Wellengleichung, Differentialgleichung mit partiellen Ableitungen, die den Prozess der Ausbreitung von Störungen in einem bestimmten Medium beschreibt Tikhonov A.N. und Samarsky A.A., Equations of Mathematical Physics, 3. Aufl., M., 1977. - S. 155....

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In dieser Lektion werden wir uns weiterhin mit dem Arkustangens befassen und Gleichungen der Form tg x = a für jedes a lösen. Zu Beginn der Lektion lösen wir eine Gleichung mit einem Tabellenwert und veranschaulichen die Lösung in einem Diagramm und anschließend in einem Kreis. Als nächstes lösen wir die Gleichung tgx = aв Gesamtansicht und Ausgabe allgemeine Formel Antwort. Lassen Sie uns die Berechnungen anhand einer Grafik und eines Kreises veranschaulichen und die verschiedenen Formen der Antwort betrachten. Am Ende der Lektion werden wir mehrere Probleme mit Lösungen lösen, die in einer Grafik und einem Kreis dargestellt sind.

Thema: Trigonometrische Gleichungen

Lektion: Arcustangens und Lösung der Gleichung tgx=a (Fortsetzung)

1. Unterrichtsthema, Einführung

In dieser Lektion werden wir uns mit der Lösung der Gleichung für jeden reellen Wert befassen

2. Lösung der Gleichung tgx=√3

Aufgabe 1. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns die Lösung mithilfe von Funktionsgraphen finden (Abb. 1).

Betrachten wir das Intervall. In diesem Intervall ist die Funktion monoton, was bedeutet, dass sie nur für einen Wert der Funktion erreicht wird.

Antwort:

Lösen wir die gleiche Gleichung mit Zahlenkreis(Abb. 2).

Antwort:

3. Lösung der Gleichung tgx=a in allgemeiner Form

Lösen wir die Gleichung in allgemeiner Form (Abb. 3).

Auf dem Intervall hat die Gleichung eine eindeutige Lösung

Kleinster positiver Zeitraum

Lassen Sie uns dies am Zahlenkreis veranschaulichen (Abb. 4).

4. Problemlösung

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns die Variable ändern

Problem 3. Lösen Sie das System:

Lösung (Abb. 5):

An einem Punkt ist der Wert also die Lösung für das System nur der Punkt

Antwort:

Aufgabe 4. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns mit der Variablenänderungsmethode lösen:

Aufgabe 5. Finden Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung im Intervall

Lösen wir das Problem anhand eines Diagramms (Abb. 6).

Die Gleichung hat drei Lösungen in einem bestimmten Intervall.

Lassen Sie es uns anhand eines Zahlenkreises veranschaulichen (Abb. 7), obwohl es nicht so klar ist wie in der Grafik.

Antwort: Drei Lösungen.

5. Fazit, Fazit

Wir haben die Gleichung für jeden reellen Wert mithilfe des Konzepts des Arkustangens gelöst. In der nächsten Lektion stellen wir das Konzept des Arcus-Tangens vor.

Referenzliste

1. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Anleitung für Bildungsinstitutionen(Profilebene) Hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse ( Lernprogramm für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Eingehende Studie Algebra und mathematische Analyse.-M.: Bildung, 1997.

5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an höheren Bildungseinrichtungen (herausgegeben von M. I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.

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8. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.

Hausaufgaben

Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Zusätzliche Webressourcen

1. Mathematik.

2. Probleme mit dem Internetportal. ru.

3. Bildungsportal um sich auf Prüfungen vorzubereiten.

Zu Beginn des Programms erhielten die Studierenden einen Einblick in die Lösung trigonometrischer Gleichungen, machten sich mit den Konzepten Arcuscosinus und Arcussinus sowie Lösungsbeispielen vertraut cos-Gleichungen t = a und sin t = a. In diesem Video-Tutorial werden wir uns mit der Lösung der Gleichungen tg x = a und ctg x = a befassen.

Um mit dem Studium dieses Themas zu beginnen, betrachten wir die Gleichungen tg x = 3 und tg x = - 3. Wenn wir die Gleichung tg x = 3 mithilfe eines Graphen lösen, werden wir sehen, dass der Schnittpunkt der Graphen der Funktionen y = tg x und y = 3 hat unendliche Menge Lösungen, wobei x = x 1 + πk. Der Wert x 1 ist die x-Koordinate des Schnittpunkts der Graphen der Funktionen y = tan x und y = 3. Der Autor führt das Konzept des Arcustangens ein: arctan 3 ist eine Zahl, deren tan gleich 3 ist, und diese Zahl gehört zum Intervall von -π/2 bis π/2. Unter Verwendung des Konzepts des Arkustangens kann die Lösung der Gleichung tan x = 3 als x = arctan 3 + πk geschrieben werden.

Analog wird die Gleichung tg x = - 3 gelöst. Aus den konstruierten Graphen der Funktionen y = tg x und y = - 3 ist klar, dass die Schnittpunkte der Graphen und damit die Lösungen der Gleichungen sei x = x 2 + πk. Unter Verwendung des Arkustangens kann die Lösung als x = arctan (- 3) + πk geschrieben werden. In der nächsten Abbildung sehen wir, dass arctg (- 3) = - arctg 3.

Die allgemeine Definition des Arkustangens lautet wie folgt: Der Arkustangens a ist eine Zahl aus dem Intervall von -π/2 bis π/2, deren Tangens gleich a ist. Dann ist die Lösung der Gleichung tan x = a x = arctan a + πk.

Der Autor gibt Beispiel 1. Finden Sie eine Lösung für den Ausdruck arctan. Lassen Sie uns die Notation einführen: Der Arcustangens einer Zahl ist gleich x, dann ist tg x gleich der gegebenen Zahl, wobei x zum Segment von -π gehört /2 bis π/2. Wie in den Beispielen in den vorherigen Themen verwenden wir eine Wertetabelle. Nach dieser Tabelle ist die Tangente angegebene Nummer entspricht dem Wert x = π/3. Schreiben wir die Lösung der Gleichung auf: Der Arkustangens einer gegebenen Zahl ist gleich π/3, π/3 gehört auch zum Intervall von -π/2 bis π/2.

Beispiel 2 – Arcustangens berechnen negative Zahl. Mit der Gleichung arctg (- a) = - arctg a geben wir den Wert von x ein. Ähnlich wie in Beispiel 2 schreiben wir den Wert von x auf, der zum Segment von -π/2 bis π/2 gehört. Aus der Wertetabelle finden wir, dass x = π/3, also -- tg x = - π/3. Die Antwort auf die Gleichung lautet - π/3.

Betrachten wir Beispiel 3. Lösen Sie die Gleichung tg x = 1. Schreiben Sie, dass x = arctan 1 + πk. In der Tabelle entspricht der Wert tg 1 dem Wert x = π/4, also arctg 1 = π/4. Setzen wir diesen Wert in die ursprüngliche Formel x ein und schreiben wir die Antwort x = π/4 + πk.

Beispiel 4: Berechnen Sie tan x = - 4,1. In diesem Fall ist x = arctan (- 4,1) + πk. Weil finden arctg-Wert In diesem Fall besteht keine Möglichkeit, die Antwort sieht wie folgt aus: x = arctan (- 4,1) + πk.

In Beispiel 5 wird die Lösung der Ungleichung tg x > 1 betrachtet. Um sie zu lösen, konstruieren wir Graphen der Funktionen y = tan x und y = 1. Wie in der Abbildung zu sehen ist, schneiden sich diese Graphen in den Punkten x = π/4 + πk. Weil in diesem Fall tg x > 1, markieren wir im Diagramm den Tangentenbereich, der sich über dem Diagramm y = 1 befindet, wobei x zum Intervall von π/4 bis π/2 gehört. Wir schreiben die Antwort als π/4 + πk< x < π/2 + πk.

Als nächstes werden wir darüber nachdenken ctg-Gleichung x = a. Die Abbildung zeigt Graphen der Funktionen y = cot x, y = a, y = - a, die viele Schnittpunkte haben. Die Lösungen können als x = x 1 + πk geschrieben werden, wobei x 1 = arcctg a und x = x 2 + πk, wobei x 2 = arcctg (- a). Es ist zu beachten, dass x 2 = π – x 1 . Dies impliziert die Gleichheit arcctg (- a) = π - arcctg a. Das Folgende ist die Definition des Arcuskotangens: Arcuskotangens a ist eine Zahl aus dem Intervall von 0 bis π, deren Kotangens gleich a ist. Die Lösung der Gleichung сtg x = a wird wie folgt geschrieben: x = arcctg a + πk.

Am Ende der Videolektion wird eine weitere wichtige Schlussfolgerung gezogen: Der Ausdruck ctg x = a kann als tg x = 1/a geschrieben werden, vorausgesetzt, a ist nicht gleich Null.

TEXTDEKODIERUNG:

Betrachten wir die Lösung der Gleichungen tg x = 3 und tg x = - 3. Wenn wir die erste Gleichung grafisch lösen, sehen wir, dass die Graphen der Funktionen y = tg x und y = 3 unendlich viele Schnittpunkte haben, deren Abszissen wir schreiben in der Form

x = x 1 + πk, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = 3 mit dem Hauptast des Tangentoids (Abb. 1) ist, für den die Bezeichnung erfunden wurde

arctan 3 (Arkustangens von drei).

Wie ist Arctg 3 zu verstehen?

Dies ist eine Zahl, deren Tangens 3 ist und die zum Intervall (- ;) gehört. Dann können alle Wurzeln der Gleichung tg x = 3 durch die Formel x = arctan 3+πk geschrieben werden.

Ebenso kann die Lösung der Gleichung tg x = - 3 in der Form x = x 2 + πk geschrieben werden, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = - 3 mit dem Hauptzweig des ist Tangentoid (Abb. 1), für den die Bezeichnung arctg(- 3) (Arkustangens minus drei) verwendet wird. Dann können alle Wurzeln der Gleichung durch die Formel geschrieben werden: x = arctan(-3)+ πk. Die Abbildung zeigt, dass arctg(- 3)= - arctg 3.

Lassen Sie uns die Definition des Arkustangens formulieren. Der Arkustangens a ist eine Zahl aus dem Intervall (-;), deren Tangens gleich a ist.

Häufig wird die Gleichheit verwendet: arctg(-a) = -arctg a, die für jedes a gilt.

Wenn wir die Definition des Arkustangens kennen, können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung ziehen

tg x= a: Die Gleichung tg x = a hat eine Lösung x = arctan a + πk.

Schauen wir uns Beispiele an.

BEISPIEL 1. Arctan berechnen.

Lösung. Sei arctg = x, dann tgх = und xϵ (- ;). Wertetabelle anzeigen Daher ist x =, da tg = und ϵ (- ;).

Also, arctan =.

BEISPIEL 2. Berechnen Sie Arctan (-).

Lösung. Unter Verwendung der Gleichung arctg(- a) = - arctg a schreiben wir:

arctg(-) = - arctg . Sei - arctg = x, dann - tgх = und xϵ (- ;). Daher ist x =, da tg = und ϵ (- ;). Wertetabelle anzeigen

Das bedeutet - arctg=- tgх= - .

BEISPIEL 3. Lösen Sie die Gleichung tgх = 1.

1. Schreiben Sie die Lösungsformel auf: x = arctan 1 + πk.

2. Ermitteln Sie den Wert des Arkustangens

da tg = . Wertetabelle anzeigen

Also arctan1= .

3. Tragen Sie den gefundenen Wert in die Lösungsformel ein:

BEISPIEL 4. Lösen Sie die Gleichung tgх = - 4,1 (Tangente x ist gleich minus vier Komma eins).

Lösung. Schreiben wir die Lösungsformel: x = arctan (- 4,1) + πk.

Da wir den Wert des Arkustangens nicht berechnen können, belassen wir die Lösung der Gleichung in ihrer erhaltenen Form.

BEISPIEL 5. Lösen Sie die Ungleichung tgх 1.

Lösung. Wir werden es grafisch lösen.

1. Konstruieren wir eine Tangente

y = tgx und Gerade y = 1 (Abb. 2). Sie schneiden sich in Punkten wie x = + πk.

2. Wählen wir das Intervall der x-Achse, in dem sich der Hauptast des Tangentoids über der Geraden y = 1 befindet, da nach Bedingung tgх 1. Dies ist das Intervall (;).

3. Wir nutzen die Periodizität der Funktion.

Eigenschaft 2. y=tg x - periodische Funktion mit der Hauptperiode π.

Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y = tgх schreiben wir die Antwort:

(;). Die Antwort kann als doppelte Ungleichung geschrieben werden:

Kommen wir zur Gleichung ctg x = a. Lassen Sie uns eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung für positives und negatives a präsentieren (Abb. 3).

Graphen der Funktionen y = ctg x und y = a und auch

y=ctg x und y=-a

haben unendlich viele gemeinsame Punkte, deren Abszissen wie folgt aussehen:

x = x 1 +, wobei x 1 die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = a mit dem Hauptast des Tangentoids ist und

x 1 = arcctg a;

x = x 2 +, wobei x 2 die Abszisse des Schnittpunktes der Geraden ist

y = - a mit dem Hauptast des Tangentoids und x 2 = arcсtg (- a).

Beachten Sie, dass x 2 = π - x 1. Schreiben wir also eine wichtige Gleichheit auf:

arcсtg (-a) = π - arcсtg а.

Formulieren wir die Definition: Arcuskotangens a ist eine Zahl aus dem Intervall (0;π), deren Kotangens gleich a ist.

Die Lösung der Gleichung ctg x = a wird in der Form geschrieben: x = arcctg a + .

Bitte beachten Sie, dass die Gleichung ctg x = a in die Form umgewandelt werden kann

tg x = , außer wenn a = 0.

>> Arkustangens und Arkuskotangens. Lösen der Gleichungen tgx = a, ctgx = a

§ 19. Arkustangens und Arkuskotangens. Lösen der Gleichungen tgx = a, ctgx = a

In Beispiel 2 von §16 konnten wir drei Gleichungen nicht lösen:

Zwei davon haben wir bereits gelöst – den ersten in § 17 und den zweiten in § 18, dazu mussten wir die Konzepte vorstellen Arkuskosinus und Arkussinus. Betrachten Sie die dritte Gleichung x = 2.
Die Graphen der Funktionen y=tg x und y=2 haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen aller dieser Punkte haben die Form - die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = 2 mit dem Hauptast des Tangentoids (Abb. 90). Für die Zahl x1 haben Mathematiker die Bezeichnung acrtg 2 (sprich „Arkustangens von zwei“) erfunden. Dann können alle Wurzeln der Gleichung x=2 durch die Formel x=arctg 2 + pk beschrieben werden.
Was ist AGCTG 2? Das ist die Nummer Tangente der gleich 2 ist und zum Intervall gehört
Betrachten wir nun die Gleichung tg x = -2.
Funktionsgraphen haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen aller dieser Punkte haben die Form Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = -2 mit dem Hauptast der Tangente. Für die Zahl x 2 haben Mathematiker die Notation arctg(-2) erfunden. Dann können alle Wurzeln der Gleichung x = -2 durch die Formel beschrieben werden

Was ist acrtg(-2)? Dies ist eine Zahl, deren Tangens -2 ist und die zum Intervall gehört. Bitte beachten (siehe Abb. 90): x 2 = -x 2. Dies bedeutet, dass arctg(-2) = - arctg 2.
Lassen Sie uns die Definition des Arkustangens in allgemeiner Form formulieren.

Definition 1. arсtg a (Arctangens a) ist eine Zahl aus dem Intervall, dessen Tangens gleich a ist. Also,

Wir sind nun in der Lage, ein allgemeines Fazit zur Lösung zu ziehen Gleichungen x=a: Die Gleichung x = a hat Lösungen

Wir haben oben festgestellt, dass arctg(-2) = -agctg 2. Im Allgemeinen ist die Formel für jeden Wert von a gültig

Beispiel 1. Berechnung:

Beispiel 2. Gleichungen lösen:

A) Lassen Sie uns eine Lösungsformel erstellen:

Da wir in diesem Fall den Wert des Arkustangens nicht berechnen können, belassen wir die Lösung der Gleichung in der erhaltenen Form.
Antwort:
Beispiel 3. Ungleichungen lösen:
Ungleichungen der Form können grafisch gelöst werden, indem man sich an die folgenden Pläne hält
1) Konstruieren Sie eine Tangente y = tan x und eine Gerade y = a;
2) Wählen Sie für den Hauptzweig des Tangeisoids das Intervall der x-Achse aus, auf dem die gegebene Ungleichung erfüllt ist;
3) Schreiben Sie die Antwort unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y = tan x in allgemeiner Form.
Wenden wir diesen Plan an, um die gegebenen Ungleichungen zu lösen.

: a) Konstruieren wir Graphen der Funktionen y = tgх und y = 1. Auf dem Hauptast der Tangente schneiden sie sich im Punkt

Wählen wir das Intervall der x-Achse, auf dem der Hauptast des Tangentoids unterhalb der Geraden y = 1 liegt – das ist das Intervall
Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y = tgх kommen wir zu dem Schluss, dass die gegebene Ungleichung in jedem Intervall der Form erfüllt ist:

Die Vereinigung aller dieser Intervalle ist gemeinsame Entscheidung gegebene Ungleichheit.
Die Antwort kann auch anders geschrieben werden:

b) Lassen Sie uns Graphen der Funktionen y = tan x und y = -2 erstellen. Auf dem Hauptast des Tangentoids (Abb. 92) schneiden sie sich im Punkt x = arctg(-2).

Wählen wir das Intervall der x-Achse aus, auf dem der Hauptast des Tangentoids liegt

Betrachten Sie die Gleichung mit tan x=a, wobei a>0. Die Graphen der Funktionen y=ctg x und y =a haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen aller dieser Punkte haben die Form: x = x 1 + pk, wobei x 1 =arccstg a die Abszisse des Schnittpunktes ist der Geraden y=a mit dem Hauptast der Tangente (Abb. 93). Dies bedeutet, dass arcstg a eine Zahl ist, deren Kotangens gleich a ist und die zum Intervall (0, n) gehört; Auf diesem Intervall wird der Hauptzweig des Graphen der Funktion y = сtg x konstruiert.

In Abb. 93 präsentiert auch eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung c1tg = -a. Die Graphen der Funktionen y = сtg x und y = -а haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen aller dieser Punkte haben die Form x = x 2 + pk, wobei x 2 = агсстg (- а) die Abszisse des ist Schnittpunkt der Linie y = -а mit dem tangentialen Zweig der Hauptlinie. Dies bedeutet, dass arcstg(-a) eine Zahl ist, deren Kotangens gleich -a ist und die zum Intervall (O, n) gehört; Auf diesem Intervall wird der Hauptzweig des Graphen der Funktion Y = сtg x konstruiert.

Definition 2. arccstg a (Bogenkotangens a) ist eine Zahl aus dem Intervall (0, n), deren Kotangens gleich a ist.
Also,

Nun können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung ctg x = a ziehen: Die Gleichung ctg x = a hat Lösungen:

Bitte beachten (siehe Abb. 93): x 2 = n-x 1. Das bedeutet es

Beispiel 4. Berechnung:

A) Sagen wir mal

Die Gleichung сtg x=а kann fast immer in die Form umgewandelt werden. Eine Ausnahme bildet die Gleichung сtg x =0. Aber in diesem Fall nutzen Sie die Tatsache aus, dass Sie dorthin gehen können
Gleichung cos x=0. Daher ist eine Gleichung der Form x = a nicht von unabhängigem Interesse.

A.G. Mordkovich Algebra 10. Klasse

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