يوضح تحليل سلوك الأنظمة أنه بالإضافة إلى الطاقة والزخم، هناك كمية ميكانيكية أخرى، والتي ترتبط أيضًا بقانون الحفظ - وهذا ما يسمى الزخم الزاوي. يتم أيضًا استخدام أسماء الزخم الزاوي، أو عزم الدوران، أو الزخم الزاوي، أو الزخم ببساطة.

ما هي هذه الكمية وما هي خصائصها؟

أولاً، لنأخذ جسيمًا واحدًا. اسمحوا أن يكون متجه نصف القطر الذي يميز موقعه بالنسبة إلى نقطة ما ياللنظام المرجعي المختار، وما هو زخمه في هذا النظام. الزخم الزاوي للجسيم أنسبة إلى النقطة يا(الشكل 6.1) يسمى المتجه يساوي المنتج المتجه للمتجهات و:

ويترتب على هذا التعريف أن المتجه محوري. ويتم اختيار اتجاهه بحيث يدور حول النقطة يافي اتجاه المتجه يشكلون نظامًا أيمنًا. معامل المتجه يساوي

,

(6.2)

أين هي الزاوية بين المتجهات و ذراع المتجه بالنسبة للنقطة عن(الشكل 6.1).

دعونا نشتق معادلة تصف التغير في زمن المتجه. يسمى معادلة اللحظة. لاستخلاص الاستنتاج، من الضروري معرفة الكمية الميكانيكية المسؤولة عن التغيير في المتجه في معين

نظام مرجعي. دعونا نفرق المعادلة (6.1) فيما يتعلق بالوقت:

منذ هذه النقطة يابلا حراك، ثم ناقلات يساوي السرعةالجسيمات، أي تتزامن في الاتجاه مع المتجه، وبالتالي

وباستخدام قانون نيوتن الثاني، نحصل على مكان محصلة جميع القوى المطبقة على الجسيم. لذلك،

تسمى الكمية الموجودة على الجانب الأيمن من هذه المعادلة لحظة القوةنسبة إلى النقطة عن(الشكل 6.2). نشير إلى ذلك بالحرف نكتب

المتجه، مثل، محوري. ومعامل هذا المتجه، مثل (6.2)، يساوي

تسمى هذه المعادلة معادلة اللحظة. لاحظ أنه إذا كان الإطار المرجعي غير قصوري، فإن عزم القوة يشمل كلا من عزم قوى التفاعل وعزم قوى القصور الذاتي بالنسبة لنفس النقطة يا.

من المعادلة اللحظة (6.5)، على وجه الخصوص، يترتب على ذلك أنه إذا كان . بمعنى آخر، إذا كانت لحظة جميع القوى المؤثرة على الجسيم، بالنسبة إلى نقطة معينة O من الإطار المرجعي المختار، تساوي صفرًا خلال الفترة الزمنية التي تهمنا، فإن الزخم الزاوي للجسيم يظل بالنسبة لهذه النقطة ثابت خلال هذا الوقت.

مثال 1: بعض الكواكب A تتحرك ومجال جاذبية الشمس هو C (الشكل 6.3). بالنسبة إلى أي نقطة من النظام المرجعي لمركزية الشمس سيتم الحفاظ على الزخم الزاوي لكوكب معين في الوقت المناسب؟

للإجابة على هذا السؤال، أولا وقبل كل شيء، من الضروري تحديد القوى المؤثرة على الكوكب أ. في هذه الحالة، هي قوة الجاذبية فقط

من جهة الشمس. منذ عندما يتحرك الكوكب، اتجاه هذه القوة

يمر بمركز الشمس طوال الوقت، فالأخيرة هي النقطة التي يكون عزم القوة بالنسبة لها دائمًا مساويًا للصفر ويظل الزخم الزاوي للكوكب ثابتًا. سوف يتغير زخم الكوكب.

مثال 2. الحلقة A، التي تتحرك على طول مستوى أفقي أملس، ترتد بشكل مرن عن جدار عمودي أملس (الشكل 6.4، المنظر العلوي). أوجد النقطة التي يظل الزخم الزاوي للقرص ثابتًا بالنسبة لها أثناء هذه العملية.

يتم التأثير على القرص بقوة الجاذبية، وقوة رد الفعل من المستوى الأفقي، وقوة رد الفعل من الجدار عند الاصطدام به. أول قوتين توازنان بعضهما البعض، وتترك القوة. عزمها يساوي صفرًا بالنسبة إلى أي نقطة تقع على خط عمل المتجه، مما يعني أنه بالنسبة إلى أي من هذه النقاط، فإن الزخم الزاوي للقرص سيظل ثابتًا في هذه العملية.

مثال 3. على المستوى الأفقي الأملس توجد أسطوانة رأسية ثابتة وغسالة A متصلة بالأسطوانة بواسطة خيط AB (الشكل 6.5، المنظر العلوي). تم إعطاء القرص سرعة أولية كما هو موضح في هذا الشكل. هل هناك نقطة هنا يظل فيها الزخم الزاوي للقرص ثابتًا أثناء تحركها؟

في هذه الحالة، القوة الوحيدة غير المعوضة المؤثرة على الحلقة A هي قوة الشد الصادرة عن الخيط. من السهل أن نرى أنه لا توجد نقطة بالنسبة إلى لحظة القوة في عملية الحركة تساوي الصفر طوال الوقت. ومن ثم، لا توجد نقطة تظل كمية الحركة الزاوية للقرص ثابتة بالنسبة لها. يوضح هذا المثال أنه لا توجد دائمًا نقطة يظل الزخم الزاوي للجسيم ثابتًا بالنسبة لها.

المعادلة اللحظة (6.5) تسمح لنا بالإجابة على سؤالين:

1) أوجد عزم القوة بالنسبة إلى النقطة O التي تهمنا أيالوقت t، إذا كان الاعتماد الزمني للزخم الزاوي للجسيم بالنسبة لنفس النقطة معروفًا؛

2) تحديد الزيادة في الزخم الزاوي للجسيم بالنسبة إلى النقطة O لأي فترة زمنية، إذا كان الاعتماد الزمني للحظة القوة المؤثرة على هذا الجسيم بالنسبة إلى نفس النقطة O معروفًا.

ويتلخص حل السؤال الأول في إيجاد المشتقة بالنسبة إلى زمن لحظة الدفع، أي التي تساوي حسب (6.5) لحظة القوة المطلوبة.

أما حل السؤال الثاني فيتلخص في تكامل المعادلة (6.5). بضرب طرفي هذه المعادلة ب dt، نحصل على - تعبير يحدد الزيادة الأولية للمتجه. من خلال تكامل هذا التعبير مع مرور الوقت، نجد زيادة المتجه خلال فترة زمنية محددة t:

(6.6)

الكمية على الجانب الأيمن من هذه المعادلة هي دعا الدافعلحظة القوة. ونتيجة لذلك، تم الحصول على العبارة التالية: الزيادة في الزخم الزاوي لجسيم ما خلال أي فترة زمنية تساوي الزخم الزاوي للقوة خلال نفس الوقت. دعونا ننظر إلى مثالين.

مثال 1. يتغير الزخم الزاوي لجسيم بالنسبة إلى نقطة معينة مع الزمن t وفقا للقانون حيث و هي بعض المتجهات المتعامدة الثابتة. أوجد عزم القوة المؤثرة على الجسيم عندما تكون الزاوية بين المتجهات وتساوي 45 درجة.

وفقا ل (6.5) ، أولئك. المتجه، يتطابق دائمًا في الاتجاه مع المتجه. دعونا نصور المتجهات ولحظة معينة t (الشكل 6.6). ومن هذا الشكل يتضح أن الزاوية = 45° في اللحظة التي يكون فيها و .

مثال 2. تم إلقاء حجر A كتلته m بزاوية مع الأفقي بسرعة ابتدائية. بإهمال مقاومة الهواء، أوجد الاعتماد الزمني للزخم الزاوي للحجر بالنسبة إلى نقطة الرمي O (الشكل 6.7).

على مدى فترة من الزمن dt، الزخم الزاوي للحجر بالنسبة إلى النقطة

O سوف تحصل على زيادة . لأن الذي - التي وقد تم دمج هذا التعبير مع الأخذ في الاعتبار حقيقة أنه في الوقت الحالي نحن نحصل . يوضح هذا أن اتجاه المتجه يظل دون تغيير أثناء الحركة (يتم توجيه المتجه خارج المستوى، الشكل 6.7).

دعونا الآن نتناول مفهومي الزخم الزاوي وعزم القوة بالنسبة إلى المحور. دعونا نختار في بعض نظام بالقصور الذاتيإشارة إلى محور ثابت التعسفي. لنفترض أنه بالنسبة إلى نقطة ما O على المحور، يكون الزخم الزاوي للجسيم A مساويًا لـ ، ويكون عزم القوة المؤثرة على الجسيم.

الزخم الزاوي بالنسبة للمحور z هو الإسقاط على هذا المحور لمتجه محدد بالنسبة إلى نقطة عشوائية O لمحور معين (الشكل 6.8). يتم تقديم مفهوم لحظة القوة بالنسبة للمحور بالمثل. هُم

دعونا معرفة خصائص هذه الكميات. بإسقاط (6.5) على المحور z نحصل على

(6.7)

أي أن المشتق الزمني للزخم الزاوي للجسيم بالنسبة للمحور z يساوي عزم القوة بالنسبة لهذا المحور. على وجه الخصوص، إذا كان ذلك الحين. بمعنى آخر، إذا كان عزم القوة بالنسبة لبعض المحاور الثابتة z يساوي الصفر، فإن الزخم الزاوي للجسيم بالنسبة لهذا المحور يظل ثابتًا. في هذه الحالة، قد يتغير المتجه نفسه.

مثال: جسم صغير كتلته m، معلق على خيط، يتحرك بشكل منتظم في دائرة أفقية (الشكل 6.9) تحت تأثير الجاذبية.بالنسبة للنقطة O، فإن الزخم الزاوي للجسم - المتجه - هو نفسه الطائرة مع المحور z والخيط. عندما يتحرك الجسم، فإن المتجه تحت تأثير لحظة الجاذبية يدور باستمرار، أي يتغير. يبقى الإسقاط ثابتا، لأن المتجه متعامد

دعونا الآن نجد التعبيرات التحليلية ل و . من السهل أن نرى أن هذه المشكلة تكمن في إيجاد الإسقاطات على المحور z لمنتجات المتجهات و.

دعونا نستخدم نظام إحداثيات أسطواني ونربطه بمتجهات وحدة الجسيم A (الشكل 6.10) الموجهة في اتجاه زيادة الإحداثيات المقابلة. في نظام الإحداثيات هذا، يُكتب متجه نصف القطر وزخم الجسيم على النحو التالي:

أين هي إسقاطات المتجه على المتجهات المقابلة. ومن المعروف من الجبر المتجه أن منتج ناقلاتيمكن للمرء أن يتخيل

المحدد

من هنا يتضح على الفور أن الزخم الزاوي للجسيم بالنسبة للمحور z

أين هو إسقاط السرعة الزاوية التي يدور بها ناقل نصف القطر للجسيم.

وبشكل مماثل لـ (6.8)، يُكتب عزم القوة بالنسبة إلى المحور z:

(6.10)

أين هو إسقاط متجه القوة على متجه الوحدة

دعونا نلاحظ أن التوقعات لا تعتمد حقًا على اختيار النقطة O على المحور z، والتي يتم تحديد المتجهات بالنسبة لها. بالإضافة إلى ذلك، فمن الواضح أن و هي كميات جبرية، علاماتها تتوافق مع علامات الإسقاطات و .

المعادلة الأساسية لديناميات الحركة الدورانية نقطة مادية - التسارع الزاويالنقطة التي تدور فيها حول محور ثابت تتناسب طرديا مع عزم الدوران وعكسيا مع عزم القصور الذاتي.

م = ه*يأو ه = م/ي

مقارنة التعبير الناتج مع قانون نيوتن الثاني مع القانون التقدمينرى أن عزم القصور الذاتي J هو مقياس لقصور الجسم أثناءه حركة دورانية. مثل الكتلة، الكمية مضافة.

لحظة من الجمودحلقة رقيقة:

لحظة من الجمود

لحساب عزم القصور الذاتي، يجب علينا تقسيم الجسم ذهنيًا إلى عناصر صغيرة بدرجة كافية، يمكن اعتبار نقاطها تقع على نفس المسافة من محور الدوران، ثم إيجاد حاصل ضرب كتلة كل عنصر في المربع المسافة من المحور، وأخيرا، جمع جميع المنتجات الناتجة. من الواضح أن هذه مهمة تستغرق وقتًا طويلاً للغاية. للعد
لحظات القصور الذاتي للأجسام صحيحة شكل هندسيفي بعض الحالات، يمكنك استخدام طرق حساب التفاضل والتكامل.
سيتم استبدال العثور على المجموع المحدود لعزوم القصور الذاتي لعناصر الجسم بالجمع اللانهائي عدد كبيرلحظات القصور الذاتي المحسوبة للعناصر متناهية الصغر:

lim i = 1 ∞ ΣΔm i r i 2 = ∫r 2 dm. (في Δم → 0).

دعونا نحسب عزم القصور الذاتي لقرص متجانس أو أسطوانة صلبة ذات ارتفاع حنسبة إلى محور التماثل

دعونا نقسم القرص إلى عناصر على شكل حلقات رفيعة متحدة المركز مع مراكز على محور التماثل. الحلقات الناتجة لها قطر داخلي صوالخارجية ص + د، والارتفاع ح. لأن دكتور<< r إذن يمكننا أن نفترض أن مسافة جميع نقاط الحلقة من المحور متساوية ص.
لكل حلقة على حدة، لحظة القصور الذاتي

ط = ΣΔmr 2 = ص 2 ΣΔm,

أين ΣΔم– كتلة الحلقة بأكملها .
حجم الحلقة 2πrhdr. إذا كانت كثافة مادة القرص ρ ثم كتلة الخاتم

ρ2πrhdr.

لحظة القصور الذاتي للحلقة

أنا = 2πρhr 3 د.

أنا = 2πρh 0 R ∫r 3 د,

أنا = (1/2)πρhR 4.

لكن كتلة القرص م = ρπhR 2، لذلك،

أنا = (1/2) ملي آر 2.

دعونا نعرض (بدون حساب) عزوم القصور الذاتي لبعض الأجسام ذات الشكل الهندسي المنتظم والمصنوعة من مواد متجانسة

 1. عزم القصور الذاتي لحلقة رفيعة بالنسبة إلى محور يمر بمركزها بشكل عمودي على مستواها (أو أسطوانة مجوفة رقيقة الجدران بالنسبة إلى محور تناظرها):

أنا = مر2.

 2. عزم القصور الذاتي للأسطوانة ذات الجدران السميكة بالنسبة لمحور التماثل:

أنا = (1/2) م(ر 1 2 − ر 2 2)

أين ص 1- داخلي و ص 2- نصف القطر الخارجي.
 3. عزم القصور الذاتي للقرص بالنسبة لمحور يتوافق مع أحد أقطاره:

أنا = (1/4) ملي آر 2.

 4. لحظة القصور الذاتي للأسطوانة الصلبة بالنسبة إلى محور عمودي على المولد ويمر عبر منتصفها:

أنا = م(ص2/4 + ح2/12)

أين ر- نصف قطر قاعدة الاسطوانة، ح- ارتفاع الاسطوانة .
 5. عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع بالنسبة لمحور يمر بمنتصفه:

ط = (1/12) مل2,

أين ل- طول القضيب .
 6. عزم القصور الذاتي لقضيب رفيع بالنسبة لمحور يمر بأحد طرفيه:

أنا = (1/3) مل2

7. عزم القصور الذاتي للكرة بالنسبة لمحور يوافق أحد أقطارها:

أنا = (2/5) ملي آر 2.

إذا كان عزم القصور الذاتي لجسم معروفًا عن محور يمر بمركز كتلته، فيمكن العثور على عزم القصور الذاتي حول أي محور آخر موازٍ للأول على أساس ما يسمى بنظرية هيجنز-شتاينر.
لحظة القصور الذاتي للجسم أنانسبة إلى أي محور تساوي لحظة القصور الذاتي للجسم يكونبالنسبة إلى محور موازي للمحور المعطى ويمر بمركز كتلة الجسم مضافًا إليه كتلة الجسم م، مضروبا في مربع المسافة لبين المحاور:

أنا = أنا ج + مل 2.

على سبيل المثال، دعونا نحسب عزم القصور الذاتي لكرة نصف قطرها روالكتلة م، معلقة على خيط طوله l، نسبة إلى محور يمر بنقطة التعليق عن. كتلة الخيط صغيرة مقارنة بكتلة الكرة. منذ لحظة القصور الذاتي للكرة بالنسبة للمحور الذي يمر بمركز الكتلة Ic = (2/5)mR2، والمسافة
بين المحاور ( ل + ر)، ثم عزم القصور الذاتي حول المحور المار بنقطة التعليق:

أنا = (2/5) م ر 2 + م (ل + ر) 2.

البعد من لحظة القصور الذاتي:

[أنا] = [م] × = مل 2.

تسجيل الدخول أو التسجيل لإضافة التعليقات

في أي نظام جسيم هناك نقطة واحدة ملحوظة مع- مركز الجمود، أو مركز الكتلة- الذي يحتوي على عدد من الخصائص المثيرة للاهتمام والمهمة. مركز الكتلة هو نقطة تطبيق متجه الزخم للنظام، حيث أن متجه أي دفعة هو متجه قطبي. موقف النقطة معنسبة إلى البداية عنيتميز نظام مرجعي معين بمتجه نصف قطر تحدده الصيغة التالية:

وتجدر الإشارة إلى أن مركز كتلة النظام يتطابق مع مركز ثقله. صحيح أن هذا البيان صحيح فقط في الحالة التي يمكن فيها اعتبار مجال الجاذبية داخل نظام معين متجانسًا.

دعونا نوجد سرعة مركز الكتلة في هذا الإطار المرجعي. وبالتفاضل (4.8) بالنسبة للزمن نحصل على

أولئك. زخم النظام يساوي ناتج كتلة النظام وسرعة مركز كتلته.

نحصل على معادلة حركة مركز الكتلة. يتيح لنا مفهوم مركز الكتلة إعطاء المعادلة (4.4) شكلاً مختلفًا، والذي غالبًا ما يكون أكثر ملاءمة. للقيام بذلك، يكفي استبدال (4.10) بـ (4.4)، مع الأخذ في الاعتبار أن كتلة النظام في حد ذاته كمية ثابتة. ثم نحصل

,

(4.11)

أين هو نتيجة جميع القوى الخارجية المؤثرة على النظام. هذا ما هو عليه معادلة حركة مركز الكتلةالنظم هي واحدة من أهم المعادلات في الميكانيكا. ووفقا لهذه المعادلة، عندما يتحرك أي نظام من الجسيمات، يتحرك مركز القصور الذاتي الخاص به كما لو أن كتلة النظام بأكملها تتركز عند هذه النقطة وتطبق عليه جميع القوى الخارجية، العمل على النظام. في هذه الحالة، يكون تسارع مركز القصور الذاتي مستقلاً تمامًا عن نقاط تطبيق القوى الخارجية.

هكذا، إذا كان مركز كتلة النظام يتحرك بشكل منتظم ومستقيم، فهذا يعني أن زخمه محفوظفي عملية الحركة. وبطبيعة الحال، فإن العكس صحيح أيضا.

المعادلة (4.11). يتطابق شكله مع المعادلة الأساسية لديناميات نقطة مادية وهو تعميم طبيعي لنظام من الجسيمات: تسارع النظام ككل يتناسب مع محصلة جميع القوى الخارجية ويتناسب عكسيا مع الكتلة الكلية للنقطة المادية. النظام. دعونا نتذكر أنه في الأنظمة المرجعية غير بالقصور الذاتي، تشتمل محصلة جميع القوى الخارجية على كل من قوى التفاعل مع الأجسام المحيطة وقوى القصور الذاتي.

دعونا نفكر في عدد من الأمثلة على حركة مركز كتلة النظام.

مثال 1. دعونا نوضح كيف يمكنك حل المشكلة مع رجل على طوف (ص 90) بطريقة أخرى، باستخدام مفهوم مركز الكتلة.

وبما أن مقاومة الماء لا تذكر، فإن محصلة جميع القوى الخارجية المؤثرة على نظام الطوافة تساوي صفرًا. وهذا يعني أن موضع مركز القصور الذاتي لهذا النظام لن يتغير أثناء حركة الشخص (والطوفة)، أي.

.

أين و هي ناقلات نصف القطر التي تميز مواقع مراكز كتلة الشخص والطوف بالنسبة إلى نقطة معينة على الشاطئ. ومن هذه المساواة نجد العلاقة بين زيادات المتجهات و

مع مراعاة أن الزيادات تمثل حركات الشخص والطوف بالنسبة للشاطئ نجد حركة الطوافة:

مثال 2. رجل يقفز من برج إلى الماء. حركة العبور بشكل عام معقدة للغاية. ومع ذلك، إذا كانت مقاومة الهواء ضئيلة، فيمكننا أن نذكر على الفور أن مركز القصور الذاتي للقافز يتحرك على طول القطع المكافئ، مثل نقطة مادية، والتي تؤثر عليها قوة ثابتة حيث تكون كتلة الشخص.

مثال 3. سلسلة مغلقة متصلة بواسطة خيط بنهاية محور آلة الطرد المركزي تدور بشكل منتظم حول محور رأسي بسرعة زاوية (الشكل 4.4). في هذه الحالة، يشكل الخيط زاوية مع

رَأسِيّ. كيف يتصرف مركز القصور الذاتي في السلسلة؟

بادئ ذي بدء، من الواضح أنه مع الدوران المنتظم، لا يتحرك مركز القصور الذاتي للسلسلة في الاتجاه الرأسي. وهذا يعني أن المكون الرأسي للقوة T لشد الخيط يعوض قوة الجاذبية (الشكل 4.4، على اليمين). يكون المكون الأفقي لقوة الشد ثابتًا في الحجم وموجهًا دائمًا نحو محور الدوران.

ويترتب على ذلك أن مركز كتلة السلسلة - النقطة C - يتحرك على طول دائرة أفقية، يمكن العثور على نصف قطرها بسهولة باستخدام الصيغة (4.11)، المكتوبة في النموذج

أين هي كتلة السلسلة. في هذه الحالة، تقع النقطة C دائمًا بين محور الدوران والخيط، كما هو موضح في الشكل. 4.4.

في تلك الحالات التي نواجهها بشكل متكرر عندما نكون مهتمين فقط بالحركة النسبية للجسيمات داخل النظام، وليس بحركة هذا النظام ككل، فمن المستحسن استخدام نظام مرجعي يكون فيه مركز الكتلة في حالة سكون . وهذا يجعل من الممكن تبسيط تحليل الظاهرة والحسابات بشكل كبير.

يسمى الإطار المرجعي المتصل بشكل صارم بمركز كتلة نظام معين من الجسيمات ويتحرك بشكل انتقالي بالنسبة لأنظمة القصور الذاتي مركز النظام الشاملأو باختصار، نظام سي(يرتبط تعيين النظام بالحرف الأول من مركز الكلمة باللغة اللاتينية). من السمات المميزة لهذا النظام أن الزخم الإجمالي لنظام الجسيمات فيه يساوي صفرًا - وهذا يتبع مباشرة الصيغة (4.10). وبعبارة أخرى، فإن أي نظام من الجسيمات ككل يعتمد على - نظام سي.

لنظام مغلق من الجسيمات مع- النظام بالقصور الذاتي، أما بالنسبة للنظام المفتوح فهو في الحالة العامة غير بالقصور الذاتي.

دعونا نجد العلاقة بين قيم الطاقة الميكانيكية للنظام في كو معالأنظمة المرجعية. لنبدأ بالطاقة الحركية للنظام. سرعة الجسيمات في ك-يمكن تمثيل النظام كمجموع للسرعات، حيث توجد سرعة هذا الجسيم مع- النظام وسرعة مركز نظام الكتلة بالنسبة إلى ك- الأنظمة المرجعية على التوالي. ثم يمكنك كتابتها.

بالإضافة إلى الحفاظ على الزخم والطاقة في الأنظمة المغلقة، يتم الحفاظ على كمية فيزيائية أخرى - الزخم الزاوي. دعونا نفكر أولاً في المنتج المتجه للمتجهات و (الشكل 32).

المنتج المتجه للمتجهات هو متجه معامله يساوي:

أين هي الزاوية بين المتجهات و .

يتم تحديد اتجاه المتجه بواسطة قاعدة المثقاب إذا تم تدويره من إلى على طول أقصر مسار.

هناك تعبير لتحديد المنتج الاتجاهي:

1. عزم القوة بالنسبة إلى نقطة وبالنسبة إلى المحور.

دعونا أولا نقدم مفهوم لحظة القوة. دع الجسيم، الذي يتم تحديد موضعه باستخدام ناقل نصف القطر بالنسبة إلى أصل النقطة 0، يتم التأثير عليه بواسطة بعض القوة (الشكل 33).

دعنا نسمي لحظة القوة بالنسبة للنقطة 0 كمية متجهة:

في هذه الحالة، يتم توجيه متجه لحظة القوة بشكل عمودي على مستوى الرسم نحونا. ويترتب على الشكل أن القيمة . دعونا نسميها الذراع اللحظة. الذراع الثاني للقوة هو المسافة من النقطة المرجعية 0 إلى خط عمل القوة.

إن لحظة القوة بالنسبة إلى بعض المحاور التي تمر عبر النقطة 0 هي إسقاط لمتجه لحظة القوة بالنسبة إلى النقطة 0 على هذا المحور.

2. لحظة تواجد قوتين. خصائص لحظة زوجين من القوى.

لنفكر في قوتين متوازيتين، متساويتين في الحجم، ومتعاكستين في الاتجاه، ولا تؤثران على نفس الخط المستقيم (الشكل 34). تسمى هذه القوى زوجًا من القوى. المسافة بين الخطوط المستقيمة التي تعمل على طولها هذه القوى تسمى ذراع الزوج.

يتم تقديم الرموز التالية هنا:

متجه نصف القطر لنقطة تطبيق القوة،

متجه نصف القطر لنقطة تطبيق القوة بالنسبة إلى نقطة تطبيق القوة.

نحدد اللحظة الإجمالية لهذا الزوج من القوى على النحو التالي:

وبما أن القوى تشكل زوجا، فإن ما يلي:

يمكن ملاحظة أن عزم قوتين لا يعتمد على اختيار أصل نقاط تطبيق القوى.

3. الزخم الزاوي لجسيم بالنسبة للمحور وبالنسبة للنقطة.

دعونا ننتقل الآن إلى مفهوم الزخم الزاوي. دع جسيمًا كتلته m، والذي يتم تحديد موضعه باستخدام ناقل نصف القطر بالنسبة إلى أصل النقطة 0، يتحرك بسرعة (الشكل 35).

دعونا نقدم متجهًا، والذي سنسميه الزخم الزاوي للجسيم بالنسبة إلى النقطة 0. وسنسمي الكمية ذراع الزخم الزاوي بالنسبة إلى النقطة 0.

الزخم الزاوي بالنسبة للمحور الذي يمر عبر النقطة 0 هو إسقاط الزخم الزاوي بالنسبة للنقطة الواقعة على هذا المحور.

1. فكر في الحركة على طول خط مستقيم. على ارتفاع h، تطير طائرة كتلتها m أفقيًا بسرعة V (الشكل 36).

دعونا نوجد الزخم الزاوي للطائرة بالنسبة إلى نقطة ما 0. معامل الزخم الزاوي يساوي حاصل ضرب الدفعة في ذراعها. في هذه الحالة، ذراع الزخم يساوي h. لذلك:

2. فكر في الحركة في دائرة. يتحرك جسيم كتلته m على طول دائرة نصف قطرها R بسرعة مطلقة ثابتة V (الشكل 37). أوجد الزخم الزاوي للجسيم بالنسبة إلى مركز الدائرة 0.

زخم الجسيم M== ppR=const.

4. معادلة لحظات الجسيمات

بحكم التعريف، فإن الزخم الزاوي للجسيم بالنسبة إلى نقطة ما 0 يساوي:

لنجد المشتقة الزمنية للجانبين الأيمن والأيسر من هذا التعبير:

الحد الأول يساوي الصفر وفقًا لقاعدة المنتج المتجه. لدينا أخيرا:

ويسمى هذا التعبير معادلة لحظة الجسيم.

معدل تغير الزخم الزاوي يساوي عزم القوة.

5. زخم نظام الجسيمات.
قانون التغيير والحفاظ على الزخم الزاوي لنظام الجسيمات.

دعونا نفكر في نظام من الجسيمات التي تتفاعل مع بعضها البعض، والتي تتأثر بقوى خارجية. لنحدد موضع جزيئات هذا النظام في الفضاء باستخدام نواقل نصف القطر بالنسبة إلى نقطة مرجعية 0. دعنا نكتب الزخم الزاوي الإجمالي لهذا النظام بالنسبة إلى النقطة:

لنجد التغير في اللحظة الكلية:

لنكتب نظام المعادلات هذا:

…………………………………..

دعونا نجمع الجانبين الأيمن والأيسر من هذا النظام ونفكر في المجموع المزدوج في الحد الأول على اليمين.

وفقا لقانون نيوتن الثالث، فإن جميع المجاميع المزدوجة الأخرى سوف تختفي أيضا. وبالتالي، فإن العزم الإجمالي لجميع قوى التفاعل الداخلية بين الجسيمات يساوي صفرًا. ثم يبقى:

يغير الزخم الزاوي لنظام الجسيمات الزخم الزاوي للقوى الخارجية. بالنسبة لنظام مغلق من الجسيمات، يتم استيفاء قانون الحفاظ على الزخم الزاوي.

6. الزخم الزاوي المداري والجوهري لنظام الجسيمات.

لنفكر في نظام مكون من جسيمات N، يتم تحديد موضعه باستخدام نواقل نصف القطر بالنسبة لبعض النقاط المرجعية 0 (الشكل 38).

دع موضع مركز الكتلة C لهذا النظام يتم تحديده باستخدام متجه نصف القطر. بعد ذلك سيتم تحديد موضع الجسيم i بالنسبة للأصل 0 على النحو التالي:

دعونا نكتب الزخم الزاوي الإجمالي لنظام الجسيمات بالنسبة إلى الأصل 0:

سنسمي الحد الأول الزخم الزاوي المداري للنظام:

سوف نسمي الحد الثاني الزخم الزاوي للنظام:

ثم يكون للزخم الزاوي الإجمالي للنظام بالنسبة إلى النقطة المرجعية 0 الشكل:

7. الحركة في المجال المركزي للقوات.

لنفكر في جسيم يتحرك في مجال قوة مركزية. دعونا نتذكر أنه في مثل هذا المجال، تعتمد القوة المؤثرة على الجسيم فقط على المسافة بين الجسيم ونقطة الأصل. بالإضافة إلى ذلك، يتم توجيه القوة دائمًا على طول ناقل نصف قطر الجسيم.

من السهل أن نفهم أنه في هذه الحالة يكون عزم القوة المركزية مساويًا للصفر، وبالتالي يتم استيفاء قانون الحفاظ على الزخم الزاوي بالنسبة إلى الأصل.

نظرًا لأن مسار الجسيم يقع دائمًا في المستوى الذي تقع فيه متجهات القوة ومتجه نصف القطر. في المجال المركزي، تتحرك الجسيمات على طول مسارات مسطحة.

خلال الوقت dt، سيصف ناقل نصف القطر للجسيم المنطقة dS (الشكل 39).

هذه المنطقة تساوي نصف مساحة متوازي الأضلاع المبني على متجه نصف القطر ومتجه الإزاحة الأولي. كما هو معروف، فإن مساحة متوازي الأضلاع تساوي معامل منتج المتجهات. وهكذا يمكننا الآن أن نكتب:

لنسمي السرعة القطاعية الكمية، ومن أجلها نحصل على التعبير:

لأن في المجال المركزي M =const، وبالتالي تظل السرعة القطاعية ثابتة.

الاستنتاج: عندما يتحرك جسيم في مجال قوة مركزية، فإن متجه نصف قطره يصف مساحات متساوية في فترات زمنية متساوية.

هذا البيان هو قانون كبلر الثاني.

8. مشكلة الجسمين.

مشكلة حركة الجسيمات في مجال القوة المركزية لها العديد من التطبيقات. دعونا نفكر في مشكلة حركة جسمين. دعونا نفكر في جسيمين يتفاعلان مع بعضهما البعض فقط. دعونا نكتشف كيف يتصرف مركز كتلة مثل هذا النظام. من نظرية حركة مركز الكتلة لنظام مغلق، يمكننا أن نستنتج أنه إما في حالة سكون أو يتحرك بشكل مستقيم وموحد.

سوف نحل مشكلة وجود جسمين في نظام مركز كتلتهما. كما هو معروف، يتم تحديد ناقل نصف القطر لمركز كتلة النظام باستخدام التعبير:

من قانون الحفاظ على الزخم لمثل هذا النظام المغلق يترتب على ذلك ما يلي:

دعونا نقدم ناقل نصف القطر الذي يحدد موضع الجسيم الثاني بالنسبة إلى الأول (الشكل 40):

بعد ذلك يمكننا الحصول على تعبيرات لربط متجهات نصف القطر التي تحدد موضع الجسيمات بالنسبة إلى مركز كتلتها المشترك مع متجه نصف القطر لموضعها النسبي:

دعونا الآن نفكر في هذه المشكلة من وجهة نظر الطاقة. دعونا نشير إلى سرعات الجسيمات بالنسبة إلى مركز كتلتها، وبواسطة - سرعة الجسيم الثاني بالنسبة إلى الأول. ومن ثم من قانون حفظ زخم نظام الجسيمات يمكننا الحصول على التعبيرات التالية:

دعونا نكتب إجمالي الطاقة الميكانيكية لهذا النظام من الجسيمات:

هنا U(r 21) هي الطاقة الكامنة للنظام.

يمكن تحويل هذا التعبير على النحو التالي:

حيث يتم تقديم التعيين التالي - كتلة مخفضة.

نرى من وجهة نظر الطاقة أن هذا النظام من الجسيمات يتصرف كجسيم واحد ذو كتلة منخفضة ويتحرك بسرعة نسبية. إن مشكلة الجسمين تختزل إلى مشكلة حركة جسم واحد.

إذا كان الاعتماد معروفا، فيمكن حل المشكلة الرئيسية، أي. العثور على التبعيات و.

لنكتب معادلة الحركة (قانون نيوتن الثاني) لكل جسيم من الجسيمات الموجودة في المجال المركزي:

هناك علامة ناقص على الجانب الأيمن من المعادلة الثانية، لأن .

بقسمة المعادلة الأولى على م 1 والثانية على م 2 نحصل على:

اطرح المعادلة الأولى من الثانية:

و أخيرا:

من هنا يمكنك أن تجد التبعية.

9. حركة الأقمار الصناعية. السرعات الكونية.

دعونا نفكر في حركة قمر صناعي للأرض بالقرب من سطحها. وبما أن هناك قوة واحدة تؤثر على القمر الصناعي وهي قوة الجاذبية الأرضية، فيمكننا كتابة معادلة حركته الدائرية:

حيث m هي كتلة القمر الصناعي، M هي كتلة الأرض، Rz هو نصف قطر الأرض.

من هنا يمكنك الحصول على سرعة القمر الصناعي:

باستبدال القيم المقابلة، نحصل على السرعة V 1 = 8 كم/ث.

وتسمى هذه السرعة الفضاء الأول(السرعة التي يجب نقلها إلى الجسم حتى يصبح تابعاً للأرض بالقرب من سطحها).

لقد نظرنا في أبسط حالة لقمر صناعي يتحرك في مدار دائري. ومع ذلك، كما تظهر النظرية، في مسألة الجسمين، من الممكن وجود مسارات أخرى لحركة جسيم واحد بالنسبة إلى آخر - القطع الناقص، والقطع الزائد، والقطع المكافئ. تتوافق المدارات الإهليلجية مع قيمة سالبة لإجمالي الطاقة الميكانيكية للنظام، وتتوافق المدارات الزائدية مع قيمة موجبة لإجمالي الطاقة الميكانيكية، وتتوافق المدارات المكافئة مع إجمالي قيمة الطاقة الميكانيكية التي تساوي الصفر.

دعونا نجد ما يسمى سرعة الهروب. هذه هي السرعة التي يجب نقلها إلى الجسم حتى يصبح قمرًا صناعيًا للشمس، بينما يجب أن يتحرك الجسم في مسار مكافئ.

دعونا نكتب إجمالي الطاقة الميكانيكية لنظام الأرض الساتلية، مع الأخذ في الاعتبار أن الأرض ثابتة:

وبمساواة إجمالي الطاقة الميكانيكية بالصفر، نحصل على سرعة الهروب الثانية:

وبتعويض القيم المقابلة نحصل على V 2 = 11.2 كم/ث.

الميكانيكا الصلبة

ثامنا. حركيات الجسم الصلبة

1. جسم صلب تماما . الحركة المستوية لجسم صلب وتحلله إلى انتقالي ودوراني.

حتى الآن، استخدمنا نقطة مادية كنموذج فيزيائي، ولكن ليس كل المشاكل يمكن حلها بهذا التقريب. دعونا ننتقل الآن إلى النظر في ما يسمى أجسام صلبة تمامًا. الجسم الصلب تمامًا هو الجسم الذي لا تتغير فيه المسافة بين الجزيئات التي يتكون منها. وبعبارة أخرى، هذا جسم غير قابل للتشوه على الإطلاق.

سوف نأخذة بعين الاعتبار حركة مسطحةجسم صلب تبقى فيه إحدى نقاطه أثناء الحركة في إحدى المستويات المتوازية. في الحركة المستوية، تقع مسارات كل نقطة من الجسم الصلب في نفس المستوى، وتكون مستويات جميع المسارات إما متطابقة أو متوازية.

يمكن تمثيل أي حركة معقدة لجسم صلب كمجموع من الحركات الأبسط: الانتقالية والدورانية . تدريجيهي حركة جسم صلب يحافظ فيها الخط الواصل بين أي نقطتين من الجسم على اتجاهه في الفضاء. الحركة الأمامية ليست بالضرورة خطية، على سبيل المثال، مقصورة في عجلة فيريس (الشكل 41).

التناوبهي حركة تكون فيها مسارات جميع نقاط الجسم الصلب عبارة عن دوائر متحدة المركز يقع مركزها على محور الدوران. تخضع الأسطوانة المتدحرجة على طاولة لحركة انتقالية وحركة دورانية حول محور التماثل.

دعونا نوضح كيف يمكن تقسيم الحركة المستوية إلى انتقالية ودورانية (الشكل 42).

يمكن أن نرى من الشكل أنه من الموضع 1 إلى الموضع 2 يمكن نقل الجسم أولاً إلى الموضع الانتقالي، ثم إلى الموضع 2 دورانيًا حول المحور. يمكن إجراء هذا التقسيم إلى حركة انتقالية ودورانية بعدد لا نهائي من الطرق، ولكن في هذه الحالة يتم الدوران دائمًا بنفس الزاوية.

وبالتالي، يمكن تمثيل الحركة المستوية على أنها انتقالية بنفس السرعة لجميع نقاط الجسم ودورانية بنفس السرعة الزاوية. بالنسبة للسرعات الخطية لنقاط الجسم الصلب، يمكن كتابة ذلك على النحو التالي:

هنا هو متجه نصف القطر لأي نقطة على جسم صلب.

على سبيل المثال، يمكن تمثيل تدحرج الأسطوانة على سطح أفقي (الشكل 43) كحركة انتقالية لجميع النقاط بسرعة V 0 ودوران حول محور يتطابق مع محور التماثل 0، مع السرعة الزاوية.، أو كحركة انتقالية الحركة بالسرعة والدوران بنفس السرعة الزاوية، ولكن حول المحور.

يمكن تمثيل حركة الجسم الصلب كمجموعة من الدورات فقط حول ما يسمى بالمحور اللحظي. يمكن أن يقع هذا المحور إما داخل الجسم الصلب نفسه، ولكن يمكن أيضًا أن يكون خارجه. يتغير موضع المحور اللحظي بمرور الوقت. في حالة دحرجة الأسطوانة، يتطابق المحور اللحظي مع خط مماس الأسطوانة مع المستوى.

دعونا نصور ذلك في الشكل. 44 اتجاه السرعات اللحظية لبعض نقاط الاسطوانة بالنسبة لإطار مرجعي ثابت. سرعة النقطة A تساوي الصفر في كل لحظة من الزمن، لأن وهي تتكون من سرعة انتقالية وسرعة خطية متساوية في الحجم. وسرعة النقطة C تساوي ضعف السرعة وهكذا.

دعونا نرى كيف يتم توجيه السرعة بالنسبة للإطار المرجعي الثابت لأي نقطة على الأسطوانة. للقيام بذلك نكتب حالة الجسم الصلب تمامًا لنقطتين اختياريتين بالشكل التالي:

دعونا نفرق بين الجانبين الأيمن والأيسر في الوقت المناسب:

دعونا نربط النقطة A مع المحور اللحظي للدوران، ثم و . لذلك، لدينا:

ويترتب على هذا الشرط أن المتجهات المتناظرة متعامدة، أي. .

الزخم الزاوي للجسيم (نقطة المادة) بالنسبة إلى النقطة O هو كمية متجهة تساوي:

الزخم الزاوي للجسيم(نقطة المادة) نسبة إلى النقطة O تسمى كمية متجهة تساوي:

لام- ناقلات محورية. يتم تحديد اتجاه متجه الزخم الزاوي L بحيث يكون الدوران حول النقطة O في اتجاه المتجه p حول محور يمر عبر النقطة O يطيع قاعدة اللولب الأيمن. يشكل المتجه r وp وL نظامًا أيمنًا. في نظام SI، الزخم الزاوي له وحدة قياس: [L]=1 كجم م 2 /ث.

لنفكر في مثالين لحساب الزخم الزاوي لجسيم بالنسبة إلى النقطة O.

مثال 1. يتحرك الجسيم في مسار مستقيم، كتلة الجسيم m، والزخم p. لنجد L و½ L1. دعونا نجعل الرسم.

من الصيغة (22.4.) يترتب على ذلك أن معامل الزخم الزاوي لا يمكن أن يتغير إلا بسبب التغير في معامل السرعة، لأن عند التحرك على طول طريق مستقيم، الكتف ليبقى ثابتا.

مثال 2. يتحرك جسيم كتلته m في دائرة نصف قطرها R بسرعة V. فلنجد L و½ L½. دعونا نجعل الرسم.

الشكل 22.3: اتجاه متجه الزخم لجسيم يتحرك في دائرة نصف قطرها R مع السرعة V.

(22 .5 )

(22 .6 )

يعتبر الزخم الزاوي نسبة إلى النقطة C. ويترتب على الصيغة (22.6) أن معامل الزخم الزاوي لا يمكن أن يتغير إلا بسبب التغير في معامل السرعة. على الرغم من التغير المستمر في اتجاه المتجه p، فإن اتجاه المتجه L يظل ثابتًا.