das Intervall (;).

3. Wir verwenden die Periodizität der Funktion.

Eigenschaft 2. y \u003d tg x - eine periodische Funktion mit einer Grundperiode π.

Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y \u003d tgx schreiben wir die Antwort:

(;). Die Antwort kann als doppelte Ungleichung geschrieben werden:

Kommen wir zur Gleichung ctg x \u003d a. Lassen Sie uns eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung für positives und negatives a präsentieren (Abb. 3).

Funktionsgraphen y \u003d ctg x und y \u003d a und

y=ctgx und y=-a

haben unendlich viele gemeinsame Punkte, deren Abszissen die Form haben:

x \u003d x 1 +, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie y \u003d a mit dem Hauptast der Tangente und ist

x 1 = arcctg a;

x \u003d x 2 +, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunkts der Linie ist

y \u003d - aber mit dem Hauptast der Tangente und x 2 \u003d arcсtg (- a).

Beachten Sie, dass x 2 \u003d π - x 1. Also schreiben wir die wichtige Gleichung auf:

arcctg (-a) = π - arcctg a.

Formulieren wir die Definition: Der Arkuskotangens von a ist eine solche Zahl aus dem Intervall (0; π), deren Kotangens gleich a ist.

Die Lösung der Gleichung ctg x \u003d a wird geschrieben als: x \u003d arcсtg a +.

Beachten Sie, dass die Gleichung ctg x = a in die Form umgewandelt werden kann

tg x = , außer wenn a = 0.

Arkussinus (y = arcsin x) ist die zum Sinus umgekehrte Funktion (x = siny -1 ≤ x ≤ 1 und die Wertemenge -π /2 ≤ y ≤ π/2.
sin(Arkussin x) = x
arcsin(sin x) = x

Der Arkussinus wird manchmal bezeichnet als:
.

Graph der Arkussinusfunktion

Graph der Funktion y = arcsin x

Der Arcussinus-Plot wird aus dem Sinus-Plot durch Vertauschen der Abszissen- und Ordinatenachse erhalten. Um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen, wird der Wertebereich auf das Intervall beschränkt, auf dem die Funktion monoton ist. Diese Definition wird als Hauptwert des Arkussinus bezeichnet.

Arccosinus, arccos

Arkuskosinus (y = arccos x) ist die Umkehrung des Kosinus (x = lauschig). Es hat Reichweite -1 ≤ x ≤ 1 und viele Werte 0 ≤ y ≤ π.
cos(arcos x) = x
arccos(cosx) = x

Der Arkuskosinus wird manchmal bezeichnet als:
.

Graph der Arkuskosinusfunktion

Graph der Funktion y = arccos x

Der Arkuskosinus-Plot wird aus dem Cosinus-Plot durch Vertauschen der Abszissen- und Ordinatenachse erhalten. Um die Mehrdeutigkeit zu beseitigen, wird der Wertebereich auf das Intervall beschränkt, auf dem die Funktion monoton ist. Diese Definition wird als Hauptwert des Arkuskosinus bezeichnet.

Parität

Die Arkussinusfunktion ist ungerade:
arcsin(-x) = arcsin(-sin arcsin x) = arcsin(sin(-arcsin x)) = - arcsin x

Die Arkuskosinusfunktion ist weder gerade noch ungerade:
arccos(-x) = arccos(-cos arccos x) = arccos(cos(π-arccos x)) = π - arccos x ≠ ± arccos x

Eigenschaften - Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Arkussinus- und Arkuskosinus-Funktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Stetigkeitsbeweis). Die Haupteigenschaften von Arkussinus und Arkuskosinus sind in der Tabelle dargestellt.

	y= arcsin x	y= arccos x
Reichweite und Kontinuität	- 1 ≤ x ≤ 1	- 1 ≤ x ≤ 1
Wertebereich
Aufsteigend absteigend	steigt monoton an	nimmt monoton ab
Höchstwerte
Tiefs
Nullen, y= 0	x= 0	x= 1
Schnittpunkte mit der y-Achse, x = 0	y= 0	y = π/ 2

Tabelle der Arkussinus und Arkuskosinus

Diese Tabelle zeigt die Werte von Arkussinus und Arkuskosinus in Grad und Bogenmaß für einige Werte des Arguments.

x	arcsin x		arccos x
	Grad	froh.	Grad	froh.
- 1	- 90°	-	180°	π
-	- 60°	-	150°
-	- 45°	-	135°
-	- 30°	-	120°
0	0°	0	90°
	30°		60°
	45°		45°
	60°		30°
1	90°		0°	0

≈ 0,7071067811865476
≈ 0,8660254037844386

Formeln

Summen- und Differenzenformeln

bei oder

bei und

bei und

bei oder

bei und

bei und

bei

bei

bei

bei

Logarithmische Ausdrücke, komplexe Zahlen

Ausdrücke in Bezug auf hyperbolische Funktionen

Derivate

;
.
Siehe Ableitung von Arkussinus- und Arkuskosinus-Ableitungen > > >

Ableitungen höherer Ordnung:
,
wobei ein Polynom vom Grad ist. Es wird durch die Formeln bestimmt:
;
;
.

Siehe Ableitung von Ableitungen höherer Ordnung von Arkussinus und Arkuskosinus > > >

Integrale

Wir machen eine Substitution x = Sünde t. Wir integrieren partiell unter Berücksichtigung, dass -π/ 2 ≤ t ≤ π/2, Kosten t ≥ 0:
.

Wir drücken den Arkuskosinus durch den Arkussinus aus:
.

Erweiterung in Serie

Für |x|< 1 es findet folgende Zerlegung statt:
;
.

Umkehrfunktionen

Die Kehrwerte des Arkussinus und Arkuskosinus sind Sinus bzw. Kosinus.

Im gesamten Definitionsbereich gelten folgende Formeln:
sin(Arkussin x) = x
cos(arcos x) = x .

Die folgenden Formeln gelten nur für die Wertemenge von Arkussinus und Arkuskosinus:
arcsin(sin x) = x bei
arccos(cosx) = x bei .

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten höherer Bildungseinrichtungen, Lan, 2009.