هرم. الهرم المقطوع

هرميسمى متعدد السطوح ، أحد وجوهه عبارة عن مضلع ( يتمركز ) ، وجميع الوجوه الأخرى مثلثات برأس مشترك ( الوجوه الجانبية ) (الشكل 15). الهرم يسمى صيح ، إذا كانت قاعدته عبارة عن مضلع منتظم وتم إسقاط قمة الهرم في مركز القاعدة (الشكل 16). يسمى الهرم الثلاثي الذي تتساوى فيه جميع الأطراف رباعي الوجوه .

ضلع جانبييسمى الهرم جانب الوجه الجانبي الذي لا ينتمي إلى القاعدة ارتفاع الهرم هو المسافة من قمته إلى مستوى القاعدة. جميع الأضلاع الجانبية للهرم العادي متساوية مع بعضها البعض ، وجميع الوجوه الجانبية متساوية في مثلثات متساوية الساقين. يسمى ارتفاع الوجه الجانبي لهرم منتظم مرسوم من القمة عتمة . قسم قطري يسمى قسم الهرم بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

مساحة السطح الجانبيةالهرم يسمى مجموع مناطق كل الوجوه الجانبية. مساحة السطح الكاملة هو مجموع مساحات كل الوجوه الجانبية والقاعدة.

نظريات

1. إذا كانت جميع الحواف الجانبية في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

2. إذا كانت جميع الأضلاع الجانبية في الهرم متساوية الأطوال ، فإن قمة الهرم تُسقط في مركز الدائرة المُحددة بالقرب من القاعدة.

3. إذا كانت جميع الوجوه في الهرم تميل بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن قمة الهرم تُسقط في وسط الدائرة المنقوشة في القاعدة.

لحساب حجم الهرم التعسفي ، تكون الصيغة صحيحة:

أين الخامس- الصوت؛

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

حهو ارتفاع الهرم.

بالنسبة للهرم العادي ، فإن الصيغ التالية صحيحة:

أين ص- محيط القاعدة ؛

ح أ- صيدلانية

ح- ارتفاع؛

S ممتلئ

الجانب S.

S الرئيسي- منطقة قاعدة؛

الخامسهو حجم الهرم المنتظم.

هرم مبتوريسمى جزء الهرم المحاط بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم (الشكل 17). الهرم المقطوع الصحيح يسمى جزء الهرم المنتظم ، محاطًا بين القاعدة ومستوى القطع الموازي لقاعدة الهرم.

أسسهرم مبتور - مضلعات مماثلة. الوجوه الجانبية - شبه منحرف. ارتفاع الهرم المقطوع يسمى المسافة بين قاعدته. قطري الهرم المقطوع عبارة عن قطعة تربط رؤوسها التي لا تقع على نفس الوجه. قسم قطري يسمى جزء الهرم المقطوع بالمستوى الذي يمر عبر حافتين جانبيتين لا تنتمي إلى نفس الوجه.

بالنسبة للهرم المقطوع ، الصيغ صالحة:

(4)

أين س 1 , س 2 - مناطق القواعد العلوية والسفلية ؛

S ممتلئهي المساحة الإجمالية ؛

الجانب S.هي مساحة السطح الجانبية

ح- ارتفاع؛

الخامسهو حجم الهرم المقطوع.

بالنسبة للهرم المقطوع العادي ، فإن الصيغة التالية صحيحة:

أين ص 1 , ص 2 - محيط القاعدة ؛

ح أ- عرافة هرم مبتور منتظم.

مثال 1في هرم مثلثي منتظم ، تكون الزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة 60º. أوجد ظل زاوية ميل الحافة الجانبية لمستوى القاعدة.

قرار.لنقم برسم (الشكل 18).

الهرم منتظم ، مما يعني أن القاعدة عبارة عن مثلث متساوي الأضلاع وأن جميع وجوه الأضلاع متساوية في مثلثات متساوية الساقين. الزاوية ثنائية الأضلاع في القاعدة هي زاوية ميل الوجه الجانبي للهرم إلى مستوى القاعدة. ستكون الزاوية الخطية هي الزاوية أبين عمودين: أي يظهر الجزء العلوي من الهرم في وسط المثلث (مركز الدائرة المحصورة والدائرة المنقوشة في المثلث ABC). زاوية ميل الضلع الجانبي (على سبيل المثال SB) هي الزاوية بين الحافة نفسها وإسقاطها على مستوى القاعدة. للضلع SBهذه الزاوية ستكون الزاوية SBD. للعثور على الظل ، تحتاج إلى معرفة الساقين لذاو OB. دع طول المقطع BDهو 3 أ. نقطة االقطعة المستقيمة BDينقسم إلى أجزاء: ومن نجد لذا: من نجد:

إجابه:

مثال 2أوجد حجم هرم رباعي الزوايا مبتور منتظم إذا كانت أقطار قاعدته سم و سم وكان الارتفاع 4 سم.

قرار.لإيجاد حجم الهرم المقطوع ، نستخدم الصيغة (4). لإيجاد مساحات القواعد ، تحتاج إلى إيجاد جوانب مربعات القاعدة ، مع معرفة أقطارها. ضلعي القاعدتين 2 سم و 8 سم على التوالي ، وهذا يعني مساحات القواعد واستبدال جميع البيانات في الصيغة ، نحسب حجم الهرم المقطوع:

إجابه: 112 سم 3.

مثال 3أوجد مساحة الوجه الجانبي لهرم مثلث منتظم مقطوع طول ضلعه الأساسيان 10 سم و 4 سم ، وارتفاع الهرم 2 سم.

قرار.لنقم برسم (الشكل 19).

الوجه الجانبي لهذا الهرم هو شبه منحرف متساوي الساقين. لحساب مساحة شبه منحرف ، تحتاج إلى معرفة القواعد والارتفاع. يتم إعطاء القواعد حسب الحالة ، يبقى الارتفاع فقط غير معروف. تجده من أين لكن 1 هعمودي من نقطة لكن 1 على مستوى القاعدة السفلية ، أ 1 د- عمودي من لكن 1 في تيار متردد. لكن 1 ه\ u003d 2 سم ، لأن هذا هو ارتفاع الهرم. لايجاد DEسنقوم بعمل رسم إضافي ، حيث سنصور منظرًا علويًا (الشكل 20). نقطة ا- إسقاط مراكز القاعدة العلوية والسفلية. منذ ذلك الحين (انظر الشكل 20) ومن ناحية أخرى نعمهو نصف قطر الدائرة المنقوشة و أومهو نصف قطر الدائرة المنقوشة:

MK = DE.

وفقًا لنظرية فيثاغورس من

منطقة الوجه الجانبية:

إجابه:

مثال 4في قاعدة الهرم يوجد شبه منحرف متساوي الساقين ، قاعدتهما أو ب (أ> ب). يشكل كل جانب زاوية مساوية لمستوى قاعدة الهرم ي. أوجد مساحة السطح الكلية للهرم.

قرار.لنقم برسم (الشكل 21). المساحة الإجمالية للهرم SABCDيساوي مجموع مساحات ومساحة شبه المنحرف ا ب ت ث.

دعونا نستخدم العبارة التي تقول إنه إذا كانت جميع وجوه الهرم مائلة بالتساوي إلى مستوى القاعدة ، فإن الرأس يُسقط في مركز الدائرة المنقوشة في القاعدة. نقطة ا- إسقاط الرأس سعند قاعدة الهرم. مثلث SODهو الإسقاط المتعامد للمثلث CSDإلى مستوى القاعدة. وفقًا للنظرية الخاصة بمنطقة الإسقاط المتعامد لشكل مسطح ، نحصل على:

وبالمثل ، فهذا يعني وهكذا ، تم تقليل المشكلة إلى إيجاد منطقة شبه المنحرف ا ب ت ث. ارسم شبه منحرف ا ب ت ثبشكل منفصل (الشكل 22). نقطة اهو مركز دائرة منقوشة في شبه منحرف.

نظرًا لأنه يمكن كتابة دائرة في شبه منحرف ، إذن أو من ، بواسطة نظرية فيثاغورس ، لدينا

• 22.09.2014

  مبدأ التشغيل. عند الضغط على زر الرقم الأول من الكود SA1 ، سيتم تبديل المشغل DD1.1 وسيظهر جهد عالي المستوى عند الإدخال D لمشغل DD1.2. لذلك ، عند الضغط على الزر التالي من الكود SA2 ، يقوم المشغل DD1.2 بتغيير حالته وإعداد المشغل التالي للتبديل. في حالة المجموعة الصحيحة الأخرى ، سيعمل مشغل DD2.2 أخيرًا ، و ...

• 03.10.2014

  يقوم الجهاز المقترح بتثبيت الجهد حتى 24 فولت والتيار حتى 2 أمبير مع حماية ماس كهربائى. في حالة البداية غير المستقرة للمثبت ، يجب استخدام التزامن من مولد النبض المستقل (الشكل. 2. تظهر دائرة التثبيت في الشكل 1. يتم تجميع مشغل Schmitt على VT1 VT2 ، والذي يتحكم في ترانزستور منظم قوي VT3. التفاصيل: VT3 مجهز بمشتت حراري ...

• 20.09.2014

  تم تصنيع مكبر الصوت (انظر الصورة) وفقًا للمخطط التقليدي مع التحيز التلقائي للمصابيح: الإخراج - AL5 ، السائقين - 6G7 ، kenotron - AZ1. يظهر رسم تخطيطي لإحدى قناتي مكبر الصوت المجسم في الشكل 1. من التحكم في مستوى الصوت ، تدخل الإشارة إلى شبكة المصباح 6G7 ، ويتم تضخيمها ، ومن أنود هذا المصباح ، من خلال مكثف العزل C4 ، يتم تغذيتها إلى ...

• 15.11.2017

  NE555 - مؤقت عالمي - جهاز لتكوين (توليد) نبضات مفردة ومتكررة بخصائص زمنية ثابتة. إنه RS flip-flop غير متزامن مع عتبات إدخال محددة ، ومقارنات تناظرية محددة بدقة ومقسم جهد مدمج (دقة الزناد Schmitt مع RS flip-flop). يتم استخدامه لبناء العديد من المولدات والمعدلات ومرحلات الوقت وأجهزة العتبة وغيرها ...

- هذا متعدد السطوح يتكون من قاعدة الهرم وقسم مواز له. يمكننا القول أن الهرم المقطوع هو هرم ذو قمة مقطوعة. هذا الرقم له العديد من الخصائص الفريدة:

• الوجوه الجانبية للهرم هي شبه منحرف.
• تكون الأضلاع الجانبية للهرم المنتظم المقطوع من نفس الطول وتميل إلى القاعدة عند نفس الزاوية ؛
• القواعد هي مضلعات متشابهة ؛
• في الهرم العادي المقطوع ، تكون الوجوه شبه منحرف متساوي الساقين ، مساحتها متساوية. تميل أيضًا إلى القاعدة بزاوية واحدة.

صيغة مساحة السطح الجانبي للهرم المقطوع هي مجموع مساحات أضلاعه:

نظرًا لأن جوانب الهرم المقطوع شبه منحرف ، فسيتعين عليك استخدام الصيغة لحساب المعلمات منطقة شبه منحرف. بالنسبة للهرم المقطوع المنتظم ، يمكن تطبيق صيغة أخرى لحساب المساحة. نظرًا لأن جميع جوانبها ووجوهها وزواياها عند القاعدة متساوية ، فمن الممكن تطبيق محيطي القاعدة والقسم ، وكذلك اشتقاق المساحة من خلال الزاوية عند القاعدة.

إذا تم ، وفقًا للشروط الموجودة في الهرم المقطوع المنتظم ، تحديد طول الضلع (ارتفاع الضلع) وأطوال جوانب القاعدة ، فيمكن عندئذٍ حساب المنطقة من خلال نصف حاصل ضرب مجموع محيطات القواعد والصيدلة:

لنلق نظرة على مثال لحساب مساحة السطح الجانبية للهرم المقطوع.
إعطاء هرم خماسي منتظم. Apothem ل= 5 سم طول الوجه في القاعدة الكبيرة أ\ u003d 6 سم ، والوجه عند القاعدة الأصغر ب= 4 سم احسب مساحة الهرم المقطوع.

أولًا ، لنجد محيط القاعدتين. نظرًا لأننا حصلنا على هرم خماسي ، فإننا نفهم أن القواعد خماسية. هذا يعني أن القواعد عبارة عن شكل له خمسة أضلاع متطابقة. أوجد محيط القاعدة الأكبر:

بالطريقة نفسها ، نجد محيط القاعدة الأصغر:

يمكننا الآن حساب مساحة الهرم المقطوع المنتظم. نستبدل البيانات في الصيغة:

وهكذا ، قمنا بحساب مساحة الهرم المقطوع المنتظم من خلال المحيطات والمقصورة.

طريقة أخرى لحساب مساحة السطح الجانبية للهرم المنتظم هي الصيغة من خلال الزوايا عند القاعدة ومنطقة هذه القواعد بالذات.

لنلقِ نظرة على مثال حسابي. تذكر أن هذه الصيغة تنطبق فقط على هرم مبتور منتظم.

دعونا نعطي هرم منتظم رباعي الزوايا. وجه القاعدة السفلية أ = 6 سم ، ووجه الجزء العلوي ب = 4 سم ، والزاوية ثنائية الأضلاع عند القاعدة β = 60 درجة. أوجد مساحة السطح الجانبية لهرم مبتور منتظم.

أولًا ، لنحسب مساحة القاعدتين. نظرًا لأن الهرم منتظم ، فإن جميع وجوه القواعد متساوية مع بعضها البعض. إذا كانت القاعدة رباعية ، فإننا نفهم أنه سيكون من الضروري إجراء الحساب مساحة مربعة. إنه حاصل ضرب العرض والطول ، لكن تربيع هذه القيم هي نفسها. أوجد مساحة القاعدة الأكبر:


الآن نستخدم القيم التي تم العثور عليها لحساب مساحة السطح الجانبية.

بمعرفة بعض الصيغ البسيطة ، قمنا بسهولة بحساب مساحة شبه المنحرف الجانبي لهرم مبتور من خلال قيم مختلفة.

تعد القدرة على حساب حجم الأشكال المكانية مهمة في حل عدد من المشكلات العملية في الهندسة. أحد الأشكال الأكثر شيوعًا هو الهرم. في هذه المقالة ، سننظر في الأهرامات ، كاملة ومبتورة.

الهرم كشكل ثلاثي الأبعاد

يعلم الجميع عن الأهرامات المصرية ، لذلك لديهم فكرة جيدة عن الشكل الذي سيتم مناقشته. ومع ذلك ، فإن الهياكل الحجرية المصرية ليست سوى حالة خاصة لفئة ضخمة من الأهرامات.

الكائن الهندسي قيد النظر في الحالة العامة هو قاعدة متعددة الأضلاع ، كل رأس منها متصل بنقطة ما في الفضاء لا تنتمي إلى المستوى الأساسي. يؤدي هذا التعريف إلى شكل يتكون من مثلثين n-gon و n.

يتكون أي هرم من n + 1 وجوه ، 2 * n حواف و n + 1 رءوس. نظرًا لأن الشكل قيد النظر هو متعدد السطوح المثالي ، فإن عدد العناصر المميزة تخضع لمعادلة أويلر:

2 * n = (n + 1) + (n + 1) - 2.

يعطي المضلع الموجود في القاعدة اسم الهرم ، على سبيل المثال ، مثلث وخماسي وما إلى ذلك. تظهر مجموعة من الأهرامات بقواعد مختلفة في الصورة أدناه.

النقطة التي ترتبط عندها n مثلثات من الشكل تسمى قمة الهرم. إذا تم خفض عمودي منه إلى القاعدة وتقاطعها في المركز الهندسي ، فسيتم تسمية هذا الشكل بالخط المستقيم. إذا لم يتم استيفاء هذا الشرط ، فهناك هرم مائل.

الشكل المستقيم ، الذي يتكون قاعدته من n-gon متساوي الأضلاع (متساوي الزوايا) ، يسمى منتظم.

صيغة الهرم

لحساب حجم الهرم ، نستخدم حساب التفاضل والتكامل. للقيام بذلك ، نقسم الشكل على مستويات قاطعة موازية للقاعدة إلى عدد لا حصر له من الطبقات الرقيقة. يوضح الشكل أدناه هرمًا رباعي الزوايا بارتفاع h وطول ضلعه L ، حيث يتم تمييز طبقة رقيقة من المقطع برباعي الأضلاع.

يمكن حساب مساحة كل طبقة من خلال الصيغة:

أ (ض) = أ 0 * (ح- ض) 2 / س 2.

هنا A 0 هي مساحة القاعدة ، و z هي قيمة الإحداثي الرأسي. يمكن ملاحظة أنه إذا كانت z = 0 ، فإن الصيغة تعطي القيمة A 0.

للحصول على صيغة حجم الهرم ، يجب أن تحسب التكامل على ارتفاع الشكل بالكامل ، أي:

V = ∫ h 0 (A (z) * dz).

باستبدال الاعتماد A (z) وحساب المشتق العكسي ، نصل إلى التعبير:

V = -A 0 * (ح ض) 3 / (3 * س 2) | ح 0 \ u003d 1/3 * A 0 * ح.

لقد حصلنا على صيغة حجم الهرم. للعثور على قيمة V ، يكفي ضرب ارتفاع الشكل في مساحة القاعدة ، ثم قسمة النتيجة على ثلاثة.

لاحظ أن التعبير الناتج يكون صالحًا لحساب حجم هرم من نوع عشوائي. وهذا يعني أنه يمكن أن يكون مائلاً ، ويمكن أن تكون قاعدته عبارة عن n-gon تعسفي.

وحجمه

يمكن تحسين الصيغة العامة للحجم التي تم الحصول عليها في الفقرة أعلاه في حالة وجود هرم بقاعدة منتظمة. يتم حساب مساحة هذه القاعدة بالصيغة التالية:

A 0 = n / 4 * L 2 * ctg (pi / n).

هنا L هو طول ضلع مضلع منتظم برؤوس n. الرمز pi هو الرقم pi.

بالتعويض عن التعبير عن A 0 في الصيغة العامة ، نحصل على حجم الهرم المنتظم:

V n = 1/3 * n / 4 * L 2 * h * ctg (pi / n) = n / 12 * L 2 * h * ctg (pi / n).

على سبيل المثال ، بالنسبة للهرم الثلاثي ، تؤدي هذه الصيغة إلى التعبير التالي:

V 3 \ u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 o) \ u003d √3 / 12 * L 2 * h.

بالنسبة للهرم رباعي الزوايا العادي ، تأخذ صيغة الحجم الشكل:

V 4 \ u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \ u003d 1/3 * L 2 * h.

يتطلب تحديد أحجام الأهرامات المنتظمة معرفة جانب قاعدتها وارتفاع الشكل.

الهرم مقطوع

لنفترض أننا اتخذنا هرمًا اعتباطيًا وقطعنا جزءًا من سطحه الجانبي يحتوي على الرأس. الرقم المتبقي يسمى الهرم المقطوع. يتكون بالفعل من قاعدتين n-gonal و n شبه منحرف يربط بينهما. إذا كان مستوى القطع موازيًا لقاعدة الشكل ، فسيتم تكوين هرم مقطوع بقواعد مماثلة متوازية. أي ، يمكن الحصول على أطوال جانبي أحدهما بضرب أطوال الآخر في بعض المعامل k.

يوضح الشكل أعلاه شكلًا منتظمًا مبتورًا ، ويمكن ملاحظة أن قاعدته العلوية ، مثل القاعدة السفلية ، تتكون من شكل سداسي منتظم.

الصيغة التي يمكن اشتقاقها باستخدام حساب متكامل مشابه لما ورد أعلاه هي:

الخامس = 1/3 * ح * (أ 0 + أ 1 + √ (أ 0 * أ 1)).

حيث A 0 و A 1 هي مناطق القاعدة (الكبيرة) والسفلية (الصغيرة) ، على التوالي. يشير المتغير h إلى ارتفاع الهرم المقطوع.

حجم هرم خوفو

من الغريب حل مشكلة تحديد الحجم الذي يحتويه أكبر هرم مصري.

في عام 1984 ، حدد عالما المصريات البريطانيان مارك لينر وجون جودمان الأبعاد الدقيقة لهرم خوفو. كان ارتفاعه الأصلي 146.50 مترًا (حاليًا حوالي 137 مترًا). كان متوسط ​​طول كل جانب من الجوانب الأربعة للهيكل 230.363 مترًا. قاعدة الهرم مربعة بدقة عالية.

دعنا نستخدم الأرقام الموضحة لتحديد حجم هذا الحجر العملاق. نظرًا لأن الهرم رباعي الزوايا منتظم ، فإن الصيغة صالحة له:

بالتعويض بالأرقام ، نحصل على:

الخامس 4 \ u003d 1/3 * (230.363) 2 * 146.5 ≈ 2591444 م 3.

يبلغ حجم هرم خوفو ما يقرب من 2.6 مليون م 3. للمقارنة ، نلاحظ أن المسبح الأولمبي يبلغ حجمه 2.5 ألف م 3. أي لملء هرم خوفو بأكمله ، ستكون هناك حاجة إلى أكثر من 1000 تجمع من هذا القبيل!