الحل الرسوميالمعادلات

هايداي، 2009

مقدمة

كانت الحاجة إلى حل المعادلات التربيعية في العصور القديمة بسبب الحاجة إلى حل المشكلات المتعلقة بإيجاد المساحات قطع ارضومع أعمال الحفر ذات الطبيعة العسكرية، وكذلك مع تطور علم الفلك والرياضيات نفسها. تمكن البابليون من حل المعادلات التربيعية حوالي عام 2000 قبل الميلاد. وقاعدة حل هذه المعادلات الواردة في النصوص البابلية تتطابق بشكل أساسي مع النصوص الحديثة، لكن من غير المعروف كيف وصل البابليون إلى هذه القاعدة.

تم تحديد صيغ حل المعادلات التربيعية في أوروبا لأول مرة في كتاب العداد، الذي كتبه عالم الرياضيات الإيطالي ليوناردو فيبوناتشي عام 1202. ساهم كتابه في نشر المعرفة الجبرية ليس فقط في إيطاليا، بل أيضًا في ألمانيا وفرنسا ودول أوروبية أخرى.

لكن قاعدة عامةتمت صياغة حلول المعادلات التربيعية لجميع المجموعات الممكنة من المعاملات b و c في أوروبا فقط في عام 1544 بواسطة M. Stiefel.

في عام 1591 فرانسوا فيت قدم الصيغ لحل المعادلات التربيعية.

في بابل القديمة استطاعوا حل بعض أنواع المعادلات التربيعية.

ديوفانتوس الاسكندرية و إقليدس, الخوارزميو عمر الخيامحل المعادلات باستخدام الطرق الهندسية والرسومية.

في الصف السابع درسنا الوظائف ص = ج، ص =kx، ص =kx+ م، ص =س 2,ص = -س 2, في الصف الثامن - ص = √س، ص =|س|, ص =فأس2 + bx+ ج، ص =ك/ س. في كتاب الجبر للصف التاسع، رأيت وظائف لم أكن أعرفها بعد: ص =س 3, ص =س 4,ص =س 2 ن, ص =س- 2 ن, ص = 3√س, (س– أ) 2 + (ذ –ب) 2 = ص 2 وآخرون. هناك قواعد لبناء الرسوم البيانية لهذه الوظائف. تساءلت عما إذا كانت هناك وظائف أخرى تلتزم بهذه القواعد.

وظيفتي هي دراسة الرسوم البيانية الوظيفية وحل المعادلات بيانيا.

1. ما هي الوظائف؟

الرسم البياني للدالة هو مجموعة من جميع النقاط خطة تنسيق، والتي تساوي حروفها قيم الوسائط، والإحداثيات تساوي القيم المقابلة للدالة.

دالة خطيةتعطى بواسطة المعادلة ص =kx+ ب، أين كو ب- بعض الأرقام. الرسم البياني لهذه الوظيفة هو خط مستقيم.

وظيفة التناسب العكسي ص =ك/ س، حيث k ¹ 0. ويسمى الرسم البياني لهذه الوظيفة القطع الزائد.

وظيفة (س– أ) 2 + (ص –ب) 2 = ص2 ، أين أ, بو ص- بعض الأرقام. الرسم البياني لهذه الوظيفة عبارة عن دائرة نصف قطرها r ومركزها عند النقطة A ( أ, ب).

وظيفة من الدرجة الثانية ذ= فأس2 + bx+ جأين أ،ب، مع- بعض الأرقام و أ¹ 0. الرسم البياني لهذه الدالة عبارة عن قطع مكافئ.

المعادلة في2 (أ– س) = س2 (أ+ س) . سيكون الرسم البياني لهذه المعادلة عبارة عن منحنى يسمى الستروويد.

/>المعادلة (س2 + ذ2 ) 2 = أ(س2 – ذ2 ) . الرسم البياني لهذه المعادلة يسمى lemniscate برنولي.

المعادلة. ويسمى الرسم البياني لهذه المعادلة بالنجم.

منحنى (x2 ذ2 – 2 فأس)2 =4a2 (x2 + ص2 ) . ويسمى هذا المنحنى قلبيًا.

المهام: ص =س 3 - القطع المكافئ المكعب، ص =س 4, ص = 1/س 2.

2. مفهوم المعادلة وحلها بيانيا

المعادلة- تعبير يحتوي على متغير.

حل المعادلة- وهذا يعني العثور على جميع جذورها، أو إثبات عدم وجودها.

جذر المعادلةهو رقم ينتج عند استبداله في معادلة مساواة عددية صحيحة.

حل المعادلات بيانيايسمح لك بالعثور على القيمة الدقيقة أو التقريبية للجذور، ويسمح لك بالعثور على عدد جذور المعادلة.

عند إنشاء الرسوم البيانية وحل المعادلات، يتم استخدام خصائص الدالة، ولهذا السبب تسمى الطريقة غالبًا بالرسومية الوظيفية.

لحل المعادلة نقوم "بتقسيمها" إلى جزأين، وإدخال دالتين، وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهما، وإيجاد إحداثيات نقاط تقاطع الرسوم البيانية. حدود هذه النقاط هي جذور المعادلة.

3. خوارزمية لرسم الرسم البياني للدالة

معرفة الرسم البياني للدالة ص =F(س) يمكنك بناء الرسوم البيانية للوظائف ص =F(س+ م) ,ص =F(س)+ لو ص =F(س+ م)+ ل. يتم الحصول على كل هذه الرسوم البيانية من الرسم البياني للوظيفة ص =F(س) باستخدام تحويل الحمل المتوازي: إلى │ م│ وحدات القياس إلى اليمين أو اليسار على طول المحور السيني وما فوق │ ل│ وحدات الحجم لأعلى أو لأسفل على طول المحور ذ.

4. الحل الرسومي للمعادلة التربيعية

باستخدام الدالة التربيعية كمثال، سننظر في الحل الرسومي للمعادلة التربيعية. الرسم البياني للدالة التربيعية هو القطع المكافئ.

ماذا عرف اليونانيون القدماء عن القطع المكافئ؟

حديث رمزية رياضيةنشأت في القرن السادس عشر.

لم يفعل ذلك علماء الرياضيات اليونانيون القدماء طريقة التنسيق، لم يكن هناك مفهوم للوظيفة. ومع ذلك، فقد تمت دراسة خصائص القطع المكافئ بالتفصيل من قبلهم. إن براعة علماء الرياضيات القدماء مدهشة بكل بساطة - ففي النهاية، لم يتمكنوا من استخدام سوى الرسومات و الأوصاف اللفظيةالتبعيات.

استكشف معظم القطع المكافئ والقطع الزائد والقطع الناقص بشكل كامل أبولونيوس من برجاالذي عاش في القرن الثالث قبل الميلاد. لقد أعطى أسماء هذه المنحنيات وأشار إلى الشروط التي تستوفيها النقاط الموجودة على هذا المنحنى أو ذاك (بعد كل شيء، لم تكن هناك صيغ!).

هناك خوارزمية لبناء القطع المكافئ:

أوجد إحداثيات رأس القطع المكافئ A (x0; y0): X=- ب/2 أ;

y0=axo2+in0+s;

أوجد محور تماثل القطع المكافئ (الخط المستقيم x=x0)؛

فاصل صفحة--

نقوم بتجميع جدول القيم لبناء نقاط التحكم؛

نقوم ببناء النقاط الناتجة ونبني نقاطًا متناظرة معها بالنسبة لمحور التماثل.

1. باستخدام الخوارزمية، سوف نقوم ببناء القطع المكافئ ذ= س2 – 2 س– 3 . حدود نقاط التقاطع مع المحور سوهناك جذور للمعادلة التربيعية س2 – 2 س– 3 = 0.

هناك خمس طرق لحل هذه المعادلة بيانيا.

2. دعونا نقسم المعادلة إلى دالتين: ذ= س2 و ذ= 2 س+ 3

3. دعونا نقسم المعادلة إلى دالتين: ذ= س2 –3 و ذ=2 س. جذور المعادلة هي حدود نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط.

4. تحويل المعادلة س2 – 2 س– 3 = 0 عن طريق عزل مربع كامل إلى وظائف: ذ= (س–1) 2 و ذ=4. جذور المعادلة هي حدود نقاط تقاطع القطع المكافئ والخط.

5. اقسم طرفي المعادلة على حدها س2 – 2 س– 3 = 0 على س، نحن نحصل س– 2 – 3/ س= 0 ، دعونا نقسم هذه المعادلة إلى دالتين: ذ= س– 2, ذ= 3/ س. جذور المعادلة هي حدود نقاط تقاطع الخط والقطع الزائد.

5. الحل الرسومي لمعادلات الدرجاتن

مثال 1.حل المعادلة س5 = 3 – 2 س.

ذ= س5 , ذ= 3 – 2 س.

إجابة:س = 1.

مثال 2.حل المعادلة 3 √ س= 10 – س.

الجذور معادلة معينةهي نهاية نقطة تقاطع الرسوم البيانية لوظيفتين: ذ= 3 √ س, ذ= 10 – س.

إجابة:س = 8.

خاتمة

بعد النظر إلى الرسوم البيانية للوظائف: ص =فأس2 + bx+ ج، ص =ك/ س، ص = √س، ص =|س|, ص =س 3, ص =س 4,ص = 3√س, وقد لاحظت أن كل هذه الرسوم البيانية مبنية وفق قاعدة الترجمة المتوازية بالنسبة للمحاور سو ذ.

باستخدام مثال حل المعادلة التربيعية، يمكننا أن نستنتج أن الطريقة الرسومية تنطبق أيضًا على معادلات الدرجة n.

الطرق الرسومية لحل المعادلات جميلة ومفهومة، لكنها لا توفر ضمانًا بنسبة 100% لحل أي معادلة. يمكن أن تكون حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية تقريبية.

في الصف التاسع وفي المدرسة الثانوية، سأستمر في التعرف على الوظائف الأخرى. أنا مهتم بمعرفة ما إذا كانت هذه الوظائف تخضع لقواعد النقل المتوازي عند إنشاء الرسوم البيانية الخاصة بها.

في العام المقبل، أود أيضًا أن أفكر في قضايا حل أنظمة المعادلات والمتباينات بيانيًا.

الأدب

1. الجبر. الصف السابع. الجزء 1. كتاب مدرسي ل المؤسسات التعليمية/ اي جي. موردكوفيتش. م: منيموسين، 2007.

2. الجبر. الصف 8. الجزء 1. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية / أ.ج. موردكوفيتش. م: منيموسين، 2007.

3. الجبر. الصف التاسع. الجزء 1. كتاب مدرسي للمؤسسات التعليمية / أ.ج. موردكوفيتش. م: منيموسين، 2007.

4. جليزر جي. تاريخ الرياضيات في المدرسة. الصفوف السابع إلى الثامن. - م: التربية، 1982.

5. مجلة الرياضيات العدد 5 2009؛ رقم 8 2007؛ رقم 23 2008.

6. مواقع الحلول الرسومية للمعادلات على الإنترنت: Tol VIKI; stimul.biz/ru; wiki.iot.ru/images; berdsk.edu; بيج 3-6.htm.

إحدى الطرق الأكثر ملائمة لحل المتباينات التربيعية هي الطريقة الرسومية. في هذه المقالة سوف ننظر في كيفية حل المتباينات التربيعية بيانيا. أولا، دعونا نناقش ما هو جوهر هذه الطريقة. بعد ذلك، سنقدم الخوارزمية ونفكر في أمثلة لحل المتباينات التربيعية بيانيًا.

التنقل في الصفحة.

جوهر الطريقة الرسومية

على الاطلاق طريقة رسومية لحل عدم المساواةمع متغير واحد، يتم استخدامها ليس فقط لحل المتباينات التربيعية، ولكن أيضًا لحل أنواع أخرى من المتباينات. الجوهر طريقة الرسمحلول لعدم المساواةالتالي: خذ بعين الاعتبار الدالتين y=f(x) وy=g(x) اللتين تتوافقان مع اليسار و الجانب الأيمنعدم المساواة، وبناء الرسوم البيانية الخاصة بهم في نظام إحداثي مستطيل واحد ومعرفة الفواصل الزمنية التي يكون فيها الرسم البياني لأحدهم أقل أو أعلى من الآخر. تلك الفترات حيث

• الرسم البياني للدالة f أعلى الرسم البياني للدالة g عبارة عن حلول للمتباينة f(x)>g(x) ;
• الرسم البياني للدالة f ليس أقل من الرسم البياني للدالة g هي حلول لعدم المساواة f(x)≥g(x) ;
• الرسم البياني لـ f الموجود أسفل الرسم البياني لـ g عبارة عن حلول للمتباينة f(x)
• الرسم البياني للدالة f ليس أعلى من الرسم البياني للدالة g هي حلول للمتباينة f(x)≥g(x) .

سنقول أيضًا أن حدود نقاط تقاطع الرسوم البيانية للدالتين f و g هي حلول للمعادلة f(x)=g(x) .

لننقل هذه النتائج إلى حالتنا - لحل المتباينة التربيعية a x 2 +b x+c<0 (≤, >, ≥).

نقدم دالتين: الأولى y=a x 2 +b x+c (مع f(x)=a x 2 +b x+c) المقابلة للجانب الأيسر من المتباينة التربيعية، والثانية y=0 (مع g ( x)=0 ) يتوافق مع الجانب الأيمن من المتراجحة. جدول وظيفة من الدرجة الثانية f هو القطع المكافئ والرسم البياني وظيفة ثابتةز – خط مستقيم يتطابق مع محور الإحداثي السيني الثور.

بعد ذلك، وفقًا للطريقة الرسومية لحل عدم المساواة، من الضروري تحليل الفواصل الزمنية التي يقع فيها الرسم البياني لوظيفة واحدة أعلى أو أسفل أخرى، مما سيسمح لنا بكتابة الحل المطلوب للمتباينة التربيعية. في حالتنا، نحن بحاجة إلى تحليل موضع القطع المكافئ بالنسبة لمحور الثور.

اعتمادًا على قيم المعاملات a وb وc، تكون الخيارات الستة التالية ممكنة (بالنسبة لاحتياجاتنا، يكون التمثيل التخطيطي كافيًا، ولا نحتاج إلى تصوير محور Oy، نظرًا لأن موضعه لا يؤثر على حلول عدم المساواة):

نرى في هذا الرسم قطعًا مكافئًا، تتجه فروعه إلى الأعلى، ويتقاطع مع محور الثور عند نقطتين، حدودهما x 1 وx 2. يتوافق هذا الرسم مع الخيار عندما يكون المعامل a موجبًا (وهو المسؤول عن الاتجاه الصعودي لفروع القطع المكافئة)، وعندما تكون القيمة موجبة مميز ثلاثي الحدود من الدرجة الثانية a x 2 +b x+c (في هذه الحالة، ثلاثي الحدود له جذرين، وقد أشرنا إليهما بـ x 1 وx 2، وافترضنا أن x 1 0 , د=ب 2 −4·أ·ج=(−1) 2 −4·1·(−6)=25>0, x 1 =−2 , x 2 =3 .

من أجل الوضوح، دعونا نرسم باللون الأحمر أجزاء القطع المكافئ الموجودة فوق المحور السيني، وباللون الأزرق - تلك الموجودة أسفل المحور السيني.


الآن دعونا نكتشف الفواصل الزمنية التي تتوافق مع هذه الأجزاء. سيساعدك الرسم التالي على التعرف عليها (في المستقبل سنقوم بإجراء تحديدات مماثلة على شكل مستطيلات عقليًا):


إذن، على محور الإحداثي السيني تم تحديد فترتين (−∞, x 1) و (x 2 , +∞) باللون الأحمر، حيث يكون القطع المكافئ فوق محور الثور، ويشكلان حلاً للمتباينة التربيعية a x 2 +b x +c>0 ، والفاصل الزمني (x 1 , x 2) مظلل باللون الأزرق، ويوجد قطع مكافئ أسفل محور الثور، وهو يمثل حل المتراجحة a x 2 +b x+c<0 . Решениями нестрогих квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c≥0 и a·x 2 +b·x+c≤0 будут те же промежутки, но в них следует включить числа x 1 и x 2 , отвечающие равенству a·x 2 +b·x+c=0 .

والآن باختصار: من أجل a>0 و D=b 2 −4 a c>0 (أو D"=D/4>0 للمعامل الزوجي b)

• حل المتباينة التربيعية a x 2 +b x+c>0 هو (−∞, x 1)∪(x 2 , +∞) أو ​​بترميز آخر x × 2؛
• حل المتباينة التربيعية a x 2 +b x+c≥0 هو (−∞, x 1 ]∪ أو بترميز آخر x 1 يكسوx 2 ,

حيث x 1 و x 2 هما جذور ثلاثية الحدود a x 2 +b x+c و x 1


نرى هنا قطعًا مكافئًا، تتجه فروعه نحو الأعلى، ويلامس محور الإحداثي السيني، أي أن له نقطة مشتركة واحدة معه، ونشير إلى الإحداثي السيني لهذه النقطة بـ x 0. تتوافق الحالة المعروضة مع a>0 (الفروع الموجهة لأعلى) و D=0 ( ثلاثية الحدود من الدرجة الثانيةله جذر واحد × 0 ). على سبيل المثال، يمكنك أن تأخذ وظيفة من الدرجة الثانية y=x 2 −4·x+4, هنا a=1>0, D=(−4) 2 −4·1·4=0 و x 0 =2.

يوضح الرسم بوضوح أن القطع المكافئ يقع فوق محور الثور في كل مكان باستثناء نقطة الاتصال، أي على الفترات (−∞، x 0)، (x 0، ∞). من أجل الوضوح، دعونا نسلط الضوء على مناطق في الرسم قياسا على الفقرة السابقة.


نستخلص النتائج: لـ a>0 و D=0

• حل المتباينة التربيعية a·x 2 +b·x+c>0 هو (−∞, x 0)∪(x 0, +∞) أو ​​بترميز آخر x≠x 0;
• حل المتباينة التربيعية a·x 2 +b·x+c≥0 هو (−∞, +∞) أو ​​بترميز آخر x∈R ;
• عدم المساواة التربيعيةأ × 2 + ب × + ج<0 не имеет решений (нет интервалов, на которых парабола расположена ниже оси Ox );
• المتباينة التربيعية a x 2 +b x+c≥0 لها حل فريد x=x 0 (يتم تقديمها بواسطة نقطة التماس)،

حيث x 0 هو جذر ثلاثية الحدود a x 2 + b x + c.


في هذه الحالة، يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأعلى، وليس لديها نقاط مشتركة مع محور الإحداثي السيني. هنا لدينا الشروط a>0 (الفروع موجهة للأعلى) وD<0 (квадратный трехчлен не имеет действительных корней). Для примера можно построить график функции y=2·x 2 +1 , здесь a=2>0 , د=0 2 −4·2·1=−8<0 .

من الواضح أن القطع المكافئ يقع فوق محور الثور طوال طوله بالكامل (لا توجد فترات يكون فيها أسفل محور الثور، ولا توجد نقطة تماس).


وبالتالي، بالنسبة إلى >0 وD<0 решением квадратных неравенств a·x 2 +b·x+c>0 و a x 2 +b x+c≥0 هي مجموعة جميع الأعداد الحقيقية، والمتباينات a x 2 +b x+c<0 и a·x 2 +b·x+c≤0 не имеют решений.

ويتبقى ثلاثة خيارات لموقع القطع المكافئ مع توجيه الفروع للأسفل، وليس للأعلى، بالنسبة لمحور الثور. من حيث المبدأ، لا داعي لأخذها في الاعتبار، لأن ضرب طرفي المتراجحة في −1 يسمح لنا بالذهاب إلى متباينة مكافئة بمعامل موجب لـ x 2. ولكن لا يزال من غير المؤلم الحصول على فكرة عن هذه الحالات. المنطق هنا مشابه، لذلك سنكتب النتائج الرئيسية فقط.

خوارزمية الحل

نتيجة جميع الحسابات السابقة هي خوارزمية لحل عدم المساواة التربيعية بيانيا:

يتم عمل رسم تخطيطي على المستوى الإحداثي، والذي يصور محور الثور (ليس من الضروري تصوير محور أوي) ورسم تخطيطي للقطع المكافئ المطابق للدالة التربيعية y=a·x 2 +b·x+c. لرسم رسم تخطيطي للقطع المكافئ، يكفي توضيح نقطتين:

• أولاً، بقيمة المعامل a يتم تحديد اتجاه فروعه (لـ a>0 - لأعلى، لـ a<0 – вниз).
• وثانيًا، بناءً على قيمة مميز ثلاثي الحدود المربع a x 2 + b x + c، يتم تحديد ما إذا كان القطع المكافئ يتقاطع مع محور الإحداثي المحوري عند نقطتين (بالنسبة إلى D>0)، ويلامسه عند نقطة واحدة (بالنسبة إلى D= 0)، أو ليس له نقاط مشتركة مع محور الثور (عند D<0 ). Для удобства на чертеже указываются координаты точек пересечения или координата точки касания (при наличии этих точек), а сами точки изображаются выколотыми при решении строгих неравенств, или обычными при решении нестрогих неравенств.

• عندما يكون الرسم جاهزًا، استخدمه في الخطوة الثانية من الخوارزمية

  • عند حل المتباينة التربيعية a·x 2 +b·x+c>0، يتم تحديد الفواصل الزمنية التي يقع عندها القطع المكافئ فوق الإحداثي الإحداثي؛
  • عند حل المتراجحة a·x 2 +b·x+c≥0، يتم تحديد الفواصل الزمنية التي يقع عندها القطع المكافئ فوق محور الإحداثي المحوري وتضاف حدود نقاط التقاطع (أو حدود نقطة المماس) إلى هم؛
  • عند حل المتراجحة a x 2 +b x+c<0 находятся промежутки, на которых парабола ниже оси Ox ;
  • أخيرًا، عند حل متباينة تربيعية من الشكل a·x 2 +b·x+c≥0، يتم العثور على فترات يكون فيها القطع المكافئ أسفل محور الثور وإحداثي نقاط التقاطع (أو إحداثي نقطة المماس ) مضاف إليهم؛

  فهي تشكل الحل المطلوب للمتباينة التربيعية، وإذا لم تكن هناك مثل هذه الفترات ولا توجد نقاط مماس، فإن المتباينة التربيعية الأصلية ليس لها حلول.

كل ما تبقى هو حل بعض المتباينات التربيعية باستخدام هذه الخوارزمية.

أمثلة مع الحلول

مثال.

حل عدم المساواة .

حل.

نحن بحاجة إلى حل المتباينة التربيعية، فلنستخدم الخوارزمية من الفقرة السابقة. في الخطوة الأولى، علينا رسم التمثيل البياني للدالة التربيعية . معامل x 2 يساوي 2، وهو موجب، وبالتالي فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأعلى. لنكتشف أيضًا ما إذا كان القطع المكافئ له نقاط مشتركة مع المحور السيني؛ وللقيام بذلك، سنحسب مميز ثلاثية الحدود التربيعية . لدينا . تبين أن المميز أكبر من الصفر، وبالتالي فإن ثلاثي الحدود له جذرين حقيقيين: و ، أي x 1 =−3 و x 2 =1/3.

من هذا يتضح أن القطع المكافئ يتقاطع مع محور الثور عند نقطتين مع الإحداثيات −3 و 1/3. سنصور هذه النقاط في الرسم كنقاط عادية، لأننا نحل متباينة غير صارمة. وبناء على البيانات الموضحة نحصل على الرسم التالي (يناسب القالب الأول من الفقرة الأولى من المقال):

دعنا ننتقل إلى الخطوة الثانية من الخوارزمية. نظرًا لأننا نحل متباينة تربيعية غير صارمة مع الإشارة ≥، فنحن بحاجة إلى تحديد الفترات التي يقع فيها القطع المكافئ أسفل الإحداثي الإحداثي وإضافة الإحداثيات الخاصة بنقاط التقاطع إليها.

يتضح من الرسم أن القطع المكافئ يقع أسفل المحور x على الفاصل الزمني (−3، 1/3) ونضيف إليه حدود نقاط التقاطع، أي الرقمين −3 و1/3. ونتيجة لذلك، وصلنا إلى الفاصل العددي [−3, 1/3] . هذا هو الحل الذي نبحث عنه. يمكن كتابتها على أنها متباينة مزدوجة −3≤x≥1/3.

إجابة:

[−3, 1/3] أو −3≤x≥1/3 .

مثال.

أوجد حل المتباينة التربيعية −x 2 +16 x−63<0 .

حل.

كالعادة، نبدأ بالرسم. المعامل العددي لمربع المتغير سالب، −1، وبالتالي فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأسفل. دعونا نحسب المميز، أو الأفضل من ذلك، الجزء الرابع منه: D"=8 2 −(−1)·(−63)=64−63=1. قيمته موجبة، فلنحسب جذور ثلاثية الحدود المربعة: و ، س 1 = 7 و س 2 = 9. إذن القطع المكافئ يتقاطع مع محور الثور عند نقطتين مع الإحداثيات 7 و 9 (المتباينة الأصلية صارمة، لذلك سنصور هذه النقاط بمركز فارغ).الآن يمكننا عمل رسم تخطيطي:

بما أننا نحل متباينة تربيعية صارمة بإشارة<, то нас интересуют промежутки, на которых парабола расположена ниже оси абсцисс:

يوضح الرسم أن حلول المتباينة التربيعية الأصلية هي فترتان (−∞, 7) , (9, +∞) .

إجابة:

(−∞, 7)∪(9, +∞) أو ​​بترميز آخر x<7 , x>9 .

عند حل المتباينات التربيعية، عندما يكون مميز ثلاثية الحدود على الجانب الأيسر صفرًا، عليك توخي الحذر بشأن تضمين أو استبعاد حدود نقطة المماس من الإجابة. وهذا يعتمد على علامة المتباينة: إذا كانت المتباينة صارمة، فهي ليست حلاً للمتباينة، وإذا لم تكن صارمة، فهي كذلك.

مثال.

هل المتباينة التربيعية 10 x 2 −14 x+4.9≥0 لها حل واحد على الأقل؟

حل.

لنرسم الدالة y=10 x 2 −14 x+4.9. يتم توجيه فروعها إلى الأعلى، حيث أن معامل x 2 موجب، ويمس محور الإحداثي السيني عند النقطة مع الإحداثي السيني 0.7، حيث أن D"=(−7) 2 −10 4.9=0، حيث أو 0.7 في النموذج من الكسر العشري. ومن الناحية التخطيطية يبدو كما يلي:

نظرًا لأننا نحل متباينة تربيعية بعلامة ≥، فسيكون حلها هو الفترات التي يكون فيها القطع المكافئ أسفل محور الثور، بالإضافة إلى الإحداثي الإحداثي لنقطة الظل. يتضح من الرسم أنه لا توجد فجوة واحدة حيث يكون القطع المكافئ أسفل محور الثور، وبالتالي فإن حلها سيكون فقط حدود نقطة الظل، أي 0.7.

إجابة:

هذه المتباينة لها حل فريد 0.7.

مثال.

حل المتباينة التربيعية –x 2 +8 x−16<0 .

حل.

نحن نتبع الخوارزمية لحل المتباينات التربيعية ونبدأ بإنشاء رسم بياني. يتم توجيه فروع القطع المكافئ إلى الأسفل، لأن معامل x 2 سالب، −1. دعونا نوجد مميز مربع ثلاثي الحدود –x 2 +8 x−16، الذي لدينا D’=4 2 −(−1)·(−16)=16−16=0ثم x 0 =−4/(−1) , x 0 =4 . لذا فإن القطع المكافئ يمس محور الثور عند نقطة الإحداثي المحوري 4. لنقم بالرسم:

ننظر إلى إشارة المتباينة الأصلية، فهي موجودة<. Согласно алгоритму, решение неравенства в этом случае составляют все промежутки, на которых парабола расположена строго ниже оси абсцисс.

في حالتنا، هذه الأشعة مفتوحة (−∞, 4) , (4, +∞) . بشكل منفصل، نلاحظ أن 4 - حدود نقطة الاتصال - ليس حلا، لأنه عند نقطة الاتصال القطع المكافئ ليس أقل من محور الثور.

إجابة:

(−∞, 4)∪(4, +∞) أو ​​بترميز آخر x≠4 .

انتبه بشكل خاص إلى الحالات التي يكون فيها مميز ثلاثية الحدود التربيعية على الجانب الأيسر من المتباينة التربيعية أقل من الصفر. ليست هناك حاجة للتسرع هنا والقول إن المتباينة ليس لها حلول (لقد اعتدنا على التوصل إلى مثل هذا الاستنتاج للمعادلات التربيعية ذات المميز السلبي). النقطة المهمة هي أن عدم المساواة التربيعية لـ D<0 может иметь решение, которым является множество всех действительных чисел.

مثال.

أوجد حل المتباينة التربيعية 3 x 2 +1>0.

حل.

كالعادة، نبدأ بالرسم. المعامل a هو 3، وهو موجب، وبالتالي فإن فروع القطع المكافئ موجهة نحو الأعلى. نحسب المميز: D=0 2 −4·3·1=−12 . وبما أن المميز سالب، فإن القطع المكافئ ليس له نقاط مشتركة مع محور الثور. المعلومات التي تم الحصول عليها كافية للرسم البياني التخطيطي:

لقد قمنا بحل متباينة تربيعية صارمة بعلامة >. سيكون حلها هو جميع الفترات التي يكون فيها القطع المكافئ فوق محور الثور. في حالتنا، القطع المكافئ يقع فوق المحور السيني على طوله بالكامل، وبالتالي فإن الحل المطلوب سيكون مجموعة جميع الأعداد الحقيقية.

Ox ، وتحتاج أيضًا إلى إضافة حدود نقاط التقاطع أو حدود التماس إليها. لكن من الرسم يتضح بوضوح أنه لا توجد مثل هذه الفواصل (نظرًا لأن القطع المكافئ موجود في كل مكان أسفل محور الإحداثي السيني)، تمامًا كما لا توجد نقاط تقاطع، تمامًا كما لا توجد نقاط تماس. ومن ثم، فإن المتباينة التربيعية الأصلية ليس لها حلول.

إجابة:

لا توجد حلول أو في إدخال آخر ∅.

فهرس.

• الجبر:كتاب مدرسي للصف الثامن. تعليم عام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2008. - 271 ص. : سوف. - ردمك 978-5-09-019243-9.
• الجبر:الصف التاسع: تعليمي. للتعليم العام المؤسسات / [يو. N. Makarychev، N. G. Mindyuk، K. I. Neshkov، S. B. Suvorova]؛ حررت بواسطة إس إيه تيلياكوفسكي. - الطبعة السادسة عشرة. - م: التربية، 2009. - 271 ص. : سوف. -ردمك 978-5-09-021134-5.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف 8. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / أ.ج.موردكوفيتش. - الطبعة الحادية عشرة، محذوفة. - م: منيموسين، 2009. - 215 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01155-2.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر. الصف التاسع. في جزأين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة 13، محذوفة. - م: منيموسين، 2011. - 222 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01752-3.
• موردكوفيتش أ.ج.الجبر وبداية التحليل الرياضي. الصف 11. في ساعتين الجزء 1. كتاب مدرسي لطلاب مؤسسات التعليم العام (مستوى الملف الشخصي) / A. G. Mordkovich، P. V. Semenov. - الطبعة الثانية، محذوفة. - م: منيموسين، 2008. - 287 ص: مريض. ردمك 978-5-346-01027-2.

لوس أنجلوس كوستوفا

مدرس رياضيات

فورونيج، MBOU صالة حفلات رقم 5

مشروع

"مزايا الطريقة الرسومية لحل المعادلات والمتباينات."

فصل:

7-11

غرض:

الرياضيات

أهداف البحث:

لمعرفة ذلكمزايا الطريقة الرسومية لحل المعادلات والمتباينات.

فرضية:

بعض المعادلات والمتباينات تكون أسهل وأكثر جمالية في حلها بيانياً.

مراحل البحث:

قارن بين طرق الحل التحليلية والرسوميةالمعادلات والمتباينات.

تعرف على الحالات التي تتمتع فيها الطريقة الرسومية بمزايا.

فكر في حل المعادلات ذات المعامل والمعلمات.

نتائج البحث:

1. جمال الرياضيات مشكلة فلسفية.

2. عند حل بعض المعادلات والمتباينات حل بيانيالأكثر عملية وجذابة.

3. يمكنك تطبيق جاذبية الرياضيات في المدرسة باستخدام حل رسوميالمعادلات والمتباينات.

"لقد حظيت العلوم الرياضية باهتمام خاص منذ القدم،

وفي الوقت الحالي، فقد تلقوا اهتمامًا أكبر بتأثيرهم على الفن والصناعة.

بافنوتي لفوفيتش تشيبيشيف.

بدءًا من الصف السابع، يتم النظر في طرق مختلفة لحل المعادلات والمتباينات، بما في ذلك الأساليب الرسومية. أعتقد أن أولئك الذين يعتقدون أن الرياضيات علم جاف يغيرون آراءهم عندما يرون مدى جمال حل بعض الأنواعالمعادلات والمتباينات. دعني أعطيك بعض الأمثلة:

1).حل المعادلة: = .

يمكنك حلها تحليليا، أي رفع طرفي المعادلة إلى القوة الثالثة وهكذا.

تعتبر الطريقة الرسومية مناسبة لهذه المعادلة إذا كنت تحتاج ببساطة إلى الإشارة إلى عدد الحلول.

غالبًا ما تتم مواجهة مهام مماثلة عند حل كتلة "الهندسة" للصف التاسع OGE.

2).حل المعادلة مع المعلمة:

││ س│- 4│= أ

ليس المثال الأكثر تعقيدًا، ولكن إذا قمت بحله تحليليًا، فسيتعين عليك فتح أقواس الوحدة مرتين، ولكل حالة ضع في اعتبارك القيم المحتملة للمعلمة. بيانيا، كل شيء بسيط جدا. نرسم الرسوم البيانية الوظيفية ونرى أن:

مصادر:

برنامج الحاسبالرسم البياني المتقدم .

راجع أيضًا حل مشكلة البرمجة الخطية بيانيًا، الشكل القانوني لمشاكل البرمجة الخطية

يتكون نظام القيود لمثل هذه المشكلة من عدم المساواة في متغيرين:
والوظيفة الموضوعية لها الشكل F = ج 1 س + ج 2 ذالذي يحتاج إلى تعظيمه.

دعنا نجيب على السؤال: ما هي أزواج الأرقام ( س; ذ) هل حلول نظام المتباينات، أي تحقق كل من المتباينات في وقت واحد؟ وبعبارة أخرى، ماذا يعني حل النظام بيانيا؟
أولا عليك أن تفهم ما هو الحل لأحد عدم المساواة الخطيةمع اثنين من المجهولين.
حل متباينة خطية ذات مجهولين يعني تحديد جميع أزواج القيم المجهولة التي تنطبق عليها المتباينة.
على سبيل المثال، عدم المساواة 3 س – 5ذ≥ 42 زوجًا مرضيًا ( س , ذ) : (100، 2)؛ (3، -10)، وما إلى ذلك. والمهمة هي العثور على كل هذه الأزواج.
دعونا نفكر في متباينتين: فأس + بواسطة≤ ج, فأس + بواسطة≥ ج. مستقيم فأس + بواسطة = جيقسم المستوى إلى نصفين مستويين بحيث تحقق إحداثيات نقاط أحدهما المتراجحة فأس + بواسطة >ج، وغير ذلك من عدم المساواة فأس + +بواسطة <ج.
في الواقع، دعونا نأخذ نقطة مع الإحداثيات س = س 0 ; ثم نقطة ملقاة على الخط ولها الإحداثي السيني س 0، لديه الإحداثي

دع اليقين أ& لتر 0، ب>0, ج>0. جميع النقاط مع الإحداثيات س 0 الكذب أعلاه ص(على سبيل المثال، نقطة م)، يملك ي م>ذ 0 وجميع النقاط تحت النقطة ص، مع الإحداثي السيني س 0، لديك ذ ن<ذ 0 . بسبب ال س 0 هي نقطة تعسفية، فستكون هناك دائمًا نقاط على أحد جانبي الخط فأس+ بواسطة > ج، وتشكيل نصف الطائرة، وعلى الجانب الآخر - النقاط التي فأس + بواسطة< ج.

الصورة 1

تعتمد علامة عدم المساواة في نصف المستوى على الأرقام أ, ب , ج.
يتضمن هذا الطريقة التالية لحل أنظمة المتباينات الخطية بيانياً في متغيرين. لحل النظام تحتاج:

1. لكل متباينة، اكتب المعادلة المقابلة لهذه المتباينة.
2. أنشئ خطوطًا مستقيمة عبارة عن رسوم بيانية للدوال المحددة بالمعادلات.
3. في كل سطر، حدد نصف المستوى المعطى من المتباينة. للقيام بذلك، خذ نقطة عشوائية لا تقع على خط مستقيم واستبدل إحداثياتها في المتراجحة. إذا كانت المتراجحة صحيحة، فإن نصف المستوى الذي يحتوي على النقطة المختارة هو الحل للمتراجحة الأصلية. إذا كانت المتباينة خاطئة، فإن نصف المستوى الموجود على الجانب الآخر من الخط هو مجموعة حلول هذه المتباينة.
4. لحل نظام من المتباينات، من الضروري إيجاد مساحة تقاطع جميع أنصاف المستويات التي تمثل الحل لكل متباينة في النظام.

قد يتبين أن هذه المنطقة فارغة، وبالتالي فإن نظام المتباينات ليس له حلول وهو غير متسق. وبخلاف ذلك، يقال إن النظام متسق.
قد تكون هناك حلول الرقم النهائيو مجموعة لا نهائية. يمكن أن تكون المنطقة مضلعًا مغلقًا أو غير محدود.

دعونا نلقي نظرة على ثلاثة أمثلة ذات صلة.

مثال 1. حل النظام بيانيا:
س + ذ – 1 ≤ 0;
–2س - 2ذ + 5 ≤ 0.

• خذ بعين الاعتبار المعادلتين x+y–1=0 و –2x–2y+5=0 الموافقتين للمتباينات؛
• دعونا نبني خطوطًا مستقيمة تعطيها هذه المعادلات.

الشكل 2

دعونا نحدد أنصاف المستويات التي تحددها المتباينات. لنأخذ نقطة اعتباطية، دعونا (0؛ 0). دعونا نفكر س+ ذ- 1 0، استبدل النقطة (0; 0): 0 + 0 – 1 ≥ 0. وهذا يعني أنه في نصف المستوى الذي تقع فيه النقطة (0; 0)، س + ذ – 1 ≥ 0، أي. نصف المستوى الواقع أسفل الخط هو حل للمتباينة الأولى. باستبدال هذه النقطة (0; 0) في الثانية نحصل على: –2 ∙ 0 – 2 ∙ 0 + 5 ≥ 0، أي. في نصف المستوى حيث تقع النقطة (0; 0)، -2 س – 2ذ+ 5≥ 0، وسُئلنا أين -2 س – 2ذ+ 5 ≥ 0، لذلك في النصف الآخر من المستوى - في النصف الموجود فوق الخط المستقيم.
دعونا نجد تقاطع هذين المستويين النصفيين. الخطوط متوازية، وبالتالي لا تتقاطع المستويات في أي مكان، مما يعني أن نظام هذه المتباينات ليس له حلول وغير متسق.

مثال 2. ابحث عن حلول بيانية لنظام عدم المساواة:

الشكل 3
1. دعونا نكتب المعادلات المقابلة للمتباينات وننشئ خطوطًا مستقيمة.
س + 2ذ– 2 = 0

س	2	0
ذ	0	1

ذ – س – 1 = 0

س	0	2
ذ	1	3

ذ + 2 = 0;
ذ = –2.
2. بعد اختيار النقطة (0؛ 0)، نحدد علامات عدم المساواة في أنصاف المستويات:
0 + 2 ∙ 0 – 2 ≥ 0، أي. س + 2ذ- 2 ≥ 0 في نصف المستوى أسفل الخط المستقيم؛
0 – 0 – 1 ≥ 0، أي ذ –س- 1 ≥ 0 في نصف المستوى أسفل الخط المستقيم؛
0 + 2 =2 ≥ 0، أي. ذ+ 2 ≥ 0 في نصف المستوى فوق الخط المستقيم.
3. سيكون تقاطع هذه المستويات الثلاثة عبارة عن منطقة مثلث. ليس من الصعب العثور على رؤوس المنطقة كنقاط تقاطع للخطوط المقابلة


هكذا، أ(–3; –2), في(0; 1), مع(6; –2).

لنفكر في مثال آخر لا يقتصر فيه مجال الحل الناتج للنظام.

يمكن حل العديد من المهام التي اعتدنا حسابها جبريًا بحتًا بشكل أسهل وأسرع، وسيساعدنا استخدام الرسوم البيانية الوظيفية في ذلك. أنت تقول "كيف ذلك؟" رسم شيء، وماذا رسم؟ صدقوني، في بعض الأحيان يكون الأمر أكثر ملاءمة وأسهل. هل نبدأ؟ لنبدأ بالمعادلات!

الحل الرسومي للمعادلات

الحل الرسومي للمعادلات الخطية

كما تعلمون، الرسم البياني للمعادلة الخطية هو خط مستقيم، ومن هنا جاء اسم هذا النوع. من السهل جدًا حل المعادلات الخطية جبريًا، حيث ننقل جميع المجهولات إلى أحد طرفي المعادلة، وكل ما نعرفه إلى الجانب الآخر، وفويلا! لقد وجدنا الجذر. الآن سأوضح لك كيفية القيام بذلك بيانيا.

إذن لديك المعادلة:

كيف حلها؟
الخيار 1والأكثر شيوعاً هو نقل المجهول إلى جهة والمعلوم إلى جهة أخرى فنحصل على:

الآن دعونا نبني. على ماذا حصلت؟

ما رأيك هو جذر المعادلة لدينا؟ هذا صحيح، إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية هي:

إجابتنا هي

هذه هي الحكمة الكاملة للحل الرسومي. كما يمكنك التحقق بسهولة، جذر المعادلة لدينا هو رقم!

كما قلت أعلاه، هذا هو الخيار الأكثر شيوعا، على مقربة من الحل الجبري، ولكن يمكنك حلها بشكل مختلف. للنظر في حل بديل، دعونا نعود إلى معادلتنا:

هذه المرة لن نحرك أي شيء من جانب إلى آخر، ولكننا سنبني الرسوم البيانية مباشرة، كما هي الآن:

مبني؟ دعنا نرى!

ما هو الحل هذه المرة؟ صحيح. نفس الشيء - إحداثيات نقطة تقاطع الرسوم البيانية:

ومرة أخرى، إجابتنا هي.

كما ترون، مع المعادلات الخطيةكل شيء بسيط للغاية. حان الوقت للنظر إلى شيء أكثر تعقيدًا... على سبيل المثال، الحل الرسومي للمعادلات التربيعية.

الحل الرسومي للمعادلات التربيعية

فلنبدأ الآن في حل المعادلة التربيعية. لنفترض أنك بحاجة إلى إيجاد جذور هذه المعادلة:

بالطبع، يمكنك الآن البدء في العد من خلال المميز، أو وفقًا لنظرية فيتا، لكن الكثير من الناس، بسبب عصبيتهم، يرتكبون أخطاء عند الضرب أو التربيع، خاصة إذا كان المثال مع أعداد كبيرةوكما تعلم لن يكون لديك آلة حاسبة للامتحان... لذلك دعونا نحاول الاسترخاء قليلاً والرسم أثناء حل هذه المعادلة.

يمكن إيجاد حلول هذه المعادلة بيانياً بطرق مختلفة. دعونا نفكر خيارات مختلفة، ويمكنك اختيار أي منها تفضله.

الطريقة 1. مباشرة

نحن ببساطة نبني قطعًا مكافئًا باستخدام هذه المعادلة:

للقيام بذلك بسرعة، سأعطيك تلميحًا صغيرًا: من الملائم البدء في البناء من خلال تحديد قمة القطع المكافئ.سوف تساعد الصيغ التالية في تحديد إحداثيات قمة القطع المكافئ:

سوف تقول "توقف! إن صيغة "ل" تشبه إلى حد كبير صيغة إيجاد المميز، "نعم، إنها كذلك، وهذا عيب كبير في بناء القطع المكافئ "مباشرة" للعثور على جذوره. ومع ذلك، فلنعد حتى النهاية، وبعد ذلك سأوضح لك كيفية القيام بذلك بشكل أسهل (كثيرًا!)!

هل حسبت؟ ما الإحداثيات التي حصلت عليها لرأس القطع المكافئ؟ دعونا نكتشف ذلك معًا:

نفس الجواب بالضبط؟ أحسنت! والآن نحن نعرف بالفعل إحداثيات الرأس، ولكن لبناء القطع المكافئ نحتاج إلى المزيد من... النقاط. كم عدد النقاط الدنيا التي تعتقد أننا بحاجة إليها؟ يمين، .

أنت تعلم أن القطع المكافئ متماثل حول رأسه، على سبيل المثال:

وبناء على ذلك، نحتاج إلى نقطتين إضافيتين على الفرع الأيسر أو الأيمن من القطع المكافئ، وفي المستقبل سوف نعكس هذه النقاط بشكل متماثل على الجانب الآخر:

دعونا نعود إلى القطع المكافئ لدينا. بالنسبة لحالتنا، الفترة. هل نحتاج إلى نقطتين إضافيتين، حتى نتمكن من أخذ النقاط الإيجابية، أو يمكننا أخذ النقاط السلبية؟ ما هي النقاط الأكثر ملاءمة لك؟ أنا أكثر ملاءمة للعمل مع الإيجابية، لذلك سأحسب في و.

الآن لدينا ثلاث نقاط، يمكننا بسهولة بناء القطع المكافئ من خلال عكس النقطتين الأخيرتين بالنسبة لرأسه:

ما هو في نظرك حل المعادلة؟ هذا صحيح، النقاط التي، وهذا هو، و. لأن.

وإذا قلنا ذلك، فهذا يعني أنه يجب أن يكون متساويًا أيضًا، أو.

فقط؟ لقد انتهينا من حل المعادلة معك بطريقة بيانية معقدة، وإلا سيكون هناك المزيد!

بالطبع، يمكنك التحقق من إجابتنا جبريًا - يمكنك حساب الجذور باستخدام نظرية فييتا أو التمييز. على ماذا حصلت؟ نفس الشيء؟ هنا ترى! الآن دعونا نلقي نظرة على حل رسومي بسيط جدًا، أنا متأكد من أنه سيعجبك حقًا!

الطريقة الثانية. مقسمة إلى عدة وظائف

لنأخذ نفس المعادلة: ولكن سنكتبها بشكل مختلف قليلاً، وهي:

هل يمكننا كتابتها هكذا؟ نستطيع ذلك، لأن التحويل متساوي. دعونا ننظر أبعد من ذلك.

دعونا نبني وظيفتين بشكل منفصل:

1. - الرسم البياني عبارة عن قطع مكافئ بسيط، يمكنك إنشاؤه بسهولة حتى بدون تحديد الرأس باستخدام الصيغ ورسم جدول لتحديد النقاط الأخرى.
2. - الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم، يمكنك إنشاؤه بسهولة عن طريق تقدير القيم في رأسك دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة.

مبني؟ دعونا نقارن مع ما حصلت عليه:

في رأيك، ما هي جذور المعادلة في هذه الحالة؟ يمين! الإحداثيات التي يتم الحصول عليها عن طريق تقاطع رسمين بيانيين وهي:

وعليه فإن حل هذه المعادلة هو:

ماذا تقول؟ موافق، طريقة الحل هذه أسهل بكثير من الطريقة السابقة وحتى أسهل من البحث عن الجذور من خلال المميز! إذا كان الأمر كذلك، حاول حل المعادلة التالية باستخدام هذه الطريقة:

على ماذا حصلت؟ دعونا نقارن الرسوم البيانية لدينا:

توضح الرسوم البيانية أن الإجابات هي:

هل تستطيع فعلها؟ أحسنت! الآن دعونا نلقي نظرة على المعادلات الأكثر تعقيدًا بعض الشيء، وهي حل المعادلات المختلطة، أي المعادلات التي تحتوي على وظائف من أنواع مختلفة.

الحل الرسومي للمعادلات المختلطة

الآن دعونا نحاول حل ما يلي:

وبطبيعة الحال، يمكننا أن نحضر كل شيء إلى القاسم المشترك، ابحث عن جذور المعادلة الناتجة، دون أن ننسى أن نأخذ في الاعتبار ODZ، ولكن مرة أخرى، سنحاول حلها بيانيًا، كما فعلنا في جميع الحالات السابقة.

هذه المرة لنقم ببناء الرسمين البيانيين التاليين:

1. - الرسم البياني هو القطع الزائد
2. - الرسم البياني عبارة عن خط مستقيم، يمكنك إنشاءه بسهولة عن طريق تقدير القيم في رأسك دون اللجوء إلى الآلة الحاسبة.

أدركت ذلك؟ الآن ابدأ البناء.

وهنا ما حصلت عليه:

بالنظر إلى هذه الصورة، أخبرني ما هي جذور المعادلة لدينا؟

هذا صحيح، و. وهنا التأكيد:

حاول التعويض بجذورنا في المعادلة. حدث؟

صحيح! موافق، من دواعي سروري حل مثل هذه المعادلات بيانياً!

حاول حل المعادلة بيانياً بنفسك:

سأعطيك تلميحًا: انقل جزءًا من المعادلة إلى الجانب الأيمن بحيث تكون أبسط الدوال التي يمكن إنشاؤها في كلا الجانبين. هل حصلت على التلميح؟ أبدي فعل!

الآن دعونا نرى ما حصلت عليه:

على التوالى:

1. - القطع المكافئ المكعب.
2. - خط مستقيم عادي.

حسنًا ، دعنا نبني:

كما كتبت منذ فترة طويلة، جذر هذه المعادلة هو - .

وقد قررت هذا عدد كبير منأمثلة، أنا متأكد من أنك أدركت مدى سهولة وسرعة حل المعادلات بيانياً. حان الوقت لمعرفة كيفية حل الأنظمة بهذه الطريقة.

الحل الرسومي للأنظمة

لا تختلف أنظمة الحل بيانياً بشكل أساسي عن حل المعادلات بيانياً. سنقوم أيضًا ببناء رسمين بيانيين، وستكون نقاط تقاطعهما هي جذور هذا النظام. رسم بياني واحد عبارة عن معادلة واحدة، والرسم البياني الثاني عبارة عن معادلة أخرى. كل شيء بسيط للغاية!

لنبدأ بأبسط شيء - حل أنظمة المعادلات الخطية.

حل أنظمة المعادلات الخطية

لنفترض أن لدينا النظام التالي:

أولاً، قم بتحويله بحيث يكون على اليسار كل ما يرتبط به، وعلى اليمين - كل ما يرتبط به. بمعنى آخر، دعونا نكتب هذه المعادلات كدالة بصورتنا المعتادة:

الآن نحن فقط نبني خطين مستقيمين. ما هو الحل في حالتنا؟ يمين! نقطة التقاطع بينهما! وهنا عليك أن تكون حذرًا جدًا! فكر في الأمر، لماذا؟ اسمحوا لي أن أقدم لكم تلميحًا: نحن نتعامل مع نظام: يوجد في النظام كليهما، و... هل فهمت التلميح؟

صحيح! عند حل نظام ما، يجب أن ننظر إلى الإحداثيتين، وليس فقط كما هو الحال عند حل المعادلات! نقطة أخرى مهمة هي كتابتها بشكل صحيح وعدم الخلط بين أين لدينا المعنى وأين المعنى! هل كتبتها؟ الآن دعونا نقارن كل شيء بالترتيب:

والأجوبة: و. قم بإجراء فحص - استبدل الجذور الموجودة في النظام وتأكد مما إذا كنا قد حللناها بشكل صحيح بيانياً؟

حل أنظمة المعادلات غير الخطية

ماذا لو كان لدينا بدلاً من خط مستقيم واحد معادلة من الدرجة الثانية؟ لا بأس! أنت فقط تبني قطعًا مكافئًا بدلًا من الخط المستقيم! لا تصدق؟ حاول حل النظام التالي:

ما هي خطوتنا التالية؟ هذا صحيح، قم بتدوينه بحيث يكون من المناسب لنا إنشاء الرسوم البيانية:

والآن أصبح الأمر كله مسألة أشياء صغيرة - قم ببنائها بسرعة وإليك الحل! نحن نبني:

هل أصبحت الرسوم البيانية هي نفسها؟ الآن حدد حلول النظام في الشكل واكتب الإجابات المحددة بشكل صحيح!

لقد فعلت كل شيء؟ قارن مع ملاحظاتي:

هل كل شيء على ما يرام؟ أحسنت! أنت تقوم بالفعل بإنجاز هذه الأنواع من المهام مثل المكسرات! إذا كان الأمر كذلك، فلنقدم لك نظامًا أكثر تعقيدًا:

ماذا نفعل؟ يمين! نكتب النظام بحيث يكون مناسبًا للبناء:

سأعطيك تلميحًا بسيطًا، نظرًا لأن النظام يبدو معقدًا للغاية! عند إنشاء الرسوم البيانية، قم ببناءها "أكثر"، والأهم من ذلك، لا تتفاجأ بعدد نقاط التقاطع.

إذا هيا بنا! الزفير؟ الآن ابدأ البناء!

إذا كيف؟ جميل؟ كم عدد نقاط التقاطع التي حصلت عليها؟ لدي ثلاثة! دعونا نقارن الرسوم البيانية لدينا:

أيضًا؟ الآن اكتب بعناية جميع حلول نظامنا:

انظر الآن إلى النظام مرة أخرى:

هل يمكنك أن تتخيل أنك حللت هذه المشكلة في 15 دقيقة فقط؟ أوافق، الرياضيات لا تزال بسيطة، خاصة عند النظر إلى تعبير لا تخشى ارتكاب خطأ، ولكن فقط خذه وحله! أنت فتى كبير!

الحل الرسومي لعدم المساواة

الحل الرسومي للمتباينات الخطية

بعد المثال الأخير، يمكنك أن تفعل أي شيء! الآن قم بالزفير - مقارنة بالأقسام السابقة، سيكون هذا القسم سهلاً للغاية!

سنبدأ، كالعادة، بحل بياني للمتباينة الخطية. على سبيل المثال، هذا:

أولاً، لننفذ أبسط التحولات - افتح الأقواس مربعات كاملةوإعطاء مصطلحات مماثلة:

المتباينة ليست صارمة، وبالتالي فهي غير متضمنة في الفترة، وسيكون الحل هو جميع النقاط التي على اليمين، حيث أن المزيد والمزيد وهكذا:

إجابة:

هذا كل شئ! بسهولة؟ دعونا نحل متباينة بسيطة ذات متغيرين:

لنرسم دالة في نظام الإحداثيات.

هل حصلت على مثل هذا الجدول الزمني؟ والآن دعونا ننظر بعناية إلى ما هي المتباينة الموجودة لدينا؟ أقل؟ هذا يعني أننا نرسم فوق كل ما يقع على يسار خطنا المستقيم. ماذا لو كان هناك المزيد؟ هذا صحيح، ثم سنرسم على كل ما هو على يمين خطنا المستقيم. انه سهل.

جميع الحلول لهذا التفاوت "مظللة" البرتقالي. هذا كل شيء، تم حل عدم المساواة مع متغيرين. وهذا يعني أن إحداثيات أي نقطة من المنطقة المظللة هي الحلول.

الحل الرسومي للمتباينات التربيعية

الآن سوف نفهم كيفية حل المتباينات التربيعية بيانيًا.

لكن قبل أن نبدأ العمل، دعونا نراجع بعض المواد المتعلقة بالدالة التربيعية.

ما هو المسؤول عن التمييز؟ هذا صحيح، بالنسبة لموضع الرسم البياني بالنسبة للمحور (إذا كنت لا تتذكر ذلك، فاقرأ بالتأكيد النظرية المتعلقة بالدوال التربيعية).

على أية حال، إليك تذكير صغير لك:

الآن بعد أن قمنا بتحديث جميع المواد الموجودة في ذاكرتنا، فلنبدأ العمل - حل المتراجحة بيانيًا.

سأخبرك على الفور أن هناك خيارين لحلها.

الخيار 1

نكتب القطع المكافئ لدينا كدالة:

باستخدام الصيغ، نحدد إحداثيات قمة القطع المكافئ (تمامًا كما هو الحال عند حل المعادلات التربيعية):

هل حسبت؟ على ماذا حصلت؟

الآن لنأخذ نقطتين مختلفتين ونحسبهما:

لنبدأ ببناء فرع واحد من القطع المكافئ:

نحن نعكس نقاطنا بشكل متماثل على فرع آخر من القطع المكافئ:

الآن دعونا نعود إلى عدم المساواة لدينا.

نحن بحاجة إلى أن تكون أقل من الصفر، على التوالي:

نظرًا لأن العلامة في متباينتنا أقل تمامًا من، فإننا نستبعد نقاط النهاية - "الثقب".

إجابة:

طريق طويل، أليس كذلك؟ سأعرض لك الآن نسخة أبسط من الحل الرسومي باستخدام مثال نفس المتباينة:

الخيار 2

نعود إلى متباينتنا ونحدد الفترات التي نحتاجها:

أوافق، إنه أسرع بكثير.

والآن دعونا نكتب الجواب:

دعونا نفكر في حل آخر يبسط الجزء الجبري، ولكن الشيء الرئيسي هو عدم الخلط.

اضرب الجانبين الأيسر والأيمن بـ:

حاول حل المتباينة التربيعية التالية بنفسك بأي طريقة تريدها: .

هل تستطيع فعلها؟

انظر كيف ظهر الرسم البياني الخاص بي:

إجابة: .

الحل الرسومي للمتباينات المختلطة

الآن دعنا ننتقل إلى عدم المساواة الأكثر تعقيدًا!

كيف تحب هذا:

إنه أمر مخيف، أليس كذلك؟ بصراحة، ليس لدي أي فكرة عن كيفية حل هذه المشكلة جبريًا... لكن هذا ليس ضروريًا. بيانيا لا يوجد شيء معقد في هذا! العيون تخاف ولكن الأيدي تفعل!

أول شيء سنبدأ به هو إنشاء رسمين بيانيين:

لن أكتب جدولًا لكل منها - أنا متأكد من أنه يمكنك القيام بذلك بشكل مثالي بنفسك (رائع، هناك الكثير من الأمثلة التي يمكنك حلها!).

هل رسمتها؟ الآن قم ببناء رسمين بيانيين.

دعونا نقارن رسوماتنا؟

هل هو نفس الشيء معك؟ عظيم! والآن دعونا نرتب نقاط التقاطع ونستخدم الألوان لتحديد الرسم البياني الذي يجب أن يكون أكبر حجمًا من الناحية النظرية. انظروا ماذا حدث في النهاية:

الآن دعونا نلقي نظرة على المكان الذي يكون فيه الرسم البياني الذي اخترناه أعلى من الرسم البياني؟ لا تتردد في أخذ قلم رصاص والطلاء عليه هذه المنطقة! ستكون الحل لعدم المساواة المعقدة لدينا!

في أي فترات على طول المحور يقع موقعنا أعلى منه؟ يمين، . هذا هو الجواب!

حسنا، الآن يمكنك التعامل مع أي معادلة، أي نظام، وحتى أكثر من ذلك أي عدم المساواة!

باختصار عن الأشياء الرئيسية

خوارزمية حل المعادلات باستخدام الرسوم البيانية الوظيفية:

1. دعونا نعبر عن ذلك من خلال
2. دعونا نحدد نوع الوظيفة
3. دعونا نبني الرسوم البيانية للوظائف الناتجة
4. دعونا نجد نقاط تقاطع الرسوم البيانية
5. لنكتب الإجابة بشكل صحيح (مع مراعاة علامات ODZ وعدم المساواة)
6. دعونا نتحقق من الإجابة (نعوض بالجذور في المعادلة أو النظام)

لمزيد من المعلومات حول إنشاء الرسوم البيانية الوظيفية، راجع الموضوع "".

المقالات 2/3 المتبقية متاحة فقط للطلاب الأذكياء!

كن طالبًا في YouClever،

الاستعداد لامتحان الدولة الموحدة أو امتحان الدولة الموحدة في الرياضيات بسعر "فنجان قهوة شهريًا"،

واحصل أيضًا على وصول غير محدود إلى الكتاب المدرسي "YouClever"، وبرنامج الإعداد (المصنف) "100gia"، غير محدود محاكمة امتحان الدولة الموحدةو OGE و 6000 مشكلة مع تحليل الحلول والخدمات الأخرى YouClever و 100gia.