في بعض الأحيان، في المعادلات، لا يتم إعطاء بعض المعاملات بقيم عددية محددة، ولكن يتم الإشارة إليها بالحروف.

مثال: الفأس+ب=ج.

في هذه المعادلة X- مجهول، أ، ب، ج– المعاملات التي يمكن أن تتخذ مختلفة القيم الرقمية. تسمى المعاملات المحددة بهذه الطريقة حدود.

معادلة واحدة ذات معلمات تحدد العديد من المعادلات (لجميع قيم المعلمات الممكنة).

مثال: -5 X+10=– 1;

س+4ص= 0;

–102–1000ص=; إلخ.

هذه هي جميع المعادلات التي تحددها المعادلة مع المعلمات الفأس+ب=ج.

حل معادلة ذات معلمات يعني:

1. وضح ما هي قيم المعلمات التي تحتوي على جذور المعادلة وعددها معان مختلفةحدود.

2. ابحث عن جميع تعبيرات الجذور وحدد لكل منها قيم المعلمات التي يحدد عندها هذا التعبير جذر المعادلة.

دعونا ننتقل إلى المعادلة المعطاة بالفعل مع المعلمات الفأس+ب=جوسوف نقوم بحلها.

لو أ¹0، ثم https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

في أ = 0و ب=ج، س- أي عدد حقيقي؛

في أ = 0و ب¹ ج،المعادلة ليس لها جذور.

في عملية حل هذه المعادلة، قمنا بعزل قيمة المعلمة أ = 0، حيث يحدث تغيير نوعي في المعادلة، سنسمي أيضًا قيمة المعلمة "التحكم". اعتمادا على المعادلة التي لدينا، يتم العثور على قيم "التحكم" للمعلمة بشكل مختلف. دعونا نلقي نظرة على أنواع مختلفة من المعادلات ونشير إلى كيفية العثور على قيم "التحكم" للمعلمة.

I. المعادلات الخطية ذات المعلمات والمعادلات القابلة للاختزال إلى المعادلات الخطية

في مثل هذه المعادلات، تكون قيم "التحكم" للمعلمات، كقاعدة عامة، هي القيم التي تجعل المعاملات عند الصفر X.

مثال 1. : 2أ(أ–2)س = أ- 2

1. قيم "التحكم" هي القيم التي تستوفي الشرط:

2أ(أ–2)=0

دعونا نحل هذه المعادلة للمتغير أ.

2أ= 0 أو أ–2= 0، من أين أ= 0, أ= 2.

2. دعونا نحل المعادلة الأولية لقيم "التحكم" للمعلمة.

في أ= 0 لدينا 0× س=– 2، ولكن هذا ليس هو الحال بالنسبة لأي قيم حقيقية Xأي أن المعادلة في هذه الحالة ليس لها جذور.

في أ= 2 لدينا 0× س= 0، وهذا ينطبق على أي قيمة Xمما يعني أن جذر المعادلة هو أي عدد حقيقي X.

3. دعونا نحل المعادلة الأصلية في حالة متى أ¹ 0 و أ¹ 2 ثم 2 أ(أ–2)¹ 0 ويمكن قسمة طرفي المعادلة على 2 أ(أ-2) نحصل على:

لأن أ¹ 2، فيمكن تخفيض الكسر بواسطة ( أ-2)، ثم لدينا.

إجابة:في أ= 0، لا جذور؛

في أ= 2، الجذر - أي عدد حقيقي؛

في أ¹ 0, أ¹ 2, .

يمكن للمرء أن يتخيل خوارزمية لحل هذا النوع من المعادلات.

1. تحديد قيم "التحكم" للمعلمة.

2. حل المعادلة ل X، في قيم معلمات التحكم.

3. حل المعادلة ل Xبقيم مختلفة عن قيم "التحكم".

4. اكتب الإجابة في النموذج:

الإجابة: 1) بالنسبة لقيم المعلمات...، فإن المعادلة لها جذور...؛

2) بالنسبة لقيم المعلمات...، المعادلة لها جذور...؛

3) بالنسبة لقيم المعلمة... فالمعادلة ليس لها جذور.

مثال 2. حل المعادلة مع المعلمة

(أ 2–2أ+1)س=أ 2+2أ- 3

1. ابحث عن قيم التحكم للمعلمة

أ 2–2أ+1=0 Û ( أ–1)2=0 Û أ=1

2. حل المعادلة ل أ= 1

0× س=(1+2×1–3) Û 0× س= 0 Þ X- أي عدد حقيقي.

3. حل المعادلة ل أ¹ 1

أ 2–2أ+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

لأن أ¹ 1، يمكن تقليل الكسر

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width = "64" height = "41 src = ">.

مثال 3. حل المعادلة مع المعلمة

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width = "72" height = "41 src = ">.

4. إجابة: 1) متى أ= 2، لا جذور.

2) متى أ¹ 0,أ¹ 2, ;

3) متى أ= 0 المعادلة غير منطقية

مثال 4. حل المعادلة مع المعلمة

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width = "135" height = "45 src = ">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width = "175" height = "45 src = ">

لأن X¹ 0 و أ¹ – 2، المعادلة تعادل المعادلة

(أ+3)س= 2أ–1

دعونا نجد قيم التحكم للمعلمة

أ+3= 0 Þ أ=- 3.

2. حل المعادلة ل أ=- 3.

0× س=– 7

في أي Xلا توجد مساواة

3. حل المعادلة ل أ¹ – 3, أ+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

لذلك، لكي تكون المعادلة منطقية https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">، لا توجد جذور؛

2) متى أ¹ – 2, أ¹ – 3, , .

ثانيا. المعادلات التربيعية ذات المعلمة والمعادلات التي يمكن اختزالها إلى المعادلات التربيعية

في مثل هذه المعادلات، عادة ما يتم أخذ قيم المعلمة التي تجعل المعامل عند صفر صفر على أنها "تحكم" X 2، إذ في هذه الحالة تصبح المعادلة خطية، وكذلك قيمة المعلمة، مما يجعل مميز المعادلة يختفي، لأن العدد يعتمد على قيمة المميز جذور حقيقيةمعادلة من الدرجة الثانية.

مثال 5. حل المعادلة مع المعلمة

(أ–1)X 2+2(2أ+1)X+(4أ+3)= 0

1. دعونا نجد قيم المعلمات التي تجعل المعامل عند الصفر X

أ- 1=0 Û أ= 1

2. حل المعادلة ل أ= 1

0× X 2+2(2×1+1) X+4×1+3=0 Û 6 X+7=0 Û .

3. دعونا نجد قيم المعلمة التي تجعل مميز المعادلة يختفي

د=(2(2أ+1))2–4(أ–1)(4أ+3)=(4أ+1)2–(4أ–4)(4أ+3)=4(5أ+4)

4(5أ+4)=0 Û .

4. دعونا نحل المعادلة، في هذه الحالة سيكون للمعادلة جذر حقيقي واحد

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9X 2+6X+1=0 Û (3 X+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. في هذه الحالة د<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. حل المعادلة ل أرقم 1، https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width = "341" height = "49 src = ">

7. إجابة: 1) مع https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) متى أ= 1, ;

3) لأنه لا توجد جذور حقيقية؛

4) في و أرقم 1، https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. منذ أفي مقام الكسر، فإن المعادلة تصبح منطقية فقط عندما أ#0. يحتوي المقام أيضًا على التعبيرات a2x– 2أو 2- أوه، والتي يجب أيضًا أن تكون غير صفرية

a2x– 2أ¹0 Û أ(أوه-2)¹0 Û أ¹0, أوه–2¹0 Û أ¹0, ;

2–أوه¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. حل المعادلة ل أ¹0، https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–أ)X 2+2X+1+أ=0 ...................(*)

3. دعونا نجد قيم المعلمات التي تجعل المعامل عند الصفر X 2

1–أ=0 Û أ=1

4. حل المعادلة (*) ل أ=1

0× X 2+2X+2=0 Û 2 س=– 2 Û س=–1

دعونا نتحقق على الفور لمعرفة ما إذا كان مطابقًا أم لا Xمن https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">، وهو ما يعني أنه عندما أ=1, س=– 1.

هدف:

• كرر حل الأنظمة المعادلات الخطيةمع متغيرين
• تحديد نظام المعادلات الخطية مع المعلمات
• سوف يعلمك كيفية حل أنظمة المعادلات الخطية مع المعلمات.

خلال الفصول الدراسية

1. تنظيم الوقت
2. تكرار
3. توضيح موضوع جديد
4. الدمج
5. ملخص الدرس
6. العمل في المنزل

2. التكرار:

I. معادلة خطية ذات متغير واحد:

1. تعريف معادلة خطية بمتغير واحد

[المعادلة من الشكل ax=b، حيث x متغير، a وb بعض الأرقام، تسمى معادلة خطية ذات متغير واحد]

2. كم عدد الجذور التي يمكن أن تحتوي عليها المعادلة الخطية؟

[- إذا كانت a=0, b0 فإن المعادلة ليس لها حلول x

إذا كان a=0، b=0، فإن x R

إذا كان a0، فإن المعادلة لها حل فريد، x =

3. معرفة عدد جذور المعادلة (حسب الخيارات)

ثانيا. معادلة خطية بمتغيرين ونظام المعادلات الخطية بمتغيرين.

1. تعريف معادلة خطية في متغيرين. اعط مثالا.

[المعادلة الخطية ذات المتغيرين هي معادلة على الشكل ax + by = c، حيث x وy متغيران، a وb وc بعض الأرقام. على سبيل المثال، س-ص=5]

2. ما يسمى حل المعادلة بمتغيرين؟

[حل معادلة ذات متغيرين هو زوج من قيم المتغيرات الذي يحول المعادلة إلى مساواة حقيقية.]

3. هل زوج قيم المتغيرات x = 7، y = 3 هو حل للمعادلة 2x + y = 17؟

4. ما هو الرسم البياني للمعادلة في متغيرين يسمى؟

[الرسم البياني للمعادلة ذات المتغيرين هو مجموعة جميع النقاط على المستوى الإحداثي التي تمثل إحداثياتها حلولاً لهذه المعادلة.]

5. تعرف على الرسم البياني للمعادلة:

[دعونا نعبر عن المتغير y من خلال x: y=-1.5x+3

الصيغة y=-1.5x+3 هي دالة خطية، ورسمها البياني عبارة عن خط مستقيم. بما أن المعادلتين 3x+2y=6 وy=-1.5x+3 متكافئتان، فإن هذا الخط يمثل أيضًا رسمًا بيانيًا للمعادلة 3x+2y=6]

6. ما هو الرسم البياني للمعادلة ax+bу=c مع المتغيرين x و y، حيث a0 أو b0؟

[الرسم البياني لمعادلة خطية بمتغيرين لا يكون فيه أحد معاملات المتغيرين على الأقل صفرًا هو خط مستقيم.]

7. ما يسمى حل نظام المعادلات بمتغيرين؟

[حل نظام معادلات ذو متغيرين هو زوج من قيم المتغيرات يحول كل معادلة من معادلة النظام إلى مساواة حقيقية]

8. ماذا يعني حل نظام المعادلات؟

[حل نظام من المعادلات يعني إيجاد جميع حلوله أو إثبات عدم وجود حلول له.]

9. اكتشف ما إذا كان هذا النظام لديه دائمًا حلول، وإذا كان الأمر كذلك، فكم عدد الحلول (بيانيًا).

10. ما عدد الحلول التي يمكن أن يحتوي عليها نظام من معادلتين خطيتين بمتغيرين؟

[الحل الوحيد هو إذا تقاطعت الخطوط؛ ليس له حلول إذا كانت الخطوط متوازية؛ كثيرة بلا حدود إذا تطابقت الخطوط]

11. ما هي المعادلة التي تحدد عادة الخط المستقيم؟

12. إنشاء علاقة بين معاملات الزوايا والمصطلحات الحرة:

الخيار الأول: ص=-س+2 ص= -س-3، ك 1 = ك 2 , ب 1 ب 2, لا توجد حلول;

الخيار الثاني: ص=-س+8 ص = 2س-1، ك 1 ك 2 , حل واحد;

الخيار الثالث: ص=-س-1 ص=-س-1، ك 1 = ك 2، ب 1 = ب 2، العديد من الحلول.

خاتمة:

1. لو المنحدراتتختلف الخطوط التي تمثل رسومًا بيانية لهذه الوظائف، ثم تتقاطع هذه الخطوط ويكون للنظام حل فريد.
2. إذا كانت المعاملات الزاوية للخطوط هي نفسها، ونقاط التقاطع مع المحور y مختلفة، فإن الخطوط متوازية، ولا يوجد للنظام حلول.
3. إذا كانت المعاملات الزاوية ونقاط التقاطع مع المحور y هي نفسها، فإن الخطوط تتطابق ويكون للنظام عدد لا نهائي من الحلول.

يوجد جدول على السبورة يملأه المعلم والطلاب تدريجياً.

ثالثا. شرح موضوع جديد .

التعريف: عرض النظام

• أ 1 س+ب 1 ص=ج
• أ 2 س + ب 2 ص = ج 2

حيث A 1، A 2، B 1، B 2، C 1 C 2 عبارة عن تعبيرات تعتمد على المعلمات، و x و y غير معروفين، يسمى نظامًا مكونًا من خطين المعادلات الجبريةمع معلمتين غير معروفين.

الحالات التالية ممكنة:

1) إذا كان النظام لديه حل فريد

2) إذا كان النظام ليس لديه حلول

3) إذا كان النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.

رابعا. الدمج

مثال 1.

في أي قيم المعلمة يفعل النظام

• 2س - 3ص = 7
• آه - 6ص = 14

أ) لديه مجموعة لا نهائيةقرارات؛

ب) لديه حل فريد

إجابة:

أ) إذا كانت أ=4، فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول؛

ب) إذا أ4، ثم هناك حل واحد فقط.

مثال 2.

حل نظام المعادلات

• س+(م+1)ص=1
• س+2ص=ن

الحل: أ) أي. بالنسبة لـ m1 فإن النظام لديه حل فريد.

ب)، أي. بالنسبة إلى m=1 (2=m+1) وn1، لا يوجد لدى النظام الأصلي حلول

ج) بالنسبة لـ m=1 و n=1 فإن النظام لديه عدد لا نهائي من الحلول.

الإجابة: أ) إذا كانت m=1 و n1 فلا توجد حلول

ب) م=1 و ن=1، فالحل هو مجموعة لا نهائية

• ذ - أي
• س=ن-2y

ج) إذا كان m1 و n موجودين، إذن

مثال 3.

• akh-3ау=2а+3
• س+آي=1

الحل: من المعادلة II نجد x = 1-аy ونعوض بالمعادلة I في المعادلة

أ(1-أ)-3أ=2أ+3

أ-أ 2 ص-3ау=2a+3

أ 2 ص-3ау=أ+3

أ(أ+3)ص=أ+3

الحالات المحتملة:

1) أ=0. ثم تبدو المعادلة 0*y=3 [y]

لذلك، بالنسبة لـ a=0، لا يوجد لدى النظام حلول

2) أ=-3. ثم 0*ص=0.

لذلك، ذ. في هذه الحالة x=1-ау=1+3у

3) أ0 و-3. ثم y=-، x=1-a(-=1+1=2

إجابة:

1) إذا كانت a=0، فإن (x; y)

2) إذا كانت a=-3، فإن x=1+3y، y

3) إذا أ0 و؟-3، ثم x=2، y=-

دعونا نفكر في الطريقة الثانية لحل النظام (1).

دعونا نحل النظام (1) باستخدام طريقة الجمع الجبرية: أولاً، نضرب المعادلة الأولى للنظام في B 2، والثانية في B 1 ونجمع هذه المعادلات حداً بحد، وبالتالي نحذف المتغير y:

لأن أ 1 ب 2 - أ 2 ب 1 0، ثم س =

الآن دعونا نحذف المتغير x. للقيام بذلك، اضرب المعادلة الأولى للنظام (1) في A2، والثانية في A1، وأضف المعادلتين حدًا تلو الآخر:

• أ 1 أ 2 س + أ 2 ب 1 ص= أ 2 ج 1
• -أ 1 أ 2 س-أ 1 ب 2 ص=-أ 1 ج 2
• ص(أ 2 ب 1 -أ 1 ب 2) = أ 2 ج 1 -أ 1 ج 2

لأن أ 2 ب 1 -أ 1 ب 2 0 ص =

لسهولة حل النظام (1)، نقدم الترميز التالي:

- المحدد الرئيسي

الآن يمكن كتابة حل النظام (1) باستخدام المحددات:

تسمى الصيغ المعطاة صيغ كرامر.

إذا، فإن النظام (1) لديه حل فريد: x=; ص=

إذا أو أو، فإن النظام (1) ليس لديه حلول

إذا كان ،،،،، فإن النظام (1) لديه عدد لا نهائي من الحلول.

في هذه الحالة، يحتاج النظام إلى مزيد من التحقيق. في هذه الحالة، كقاعدة عامة، يتم تقليلها إلى معادلة خطية واحدة. في هذه الحالة، غالبًا ما يكون من المناسب دراسة النظام بالطريقة التالية: من خلال حل المعادلة، نجد قيمًا محددة للمعلمات أو نعبر عن إحدى المعلمات بدلالة المعلمات الأخرى ونستبدل قيم المعلمات هذه في النظام. ثم نحصل على نظام ذو معاملات عددية محددة أو مع عدد أقل من المعلمات التي يجب دراستها.

إذا كانت المعاملات A 1 , A 2 , B 1 , B 2 للنظام تعتمد على عدة معلمات، فمن الملائم دراسة النظام باستخدام محددات النظام.

مثال 4.

لجميع قيم المعلمة أ، حل نظام المعادلات

• (أ+5)س+(2أ+3)ص=3أ+2
• (3أ+10)س+(5أ+6)ص=2أ+4

الحل: لنجد محدد النظام:

= (أ+5)(5أ+6) – (3أ+10) (2أ+3)= 5أ 2 +31أ+30-6أ 2 -29أ-30=-أ 2 +2أ=أ(2-أ)

= (3أ+2) (5أ+6) –(2أ+4)(2أ+3)=15أ 2 +28أ+12-4أ 2 -14أ-12=11أ 2 +14أ=أ(11أ+14)

=(أ+5) (2أ+4)-(3أ+10)(3أ+2)=2أ 2 +14أ+20-9أ 2 -36أ-20=-7أ 2 -22أ=-أ(7أ+22)

ل المهام مع المعلمةيمكن أن تشمل، على سبيل المثال، البحث عن حلول للخطية و المعادلات التربيعيةالخامس منظر عام,دراسة معادلة عدد الجذور المتاحة اعتمادا على قيمة المعلمة.

دون إعطاء تعريفات تفصيلية، خذ بعين الاعتبار المعادلات التالية كأمثلة:

y = kx، حيث x، y متغيرات، k معلمة؛

y = kx + b، حيث x وy متغيرات، وk وb معلمات؛

ax 2 + bx + c = 0، حيث x متغيرات، a، b وc معاملات.

حل المعادلة (عدم المساواة، النظام) مع المعلمة يعني، كقاعدة عامة، حل مجموعة لا حصر لها من المعادلات (عدم المساواة، الأنظمة).

يمكن تقسيم المهام ذات المعلمة إلى نوعين:

أ)يقول الشرط: حل المعادلة (المتباينة، النظام) - وهذا يعني، لجميع قيم المعلمة، إيجاد جميع الحلول. وإذا ظلت حالة واحدة على الأقل دون تحقيق، فلا يمكن اعتبار هذا الحل مرضيا.

ب)يجب الإشارة إلى القيم المحتملة للمعلمة التي يكون للمعادلة (عدم المساواة، النظام) خصائص معينة. على سبيل المثال، لديه حل واحد، ليس لديه حلول، لديه حلول، تنتمي إلى الفاصلإلخ. في مثل هذه المهام، من الضروري الإشارة بوضوح إلى قيمة المعلمة التي يتم استيفاء الشرط المطلوب بها.

المعلمة، كونها رقمًا ثابتًا غير معروف، لها نوع من الازدواجية الخاصة. بادئ ذي بدء، من الضروري أن نأخذ في الاعتبار أن الشعبية المفترضة تشير إلى أنه يجب النظر إلى المعلمة كرقم. ثانيًا، حرية التعامل مع المعلمة محدودة بسبب غموضها. على سبيل المثال، عمليات القسمة على عبارة تحتوي على معلمة أو استخراج الجذر حتى درجةمن مثل هذا التعبير تتطلب بحثًا أوليًا. ولذلك، مطلوب الحذر عند التعامل مع المعلمة.

على سبيل المثال، لمقارنة رقمين -6a و3a، عليك أن تأخذ في الاعتبار ثلاث حالات:

1) -6a سيكون أكبر من 3a إذا كان a رقمًا سالبًا؛

2) -6a = 3a في حالة a = 0؛

3) -6a سيكون أقل من 3a إذا كان a رقم موجب 0.

الحل سيكون الجواب .

دع المعادلة kx = b تعطى. هذه المعادلة هي صيغة مختصرة لعدد لا نهائي من المعادلات بمتغير واحد.

عند حل مثل هذه المعادلات قد تكون هناك حالات:

1. دع k يكون أي رقم حقيقي لا يساوي الصفر و b يكون أي رقم من R، ثم x = b/k.

2. افترض أن k = 0 و b ≠ 0، فإن المعادلة الأصلية ستكون على الشكل 0 x = b. ومن الواضح أن هذه المعادلة ليس لها حلول.

3. افترض أن k وb عددان يساويان الصفر، فيكون لدينا المساواة 0 x = 0. حلها هو أي عدد حقيقي.

خوارزمية لحل هذا النوع من المعادلات:

1. تحديد قيم "التحكم" للمعلمة.

2. حل المعادلة الأصلية لـ x لقيم المعلمات التي تم تحديدها في الفقرة الأولى.

3. حل المعادلة الأصلية لـ x لقيم المعلمات المختلفة عن تلك المختارة في الفقرة الأولى.

4. يمكنك كتابة الإجابة على الشكل التالي:

1) بالنسبة إلى ... (قيم المعلمات)، للمعادلة جذور ...؛

2) بالنسبة إلى ... (قيم المعلمات)، لا توجد جذور في المعادلة.

مثال 1.

حل المعادلة ذات المعلمة |6 – x| = أ.

حل.

فمن السهل أن نرى أن ≥ 0 هنا.

وفقًا لقاعدة الوحدة 6 - x = ±a، نعبر عن x:

الإجابة: س = 6 ± أ، حيث أ ≥ 0.

مثال 2.

حل المعادلة a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 بالنسبة للمتغير x.

حل.

دعونا نفتح الأقواس: ax – а + 2x – 2 = 0

لنكتب المعادلة بالصورة القياسية: x(a + 2) = a + 2.

إذا كان التعبير a + 2 ليس صفراً، أي إذا كان ≠ -2، فلدينا الحل x = (a + 2) / (a ​​+ 2)، أي. س = 1.

إذا كان +2 يساوي صفر، أي. a = -2، إذن لدينا المساواة الصحيحة 0 x = 0، لذا فإن x هو أي رقم حقيقي.

الإجابة: x = 1 لـ a ≠ -2 وx € R لـ a = -2.

مثال 3.

حل المعادلة x/a + 1 = a + x بالنسبة للمتغير x.

حل.

إذا كانت a = 0، نحول المعادلة إلى الصورة a + x = a 2 + ax أو (a – 1)x = -a(a – 1). المعادلة الأخيرة لـ a = 1 لها الصيغة 0 x = 0، وبالتالي فإن x هو أي رقم.

إذا كانت أ ≠ 1، فستأخذ المعادلة الأخيرة الشكل x = -a.

يمكن توضيح هذا الحل على خط الإحداثيات (رسم بياني 1)

الإجابة: لا توجد حلول لـ a = 0؛ س - أي رقم مع = 1؛ x = -a لـ ≠ 0 و ≠ 1.

طريقة رسومية

لنفكر في طريقة أخرى لحل المعادلات ذات المعلمة - بيانياً. يتم استخدام هذه الطريقة في كثير من الأحيان.

مثال 4.

اعتمادًا على المعلمة a، كم عدد جذور المعادلة ||x| – 2| = أ؟

حل.

للحصول على حلول طريقة رسوميةأنشئ رسومًا بيانية للدوال y = ||x| – 2| و ص = أ (الصورة 2).

يوضح الرسم بوضوح الحالات المحتملة لموقع الخط المستقيم y = a وعدد الجذور في كل منها.

الجواب: المعادلة لن يكون لها جذور إذا كان أ< 0; два корня будет в случае, если a >2 و = 0؛ المعادلة سيكون لها ثلاثة جذور في حالة a = 2؛ أربعة جذور - عند 0< a < 2.

مثال 5.

عند أي معادلة 2|x| + |س – 1| = له جذر واحد؟

حل.

دعونا نرسم الرسوم البيانية للوظائف y = 2|x| + |س – 1| و ص = أ. من أجل ص = 2|س| + |x – 1|، بتوسيع الوحدات باستخدام طريقة الفاصل، نحصل على:

(-3x + 1، عند x< 0,

ص = (س + 1، ل 0 ≥ س ≥ 1،

(3x – 1، لـ x > 1.

على الشكل 3من الواضح أن المعادلة سيكون لها جذر واحد فقط عندما يكون a = 1.

الجواب: أ = 1.

مثال 6.

حدد عدد حلول المعادلة |x + 1| + |س + 2| = اعتمادا على المعلمة أ؟

حل.

رسم بياني للدالة y = |x + 1| + |س + 2| سيكون خط مكسور. تقع رؤوسها عند النقطتين (-2؛ 1) و (-1؛ 1). (الشكل 4).

الإجابة: إذا كانت المعلمة a أقل من واحد، فلن يكون للمعادلة جذور؛ إذا كان a = 1، فإن حل المعادلة هو مجموعة لا حصر لها من الأرقام من القطعة [-2؛ -1]؛ إذا كانت قيم المعلمة a أكبر من واحد، فإن المعادلة سيكون لها جذرين.

لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية حل المعادلات مع المعلمة؟
للحصول على مساعدة من المعلم -.
الدرس الأول مجاني!

blog.site، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر الأصلي.

دعونا نحل نظام المعادلات مع المعلمة (أ. لارين، الخيار 98)

ابحث عن جميع قيم المعلمة، لكل منها النظام

لديه حل واحد بالضبط.

دعونا نلقي نظرة فاحصة على النظام. في المعادلة الأولى للنظام، الطرف الأيسر هو، والجانب الأيمن لا يعتمد على المعلمة. أي أنه يمكننا اعتبار هذه المعادلة معادلة الدالة

ويمكننا رسم هذه الوظيفة.

المعادلة الثانية للنظام

يعتمد على المعلمة، ومن خلال تسليط الضوء على الجانب الأيسر من المعادلة مربع ممتاز، نحصل على معادلة الدائرة.

لذا فمن المنطقي رسم رسوم بيانية لكل معادلة ومعرفة قيمة المعلمة التي تحتوي عليها هذه الرسوم البيانية عند نقطة تقاطع واحدة.

لنبدأ بالمعادلة الأولى. أولاً، دعونا نفتح الوحدات. للقيام بذلك، نساوي كل تعبير جزئي بالصفر لإيجاد النقاط التي تتغير عندها الإشارة.

يتغير التعبير الفرعي الأول في علامة، والثاني - في.

دعونا نرسم هذه النقاط على خط الإحداثيات ونجد علامات كل تعبير نمطي في كل فترة:

لاحظ أن المعادلة for و غير منطقية، لذلك قمنا بثقب هذه النقاط.

الآن دعونا نوسع الوحدات في كل فاصل زمني. (تذكر: إذا كان التعبير الجزئي أكبر من أو يساوي الصفر، فإننا نقوم بتوسيع الوحدة بنفس الإشارة، وإذا كانت أقل من الصفر، فبالعلامة المعاكسة.)

كلا التعبيرين الوحدويين سلبيين، لذلك نقوم بتوسيع الوحدتين بعلامة معاكسة:

أي عندما يكون للدالة الأصلية الشكل

في هذه الفترة، يكون التعبير الجزئي الأول سالبًا، والثاني موجبًا، وبالتالي نحصل على:

- الدالة غير موجودة في هذه الفترة.

3. title="x>2">!}

في هذه الفترة، كلا التعبيرين الوحدويين موجبان؛ نقوم بتوسيع الوحدتين بنفس الإشارة. نحن نحصل:

أي مع العنوان = "x>2"> исходная функция имеет вид !}

وبذلك حصلنا على الرسم البياني للدالة

والآن لننظر إلى المعادلة الثانية:

لنختار مربعًا كاملاً على الجانب الأيسر من المعادلة، وللقيام بذلك أضف الرقم 4 إلى طرفي المعادلة:

بالنسبة لقيمة محددة للمعلمة، الرسم البياني لهذه المعادلة عبارة عن دائرة مركزها عند نقطة ذات إحداثيات نصف قطرها 5. معان مختلفةلدينا سلسلة من الدوائر:

سنقوم بتحريك الدائرة من الأسفل إلى الأعلى حتى تلامس الجانب الأيسر من الرسم البياني للدالة الأولى. في الصورة هذه الدائرة باللون الأحمر. مركز هذه الدائرة هو النقطة، وإحداثياتها هي (-2؛-3). علاوة على ذلك، عند التحرك لأعلى، تحتوي الدائرة على نقطة تقاطع واحدة مع الجانب الأيسر من الرسم البياني للدالة، أي أن النظام لديه حل فريد.

نستمر في تحريك الدائرة لأعلى حتى تلامس الجانب الأيمن من الرسم البياني للدالة الأولى. سيحدث هذا عندما يكون مركز الدائرة عند النقطة ذات الإحداثيات (-2;0) - في الشكل هذه الدائرة باللون الأزرق.

عند التحرك للأعلى، ستتقاطع الدائرة مع الجزأين الأيسر والأيمن من الرسم البياني للدالة الأولى، أي أن الدائرة سيكون لها نقطتا تقاطع مع الرسم البياني للدالة الأولى، وسيكون للنظام حلين. يستمر هذا الوضع حتى يصبح مركز الدائرة عند النقطة ذات الإحداثيات (-2؛ 5) - هذه الدائرة باللون الأخضر. عند هذه النقطة تلامس الدائرة الجانب الأيسر من الرسم البياني وتتقاطع مع الجانب الأيمن. أي أن النظام لديه حل واحد.

لذا، فإن النظام لديه حل فريد عندما(-3;0] حيث \ هي متغيرات، \ هي معلمة؛

\[y = kx + b,\] حيث \ هي متغيرات، \ هي معلمة؛

\[аx^2 + bkh + с = 0,\] حيث \ هو متغير، \[а, b, с\] هو معلمة.

حل معادلة بمعلمة يعني، كقاعدة عامة، حل مجموعة لا حصر لها من المعادلات.

ومع ذلك، باتباع خوارزمية معينة، يمكنك بسهولة حل المعادلات التالية:

1. تحديد قيم "التحكم" للمعلمة.

2. حل المعادلة الأصلية لـ [\x\] بقيم المعلمات المحددة في الفقرة الأولى.

3. حل المعادلة الأصلية لـ [\x\] لقيم المعلمات المختلفة عن تلك المختارة في الفقرة الأولى.

لنفترض أنه لدينا المعادلة التالية:

\[\منتصف 6 - x \mid = a.\]

وبعد تحليل البيانات الأولية، فمن الواضح أن \[\ge 0.\]

وفقا لقاعدة المعامل \ نعبر \

الجواب: \أين\

أين يمكنني حل معادلة ذات معلمة عبر الإنترنت؟

يمكنكم حل المعادلة على موقعنا https://site. سيسمح لك الحل المجاني عبر الإنترنت بحل المعادلات عبر الإنترنت بأي تعقيد في غضون ثوانٍ. كل ما عليك فعله هو ببساطة إدخال بياناتك في الحل. يمكنك أيضًا مشاهدة تعليمات الفيديو ومعرفة كيفية حل المعادلة على موقعنا. وإذا كان لا يزال لديك أسئلة، يمكنك طرحها في مجموعة VKontakte الخاصة بنا http://vk.com/pocketteacher. انضم إلى مجموعتنا، نحن سعداء دائمًا بمساعدتك.