1.1. تعريف الاسطوانة 4

1. 3. أقسام الاسطوانة 8

1.5. حجم الاسطوانة 14

المشكلة 1.16

مشكلة 2. 16

المشكلة 3.17

المشكلة 4.18

المشكلة 5.19

المشكلة 6.20

مشكلة 7. 21

مشكلة 8. 22

مشكلة 9. 23

المشكلة 10.24

المشكلة 11. 25

المشكلة 12. 26

مقدمة

القياس المجسم هو فرع من فروع الهندسة يتم فيه دراسة الأشكال الموجودة في الفضاء. الأشكال الرئيسية في الفضاء هي النقطة والخط المستقيم والمستوى. تظهر طريقة عرض جديدة في القياس المجسم الموقف النسبيالخطوط المستقيمة : المتقاطعة مع الخطوط المستقيمة . يعد هذا أحد الاختلافات المهمة القليلة بين القياس المجسم وقياس التخطيط، لأنه في كثير من الحالات يتم حل مشاكل القياس المجسم من خلال النظر في مستويات مختلفة يتم فيها استيفاء قوانين القياس.

يوجد في الطبيعة من حولنا العديد من الأشياء التي تمثل نماذج فيزيائية لهذا الشكل. على سبيل المثال، العديد من أجزاء الآلة لها شكل أسطوانة أو مزيج منها، وتؤكد الأعمدة المهيبة للمعابد والكاتدرائيات، المصنوعة على شكل أسطوانات، على انسجامها وجمالها.

اليونانية - كيليندروس. مصطلح قديم. في الحياة اليومية - لفيفة من ورق البردي، بكرة، بكرة (فعل - تحريف، لف).

بالنسبة لإقليدس، يتم الحصول على الأسطوانة عن طريق تدوير المستطيل. في كافاليري - من خلال حركة المولد (مع دليل تعسفي - "الأسطوانة").

الغرض من هذا المقال هو النظر في جسم هندسي - أسطوانة.

ولتحقيق هذا الهدف لا بد من النظر في المهام التالية:

- إعطاء تعريفات للأسطوانة؛

- النظر في عناصر الاسطوانة.

- دراسة خصائص الاسطوانة.

- النظر في أنواع أقسام الاسطوانة؛

- اشتقاق صيغة مساحة الاسطوانة.

- اشتقاق صيغة حجم الاسطوانة؛

- حل المسائل باستخدام الاسطوانة.

1 الجزء النظري

1.1. تعريف الاسطوانة

دعونا نفكر في بعض الخطوط (المنحنية أو المكسورة أو المختلطة) l التي تقع في بعض المستويات α، وبعض الخطوط المستقيمة S التي تتقاطع مع هذا المستوى. من خلال جميع نقاط خط معين l نرسم خطوطًا مستقيمة موازية للخط المستقيم S؛ ويسمى السطح α المتكون من هذه الخطوط المستقيمة بالسطح الأسطواني. الخط l يسمى دليل هذا السطح، والخطوط s 1، s 2، s 3، ... هي مولداته.

إذا كان الدليل مكسورًا، فإن هذا السطح الأسطواني يتكون من عدد من الشرائط المسطحة المحصورة بين أزواج من الخطوط المستقيمة المتوازية، ويسمى السطح المنشوري. تسمى المولدات التي تمر عبر رؤوس الخط الدليلي المكسور حواف السطح المنشوري، والشرائط المسطحة بينهما هي وجوهه.

إذا قطعنا أي سطح أسطواني بمستوي اعتباطي غير موازي لمولداته، فسنحصل على خط يمكن أيضا أن يؤخذ كدليل لهذا السطح. من بين الأدلة، الدليل الذي يبرز هو الذي يتم الحصول عليه عن طريق قطع السطح بمستوى متعامد مع مولدات السطح. يسمى هذا القسم بالقسم العادي، ويسمى الدليل المقابل بالدليل العادي.

إذا كان الدليل عبارة عن خط مغلق (محدب) (مكسور أو منحني)، فإن السطح المقابل يسمى سطح منشوري أو أسطواني مغلق (محدب). أبسط الأسطح الأسطوانية لها دائرة كدليل عادي لها. دعونا نقوم بتشريح سطح منشوري محدب مغلق بطائرتين متوازيتين لبعضهما البعض، ولكن ليس موازية للمولدات.

في الأقسام نحصل على مضلعات محدبة. الآن جزء من السطح المنشوري المحصور بين المستويين α و α" واللوحتين المضلعتين المتكونتين في هذه المستويات يحدان جسمًا يسمى الجسم المنشوري - المنشور.

الجسم الأسطواني - يتم تعريف الأسطوانة بشكل مشابه للمنشور:
الأسطوانة عبارة عن جسم يحده من الجوانب سطح أسطواني مغلق (محدب)، ومن الأطراف قاعدتان مسطحتان متوازيتان. قاعدتا الاسطوانة متساويتان، وجميع مكونات الاسطوانة متساوية أيضا، أي. شرائح المولدات سطح اسطوانيبين طائرات القواعد.

الأسطوانة (بتعبير أدق، الأسطوانة الدائرية) هي جسم هندسي يتكون من دائرتين لا تقعان في نفس المستوى ويتم دمجهما عن طريق الترجمة المتوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر (الشكل 1) .

أرز. 1 - اسطوانة

1.2. عناصر وخصائص الاسطوانة

تسمى الدوائر قواعد الاسطوانة، والأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لمحيطات الدوائر تسمى مولدات الاسطوانة.

بما أن النقل المتوازي هو حركة، فإن قاعدتي الأسطوانة متساويتان.

نظرًا لأنه أثناء النقل الموازي يتحول المستوى إلى مستوى متوازي (أو إلى نفسه)، فإن قواعد الأسطوانة تكمن في الداخل طائرات متوازية.

نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي، يتم إزاحة النقاط على طول الخطوط المتوازية (أو المتطابقة) بنفس المسافة، فإن مولدات الأسطوانة تكون متوازية ومتساوية.

يتكون سطح الاسطوانة من القاعدة والسطح الجانبي. يتكون السطح الجانبي من المولدات.

تسمى الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القواعد.

يمكن تصور الأسطوانة المستقيمة بصريًا كجسم هندسي يصف المستطيل عند تدويره حول جانبه كمحور (الشكل 2).

أرز. 2 - اسطوانة مستقيمة

فيما يلي، سنتناول فقط الأسطوانة المستقيمة، ونطلق عليها ببساطة اسم الأسطوانة للإيجاز.

نصف قطر الاسطوانة هو نصف قطر قاعدتها. ارتفاع الاسطوانة هو المسافة بين مستويات قاعدتها. محور الاسطوانة هو خط مستقيم يمر بمراكز القواعد. إنه موازي للمولدات.

تسمى الاسطوانة متساوي الاضلاع،إذا كان ارتفاعه يساوي قطر القاعدة.

إذا كانت قاعدتا الأسطوانة مسطحة (وبالتالي تكون المستويات التي تحتوي عليها متوازية)، يقال إن الأسطوانة تقف على مستوى. إذا كانت قاعدتا الأسطوانة الموجودة على مستوى متعامدة مع المولد، فإن الأسطوانة تسمى مستقيمة.

وعلى وجه الخصوص، إذا كانت قاعدة الأسطوانة الموجودة على المستوى عبارة عن دائرة، فإننا نتحدث عن أسطوانة دائرية (دائرية)؛ إذا كان شكلًا بيضاويًا، فهو بيضاوي الشكل.

1. 3. أقسام الاسطوانة

المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى الموازي لمحورها هو مستطيل (الشكل 3، أ). وضلعاها هما مولدا الأسطوانة، والجانبان الآخران عبارة عن أوتار متوازية للقواعد.

أرز. 3- أقسام الاسطوانة

على وجه الخصوص، هو المستطيل القسم المحوري. هذا جزء من الأسطوانة مع مستوى يمر عبر محورها (الشكل 3، ب).

المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى الموازي للقاعدة عبارة عن دائرة (الشكل 3، ج).

المقطع العرضي للأسطوانة ذات المستوى غير الموازي للقاعدة ومحورها بيضاوي (الشكل ثلاثي الأبعاد).

النظرية 1. المستوى الموازي لمستوى قاعدة الأسطوانة يتقاطع مع سطحه الجانبي على طول دائرة تساوي محيط القاعدة.

د
استدعاء. دع β يكون مستوى موازيًا لمستوى قاعدة الأسطوانة. الترجمة المتوازية في اتجاه محور الأسطوانة، والتي تجمع بين المستوى β ومستوى قاعدة الأسطوانة، تجمع بين قسم السطح الجانبي بالمستوى β ومحيط القاعدة. لقد تم إثبات النظرية.

1.4. منطقة الاسطوانة

مساحة السطح الجانبية للأسطوانة.

تعتبر مساحة السطح الجانبي للأسطوانة هي الحد الذي تميل إليه مساحة السطح الجانبي لمنشور منتظم منقوش في الأسطوانة عندما يزداد عدد أضلاع قاعدة هذا المنشور إلى ما لا نهاية.

النظرية 2. مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي حاصل ضرب محيط قاعدتها وارتفاعها (S Side.c = 2πRH، حيث R هو نصف قطر قاعدة الاسطوانة، H هو ارتفاع الاسطوانة).

أ)
ب)
أرز. 4 - مساحة السطح الجانبية للأسطوانة

دليل.

دع P n و H هما محيط القاعدة وارتفاع المنشور ذو n-gonal المنتظم المدرج في الأسطوانة، على التوالي (الشكل 4، أ). ثم مساحة السطح الجانبي لهذا المنشور هي S Side.c − P n H. لنفترض أن عدد جوانب المضلع المدرج في القاعدة ينمو بلا حدود (الشكل 4، ب). ثم يميل المحيط P n إلى المحيط C = 2πR، حيث R هو نصف قطر قاعدة الأسطوانة، ولا يتغير الارتفاع H. وبالتالي فإن مساحة السطح الجانبي للمنشور تميل إلى حد 2πRH، أي أن مساحة السطح الجانبي للأسطوانة تساوي S Side.c = 2πRH. لقد تم إثبات النظرية.

مربع سطح كاملاسطوانة.

إجمالي مساحة سطح الأسطوانة هو مجموع مساحات السطح الجانبي والقاعدتين. مساحة كل قاعدة من قواعد الأسطوانة تساوي πR 2، لذلك يتم حساب مساحة السطح الإجمالي للأسطوانة S بالصيغة S Side.c = 2πRH+ 2πR 2.

ت 1

F 1

أ)

ب)

أرز. 5 – المساحة الكلية للأسطوانة

إذا تم قطع السطح الجانبي للأسطوانة على طول المولد FT (الشكل 5، أ) وتم نشره بحيث تكون جميع المولدات في نفس المستوى، فنتيجة لذلك نحصل على مستطيل FTT1F1، وهو ما يسمى تطوير السطح الجانبي للاسطوانة. الجانب FF1 من المستطيل هو تطوير دائرة قاعدة الأسطوانة، وبالتالي، FF1=2πR، وجانبها FT يساوي مولد الأسطوانة، أي FT = H (الشكل 5، ب). وبالتالي، فإن المساحة FT∙FF1=2πRH لتطوير الأسطوانة تساوي مساحة سطحها الجانبي.

جسم الدورانيسمى الجسم المتكون نتيجة دوران خط حول خط مستقيم .

اسطوانة

الأسطوانة (الأسطوانة الدائرية) هي جسم يتكون من دائرتين لا تقعان في نفس المستوى ويتم دمجهما عن طريق النقل المتوازي، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر. تسمى الدوائر قواعد الاسطوانة، والأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لمحيطات الدوائر تسمى مولدات الاسطوانة.

بما أن النقل المتوازي هو حركة، فإن قاعدتي الأسطوانة متساويتان. وبما أنه أثناء النقل المتوازي يتحول المستوى إلى مستوى متوازي، فإن قواعد الأسطوانة تقع في مستويات متوازية. نظرًا لأنه أثناء النقل المتوازي يتم إزاحة النقاط على طول خطوط متوازية بنفس المسافة، فإن مولدات الأسطوانة تكون متوازية ومتساوية. يتكون سطح الاسطوانة من القاعدة والسطح الجانبي.

نصف قطر الاسطوانة هو نصف قطر قاعدتها. ارتفاع الاسطوانة هو المسافة بين مستويات قاعدتها. محور الاسطوانة هو خط مستقيم يمر بمراكز القواعد.

تسمى الأسطوانة مستقيمة إذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القواعد. سنتناول فقط الأسطوانة الدائرية القائمة، ونطلق عليها ببساطة اسم الأسطوانة للإيجاز.

يمكن الحصول على الأسطوانة عن طريق تدوير مستطيل حول أحد جوانبها. يوضح الشكل أسطوانة تم الحصول عليها عن طريق تدوير المستطيل ABCD حول الجانب AB. حيث السطح الجانبيتتكون الأسطوانة من دوران الجانب CD، وتتكون القاعدة من دوران الجانبين BC وAD.

أقسام الاسطوانة

1) إذا كان مستوى القطع يمر عبر محور الأسطوانة، فإن المقطع يكون مستطيلاً (انظر الشكل)، ضلعان منه مولدان، والجانبان الآخران هما أقطار قواعد الأسطوانة. هذا القسم يسمى المحوري.

اسطوانة(بتعبير أدق، أسطوانة دائرية) هو جسم يتكون من دائرتين تقعان في مستويات متوازية ويتم دمجهما بواسطة ترجمة متوازية، وجميع الأجزاء التي تربط النقاط المقابلة لهذه الدوائر. تسمى الدوائر قواعد الاسطوانة، والأجزاء التي تربط النقاط المقابلة للدوائر هي تشكيل.

تتميز الأسطوانة بالخصائص التالية، الناتجة عن أن قواعد الأسطوانة متحدة بالترجمة المتوازية:

1. قواعد الاسطوانة متساوية.

2. مولدات الاسطوانة متوازية ومتساوية.

تسمى الاسطوانة مباشرإذا كانت مولداتها متعامدة مع مستويات القواعد. في ما يلي، سننظر بشكل أساسي في الأسطوانات المستقيمة، لذلك، ما لم يُنص على خلاف ذلك، فإننا نعني بالأسطوانة أسطوانة مستقيمة.

نصف القطرنصف قطر الاسطوانة يسمى نصف قطر قاعدتها. ارتفاعالاسطوانة هي المسافة بين مستويات قاعدتها. بالنسبة للأسطوانة المستقيمة، الارتفاع يساوي ارتفاع المولدات. محورتسمى الأسطوانة بالخط المستقيم الذي يمر بمراكز القواعد.

الأسطوانة عبارة عن جسم دوراني، حيث يمكن الحصول عليها عن طريق تدوير مستطيل حول محورها.

مهام

18.1 ارتفاع الاسطوانة هو 6، ونصف قطر القاعدة هو 5. نهايات القطعة التي تساوي 10 تقع على دائرتي القاعدتين. يجد أقصر مسافةمن هذا الجزء إلى محور الاسطوانة.

18.2 في الأسطوانة متساوية الأضلاع (قطرها يساوي ارتفاع الأسطوانة)، تتصل نقطة على دائرة القاعدة العلوية بنقطة على دائرة القاعدة السفلية. الزاوية بين نصف القطر المرسوم على هذه النقاط هي 60 درجة. أوجد الزاوية المحصورة بين القطعة المرسومة ومحور الأسطوانة.

مخروط

تعريف المخروط

مخروط(بتعبير أدق، مخروط دائري) هو الجسم الذي يتكون من دائرة - قاعدة مخروطية، نقطة لا تقع في مستوى القاعدة - رؤوس المخروطوجميع الأجزاء التي تربط قمة المخروط بنقاط القاعدة. تسمى الأجزاء التي تربط رؤوس المخروط بنقاط الدائرة الأساسية تشكيل مخروط.

ارتفاع المخروطيسمى العمود المتعامد من أعلى المخروط إلى مستوى القاعدة. فإذا تطابقت قاعدة الارتفاع مع مركز دائرة القاعدة يسمى المخروط مباشر. في ما يلي، من خلال المخروط سنعني عادة مخروطًا مستقيمًا.

محوريسمى المخروط الدائري القائم خطا مستقيما يحتوي على ارتفاعه. يمكن الحصول على مثل هذا المخروط بالتناوب مثلث قائمحول إحدى الساقين.

فروستوم

المستوى الموازي لقاعدة المخروط يقطع مخروطًا مشابهًا منه. الجزء المتبقي يسمى المخروطي.

مهام

19.1 مولدان للمخروط، يرتكزان على طرفي قطر القاعدة، يشكلان زاوية مقدارها 60 درجة فيما بينهما. نصف قطر المخروط هو 3. أوجد المولد المولد للمخروط وارتفاعه.

19.2 يتم رسم خط مستقيم موازٍ للمولد من خلال منتصف ارتفاع المخروط. أوجد طول القطعة المستقيمة المحصورة داخل المخروط.

19.3 المولد للمخروط هو 13، والارتفاع هو 12. ويتقاطع المخروط بخط مستقيم موازٍ للقاعدة؛ المسافة منه إلى القاعدة هي 6، وإلى الارتفاع – 2. أوجد القطعة المستقيمة الموجودة داخل المخروط.

19.4 نصف قطر قاعدتي المخروط المقطوع هو 3 و6، والارتفاع هو 4. أوجد المولد.

تعريف الكرة

كرةهو الجسم الذي يتكون من جميع النقاط في الفضاء الواقعة على مسافة لا تزيد عن مسافة معينة من نقطة ما تسمى مركز الكرة. وتسمى هذه المسافة نصف قطر الكرة.

تسمى حدود الكرة سطح كرويأو جسم كروي. وبالتالي فإن نقاط الكرة هي جميع نقاط الكرة البعيدة عن مركز الكرة على مسافة تساوي نصف القطر.

الجزء الذي يربط بين نقطتين على السطح الكروي ويمر عبر مركز الكرة يسمى قطر الكرة.

الكرة، مثل الأسطوانة والمخروط، هي جسم يدور. يتم الحصول عليها عن طريق تدوير نصف دائرة حول قطرها.

مهام

20.1 يتم إعطاء ثلاث نقاط على سطح الكرة. والمسافات المستقيمة بينها هي 6، و8، و10. ونصف قطر الكرة هو 13. أوجد المسافة من مركز الكرة إلى المستوى الذي يمر بهذه النقاط الثلاث.

20.2 قطر الكرة هو 25. يتم إعطاء نقطة ودائرة على سطحها، جميع نقاطها بعيدة (في خط مستقيم) عن 15. أوجد نصف قطر هذه الدائرة.

20.3 نصف قطر الكرة هو 7. يوجد على سطحها دائرتان لهما وتر مشترك طوله 2. أوجد نصف قطر الدائرتين، مع العلم أن مستوييهما متعامدان.

يُترجم اسم العلم "الهندسة" إلى "قياس الأرض". لقد نشأت من خلال جهود مديري الأراضي القدماء الأوائل. وقد حدث الأمر على هذا النحو: أثناء فيضانات النيل المقدس، جرفت مجاري المياه أحيانًا حدود قطع أراضي المزارعين، وقد لا تتطابق الحدود الجديدة مع الحدود القديمة. كان الفلاحون يدفعون الضرائب إلى خزانة الفرعون بما يتناسب مع مساحة الأرض المخصصة لهم. وقد شارك أشخاص خاصون في قياس مساحات الأراضي الصالحة للزراعة ضمن الحدود الجديدة بعد التسرب. وكان ذلك نتيجة لأنشطتهم علم جديد، والذي تم تطويره في اليونان القديمة. هناك حصلت على اسمها واكتسبت عمليا نظرة حديثة. وبعد ذلك أصبح المصطلح اسمًا عالميًا لعلم الأشكال المسطحة وثلاثية الأبعاد.

قياس المخطط هو فرع من فروع الهندسة يتعامل مع الدراسة شخصيات مسطحة. فرع آخر من العلوم هو القياس الفراغي، الذي يدرس خصائص الأشكال المكانية (الحجمية). تشمل هذه الأشكال الشكل الموضح في هذه المقالة - الأسطوانة.

أمثلة على وجود الأجسام الأسطوانية في الحياة اليوميةكثير. جميع الأجزاء الدوارة تقريبًا - الأعمدة والبطانات والمجلات والمحاور وما إلى ذلك - لها شكل أسطواني (في كثير من الأحيان - مخروطي). تستخدم الأسطوانة أيضًا على نطاق واسع في البناء: الأبراج والأعمدة الداعمة والأعمدة الزخرفية. وكذلك الأطباق وبعض أنواع التغليف والأنابيب بأقطار مختلفة. وأخيرًا - القبعات الشهيرة التي أصبحت منذ فترة طويلة رمزًا للأناقة الذكورية. والقائمة تطول وتطول.

تعريف الاسطوانة كشكل هندسي

يُطلق على الأسطوانة (الأسطوانة الدائرية) عادة شكل يتكون من دائرتين، يتم دمجهما، إذا رغبت في ذلك، باستخدام الترجمة المتوازية. هذه الدوائر هي قواعد الاسطوانة. لكن الخطوط (القطاعات المستقيمة) التي تربط النقاط المقابلة تسمى "المولدات".

من المهم أن تكون قاعدتا الأسطوانة متساويتين دائمًا (إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط، فلدينا - محبط، أي شيء آخر، ولكن ليس اسطوانة) وتكون في طائرات متوازية. القطع التي تربط النقاط المتناظرة في الدوائر متوازية ومتساوية.

الكلية عدد لا حصر لهتشكيل - ليس أكثر من السطح الجانبي للأسطوانة - أحد عناصر هذا الشكل الهندسي. المكون المهم الآخر هو الدوائر التي تمت مناقشتها أعلاه. يطلق عليهم القواعد.

أنواع الاسطوانات

أبسط أنواع الأسطوانات وأكثرها شيوعًا هي الأسطوانات الدائرية. وتتكون من دائرتين منتظمتين تعملان كقواعد. ولكن بدلا من ذلك قد تكون هناك شخصيات أخرى.

يمكن أن تشكل قواعد الأسطوانات (بالإضافة إلى الدوائر) أشكالًا بيضاوية وأشكالًا مغلقة أخرى. لكن الاسطوانة قد لا يكون لها بالضرورة شكل مغلق. على سبيل المثال، يمكن أن تكون قاعدة الأسطوانة عبارة عن قطع مكافئ، أو قطع زائد، أو دالة مفتوحة أخرى. سيتم فتح هذه الاسطوانة أو نشرها.

وبحسب زاوية ميل الأسطوانات التي تشكل القواعد يمكن أن تكون مستقيمة أو مائلة. بالنسبة للأسطوانة المستقيمة، تكون المولدات متعامدة تمامًا مع مستوى القاعدة. إذا كانت هذه الزاوية مختلفة عن 90 درجة، تكون الأسطوانة مائلة.

ما هو سطح الثورة

إن الأسطوانة الدائرية المستقيمة هي بلا شك أكثر أسطح الدوران شيوعًا المستخدمة في الهندسة. في بعض الأحيان، ولأسباب فنية، يتم استخدام الأسطح المخروطية والكروية وبعض أنواع الأسطح الأخرى، ولكن 99٪ من جميع الأعمدة والمحاور وما إلى ذلك تدور. مصنوعة على شكل اسطوانات. لكي نفهم بشكل أفضل ما هو السطح الدوراني، يمكننا أن ننظر في كيفية تشكيل الاسطوانة نفسها.

لنفترض أن هناك خطًا مستقيمًا معينًا أ، تقع عموديا. ABCD مستطيل يقع أحد أضلاعه (القطعة AB) على خط مستقيم أ. إذا قمنا بتدوير مستطيل حول خط مستقيم، كما هو موضح في الشكل، فإن الحجم الذي سيشغله أثناء الدوران سيكون الجسم الثوري - أسطوانة دائرية قائمة بارتفاع H = AB = DC ونصف قطر R = AD = BC.

في هذه الحالة، نتيجة لتدوير الشكل - مستطيل - يتم الحصول على اسطوانة. من خلال تدوير المثلث، يمكنك الحصول على مخروط، عن طريق تدوير نصف دائرة - كرة، وما إلى ذلك.

مساحة سطح الاسطوانة

من أجل حساب مساحة سطح أسطوانة دائرية قائمة عادية، من الضروري حساب مساحات القواعد والأسطح الجانبية.

أولاً، دعونا نلقي نظرة على كيفية حساب مساحة السطح الجانبية. هذا هو نتاج محيط الاسطوانة وارتفاع الاسطوانة. المحيط، بدوره، يساوي ضعف منتج العدد العالمي صبواسطة نصف قطر الدائرة.

ومن المعروف أن مساحة الدائرة تساوي المنتج صلكل نصف قطر مربع. لذا، فمن خلال إضافة صيغ مساحة تحديد السطح الجانبي مع التعبير المزدوج لمنطقة القاعدة (يوجد اثنان منهما) وإجراء تحويلات جبرية بسيطة، نحصل على التعبير النهائي لتحديد السطح مساحة الاسطوانة.

تحديد حجم الشكل

يتم تحديد حجم الأسطوانة وفقًا للمخطط القياسي: يتم ضرب مساحة سطح القاعدة بالارتفاع.

وبالتالي، تبدو الصيغة النهائية كما يلي: يتم تعريف القيمة المطلوبة على أنها حاصل ضرب ارتفاع الجسم بالرقم العالمي صوعلى مربع نصف قطر القاعدة.

ويجب القول إن الصيغة الناتجة قابلة للتطبيق على حل المشكلات غير المتوقعة. وبنفس طريقة تحديد حجم الأسطوانة، على سبيل المثال، يتم تحديد حجم الأسلاك الكهربائية. قد يكون هذا ضروريًا لحساب كتلة الأسلاك.

والفرق الوحيد في الصيغة هو أنه بدلاً من نصف قطر أسطوانة واحدة يوجد قطر سلك الأسلاك مقسم إلى النصف ويظهر عدد الخيوط في السلك في التعبير ن. أيضا، بدلا من الارتفاع، يتم استخدام طول السلك. بهذه الطريقة، لا يتم حساب حجم "الأسطوانة" بواحد فقط، بل بعدد الأسلاك الموجودة في الجديلة.

غالبًا ما تكون مثل هذه الحسابات مطلوبة في الممارسة العملية. بعد كل شيء، يتم إجراء جزء كبير من خزانات المياه في شكل أنبوب. وغالبًا ما يكون من الضروري حساب حجم الأسطوانة حتى في المنزل.

ومع ذلك، كما سبق ذكره، يمكن أن يكون شكل الاسطوانة مختلفا. وفي بعض الحالات يكون من الضروري حساب حجم الأسطوانة المائلة.

الفرق هو أن مساحة سطح القاعدة لا يتم ضربها في طول المولد، كما في حالة الأسطوانة المستقيمة، ولكن في المسافة بين المستويات - قطعة عمودية مبنية بينهما.

كما يتبين من الشكل، فإن مثل هذا الجزء يساوي حاصل ضرب طول المولد وجيب زاوية ميل المولد إلى المستوى.

كيفية بناء تطوير الاسطوانة

في بعض الحالات، من الضروري قطع ماعون الاسطوانة. يوضح الشكل أدناه القواعد التي يتم من خلالها إنشاء الفراغ لتصنيع أسطوانة بارتفاع وقطر معين.

يرجى ملاحظة أن الرسم يظهر بدون طبقات.

الاختلافات بين اسطوانة مشطوف

دعونا نتخيل أسطوانة مستقيمة معينة، يحدها من جانب واحد مستوى متعامد مع المولدات. لكن المستوى المحيط بالأسطوانة من الجانب الآخر ليس عموديًا على المولدات ولا موازيًا للمستوى الأول.

يوضح الشكل اسطوانة مشطوفة. طائرة أبزاوية معينة تختلف عن 90 درجة للمولدات يتقاطع مع الشكل.

هذه شكل هندسيفي كثير من الأحيان توجد في الممارسة العملية في شكل وصلات خطوط الأنابيب (المرفقين). ولكن هناك أيضًا مباني مبنية على شكل أسطوانة مشطوفة.

الخصائص الهندسية للأسطوانة المشطوفة

يؤدي إمالة إحدى طائرات الأسطوانة المشطوفة إلى تغيير طفيف في الإجراء الخاص بحساب مساحة سطح هذا الشكل وحجمه.

كيليندروس، الأسطوانة، الأسطوانة) - جسم هندسي محدود بسطح أسطواني (يسمى السطح الجانبي للأسطوانة) ولا يزيد عن سطحين (قواعد الأسطوانة)؛ علاوة على ذلك، إذا كان هناك قاعدتان، فسيتم الحصول على أحدهما من الآخر عن طريق النقل الموازي على طول المولدات للسطح الجانبي للأسطوانة؛ وتتقاطع القاعدة مع كل مصفوفة من السطح الجانبي مرة واحدة بالضبط.

يسمى الجسم اللانهائي المحدود بسطح أسطواني مغلق لا نهائي اسطوانة لا نهاية لها، ويحدها شعاع أسطواني مغلق وقاعدته، ويسمى اسطوانة مفتوحة. تسمى قاعدة ومولدات الحزمة الأسطوانية بقاعدة ومولدات الأسطوانة المفتوحة على التوالي.

يسمى الجسم المحدود بسطح أسطواني مغلق ومقطعين يفصلانه اسطوانة النهاية، أو في الواقع اسطوانة. تسمى المقاطع قواعد الاسطوانة. ومن خلال تعريف السطح الأسطواني المحدود، فإن قواعد الأسطوانة متساوية.

من الواضح أن مولدات السطح الجانبي للأسطوانة متساوية في الطول (تسمى ارتفاعالأسطوانة) شرائح تقع على خطوط متوازية، ونهاياتها تقع على قواعد الأسطوانة. تتضمن فضول الرياضيات تعريف أي سطح محدود ثلاثي الأبعاد بدون تقاطعات ذاتية على أنه أسطوانة ارتفاعها صفر (يعتبر هذا السطح بمثابة قاعدتي الأسطوانة المنتهية في وقت واحد). قواعد الاسطوانة تؤثر على الاسطوانة نوعيا.

إذا كانت قواعد الاسطوانة مسطحة (وبالتالي فإن المستويات التي تحتوي عليها متوازية)، تسمى اسطوانة يقف على متن طائرة. إذا كانت قاعدتا الأسطوانة الموجودة على مستوى متعامدة مع المولد، فإن الأسطوانة تسمى مستقيمة.

وعلى وجه الخصوص، إذا كانت قاعدة الأسطوانة الموجودة على المستوى عبارة عن دائرة، فإننا نتحدث عن أسطوانة دائرية (دائرية)؛ إذا كان شكلًا بيضاويًا، فهو بيضاوي الشكل.

حجم الاسطوانة النهائية يساوي تكامل مساحة القاعدة على طول المولد. على وجه الخصوص، حجم الأسطوانة الدائرية القائمة يساوي

,

(أين نصف قطر القاعدة هو الارتفاع).

يتم حساب مساحة السطح الجانبية للأسطوانة بواسطة الصيغة التالية:

.

المساحة الإجمالية للأسطوانة هي مجموع مساحة السطح الجانبية ومساحة القواعد. لأسطوانة دائرية مستقيمة:

.

مؤسسة ويكيميديا. 2010.

تعرف على معنى "الأسطوانة (الهندسة)" في القواميس الأخرى:

فرع من فروع الرياضيات يهتم بدراسة خصائص الأشكال المختلفة (النقاط والخطوط والزوايا والأشياء ثنائية وثلاثية الأبعاد) وأحجامها ومواضعها النسبية. لسهولة التدريس، تم تقسيم الهندسة إلى قياسات مسطحة وقياسات مجسمة. في… … موسوعة كولير

- (γήμετρώ الأرض، μετρώ قياس). إن مفاهيم المكان والموقع والشكل هي من المفاهيم الأصلية التي عرفها الإنسان في العصور القديمة. الخطوات الأولى في اليونان اتخذها المصريون والكلدانيون. في اليونان، تم تقديم G.... ... القاموس الموسوعي F. بروكهاوس وآي. إيفرون

هندسة السطح الحرة- شكل سطح حر يتشكل تحت تأثير الجاذبية وقوة الطرد المركزي عندما يدور المعدن السائل حول محور الدوران. مع محور الدوران الأفقي سطح الحرةهي اسطوانة دائرية ذات رأسية.. القاموس المعدني

فرع من فروع الهندسة يتم فيه دراسة الصور الهندسية باستخدام طرق التحليل الرياضي. الكائنات الرئيسية للهندسة الديناميكية هي المنحنيات (الخطوط) والأسطح الناعمة إلى حد ما في الفضاء الإقليدي، بالإضافة إلى عائلات الخطوط و...

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر بيراميداتسو (المعاني). تم التشكيك في موثوقية هذا القسم من المقالة. ويجب عليك التحقق من دقة الحقائق المذكورة في هذا القسم. قد تكون هناك توضيحات في صفحة الحديث... ويكيبيديا

نظرية تدرس الهندسة الخارجية والعلاقة بين الخارج والداخل. هندسة متعددات الطيات الفرعية للفضاء الإقليدي أو الريماني. P.m.g هو تعميم للكلاسيكية. الهندسة التفاضلية للأسطح في الفضاء الإقليدي.... الموسوعة الرياضية

نظام الإحداثيات الديكارتية الهندسة التحليليةقسم من الهندسة فيه ... ويكيبيديا

قسم الهندسة، الذي يدرس فيه علم الهندسة. الصور، في المقام الأول المنحنيات والأسطح، باستخدام الأساليب الرياضية. تحليل. عادة في الهندسة الديناميكية تتم دراسة خصائص المنحنيات والأسطح الصغيرة، أي خصائص القطع الصغيرة منها بشكل تعسفي. علاوة على ذلك، في… الموسوعة الرياضية

ولهذا المصطلح معاني أخرى، انظر المجلد (المعاني). الحجم هو وظيفة مضافة لمجموعة (مقياس) تميز سعة المساحة التي تشغلها. نشأت في البداية وتم تطبيقها دون صرامة... ... ويكيبيديا

جزء من الهندسة المدرجة في الرياضيات الابتدائية (انظر الرياضيات الابتدائية). حدود الرياضيات الابتدائية، وكذلك الرياضيات الابتدائية بشكل عام، ليست محددة بدقة. يقولون أن على سبيل المثال هو ذلك الجزء من الهندسة الذي يتم دراسته في ... ... الموسوعة السوفيتية الكبرى

كتب

• هندسة ممتعة للصغار، تيموفيفسكي ألكسندر بافلوفيتش. كتاب جديدالشاعر الرائع ومؤلف أغنية التمساح الشهيرة جينا ألكسندر تيموفيفسكي مع الرسوم التوضيحية المشرقة لليونيد شميلكوف بطريقة مرحة يقدم للأطفال الأساسيات...