IN Schulkurs In der Stereometrie ist eine der einfachsten Figuren, die entlang dreier Raumachsen von Null verschiedene Dimensionen aufweist, ein viereckiges Prisma. Schauen wir uns im Artikel an, was für eine Figur das ist, aus welchen Elementen sie besteht und wie man ihre Oberfläche und ihr Volumen berechnen kann.

Das Konzept eines Prismas

In der Geometrie ist ein Prisma eine räumliche Figur, die aus zwei identischen Grundflächen und Seitenflächen besteht, die die Seiten dieser Grundflächen verbinden. Beachten Sie, dass beide Basen durch die Operation der parallelen Übertragung auf einen bestimmten Vektor aufeinander übertragen werden. Diese Definition eines Prismas führt dazu, dass alle seine Seiten immer Parallelogramme sind.

Die Anzahl der Seiten der Basis kann beliebig sein, beginnend mit drei. Wenn diese Zahl gegen Unendlich geht, verwandelt sich das Prisma sanft in einen Zylinder, da seine Basis zu einem Kreis wird und die seitlichen Parallelogramme, die sich verbinden, eine zylindrische Oberfläche bilden.

Wie jedes Polyeder ist ein Prisma durch Seiten (Ebenen, die die Figur begrenzen), Kanten (Segmente, entlang derer sich zwei beliebige Seiten schneiden) und Scheitelpunkte (Treffpunkte von drei Seiten, bei einem Prisma sind zwei davon seitlich und die dritte seitlich) gekennzeichnet die Basis). Die Mengen der drei genannten Elemente der Figur werden durch den folgenden Ausdruck miteinander in Beziehung gesetzt:

Hier sind P, C und B die Anzahl der Kanten, Seiten bzw. Scheitelpunkte. Dieser Ausdruck ist eine mathematische Darstellung des Satzes von Euler.

Oben ist ein Bild, das zwei Prismen zeigt. An der Basis eines von ihnen (A) liegt ein regelmäßiges Sechseck, und die Seitenflächen stehen senkrecht zu den Basen. Abbildung B zeigt ein weiteres Prisma. Seine Seiten stehen nicht mehr senkrecht zu den Basen, die Basis jedoch schon regelmäßiges Fünfeck.

viereckig?

Wie aus der obigen Beschreibung hervorgeht, wird die Art des Prismas in erster Linie durch die Art des Polygons bestimmt, das die Basis bildet (beide Basen sind gleich, wir können also von einer davon sprechen). Wenn dieses Polygon ein Parallelogramm ist, erhalten wir ein viereckiges Prisma. Alle Seiten davon sind also Parallelogramme. Ein viereckiges Prisma hat seinen eigenen Namen – Parallelepiped.

Die Anzahl der Seiten eines Parallelepipeds beträgt sechs, wobei jede Seite ein ähnliches Parallelepiped hat. Da die Basen des Parallelepipeds zwei Seiten sind, sind die restlichen vier seitlich.

Die Anzahl der Eckpunkte eines Parallelepipeds beträgt acht, was leicht zu erkennen ist, wenn man bedenkt, dass die Eckpunkte eines Prismas nur an den Eckpunkten der Basispolygone gebildet werden (4x2=8). Unter Anwendung des Satzes von Euler erhalten wir die Anzahl der Kanten:

P = C + B – 2 = 6 + 8 – 2 = 12

Von den 12 Rippen werden nur 4 unabhängig voneinander von den Seiten gebildet. Die restlichen 8 liegen in den Ebenen der Figurenbasen.

Arten von Parallelepipeden

Die erste Art der Klassifizierung liegt in den an der Basis liegenden Merkmalen des Parallelogramms. Es könnte so aussehen:

• gewöhnlich, deren Winkel nicht 90 ° betragen;
• Rechteck;
• Ein Quadrat ist ein regelmäßiges Viereck.

Die zweite Art der Klassifizierung ist der Winkel, in dem die Seite die Basis schneidet. Hier sind zwei unterschiedliche Fälle möglich:

• stimmt dieser Winkel nicht, so heißt das Prisma schief oder geneigt;
• beträgt der Winkel 90°, dann ist ein solches Prisma rechteckig oder einfach gerade.

Die dritte Art der Klassifizierung bezieht sich auf die Höhe des Prismas. Wenn das Prisma rechteckig ist und an seiner Grundfläche entweder ein Quadrat oder ein Rechteck hat, spricht man von einem Quader. Wenn sich an der Grundfläche ein Quadrat befindet, das Prisma rechteckig ist und seine Höhe gleich der Seitenlänge des Quadrats ist, erhalten wir die bekannte Figur eines Würfels.

Prismenoberfläche und -fläche

Die Menge aller Punkte, die auf den beiden Grundflächen des Prismas (Parallelogramme) und auf seinen Seiten (vier Parallelogramme) liegen, bilden die Oberfläche der Figur. Die Fläche dieser Fläche lässt sich berechnen, indem man die Grundfläche und diesen Wert für die Seitenfläche berechnet. Dann ergibt ihre Summe den gewünschten Wert. Mathematisch wird es so geschrieben:

Hier sind S o und S b die Fläche der Basis bzw. der Seitenfläche. Die Zahl 2 vor S o erscheint, weil es zwei Basen gibt.

Beachten Sie, dass die geschriebene Formel für jedes Prisma gilt und nicht nur für die Fläche eines viereckigen Prismas.

Es ist nützlich, sich daran zu erinnern, dass die Fläche eines Parallelogramms S p nach der Formel berechnet wird:

Wobei die Symbole a und h die Länge einer seiner Seiten bzw. die zu dieser Seite gezeichnete Höhe bezeichnen.

Fläche eines rechteckigen Prismas mit quadratischer Grundfläche

Die Basis ist ein Quadrat. Der Bestimmtheit halber bezeichnen wir seine Seite mit dem Buchstaben a. Um die Fläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas zu berechnen, müssen Sie dessen Höhe kennen. Laut Definition ist dieser Wert gleich der Länge der Senkrechten, die von einer Basis zur anderen fällt, also gleich dem Abstand zwischen ihnen. Bezeichnen wir es mit dem Buchstaben h. Da bei dem betrachteten Prismentyp alle Seitenflächen senkrecht zu den Grundflächen stehen, entspricht die Höhe eines regelmäßigen viereckigen Prismas der Länge seiner Seitenkante.

Die allgemeine Formel für die Oberfläche eines Prismas besteht aus zwei Termen. Die Fläche der Basis ist in diesem Fall leicht zu berechnen, sie ist gleich:

Um die Fläche der Mantelfläche zu berechnen, gehen wir wie folgt vor: Diese Fläche wird durch 4 identische Rechtecke gebildet. Darüber hinaus sind die Seiten jedes von ihnen gleich a und h. Dies bedeutet, dass die Fläche S b gleich ist:

Beachten Sie, dass das Produkt 4*a der Umfang der quadratischen Grundfläche ist. Wenn wir diesen Ausdruck auf den Fall einer beliebigen Basis verallgemeinern, dann für ein rechteckiges Prisma Seitenfläche lässt sich so berechnen:

Wobei P o der Umfang der Basis ist.

Zurück zum Problem der Berechnung der Fläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas können wir die endgültige Formel schreiben:

S = 2*S o + S b = 2*a 2 + 4*a*h = 2*a*(a+2*h)

Fläche eines schrägen Parallelepipeds

Die Berechnung ist etwas schwieriger als bei einer rechteckigen. In diesem Fall wird die Grundfläche eines viereckigen Prismas nach der gleichen Formel wie für ein Parallelogramm berechnet. Die Änderungen betreffen die Methode zur Bestimmung der Mantelfläche.

Verwenden Sie dazu die gleiche Formel für den Umfang wie im obigen Absatz angegeben. Nur wird es jetzt etwas andere Multiplikatoren haben. Allgemeine Formel für S b hat im Fall eines schiefen Prismas die Form:

Dabei ist c die Länge der Seitenkante der Figur. Der Wert P sr ist der Umfang des rechteckigen Schnitts. Diese Umgebung ist wie folgt aufgebaut: Es ist notwendig, alle Seitenflächen mit einer Ebene zu schneiden, sodass sie senkrecht zu allen steht. Das resultierende Rechteck ist der gewünschte Schnitt.

Die obige Abbildung zeigt ein Beispiel eines schrägen Parallelepipeds. Sein schraffierter Abschnitt bildet mit den Seiten einen rechten Winkel. Der Umfang des Abschnitts beträgt P sr. Es besteht aus vier Höhen seitlicher Parallelogramme. Für dieses viereckige Prisma wird die Mantelfläche nach obiger Formel berechnet.

Diagonale Länge eines rechteckigen Parallelepipeds

Die Diagonale eines Parallelepipeds ist ein Segment, das zwei Eckpunkte verbindet, die keine gemeinsamen Seiten haben, die sie bilden. Jedes viereckige Prisma hat nur vier Diagonalen. Bei einem rechteckigen Parallelepiped mit einem Rechteck an der Basis sind die Längen aller Diagonalen gleich.

Die folgende Abbildung zeigt die entsprechende Abbildung. Das rote Segment ist seine Diagonale.

D = √(A 2 + B 2 + C 2)

Hier ist D die Länge der Diagonale. Die übrigen Symbole sind die Längen der Seiten des Parallelepipeds.

Viele Menschen verwechseln die Diagonale eines Parallelepipeds mit den Diagonalen seiner Seiten. Unten sehen Sie eine Zeichnung, in der die Diagonalen der Seiten der Figur in farbigen Segmenten dargestellt sind.

Die Länge jedes einzelnen von ihnen wird ebenfalls durch den Satz des Pythagoras bestimmt und ist gleich Quadratwurzel aus der Summe der Quadrate der entsprechenden Seitenlängen.

Prismenvolumen

Zusätzlich zur Fläche eines regelmäßigen viereckigen Prismas oder anderer Arten von Prismen sind einige zu lösen geometrische Probleme Sie sollten auch deren Lautstärke kennen. Dieser Wert für absolut jedes Prisma wird mit berechnet die folgende Formel:

Wenn das Prisma rechteckig ist, reicht es aus, die Fläche seiner Grundfläche zu berechnen und diese mit der Länge der Seitenkante zu multiplizieren, um das Volumen der Figur zu erhalten.

Wenn das Prisma regelmäßig viereckig ist, ist sein Volumen gleich:

Es ist leicht zu erkennen, dass sich diese Formel in einen Ausdruck für das Volumen eines Würfels umwandelt, wenn die Länge der Seitenkante h gleich der Seite der Grundfläche a ist.

Problem mit einem rechteckigen Parallelepiped

Um das untersuchte Material zu konsolidieren, lösen wir das folgende Problem: Es gibt ein rechteckiges Parallelepiped mit den Seitenlängen 3 cm, 4 cm und 5 cm. Es müssen dessen Oberfläche, diagonale Länge und Volumen berechnet werden.

S = 2*S o + S b = 2*12 + 5*14 = 24 + 70 = 94 cm 2

Um die Länge der Diagonale und das Volumen der Figur zu bestimmen, können Sie direkt die obigen Ausdrücke verwenden:

D = √(3 2 +4 2 +5 2) = 7,071 cm;

V = 3*4*5 = 60 cm3.

Problem mit dem schrägen Parallelepiped

Die folgende Abbildung zeigt ein schräges Prisma. Seine Seiten sind gleich: a = 10 cm, b = 8 cm, c = 12 cm. Es ist notwendig, die Oberfläche dieser Figur zu ermitteln.

Bestimmen wir zunächst die Fläche der Basis. Aus der Abbildung geht das deutlich hervor scharfe Ecke gleich 50 o. Dann ist seine Fläche gleich:

S o = h*a = sin(50 o)*b*a

Um die Mantelfläche zu bestimmen, ermitteln Sie den Umfang des schattierten Rechtecks. Die Seiten dieses Rechtecks ​​sind a*sin(45 o) und b*sin(60 o). Dann ist der Umfang dieses Rechtecks:

P sr = 2*(a*sin(45 o)+b*sin(60 o))

Die Gesamtoberfläche dieses Parallelepipeds beträgt:

S = 2*S o + S b = 2*(sin(50 o)*b*a + a*c*sin(45 o) + b*c*sin(60 o))

Wir ersetzen die Daten aus den Problembedingungen durch die Längen der Seiten der Figur und erhalten die Antwort:

Aus der Lösung dieses Problems geht hervor, dass trigonometrische Funktionen zur Bestimmung der Flächen schräger Figuren verwendet werden.

Mit Hilfe dieser Videolektion kann sich jeder selbstständig mit dem Thema „Das Konzept eines Polyeders“ vertraut machen. Prisma. Oberfläche des Prismas.“ Während des Unterrichts wird der Lehrer darüber sprechen, was das ist geometrische Figuren, wie ein Polyeder und ein Prisma, werden die entsprechenden Definitionen geben und ihr Wesen erklären konkrete Beispiele.

Mit Hilfe dieser Lektion kann sich jeder selbstständig mit dem Thema „Das Konzept eines Polyeders“ vertraut machen. Prisma. Oberfläche des Prismas.“

Definition. Eine Oberfläche, die aus Polygonen besteht und einige begrenzt geometrischer Körper Wir nennen es eine polyedrische Fläche oder ein Polyeder.

Betrachten Sie die folgenden Beispiele für Polyeder:

1. Tetraeder A B C D ist eine Fläche, die aus vier Dreiecken besteht: ABC, A.D.B., BDC Und ADC(Abb. 1).

Reis. 1

2. Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 ist eine Fläche, die aus sechs Parallelogrammen besteht (Abb. 2).

Reis. 2

Die Hauptelemente eines Polyeders sind Flächen, Kanten und Eckpunkte.

Flächen sind die Polygone, aus denen ein Polyeder besteht.

Kanten sind die Seiten von Flächen.

Scheitelpunkte sind die Enden der Kanten.

Betrachten Sie ein Tetraeder A B C D(Abb. 1). Lassen Sie uns seine Hauptelemente angeben.

Kanten: Dreiecke ABC, ADB, BDC, ADC.

Rippen: AB, AC, BC, DC, ANZEIGE, BD.

Gipfel: A B C D.

Betrachten Sie ein Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Abb. 2).

Kanten: Parallelogramme AA 1 D 1 D, D 1 DCC 1, BB 1 C 1 C, AA 1 B 1 B, ABCD, A 1 B 1 C 1 D 1.

Rippen: AA 1 , BB 1 , SS 1 , DD 1 , AD, A 1 D 1 , B 1 C 1 , BC, AB, A 1 B 1 , D 1 C 1 , DC.

Gipfel: A, B, C, D, A 1 ,B 1 ,C 1 ,D 1 .

Ein wichtiger Sonderfall eines Polyeders ist ein Prisma.

ABCA 1 IN 1 MIT 1(Abb. 3).

Reis. 3

Gleiche Dreiecke ABC Und A 1 B 1 C 1 gelegen in parallele Ebenenα und β damit die Kanten AA 1, BB 1, SS 1 parallel.

Also ABCA 1 IN 1 MIT 1- dreieckiges Prisma, wenn:

1) Dreiecke ABC Und A 1 B 1 C 1 sind gleich.

2) Dreiecke ABC Und A 1 B 1 C 1 in parallelen Ebenen α und β gelegen: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Rippen AA 1, BB 1, SS 1 parallel.

ABC Und A 1 B 1 C 1- Basis des Prismas.

AA 1, BB 1, SS 1- Seitenrippen des Prismas.

Wenn von einem beliebigen Punkt H 1 Eine Ebene (z. B. β) lässt die Senkrechte fallen NN 1 zur Ebene α, dann heißt diese Senkrechte die Höhe des Prismas.

Definition. Stehen die Seitenkanten senkrecht zu den Grundflächen, heißt das Prisma gerade, andernfalls heißt es geneigt.

Betrachten Sie ein dreieckiges Prisma ABCA 1 IN 1 MIT 1(Abb. 4). Dieses Prisma ist gerade. Das heißt, seine Seitenrippen stehen senkrecht zu den Basen.

Zum Beispiel Rippe AA 1 senkrecht zur Ebene ABC. Rand AA 1 ist die Höhe dieses Prismas.

Reis. 4

Beachten Sie, dass die Seitenfläche AA 1 B 1 B senkrecht zu den Basen ABC Und A 1 B 1 C 1, da es durch die Senkrechte geht AA 1 zu den Basen.

Betrachten Sie nun ein geneigtes Prisma ABCA 1 IN 1 MIT 1(Abb. 5). Hier steht die Seitenkante nicht senkrecht zur Grundebene. Wenn im Punkt weggelassen Eine 1 aufrecht A 1 N An ABC, dann ist diese Senkrechte die Höhe des Prismas. Beachten Sie, dass das Segment EIN ist die Projektion des Segments AA 1 zum Flugzeug ABC.

Dann der Winkel zwischen der Geraden AA 1 und Flugzeug ABC ist der Winkel zwischen einer Geraden AA 1 und sie EIN Projektion auf eine Ebene, also einen Winkel A 1 AN.

Reis. 5

Betrachten Sie ein viereckiges Prisma ABCDA 1 B 1 C 1 D 1(Abb. 6). Mal sehen, wie es ausgeht.

1) Viereck A B C D gleich einem Viereck A 1 B 1 C 1 D 1: ABCD = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Vierecke A B C D Und A 1 B 1 C 1 D 1 ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Vierecke A B C D Und A 1 B 1 C 1 D 1 so angeordnet, dass die Seitenrippen parallel sind, das heißt: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Definition. Die Diagonale eines Prismas ist ein Segment, das zwei Eckpunkte eines Prismas verbindet, die nicht zur gleichen Fläche gehören.

Zum Beispiel, AC 1- Diagonale eines viereckigen Prismas ABCDA 1 B 1 C 1 D 1.

Definition. Wenn die Seitenkante AA 1 senkrecht zur Grundebene, dann wird ein solches Prisma als Gerade bezeichnet.

Reis. 6

Ein Sonderfall eines viereckigen Prismas ist das uns bekannte Parallelepiped. Parallelepiped ABCDA 1 B 1 C 1 D 1 in Abb. dargestellt. 7.

Schauen wir uns an, wie es funktioniert:

1) Die Grundlagen liegen gleiche Zahlen. In diesem Fall - gleiche Parallelogramme A B C D Und A 1 B 1 C 1 D 1: A B C D = A 1 B 1 C 1 D 1.

2) Parallelogramme A B C D Und A 1 B 1 C 1 D 1 liegen in parallelen Ebenen α und β: ABC║A 1 B 1 C 1 (α ║ β).

3) Parallelogramme A B C D Und A 1 B 1 C 1 D 1 so angeordnet, dass die Seitenrippen parallel zueinander sind: AA 1 ║ВВ 1 ║СС 1 ║DD 1.

Reis. 7

Von diesem Punkt Eine 1 Lassen wir die Senkrechte fallen EIN zum Flugzeug ABC. Liniensegment A 1 N ist die Höhe.

Schauen wir uns an, wie ein sechseckiges Prisma aufgebaut ist (Abb. 8).

1) Die Basis enthält gleiche Sechsecke ABCDEF Und A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1: ABCDEF= A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1.

2) Ebenen von Sechsecken ABCDEF Und A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 parallel, das heißt, die Basen liegen in parallelen Ebenen: ABC║A 1 B 1 C (α ║ β).

3) Sechsecke ABCDEF Und A 1 B 1 C 1 D 1 E 1 F 1 so angeordnet, dass alle Seitenrippen parallel zueinander sind: AA 1 ║BB 1 …║FF 1.

Reis. 8

Definition. Wenn eine Seitenkante senkrecht zur Grundebene steht, wird ein solches sechseckiges Prisma als gerades Prisma bezeichnet.

Definition. Ein gerades Prisma heißt regelmäßig, wenn seine Grundflächen regelmäßige Vielecke sind.

Betrachten Sie ein regelmäßiges dreieckiges Prisma ABCA 1 IN 1 MIT 1.

Reis. 9

Dreieckiges Prisma ABCA 1 IN 1 MIT 1- regulär, das bedeutet, dass die Basen regelmäßige Dreiecke enthalten, das heißt, alle Seiten dieser Dreiecke sind gleich. Außerdem ist dieses Prisma gerade. Das bedeutet, dass die Seitenkante senkrecht zur Grundebene steht. Das bedeutet, dass alle Seitenflächen gleiche Rechtecke sind.

Also, wenn ein dreieckiges Prisma ABCA 1 IN 1 MIT 1- ist richtig, dann:

1) Die Seitenkante steht senkrecht zur Ebene der Basis, d. h. sie hat die Höhe: AA 1 ⊥ ABC.

2) Die Basis ist ein regelmäßiges Dreieck: ∆ ABC- richtig.

Definition. Bereich Vollflächig Ein Prisma ist die Summe der Flächen aller seiner Flächen. Festgelegt S voll.

Definition. Die Mantelfläche ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen. Festgelegt S-Seite.

Das Prisma hat zwei Basen. Dann beträgt die Gesamtoberfläche des Prismas:

S voll = S Seite + 2S Haupt.

Die Mantelfläche eines geraden Prismas ist gleich dem Produkt aus dem Umfang der Basis und der Höhe des Prismas.

Den Beweis führen wir am Beispiel eines dreieckigen Prismas durch.

Gegeben: ABCA 1 IN 1 MIT 1- gerades Prisma, d.h. AA 1 ⊥ ABC.

AA 1 = h.

Beweisen: S Seite = P Haupt ∙ h.

Reis. 10

Nachweisen.

Dreieckiges Prisma ABCA 1 IN 1 MIT 1- gerade, das heißt AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C - Rechtecke.

Ermitteln wir die Fläche der Seitenfläche als Summe der Flächen der Rechtecke AA 1 B 1 B, AA 1 C 1 C, BB 1 C 1 C:

S Seite = AB∙ h + BC∙ h + CA∙ h = (AB + BC + CA) ∙ h = P Haupt ∙ h.

Wir bekommen S Seite = P Haupt ∙ h, Q.E.D.

Wir haben Polyeder, Prismen und ihre Varianten kennengelernt. Wir haben den Satz über die Mantelfläche eines Prismas bewiesen. In der nächsten Lektion werden wir Prismenprobleme lösen.

1. Geometrie. Klassen 10-11: Lehrbuch für Schüler Bildungsinstitutionen(Grund- und Profilniveau) / I. M. Smirnova, V. A. Smirnov. - 5. Auflage, korrigiert und erweitert - M.: Mnemosyne, 2008. - 288 S. : krank.
2. Geometrie. 10.-11. Klasse: Lehrbuch für Allgemeinbildung Bildungsinstitutionen/ Sharygin I.F. - M.: Bustard, 1999. - 208 S.: Abb.
3. Geometrie. Klasse 10: Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen mit vertieftem und spezialisiertem Studium der Mathematik /E. V. Potoskuev, L. I. Zvalich. - 6. Auflage, Stereotyp. - M.: Bustard, 008. - 233 S. :il.

1. Iclass().
2. Shkolo.ru ().
3. Alte Schule ().
4. WikiHow().

1. Wie viele Flächen kann ein Prisma mindestens haben? Wie viele Eckpunkte und Kanten hat ein solches Prisma?
2. Gibt es ein Prisma, das genau 100 Kanten hat?
3. Die Seitenrippe ist in einem Winkel von 60° zur Grundebene geneigt. Ermitteln Sie die Höhe des Prismas, wenn die Seitenkante 6 cm beträgt.
4. In einem rechtwinkligen Dreiecksprisma sind alle Kanten gleich. Die Fläche seiner Seitenfläche beträgt 27 cm 2. Finden Sie die Gesamtoberfläche des Prismas.

Die Wahrung Ihrer Privatsphäre ist uns wichtig. Aus diesem Grund haben wir eine Datenschutzrichtlinie entwickelt, die beschreibt, wie wir Ihre Daten verwenden und speichern. Bitte lesen Sie unsere Datenschutzpraktiken durch und teilen Sie uns mit, wenn Sie Fragen haben.

Erhebung und Nutzung personenbezogener Daten

Unter personenbezogenen Daten versteht man Daten, die dazu genutzt werden können, eine bestimmte Person zu identifizieren oder mit ihr in Kontakt zu treten.

Sie können jederzeit um die Angabe Ihrer persönlichen Daten gebeten werden, wenn Sie mit uns Kontakt aufnehmen.

Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.

Welche personenbezogenen Daten erfassen wir:

• Wenn Sie auf der Website eine Bewerbung einreichen, erfassen wir möglicherweise verschiedene Informationen, einschließlich Ihres Namens, Ihrer Telefonnummer und Ihrer Adresse Email usw.

Wie wir Ihre persönlichen Daten verwenden:

• Von uns gesammelt Persönliche Angaben ermöglicht es uns, Sie zu kontaktieren und Sie über einzigartige Angebote, Werbeaktionen und andere Veranstaltungen sowie bevorstehende Veranstaltungen zu informieren.
• Von Zeit zu Zeit können wir Ihre persönlichen Daten verwenden, um wichtige Mitteilungen und Mitteilungen zu versenden.
• Wir können personenbezogene Daten auch für interne Zwecke verwenden, beispielsweise zur Durchführung von Audits, Datenanalysen und verschiedenen Forschungsarbeiten, um die von uns bereitgestellten Dienste zu verbessern und Ihnen Empfehlungen zu unseren Diensten zu geben.
• Wenn Sie an einer Verlosung, einem Wettbewerb oder einer ähnlichen Aktion teilnehmen, können wir die von Ihnen bereitgestellten Informationen zur Verwaltung solcher Programme verwenden.

Weitergabe von Informationen an Dritte

Wir geben die von Ihnen erhaltenen Informationen nicht an Dritte weiter.

Ausnahmen:

• Wenn es erforderlich ist – in Übereinstimmung mit dem Gesetz, dem Gerichtsverfahren, in Gerichtsverfahren und/oder auf der Grundlage öffentlicher Anfragen oder Anfragen von Regierungsbehörden im Hoheitsgebiet der Russischen Föderation – Ihre personenbezogenen Daten offenzulegen. Wir können auch Informationen über Sie offenlegen, wenn wir zu dem Schluss kommen, dass eine solche Offenlegung aus Sicherheits-, Strafverfolgungs- oder anderen Gründen von öffentlicher Bedeutung notwendig oder angemessen ist.
• Im Falle einer Umstrukturierung, Fusion oder eines Verkaufs können wir die von uns erfassten personenbezogenen Daten an den jeweiligen Nachfolger-Dritten weitergeben.

Schutz personenbezogener Daten

Wir treffen Vorkehrungen – einschließlich administrativer, technischer und physischer –, um Ihre persönlichen Daten vor Verlust, Diebstahl und Missbrauch sowie vor unbefugtem Zugriff, Offenlegung, Änderung und Zerstörung zu schützen.

Respektieren Sie Ihre Privatsphäre auf Unternehmensebene

Um sicherzustellen, dass Ihre persönlichen Daten sicher sind, kommunizieren wir Datenschutz- und Sicherheitsstandards an unsere Mitarbeiter und setzen Datenschutzpraktiken strikt durch.

Ein Prisma ist eine geometrische dreidimensionale Figur, deren Eigenschaften und Eigenschaften in Gymnasien untersucht werden. Bei der Untersuchung werden in der Regel Größen wie Volumen und Oberfläche berücksichtigt. In diesem Artikel gehen wir einer etwas anderen Frage nach: Wir stellen eine Methode zur Bestimmung der Länge der Diagonalen eines Prismas am Beispiel einer viereckigen Figur vor.

Welche Form nennt man Prisma?

In der Geometrie wird ein Prisma wie folgt definiert: Es ist eine dreidimensionale Figur, die durch zwei zueinander parallele, identische Polygonseiten und eine bestimmte Anzahl von Parallelogrammen begrenzt wird. Die folgende Abbildung zeigt ein Beispiel für ein entsprechendes Prisma diese Definition.

Wir sehen, dass die beiden roten Fünfecke einander gleich sind und in zwei parallelen Ebenen liegen. Fünf rosa Parallelogramme verbinden diese Fünfecke zu einem festen Objekt – einem Prisma. Die beiden Fünfecke werden als Grundflächen der Figur bezeichnet, ihre Parallelogramme als Seitenflächen.

Prismen können gerade oder schräg sein, auch rechteckig oder schräg genannt. Der Unterschied zwischen ihnen liegt in den Winkeln zwischen der Basis und den Seitenkanten. Bei einem rechteckigen Prisma betragen alle diese Winkel 90 °.

Basierend auf der Anzahl der Seiten oder Eckpunkte des Polygons an der Basis spricht man von dreieckigen, fünfeckigen, viereckigen Prismen usw. Wenn dieses Polygon außerdem regelmäßig ist und das Prisma selbst gerade ist, wird eine solche Figur als regelmäßig bezeichnet.

Das in der vorherigen Abbildung gezeigte Prisma ist fünfeckig geneigt. Unten ist ein fünfeckiges rechtwinkliges Prisma zu sehen, das regelmäßig ist.

Es ist praktisch, alle Berechnungen, einschließlich der Methode zur Bestimmung der Diagonalen eines Prismas, speziell für die richtigen Zahlen durchzuführen.

Welche Elemente charakterisieren ein Prisma?

Die Elemente einer Figur sind die Bestandteile, aus denen sie besteht. Speziell für ein Prisma lassen sich drei Haupttypen von Elementen unterscheiden:

• Oberteile;
• Kanten oder Seiten;
• Rippen

Als Flächen gelten die Grundflächen und Seitenflächen, die Parallelogramme darstellen Allgemeiner Fall. In einem Prisma ist jede Seite immer einer von zwei Typen: entweder ein Polygon oder ein Parallelogramm.

Die Kanten eines Prismas sind die Segmente, die jede Seite der Figur begrenzen. Wie Flächen gibt es auch Kanten in zwei Arten: solche, die zur Basis und Seitenfläche gehören, oder solche, die nur zur Seitenfläche gehören. Von ersteren gibt es immer doppelt so viele wie von letzteren, unabhängig von der Art des Prismas.

Die Eckpunkte sind die Schnittpunkte von drei Kanten des Prismas, von denen zwei in der Ebene der Grundfläche liegen und die dritte zu den beiden Seitenflächen gehört. Alle Eckpunkte des Prismas liegen in den Ebenen der Grundflächen der Figur.

Die Zahlen der beschriebenen Elemente werden zu einer einzigen Gleichheit verbunden, die folgende Form hat:

P = B + C – 2.

Hier ist P die Anzahl der Kanten, B – Eckpunkte, C – Seiten. Diese Gleichheit wird Eulers Theorem für das Polyeder genannt.

Die Abbildung zeigt ein dreieckiges regelmäßiges Prisma. Jeder kann zählen, dass es 6 Eckpunkte, 5 Seiten und 9 Kanten hat. Diese Zahlen stimmen mit dem Satz von Euler überein.

Prismendiagonalen

Nach Eigenschaften wie Volumen und Oberfläche stoßen wir bei Geometrieproblemen häufig auf Informationen über die Länge einer bestimmten Diagonale der betreffenden Figur, die entweder gegeben ist oder mithilfe anderer bekannter Parameter ermittelt werden muss. Betrachten wir, welche Diagonalen ein Prisma hat.

Alle Diagonalen können in zwei Typen unterteilt werden:

1. Liegt in der Ebene der Gesichter. Sie verbinden nicht benachbarte Eckpunkte entweder eines Polygons an der Basis eines Prismas oder eines Parallelogramms an der Seitenfläche. Der Wert der Längen solcher Diagonalen wird anhand der Kenntnis der Längen der entsprechenden Kanten und der Winkel zwischen ihnen bestimmt. Zur Bestimmung der Diagonalen von Parallelogrammen werden stets die Eigenschaften von Dreiecken herangezogen.
2. Im Volumen liegende Prismen. Diese Diagonalen verbinden die unterschiedlichen Eckpunkte zweier Basen. Diese Diagonalen liegen vollständig innerhalb der Figur. Ihre Längen sind etwas schwieriger zu berechnen als beim Vorgängertyp. Bei der Berechnungsmethode werden die Längen der Rippen und der Basis sowie Parallelogramme berücksichtigt. Für gerade und regelmäßige Prismen ist die Berechnung relativ einfach, da sie mit dem Satz des Pythagoras und den Eigenschaften trigonometrischer Funktionen durchgeführt wird.

Diagonalen der Seiten eines viereckigen rechten Prismas

Die obige Abbildung zeigt vier identische gerade Prismen und die Parameter ihrer Kanten sind angegeben. Auf den Prismen Diagonal A, Diagonal B und Diagonal C zeigt die gestrichelte rote Linie die Diagonalen von drei verschiedenen Flächen. Da das Prisma eine gerade Linie mit einer Höhe von 5 cm ist und seine Basis durch ein Rechteck mit Seitenlängen von 3 cm und 2 cm dargestellt wird, ist es nicht schwierig, die markierten Diagonalen zu finden. Dazu müssen Sie den Satz des Pythagoras verwenden.

Die Länge der Diagonale der Prismenbasis (Diagonale A) ist gleich:

D A = √(3 2 +2 2) = √13 ≈ 3,606 cm.

Für die Seitenfläche des Prismas ist die Diagonale gleich (siehe Diagonale B):

D B = √(3 2 +5 2) = √34 ≈ 5,831 cm.

Schließlich beträgt die Länge einer weiteren Seitendiagonale (siehe Diagonale C):

D C = √(2 2 +5 2) = √29 ≈ 5,385 cm.

Länge der inneren Diagonale

Berechnen wir nun die Länge der Diagonale des viereckigen Prismas, die in der vorherigen Abbildung dargestellt ist (Diagonale D). Dies ist nicht so schwierig, wenn Sie bemerken, dass es sich um die Hypotenuse eines Dreiecks handelt, dessen Schenkel die Höhe des Prismas (5 cm) und die Diagonale D A haben, wie in der Abbildung oben links gezeigt (Diagonale A). Dann erhalten wir:

D D = √(D A 2 +5 2) = √(2 2 +3 2 +5 2) = √38 ≈ 6,164 cm.

Regelmäßiges viereckiges Prisma

Die Diagonale eines regelmäßigen Prismas, dessen Grundfläche ein Quadrat ist, wird auf die gleiche Weise wie im obigen Beispiel berechnet. Die entsprechende Formel lautet:

D = √(2*a 2 +c 2).

Dabei sind a und c die Längen der Basisseite bzw. der Seitenkante.

Beachten Sie, dass wir in den Berechnungen nur den Satz des Pythagoras verwendet haben. Zur Bestimmung der Längen der Diagonalen regelmäßiger Prismen mit eine große Anzahl Eckpunkte (fünfeckig, sechseckig usw.) erfordern bereits die Anwendung trigonometrischer Funktionen.