المحاضرة 15. "التمايز بين دالة لعدة متغيرات"

تدرج دالة ذات متغيرين ومشتقة اتجاهية.

تعريف. وظيفة التدرج

يسمى ناقل

.

كما يتبين من تعريف تدرج الدالة، فإن مكونات متجه التدرج هي المشتقات الجزئية للدالة.

مثال. حساب التدرج من وظيفة

عند النقطة أ(2،3).

حل. دعونا نحسب المشتقات الجزئية للدالة.

بشكل عام، التدرج الوظيفي له الشكل:

=

لنعوض بإحداثيات النقطة A(2,3) في تعبيرات المشتقة الجزئية

تدرج الدالة عند النقطة A(2,3) له الشكل:

وبالمثل يمكننا تعريف مفهوم تدرج دالة ذات ثلاثة متغيرات:

تعريف. وظيفة التدرج من ثلاثة متغيرات

يسمى ناقل

وبخلاف ذلك، يمكن كتابة هذا المتجه على النحو التالي:

تعريفمشتق اتجاهي.

دع وظيفة من متغيرين تعطى

وناقل تعسفي

دعونا نفكر في زيادة هذه الوظيفة على طول متجه معين

أولئك. المتجه على خط مستقيم بالنسبة للمتجه . زيادة طول الوسيطة

المشتق في اتجاه معين هو حد نسبة زيادة الدالة في اتجاه معين إلى طول زيادة الوسيطة، عندما يميل طول زيادة الوسيطة إلى 0.

صيغة لحساب مشتق الاتجاه.

استنادا إلى تعريف التدرج، يمكن حساب المشتق الاتجاهي للدالة على النحو التالي.

بعض المتجهات. ناقلات مع نفس الاتجاه، ولكن أعزبدعونا نسمي الطول

يتم حساب إحداثيات هذا المتجه على النحو التالي:

من تعريف المشتق الاتجاهي، يمكن حساب المشتق الاتجاهي باستخدام الصيغة التالية:

الجانب الأيمن من هذه الصيغة هو المنتج القياسي لمتجهين

لذلك، يمكن تمثيل المشتق الاتجاهي بالصيغة التالية:

تتبع هذه الصيغة العديد من الخصائص المهمة لمتجه التدرج.

الخاصية الأولى للتدرج تأتي من الحقيقة الواضحة المتمثلة في أن المنتج القياسي لمتجهين يأخذ أعلى قيمةعندما تتطابق المتجهات في الاتجاه. الخاصية الثانية تأتي من حقيقة أن المنتج القياسي للمتجهات المتعامدة يساوي صفرًا. بالإضافة إلى ذلك، تشير الخاصية الأولى إلى المعنى الهندسي للتدرج - التدرج هو متجه على طول الاتجاه الذي يكون مشتقه الاتجاهي أكبر. نظرًا لأن المشتق الاتجاهي يحدد ظل زاوية ميل المماس لسطح الدالة، يتم توجيه التدرج على طول ميل المماس الأكبر.

مثال 2. لوظيفة (من المثال 1)

حساب المشتق الاتجاهي

عند النقطة أ(2،3).

حل. لحساب مشتق الاتجاه، تحتاج إلى حساب متجه التدرج عند النقطة المحددة ومتجه اتجاه الوحدة (أي تطبيع المتجه).

تم حساب متجه التدرج في المثال 1:

نحسب متجه اتجاه الوحدة:

نحسب المشتقة بالنسبة للاتجاه:

#2. الحد الأقصى والحد الأدنى من وظائف العديد من المتغيرات.

تعريف.وظيفة

لديه الحد الأقصى عند نقطة (أي في و )، إذا

تعريف.بنفس الطريقة تمامًا يقولون أن الوظيفة

لديه الحد الأدنى عند نقطة (أي في و )، إذا

لجميع النقاط القريبة بدرجة كافية من النقطة والمختلفة عنها.

يُطلق على الحد الأقصى والأدنى للدالة أقصى حد للدالة، أي يقولون أن الدالة لها حد أقصى عند نقطة معينة إذا كانت هذه الوظيفة لها حد أقصى أو أدنى عند نقطة معينة.

على سبيل المثال، الدالة

لديه حد أدنى واضح z = -1 عند x = 1 و y = 2.

له حد أقصى عند النقطة عند x = 0 و y = 0.

نظرية.(الشروط اللازمة للأقصى).

إذا وصلت الدالة إلى الحد الأقصى عند، فإن كل مشتق جزئي من الدرجة الأولى لـ z إما يختفي لقيم الوسيطات هذه أو لا يكون موجودًا.

تعليق.هذه النظرية ليست كافية لدراسة مسألة القيم القصوى للدالة. يمكننا إعطاء أمثلة على الدوال التي ليس لها مشتقات جزئية عند بعض النقاط، ولكن ليس لها حد أقصى عند هذه النقاط.

مثال.دالة لا تحتوي على مشتقات جزئية ولكن ليس لها قيمة قصوى.

بالفعل:

الظروف الكافية للأقصى.

نظرية.دع في بعض المجالات التي تحتوي على النقطة، فإن الدالة لها مشتقات جزئية مستمرة حتى الدرجة الثالثة شاملة؛ بالإضافة إلى ذلك، دع النقطة تكون نقطة حرجة للدالة، أي.

اذا متى ،

مثال 3.2. استكشاف الحد الأقصى والحد الأدنى من الوظائف

دعونا نجد النقاط الحرجة، أي. النقاط التي تكون فيها المشتقات الجزئية الأولى صفراً أو لا وجود لها.

أولا، نحسب المشتقات الجزئية نفسها.

نحن نساوي المشتقات الجزئية بالصفر ونحل نظام المعادلات الخطية التالي

اضرب المعادلة الثانية في 2 وأضفها إلى الأولى. والنتيجة هي معادلة فقط في y.

نوجد ونعوض في المعادلة الأولى

دعونا نتحول

ولذلك، النقطة () أمر بالغ الأهمية.

لنحسب المشتقات الثانية من الدرجة الثانية ونستبدل فيها إحداثيات النقطة الحرجة.

وفي حالتنا ليست هناك حاجة لاستبدال قيم النقاط الحرجة، لأن المشتقات الثانية هي أرقام.

ونتيجة لذلك لدينا:

وبالتالي فإن النقطة الحرجة التي تم العثور عليها هي نقطة متطرفة. علاوة على ذلك، منذ ذلك الحين

فهذه هي النقطة الدنيا.

الانحدار المهام- كمية متجهة يرتبط تحديدها بتحديد المشتقات الجزئية للدالة. يشير اتجاه التدرج إلى مسار أسرع نمو للدالة من نقطة واحدة من المجال القياسي إلى أخرى.

تعليمات

1. لحل مشكلة تدرج الدالة، يتم استخدام طرق حساب التفاضل، وهي إيجاد المشتقات الجزئية من الدرجة الأولى فيما يتعلق بثلاثة متغيرات. ومن المفترض أن الدالة نفسها وجميع مشتقاتها الجزئية لها خاصية الاستمرارية في مجال تعريف الدالة.

2. التدرج هو متجه، يشير اتجاهه إلى اتجاه الزيادة الأسرع في الدالة F. للقيام بذلك، يتم تحديد نقطتين M0 وM1 على الرسم البياني، وهما نهايات المتجه. حجم التدرج يساوي معدل زيادة الدالة من النقطة M0 إلى النقطة M1.

3. الدالة قابلة للاشتقاق عند جميع نقاط هذا المتجه، وبالتالي فإن إسقاطات المتجه على محاور الإحداثيات هي جميع مشتقاته الجزئية. ثم تبدو صيغة التدرج كما يلي: grad = (?F/?x) i + (?F/?y) j + (?F/?z) k، حيث i, j, k هي إحداثيات متجه الوحدة . بمعنى آخر، تدرج الدالة هو متجه إحداثياته ​​هي مشتقاته الجزئية grad F = (?F/?x, ?F/?y, ?F/?z).

4. مثال 1. دع الدالة F = sin(x z?)/y مذكورة. ويلزم اكتشاف تدرجه عند النقطة (؟/6، 1/4، 1).

5. الحل: حدد المشتقات الجزئية بالنسبة لكل متغير: F'_kh = 1/y сos(x z?) z?; F'_y = sin(x z?) (-1) 1/(y?); F '_z = 1/y cos(x z?) 2 x z.

6. استبدل قيم الإحداثيات الشهيرة للنقطة: F’_x = 4 сos(?/6) = 2 ?3; F'_y = الخطيئة(?/6) (-1) 16 = -8; F’_z = 4 cos(?/6) 2 ?/6 = 2 ?/?3.

7. قم بتطبيق صيغة التدرج الوظيفي:grad F = 2 ?3 i – 8 j + 2 ?/?3 k.

8. مثال 2. أوجد إحداثيات تدرج الدالة F = y arсtg (z/x) عند النقطة (1، 2، 1).

9. الحل.F'_x = 0 arctg (z/x) + y (arctg(z/x))'_x = y 1/(1 + (z/x)?) (-z/x?) = -y z/ (x? (1 + (z/x)?)) = -1;F'_y = 1 аrсtg(z/x) = аrсtg 1 = ?/4;F'_z = 0 аrсtg(z/x) + y (arсtg(z/x))'_z = y 1/(1 + (z/x)?) 1/x = y/(x (1 + (z/x)?)) = 1.grad = (- 1،؟/4، 1).

التدرج الميداني العددي هو كمية متجهة. وبالتالي، للعثور عليه، من الضروري تحديد جميع مكونات المتجه المقابل، بناءً على معرفة تقسيم المجال العددي.

تعليمات

1. اقرأ في كتاب مدرسي عن الرياضيات العليا ما هو تدرج المجال العددي. وكما تعلم، فإن هذه الكمية المتجهة لها اتجاه يتميز بـ السرعة القصوىاضمحلال وظيفة العددية. هذا التفسير لهذه الكمية المتجهة له ما يبرره من خلال التعبير لتحديد مكوناته.

2. تذكر أن أي متجه يتم تحديده من خلال مقادير مكوناته. إن مكونات المتجه هي في الواقع إسقاطات لهذا المتجه على محور إحداثي أو آخر. وهكذا إذا اعتبر الفضاء ثلاثي الأبعاد، فيجب أن يحتوي المتجه على ثلاثة مكونات.

3. اكتب كيفية تحديد مكونات المتجه الذي يمثل تدرج حقل معين. جميع إحداثيات هذا المتجه تساوي مشتقة الإمكانات العددية بالنسبة للمتغير الذي يتم حساب إحداثياته. أي، إذا كنت بحاجة إلى حساب المكون "x" لمتجه تدرج الحقل، فأنت بحاجة إلى التمييز بين الدالة العددية فيما يتعلق بالمتغير "x". يرجى ملاحظة أن المشتق يجب أن يكون جزئيا. وهذا يعني أنه أثناء التمايز، يجب اعتبار المتغيرات المتبقية التي لا تشارك فيها ثوابت.

4. اكتب تعبيرًا عن المجال العددي. وكما هو معروف، فإن هذا المصطلح يعني فقط دالة عددية لعدة متغيرات، وهي أيضًا كميات سلمية. عدد متغيرات الدالة العددية محدود ببُعد الفضاء.

5. التفريق بين الدالة العددية بشكل منفصل فيما يتعلق بكل متغير. ونتيجة لذلك، سوف تحصل على ثلاث وظائف جديدة. اكتب أي دالة في التعبير الخاص بمتجه تدرج الحقل العددي. كل وظيفة من الوظائف التي تم الحصول عليها هي في الواقع مؤشر لمتجه الوحدة لإحداثي معين. ومن ثم، فإن متجه التدرج النهائي يجب أن يبدو وكأنه كثيرة حدود ذات أسس على شكل مشتقات للدالة.

عند النظر في المسائل المتعلقة بتمثيل التدرج، فمن الشائع التفكير في الدوال كمجالات عددية. ولذلك، فمن الضروري إدخال التدوين المناسب.

سوف تحتاج

• - فقاعة؛
• - قلم.

تعليمات

1. دع الدالة تحدد بثلاث وسيطات u=f(x, y, z). يتم تعريف المشتق الجزئي للدالة، على سبيل المثال، فيما يتعلق بـ x، على أنه المشتق فيما يتعلق بهذه الوسيطة، ويتم الحصول عليه عن طريق تثبيت الوسائط المتبقية. مماثلة للحجج الأخرى. يتم كتابة ترميز المشتق الجزئي بالصيغة: df/dx = u’x ...

2. سيكون التفاضل الإجمالي مساويًا لـ du=(дf/дх)dx+ (дf/дy)dy+(дf/дz)dz. ويمكن فهم المشتقات الجزئية على أنها مشتقات على طول اتجاهات محاور الإحداثيات. وبالتالي، فإن السؤال الذي يطرح نفسه هو إيجاد المشتق بالنسبة لاتجاه متجه معين s عند النقطة M(x, y, z) (لا تنس أن الاتجاه s يتحدد بواسطة متجه الوحدة s^o). في هذه الحالة، التفاضل المتجه للوسائط (dx، dy، dz) = (дscos(alpha)، dscos(beta)، dscos(gamma)).

3. النظر إلى المنظر التفاضلية الكاملة du، يمكننا أن نستنتج أن المشتقة في الاتجاه s عند النقطة M تساوي: (дu/дs)|M=((дf/дх)|M)сos(alpha)+ ((дf/дy)|M) сos (بيتا) +((df/dz)|M) cos(gamma).إذا كانت s= s(sx,sy,sz)، فإن اتجاه جيب التمام (cos(alpha)، cos(beta)، cos(gamma)) يتم حسابها (انظر الشكل 1 أ).

4. يمكن إعادة كتابة تعريف المشتق الاتجاهي، باعتبار النقطة M متغيرة، في شكل منتج عددي: (дu/дs)=((дf/дx, дf/дy,дf/дz), (cos(alpha) ، cos(beta)، cos (gamma)))=(grad u, s^o). هذا التعبيرسيكون هدفا لحقل العددي. إذا تم النظر في الدالة بسهولة، فإن gradf هو متجه له إحداثيات متطابقة مع المشتقات الجزئية f(x, y, z).gradf(x,y,z)=((df/dh, df/dy, df/ dz) )=)=(df/dx)i+(df/dy)j +(df/dz)k. هنا (i، j، k) هي متجهات الوحدات لمحاور الإحداثيات في نظام الإحداثيات الديكارتي المستطيل.

5. إذا استخدمنا عامل المتجه التفاضلي هاميلتون نابلا، فيمكن كتابة gradf كضرب متجه العامل هذا بواسطة العددية f (انظر الشكل 1 ب). من وجهة نظر العلاقة بين gradf والمشتق الاتجاهي، تكون المساواة (gradf, s^o)=0 مقبولة إذا كانت هذه المتجهات متعامدة. وبالتالي، غالبًا ما يتم تعريف gradf على أنه اتجاه أسرع تحول للمجال القياسي. ومن وجهة نظر العمليات التفاضلية (Gradf هي إحداها)، فإن خصائص gradf تكرر تمامًا خصائص تمييز الوظائف. على وجه الخصوص، إذا كانت f=uv، فإن gradf=(vgradu+u gradv).

فيديو حول الموضوع

الانحدارهذه أداة تعمل في برامج تحرير الرسوم على ملء الصورة الظلية بانتقال سلس من لون إلى آخر. الانحداريمكن أن تعطي صورة ظلية نتيجة الحجم، أو تقليد الإضاءة، أو وهج الضوء على سطح الجسم، أو نتيجة غروب الشمس في خلفية الصورة الفوتوغرافية. يتم استخدام هذه الأداة على نطاق واسع، لذلك لمعالجة الصور الفوتوغرافية أو إنشاء الرسوم التوضيحية، من المهم جدًا معرفة كيفية استخدامها.

سوف تحتاج

• الكمبيوتر أو محرر الرسومات Adobe Photoshop أو Corel Draw أو Paint.Net أو غيره.

تعليمات

1. افتح صورة في البرنامج أو التقط صورة جديدة. قم بإنشاء صورة ظلية أو حدد المنطقة المطلوبة في الصورة.

2. قم بتشغيل أداة التدرج على شريط أدوات محرر الرسومات. ضع مؤشر الماوس على النقطة الموجودة داخل المنطقة أو الصورة الظلية المحددة حيث سيبدأ اللون الأول للتدرج. انقر مع الاستمرار على زر الفأرة الأيسر. حرك المؤشر إلى النقطة التي تريد أن يتغير فيها التدرج إلى اللون النهائي. الافراج عن زر الماوس الأيسر. سيتم ملء الصورة الظلية المحددة بتعبئة متدرجة.

3. الانحداريمكنك ضبط الشفافية والألوان ونسبتها عند نقطة معينة من التعبئة. للقيام بذلك، افتح نافذة تحرير التدرج. لفتح نافذة التحرير في Photoshop، انقر فوق مثال التدرج في لوحة الخيارات.

4. تعرض النافذة التي تفتح خيارات التعبئة المتدرجة المتاحة في شكل أمثلة. لتعديل أحد الخيارات، حدده بنقرة ماوس.

5. في الجزء السفلي من النافذة، يتم عرض مثال للتدرج في شكل مقياس واسع توجد عليه أشرطة التمرير. تشير أشرطة التمرير إلى النقاط التي يجب أن يكون للتدرج عندها عمليات ترتيب محددة، وفي الفاصل الزمني بين أشرطة التمرير، ينتقل اللون بالتساوي من اللون المحدد عند النقطة الأولى إلى لون النقطة الثانية.

6. تقوم أشرطة التمرير الموجودة أعلى المقياس بتعيين شفافية التدرج. لتغيير الشفافية، انقر فوق شريط التمرير المطلوب. سيظهر حقل أسفل المقياس الذي تريد الدخول فيه الدرجة المطلوبةالشفافية كنسبة مئوية

7. تقوم أشرطة التمرير الموجودة أسفل المقياس بتعيين ألوان التدرج. من خلال النقر على واحد منهم، سوف تكون قادرا على تحديد اللون المطلوب.

8. الانحدارقد يكون لها عدة ألوان انتقالية. لتعيين لون آخر، انقر على المساحة الحرة في أسفل المقياس. سيظهر عليه شريط تمرير آخر. أعطها اللون المطلوب. سيعرض المقياس مثالاً للتدرج بنقطة أخرى. يمكنك تحريك أشرطة التمرير بالضغط عليها بزر الماوس الأيسر لتحقيق المجموعة المطلوبة.

9. الانحدارأنها تأتي في عدة أنواع يمكن أن تعطي شكلاً للصور الظلية المسطحة. على سبيل المثال، من أجل إعطاء دائرة شكل الكرة، يتم استخدام التدرج الشعاعي، ومن أجل إعطاء شكل مخروطي، يتم استخدام التدرج المخروطي الشكل. لإعطاء السطح وهم التحدب، يمكنك استخدام التدرج المرآة، ويمكن استخدام التدرج على شكل الماس لإنشاء الضوء.

فيديو حول الموضوع

فيديو حول الموضوع

من دورة المدرسةيعرف علماء الرياضيات أن المتجه على المستوى هو قطعة موجهة. بدايته ونهايته لهما إحداثيان. يتم حساب إحداثيات المتجهات بطرح إحداثيات البداية من إحداثيات النهاية.

يمكن توسيع مفهوم المتجه إلى الفضاء ذي الأبعاد n (بدلاً من الإحداثيين سيكون هناك إحداثيات n).

الانحدارغراد z للدالة z = f(x 1, x 2, ...x n) هو متجه المشتقات الجزئية للدالة عند نقطة ما، أي. ناقلات مع الإحداثيات.

يمكن إثبات أن تدرج الدالة يحدد اتجاه أسرع نمو لمستوى الدالة عند نقطة ما.

على سبيل المثال، بالنسبة للدالة z = 2x 1 + x 2 (انظر الشكل 5.8)، سيكون للتدرج عند أي نقطة إحداثيات (2؛ 1). يمكنك بناءه على متن طائرة طرق مختلفةمع الأخذ في الاعتبار أي نقطة كبداية للمتجه. على سبيل المثال، يمكنك توصيل النقطة (0; 0) بالنقطة (2; 1)، أو النقطة (1; 0) بالنقطة (3; 1)، أو النقطة (0; 3) بالنقطة (2; 4)، أو نحو ذلك. (انظر الشكل 5.8). جميع المتجهات التي تم إنشاؤها بهذه الطريقة سيكون لها إحداثيات (2 – 0؛ 1 – 0) =
= (3 – 1; 1 – 0) = (2 – 0; 4 – 3) = (2; 1).

من الشكل 5.8، من الواضح أن مستوى الوظيفة يزداد في اتجاه التدرج، لأن خطوط المستوى المبنية تتوافق مع قيم المستوى 4 > 3 > 2.

الشكل 5.8 - تدرج الدالة z = 2x 1 + x 2

لنفكر في مثال آخر - الدالة z = 1/(x 1 x 2). لن يكون تدرج هذه الدالة هو نفسه دائمًا عند نقاط مختلفة، حيث يتم تحديد إحداثياتها بواسطة الصيغ (-1/(x 1 2 x 2); -1/(x 1 x 2 2)).

يوضح الشكل 5.9 خطوط مستوى الدالة z = 1/(x 1 x 2) للمستويين 2 و10 (يُشار إلى الخط المستقيم 1/(x 1 x 2) = 2 بخط منقط، والخط المستقيم
1/(× 1 × 2) = 10 – خط متصل).

الشكل 5.9 - تدرجات الدالة z = 1/(x 1 x 2) في نقاط مختلفة

خذ على سبيل المثال النقطة (0.5; 1) واحسب التدرج عند هذه النقطة: (-1/(0.5 2 *1); -1/(0.5*1 2)) = (-4; - 2). لاحظ أن النقطة (0.5; 1) تقع على خط المستوى 1/(x 1 x 2) = 2، لأن z = f(0.5; 1) = 1/(0.5*1) = 2. لتصوير المتجه ( -4; -2) في الشكل 5.9، نقوم بتوصيل النقطة (0.5; 1) بالنقطة (-3.5; -1)، لأن
(-3,5 – 0,5; -1 - 1) = (-4; -2).

لنأخذ نقطة أخرى على نفس خط المستوى، على سبيل المثال، النقطة (1; 0.5) (z = f(1; 0.5) = 1/(0.5*1) = 2). دعونا نحسب التدرج في هذه المرحلة
(-1/(1 2 *0.5)؛ -1/(1*0.5 2)) = (-2؛ -4). ولتصويرها في الشكل 5.9، نربط النقطة (1؛ 0.5) بالنقطة (-1؛ -3.5)، لأن (-1 - 1؛ -3.5 - 0.5) = (-2؛ - 4).

لنأخذ نقطة أخرى على نفس خط المستوى، ولكن الآن فقط في ربع إحداثي غير موجب. على سبيل المثال، النقطة (-0.5; -1) (z = f(-0.5; -1) = 1/((-1)*(-0.5)) = 2). التدرج عند هذه النقطة سيكون مساوياً ل
(-1/((-0.5) 2 *(-1)); -1/((-0.5)*(-1) 2)) = (4; 2). لنصورها في الشكل 5.9 من خلال ربط النقطة (-0.5; -1) بالنقطة (3.5; 1)، لأن (3.5 – (-0.5); 1 – (-1)) = (4 ; 2).

1 0 يتم توجيه التدرج بشكل طبيعي إلى سطح المستوى (أو إلى خط المستوى إذا كان المجال مسطحًا).

2 0 يتم توجيه التدرج نحو زيادة الوظيفة الميدانية.

3 0 معامل التدرج يساوي أكبر مشتق في الاتجاه عند نقطة معينة في المجال:

توفر هذه الخصائص خاصية ثابتة للتدرج. يقولون أن gradU المتجه يشير إلى اتجاه وحجم التغيير الأكبر في المجال القياسي عند نقطة معينة.

ملاحظة 2.1.إذا كانت الدالة U(x,y) هي دالة لمتغيرين، فإن المتجه

تقع في الطائرة أوكسي.

اجعل U=U(x,y,z) وV=V(x,y,z) قابلين للاشتقاق عند النقطة M 0 (x,y,z). ثم تعقد المساواة التالية:

أ) غراد () =؛ ب) غراد(UV)=VgradU+UgradV;

ج) غراد(U V)=gradU gradV; د) د) غراد = , V ;

e) gradU( = gradU، حيث أن U=U() لها مشتق بالنسبة إلى .

مثال 2.1.يتم إعطاء الدالة U=x 2 +y 2 +z 2. حدد تدرج الدالة عند النقطة M(-2;3;4).

حل.وفقا للصيغة (2.2) لدينا

الأسطح المستوية لهذا المجال العددي هي عائلة الكرات x 2 +y 2 +z 2 ، المتجه gradU=(-4;6;8) هو المتجه الطبيعي للمستويات.

مثال 2.2.أوجد تدرج الحقل العددي U=x-2y+3z.

حل.وفقا للصيغة (2.2) لدينا

الأسطح المستوية لحقل عددي معين هي مستويات

x-2y+3z=C; المتجه gradU=(1;-2;3) هو المتجه الطبيعي لمستويات هذه العائلة.

مثال 2.3.أوجد أكبر انحدار لارتفاع السطح U=x y عند النقطة M(2;2;4).

حل.لدينا:

مثال 2.4.أوجد وحدة المتجه العادي لسطح مستوى الحقل العددي U=x 2 +y 2 +z 2 .

حل.الأسطح المستوية لمجال عددي محدد x 2 +y 2 +z 2 =C (C>0).

يتم توجيه التدرج بشكل طبيعي إلى سطح المستوى، لذلك

يحدد المتجه الطبيعي لسطح المستوى عند النقطة M(x,y,z). بالنسبة للمتجه العادي للوحدة، نحصل على التعبير

مثال 2.5.ابحث عن تدرج الحقل U=، حيث و هي متجهات ثابتة، r هو متجه نصف القطر للنقطة.

حل.يترك

ثم: . من خلال قاعدة التمايز للمحدد نحصل عليه

لذلك،

مثال 2.6.أوجد تدرج المسافة، حيث P(x,y,z) هي نقطة المجال قيد الدراسة، P 0 (x 0 ,y 0 ,z 0) هي نقطة ثابتة.

حل.لدينا - متجه اتجاه الوحدة .

مثال 2.7.أوجد الزاوية بين تدرجات الدوال عند النقطة M 0 (1,1).

حل.نجد تدرجات هذه الوظائف عند النقطة M 0 (1،1)، لدينا

; يتم تحديد الزاوية بين gradU وgradV عند النقطة M 0 من المساواة

ومن ثم = 0.

مثال 2.8.أوجد المشتقة الاتجاهية، متجه نصف القطر يساوي

حل.أوجد تدرج هذه الوظيفة:

بالتعويض (2.5) في (2.4) نحصل على

مثال 2.9.أوجد عند النقطة M 0 (1;1;1) اتجاه التغيير الأكبر في المجال العددي U=xy+yz+xz وحجم هذا التغيير الأكبر عند هذه النقطة.

حل.تتم الإشارة إلى اتجاه التغيير الأكبر في المجال بواسطة المتجه غراد U(M). نجده:

وهذا يعني... يحدد هذا المتجه اتجاه الزيادة الأكبر في هذا المجال عند النقطة M 0 (1;1;1). حجم أكبر تغير في المجال عند هذه النقطة يساوي

مثال 3.1.أوجد الخطوط المتجهة لحقل المتجه حيث يكون المتجه ثابتًا.

حل.لدينا ذلك

اضرب بسط ومقام الكسر الأول في x، والثاني في y، والثالث في z وأضف حدًا تلو الآخر. وباستخدام خاصية التناسب نحصل على

وبالتالي xdx+ydy+zdz=0، وهو ما يعني

x 2 +y 2 +z 2 =A 1, A 1 -const>0. الآن بضرب بسط ومقام الكسر الأول (3.3) في c 1، والثاني في c 2، والثالث في c 3 وإضافة حد بحد، نحصل على

حيث من 1 dx+c 2 dy+c 3 dz=0

وبالتالي مع 1 x+c 2 y+c 3 z=A 2 . أ2-ثابت.

المعادلات المطلوبة للخطوط المتجهة

توضح هذه المعادلات أنه يتم الحصول على خطوط المتجهات من تقاطع المجالات التي لها مركز مشترك عند الأصل مع مستويات متعامدة مع المتجه. ويترتب على ذلك أن الخطوط المتجهة هي دوائر يقع مركزها على خط مستقيم يمر بنقطة الأصل في اتجاه المتجه ج. مستويات الدوائر متعامدة مع الخط المحدد.

مثال 3.2.أوجد خط المجال المتجه الذي يمر بالنقطة (1,0,0).

حل. المعادلات التفاضليةخطوط المتجهات

وبالتالي لدينا . حل المعادلة الأولى. أو إذا أدخلنا المعلمة t، فسيكون لدينا في هذه الحالة المعادلة تأخذ الشكل dz=bdt، حيث z=bt+c 2.

خذ بعين الاعتبار صيغة مشتق الدالة العددية u في الاتجاه lect

والعوامل الثانية هي إسقاطات متجه الوحدة الموجهة على طول الشعاع lect.

لنأخذ المتجه الذي ستكون توقعاته على محاور الإحداثيات هي قيم المشتقات الجزئية في النقطة المحددة P(x, y, z).

يُسمى هذا المتجه تدرج الدالة u (x, y, z) ويُشار إليه بالتدرج أو

تعريف. تدرج الدالة u(x, y, z) هو متجه تكون توقعاته هي قيم المشتقات الجزئية لهذه الدالة، أي.

مشتقة دالة في اتجاه معين يساوي المنتج القياسي لتدرج الدالة ومتجه الوحدة في هذا الاتجاه.

بتوسيع المنتج العددي، نحصل على

,

حيث φ هي الزاوية بين المتجه غرادووشعاع ẫ.

يصل إلى أكبر قيمة

لذلك، هناك أكبر قيمة للمشتق في TR معين، والاتجاه grad u يتزامن مع اتجاه الشعاع الخارج من TR، حيث تتغير الدالة بشكل أسرع.

دعونا ننشئ علاقة بين اتجاه تدرج الوظيفة والأسطح المستوية للمجال القياسي.

نظرية. يتزامن تدرج الدالة u (x,y,z) عند كل نقطة مع المستوى الطبيعي لسطح الحقل العددي الذي يمر عبر هذه النقطة.

دليل. دعونا نختار بشكل تعسفي t.P 0 (x 0، y 0، z 0).

المعادلة السطحية

المستوى يمر

أي أنه سيكون u(x,y,z)= ,

ش 0 = ش (س 0، ص 0، ض 0)

معادلة الطبيعي لهذا السطح سيكون

ويترتب على ذلك أن اتجاه المتجه الطبيعي، الذي لديه توقعات ، هو تدرج الدالة u (x، y، z) في t. P 0، إلخ.

وبالتالي، فإن التدرج عند كل نقطة يكون عموديًا على المستوى المماس للسطح المستوي الذي يمر عبره هذه النقطة، أي. إسقاطه على هذا المستوى هو صفر.

لذلك:المشتق في أي اتجاه مماس للسطح المستوي الذي يمر بنقطة معينة يساوي صفرًا.

الخصائص الأساسية لوظيفة التدرج:

2) غراد ، أين سي - مقدار ثابت

4) غراد

تم إثبات جميع الخصائص باستخدام تعريف تدرج الوظيفة.

مثال.في النقطة M(1, 1, 1) أوجد اتجاه أكبر تغير في المجال القياسي ومقدار هذا التغير.