Das Verhältnis zweier Funktionen ist gleich dem Verhältnis der Ableitungen. Ableitung einer Funktion. Geometrische Bedeutung der Ableitung. Ableitung einer Exponentialfunktion

Das Lösen physikalischer Probleme oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und der Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte in der mathematischen Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist eine Ableitung, was ist ihre physikalische und geometrische Bedeutung, wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , angegeben in einem bestimmten Intervall (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern – der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung Derivat: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit für einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Bei Fragen zu diesem und anderen Themen können Sie sich an den Studierendenservice wenden. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit, den schwierigsten Test zu lösen und die Aufgaben zu verstehen, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.

Zur Vereinfachung und Klarheit beim Studium des Themas präsentieren wir eine Übersichtstabelle.

Konstantey = C

Potenzfunktion y = x p

(x p) " = p x p - 1

Exponentialfunktiony = ein x

(a x) " = a x ln a

Insbesondere wanna = ewir haben y = e x

(e x) " = e x

Logarithmische Funktion

(log a x) " = 1 x ln a

Insbesondere wanna = ewir haben y = logx

(ln x) " = 1 x

Trigonometrische Funktionen

(sin x) " = cos x (cos x) " = - sin x (t g x) " = 1 cos 2 x (c t g x) " = - 1 sin 2 x

Inverse trigonometrische Funktionen

(a r c sin x) " = 1 1 - x 2 (a r c cos x) " = - 1 1 - x 2 (a r c t g x) " = 1 1 + x 2 (a r c c t g x) " = - 1 1 + x 2

Hyperbolische Funktionen

(s h x) " = c h x (c h x) " = s h x (t h x) " = 1 c h 2 x (c t h x) " = - 1 s h 2 x

Lassen Sie uns analysieren, wie die Formeln der angegebenen Tabelle erhalten wurden, oder mit anderen Worten, wir werden die Ableitung von Ableitungsformeln für jeden Funktionstyp beweisen.

Ableitung einer Konstante

Beweis 1

Um sich zurückzuziehen diese Formel Nehmen wir als Grundlage die Definition der Ableitung einer Funktion an einem Punkt. Wir verwenden x 0 = x, wobei X nimmt den Wert einer beliebigen reellen Zahl an, oder mit anderen Worten: X ist eine beliebige Zahl aus dem Definitionsbereich der Funktion f (x) = C. Schreiben wir den Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement des Arguments als ∆ x → 0 auf:

lim ∆ x → 0 ∆ f (x) ∆ x = lim ∆ x → 0 C - C ∆ x = lim ∆ x → 0 0 ∆ x = 0

Bitte beachten Sie, dass der Ausdruck 0 ∆ x unter das Grenzzeichen fällt. Es handelt sich nicht um die Unsicherheit „Null geteilt durch Null“, da der Zähler keinen unendlich kleinen Wert enthält, sondern genau Null. Mit anderen Worten: Das Inkrement einer konstanten Funktion ist immer Null.

Die Ableitung der konstanten Funktion f (x) = C ist also im gesamten Definitionsbereich gleich Null.

Beispiel 1

Die konstanten Funktionen sind gegeben:

f 1 (x) = 3, f 2 (x) = a, a ∈ R, f 3 (x) = 4. 13 7 22 , f 4 (x) = 0 , f 5 (x) = - 8 7

Lösung

Beschreiben wir die gegebenen Bedingungen. In der ersten Funktion sehen wir die Ableitung der natürlichen Zahl 3. Im folgenden Beispiel müssen Sie die Ableitung von bilden A, Wo A- jede reelle Zahl. Das dritte Beispiel gibt uns die Ableitung der irrationalen Zahl 4. 13 7 22, die vierte ist die Ableitung von Null (Null ist eine ganze Zahl). Schließlich haben wir im fünften Fall die Ableitung rationaler Bruch - 8 7 .

Antwort: Derivate spezifizierte Funktionen ist für jeden Real Null X(über den gesamten Definitionsbereich)

f 1 " (x) = (3) " = 0 , f 2 " (x) = (a) " = 0 , a ∈ R , f 3 " (x) = 4 . 13 7 22 " = 0 , f 4 " (x) = 0 " = 0 , f 5 " (x) = - 8 7 " = 0

Ableitung einer Potenzfunktion

Lass uns weitergehen zu Power-Funktion und die Formel seiner Ableitung, die die Form hat: (x p) " = p x p - 1, wobei der Exponent P ist eine beliebige reelle Zahl.

Beweis 2

Lassen Sie uns einen Beweis der Formel geben, wenn der Exponent ist natürliche Zahl: p = 1, 2, 3, …

Wir verlassen uns erneut auf die Definition eines Derivats. Schreiben wir den Grenzwert des Verhältnisses des Inkrements einer Potenzfunktion zum Inkrement des Arguments auf:

(x p) " = lim ∆ x → 0 = ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x

Um den Ausdruck im Zähler zu vereinfachen, verwenden wir die Binomialformel von Newton:

(x + ∆ x) p - x p = C p 0 + x p + C p 1 · x p - 1 · ∆ x + C p 2 · x p - 2 · (∆ x) 2 + . . . + + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p - x p = = C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + . . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p

Auf diese Weise:

(x p) " = lim ∆ x → 0 ∆ (x p) ∆ x = lim ∆ x → 0 (x + ∆ x) p - x p ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 ∆ x + C p 2 x p - 2 (∆ x) 2 + ... + C p p - 1 x (∆ x) p - 1 + C p p (∆ x) p) ∆ x = = lim ∆ x → 0 (C p 1 x p - 1 + C p 2 x p - 2 ∆ x + . . + C p p - 1 x (∆ x) p - 2 + C p p (∆ x) p - 1) = = C p 1 · x p - 1 + 0 + 0 + . . . + 0 = p ! 1 ! · (p - 1) ! · x p - 1 = p · x p - 1

Damit haben wir die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion bewiesen, wenn der Exponent eine natürliche Zahl ist.

Beweis 3

Beweise für den Fall liefern, wann P- Für jede reelle Zahl außer Null verwenden wir die logarithmische Ableitung (hier sollten wir den Unterschied zur Ableitung einer logarithmischen Funktion verstehen). Für ein umfassenderes Verständnis empfiehlt es sich, die Ableitung einer logarithmischen Funktion zu untersuchen und die Ableitung einer impliziten Funktion und die Ableitung einer komplexen Funktion besser zu verstehen.

Betrachten wir zwei Fälle: wann X positiv und wann X Negativ.

Also x > 0. Dann: x p > 0 . Logarithmieren wir die Gleichung y = x p zur Basis e und wenden wir die Eigenschaft des Logarithmus an:

y = x p ln y = ln x p ln y = p · ln x

Zu diesem Zeitpunkt haben wir eine implizit spezifizierte Funktion erhalten. Definieren wir seine Ableitung:

(ln y) " = (p · ln x) 1 y · y " = p · 1 x ⇒ y " = p · y x = p · x p x = p · x p - 1

Nun betrachten wir den Fall, wenn X - eine negative Zahl.

Wenn der Indikator P Es gibt gerade Zahl, dann ist die Potenzfunktion für x definiert< 0 , причем является четной: y (x) = - y ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p · x p - 1

Dann x p< 0 и возможно составить доказательство, используя логарифмическую производную.

Wenn P eine ungerade Zahl ist, dann ist die Potenzfunktion für x definiert< 0 , причем является нечетной: y (x) = - y (- x) = - (- x) p . Тогда x p < 0 , а значит логарифмическую производную задействовать нельзя. В такой ситуации возможно взять за основу доказательства правила дифференцирования и правило нахождения производной сложной функции:

y " (x) = (- (- x) p) " = - ((- x) p) " = - p · (- x) p - 1 · (- x) " = = p · (- x) p - 1 = p x p - 1

Der letzte Übergang ist möglich, da if P ist also eine ungerade Zahl p - 1 entweder eine gerade Zahl oder Null (für p = 1), also negativ X die Gleichheit (- x) p - 1 = x p - 1 ist wahr.

Wir haben also die Formel für die Ableitung einer Potenzfunktion für jedes reelle p bewiesen.

Beispiel 2

Gegebene Funktionen:

f 1 (x) = 1 x 2 3 , f 2 (x) = x 2 - 1 4 , f 3 (x) = 1 x log 7 12

Bestimmen Sie ihre Ableitungen.

Lösung

Wir transformieren einige der gegebenen Funktionen basierend auf den Eigenschaften des Grades in tabellarische Form y = x p und verwenden dann die Formel:

f 1 (x) = 1 x 2 3 = x - 2 3 ⇒ f 1 " (x) = - 2 3 x - 2 3 - 1 = - 2 3 x - 5 3 f 2 " (x) = x 2 - 1 4 = 2 - 1 4 x 2 - 1 4 - 1 = 2 - 1 4 x 2 - 5 4 f 3 (x) = 1 x log 7 12 = x - log 7 12 ⇒ f 3" ( x) = - log 7 12 x - log 7 12 - 1 = - log 7 12 x - log 7 12 - log 7 7 = - log 7 12 x - log 7 84

Ableitung einer Exponentialfunktion

Beweis 4

Lassen Sie uns die Ableitungsformel auf der Grundlage der Definition ableiten:

(a x) " = lim ∆ x → 0 a x + ∆ x - a x ∆ x = lim ∆ x → 0 a x (a ∆ x - 1) ∆ x = a x lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = 0 0

Wir haben Unsicherheit. Um es zu erweitern, schreiben wir eine neue Variable z = a ∆ x - 1 (z → 0 als ∆ x → 0). In diesem Fall ist a ∆ x = z + 1 ⇒ ∆ x = log a (z + 1) = ln (z + 1) ln a . Für den letzten Übergang wurde die Formel für den Übergang zu einer neuen Logarithmusbasis verwendet.

Setzen wir in den ursprünglichen Grenzwert ein:

(a x) " = a x · lim ∆ x → 0 a ∆ x - 1 ∆ x = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 1 z · ln (z + 1) = = a x · ln a · lim ∆ x → 0 1 ln (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln lim ∆ x → 0 (z + 1) 1 z

Erinnern wir uns an die zweite bemerkenswerte Grenze und dann erhalten wir die Formel für die Ableitung Exponentialfunktion:

(a x) " = a x · ln a · 1 ln lim z → 0 (z + 1) 1 z = a x · ln a · 1 ln e = a x · ln a

Beispiel 3

Die Exponentialfunktionen sind gegeben:

f 1 (x) = 2 3 x , f 2 (x) = 5 3 x , f 3 (x) = 1 (e) x

Es ist notwendig, ihre Ableitungen zu finden.

Lösung

Wir verwenden die Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion und die Eigenschaften des Logarithmus:

f 1 " (x) = 2 3 x " = 2 3 x ln 2 3 = 2 3 x (ln 2 - ln 3) f 2 " (x) = 5 3 x " = 5 3 x ln 5 1 3 = 1 3 5 3 x ln 5 f 3 " (x) = 1 (e) x " = 1 e x " = 1 e x ln 1 e = 1 e x ln e - 1 = - 1 e x

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Beweis 5

Lassen Sie uns einen Beweis der Formel für die Ableitung einer logarithmischen Funktion für jede liefern X im Bereich der Definition und jeglicher akzeptable Werte Basis a des Logarithmus. Basierend auf der Definition des Derivats erhalten wir:

(log a x) " = lim ∆ x → 0 log a (x + ∆ x) - log a x ∆ x = lim ∆ x → 0 log a x + ∆ x x ∆ x = = lim ∆ x → 0 1 ∆ x log a 1 + ∆ x x = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x = = lim ∆ x → 0 log a 1 + ∆ x x 1 ∆ x · x x = lim ∆ x → 0 1 x · log a 1 + ∆ x x x ∆ x = = 1 x · log a lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = 1 x · log a e = 1 x · ln e ln a = 1 x · ln a

Aus der angegebenen Gleichungskette wird deutlich, dass die Transformationen auf der Eigenschaft des Logarithmus beruhten. Die Gleichheit lim ∆ x → 0 1 + ∆ x x x ∆ x = e gilt gemäß dem zweiten bemerkenswerten Grenzwert.

Beispiel 4

Logarithmische Funktionen sind gegeben:

f 1 (x) = log ln 3 x , f 2 (x) = ln x

Es ist notwendig, ihre Ableitungen zu berechnen.

Lösung

Wenden wir die abgeleitete Formel an:

f 1 " (x) = (log ln 3 x) " = 1 x · ln (ln 3) ; f 2 " (x) = (ln x) " = 1 x ln e = 1 x

Die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist also eins dividiert durch X.

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Beweis 6

Lasst uns welche verwenden trigonometrische Formeln und der erste bemerkenswerte Grenzwert zur Ableitung der Formel für die Ableitung einer trigonometrischen Funktion.

Nach der Definition der Ableitung der Sinusfunktion erhalten wir:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x

Mit der Formel für die Sinusdifferenz können wir die folgenden Aktionen ausführen:

(sin x) " = lim ∆ x → 0 sin (x + ∆ x) - sin x ∆ x = = lim ∆ x → 0 2 sin x + ∆ x - x 2 cos x + ∆ x + x 2 ∆ x = = lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 · cos x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2

Schließlich verwenden wir die erste wunderbare Grenze:

sin " x = cos x + 0 2 · lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = cos x

Also die Ableitung der Funktion Sünde x Wille weil x.

Wir werden auch die Formel für die Ableitung des Kosinus beweisen:

cos " x = lim ∆ x → 0 cos (x + ∆ x) - cos x ∆ x = = lim ∆ x → 0 - 2 sin x + ∆ x - x 2 sin x + ∆ x + x 2 ∆ x = = - lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 sin x + ∆ x 2 ∆ x 2 = = - sin x + 0 2 lim ∆ x → 0 sin ∆ x 2 ∆ x 2 = - sin x

Diese. Derivat cos-Funktionen x wird sein – Sünde x.

Wir leiten die Formeln für die Ableitungen von Tangens und Kotangens anhand der Differenzierungsregeln her:

t g " x = sin x cos x " = sin " x · cos x - sin x · cos " x cos 2 x = = cos x · cos x - sin x · (- sin x) cos 2 x = sin 2 x + cos 2 x cos 2 x = 1 cos 2 x c t g " x = cos x sin x " = cos " x · sin x - cos x · sin " x sin 2 x = = - sin x · sin x - cos x · cos x Sünde 2 x = - Sünde 2 x + cos 2 x Sünde 2 x = - 1 Sünde 2 x

Ableitungen inverser trigonometrischer Funktionen

Der Abschnitt über die Ableitung von Umkehrfunktionen bietet umfassende Informationen zum Beweis der Formeln für die Ableitungen von Arkussinus, Arkuskosinus, Arkustangens und Arkuskotangens, daher werden wir das Material hier nicht wiederholen.

Ableitungen hyperbolischer Funktionen

Beweis 7

Die Formeln für die Ableitungen des hyperbolischen Sinus, Cosinus, Tangens und Kotangens können wir mithilfe der Differentiationsregel und der Formel für die Ableitung der Exponentialfunktion herleiten:

s h " x = e x - e - x 2 " = 1 2 e x " - e - x " = = 1 2 e x - - e - x = e x + e - x 2 = c h x c h " x = e x + e - x 2 " = 1 2 e x " + e - x " = = 1 2 e x + - e - x = e x - e - x 2 = s h x t h " x = s h x c h x " = s h " x · c h x - s h x · c h " x c h 2 x = c h 2 x - s h 2 x c h 2 x = 1 c h 2 x c t h " x = c h x s h x " = c h " x · s h x - c h x · s h " x s h 2 x = s h 2 x - c h 2 x s h 2 x = - 1 s h 2 x

Wenn Sie einen Fehler im Text bemerken, markieren Sie ihn bitte und drücken Sie Strg+Eingabetaste

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit über einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Sehr leicht zu merken.

Nun, lasst uns nicht zu weit gehen, schauen wir es uns gleich an Umkehrfunktion. Welche Funktion ist die Umkehrung der Exponentialfunktion? Logarithmus:

In unserem Fall ist die Basis die Zahl:

Einen solchen Logarithmus (also einen Logarithmus mit Basis) nennen wir „natürlich“, und wir verwenden dafür eine spezielle Schreibweise: Wir schreiben stattdessen.

Was ist es gleich? Natürlich, .

Auch die Ableitung des natürlichen Logarithmus ist sehr einfach:

Beispiele:

Finden Sie die Ableitung der Funktion.
Was ist die Ableitung der Funktion?

Antworten: Aussteller und natürlicher Logarithmus- Funktionen sind im Hinblick auf Ableitungen einzigartig einfach. Exponentielle und logarithmische Funktionen mit jeder anderen Basis haben eine andere Ableitung, die wir später analysieren werden, nachdem wir die Regeln der Differenzierung durchgegangen sind.

Differenzierungsregeln

Regeln wofür? Schon wieder ein neuer Begriff?!...

Differenzierung ist der Prozess, die Ableitung zu finden.

Das ist alles. Wie kann man diesen Prozess sonst in einem Wort nennen? Keine Ableitung... Mathematiker nennen das Differential das gleiche Inkrement einer Funktion bei. Dieser Begriff kommt vom lateinischen differentia – Unterschied. Hier.

Bei der Ableitung all dieser Regeln verwenden wir beispielsweise zwei Funktionen und. Wir benötigen auch Formeln für ihre Inkremente:

Insgesamt gibt es 5 Regeln.

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen.

Wenn einige konstante Zahl(konstant), also.

Offensichtlich gilt diese Regel auch für den Unterschied: .

Lass es uns beweisen. Lass es sein, oder einfacher.

Beispiele.

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

an einem Punkt;
an einem Punkt;
an einem Punkt;
am Punkt.

Lösungen:

(Die Ableitung ist an allen Punkten gleich, da dies lineare Funktion, erinnern?);

Derivat des Produkts

Hier ist alles ähnlich: Lassen Sie uns eine neue Funktion einführen und deren Inkrement ermitteln:

Derivat:

Beispiele:

Finden Sie die Ableitungen der Funktionen und;
Finden Sie die Ableitung der Funktion an einem Punkt.

Lösungen:

Ableitung einer Exponentialfunktion

Jetzt reichen Ihre Kenntnisse aus, um zu lernen, wie Sie die Ableitung einer beliebigen Exponentialfunktion und nicht nur von Exponenten finden (haben Sie schon vergessen, was das ist?).

Also, wo ist eine Zahl?

Wir kennen bereits die Ableitung der Funktion, also versuchen wir, unsere Funktion auf eine neue Basis zu reduzieren:

Dafür werden wir verwenden einfache Regel: . Dann:

Nun, es hat funktioniert. Versuchen Sie nun, die Ableitung zu finden, und vergessen Sie nicht, dass diese Funktion komplex ist.

Passiert?

Hier prüfen Sie selbst:

Es stellte sich heraus, dass die Formel der Ableitung eines Exponenten sehr ähnlich war: So wie sie war, blieb sie gleich, es erschien nur ein Faktor, der nur eine Zahl, aber keine Variable ist.

Beispiele:
Finden Sie die Ableitungen der Funktionen:

Antworten:

Dies ist lediglich eine Zahl, die ohne Taschenrechner nicht berechnet, also nicht in einfacherer Form niedergeschrieben werden kann. Deshalb belassen wir es in der Antwort in dieser Form.

Beachten Sie, dass es sich hier um den Quotienten zweier Funktionen handelt, daher wenden wir die entsprechende Differenzierungsregel an:

In diesem Beispiel das Produkt zweier Funktionen:

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Hier ist es ähnlich: Die Ableitung des natürlichen Logarithmus kennen Sie bereits:

Um also einen beliebigen Logarithmus mit einer anderen Basis zu finden, zum Beispiel:

Wir müssen diesen Logarithmus auf die Basis reduzieren. Wie ändert man die Basis eines Logarithmus? Ich hoffe, Sie erinnern sich an diese Formel:

Erst jetzt schreiben wir stattdessen:

Der Nenner ist einfach eine Konstante (eine konstante Zahl ohne Variable). Die Ableitung erhält man ganz einfach:

Ableitungen von Exponential- und logarithmische Funktionen erscheinen fast nie im Einheitlichen Staatsexamen, aber es würde nicht schaden, sie zu kennen.

Ableitung einer komplexen Funktion.

Was " komplexe Funktion„? Nein, das ist kein Logarithmus und kein Arkustangens. Diese Funktionen können schwer zu verstehen sein (wenn Sie jedoch Schwierigkeiten mit dem Logarithmus haben, lesen Sie das Thema „Logarithmen“ und es wird Ihnen nichts ausmachen), aber aus mathematischer Sicht bedeutet das Wort „komplex“ nicht „schwierig“.

Stellen Sie sich ein kleines Förderband vor: Zwei Personen sitzen und führen mit einigen Gegenständen Aktionen aus. Zum Beispiel wickelt der erste einen Schokoriegel in eine Hülle und der zweite bindet ihn mit einem Band zusammen. Das Ergebnis ist ein zusammengesetztes Objekt: eine Tafel Schokolade, umwickelt und mit einem Band zusammengebunden. Um einen Schokoriegel zu essen, müssen Sie die umgekehrten Schritte in umgekehrter Reihenfolge ausführen.

Erstellen wir eine ähnliche mathematische Pipeline: Zuerst ermitteln wir den Kosinus einer Zahl und quadrieren dann die resultierende Zahl. Wir bekommen also eine Zahl (Schokolade), ich finde ihren Kosinus (Umschlag) und dann quadrieren Sie, was ich bekommen habe (binden Sie es mit einem Band zusammen). Was ist passiert? Funktion. Dies ist ein Beispiel für eine komplexe Funktion: Um ihren Wert zu ermitteln, führen wir die erste Aktion direkt mit der Variablen aus und dann eine zweite Aktion mit dem Ergebnis der ersten.

Mit anderen Worten, Eine komplexe Funktion ist eine Funktion, deren Argument eine andere Funktion ist: .

Für unser Beispiel .

Wir können die gleichen Schritte auch in umgekehrter Reihenfolge durchführen: Zuerst quadrieren Sie es, und dann suche ich nach dem Kosinus der resultierenden Zahl: . Es ist leicht zu erraten, dass das Ergebnis fast immer anders ausfallen wird. Ein wichtiges Merkmal komplexer Funktionen: Wenn sich die Reihenfolge der Aktionen ändert, ändert sich auch die Funktion.

Zweites Beispiel: (das Gleiche). .

Die Aktion, die wir zuletzt ausführen, wird aufgerufen „externe“ Funktion, und die zuerst ausgeführte Aktion - entsprechend „interne“ Funktion(Dies sind informelle Namen, ich verwende sie nur, um das Material in einfacher Sprache zu erklären).

Versuchen Sie selbst herauszufinden, welche Funktion extern und welche intern ist:

Antworten: Das Trennen innerer und äußerer Funktionen ist dem Ändern von Variablen sehr ähnlich: zum Beispiel in einer Funktion

Welche Aktion werden wir zuerst durchführen? Berechnen wir zunächst den Sinus und würfeln ihn erst dann. Dies bedeutet, dass es sich um eine interne Funktion handelt, jedoch um eine externe.
Und die ursprüngliche Funktion ist ihre Zusammensetzung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .
Intern: ; extern: .
Untersuchung: .

Wir ändern Variablen und erhalten eine Funktion.

Nun, jetzt werden wir unsere Tafel Schokolade herausnehmen und nach dem Derivat suchen. Das Verfahren ist immer umgekehrt: Zuerst suchen wir die Ableitung der äußeren Funktion, dann multiplizieren wir das Ergebnis mit der Ableitung der inneren Funktion. Bezogen auf das Originalbeispiel sieht es so aus:

Ein anderes Beispiel:

Lassen Sie uns nun endlich die offizielle Regel formulieren:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Es scheint einfach, oder?

Schauen wir uns das anhand von Beispielen an:

Lösungen:

1) Intern: ;

Extern: ;

2) Intern: ;

(Versuchen Sie jetzt bloß nicht, es zu schneiden! Unter dem Kosinus kommt nichts heraus, schon vergessen?)

3) Intern: ;

Extern: ;

Es ist sofort klar, dass es sich um eine dreistufige komplexe Funktion handelt: Schließlich ist dies bereits eine komplexe Funktion für sich, und wir extrahieren auch die Wurzel daraus, das heißt, wir führen die dritte Aktion aus (die Schokolade in eine Verpackung legen). und mit einer Schleife in der Aktentasche). Aber es besteht kein Grund zur Angst: Wir werden diese Funktion trotzdem in der gewohnten Reihenfolge „auspacken“: vom Ende an.

Das heißt, wir differenzieren zuerst die Wurzel, dann den Kosinus und erst dann den Ausdruck in Klammern. Und dann multiplizieren wir alles.

In solchen Fällen ist es sinnvoll, die Aktionen zu nummerieren. Stellen wir uns vor, was wir wissen. In welcher Reihenfolge werden wir Aktionen ausführen, um den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen? Schauen wir uns ein Beispiel an:

Je später die Aktion ausgeführt wird, desto „externer“ ist die entsprechende Funktion. Der Aktionsablauf ist derselbe wie zuvor:

Dabei erfolgt die Schachtelung grundsätzlich 4-stufig. Lassen Sie uns die Vorgehensweise festlegen.

1. Radikaler Ausdruck. .

2. Wurzel. .

3. Sinus. .

4. Quadrat. .

5. Alles zusammenfassen:

DERIVAT. KURZ ÜBER DAS WICHTIGSTE

Ableitung einer Funktion- das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments für ein infinitesimales Inkrement des Arguments:

Grundlegende Derivate:

Differenzierungsregeln:

Die Konstante wird aus dem Ableitungszeichen entnommen:

Ableitung der Summe:

Derivat des Produkts:

Ableitung des Quotienten:

Ableitung einer komplexen Funktion:

Algorithmus zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion:

Wir definieren die „interne“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir definieren die „externe“ Funktion und finden ihre Ableitung.
Wir multiplizieren die Ergebnisse des ersten und zweiten Punktes.

ERSTE ABLEITUNG

(erste Ableitung) Die Rate, mit der der Wert einer Funktion zunimmt, wenn ihr Argument an einem beliebigen Punkt zunimmt, sofern die Funktion selbst an diesem Punkt definiert ist. In der Grafik zeigt die erste Ableitung einer Funktion ihre Steigung. Wenn y=f(x), seine erste Ableitung an dem Punkt x0 ist die Grenze, zu der es tendiert f(x0+à)–f(x0)/à als A tendiert dazu unendlich kleine Größe. Die erste Ableitung kann bezeichnet werden dy/dx oder y´(x). Funktion y(x) Es hat konstanter Wert am Punkt x0, Wenn dy/dx am Punkt x0 gleich Null. Eine erste Ableitung gleich Null ist eine notwendige, aber nicht ausreichende Bedingung dafür, dass die Funktion an einem bestimmten Punkt ihr Maximum oder Minimum erreicht.

Wirtschaft. Wörterbuch. - M.: „INFRA-M“, Verlag „Ves Mir“. J. Schwarz. Allgemeiner Herausgeber: Doktor der Wirtschaftswissenschaften Osadchaya I.M.. 2000 .

Wirtschaftswörterbuch. 2000 .

Sehen Sie in anderen Wörterbüchern, was „ERSTES Derivat“ ist:

- (Ableitung) Die Rate, mit der der Wert einer Funktion zunimmt, wenn ihr Argument an einem beliebigen Punkt erhöht wird, sofern die Funktion selbst an diesem Punkt definiert ist. In der Grafik zeigt die erste Ableitung einer Funktion ihre Steigung. Wenn y=f(x), seine erste Ableitung im Punkt... ... Wirtschaftswörterbuch

Dieser Begriff hat andere Bedeutungen, siehe Ableitung. Illustration des Konzepts des Derivats Derivativ ... Wikipedia

Ableitung ist das Grundkonzept der Differentialrechnung und charakterisiert die Änderungsrate einer Funktion. Definiert als Grenze des Verhältnisses des Inkrements einer Funktion zum Inkrement ihres Arguments, wenn das Inkrement des Arguments gegen Null tendiert, wenn ein solcher Grenzwert... ... Wikipedia

Grenzwertproblem spezieller Typ; besteht darin, eine Lösung im Bereich der D-Variablen x=(x1,..., x n) zu finden. Differentialgleichung(1) Bestellen Sie sogar 2 m gegebene Werte alle Ableitungen der Ordnung nicht höher als m auf der Grenze S der Region D (oder eines Teils davon) ... Mathematische Enzyklopädie

- (zweite Ableitung) Die erste Ableitung der ersten Ableitung der Funktion. Die erste Ableitung misst die Steigung der Funktion; Die zweite Ableitung misst, wie sich die Steigung ändert, wenn das Argument zunimmt. Zweite Ableitung von y = f(x)… … Wirtschaftswörterbuch

Dieser Artikel oder Abschnitt muss überarbeitet werden. Bitte verbessern Sie den Artikel gemäß den Regeln zum Schreiben von Artikeln. Bruchteil über ... Wikipedia

- (Kreuzpartielle Ableitung) Die Auswirkung der Änderung eines Arguments einer Funktion aus zwei oder mehr Variablen auf die Ableitung einer gegebenen Funktion nach einem anderen Argument. Wenn y=f(x,z), dann ist ihre Ableitung oder die erste Ableitung der Funktion y in Bezug auf das Argument x gleich... ... Wirtschaftswörterbuch

Analogon der Punktgeschwindigkeit- Die erste Ableitung der Bewegung eines Punktes entlang der verallgemeinerten Koordinate des Mechanismus...

Analogon der Verbindungswinkelgeschwindigkeit- Die erste Ableitung des Drehwinkels des Glieds in Bezug auf die verallgemeinerte Koordinate des Mechanismus... Polytechnisches terminologisches Erklärungswörterbuch

allgemeine Geschwindigkeit des Mechanismus- Die erste Ableitung der verallgemeinerten Koordinate des Mechanismus nach der Zeit... Polytechnisches terminologisches Erklärungswörterbuch

Bücher

Aufgabensammlung zur Differentialgeometrie und Topologie, Mishchenko A.S.. Diese Aufgabensammlung soll so weit wie möglich die bestehenden Anforderungen an Kurse in Differentialgeometrie und Topologie widerspiegeln, sowohl aus neuen Programmen als auch aus anderen Kursen...
Meine wissenschaftlichen Artikel. Buch 3. Die Methode der Dichtematrizen in Quantentheorien eines Lasers, eines beliebigen Atoms, Bondarev Boris Vladimirovich. Dieses Buch untersucht veröffentlichte wissenschaftliche Artikel, in denen mithilfe der Methode der Dichtematrizen neue Quantentheorien Laser, beliebiger Atom- und Quantenoszillator mit Dämpfung ...

Das Verhältnis zweier Funktionen ist gleich dem Verhältnis der Ableitungen. Ableitung einer Funktion. Geometrische Bedeutung der Ableitung. Ableitung einer Exponentialfunktion

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Ableitung einer Konstante

Ableitung einer Potenzfunktion

Ableitung einer Exponentialfunktion

Ableitung einer logarithmischen Funktion

Ableitungen trigonometrischer Funktionen

Ableitungen inverser trigonometrischer Funktionen

Ableitungen hyperbolischer Funktionen

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Differenzierungsregeln