الموضوع: مراجعة عامة لمقرر الرياضيات. التحضير للامتحانات

الدرس: قراءة الرسم البياني للوظائف. حل المشكلات B2

في حياتنا، توجد الرسوم البيانية في كثير من الأحيان، خذ، على سبيل المثال، توقعات الطقس، والتي يتم تقديمها في شكل رسم بياني للتغيرات في بعض المؤشرات، على سبيل المثال، درجة الحرارة أو قوة الرياح مع مرور الوقت. لا نفكر مرتين عندما نقرأ هذا المخطط، على الرغم من أنها قد تكون المرة الأولى التي نقرأ فيها مخططًا في حياتنا. يمكنك أيضًا إعطاء مثال على رسم بياني للتغيرات في أسعار الصرف بمرور الوقت والعديد من الأمثلة الأخرى.

لذلك، الرسم البياني الأول الذي سننظر إليه.

أرز. 1. رسم توضيحي للرسم البياني 1

كما ترون، الرسم البياني له محورين. ويسمى المحور الذي يشير إلى اليمين (الأفقي) بالمحور . يسمى المحور الذي يشير إلى الأعلى (عموديًا) بالمحور .

أولا، دعونا ننظر إلى المحور. في هذا الرسم البياني، يتم رسم عدد الدورات في الدقيقة لمحرك سيارة معين على طول هذا المحور. ويمكن أن تكون متساوية، الخ. كما أن هناك تقسيمات على هذا المحور، بعضها يشار إليه بالأرقام، وبعضها متوسط ​​ولا يشار إليه. من السهل تخمين أن القسمة الأولى من الصفر هي القسمة الثالثة، وما إلى ذلك.

الآن دعونا ننظر إلى المحور. في هذا الرسم البياني، يتم رسمها على طول هذا المحور القيم الرقميةقيم نيوتن لكل متر ()، وقيم عزم الدوران المتساوية، وما إلى ذلك، وفي هذه الحالة يكون سعر القسمة يساوي .

الآن دعنا ننتقل إلى الوظيفة نفسها (إلى السطر المعروض على الرسم البياني). كما ترون، يعكس هذا الخط عدد نيوتن لكل متر، أي ما هو عزم الدوران، سيكون عند سرعة محرك محددة في الدقيقة. إذا أخذنا القيمة 1000 دورة في الدقيقة. ومن هذه النقطة على الرسم البياني نتجه إلى اليسار، سنرى أن الخط يمر بالنقطة 20، أي أن قيمة عزم الدوران عند 1000 دورة في الدقيقة ستكون متساوية (الشكل 2.2).

إذا أخذنا قيمة 2000 دورة في الدقيقة، فسوف يمر الخط بالفعل عند هذه النقطة (الشكل 2.2).

أرز. 2. تحديد عزم الدوران بعدد الثورات في الدقيقة

تخيل الآن أن مهمتنا هي إيجاد أكبر قيمة من هذا الرسم البياني. نحن نبحث عن أكثر من غيرها نقطة عالية()، وفقًا لذلك، سيتم اعتبار أقل قيمة لعزم الدوران في هذا الرسم البياني 0. للعثور على أعلى قيمة للدالة من الرسم البياني، عليك أن تأخذ في الاعتبار أكثر أهمية عظيمة، والتي تصل إليها الدالة على طول المحور الرأسي. نحن ننظر إلى القيمة الأعلى وننظر على طول المحور الرأسي إلى أعلى رقم تم تحقيقه. إذا كنا نتحدث عن أصغر قيمة، فإننا نأخذ، على العكس من ذلك، أدنى نقطة وننظر إلى قيمتها على طول المحور الرأسي.

أرز. 3. أكبر وأصغر قيمة للدالة حسب الرسم البياني

أكبر قيمة في هذه الحالة هي، وأصغر قيمة على التوالي هي 0. من المهم عدم الخلط والإشارة إلى القيمة القصوى بشكل صحيح، يشير البعض إلى القيمة القصوى البالغة 4000 دورة في الدقيقة، هذه ليست القيمة القصوى، ولكن النقطة حيث يتم أخذ القيمة القصوى (النقطة القصوى)، القيمة الأكبر هي بالضبط.

يجب عليك أيضًا الانتباه إلى المحور الرأسي، ووحدات القياس الخاصة به، على سبيل المثال، إذا تمت الإشارة إلى مئات نيوتن لكل متر () بدلاً من نيوتن لكل متر ()، فستحتاج القيمة القصوى إلى الضرب بمائة ، إلخ.

ترتبط القيم الأكبر والأصغر للدالة ارتباطًا وثيقًا بمشتقة الوظيفة.

إذا زادت الدالة على المقطع قيد النظر، فإن مشتق الدالة في هذا المقطع يكون موجبًا أو يساوي الصفر عند عدد محدود من النقاط، وفي أغلب الأحيان يكون موجبًا ببساطة. وبالمثل، إذا تناقصت الدالة على القطعة قيد النظر، فإن مشتقة الدالة على هذه القطعة تكون سالبة أو تساوي الصفر عند عدد محدود من النقاط. والعكس صحيح في كلتا الحالتين.

يحتوي المثال التالي على بعض الصعوبات بسبب قيود المحور الأفقي. من الضروري العثور على أكبر وأصغر قيمة في المقطع المحدد.

يوضح الرسم البياني التغير في درجة الحرارة مع مرور الوقت. على المحور الأفقي نرى الوقت والأيام، وعلى المحور الرأسي نرى درجة الحرارة. من الضروري تحديد أعلى درجة حرارة للهواء في 22 يناير، أي أننا لا نحتاج إلى النظر في الرسم البياني بأكمله، ولكن الجزء المتعلق بيوم 22 يناير، أي من الساعة 00:00 يوم 22 يناير إلى الساعة 00:00 يوم 23 يناير.

أرز. 4. الرسم البياني لتغير درجة الحرارة

ومن خلال الحد من الرسم البياني، يصبح من الواضح لنا أن درجة الحرارة القصوى تتوافق مع النقطة .

يتم تقديم رسم بياني للتغيرات في درجات الحرارة على مدى ثلاثة أيام. على محور الثور - الوقت من اليوم واليوم من الشهر، على محور أوي - درجة حرارة الهواء بالدرجة المئوية.

نحن بحاجة إلى النظر ليس في الجدول الزمني بأكمله، ولكن الجزء المتعلق بيوم 13 يوليو، أي من الساعة 00:00 يوم 13 يوليو إلى الساعة 00:00 يوم 14 يوليو.

أرز. 5. رسم توضيحي للحصول على مثال إضافي

إذا لم تقم بإدخال القيود الموضحة أعلاه، فقد تحصل على إجابة غير صحيحة، ولكن في فترة زمنية معينة تكون القيمة القصوى واضحة: ، ويتم الوصول إليها الساعة 12:00 يوم 13 يوليو.

مثال 3: تحديد تاريخ سقوط خمسة ملليمترات من المطر لأول مرة:

يوضح الرسم البياني هطول الأمطار اليومي في قازان في الفترة من 3 فبراير إلى 15 فبراير 1909. يتم عرض أيام الشهر أفقيًا، ويتم عرض كمية هطول الأمطار بالملليمتر عموديًا.

أرز. 6. هطول الأمطار اليومي

لنبدأ بالترتيب. في اليوم الثالث، نرى أن ما يزيد قليلاً عن 0 سقط، ولكن أقل من 1 ملم. هطول الأمطار، سقط 4 ملم من الأمطار في اليوم الرابع، وما إلى ذلك. يظهر الرقم 5 لأول مرة في اليوم الحادي عشر. لتسهيل الأمر، يمكنك رسم خط مستقيم مقابل الخمسة، ولأول مرة سيتقاطع مع الرسم البياني في 11 فبراير، وهذه هي الإجابة الصحيحة.

مثال 4: تحديد التاريخ الذي كان فيه سعر أوقية الذهب هو الأدنى

ويوضح الرسم البياني سعر الذهب عند إغلاق تداولات البورصة لكل يوم من 5 مارس إلى 28 مارس 1996. يتم عرض أيام الشهر أفقيا وعموديا،

وعليه سعر أوقية الذهب بالدولار الأمريكي.

تم رسم الخطوط بين النقاط للتوضيح فقط، فالمعلومات تحملها النقاط نفسها فقط.

أرز. 7. رسم بياني للتغيرات في أسعار الذهب في البورصة

مثال إضافي: حدد عند أي نقطة على المقطع تأخذ الدالة القيمة الأكبر:

يتم إعطاء مشتق دالة معينة على الرسم البياني.

أرز. 8. رسم توضيحي للحصول على مثال إضافي

يتم تعريف المشتق على الفاصل الزمني

كما ترون، مشتقة الدالة على قطعة معينة تكون سالبة وتساوي صفرًا عند نقطة الحدود اليسرى. كما نعلم، إذا كانت مشتقة الدالة سالبة، فإن الدالة في الفترة قيد النظر تتناقص، وبالتالي، تتناقص الدالة في الفترة قيد النظر بأكملها، وفي هذه الحالة، فإنها تأخذ القيمة الأكبر في الحد الأقصى الأيسر. الجواب: الفترة.

لذلك، نظرنا إلى مفهوم الرسم البياني للدالة، ودرسنا ماهية محاور الرسم البياني، وكيفية العثور على قيمة الدالة من الرسم البياني، وكيفية العثور على القيمة الأكبر والأصغر.

1. موردكوفيتش أ.ج. الجبر وبداية التحليل الرياضي. - م: منيموسين.
2. مورافين جي.ك.، مورافين أو.في. الجبر وبداية التحليل الرياضي. - م: حبارى.
3. كولموجوروف إيه إن، أبراموف إيه إم، دودنيتسين يو.بي. وغيرها الجبر وبدايات التحليل الرياضي. - م: التنوير.

1. امتحان الدولة الموحدة ().
2. مهرجان الأفكار التربوية ().
3. الدراسة سهلة.RF ().

1. يوضح الرسم البياني (الشكل 9) متوسط ​​درجة حرارة الهواء الشهرية في يكاترينبرج (سفيردلوفسك) لكل شهر من عام 1973. يشير المحور الأفقي إلى الأشهر، ويشير المحور الرأسي إلى درجة الحرارة بالدرجات المئوية. حدد من الرسم البياني أدنى متوسط ​​لدرجة الحرارة الشهرية خلال الفترة من مايو إلى ديسمبر 1973 ضمناً. اكتب إجابتك بالدرجات المئوية.

أرز. 9. مخطط درجة الحرارة

1. باستخدام نفس الرسم البياني (الشكل 9)، حدد الفرق بين أعلى وأدنى متوسط ​​درجات الحرارة الشهرية في عام 1973. اكتب إجابتك بالدرجات المئوية.
2. يوضح الرسم البياني (الشكل 10) عملية تسخين محرك الاحتراق الداخلي عند درجة حرارة محيطة قدرها 15 درجة. يُظهر المحور الإحداثي الوقت بالدقائق التي انقضت منذ بدء تشغيل المحرك، ويُظهر المحور الصادي درجة حرارة المحرك بالدرجة المئوية. يمكن توصيل الحمل بالمحرك عندما تصل درجة حرارة المحرك إلى 45 درجة. ما هو أقل عدد من الدقائق التي يجب انتظارها قبل توصيل الحمل بالمحرك؟

أرز. 10. جدول إحماء المحرك

الشريحة 12

التماثل حول الخط المستقيم y=x

الرسوم البيانية لهذه الوظائف تزيد عند > 1 وتنخفض عند 0

الشريحة 13

يوضح أحد الأشكال رسمًا بيانيًا للدالة y=2-x. يرجى الإشارة إلى هذا الرسم. جدول وظيفة الأسيةيمر الرسم البياني للدالة الأسية عبر النقطة (0، 1)، وبما أن قاعدة الدرجة أقل من 1، فيجب أن تكون هذه الدالة متناقصة.

الشريحة 14

يوضح أحد الأشكال رسمًا بيانيًا للدالة y=log5 (x-4). اذكر رقم هذا الجدول. جدول وظيفة لوغاريتمية y=log5x يمر عبر النقطة (1;0)، ثم ifh -4 =1، theny=0، x=1+4، x=5. (5;0) - نقطة تقاطع الرسم البياني مع محور OX. إذا كان x -4 = 5، فإن y = 1، x = 5 + 4، x = 9، الرسم البياني للدالة اللوغاريتمية 9 5 1

الشريحة 15

يتم تعريف الدالة y=f(x) على الفاصل الزمني (-6;7). يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق هذه الوظيفة. يتم رسم جميع الظلال الموازية للخط المستقيم y = 5-2x (أو المتزامنة معه) إلى الرسم البياني للدالة. وضح عدد النقاط على الرسم البياني للدالة التي يتم رسم هذه الظلال عليها. K = tga = f'(xo) بالشرط k = -2. لذلك f'(xo) = -2 نرسم خطًا مستقيمًا y = -2. يتقاطع مع الرسم البياني عند نقطتين، مما يعني مماسات الدالة يتم رسمها في نقطتين. إيجاد عدد مماسات الرسم البياني للدالة من الرسم البياني لمشتقتها

الشريحة 16

يتم تعريف الدالة y=f(x) على الفاصل الزمني [-7;3]. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقته. أوجد عدد النقاط على الرسم البياني للدالة y=f(x) التي تكون فيها مماسات الرسم البياني موازية للمحور x أو متطابقة معه. عامل المنحدرالخطوط المستقيمة الموازية للإحداثي السيني أو المقابلة له تساوي صفراً. لذلك K=tg a = f `(xo)=0 يتقاطع محور OX مع هذا الرسم البياني عند أربع نقاط. إيجاد عدد مماسات الدالة من الرسم البياني لمشتقتها

الشريحة 17

يتم تعريف الدالة y=f(x) على الفاصل الزمني (-6;6). يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتقته. أوجد عدد النقاط على الرسم البياني للدالة y=f(x) التي تميل عندها مماسات الرسم البياني بزاوية 135 إلى الاتجاه الموجب للمحور x. K = tg 135o= f'(xo) tg 135o=tg(180o-45o)=-tg45o=-1 إذن f`(xo)=-1 ارسم خطًا مستقيمًا y=-1، ويتقاطع مع الرسم البياني في ثلاث نقاط ، وهو ما يعني مماسات الدالة المنفذة عند ثلاث نقاط. إيجاد عدد مماسات الدالة من الرسم البياني لمشتقتها

الشريحة 18

يتم تعريف الدالة y=f(x) على الفاصل الزمني [-2;6]. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق هذه الوظيفة. وضح الحد الأقصى للنقطة التي يكون عندها ظل الرسم البياني للدالة y=f(x) أصغر معامل زاوي k=tg a=f'(xo) يأخذ مشتق الدالة أصغر قيمة y=-3 عند النقطة س=2. لذلك، فإن مماس الرسم البياني له أصغر ميل عند النقطة x=2. إيجاد ميل المماس من التمثيل البياني لمشتقة الدالة -3 2

الشريحة 19

يتم تعريف الدالة y=f(x) على الفاصل الزمني [-7;3]. يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لمشتق هذه الوظيفة. أشر إلى الإحداثي السيني الذي يكون عنده المماس للرسم البياني للدالة y=f(x) أكبر ميل. k=tg a=f'(xo) مشتق الدالة يأخذ قيمته الكبرى y=3 عند النقطة x=-5. وبالتالي فإن مماس الرسم البياني له أكبر ميل عند النقطة x = -5 إيجاد ميل المماس من الرسم البياني لمشتقة الدالة 3 -5

الشريحة 20

يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x) ومماس لها عند النقطة مع الإحداثي السيني xo. أوجد قيمة المشتقة f `(x) عند النقطة xo f ’(xo) =tg a بما أن a في الشكل زاوية منفرجة، إذن tan a

الشريحة 21

العثور على الحد الأدنى (الحد الأقصى) للدالة من الرسم البياني لمشتقتها

عند النقطة x=4، تشير التغييرات المشتقة من ناقص إلى زائد. هذا يعني أن x = 4 هي النقطة الدنيا للدالة y = f (x) 4 عند النقاط x = 1، تشير التغييرات المشتقة من علامة الجمع. minusMeanx=1 هي النقطة القصوى للدالة y=f(x))

الشريحة 22

عمل مستقل

الشكل 11) ابحث عن مجال تعريف الوظيفة. 2) حل المتراجحة f(x) ≥ 0 3) حدد فترات تناقص الدالة. الشكل 2 – رسم بياني للدالة المشتقة y=f(x) 4) أوجد الحد الأدنى من نقاط الدالة. 5) أشر إلى الإحداثي السيني للنقطة التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالة y=f(x) أكبر معامل زاوية. الشكل 11) ابحث عن نطاق قيم الوظيفة. 2) حل المتراجحة f(x)≥ 0 3) حدد فترات زيادة الدالة. الشكل 2 – رسم بياني للدالة المشتقة y=f(x) 4) أوجد النقاط القصوى للدالة. 5) حدد حدود النقطة التي يكون عندها المماس للرسم البياني للدالة y=f(x) أصغر ميل. 1 الخيار 2 الخيار

الموضوع "قراءة الرسم البياني للدالة المشتقة"

الغرض من الدرس: تكوين المهارات في تحديد خصائص المشتقة من الرسم البياني للدالة، وخصائص الوظيفة من الرسم البياني للمشتق، ومقارنة الرسم البياني للدالة والرسم البياني لمشتقها.

المواد والمعدات: العرض بالكمبيوتر .

خطة الدرس

1. تنظيم الوقت.
2. العد الشفهي "اكتشف الخطأ"
3. تكرار المادة النظرية حول موضوع "دعمك الخاص"
4. التدريب على المهارات
5. لعبة "الكفاءة"
6. تلخيص.

خلال الفصول الدراسية.

1. تنظيم الوقت. خلال دراسة موضوع “دراسة الدوال باستخدام المشتقات” تم تطوير المهارات لإيجاد النقاط الحرجة للدالة، المشتقة، وتحديد خصائص الدالة بمساعدتها، وبناء الرسم البياني الخاص بها. سننظر اليوم إلى هذا الموضوع من زاوية مختلفة: كيفية تحديد خصائص الدالة نفسها من خلال الرسم البياني لمشتقة الدالة. مهمتنا: تعلم كيفية التنقل بين مجموعة متنوعة من مهام امتحان الدولة الموحدة المتعلقة بالرسوم البيانية للوظائف ومشتقاتها.
2. العد اللفظي

(2x2) / =2x; (3س-س 3) / =3-3س؛ X / =1 X

1. تكرار المواد النظرية حول الموضوع. (ارسم رجلاً صغيراً في دفترك ليمثل الحالة المزاجية في بداية الدرس)

دعونا نكرر بعض خصائص الدالة: الزيادة والنقصان، القيم القصوى للدالة.

علامة كافية على زيادة (تناقص) الوظيفة. تقرأ:

1. إذا كانت مشتقة الدالة موجبة عند كل نقطة في الفترة X، فإن الدالة تزداد خلال الفترة X.
2. إذا كانت مشتقة الدالة سالبة عند كل نقطة من الفترة X، فإن الدالة تتناقص في الفترة X.

الشروط الكافية للأقصى:

دع الدالة y=f(x) تكون متصلة على الفاصل الزمني X ولها نقطة حرجة x 0 داخل الفاصل الزمني. فإذا كان المشتق عند المرور بالنقطة x 0 هو:

أ) تغيير الإشارة من "+" إلى "-"، ثم x 0 هي النقطة القصوى للدالة،

ب) يغير الإشارة من "-" إلى "+"، ثم × 0- النقطة الدنيا للوظيفة،

ج) لا تتغير الإشارة، ثم عند هذه النقطة × 0لا يوجد تطرف.

مشتق الدالة هو في حد ذاته دالة. وهذا يعني أن لديها جدول أعمالها الخاص.

X(لدينا شريحة [ أ؛ ب]) فوق المحور السيني، فإن الدالة تزداد خلال هذه الفترة.

إذا كان الرسم البياني للمشتق على الفاصل الزمني Xأسفل المحور السيني، فإن الدالة تتناقص خلال هذه الفترة. علاوة على ذلك، قد تكون خيارات الرسم البياني المشتق مختلفة.

لذا، بوجود رسم بياني لمشتقة دالة، يمكننا استخلاص استنتاجات حول خصائص الدالة نفسها.

1. تطوير المهارة. دعونا نفكر في المشكلة:
2. لعبة "الكفاءة"
3. تلخيص. (ارسم رجلاً صغيراً في دفتر، مع الإشارة إلى الحالة المزاجية في نهاية الدرس) وكان دور "التلخيص" (سيقول ما هو الفكر (الخاتمة، النتيجة...) في الدرس، في رأيه، هو الدور الرئيسي واحد)

تحميل:

معاينة:

لاستخدام معاينات العرض التقديمي، قم بإنشاء حساب Google وقم بتسجيل الدخول إليه: https://accounts.google.com

التسميات التوضيحية للشرائح:

قراءة الرسم البياني للدالة المشتقة وما إذا كان ذلك في الطريق إلى امتحان الدولة الموحدة

خطة الدرس اللحظة التنظيمية. الحساب الشفهي "اكتشف الخطأ" تكرار المواد النظرية حول الموضوع، ملاحظات "دعمك" لعبة تنمية المهارات "الكفاءة" تلخيص.

العد الشفهي "اكتشف الخطأ" (2x2) / = x (3x-x 3) / = 3-3 2 4 x 2 - -5

تكرار المادة النظرية حول الموضوع f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 - 5 -4 -3 -2 -1 4 3 2 1 - 1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 إشارة كافية لزيادة (نقصان) الدالة: إذا كانت مشتقة الدالة موجبة عند كل نقطة من الفترة X، فإن الدالة تزيد على الفترة X. إذا كانت مشتقة الدالة سالبة عند كل نقطة من الفاصل الزمني X، فإن الدالة تتناقص في الفاصل الزمني X. إذا كان الرسم البياني للمشتقة في الفاصل الزمني X يقع أعلى المحور السيني، فإن الدالة تزداد على هذه الفترة الفاصلة. إذا كان الرسم البياني للمشتق في الفاصل الزمني X يقع أسفل المحور السيني، فإن الدالة تتناقص في هذا الفاصل الزمني.

و(خ) و / (خ) 5 + – ص = و / (خ) 1 2 3 4 5 6 7 - 7 - 6 -5 -4 - 3 -2 - 1 4 3 2 1 -1 -2 -3 -4 -5 y x + 1 "الدعم الخاص" متزايد متناقص متزايد

f(x) f / (x) 5 + – y = f / (x) y x + 1 E إذا كان المشتق عند المرور بالنقطة x 0: أ) يغير الإشارة من "+" إلى "-"، إذن x 0 هي النقطة القصوى للدالة، ب) تغير الإشارة من "-" إلى "+"، ثم x 0 هي النقطة الدنيا للدالة، ج) لا تتغير الإشارة، إذن لا يوجد حد أقصى عند النقطة x 0 . تكرار المادة النظرية حول موضوع "دعمك الخاص" شرط ضروري لوجود الحد الأقصى: إذا كانت الدالة y=f (x) لها حد أقصى عند النقطة x=x0، ففي هذه المرحلة يكون المشتق إما مساوياً لـ 0 أو غير موجود. ماكس دقيقة

تنمية المهارات (حل المشكلات من بنك امتحانات الدولة الموحدة المفتوحة) فترات متزايدة: (-5;-1)، (2;8)،(11;12) الإجابة: 6 1 f(x) f / (x) + + +

الفترات المتناقصة لتنمية المهارات: (-1؛0)، (9؛12) الإجابة: 3 2 f(x) f / (x) - - تنمية المهارات (حل المشكلات من بنك امتحانات الدولة الموحدة المفتوحة)

تطوير المهارات الإجابة: -3 3 f(x) f / (x) تطوير المهارات (حل المشكلات من بنك امتحانات الدولة الموحدة المفتوحة)

تطوير المهارات الإجابة: - 3 4 f(x) f / (x) تنمية المهارات (حل المشكلات من بنك امتحانات الدولة الموحدة المفتوحة)

تنمية المهارات 5 f(x) f / (x) تنمية المهارات (حل المشكلات من بنك امتحانات الدولة الموحدة المفتوحة)

المشاركون في لعبة "الكفاءة": فريقان - شركات متنافسة، تأتي الفرق بـ 3 مهام لبعضها البعض في موضوع الدرس، ويتبادلون المهام، ويكملونها ويظهرون الحل على السبورة. إذا فشل الخصم، فيجب على الفريق الذي يطرح السؤال الإجابة عليه بنفسه. تقوم كل شركة بتقييم عمل شركة منافسة باستخدام نظام من 5 نقاط (كل مهمة وكل إجابة) رعاة المعرفة: بتروفا جيلينا وسيمينوفا كوناي

التلخيص: رسم رجل التلخيص: ما هو الشيء الرئيسي في الدرس؟ ما الذي كان مثيرا للاهتمام؟ ماذا تعلمت؟ معايير التقييم: 28-30 نقطة - النتيجة "5" 20-27 نقطة - النتيجة "4" 10-19 نقطة - النتيجة "3" أقل من 10 نقاط - توصية للعمل المضني في التحضير لامتحان الدولة الموحدة

درس عام حول الموضوع:

"استخدام المشتق ورسمه البياني لقراءة خصائص الدالة"

نوع الدرس: درس عام باستخدام تكنولوجيا المعلومات والاتصالات في شكل عرض تقديمي.

أهداف الدرس:

التعليمية:

تعزيز فهم الطلاب لاستخدام المشتقات في المهام العملية.

تعليم الطلاب كيفية استخدام خصائص الدوال والمشتقات بشكل واضح.

التعليمية:

تطوير القدرة على تحليل سؤال المهمة واستخلاص النتائج؛

تطوير القدرة على تطبيق المعرفة الموجودة في المهام العملية.

التعليمية:

تنمية الاهتمام بالموضوع؛

الحاجة إلى هذه المهارات النظرية والعملية لمواصلة الدراسة.

أهداف الدرس:

تطوير مهارات محددة في العمل مع الرسم البياني للدالة المشتقة لاستخدامها عند اجتياز اختبار الدولة الموحدة؛

الاستعداد للاختبار.

خطة الدرس.

1. تحديث المعرفة المرجعية (BK).

2. تنمية المعرفة والمهارات والقدرات حول الموضوع.

3. الاختبار (B8 من امتحان الدولة الموحد).

4. الشيكات المتبادلة، وإعطاء علامات "للجار".

5. تلخيص دروس الدرس.

المعدات: فئة الكمبيوتر، السبورة، قلم التحديد، الاختبارات (خياران).

خلال الفصول الدراسية.

لحظة المنظمة.

مدرس . مرحبا، من فضلك اجلس.

خلال دراسة موضوع “دراسة الدوال باستخدام المشتقات” تم تطوير المهارات لإيجاد النقاط الحرجة للدالة، المشتقة، وتحديد خصائص الدالة بمساعدتها، وبناء الرسم البياني الخاص بها. سننظر اليوم إلى هذا الموضوع من زاوية مختلفة: كيفية تحديد خصائص الدالة نفسها من خلال الرسم البياني لمشتقة الدالة. مهمتنا: تعلم كيفية التنقل بين مجموعة متنوعة من المهام المتعلقة بالرسوم البيانية للوظائف ومشتقاتها.

استعدادًا لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات، يتم إعطاء KIMs مشاكل حول استخدام الرسم البياني المشتق لدراسة الوظائف. لذلك، في هذا الدرس، يجب علينا تنظيم معرفتنا حول هذا الموضوع وتعلم كيفية العثور بسرعة على إجابات لأسئلة المهام B8.

الشريحة رقم 1.

موضوع: "استخدام المشتقة ورسمها البياني لقراءة خصائص الدوال"

أهداف الدرس:

تنمية المعرفة بتطبيق المشتق ومعناه الهندسي والرسم البياني للمشتق لتحديد خصائص الدوال.

تطوير الكفاءة في أداء اختبارات امتحان الدولة الموحدة.

تطوير صفات شخصية مثل الانتباه والقدرة على العمل مع النص والقدرة على العمل مع الرسوم البيانية المشتقة

2. تحديث المعرفة الأساسية (BK). الشرائح رقم 4 إلى رقم 10.

ستظهر الآن أسئلة المراجعة على الشاشة. مهمتك: إعطاء إجابة واضحة وموجزة لكل نقطة. يمكن التحقق من صحة إجابتك على الشاشة.

( يظهر سؤال لأول مرة على الشاشة، وبعد إجابة الطلاب تظهر الإجابة الصحيحة للتحقق.)

قائمة الأسئلة لـ AOD.

تعريف المشتقة.

معنى هندسيالمشتق.

العلاقة بين قيم المشتق وميل المماس والزاوية بين المماس والاتجاه الموجب لمحور OX.

استخدام المشتق لإيجاد فترات رتابة الدالة.

تطبيق المشتقة لتحديد النقاط الحرجة والنقاط القصوى

6 .ضروري و ظروف كافيةأقصى

7 . استخدام المشتق للعثور على القيم الأكبر والأصغر للدالة

(يقوم الطلاب بالإجابة على كل عنصر، مع إرفاق إجاباتهم بالملاحظات والرسومات على السبورة. وفي حالة الإجابات الخاطئة وغير المكتملة، يقوم زملاء الفصل بتصحيحها وإكمالها. وبعد إجابة الطلاب، تظهر الإجابة الصحيحة على الشاشة. وبذلك يمكن للطلاب تحديدها على الفور صحة إجابتهم.)

3. تنمية المعرفة والمهارات والقدرات حول الموضوع. الشرائح رقم 11 إلى رقم 15.

يُعرض على الطلاب مهام من KIMs لامتحان الدولة الموحدة في الرياضيات للسنوات السابقة، من مواقع الإنترنت حول استخدام المشتق والرسم البياني الخاص به لدراسة خصائص الوظائف. تظهر المهام بالتسلسل. يقوم الطلاب بصياغة الحلول على السبورة أو عن طريق التفكير الشفهي. يظهر بعد ذلك الحل الصحيح على الشريحة ويتم مقارنته بحل الطلاب. إذا كان هناك خطأ في الحل، يتم تحليله من قبل الفصل بأكمله.

الشريحة رقم 16 ورقم 17.

بعد ذلك، في الفصل، يُنصح بالنظر في مهمة رئيسية: باستخدام الرسم البياني المحدد للمشتق، يجب على الطلاب طرح أسئلة مختلفة (بمساعدة المعلم بالطبع) تتعلق بخصائص الوظيفة نفسها. وبطبيعة الحال، تتم مناقشة هذه القضايا، وتصحيحها إذا لزم الأمر، وتلخيصها، وتسجيلها في دفتر ملاحظات، وبعد ذلك تبدأ مرحلة حل هذه المهام. من الضروري هنا التأكد من أن الطلاب لا يقدمون الإجابة الصحيحة فحسب، بل يكونون قادرين على مناقشة (إثباتها) باستخدام التعريفات والخصائص والقواعد المناسبة.

الاختبار (B8 من امتحان الدولة الموحدة). الشرائح رقم 18 إلى رقم 29. الشريحة رقم 30 – مفاتيح الاختبار.

مدرس : لذلك، قمنا بتلخيص معرفتك حول هذا الموضوع: كررنا الخصائص الأساسية للمشتق، وحلنا المسائل المتعلقة بالرسم البياني للمشتق، وقمنا بتحليل الجوانب المعقدة والإشكالية لاستخدام المشتق والرسم البياني للمشتق لدراسة خصائص المشتق المهام.

الآن سوف نقوم باختبار خيارين. ستظهر المهام على الشاشة في كلا الإصدارين في نفس الوقت. تقوم بدراسة السؤال والعثور على الإجابة وتدوينها في ورقة إجابتك. بعد الانتهاء من الاختبار، قم بتبادل النماذج والتحقق من عمل جارك باستخدام الإجابات الجاهزة. إعطاء تقييم(حتى 10 نقاط - "2"، من 11 إلى 15 نقطة - "3"، من 16 إلى 19 نقطة - "4"، أكثر من 19 نقطة - "5".).

تلخيص الدرس

لقد درسنا العلاقة بين رتابة الدالة وعلامة مشتقتها، والشروط الكافية لوجود الحد الأقصى. قمنا بفحص المهام المختلفة لقراءة الرسم البياني للدالة المشتقة، والتي توجد في نصوص واحدة امتحان الدولة. جميع المهام التي نظرنا فيها جيدة لأنها لا تستغرق الكثير من الوقت لإكمالها.

من المهم جدًا أثناء امتحان الدولة الموحدة: كتابة الإجابة بسرعة وبشكل صحيح.

تسليم نماذج الإجابة الخاصة بك. درجة الدرس معروفة لك بالفعل وسيتم إدراجها في المجلة.

أعتقد أن الفصل قد استعد للاختبار.

العمل في المنزلسوف تكون خلاقة . الشريحة رقم 33 .

عناصر التحليل الرياضي في امتحان الدولة الموحدة مالينوفسكايا غالينا ميخائيلوفنا [البريد الإلكتروني محمي]المواد المرجعية جدول مشتقات الوظائف الأساسية.  قواعد التفاضل (مشتق المجموع، حاصل الضرب، حاصل ضرب الدالتين).  مشتقة من وظيفة معقدة.  المعنى الهندسي للمشتق.  المعنى الجسديالمشتق.  المواد المرجعية النقاط القصوى (الحد الأقصى أو الأدنى) لوظيفة محددة بيانياً.  العثور على أكبر (أصغر) قيمة للدالة المستمرة في فترة زمنية معينة.  المشتق المضاد للوظيفة. صيغة نيوتن-لايبنتز. إيجاد مساحة شبه المنحرف المنحني.  التطبيقات الفيزيائية  1.1 نقطة ماديةيتحرك بشكل مستقيم وفقًا للقانون 𝑥 𝑡 = −𝑡 4 +6𝑡 3 +5𝑡 + 23، حيث x هي المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، وt هو الزمن بالثواني، ويقاس من بداية الحركة. أوجد سرعتها (بالمتر في الثانية) عند الزمن t=3s.  1.2 تتحرك نقطة مادية 1 3 بشكل مستقيم وفقًا للقانون 𝑥 𝑡 = 𝑡 − 3 3𝑡 2 − 5𝑡 + 3 ، حيث x هي المسافة من النقطة المرجعية بالأمتار، t هو الوقت بالثواني، ويقاس من بداية الحركة. في أي نقطة زمنية (بالثواني) كانت سرعته تساوي 2 م/ث؟ الحل: نحن نبحث عن مشتق x(t) (دالة المسار بالنسبة إلى الوقت).  في المسألة 1.1، استبدل قيمتها بـ t واحسب السرعة (الإجابة: 59).  في المسألة 1.2، قمنا بمساواة المشتقة التي تم العثور عليها رقم معينوحل المعادلة بالنسبة للمتغير t . (الجواب: 7).  تطبيقات هندسية 2.1 المستقيم 𝑦 = 7𝑥 − 5 يوازي مماس الرسم البياني 2 للدالة 𝑦 = 𝑥 + 6𝑥 − 8 . أوجد حدود نقطة المماس. 2.2 الخط المستقيم 𝑦 = 3𝑥 + 1 مماس للتمثيل البياني الثاني للدالة 𝑎𝑥 + 2𝑥 + 3. إعثر على. 2.3 الخط المستقيم 𝑦 = −5𝑥 + 8 مماس للتمثيل البياني الثاني للدالة 28𝑥 + 𝑏𝑥 + 15. أوجد b، إذا كان الإحداثي الإحداثي لنقطة التماس أكبر من 0. 2.4 الخط 𝑦 = 3𝑥 + 4 مماس للتمثيل البياني 2 للدالة 3𝑥 − 3𝑥 + 𝑐. ابحث عن ج. الحل: في المسألة 2.1، نبحث عن مشتقة الدالة ونساويها بميل الخط المستقيم (الإجابة: 0.5).  في المسائل 2.2-2.4 قمنا بتكوين نظام من معادلتين. في إحداهما نساوي الدوال، وفي الأخرى نساوي مشتقاتها. في نظام به مجهولان (المتغير x والمعلمة)، نبحث عن المعلمة. (الإجابات: 2.2) أ=0.125؛ 2.3) ب=-33؛ 2.4) ج=7).   2.5 يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y=f(x) والمماس لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري 𝑥0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة 𝑥0.  2.6 يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y=f(x) والمماس لها عند النقطة ذات الإحداثي المحوري 𝑥0. أوجد قيمة مشتقة الدالة f(x) عند النقطة 𝑥0.  2.7 يوضح الشكل الرسم البياني للدالة y=f(x). يمس الخط المستقيم الذي يمر عبر نقطة الأصل الرسم البياني لهذه الدالة عند النقطة ذات الإحداثي السيني 10. أوجد قيمة مشتقة الدالة عند النقطة x=10. 𝑥0 = 0 الحل:     قيمة مشتقة الدالة عند نقطة ما هي ظل زاوية ميل المماس لمنحنى الدالة المرسوم عند هذه النقطة. "دعونا نكمل الرسم" مثلث قائم وابحث عن ظل الزاوية المقابلة، والذي نعتبره موجبًا إذا كان المماس يشكل زاوية حادة مع الاتجاه الموجب لمحور الثور (يزداد الظل) وسالبًا إذا كانت الزاوية منفرجة (ينقص المماس). في المسألة 2.7، تحتاج إلى رسم مماس عبر النقطة المحددة ونقطة الأصل. الإجابات: 2.5) 0.25؛ 2.6) -0.25؛ 2.7) -0.6. قراءة رسم بياني لدالة أو رسم بياني لمشتقة دالة  3.1 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)، المحددة على الفاصل الزمني (6؛8). حدد عدد النقاط الصحيحة التي يكون عندها مشتق الدالة موجبًا.  3.2 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)، المحددة على الفاصل الزمني (-5;5). حدد عدد النقاط الصحيحة التي يكون عندها مشتق الدالة f(x) سالبًا. الحل: إشارة المشتقة مرتبطة بسلوك الدالة.  إذا كانت المشتقة موجبة، فإننا نختار ذلك الجزء من الرسم البياني للدالة الذي تزيد فيه الدالة. إذا كانت المشتقة سالبة، حيث تنخفض الدالة. نختار الفاصل الزمني المقابل لهذا الجزء على محور الثور.  وفقًا لسؤال المشكلة، إما أن نعيد حساب عدد الأعداد الصحيحة المضمنة في فترة معينة أو نجد مجموعها.  الإجابات: 3.1) 4؛ 3.2) 8.   3.3 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)، المحددة على الفاصل الزمني (-2؛12). أوجد مجموع النقاط القصوى للدالة f(x). أولًا، ننظر إلى ما هو موجود في الشكل: رسم بياني لدالة أو رسم بياني لمشتقة.  إذا كان هذا رسمًا بيانيًا للمشتقة، فنحن مهتمون فقط بإشارات المشتقة وإحداثيات نقاط التقاطع مع محور الثور.  من أجل الوضوح، يمكنك رسم صورة مألوفة أكثر مع علامات المشتقة على الفترات الناتجة وسلوك الدالة.  أجب عن السؤال الموجود في المشكلة حسب الصورة. (الجواب: 3.3) 44).   3.4 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ ′ y=𝑓 (𝑥) - مشتقة الدالة f(x)، المحددة على الفترة (-7;14). أوجد عدد النقاط القصوى للدالة f(x) ) تنتمي إلى القطعة [-6;9]  3.5 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y=𝑓 ′ (𝑥) - مشتق الدالة f(x)، المحددة في الفترة (-11;11).أبحث عن عدد النقاط القصوى للدالة f(x) التي تنتمي إلى المقطع [-10;10] الحل: نبحث عن نقاط تقاطع الرسم البياني المشتق مع محور الثور، مع إبراز ذلك الجزء من المحور المشار إليه في  نحدد إشارة المشتقة على كل فترة من الفترات الناتجة (إذا كان الرسم البياني للمشتقة أسفل المحور، ثم "-"، إذا كان أعلى، ثم "+").  ستكون النقاط القصوى هي تلك التي يكون فيها تغيرت الإشارة من "+" إلى "-"، الحد الأدنى - من "-" إلى "+". ستكون النقاط القصوى هي تلك وغيرها.  الإجابات: 3.4) 1؛ 3.5) 5.   3.6 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y=𝑓 ′ (𝑥) - مشتق الدالة f(x)، المحددة في الفترة (-8;3). عند أي نقطة من المقطع [-3;2] تأخذ الدالة f(x) القيمة الأكبر.  3.7 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ ′ y=𝑓 (𝑥) - مشتق الدالة f(x)، المحددة في الفترة (-8;4). عند أي نقطة من المقطع [-7;-3] تأخذ الدالة f(x) أصغر قيمة. الحل:    إذا كانت التغييرات المشتقة تشير إلى المقطع قيد النظر، فإن الحل يعتمد على النظرية: إذا كانت دالة مستمرة على مقطع بها نقطة قصوى واحدة وهذه نقطة عظمى (أدنى)، إذن يتم تحقيق أكبر (أصغر) قيمة للدالة في هذا الجزء عند هذه النقطة. إذا كانت الدالة المستمرة على فترة رتيبة، فإنها تصل إلى الحد الأدنى و أعلى القيم على قطعة معينة في نهايتها. الإجابات: 3.6) -3؛ 3.7) -7.  3.8 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x)، المحددة على الفاصل الزمني (-5;5). أوجد عدد النقاط التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالة موازيًا للخط المستقيم y=6 أو مطابقًا له.  3.9 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=f(x) وثماني نقاط على محور الإحداثي المحوري: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , … , 𝑥12 . عند كم من هذه النقاط يكون مشتق f(x) موجبًا؟  4.2 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y=𝑓 ′ (𝑥) - مشتق الدالة f(x)، المحددة في الفترة (-5;7). أوجد فترات تناقص الدالة f(x). في إجابتك، أشر إلى مجموع النقاط الصحيحة المضمنة في هذه الفواصل الزمنية.  4.5 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y=𝑓 ′ (𝑥) - مشتق الدالة f(x)، المحددة في الفترة (-4;8). أوجد النقطة القصوى للدالة f(x) التي تنتمي إلى القطعة [-2;6].  4.6 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y=𝑓 ′ (𝑥) - مشتق الدالة f(x)، المحددة في الفترة (-10;2). أوجد عدد النقاط التي يكون عندها مماس الرسم البياني للدالة f(x) موازيًا للخط المستقيم y=-2x-11 أو مطابقًا له. الحل: ٤.٦ بما أن الشكل يوضح رسمًا بيانيًا للمشتقة، وكان المماس موازيًا لهذا الخط، فإن مشتقة الدالة عند هذه النقطة تساوي -٢. نحن نبحث عن نقاط على الرسم البياني المشتق بإحداثيات تساوي -2 ونحسب عددها. حصلنا على 5.  الإجابات: 3.8) 4؛ 3.9) 5؛ 4.2) 18؛ 4.5) 4؛ 4.6) 5.   4.8 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لـ y=𝑓 ′ (𝑥) - مشتق الدالة f(x). أوجد الإحداثي السيني للنقطة التي يكون عندها مماس الرسم البياني y=f(x) موازيًا لمحور الإحداثي المحوري أو متزامنًا معه. الحل: إذا كان الخط المستقيم يوازي محور الثور فإن ميله صفر.  ميل المماس هو صفر، مما يعني أن المشتقة صفر.  نحن نبحث عن حدود نقطة تقاطع الرسم البياني المشتق مع محور الثور.  نحصل على -3.   4.9 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا للدالة y=𝑓 ′ (x) مشتقة الدالة f(x) وثماني نقاط على محور الإحداثي المحوري: 𝑥1 ,𝑥2 ,𝑥3 , ... , 𝑥8 . عند كم من هذه النقاط تزداد مشتقة الدالة f(x)؟ المعنى الهندسي للتكامل المحدد  5.1 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف y=f(x) (شعاعان لهما نقطة بداية مشتركة). باستخدام الشكل، احسب F(8)-F(2)، حيث F(x) هي إحدى المشتقات العكسية للدالة f(x). الحل:     يتم حساب مساحة شبه المنحرف المنحني من خلال تكامل محدد. يتم حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز كزيادة للمشتق العكسي. في المشكلة 5.1، نحسب مساحة شبه المنحرف باستخدام صيغة الدورة الهندسية المعروفة (ستكون هذه زيادة المشتق العكسي). في المهام 5 2 و5.3 المشتق العكسي معطى بالفعل. من الضروري حساب قيمها في نهايات المقطع وحساب الفرق.  5.2 يوضح الشكل رسمًا بيانيًا لبعض الوظائف y=f(x). الدالة 𝐹 𝑥 = 15 3 2 𝑥 + 30𝑥 + 302𝑥 − هي إحدى المشتقات العكسية الثمانية للدالة f(x). أوجد مساحة الشكل المظلل. الحل:     يتم حساب مساحة شبه المنحرف المنحني من خلال تكامل محدد. يتم حساب التكامل المحدد باستخدام صيغة نيوتن-لايبنيز كزيادة للمشتق العكسي. في المشكلة 5.1، نحسب مساحة شبه المنحرف باستخدام صيغة الدورة الهندسية المعروفة (ستكون هذه زيادة المشتق العكسي). في المسألة 5.2، تم بالفعل إعطاء المشتق العكسي. من الضروري حساب قيمها في نهايات المقطع وحساب الفرق. حظا سعيدا في امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات 