X = X متوسط ​​X

مطلق

خطأ

نسبي

خطأ

أ+ ب

أ+ ب

شروط خطأ في القياسو خطأ في القياسيتم استخدامها بالتبادل.) ومن الممكن فقط تقدير حجم هذا الانحراف، على سبيل المثال، باستخدام الأساليب الإحصائية. وفي نفس الوقت ل المعنى الحقيقيمتوسط ​​القيمة الإحصائية التي تم الحصول عليها من المعالجة الإحصائيةنتائج سلسلة من القياسات. هذه القيمة التي تم الحصول عليها ليست دقيقة، ولكنها فقط الأكثر احتمالا. لذلك، من الضروري الإشارة في القياسات إلى مدى دقتها. للقيام بذلك، تتم الإشارة إلى خطأ القياس مع النتيجة التي تم الحصول عليها. على سبيل المثال، سجل تي = 2.8 ± 0.1ج. يعني أن القيمة الحقيقية للكمية تتقع في نطاق من 2.7 ثانية.قبل 2.9 ثانية.بعض الاحتمالات المحددة (انظر فترة الثقة، احتمالية الثقة، الخطأ المعياري).

وفي عام 2006، تم اعتماد وثيقة جديدة على المستوى الدولي، تملي شروط إجراء القياسات وتضع قواعد جديدة لمقارنة معايير الدولة. لقد أصبح مفهوم "الخطأ" عفا عليه الزمن، وتم تقديم مفهوم "عدم اليقين في القياس" بدلا منه.

تحديد الخطأ

اعتمادا على خصائص الكمية المقاسة، يتم استخدام طرق مختلفة لتحديد خطأ القياس.

• تتمثل طريقة كورنفيلد في اختيار فترة ثقة تتراوح من الحد الأدنى إلى الحد الأقصى لنتيجة القياس، والخطأ هو نصف الفرق بين الحد الأقصى والحد الأدنى لنتيجة القياس:

• متوسط ​​مربع الخطأ:

• جذر متوسط ​​مربع الخطأ للوسط الحسابي:

تصنيف الخطأ

وفقا لنموذج العرض

• الخطأ المطلق - Δ Xهو تقدير لخطأ القياس المطلق. ويعتمد حجم هذا الخطأ على طريقة حسابه والتي بدورها يتم تحديدها من خلال توزيع المتغير العشوائي X مهأس . في هذه الحالة المساواة:

Δ X = | X رصشه − X مهأس | ,

أين X رصشه هي القيمة الحقيقية، و X مهأس - يجب أن تتحقق القيمة المقاسة باحتمال معين قريب من 1. إذا قيمة عشوائية X مهأس يتم توزيعها وفقًا للقانون العادي، وعادةً ما يتم اعتبار انحرافها المعياري هو الخطأ المطلق. يتم قياس الخطأ المطلق بنفس وحدات الكمية نفسها.

• خطأ نسبي- نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة المقبولة على أنها صحيحة:

الخطأ النسبي هو كمية بلا أبعاد، أو يتم قياسه كنسبة مئوية.

• تقليل الخطأ- الخطأ النسبي، معبرًا عنه بنسبة الخطأ المطلق لجهاز القياس إلى القيمة المقبولة تقليديًا لكمية ما، وتكون ثابتة على مدى القياس بأكمله أو في جزء منه. تحسب بواسطة الصيغة

أين X ن- تطبيع القيمة، والتي تعتمد على نوع المقياس أداة قياسويتم تحديده من خلال تخرجه:

إذا كان مقياس الأداة من جانب واحد، أي. الحد الأدنى للقياس هو صفر، إذن X نتحديد يساوي الحد الأعلى للقياس؛
- إذا كان مقياس الجهاز مزدوج الجوانب، فإن قيمة التسوية تساوي عرض نطاق قياس الجهاز.

الخطأ المحدد هو كمية بلا أبعاد (يمكن قياسها كنسبة مئوية).

بسبب حدوث

• أخطاء آلية / آلية- الأخطاء التي يتم تحديدها من خلال أخطاء أدوات القياس المستخدمة والتي تنتج عن عيوب في مبدأ التشغيل وعدم دقة معايرة الميزان وعدم رؤية الجهاز.
• أخطاء منهجية- الأخطاء الناجمة عن النقص في الطريقة، فضلا عن التبسيط الذي تقوم عليه المنهجية.
• الأخطاء الذاتية/المشغلة/الشخصية- الأخطاء الناتجة عن درجة الانتباه والتركيز والاستعداد وغيرها من صفات المشغل.

في التكنولوجيا، تُستخدم الأدوات للقياس فقط بدقة معينة محددة مسبقًا - وهو الخطأ الرئيسي الذي يسمح به العادي في ظل ظروف التشغيل العادية لجهاز معين.

إذا كان الجهاز يعمل في ظروف غير طبيعية، فسيحدث خطأ إضافي، مما يزيد من الخطأ الإجمالي للجهاز. تتضمن الأخطاء الإضافية ما يلي: درجة الحرارة الناتجة عن انحراف درجة الحرارة بيئةعن الوضع الطبيعي، أو التثبيت، أو بسبب انحراف وضع الجهاز عن وضع التشغيل الطبيعي، أو ما إلى ذلك. تعتبر درجة الحرارة المحيطة الطبيعية 20 درجة مئوية، والعادية الضغط الجوي 01.325 كيلو باسكال.

السمة المعممة لأدوات القياس هي فئة الدقة، التي تحددها الحد الأقصى المسموح به من الأخطاء الرئيسية والإضافية، بالإضافة إلى المعلمات الأخرى التي تؤثر على دقة أدوات القياس؛ يتم تحديد معنى المعلمات من خلال معايير لأنواع معينة من أدوات القياس. تميز فئة دقة أدوات القياس خصائصها الدقيقة، ولكنها ليست مؤشرا مباشرا على دقة القياسات التي يتم إجراؤها باستخدام هذه الأدوات، حيث تعتمد الدقة أيضا على طريقة القياس وشروط تنفيذها. أدوات القياس، التي يتم تحديد حدود الخطأ الأساسي المسموح بها في شكل الأخطاء الأساسية (النسبية) المعينة، يتم تعيينها لفئات دقة مختارة من الأرقام التالية: (1؛ 1.5؛ 2.0؛ 2.5؛ 3.0؛ 4.0 ؛ 5.0) ; 6.0)*10n، حيث n = 1؛ 0; -1؛ -2، الخ.

حسب طبيعة المظهر

• خطأ عشوائي- الخطأ الذي يختلف (في الحجم والعلامة) من قياس لآخر. يمكن أن ترتبط الأخطاء العشوائية بنقص الأدوات (الاحتكاك في الأجهزة الميكانيكية، وما إلى ذلك)، والاهتزاز في الظروف الحضرية، مع نقص كائن القياس (على سبيل المثال، عند قياس قطر سلك رفيع قد لا يكون مستديرًا بالكامل المقطع العرضي نتيجة عيوب في عملية التصنيع)، مع خصائص الكمية المقاسة نفسها (على سبيل المثال، عند قياس الكمية الجسيمات الأوليةتمر في الدقيقة من خلال عداد جيجر).
• خطأ منهجي- خطأ يتغير مع مرور الوقت بموجب قانون معين (حالة خاصة هي خطأ ثابت لا يتغير مع مرور الوقت). قد تترافق الأخطاء المنهجية مع أخطاء الأدوات (مقياس غير صحيح، والمعايرة، وما إلى ذلك) التي لا تؤخذ في الاعتبار من قبل المجرب.
• الخطأ التقدمي (الانجراف).- خطأ غير متوقع يتغير ببطء مع مرور الوقت. إنها عملية عشوائية غير ثابتة.
• خطأ فادح (خطأ)- خطأ ناتج عن خطأ من جانب المجرب أو خلل في الأجهزة (على سبيل المثال، إذا أخطأ المجرب في قراءة عدد الأقسام على مقياس الجهاز، في حالة حدوث ماس كهربائي في الدائرة الكهربائية).

في عصرنا، اخترع الإنسان ويستخدم مجموعة كبيرة ومتنوعة من جميع أنواع أدوات القياس. ولكن بغض النظر عن مدى مثالية التكنولوجيا المستخدمة في تصنيعها، فإن جميعها بها خطأ أكبر أو أقل. تتم الإشارة إلى هذه المعلمة، كقاعدة عامة، على الجهاز نفسه، ولتقييم دقة القيمة المحددة، يجب أن تكون قادرًا على فهم ما تعنيه الأرقام المشار إليها في العلامة. بالإضافة إلى ذلك، تنشأ حتما الأخطاء النسبية والمطلقة أثناء العمليات الحسابية المعقدة. ويستخدم على نطاق واسع في الإحصاء والصناعة (مراقبة الجودة) وفي عدد من المجالات الأخرى. كيف يتم حساب هذه القيمة وكيفية تفسير قيمتها - وهذا بالضبط ما سيتم مناقشته في هذه المقالة.

الخطأ المطلق

دعونا نشير بـ x إلى القيمة التقريبية للكمية التي تم الحصول عليها، على سبيل المثال، من خلال قياس واحد، وبـ x 0 إلى قيمتها الدقيقة. الآن دعونا نحسب حجم الفرق بين هذين الرقمين. الخطأ المطلق هو بالضبط القيمة التي حصلنا عليها نتيجة لهذه العملية البسيطة. في لغة الصيغ، هذا التعريفيمكن كتابتها بهذا الشكل: Δ x = | س - س 0 |.

خطأ نسبي

للانحراف المطلق عيب واحد مهم - فهو لا يسمح بتقييم درجة أهمية الخطأ. على سبيل المثال، نشتري 5 كجم من البطاطس في السوق، والبائع عديم الضمير، عند قياس الوزن، ارتكب خطأ قدره 50 جراما لصالحه. أي أن الخطأ المطلق كان 50 جرامًا. بالنسبة لنا، مثل هذا السهو سيكون مجرد تافه ولن ننتبه إليه. تخيل ماذا سيحدث لو حدث خطأ مماثل أثناء تحضير الدواء؟ هنا سيكون كل شيء أكثر خطورة. وعند تحميل سيارة شحن، من المرجح أن تحدث انحرافات أكبر بكثير من هذه القيمة. ولذلك، فإن الخطأ المطلق في حد ذاته ليس مفيدًا للغاية. بالإضافة إلى ذلك، في كثير من الأحيان يقومون بحساب الانحراف النسبي، وهو ما يساوي نسبة الخطأ المطلق إلى القيمة الدقيقة للرقم. يتم تسجيل هذا الصيغة التالية: δ = Δ س / س 0 .

خصائص الخطأ

لنفترض أن لدينا كميتين مستقلتين: x و y. نحن بحاجة لحساب انحراف القيمة التقريبية لمجموعها. في هذه الحالة، يمكننا حساب الخطأ المطلق كمجموع الانحرافات المطلقة المحسوبة مسبقًا لكل منها. في بعض القياسات، قد يحدث أن الأخطاء في تحديد قيم x و y تلغي بعضها البعض. أو قد يحدث أنه نتيجة للإضافة، يتم تكثيف الانحرافات إلى الحد الأقصى. لذلك، عند حساب إجمالي الخطأ المطلق، يجب مراعاة السيناريو الأسوأ. وينطبق الشيء نفسه على الفرق بين أخطاء عدة كميات. وهذه الخاصية مميزة للخطأ المطلق فقط، ولا يمكن تطبيقها على الانحراف النسبي، لأن ذلك سيؤدي حتماً إلى نتيجة غير صحيحة. دعونا نلقي نظرة على هذا الموقف باستخدام المثال التالي.

لنفترض أن القياسات داخل الأسطوانة أظهرت أن نصف القطر الداخلي (R 1) يبلغ 97 مم، ونصف القطر الخارجي (R 2) يبلغ 100 مم. من الضروري تحديد سمك جداره. أولاً، دعونا نوجد الفرق: h = R 2 - R 1 = 3 مم. إذا كانت المشكلة لا تشير إلى ما هو الخطأ المطلق، فإنها تؤخذ على أنها نصف تقسيم مقياس جهاز القياس. وبالتالي، Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0.5 مم. إجمالي الخطأ المطلق هو: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 مم. الآن دعونا نحسب الانحراف النسبي لجميع القيم:

δ(R 1) = 0.5/100 = 0.005،

δ(R 1) = 0.5/97 ≈ 0.0052،

δ(ح) = Δ(ح)/ح = 1/3 ≈ 0.3333>> δ(R 1).

وكما ترون فإن الخطأ في قياس كلا نصفي القطر لا يتجاوز 5.2%، والخطأ في حساب الفرق بينهما - سمك جدار الأسطوانة - يصل إلى 33.(3)%!

تنص الخاصية التالية: الانحراف النسبي لمنتج عدة أرقام يساوي المجموع تقريبًا الانحرافات النسبيةالعوامل الفردية:

δ(س ص) ≈ δ(س) + δ(ذ).

علاوة على ذلك، فإن هذه القاعدة صالحة بغض النظر عن عدد القيم التي يتم تقييمها. الخاصية الثالثة والأخيرة للخطأ النسبي هي التقدير النسبي أرقام كدرجة تقريبًا في | ك | أضعاف الخطأ النسبي للرقم الأصلي.

لنفترض أننا ندير سلسلة من نقياسات نفس الكمية X. بسبب أخطاء عشوائية، القيم الفردية X 1 ,X 2 ,X 3, X n ليست هي نفسها، والوسط الحسابي يساوي المجموع الحسابيجميع القيم المقاسة مقسومة على عدد القياسات:

. (ص.1)

حيث å هي علامة المبلغ، أنا- رقم القياس، ن- عدد القياسات.

إذن - القيمة الأقرب إلى القيمة الحقيقية. لا أحد يعرف المعنى الحقيقي. يمكنك فقط حساب الفاصل الزمني D Xبالقرب، حيث يمكن تحديد القيمة الحقيقية بدرجة معينة من الاحتمال ر. يسمى هذا الفاصل فاصل الثقة. يُطلق على الاحتمالية التي تقع بها القيمة الحقيقية احتمالية الثقة، أو معامل الموثوقية(نظرًا لأن معرفة احتمالية الثقة تسمح للمرء بتقييم درجة موثوقية النتيجة التي تم الحصول عليها). عند حساب فترة الثقة الدرجة المطلوبةيتم تعيين الموثوقية مقدما. يتم تحديده من خلال الاحتياجات العملية (على سبيل المثال، يتم فرض متطلبات أكثر صرامة على أجزاء محرك الطائرة مقارنة بمحرك القارب). من الواضح أنه للحصول على قدر أكبر من الموثوقية، يلزم زيادة عدد القياسات ودقتها.

يرجع ذلك إلى حقيقة أن الأخطاء العشوائية للقياسات الفردية تخضع للقوانين والأساليب الاحتمالية الإحصائيات الرياضيةونظريات الاحتمالية تجعل من الممكن حساب جذر متوسط ​​مربع الخطأ لقيمة المتوسط ​​الحسابي دي إكس sl. دعونا نكتب صيغة الحساب بدون دليل دي إكس cl لعدد صغير من القياسات ( ن < 30).

تسمى الصيغة صيغة الطالب:

، (أ.2)

أين ر n,p - معامل الطالب حسب عدد القياسات نواحتمال الثقة ر.

ويرد معامل الطالب من الجدول أدناه، بعد أن تم تحديد القيم مسبقًا بناءً على الاحتياجات العملية (كما ذكرنا أعلاه). نو ر.

عند معالجة النتائج العمل المختبرييكفي إجراء 3-5 قياسات، واتخاذ احتمالية ثقة تساوي 0.68.

ولكن يحدث أنه مع قياسات متعددة يتم الحصول على نفس القيم X. على سبيل المثال، قمنا بقياس قطر السلك 5 مرات وحصلنا على نفس القيمة 5 مرات. لذلك، هذا لا يعني على الإطلاق أنه لا يوجد خطأ. وهذا يعني فقط أن الخطأ العشوائي لكل قياس يكون أصغر دقةالجهاز د، والذي يسمى أيضًا غرفة الآلات،أو مفيدة، خطأ. يتم تحديد الخطأ الآلي للجهاز d من خلال فئة دقة الجهاز المحددة في جواز سفره، أو المشار إليها على الجهاز نفسه. وأحيانا يؤخذ على أنه يساوي سعر قسمة الجهاز (سعر قسمة الجهاز هو قيمة القسمة الأصغر له) أو نصف سعر القسمة (إذا أمكن تحديد نصف سعر قسمة الجهاز تقريبا عن طريق عين).

وبما أن كل من القيم Xلقد تم الحصول على خطأ d، ثم فترة الثقة الكاملة دي إكس، أو خطأ القياس المطلق، يتم حسابه باستخدام الصيغة:

. (ص.3)

لاحظ أنه إذا كانت إحدى الكميتين في الصيغة (أ.3) أكبر بثلاث مرات على الأقل من الأخرى، فسيتم إهمال الكمية الأصغر.

الخطأ المطلق في حد ذاته لا يعكس جودة القياسات المأخوذة. على سبيل المثال، فقط بناءً على المعلومات التي تفيد بأن الخطأ المطلق هو 0.002 متر مربع، لا يمكن للمرء الحكم على مدى جودة إجراء هذا القياس. يتم إعطاء فكرة عن جودة القياسات التي تم إجراؤها بواسطة خطأ نسبيه، يساوي النسبةالخطأ المطلق لمتوسط ​​قيمة القيمة المقاسة. يوضح الخطأ النسبي نسبة الخطأ المطلق للقيمة المقاسة. كقاعدة عامة، يتم التعبير عن الخطأ النسبي كنسبة مئوية:

لنلقي نظرة على مثال. دع قطر الكرة يقاس باستخدام الميكرومتر، الخطأ الآلي فيه هو d = 0.01 مم. ونتيجة لثلاثة قياسات تم الحصول على قيم القطر التالية:

د 1 = 2.42 ملم، د 2 = 2.44 ملم، د 3 = 2.48 ملم.

وباستخدام الصيغة (أ.1)، يتم تحديد القيمة المتوسطة الحسابية لقطر الكرة

ثم، باستخدام جدول معاملات الطالب، وجدوا أنه بالنسبة لمستوى ثقة قدره 0.68 بثلاثة قياسات رن، ع = 1.3. ثم، باستخدام الصيغة (أ.2)، احسب خطأ عشوائيقياسات د sl

وبما أن الخطأ العشوائي الناتج يبلغ ضعف الخطأ الآلي فقط، عند إيجاد خطأ القياس المطلق دووفقاً لـ (أ.3) ينبغي مراعاة كل من الخطأ العشوائي وخطأ الأداة، أي.

مم » ± 0.03 مم.

تم تقريب الخطأ إلى أجزاء من مائة من المليمتر، حيث لا يمكن أن تتجاوز دقة النتيجة دقة جهاز القياس، وهو في هذه الحالة 0.01 ملم.

وبالتالي فإن قطر السلك هو

مم.

يشير هذا الإدخال إلى أن القيمة الحقيقية لقطر الكرة باحتمال 68% تكمن في الفاصل الزمني (2.42¸ 2.48) ملم.

الخطأ النسبي e للقيمة التي تم الحصول عليها وفقا لـ (أ.4) هو

%.

تسمى الأبعاد مستقيم،إذا تم تحديد قيم الكميات مباشرة بواسطة الأدوات (على سبيل المثال، قياس الطول بالمسطرة، تحديد الوقت بساعة الإيقاف، وما إلى ذلك). تسمى الأبعاد غير مباشرإذا تم تحديد قيمة الكمية المقاسة من خلال القياسات المباشرة للكميات الأخرى المرتبطة بالعلاقة المحددة التي يتم قياسها.

أخطاء عشوائية في القياسات المباشرة

الخطأ المطلق والنسبي.دعها تنفذ نقياسات نفس الكمية سفي غياب الخطأ المنهجي. نتائج القياس الفردية هي كما يلي: س 1 ,س 2 , …,س ن. يتم تحديد القيمة المتوسطة للقيمة المقاسة على أنها الأفضل:

الخطأ المطلقيسمى قياس واحد فرقا في الشكل:

.

متوسط ​​الخطأ المطلق نقياسات الوحدة:

(2)

مُسَمًّى متوسط ​​الخطأ المطلق.

خطأ نسبيتسمى نسبة متوسط ​​الخطأ المطلق إلى متوسط ​​قيمة الكمية المقاسة بما يلي:

. (3)

أخطاء الأداة في القياسات المباشرة

إذا لم تكن هناك تعليمات خاصة، فإن خطأ الأداة يساوي نصف قيمة قسمتها (المسطرة، الكأس).

خطأ الأدوات المجهزة بالورنية يساوي قيمة قسمة الورنية (ميكرومتر - 0.01 مم، الفرجار - 0.1 مم).

خطأ قيم الجدول يساوي نصف وحدة من الرقم الأخير (خمس وحدات من الترتيب التالي بعد آخر رقم مهم).

يتم حساب خطأ أدوات القياس الكهربائية وفقًا لفئة الدقة معمبين على مقياس الصك:

على سبيل المثال:
و
,

أين ش الأعلىو أنا الأعلى- حد قياس الجهاز.

خطأ الأجهزة ذات الشاشة الرقمية يساوي أحد الأرقام الأخيرة من الشاشة.

وبعد تقدير الأخطاء العشوائية والآلية يؤخذ في الاعتبار الخطأ الذي قيمته أكبر.

حساب الأخطاء في القياسات غير المباشرة

معظم القياسات غير مباشرة. في هذه الحالة، القيمة المطلوبة X هي دالة لعدة متغيرات أ،ب, ج… والتي يمكن العثور على قيمها عن طريق القياسات المباشرة: X = f( أ, ب, ج…).

سيكون الوسط الحسابي لنتيجة القياسات غير المباشرة مساوياً لـ:

X = و( أ, ب, ج…).

إحدى طرق حساب الخطأ هي التمييز بين اللوغاريتم الطبيعي للدالة X = f( أ, ب, ج...). على سبيل المثال، إذا تم تحديد القيمة المطلوبة X بواسطة العلاقة X = ثم بعد اللوغاريتم نحصل على: lnX = ln أ+ln ب+ln( ج+ د).

التفاضل في هذا التعبير له الشكل:

.

وفيما يتعلق بحساب القيم التقريبية يمكن كتابة الخطأ النسبي بالصيغة:

 =
. (4)

يتم حساب الخطأ المطلق باستخدام الصيغة:

Х = Х(5)

وبالتالي، يتم حساب الأخطاء وحساب نتيجة القياسات غير المباشرة بالترتيب التالي:

1) قياس جميع الكميات المدرجة في الصيغة الأولية لحساب النتيجة النهائية.

2) حساب قيم المتوسط ​​الحسابي لكل قيمة مقاسة وأخطائها المطلقة.

3) استبدل القيم المتوسطة لجميع القيم المقاسة في الصيغة الأصلية واحسب القيمة المتوسطة للقيمة المطلوبة:

X = و( أ, ب, ج…).

4) لوغاريتم الصيغة الأصلية X = f( أ, ب, ج...) واكتب عبارة الخطأ النسبي بالصيغة (4).

5) احسب الخطأ النسبي  = .

6) احسب الخطأ المطلق للنتيجة باستخدام الصيغة (5).

7) يتم كتابة النتيجة النهائية على النحو التالي:

ترد في الجدول الأخطاء المطلقة والنسبية لأبسط الوظائف: