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Folienunterschriften:

Identitäten. Identische Transformationen von Ausdrücken. 7. Klasse.

Finden wir den Wert der Ausdrücke für x=5 und y=4 3(x+y)= 3(5+4)=3*9=27 3x+3y= 3*5+3*4=27 Finden wir den Wert der Ausdrücke für x=6 und y=5 3(x+y)= 3(6+5)=3*11=33 3x+3y= 3*6+3*5=33

FAZIT: Wir haben das gleiche Ergebnis erzielt. Aus der Verteilungseigenschaft folgt, dass im Allgemeinen für jeden Werte von Variablen die Werte der Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y sind gleich. 3(x+y) = 3x+3y

Betrachten wir nun die Ausdrücke 2x+y und 2xy. für x=1 und y=2 nehmen sie gleiche Werte: 2x+y=2*1+2=4 2xy=2*1*2=4 mit x=3, y=4 Ausdruckswerte sind unterschiedlich 2x+y=2*3+4=10 2xy=2* 3*4 =24

FAZIT: Die Ausdrücke 3(x+y) und 3x+3y sind identisch gleich, aber die Ausdrücke 2x+y und 2xy sind nicht identisch gleich. Definition: Zwei Ausdrücke, deren Werte für alle Werte der Variablen gleich sind, werden als identisch gleich bezeichnet.

IDENTITÄT Die Gleichheit 3(x+y) und 3x+3y gilt für alle Werte von x und y. Solche Gleichheiten werden Identitäten genannt. Definition: Eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen gilt, wird Identität genannt. Auch echte numerische Gleichheiten gelten als Identitäten. Wir sind bereits auf Identitäten gestoßen.

Identitäten sind Gleichheiten, die die grundlegenden Eigenschaften von Operationen mit Zahlen ausdrücken. a + b = b + a ab = ba (a + b) + c = a + (b + c) (ab)c = a(bc) a(b + c) = ab + ac

Weitere Beispiele für Identitäten können angegeben werden: a + 0 = a a * 1 = a a + (-a) = 0 a * (-b) = - ab a- b = a + (- b) (-a) * ( - b) = ab Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen identisch gleichen Ausdruck wird als Identitätstransformation oder einfach als Transformation eines Ausdrucks bezeichnet.

Um ähnliche Begriffe zu erhalten, müssen Sie deren Koeffizienten addieren und das Ergebnis mit dem gemeinsamen Buchstabenteil multiplizieren. Beispiel 1. Geben wir ähnliche Terme an: 5x +2x-3x=x(5+2-3)=4x

Wenn den Klammern ein Pluszeichen vorangestellt ist, können die Klammern weggelassen werden, während das Vorzeichen jedes in den Klammern eingeschlossenen Begriffs beibehalten wird. Beispiel 2. Öffnen Sie die Klammern im Ausdruck 2a + (b -3 c) = 2 a + b – 3 c

Wenn den Klammern ein Minuszeichen vorangestellt ist, können die Klammern weggelassen werden, indem das Vorzeichen jedes in den Klammern eingeschlossenen Begriffs geändert wird. Beispiel 3. Öffnen Sie die Klammern im Ausdruck a – (4 b – c) = a – 4 b + c

Hausaufgabe: Absatz 5, Nr. 91, 97, 99 Danke für die Lektion!

Zum Thema: methodische Entwicklungen, Präsentationen und Notizen

Methodik zur Vorbereitung auf das Einheitliche Staatsexamen im Abschnitt „Ausdrücke und Transformation von Ausdrücken“

Dieses Projekt wurde mit dem Ziel entwickelt, Schüler auf das Staatsexamen in der 9. Klasse und anschließend auf das Einheitliche Examen vorzubereiten Staatsexamen in der 11. Klasse....

Also, Freunde, in der letzten Lektion haben wir uns mit verstanden, was die Wörter bedeuten „Der Ausdruck hat keine Bedeutung“. Und jetzt ist es an der Zeit, es herauszufinden Was ist Ausdruckskonvertierung? Und das Wichtigste - Warum wird es benötigt?

Was ist Ausdruckskonvertierung?

Die Antwort ist einfach und unanständig.) Dies jede Handlung mit Ausdruck. Und alle. Sie haben all diese Transformationen seit der ersten Klasse durchgeführt. Alles ist natürlich nicht wörtlich... Mehr dazu weiter unten.)

Nehmen wir zum Beispiel einen supercoolen numerischen Ausdruck, sagen wir 3+2. Wie kann es umgewandelt werden? Ja, ganz einfach! Nimm es wenigstens und zähle:

3+2 = 5

Diese Kindergartenberechnung wird sein einen Ausdruck umwandeln. Sie können denselben Ausdruck anders schreiben:

3+2 = 2+3

Aber hier haben wir überhaupt nichts gezählt. Wir haben einfach unseren Ausdruck übernommen und umgeschrieben in einer anderen Form. Das wird auch eine Transformation des Ausdrucks sein. Sie können es auch anders schreiben. Zum Beispiel so:

3+2 = 10-5

Und dieser Eintrag - auch eine Transformation eines Ausdrucks.

Oder so:

3+2 = 10:2

Auch eine Transformation eines Ausdrucks!

Wenn Sie und ich älter sind und mit Algebra befreundet sind, dann schreiben wir:

Jeder, der sich mit Algebra auskennt, wird, ohne sich wirklich anzustrengen oder etwas zu zählen, in seinem Kopf herausfinden, dass links und rechts eine gewöhnliche Fünf steht. Probieren Sie es aus und versuchen Sie es.)

Und wenn wir wirklich älter sind, können wir folgende Horrorgeschichten aufschreiben:

Protokoll 2 8+ Protokoll 2 4 = Protokoll 2 32

Oder sogar diese:

5 Sünde 2 X+5 cos 2 X=5 tgx ctgx

Inspiriert es? Und natürlich können Sie so viele solcher Transformationen durchführen, wie Sie möchten! Soweit es die Vorstellungskraft zulässt. Und eine Reihe von Mathematikkenntnissen.)

Hast du die Bedeutung verstanden?

Beliebig Aktion auf den Ausdruck beliebig es in einer anderen Form zu schreiben heißt einen Ausdruck umwandeln. Und das ist alles. Alles ist sehr einfach.

Einfachheit ist natürlich immer eine gute und angenehme Sache, aber für jede Einfachheit muss man irgendwo bezahlen, ja ... Hier gibt es ein bedeutsames „Aber“. All diese mysteriösen Transformationen gehorchen immer einem sehr wichtige Regel. Diese Regel ist so wichtig, dass sie bedenkenlos aufgerufen werden kann Hauptregel alles Mathematik. Und diese einfache Regel brechen zwangsläufig wird zu Fehlern führen. Lassen wir uns darauf ein?)

Angenommen, wir hätten unseren Gesichtsausdruck zufällig und aus heiterem Himmel verändert, etwa so:

3+2 = 6+1

Konvertierung? Sicherlich. Wir haben den Ausdruck in einer anderen Form aufgeschrieben! Aber... was ist hier los?

Antwort: So ist es nicht.) Der Punkt ist, dass Transformationen „zufällig undvom Idioten“ Sie interessieren sich überhaupt nicht für Mathematik.) Warum? Denn die gesamte Mathematik basiert auf Transformationen, in denen sich Veränderungen ergeben Aussehen, aber das Wesen des Ausdrucks ändert sich nicht. Dies ist ihre strikte Anforderung. Und ein Verstoß gegen diese Anforderung führt zu Fehlern. Drei plus zwei kann in jeder beliebigen Form geschrieben werden. In welchem ​​Beispiel auch immer es erforderlich ist, wir werden es in dieser Form aufschreiben. Aber von Natur aus Das Es sollten immer fünf sein. In welcher Form auch immer wir diese 3+2 aufschreiben. Aber wenn Sie den Ausdruck 3+2 in einer anderen Form schreiben, erhalten Sie plötzlich statt fünf die Zahl fünfundzwanzig, Irgendwo hast du unterwegs einen Fehler gemacht. Kommen Sie zurück und beheben Sie den Fehler.)

Und jetzt ist die Zeit für weise grüne Gedanken gekommen.)

Erinnern:

1. Jede Aktion an einem Ausdruck, die ihn in einer anderen Form schreibt, wird als Transformation des Ausdrucks bezeichnet.

2. Transformationen,Ausdrücke, die das Wesentliche nicht verändern, sollen identisch sein.

3. Die gesamte Mathematik basiert auf identischen Transformationen von Ausdrücken.

genau Identitätstransformationen und erlaube uns, Schritt für Schritt, Stück für Stück, uns zu verändern komplexes Beispiel in einen einfachen, weißen und flauschigen Ausdruck verwandeln die Essenz des Beispiels. Wenn wir in der Kette unserer Transformationen plötzlich irgendwo einen Fehler machen und an irgendeinem Punkt eine NICHT IDENTISCHE Transformation machen, dann werden wir uns dann entscheiden ganz anders Beispiel. Mit anderen Antworten, ja... Was mit den richtigen nichts mehr zu tun hat.) Brechen wir die Identität auf und vermasseln wir woanders – fangen wir bereits mit der Lösung an dritte Beispiel. Und so weiter, je nach Anzahl der Pfosten kann man von einem Problem mit einem Zug und einem Auto zu einem Problem mit eineinhalb Baggern kommen.)

Ein anderes Beispiel. Für Schüler, die schon jetzt mit aller Kraft Algebra lernen. Nehmen wir an, wir müssen den Wert des Ausdrucks (40+7) 2 ermitteln. Wie kommt man da raus, d.h. unseren wütenden Gesichtsausdruck verändern? Sie können einfach den Ausdruck in Klammern berechnen (wir erhalten 47), mit sich selbst mit einer Spalte multiplizieren und erhalten (wenn Sie zählen) 2209. Oder Sie können die Formel verwenden

(a+b) 2 = a 2 +2ab+b 2 .

Wir erhalten: (40+7) 2 = 40 2 +2∙40∙7+7 2 = 1600+560+49 = 2209.

Aber! Es besteht die Versuchung (z. B. aufgrund der Unkenntnis der Formel), beim Quadrieren einfach zu schreiben:

(40+7) 2 = 40 2 +7 2 .

Leider ist bei diesem einfachen und scheinbar offensichtlichen Übergang die Identität unserer Transformationen verloren gegangen verletzt. Links ist alles wie es sein soll, 2209, aber rechts ist es schon eine andere Nummer. 1649. Rechnen Sie nach und alles wird klar. Hier ist ein typisches Beispiel für eine NICHT identische Transformation. Und dementsprechend kam heraus Fehler.)

Dies ist die Hauptregel zum Lösen jeder Aufgabe: Wahrung der Identität von Transformationen.

Ich habe der Übersichtlichkeit halber ein Beispiel mit den numerischen Ausdrücken 3+2 und (40+7) 2 gegeben.

Wie wäre es mit algebraische Ausdrücke? Alles das selbe! Nur in algebraischen Ausdrücken werden Identitätstransformationen angegeben Formeln und Regeln. Nehmen wir an, in der Algebra gibt es eine Formel:

a(b-c) = ab - ac

Das bedeutet, dass wir in jedem Beispiel jedes Recht anstelle des Ausdrucks haben ABC) Fühlen Sie sich frei, einen alternativen Ausdruck zu schreiben ab - ac. Umgekehrt. Es ist die Mathematik, die uns diese beiden Ausdrücke zur Auswahl gibt. Und von welchem ​​man schreiben soll konkretes Beispiel kommt darauf an.

Oder das beliebte:

A 2 - B 2 = (A- B)(A+ B)

Wieder zwei mögliche Optionen. Beides ist richtig.) Dies auch identische Transformation. Was sich besser schreiben lässt – die Differenz der Quadrate oder das Produkt der Klammern – wird Ihnen das Beispiel zeigen.)

Ein anderes Beispiel. Eine der wichtigsten und notwendigsten Transformationen in der Mathematik ist Haupteigenschaft eines Bruchs. Sie können (werden) den Link ausführlicher lesen und ansehen (wenn ich die Lektion mache), aber hier möchte ich Sie nur an die Regel erinnern:

Wenn Zähler und Nenner eines Bruchs durch multipliziert (dividiert) werden DasselbeWenn es sich um eine Zahl oder einen Ausdruck handelt, der ungleich Null ist, ändert sich ein Bruch nicht.

Hier ist ein Beispiel für Identitätstransformationen mit dieser Eigenschaft:

Wie Sie wahrscheinlich erraten haben, kann diese herrliche Kette auf unbestimmte Zeit fortgesetzt werden...) Solange der kreative Impuls ausreicht. Alle möglichen Nachteile und Wurzeln, lassen Sie sich davon nicht stören. Das ist alles Dasselbe Fraktion. Von sein Wesen. Zwei Drittel. 2/3. Nur in verschiedenen Formen aufgezeichnet.:) Sehr wichtige Eigenschaft. Dies ermöglicht es Ihnen sehr oft, alle möglichen Beispielmonster in weiße und flauschige Monster zu verwandeln.)

Natürlich gibt es viele Formeln und Regeln, die identische Transformationen definieren. Ich würde sogar viel sagen. Aber die wichtigsten, auf die man in der Mathematik zumindest auf der Dreierstufe verzichten kann es ist verboten, ist ein durchaus angemessener Betrag.

Hier sind einige der grundlegenden Transformationen:

1. Arbeiten mit Monomen und Polynomen. Ähnliche Begriffe reduzieren (oder kurz ähnlich);

2. Erweiternde und einschließende Klammern ;

3. Faktorisierung ;

4. und quadratische Trinomialentwicklung.

5. Arbeiten mit Brüchen und Bruchausdrücken.

Diese fünf grundlegenden Transformationen werden häufig verwendet in der gesamten Mathematik. Von elementar bis höher. Und wenn Sie nicht mindestens eines dieser fünf einfachen Dinge beherrschen, werden Sie, wie in jeder Mathematik, unweigerlich vor großen Problemen stehen weiterführende Schule, und in der High School und noch mehr an der Universität. Beginnen wir also mit ihnen. In den nächsten Lektionen in diesem Abschnitt.)

Es gibt noch coolere Transformationen. Für fortgeschrittene Schüler und Studenten. Sei es:

6. und alles, was damit zusammenhängt;

7. Auswahl volles Quadrat aus einem quadratischen Trinom;

8. Division von Polynomen Ecke oder nach Horners Schema ;

9. Zersetzung rationaler Bruch in die Summe elementarer (einfachster) Brüche umwandeln. Die nützlichste Funktion für Studenten beim Arbeiten

Ist also alles klar über die Identität von Transformationen und die Bedeutung ihrer Beobachtung? Großartig! Dann ist es an der Zeit, zur nächsten Ebene überzugehen und vollständig von der einfachen Arithmetik zur ernsthafteren Algebra überzugehen. Und mit einem Funkeln in den Augen.)

Identitätstransformationen

1. Das Konzept der Identität. Grundlegende Arten von Identitätstransformationen und Phasen ihrer Untersuchung.

Das Studium verschiedener Transformationen von Ausdrücken und Formeln nimmt den geringsten Teil der Lernzeit in einem Schulmathematikkurs ein. Die einfachsten ^""-Formationen, basierend auf den Eigenschaften arithmetischer Operationen, wurden bereits in erstellt Grundschule. Die Hauptlast für die Entwicklung der Fähigkeiten und Fertigkeiten zur Durchführung von Transformationen trägt jedoch der Schulalgebrakurs 1 >Dies liegt daran:

mit einem starken Anstieg der Zahl der durchgeführten Transformationen, ihrer Vielfalt;

mit der Komplikation von Aktivitäten, um sie zu rechtfertigen und die Bedingungen ihrer Anwendbarkeit zu klären;

i) mit der Identifizierung und Untersuchung der verallgemeinerten Konzepte von Identität, identischer Transformation, äquivalenter Transformation und logischer Konsequenz.

Die Linie der Identitätstransformationen erfährt im Grundkurs Algebra der Schule folgende Entwicklung:

,4b-Klassen - Öffnen der Klammern, Einbringen ähnlicher Begriffe, Entfernen des Faktors aus den Klammern;

7 Klasse - identische Transformationen ganzzahliger und gebrochener Ausdrücke;

H-Klasse - identische Transformationen von Ausdrücken, die Quadwurzeln enthalten;

( > Klasse - Identische Transformationen trigonometrischer Ausdrücke und Ausdrücke, die einen Grad mit einem rationalen Exponenten enthalten.

Die Linie der Identitätstransformationen ist eine der wichtigen ideologischen Linien des Algebra-Kurses. Daher ist der Mathematikunterricht in den Jahrgangsstufen 5-6 so aufgebaut, dass sich die Schüler bereits in diesen Jahrgangsstufen die Fähigkeiten einfachster Identitätstransformationen aneignen (ohne den Begriff „Identitätstransformationen“ zu verwenden). Diese Fähigkeiten werden durch die Durchführung von Übungen zur Verwendung ähnlicher Begriffe, zum Öffnen und Schließen von Klammern, zum Platzieren eines Faktors aus Klammern usw. entwickelt. Berücksichtigt werden auch die einfachsten Transformationen numerischer und alphabetischer Ausdrücke. Auf dieser Ausbildungsstufe werden Transformationen beherrscht, die direkt auf der Grundlage der Gesetze und Eigenschaften arithmetischer Operationen durchgeführt werden.

Zu den Hauptproblemtypen in den Klassen 5-6, bei deren Lösung die Eigenschaften und Gesetze arithmetischer Operationen aktiv genutzt und durch die Fähigkeiten zur Identitätstransformation ausgebildet werden, gehören:

Begründung von Algorithmen zur Durchführung von Aktionen an den Zahlen der untersuchten Zahlenmengen;

Berechnen der Werte eines numerischen Ausdrucks auf die rationalste Weise;

Vergleich der Werte numerische Ausdrücke ohne die angegebenen Aktionen auszuführen;

Vereinfachung von Buchstabenausdrücken;

Nachweis der Bedeutungsgleichheit zweier wörtlicher Ausdrücke usw.

Stellen Sie sich die Zahl 153 als Summe von Zifferntermen vor; als Differenz zweier Zahlen, als Produkt zweier Zahlen.

Stellen Sie sich die Zahl 27 als Produkt dreier identischer Faktoren vor.

Diese Übungen zur Darstellung derselben Zahl in verschiedenen Notationsformen helfen dabei, das Konzept der Identitätstransformationen zu beherrschen. Diese Ideen können zunächst willkürlich sein, später können sie jedoch zielgerichtet sein. Beispielsweise wird die Darstellung in Form einer Summe von Zifferntermen verwendet, um die Regeln für das Addieren natürlicher Zahlen in einer „Spalte“ zu erläutern, und die Darstellung in Form einer Summe oder Differenz von „bequemen“ Zahlen wird verwendet, um schnelle Berechnungen durchzuführen Bei verschiedenen Produkten wird die Darstellung in Form eines Produkts von Faktoren verwendet, um verschiedene Bruchausdrücke zu vereinfachen.

Finden Sie den Wert des Ausdrucks 928 36 + 72 36.

Eine rationale Möglichkeit, den Wert dieses Ausdrucks zu berechnen, basiert auf der Verwendung des Verteilungsgesetzes der Multiplikation relativ zur Addition: 928 36 + 72 36 = (928 + 72) 36 = 1000 36 = 36000.

IN Schulkurs In der Mathematik lassen sich bei der Beherrschung der Anwendungen von Transformationen alphanumerischer Ausdrücke und Formeln folgende Stufen unterscheiden.

Bühne. Anfänge der Algebra. In dieser Phase wird ein undifferenziertes Transformationssystem verwendet; es wird durch Regeln zum Durchführen von Aktionen an einem oder beiden Teilen der Formel dargestellt.

Beispiel. Gleichungen lösen:

a) 5x - bx = 2; b) 5x = 3x + 2; V) 6 (2 - 4u) + 5u = 3 (1 - Zu).

Die allgemeine Idee der Lösung besteht darin, diese Formeln mithilfe mehrerer Regeln zu vereinfachen. In der ersten Aufgabe Die Vereinfachung wird durch die Anwendung der Identität erreicht: 5x- bx= (5 - 3)x. Die auf dieser Identität basierende Identitätstransformation transformiert diese Gleichung in ihr Äquivalent Urshshomie 2x - 2.

Zweite Gleichung erfordert zu seiner Lösung nicht nur eine identische, sondern auch eine radikale Transformation; In dieser Funktion wird hier das Prinzip der Übertragung von Termen der Gleichung von einem Teil der Gleichung auf einen anderen mit modifiziertem Chic verwendet. Bei der Lösung einer so einfachen Aufgabe wie b) werden beide Mon-in-Transformationen verwendet – sowohl identische als auch äquivalente. Diese Bestimmung gilt auch für umständlichere Aufgaben wie die dritte.

Das Ziel der ersten Stufe besteht darin, zu lehren, wie man schnell die einfachsten Gleichungen löst, Formeln vereinfacht, die Funktionen definieren, und Berechnungen auf der Grundlage der Eigenschaften von Aktionen rational durchführt.

Meise. Ausbildung von Fähigkeiten im Umgang mit bestimmten TransformationsartenII Neigung Die Konzepte der Identität und identischen Transformation werden im Kurs der 7. Klasse explizit eingeführt. So wird beispielsweise in Yu. N. Makarychevs Lehrbuch „Algebra 7“ das Konzept identisch gleicher Ausdrücke eingeführt: „Zwei Ausdrücke, deren entsprechende Werte sind.“ gleich für alle Wertevariablen, Splash identisch gleich“ dann das Konzept der Identität: „Eine Gleichheit, die für beliebige Werte der Variablen gepaart ist, heißt.“ Identität."

Es werden 11 Beispiele genannt:

Im Lehrbuch A.G. Mordkovichs „Algebra 7“ liefert sofort ein verfeinertes Identitätskonzept: "Identität- Das ist Gleichheit, wahr für alle akzeptabel Werte der in seiner Zusammensetzung enthaltenen Variablen.“

Bei der Einführung des Konzepts der Identitätstransformation sollte man zunächst auf die Zweckmäßigkeit verzichten, Identitätstransformationen zu untersuchen. Dazu können Sie sich verschiedene Übungen zur Bedeutungsfindung von Ausdrücken überlegen.

liiiipiiMep, finde den Wert des Ausdrucks 37.1x + 37.ly wann X= 0,98, y = 0,02. Unter Verwendung der Verteilungseigenschaft der Multiplikation ergibt sich der Ausdruck 37.1l + 37.1 bei kann durch den Ausdruck 37.1(x + ausgedrückt werden y), identisch gleich. Noch schmerzhafter Wurm 1 Lösung für die folgende Übung: Finden Sie den Wert des Ausdrucks

()-(a-6)_ p r i. a) d = z > ^ = 2; B) A = 121, Kommersant - 38; c) a = 2,52, b= 1 -.

ab 9

11Nach den durchgeführten Transformationen stellt sich heraus, dass die Wertemenge dieses Ausdrucks aus einer Zahl 4 besteht.

In Yu. N. Makarychevs Lehrbuch „Algebra 7“ wird die Einführung des Konzepts der Identitätstransformation durch die Betrachtung eines Beispiels motiviert: „Um den Wert des Ausdrucks xy bei x = 2,3 zu finden; y = 0,8; z = 0,2, Sie müssen 3 Schritte ausführen: xy - xz = 2,3 0,8 - 2,3 0,2 = 1,84 - 0,46 = 1,38.

11Es ist erwähnenswert, dass eine Art von Transformation spezifisch für die Kurische Algebra und die Prinzipien der Analysis ist. Dies sind Transformationen von Ausdrücken, die enthalten Vorübergänge, Und Transformationen basierend auf den Regeln der Differenzierung und Integration. Der Hauptunterschied zwischen diesen „analytischen“ Transformationen und „algebraischen“ Transformationen besteht in der Art der Menge, durch die die Variablen die Identitäten durchlaufen. In algebraischen Identitäten gibt es einen Bereich der Variablen numerische Bereiche und in analytischen Mengen werden diese Mengen definiert viele Funktionen. Zum Beispiel die Regel der Differentialsumme: (Z"+g)" hier/und g-Variablen, die durch die Menge laufen

Ich habe aber differenzierbare Funktionen mit einem gemeinsamen Definitionsbereich. Äußerlich ähneln diese Transformationen Transformationen algebraischer Art, weshalb sie manchmal „Grenzalgebra“ und „Differenzierungsalgebra“ sagen.

Die im Schulalgebrakurs untersuchten Identitäten und das algebraische Material des Algebrakurses und die Anfänge der Analysis können unterteilt werden in zwei Klassen.

Die erste besteht aus den abgekürzten Multiplikationsidentitäten, fair in

aw v.

iiioGom kommutativer Ring und die Identitäten - =-,a* 0, in jedem Fall fair

Ohm-Feld.

Die zweite Klasse bilden Identitäten, die arithmetische Ausdrücke und grundlegende Elementarfunktionen sowie Zusammensetzungen elementarer Funktionen verbindenHixFunktionen. Die meisten Identitäten dieser Klasse haben auch eine gemeinsame mathematische Grundlage, nämlich dass Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen Isomorphismen verschiedener Zahlengruppen sind. Beispielsweise gilt die Aussage: Es gibt eine eindeutige kontinuierliche isomorphe Abbildung / der additiven Gruppe reeller Zahlen in die multiplikative Gruppe positiver reeller Zahlen, unter der die Einheit auf eine gegebene Zahl abgebildet wird a> 0, ein F 1; Diese Abbildung wird durch eine Minusfunktion mit Basis gegeben A:/(X)= A.Ähnliche Aussagen gibt es für Potenz- und Logarithmusfunktionen.

Die Methodik zur Untersuchung der Identitäten beider Klassen weist viele Gemeinsamkeiten auf. Im Allgemeinen umfassen die in einem Schulmathematikkurs untersuchten Identitätstransformationen:

Transformation von Ausdrücken, die Radikale und Potenzen enthalten, mit gebrochenen Exponenten;

Transformationen von Ausdrücken, die Grenzübergänge enthalten, und Transformationen, die auf den Regeln der Differenzierung und Integration basieren.

Dieses Ergebnis kann durch die Ausführung von nur zwei Aktionen erzielt werden – wenn Sie den Ausdruck verwenden x (y-z), identisch gleich dem Ausdruck xy-xz: x(y-Z) = 2,3 (0,8 - 0,2) = 2,3 0,6 = 1,38.

Wir haben die Berechnungen vereinfacht, indem wir den Ausdruck ersetzt haben xy-xz identisch gleicher Ausdruck x(y - z).

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen identisch gleichen Ausdruck wird aufgerufen identische Transformation oder einfach Transformation des Ausdrucks.

Die Beherrschung verschiedener Arten von Transformationen beginnt in dieser Phase mit der Einführung abgekürzter Multiplikationsformeln. Dann werden Transformationen, die mit der Potenzierungsoperation verbunden sind, mit verschiedenen Klassen von Elementarfunktionen betrachtet – exponentiell, Potenz, logarithmisch, trigonometrisch. Jede dieser Transformationsarten durchläuft eine Lernphase, in der der Schwerpunkt auf der Beherrschung ihrer charakteristischen Merkmale liegt.

Mit zunehmender Materialanhäufung wird es möglich, die Konzepte identischer und äquivalenter Transformationen zu identifizieren und auf dieser Grundlage einzuführen.

Es ist zu beachten, dass das Konzept der Identitätstransformation im Schulalgebrakurs nicht in voller Allgemeinheit, sondern nur in der Anwendung auf Ausdrücke vermittelt wird. Transformationen werden in zwei Klassen unterteilt: Identitätstransformationen sind Transformationen von Ausdrücken und Äquivalent - Formeltransformationen. Für den Fall, dass ein Teil der Formel vereinfacht werden muss, wird in dieser Formel ein Ausdruck hervorgehoben, der als Argument für die angewandte Identitätstransformation dient. Zum Beispiel die Gleichungen 5x - 3x - 2 und 2x = 2 gelten nicht nur als gleichwertig, sondern als identisch.

In Algebra-Lehrbüchern Sh.A. Alimova und anderen wird der Begriff der Identität in den Klassen 7-8 nicht explizit und erst in der 9. Klasse im Thema „Trigonometrische Identitäten“ bei der Lösung von Aufgabe 1 eingeführt: „Beweisen Sie, wann.“ afkk, Zu < eZ , die Gleichheit 1 + cot 2 a = -\- wahr ist“, wird dieses Konzept eingeführt. Hier wird den Schülern erklärt, dass Sünde A

die erklärte Gleichheit ist „fair für alle“ akzeptable Werte und diese. so dass seine linken und rechten Teile einen Sinn ergeben. Solche Gleichheiten heißen Identitäten, und Probleme zum Beweis solcher Gleichheiten werden Probleme zum Beweis von Identitäten genannt.“

Stufe III. Organisation eines integralen Systems von Transformationen (Synthese).

Das Hauptziel dieser Stufe besteht darin, einen flexiblen und leistungsstarken Apparat zu schaffen, der zur Lösung verschiedener pädagogischer Aufgaben geeignet ist.

Der Einsatz der zweiten Stufe des Transformationsstudiums erfolgt im gesamten Algebrakurs der Grundschule. Der Übergang zur dritten Stufe erfolgt bei der abschließenden Wiederholung des Kurses im Zuge des Verständnisses des bereits bekannten, in Teilen erlernten Materials zu einzelnen Transformationsarten.

Im Laufe der Algebra und dem Beginn der Analysis verbessert sich das im Grunde bereits gebildete ganzheitliche System der Transformationen schrittweise weiter. Es werden auch einige neue Arten von Transformationen hinzugefügt (z. B. im Zusammenhang mit trigonometrischen und logarithmischen Funktionen), die es jedoch nur bereichern, seine Fähigkeiten erweitern, seine Struktur jedoch nicht ändern.

Die Methodik zum Studium dieser neuen Transformationen unterscheidet sich praktisch nicht von der im Algebra-Kurs verwendeten.

Es ist notwendig, eine Art von Transformationen zu beachten, die spezifisch für die Kurens der Algebra und die Prinzipien der Analysis ist. Dies sind Transformationen von Ausdrücken, die enthalten Durchgänge begrenzen, Und Transformationen basierend auf den Regeln der Differenzierung und Integration. Der Hauptunterschied zwischen diesen „analytischen“ Transformationen und „algebraischen“ Transformationen besteht in der Art der Menge, durch die die Variablen in den Identitäten laufen. In algebraischen Identitäten gibt es einen Bereich der Variablen numerische Bereiche und in analytischer Hinsicht sind diese Sätze sicher viele Funktionen. Zum Beispiel die Regel zum Differenzieren einer Summe: ( F + G )" = F + G "; Hier Mief - Variablen, die mehrere, aber differenzierbare Funktionen mit einem gemeinsamen Definitionsbereich durchlaufen. Äußerlich ähneln diese Transformationen Transformationen algebraischer Art, weshalb sie manchmal „Grenzalgebra“ und „Differenzierungsalgebra“ sagen.

Die im Schulalgebrakurs untersuchten Identitäten und das algebraische Material des Algebrakurses und die Anfänge der Analysis können unterteilt werden in zwei Klassen.

Die erste besteht aus den abgekürzten Multiplikationsidentitäten, fair in

jeder kommutative Ring und die Identitäten - = -,a*0, gültig in jedem

Wechselstrom mit

Die zweite Klasse bilden Identitäten, die arithmetische Operationen und grundlegende Elementarfunktionen verbinden, sowie Zusammensetzungen von Elementarfunktionen. Die meisten Identitäten dieser Klasse haben auch eine gemeinsame mathematische Grundlage, nämlich dass Potenz-, Exponential- und Logarithmusfunktionen Isomorphismen verschiedener Zahlengruppen sind. Beispielsweise gilt die folgende Aussage: Es gibt eine eindeutige kontinuierliche isomorphe Abbildung / der additiven Gruppe reeller Zahlen in die multiplikative Gruppe positiver reeller Zahlen, unter der man auf eine gegebene Zahl abgebildet wird a> 0, ein F 1; diese Abbildung ist durch eine Exponentialfunktion mit Basis i gegeben: / (x) = a*. Ähnliche Aussagen gibt es für Potenz- und Logarithmusfunktionen.

Die Methodik zur Untersuchung der Identitäten beider Klassen weist viele Gemeinsamkeiten auf. Im Allgemeinen umfassen die in einem Schulmathematikkurs untersuchten Identitätstransformationen:

Transformationen algebraischer Ausdrücke;

Transformationen von Ausdrücken, die Radikale und Potenzen mit gebrochenen Exponenten enthalten;

Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke;

Konvertieren von Ausdrücken, die Potenzen und Logarithmen enthalten;

Transformationen von Ausdrücken, die Übergänge zu Grenzwerten enthalten, und Transformationen, die auf Differenzierungs- und Integrationsregeln basieren.

2. Merkmale der Organisation des Aufgabensystems bei der Untersuchung von Identitätstransformationen

Das Grundprinzip der Organisation eines Aufgabensystems ist deren Präsentation von einfach bis komplex unter Berücksichtigung der Notwendigkeit der Schüler, machbare Schwierigkeiten zu überwinden und etwas zu schaffen Problemsituationen. Dieses Grundprinzip bedarf einer Konkretisierung in Bezug auf die Merkmale dieses Lehrmaterials. Hier ist ein Beispiel für ein Übungssystem zum Thema: „Quadrat der Summe und.“

Differenz zweier Zahlen.

Hier endet das Hauptübungssystem. Ein solches System sollte die Assimilation des Grundmaterials gewährleisten.

Die folgenden Übungen (17-19) ermöglichen den Schülern, ihre Aufmerksamkeit auf typische Fehler zu richten und tragen zur Entwicklung ihres Interesses und ihrer kreativen Fähigkeiten bei.

Im Einzelfall kann die Anzahl der Übungen im System geringer oder größer sein, die Reihenfolge ihrer Durchführung sollte jedoch gleich sein.

Um verschiedene Aufgabensysteme in mathematischen Methoden zu beschreiben, wird ein anderes Konzept verwendet: Übungszyklus. Der Übungszyklus zeichnet sich dadurch aus, dass mehrere Aspekte des Lernens und Techniken zur Anordnung des Stoffes zu einer Übungsfolge zusammengefasst werden. In Bezug auf Identitätstransformationen kann die Idee eines Zyklus wie folgt gegeben werden.

Der 11. Übungszyklus ist mit dem Studium einer Identität verbunden, um die sich andere Identitäten gruppieren, die in natürlicher Verbindung mit ihr stehen. In „Loop Stop“ mit Exekutive umfasst Aufgaben, die erforderlich sind erkenne< ii In noch die Anwendbarkeit der betreffenden Identität. Die untersuchte Identität wird verwendet, um Berechnungen in verschiedenen numerischen Bereichen durchzuführen.

Die Aufgaben in jedem Zyklus sind unterteilt in zwei Gruppen. ZU Erste Dazu gehören Aufgaben, die während des ersten Kennenlernens der Identität durchgeführt werden. Sie werden in mehreren Lektionen durchgeführt, die zu einem Thema zusammengefasst sind. Zweite Gruppe Übungen verbinden die untersuchte Identität mit verschiedenen Anwendungen. Die Übungen in dieser Gruppe sind in der Regel über verschiedene Themen verteilt.

Die beschriebene Zyklusstruktur bezieht sich auf die Phase der Entwicklung von Fähigkeiten zur Anwendung bestimmter Arten von Transformationen. In der letzten Phase (Tane-Synthese) werden die Zyklen modifiziert. Erstens, beide Shdapii-Gruppen vereinigen sich und bilden sich „abgerollter“ Zyklus , und aus der ersten Gruppe sind diejenigen ausgeschlossen, die hinsichtlich des Wortlauts oder der Komplexität des Schreibens am einfachsten sind. Die übrigen Aufgabentypen werden komplexer. Zweitens, Es kommt zu einer Verschmelzung von Zyklen, die sich auf verschiedene Identitäten beziehen, und daher nimmt die Rolle von Maßnahmen zur Anerkennung der Anwendbarkeit einer bestimmten Identität zu.

Schauen wir uns ein konkretes Beispiel eines Zyklus an.

Beispiel. Aufgabenzyklus für Identität x -y 2 = (x-y)(x + y).

Die erste Aufgabengruppe dieses Zyklus wird wie folgt abgeschlossen:

aktuelle Bedingungen. Die Studierenden haben sich gerade mit der Formulierung der Identität vertraut gemacht (oder besser gesagt mit zwei Formulierungen): „Die Differenz der Quadrate zweier Ausdrücke ist gleich dem Produkt der Summe und der Differenz dieser Ausdrücke“ und „Das Produkt der Summe“. und die Differenz zweier Ausdrücke ist gleich der Differenz der Quadrate dieser Ausdrücke“), ihre Aufzeichnung in Form einer Formel und der Beweis. Im Folgenden finden Sie einige Beispiele für die Verwendung einer auf dieser Identität basierenden Transformation. Abschließend beginnen die Studierenden mit der selbstständigen Durchführung der Übungen.

Erste Aufgabengruppe

Zweite Aufgabengruppe

(Die Aufgaben jeder Gruppe können den Schülern mit einem Multimedia-Beamer präsentiert werden)

Lassen Sie uns eine methodische Analyse dieses Systems von Aufgabentypen durchführen.

Die Aufgabe a0 zielt darauf ab, die Struktur der untersuchten Identität festzulegen. Dies wird durch das Ersetzen der Buchstaben (x und.) erreicht y) beim Schreiben der Identität in anderen Briefen. Aufgaben dieser Art ermöglichen es, den Zusammenhang zwischen verbalem Ausdruck und der symbolischen Form der Identität zu klären.

Aufgabe a 2) zielt darauf ab, einen Zusammenhang zwischen dieser Identität und dem Zahlensystem herzustellen. Der hier umgewandelte Ausdruck ist nicht rein wörtlich, sondern alphanumerisch. Um die durchgeführten Aktionen zu beschreiben, ist es notwendig, das Konzept zu verwenden Auswechslung Buchstaben Nummer in der Identität. Fähigkeits-Entwicklung

Die Anwendung der Substitutionsoperation und die Vertiefung ihres Verständnisses erfolgt I gm bei der Durchführung von Aufgaben des Typs d 2).

Der nächste Schritt zur Beherrschung der Identität wird durch Aufgabe a) veranschaulicht. In dieser Aufgabe hat der für die Transformation vorgeschlagene Ausdruck nicht die Form von Quadraten; Transformation wird erst möglich, wenn... h(chp1k wird bemerken, dass die Zahl 121 als Quadrat einer Zahl dargestellt werden kann. Somit, Priyum, wird diese Aufgabe nicht in einem Schritt, sondern in zwei Schritten erledigt: auf der Spuriiiiu die Möglichkeit einer Reduzierung besteht Ausdruck gegeben zur Differenz der Quadrate, auf dem zweiten Unter Verwendung der Identität wird eine Transformation durchgeführt.

In den ersten Phasen der Beherrschung der Identität wird jeder Schritt aufgezeichnet:

I " I /с 2 = 11 2 - & 2 = (11 - £)(11 + Zu), Künftig werden einige Erkennungsvorgänge von den Studierenden mündlich durchgeführt.

Im Beispiel dd) ist es erforderlich, Verbindungen zwischen dieser Identität und anderen Identitäten im Zusammenhang mit Handlungen mit Monomen herzustellen; in d 3) sollte die Identität für die Quadratdifferenz zweimal angewendet werden; g) Die Schüler müssen eine gewisse psychologische Barriere überwinden und den Bereich der irrationalen Zahlen betreten.

Aufgaben des Typs b) zielen darauf ab, Fähigkeiten zum Ersetzen der Arbeit zu entwickeln (,v - y)(x + y) durch Differenz X 2 - J 2 . Eine ähnliche Rolle spielen Aufgaben vom Typ c). In Beispielen vom Typ d) ist es erforderlich, eine der Transformationsrichtungen auszuwählen.

Im Allgemeinen konzentrieren sich die Aufgaben der ersten Gruppe auf die Beherrschung der Struktur der Identität, die Funktionsweise der Substitution in den einfachsten und wichtigsten Fällen und die Idee der Reversibilität der von der Identität durchgeführten Transformationen.

Die Hauptmerkmale und Ziele, die wir bei der Betrachtung des ersten | Ruinen von Zyklusaufgaben beziehen sich auf jeden Übungszyklus, der Bajonette zur Identitätsverwendung bildet. Für jede neu eingeführte Identität muss die Aufgabengruppe im Zyklus die hier beschriebenen Merkmale beibehalten; Die Unterschiede können nur in der Anzahl der Aufgaben liegen.

1 Die zweite Aufgabengruppe des Zyklus zielt im Gegensatz zur ersten auf die größtmögliche Nutzung und Berücksichtigung der Besonderheiten dieser besonderen Identität ab. Die Aufgaben dieser Gruppe gehen davon aus, dass die Fähigkeiten, Identitäten für Differenzen von Quadraten zu verwenden, (im einfachsten Fall) bereits entwickelt sind; tspi, Aufgaben dieser Gruppe - das Verständnis der Identität zu vertiefen, indem ihre verschiedenen Anwendungen in verschiedenen Situationen in Kombination mit der Verwendung von Material im Zusammenhang mit anderen Themen des Mathematikkurses betrachtet werden.

Betrachten wir die Lösung der Aufgabe l):

x 3 - 4x = 15 o x 3 - 9x = 15 - 5x o x(x~3)(x + 3) = 5(3 - x) ox = 3, oder \{\ 1-3) = -5. Die gleichung x(x + 3) = -5 echte Wurzeln hat es also nicht \ 3 ist die einzige Wurzel der Gleichung.

Wir sehen, dass die Verwendung der Identität für die Quadratdifferenz Teil der Lösung des Beispiels ist und die Leitidee für die Durchführung von Transformationen darstellt.

Zyklen von Aufgaben im Zusammenhang mit Identitäten für elementare Funktionen, haben ihre eigenen Eigenschaften, die darauf zurückzuführen sind, dass Erstens. Die entsprechenden Identitäten werden im Zusammenhang mit der Untersuchung funktionaler Materialien untersucht und /und>-“touykh, Sie erscheinen später als die Identitäten der ersten Gruppe und werden mit untersucht

Nutzung bereits ausgebildeter Fähigkeiten zur Durchführung identischer Transformationen. Ein wesentlicher Teil der Verwendung von Identitätstransformationen im Zusammenhang mit Elementarfunktionen entfällt auf die Lösung irrationaler und transzendentaler Gleichungen. Die Zyklen im Zusammenhang mit der Assimilation von Identitäten umfassen nur die meisten einfache Gleichungen, aber schon hier empfiehlt es sich, an der Beherrschung der Methode zur Lösung solcher Gleichungen zu arbeiten: Reduzierung durch Ersetzen des Unbekannten durch eine algebraische Gleichung.

Die Abfolge der Schritte für diese Lösung ist wie folgt:

a) Finden Sie die Funktion<р, для которой данное уравнение/(х) = 0 представимо в виде F (ср(лг)) = 0;

b) eine Substitution vornehmen bei= ср(х) und lösen Sie die Gleichung F(y) = 0;

c) Lösen Sie jede der Gleichungen <р(х) = Wo (j k ) - die Menge der Wurzeln der Gleichung F(y) = 0.

Ein neues Problem, das bei der Untersuchung von Identitäten mit Elementarfunktionen berücksichtigt werden muss, ist die Berücksichtigung des Definitionsbereichs. Hier sind Beispiele für drei Aufgaben:

a) Stellen Sie die Funktion y = 4 log 2 x grafisch dar.

b) Lösen Sie die Log-Gleichung X + log(x - 3) = 1.

c) Auf welcher Menge liegt die Formel log (x - 5) + log (x + 5) = log ( X 2 - 25) ist eine Identität?

Ein typischer Fehler, den Schüler bei der Lösung von Problem a) machen, ist die Verwendung der Gleichheit A 1. ohne Berücksichtigung der Bedingung Kommersant > 0. In diesem Fall stellt sich am Ende heraus, dass der gewünschte Graph die Form einer Parabel hat und nicht die richtige Antwort – den rechten Ast der Parabel. Aufgabe b) zeigt eine der Quellen zum Erhalten komplexer Gleichungs- und Ungleichungssysteme, wenn die Definitionsbereiche von Funktionen berücksichtigt werden müssen, und Aufgabe c) zeigt eine Übung, die als Vorbereitungsübung dienen kann.

Die Idee, die diese Aufgaben vereint – die Notwendigkeit, den Definitionsbereich einer Funktion zu untersuchen – lässt sich nur durch den Vergleich solcher Aufgaben offenbaren, die in ihrer äußeren Form heterogen sind. Die Bedeutung dieser Idee für die Mathematik ist sehr groß. Es kann als Grundlage für mehrere Übungszyklen dienen – für jede der Klassen elementarer Funktionen.

Zusammenfassend stellen wir fest, dass die Untersuchung von Identitätstransformationen in der Schule von großer Bedeutung ist pädagogischen Wert. Die Fähigkeit, einige Berechnungen anzustellen, Berechnungen durchzuführen und ein Objekt über einen langen Zeitraum mit unermüdlicher Aufmerksamkeit zu überwachen, ist für Menschen unterschiedlichster Berufe erforderlich, unabhängig davon, ob sie im Bereich geistiger oder körperlicher Arbeit tätig sind. Die Besonderheit des Abschnitts „Identische Transformationen von Ausdrücken“ besteht darin, dass er den Studierenden vielfältige Möglichkeiten eröffnet, diese wichtigen beruflich bedeutsamen Fähigkeiten zu entwickeln.

Neben der Untersuchung von Operationen und ihren Eigenschaften in der Algebra beschäftigen sie sich auch mit Konzepten wie Ausdruck, Gleichung, Ungleichheit . Die erste Bekanntschaft mit ihnen erfolgt im Mathematik-Grundkurs. Sie werden in der Regel ohne strenge Definitionen, meist ostensiv, eingeführt, was vom Lehrer nicht nur eine sehr sorgfältige Verwendung der Begriffe, die diese Konzepte bezeichnen, erfordert, sondern auch die Kenntnis einer Reihe ihrer Eigenschaften. Daher besteht die Hauptaufgabe, die wir uns zu Beginn des Studiums des Materials in diesem Abschnitt stellen, darin, das Wissen über Ausdrücke (numerisch und mit Variablen), numerische Gleichheiten und numerische Ungleichungen, Gleichungen und Ungleichungen zu klären und zu vertiefen.

Das Studium dieser Konzepte ist mit der Verwendung mathematischer Sprache verbunden; es bezieht sich auf künstliche Sprachen, die zusammen mit dieser oder jener Wissenschaft geschaffen und entwickelt werden. Wie jede andere mathematische Sprache hat sie ihr eigenes Alphabet. In unserem Kurs wird es teilweise vorgestellt, da der Beziehung zwischen Algebra und Arithmetik mehr Aufmerksamkeit geschenkt werden muss. Dieses Alphabet umfasst:

1) Zahlen 0, 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9; mit ihrer Hilfe werden Zahlen nach besonderen Regeln geschrieben;

2) Betriebszeichen +, -, , :;

3) Beziehungszeichen<, >, =, M;

4) Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets, sie werden zur Bezeichnung von Zahlen verwendet;

5) Klammern (rund, geschweift usw.), sie werden technische Zeichen genannt.

Mit diesem Alphabet werden in der Algebra Wörter gebildet, Ausdrücke genannt, und aus Wörtern werden Sätze gewonnen – numerische Gleichheiten, numerische Ungleichungen, Gleichungen, Ungleichungen mit Variablen.

Wie Sie wissen, Aufzeichnungen 3 + 7, 24: 8, 3 × 2 - 4, (25 + 3)× 2 -17 werden aufgerufen numerische Ausdrücke. Sie werden aus Zahlen, Aktionszeichen und Klammern gebildet. Wenn wir alle im Ausdruck angegebenen Aktionen ausführen, erhalten wir eine aufgerufene Zahl der Wert eines numerischen Ausdrucks . Der Wert des numerischen Ausdrucks ist also 3 × 2 - 4 ist gleich 2.

Es gibt numerische Ausdrücke, deren Werte nicht gefunden werden können. Sie sagen über solche Ausdrücke, dass sie ergibt keinen Sinn .

Zum Beispiel, Ausdruck 8: (4 - 4) macht keinen Sinn, da sein Wert nicht gefunden werden kann: 4 - 4 = 0 und eine Division durch Null ist unmöglich. Der Ausdruck 7-9 macht auch keinen Sinn, wenn wir ihn auf der Menge der natürlichen Zahlen betrachten, da die Bedeutung des Ausdrucks 7-9 auf dieser Menge nicht gefunden werden kann.

Betrachten Sie den Eintrag 2a + 3. Er wird aus Zahlen, Aktionszeichen und dem Buchstaben a gebildet. Wenn Sie Zahlen anstelle von a ersetzen, erhalten Sie verschiedene numerische Ausdrücke:

wenn a = 7, dann 2 × 7 + 3;

wenn a = 0, dann 2 × 0 + 3;

wenn a = - 4, dann 2 × (- 4) + 3.

In der Notation 2a + 3 heißt ein solcher Buchstabe Variable , und der Eintrag selbst ist 2a + 3 - Ausdruck mit einer Variablen.

Eine Variable wird in der Mathematik üblicherweise durch einen beliebigen Kleinbuchstaben des lateinischen Alphabets bezeichnet. In der Grundschule werden neben Buchstaben auch andere Symbole zur Bezeichnung einer Variablen verwendet, beispielsweise . Dann hat der Ausdruck mit einer Variablen die Form: 2× + 3.

Jeder Ausdruck mit einer Variablen entspricht einer Menge von Zahlen, deren Ersetzung einen sinnvollen numerischen Ausdruck ergibt. Diese Menge heißt Ausdrucksbereich .

Zum Beispiel, Der Definitionsbereich des Ausdrucks 5: (x - 7) besteht aus allen reellen Zahlen außer der Zahl 7, da bei x = 7 der Ausdruck 5: (7 - 7) keinen Sinn ergibt.

In der Mathematik werden Ausdrücke betrachtet, die eine, zwei oder mehr Variablen enthalten.

Zum Beispiel, 2a + 3 ist ein Ausdruck mit einer Variablen und (3x + 8y) × 2 ist ein Ausdruck mit drei Variablen. Um einen numerischen Ausdruck aus einem Ausdruck mit drei Variablen zu erhalten, müssen Sie anstelle jeder Variablen Zahlen einsetzen, die zum Definitionsbereich des Ausdrucks gehören.

Wir haben also herausgefunden, wie aus dem Alphabet der mathematischen Sprache numerische Ausdrücke und Ausdrücke mit Variablen gebildet werden. Wenn wir eine Analogie zur russischen Sprache ziehen, dann sind Ausdrücke Wörter einer mathematischen Sprache.

Mit dem Alphabet einer mathematischen Sprache ist es jedoch möglich, beispielsweise solche Einträge zu bilden: (3 + 2)) - × 12 oder 3x – y: +)8, der weder als numerischer Ausdruck noch als Ausdruck mit einer Variablen bezeichnet werden kann. Diese Beispiele zeigen, dass die Beschreibung, welche Symbole des Alphabets einer mathematischen Sprache zur Bildung numerischer und variabler Ausdrücke verwendet werden, keine Definition dieser Konzepte darstellt. Lassen Sie uns einen numerischen Ausdruck definieren (ein Ausdruck mit Variablen wird auf ähnliche Weise definiert).

Definition.Wenn f und q numerische Ausdrücke sind, dann (f) + (q), (f) - (q), (f) × (q), (f) (q) - numerische Ausdrücke. Jede Zahl wird als numerischer Ausdruck betrachtet.

Wenn wir dieser Definition genau folgen würden, müssten wir zu viele Klammern schreiben, zum Beispiel (7) + (5) oder (6): (2). Um die Notation zu verkürzen, haben wir vereinbart, keine Klammern zu schreiben, wenn mehrere Ausdrücke addiert oder subtrahiert werden und diese Operationen von links nach rechts ausgeführt werden. Ebenso werden beim Multiplizieren oder Dividieren mehrerer Zahlen keine Klammern geschrieben und diese Operationen werden in der Reihenfolge von links nach rechts ausgeführt.

Zum Beispiel, sie schreiben so: 37 – 12 + 62 - 17+13 oder 120:15-7:12.

Darüber hinaus haben wir vereinbart, zuerst die Aktionen der zweiten Stufe (Multiplikation und Division) und dann die Aktionen der ersten Stufe (Addition und Subtraktion) auszuführen. Daher wird der Ausdruck (12-4:3) + (5-8:2-7) wie folgt geschrieben: 12 – 4: 3 + 5 – 8: 2 – 7.

Aufgabe. Finden Sie den Wert des Ausdrucks 3x (x - 2) + 4 (x - 2) für x = 6.

Lösung

1 Weg. Ersetzen wir in diesem Ausdruck die Zahl 6 anstelle der Variablen: 3 × 6-(6 – 2) + 4×(6 – 2). Um den Wert des resultierenden numerischen Ausdrucks zu ermitteln, führen wir alle angegebenen Aktionen aus: 3 × 6 × (6 – 2) + 4 × (6-2) = 18 × 4 + 4 × 4 = 72 + 16 = 88. Daher , Wann X= 6 ist der Wert des Ausdrucks 3x (x-2) + 4(x-2) 88.

Methode 2. Bevor wir die Zahl 6 in diesen Ausdruck einsetzen, vereinfachen wir ihn: 3x (x - 2) + 4(x - 2) = (X - 2)(3x + 4). Und dann stattdessen in den resultierenden Ausdruck ersetzen X Nummer 6, führen Sie die folgenden Schritte aus: (6 - 2) × (3×6 + 4) = 4× (18 + 4) = 4×22 = 88.

Achten wir auf Folgendes: Sowohl bei der ersten als auch bei der zweiten Lösungsmethode haben wir einen Ausdruck durch einen anderen ersetzt.

Zum Beispiel, der Ausdruck 18×4 + 4×4 wurde durch den Ausdruck 72+16 und der Ausdruck 3x (x - 2) + 4(x - 2) - durch den Ausdruck ersetzt (X - 2)(3x + 4), und diese Ersetzungen führten zum gleichen Ergebnis. Wenn man in der Mathematik die Lösung eines bestimmten Problems beschreibt, sagt man, dass wir es getan haben Identitätstransformationen Ausdrücke.

Definition.Zwei Ausdrücke gelten als identisch gleich, wenn für alle Werte der Variablen im Definitionsbereich der Ausdrücke ihre entsprechenden Werte gleich sind.

Beispiele für identisch gleiche Ausdrücke sind die Ausdrücke 5(x + 2) und 5x+ 10, da für alle reellen Werte X ihre Werte sind gleich.

Wenn wir zwei identisch gleiche Ausdrücke auf einer bestimmten Menge mit einem Gleichheitszeichen verbinden, erhalten wir einen Satz namens Identität auf diesem Set.

Zum Beispiel, 5(x + 2) = 5x + 10 ist eine Identität auf der Menge der reellen Zahlen, da für alle reellen Zahlen die Werte des Ausdrucks 5(x + 2) und 5x + 10 gleich sind. Unter Verwendung der Notation eines allgemeinen Quantors kann diese Identität wie folgt geschrieben werden: (" x О R) 5(x + 2) = 5x + 10. Echte numerische Gleichheiten werden auch als Identitäten betrachtet.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, der ihm in einer Menge identisch ist, wird aufgerufen identische Transformation eines gegebenen Ausdrucks auf dieser Menge.

Indem wir also den Ausdruck 5(x + 2) durch den identisch gleichen Ausdruck 5x + 10 ersetzten, führten wir eine identische Transformation des ersten Ausdrucks durch. Aber wie kann man bei gegebenen Ausdrücken herausfinden, ob sie identisch gleich sind oder nicht? Finden Sie die entsprechenden Werte von Ausdrücken, indem Sie Variablen durch bestimmte Zahlen ersetzen? Es dauert lange und ist nicht immer möglich. Doch welche Regeln müssen dann beachtet werden, wenn identische Transformationen von Ausdrücken durchgeführt werden? Es gibt viele dieser Regeln, darunter auch die Eigenschaften algebraischer Operationen.

Aufgabe. Faktorisieren Sie den Ausdruck ax - bx + ab - b 2 .

Lösung. Gruppieren wir die Terme dieses Ausdrucks nach zwei (den ersten mit dem zweiten, den dritten mit dem vierten): ax - bx+ ab - b 2 = (ax-bx)+(ab-b 2). Diese Transformation ist aufgrund der assoziativen Eigenschaft der Addition reeller Zahlen möglich.

Nehmen wir den gemeinsamen Faktor aus jeder Klammer im resultierenden Ausdruck heraus: (ax – bx) + (ab – b 2) = x(a – b) + b(a – b) – diese Transformation ist basierend auf dem Distributiv möglich Eigenschaft der Multiplikation relativ zur Subtraktion reeller Zahlen.

Im resultierenden Ausdruck haben die Terme einen gemeinsamen Faktor. Nehmen wir ihn aus den Klammern: x(a – b) + b(a – b) = (a – b)(x – b). Grundlage der durchgeführten Transformation ist die Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition.

Also, ax - bx + ab - b 2 = (a - b)(x -b) .

Im Grundstudium der Mathematik werden in der Regel nur identische Transformationen numerischer Ausdrücke durchgeführt. Die theoretische Grundlage solcher Transformationen sind die Eigenschaften der Addition und Multiplikation, verschiedene Regeln: Addieren einer Summe zu einer Zahl, eine Zahl zu einer Summe, Subtrahieren einer Zahl von einer Summe usw.

Zum Beispiel Um das Produkt 35 × 4 zu finden, müssen Sie die folgenden Transformationen durchführen: 35 × 4 = (30 + 5) × 4 = 30 × 4 + 5 × 4 = 120 + 20 = 140. Die durchgeführten Transformationen basieren auf: der Verteilungseigenschaft der Multiplikation relativ zur Addition; das Prinzip, Zahlen im Dezimalzahlensystem zu schreiben (35 = 30 + 5); Regeln zum Multiplizieren und Addieren natürlicher Zahlen.

Gegeben seien zwei algebraische Ausdrücke:

Lassen Sie uns eine Tabelle mit den Werten jedes dieser Ausdrücke für verschiedene numerische Werte des Buchstabens x erstellen.

Wir sehen, dass für alle dem Buchstaben x gegebenen Werte die Bedeutung beider Ausdrücke gleich war. Das Gleiche gilt für jeden anderen Wert von x.

Um dies zu überprüfen, transformieren wir den ersten Ausdruck. Basierend auf dem Verteilungsgesetz schreiben wir:

Nachdem wir die angegebenen Aktionen für die Zahlen ausgeführt haben, erhalten wir:

Nach der Vereinfachung stellte sich heraus, dass der erste Ausdruck genau derselbe war wie der zweite Ausdruck.

Nun ist klar, dass für jeden Wert von x die Werte beider Ausdrücke gleich sind.

Ausdrücke, deren Werte für alle darin enthaltenen Buchstabenwerte gleich sind, werden als identisch gleich oder identisch bezeichnet.

Dies bedeutet, dass es sich um identische Ausdrücke handelt.

Machen wir eine wichtige Anmerkung. Nehmen wir die Ausdrücke:

Nachdem wir eine Tabelle ähnlich der vorherigen zusammengestellt haben, stellen wir sicher, dass beide Ausdrücke für jeden Wert von x gleiche numerische Werte haben. Erst wenn der zweite Ausdruck gleich 6 ist, verliert der erste seine Bedeutung, da sich herausstellt, dass der Nenner Null ist. (Denken Sie daran, dass Sie nicht durch Null dividieren können.) Können wir sagen, dass diese Ausdrücke identisch sind?

Wir haben uns zuvor darauf geeinigt, dass wir jeden Ausdruck nur für akzeptable Buchstabenwerte berücksichtigen, also für solche Werte, bei denen der Ausdruck seine Bedeutung nicht verliert. Das bedeutet, dass wir hier beim Vergleich zweier Ausdrücke nur die Buchstabenwerte berücksichtigen, die für beide Ausdrücke akzeptabel sind. Daher müssen wir den Wert ausschließen. Und da für alle anderen Werte von x beide Ausdrücke den gleichen Zahlenwert haben, haben wir das Recht, sie als identisch zu betrachten.

Basierend auf dem oben Gesagten geben wir die folgende Definition identischer Ausdrücke:

1. Ausdrücke heißen identisch, wenn sie für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Buchstaben die gleichen Zahlenwerte haben.

Wenn wir zwei identische Ausdrücke mit einem Gleichheitszeichen verbinden, erhalten wir eine Identität. Bedeutet:

2. Eine Identität ist eine Gleichheit, die für alle zulässigen Werte der darin enthaltenen Buchstaben gilt.

Wir sind bereits zuvor auf Identitäten gestoßen. So sind beispielsweise alle Gleichheiten, mit denen wir die Grundgesetze der Addition und Multiplikation ausgedrückt haben, Identitäten.

Zum Beispiel Gleichungen, die das kommutative Additionsgesetz ausdrücken

und das assoziative Gesetz der Multiplikation

gültig für alle Buchstabenwerte. Das bedeutet, dass diese Gleichheiten Identitäten sind.

Als Identitäten gelten auch alle echten arithmetischen Gleichungen, zum Beispiel:

In der Algebra ist es oft notwendig, einen Ausdruck durch einen anderen zu ersetzen, der mit ihm identisch ist. Angenommen, Sie möchten den Wert des Ausdrucks ermitteln

Wir werden die Berechnungen erheblich vereinfachen, wenn wir diesen Ausdruck durch einen mit ihm identischen Ausdruck ersetzen. Basierend auf dem Verteilungsgesetz können wir schreiben:

Aber die Zahlen in Klammern ergeben zusammen 100. Das heißt, wir haben die Identität:

Wenn wir auf der rechten Seite 6,53 anstelle von a einsetzen, finden wir (in unseren Gedanken) sofort den numerischen Wert (653) dieses Ausdrucks.

Das Ersetzen eines Ausdrucks durch einen anderen, mit ihm identischen Ausdruck wird als identische Transformation dieses Ausdrucks bezeichnet.

Denken Sie daran, dass jeder algebraische Ausdruck für alle zulässigen Buchstabenwerte einige ist

Nummer. Daraus folgt, dass alle Gesetze und Eigenschaften arithmetischer Operationen, die im vorherigen Kapitel angegeben wurden, auf algebraische Ausdrücke anwendbar sind. Die Anwendung der Gesetze und Eigenschaften arithmetischer Operationen wandelt also einen gegebenen algebraischen Ausdruck in einen mit ihm identischen Ausdruck um.