المشكلة 1. إحداثيات رؤوس المثلث ABC معطاة: A(4; 3)، B(16;-6)، C(20; 16). أوجد: 1) طول الضلع AB؛ 2) معادلات الضلعين AB وBC ومعاملاتها الزاوية. 3) الزاوية B بالراديان بدقة رقمين؛ 4) معادلة الارتفاع CD وطوله؛ 5) معادلة الوسيط AE وإحداثيات النقطة K لتقاطع هذا الوسيط مع الارتفاع CD؛ 6) معادلة الخط المستقيم الذي يمر بالنقطة K موازياً للضلع AB؛ 7) إحداثيات النقطة M، تقع بشكل متناظر مع النقطة A نسبة إلى الخط المستقيم CD.

حل:

1. يتم تحديد المسافة d بين النقطتين A(x 1 ,y 1) و B(x 2 ,y 2) بواسطة الصيغة

بتطبيق (1) نجد طول الضلع AB:

2. معادلة الخط الذي يمر عبر النقطتين A(x 1 ,y 1) و B(x 2 ,y 2) لها الشكل

(2)

بالتعويض بإحداثيات النقطتين A وB في (2)، نحصل على معادلة الضلع AB:

بعد حل المعادلة الأخيرة لـ y نجد معادلة الضلع AB على شكل معادلة خط مستقيم ذات معامل زاوية:

أين

بتعويض إحداثيات النقطتين B وC في (2)، نحصل على معادلة الخط المستقيم BC:

أو

3. من المعروف أن ظل الزاوية المحصورة بين خطين مستقيمين تكون معاملاتهما الزاوية متساوية على التوالي، يتم حسابه بالصيغة

(3)

الزاوية المرغوبة B تتشكل من الخطوط المستقيمة AB و BC، والتي تم العثور على معاملاتها الزاوية: وبالتطبيق على (3)، نحصل على

أو سعيد.

4. معادلة الخط المار هذه النقطةفي اتجاه معين، لديه النموذج

(4)

الارتفاع CD متعامد مع الجانب AB. لإيجاد ميل الارتفاع CD، نستخدم شرط التعامد بين الخطوط. منذ ذلك الحين بالتعويض في (4) إحداثيات النقطة C ومعامل الارتفاع الزاوي الموجود، نحصل على ذلك

للعثور على طول الارتفاع CD، نحدد أولاً إحداثيات النقطة D - نقطة تقاطع الخطين المستقيمين AB وCD. حل النظام معا:

نجد أولئك. د(8;0).

باستخدام الصيغة (1) نجد طول قرص الارتفاع:

5. لإيجاد معادلة الوسيط AE، نحدد أولاً إحداثيات النقطة E، التي هي منتصف الضلع BC، باستخدام صيغ تقسيم القطعة إلى جزأين متساويين:

(5)

لذلك،

بالتعويض بإحداثيات النقطتين A وE في (2)، نجد معادلة الوسيط:

لإيجاد إحداثيات نقطة تقاطع الارتفاع CD والوسيط AE، نحل معًا نظام المعادلات

نجد.

6. بما أن الخط المستقيم المطلوب يوازي الضلع AB، فإن معامل زاويته سيكون مساوياً لمعامل زاوي الخط المستقيم AB. بالتعويض في (4) إحداثيات النقطة الموجودة K والمعامل الزاوي الذي نحصل عليه

3س + 4ص – 49 = 0 (ك.ف)

7. بما أن الخط المستقيم AB متعامد مع القرص المضغوط للخط المستقيم، فإن النقطة M المرغوبة، والتي تقع بشكل متماثل على النقطة A بالنسبة للخط المستقيم CD، تقع على الخط المستقيم AB. بالإضافة إلى ذلك، النقطة D هي نقطة المنتصف للقطعة AM. باستخدام الصيغ (5)، نجد إحداثيات النقطة المطلوبة M:

تم إنشاء المثلث ABC والارتفاع CD والوسيط AE والخط المستقيم KF والنقطة M في نظام الإحداثيات xOy في الشكل 1. 1.

المهمة 2. أنشئ معادلة لموضع النقاط التي تكون مسافاتها من نقطة معينة A(4; 0) وإلى خط معين x=1 تساوي 2.

حل:

في نظام الإحداثيات xOy، نقوم ببناء النقطة A(4;0) والخط المستقيم x = 1. دع M(x;y) تكون نقطة عشوائية للموقع الهندسي المطلوب للنقاط. دعونا نخفض العمود MB على الخط المعطى x = 1 ونحدد إحداثيات النقطة B. وبما أن النقطة B تقع على الخط المحدد، فإن الإحداثي الإحداثي الخاص بها يساوي 1. إحداثيات النقطة B تساوي إحداثيات النقطة M لذلك، B(1;y) (الشكل 2).

حسب شروط المشكلة |MA|: |MV| = 2. المسافات |MA| و |ميجا بايت| نجد من الصيغة (1) للمشكلة 1:

بتربيع الجانبين الأيمن والأيسر، نحصل على

أو

المعادلة الناتجة هي قطع زائد حيث نصف المحور الحقيقي هو a = 2، ونصف المحور التخيلي هو

دعونا نحدد بؤر القطع الزائد. بالنسبة للقطع الزائد، فإن المساواة راضية - الحيل المبالغة. كما ترون، النقطة المعطاة A(4;0) هي التركيز الصحيح للقطع الزائد.

دعونا نحدد الانحراف المركزي للقطع الزائد الناتج:

معادلات الخطوط المقاربة للقطع الزائد لها الشكل و . ولذلك، أو و هي الخطوط المقاربة للقطع الزائد. قبل إنشاء القطع الزائد، نقوم ببناء الخطوط المقاربة له.

المشكلة 3. أنشئ معادلة لموضع النقاط المتساوية البعد عن النقطة A(4; 3) والخط المستقيم y = 1. اختصر المعادلة الناتجة إلى أبسط صورة.

حل:اجعل M(x; y) إحدى نقاط الموضع الهندسي المطلوب للنقاط. دعونا نسقط MB المتعامد من النقطة M إلى هذا الخط المستقيم y = 1 (الشكل 3). دعونا نحدد إحداثيات النقطة B. من الواضح أن حدود النقطة B تساوي حدود النقطة M، وإحداثيات النقطة B تساوي 1، أي B(x; 1). حسب شروط المشكلة |MA|=|MV|. وبالتالي، بالنسبة لأي نقطة M(x;y) تنتمي إلى الموقع الهندسي المرغوب للنقاط، تكون المساواة التالية صحيحة:

تحدد المعادلة الناتجة قطعًا مكافئًا له قمة عند النقطة، ولتقريب معادلة القطع المكافئ إلى أبسط صورها، دعونا نجعل y + 2 = Y، ثم تأخذ معادلة القطع المكافئ الشكل:

يمارس. النقاط A (2,1)، B (1،-2)، C (-1،0) هي رؤوس المثلث ABC.
أ) أوجد معادلات أضلاع المثلث ABC.
ب) أوجد معادلة أحد متوسطات المثلث ABC.
ج) أوجد معادلة أحد ارتفاعات المثلث ABC.
د) أوجد معادلة أحد منصفات المثلثاي بي سي.
ه) أوجد مساحة المثلث ABC.

حلنفذت بمساعدة آلة حاسبة.
إحداثيات المثلث معطاة: A(2,1)، B(1,-2)، C(-1,0).
1) إحداثيات المتجهات
نجد إحداثيات المتجهات باستخدام الصيغة:
X = س ي - س ط ; ص = ذ ي - ذ ط

على سبيل المثال، بالنسبة للمتجه AB

س = 1-2 = -1؛ ص = -2-1 = -3
أب(-1;-3)
أس (-3؛-1)
قبل الميلاد(-2;2)
2) وحدات المتجهات

3) الزاوية بين الخطوط المستقيمة
يمكن إيجاد الزاوية بين المتجهات a 1 (X 1 ;Y 1) وa 2 (X 2 ;Y 2) باستخدام الصيغة:

حيث أ 1 أ 2 = × 1 × 2 + ص 1 ص 2
أوجد الزاوية بين الضلعين AB وAC

γ = قوس (0.6) = 53.13 0
4) الإسقاط المتجه
الإسقاط المتجه بإلى المتجه أيمكن العثور عليها باستخدام الصيغة:

لنجد إسقاط المتجه AB على المتجه AC

5) مساحة المثلث



حل


باستخدام الصيغة نحصل على:

6) تقسيم القطعة في هذه العلاقة
يتم تحديد متجه نصف القطر r للنقطة A، بتقسيم الجزء AB بنسبة AA:AB = m 1:m 2، بالصيغة:

تم العثور على إحداثيات النقطة A باستخدام الصيغ:




معادلة متوسط ​​المثلث
دعونا نشير إلى منتصف الجانب BC بالحرف M. ثم سنجد إحداثيات النقطة M باستخدام الصيغ لتقسيم القطعة إلى النصف.


م(0؛-1)
نوجد معادلة الوسيط AM باستخدام صيغة معادلة الخط المستقيم الذي يمر باثنين نقاط معينة. يمر الوسيط AM عبر النقطتين A(2;1) وM(0;-1)، وبالتالي:

أو

أو
ص = س -1 أو ص -س +1 = 0
7) معادلة الخط


معادلة الخط AB

أو

أو
ص = 3س -5 أو ص -3س +5 = 0
معادلة الخط AC

أو

أو
ص = 1 / 3 س + 1 / 3 أو 3ص -س - 1 = 0
معادلة الخط BC

أو

أو
ص = -س -1 أو ص + س +1 = 0
8) طول ارتفاع المثلث المرسوم من الرأس A
المسافة d من النقطة M 1 (x 1 ;y 1) إلى الخط المستقيم Ax + By + C = 0 تساوي القيمة المطلقة للكمية:

أوجد المسافة بين النقطة A(2;1) والخط BC (y + x +1 = 0)

9) معادلة الارتفاع من خلال الرأس C
الخط المستقيم الذي يمر عبر النقطة M 0 (x 0 ;y 0) والمتعامد على الخط المستقيم Ax + By + C = 0 له متجه اتجاه (A;B) وبالتالي يتم تمثيله بالمعادلات:


ويمكن العثور على هذه المعادلة بطريقة أخرى. للقيام بذلك، دعونا نجد الميل k 1 للخط المستقيم AB.
المعادلة AB: ص = 3س -5، أي. ك 1 = 3
لنجد المعامل الزاوي k للعمودي من حالة عمودي خطين مستقيمين: k 1 *k = -1.
باستبدال ميل هذا الخط بدلاً من k 1 نحصل على:
3 ك = -1، حيث ك = -1 / 3
بما أن العمودي يمر بالنقطة C(-1,0) وله k = -1 / 3، فسنبحث عن معادلته بالصيغة: y-y 0 = k(x-x 0).
استبدال x 0 = -1، k = -1 / 3، y 0 = 0 نحصل على:
ص-0 = -1 / 3 (س-(-1))
أو
ص = -1/3 س - 1/3
معادلة منصف المثلث
دعونا نجد منصف الزاوية A. دعونا نشير إلى نقطة تقاطع المنصف مع الجانب BC بالرمز M.
دعونا نستخدم الصيغة:

معادلة AB: y -3x +5 = 0، معادلة AC: 3y -x - 1 = 0

^أ ≈ 53 0
المنصف يقسم الزاوية إلى النصف، وبالتالي فإن الزاوية NAK ≈ 26.5 0
ميل AB يساوي 3 (بما أن y -3x +5 = 0). زاوية الميل 72
^ NKA≈ 180 0 - 72 0 = 108 0
^ أنك ≈ 180 0 - (108 0 + 26.5 0) ≈ 45.5 0
تيراغرام (45.5 0) = 1
يمر المنصف بالنقطة A(2,1)، وباستخدام الصيغة نحصل على:
ص - ص 0 = ك(س - س 0)
ص - 1 = 1(س - 2)
أو
ص=س-1
تحميل

مثال. إحداثيات رؤوس المثلث ABC معطاة: A(–3; –1), B(4; 6), C(8; –2).
المطلوب: 1) حساب طول جانب الطائرة. 2) أنشئ معادلة للضلع BC؛ 3) أوجد الزاوية الداخلية للمثلث عند الرأس B؛ 4) قم بتكوين معادلة للارتفاع AK المرسومة من الرأس A؛ 5) العثور على إحداثيات مركز ثقل المثلث المتجانس (نقاط تقاطع متوسطاته)؛ 6) عمل رسم في نظام الإحداثيات.

يمارس. إحداثيات رؤوس المثلث ABC معطاة: A(7;4)، B(-9;-8)، C(-2;16). مطلوب:

1. اكتب معادلة للوسيط المرسوم من الرأس B واحسب طوله.
2. اكتب معادلة الارتفاع المرسوم من الرأس A واحسب طوله.
3. أوجد جيب تمام الزاوية الداخلية B للمثلث ABC.

جعل الرسم.

تحميل الحل

المثال رقم 3. بالنظر إلى الرؤوس A(1;1)، B(7;4)، C(4;5) للمثلث. أوجد: 1) طول الضلع AB؛ 2) الزاوية الداخلية A بالراديان بدقة 0.001. جعل الرسم.
تحميل

المثال رقم 4. بالنظر إلى الرؤوس A(1;1)، B(7;4)، C(4;5) للمثلث. أوجد: 1) معادلة الارتفاع المرسوم عبر الرأس C؛ 2) معادلة الوسيط المرسوم عبر الرأس C؛ 3) نقطة تقاطع ارتفاعات المثلث. 4) طول الارتفاع الذي تم إنزاله من قمة الرأس C. قم بعمل رسم.
تحميل

المثال رقم 5. بالنظر إلى رؤوس المثلث ABC: A(-5;0)، B(7;-9)، C(11;13). حدد: 1) طول الضلع AB؛ 2) معادلة الضلعين AB وAC ومعاملاتهما الزاوية؛ 3) مساحة المثلث.

نجد إحداثيات المتجهات باستخدام الصيغة: X = x j - x i ; ص = ذ ي - ذ ط
هنا إحداثيات X,Y للمتجه؛ x i, y i - إحداثيات النقطة A i; x j, y j - إحداثيات النقطة A j
على سبيل المثال، بالنسبة للمتجه AB
س = س 2 - س 1 ; ص = ص 2 - ص 1
س = 7-(-5) = 12؛ ص = -9-0 = -9
AB(12;-9)، AC(16;13)، BC(4;22).

طول أضلاع المثلث
يتم التعبير عن طول المتجه a(X;Y) من خلال إحداثياته ​​بالصيغة:


مساحة المثلث
اجعل النقاط A 1 (x 1 ; y 1)، A 2 (x 2 ; y 2)، A 3 (x 3 ; y 3) هي رؤوس المثلث، ثم يتم التعبير عن مساحته بالصيغة:

على الجانب الأيمن يوجد محدد من الدرجة الثانية. مساحة المثلث دائما موجبة.
حل. وبأخذ A كرأس أول نجد أن:

باستخدام الصيغة نحصل على:

معادلة الخط
يتم تمثيل الخط المستقيم الذي يمر بالنقطتين A 1 (x 1 ; y 1) و A 2 (x 2 ; y 2) بالمعادلتين:

معادلة الخط AB
المعادلة الكنسية للخط:

أو

أو
ص = -3 / 4 × -15 / 4 أو 4ص + 3س +15 = 0
ميل الخط المستقيم AB يساوي k = -3 / 4
معادلة الخط AC

أو

أو
ص = 13/16 س + 65/16 أو 16ص -13س - 65 = 0
ميل الخط المستقيم AB يساوي k = 13 / 16

يمارس. تم إعطاء إحداثيات رؤوس الهرم ABCD. مطلوب:

1. اكتب المتجهات في نظام ort وابحث عن وحدات هذه المتجهات.
2. أوجد الزاوية بين المتجهات.
3. أوجد إسقاط المتجه على المتجه.
4. أوجد مساحة الوجه ABC.
5. أوجد حجم الهرم ABCD.

حل
المثال رقم 1
أ 1 (1,8,2)، أ 2 (5,2,6)، أ 3 (0,-1,-2)، أ 4 (-2,3,-1): المثال رقم 2
أ 1 (5,2,1)، أ 2 (-3,9,3)، أ 3 (-1,3,5)، أ 4 (-1,-5,2): المثال رقم 3
أ 1 (-1,0,2)، أ 2 (-2,0,6)، أ 3 (-3,1,2)، أ 4 (-1,2,4): المثال رقم 4

يمارس. يجد زاوية حادةبين السطور x + y -5 = 0 و x + 4y - 8 = 0.
توصيات للحل. يتم حل المشكلة من خلال الخدمة الزاوية بين خطين مستقيمين.
إجابة: 30.96 س

المثال رقم 1. يتم إعطاء إحداثيات النقاط A1(1;0;2)، A2(2;1;1)، A3(-1;2;0)، A4(-2;-1;-1). أوجد طول الحافة A1A2. قم بإنشاء معادلة للحافة A1A4 والوجه A1A2A3. اكتب معادلة الارتفاع المنخفض من النقطة A4 إلى المستوى A1A2A3. أوجد مساحة المثلث A1A2A3. أوجد حجم الهرم الثلاثي A1A2A3A4.

نجد إحداثيات المتجهات باستخدام الصيغة: X = x j - x i ; ص = ذ ي - ذ أنا ; ض = ض ي - ض ط
هنا إحداثيات X،Y،Zالمتجه؛ x i, y i, z i - إحداثيات النقطة A i; x j, y j, z j - إحداثيات النقطة A j;
لذلك، بالنسبة للمتجه A 1 A 2 سيكون كما يلي:
س = س 2 - س 1 ; ص = ص 2 - ص 1 ; ض = ض 2 - ض 1
س = 2-1؛ ص = 1-0؛ ض = 1-2
أ 1 أ 2 (1;1;-1)
أ 1 أ 3 (-2;2;-2)
أ 1 أ 4 (-3;-1;-3)
أ 2 أ 3 (-3;1;-1)
أ 2 أ 4 (-4;-2;-2)
أ 3 أ 4 (-1;-3;-1)
يتم التعبير عن طول المتجه a(X;Y;Z) من خلال إحداثياته ​​بالصيغة:

كيف تتعلم حل المشاكل في الهندسة التحليلية؟
مهمة نموذجيةمع مثلث على متن الطائرة

تم إنشاء هذا الدرس حول الاقتراب من خط الاستواء بين هندسة المستوى وهندسة الفضاء. في هذه اللحظةهناك حاجة إلى تنظيم المعلومات المتراكمة والإجابة على سؤال مهم للغاية: كيف تتعلم حل المشاكل في الهندسة التحليلية؟تكمن الصعوبة في أنه يمكنك التوصل إلى عدد لا حصر له من المسائل في الهندسة، ولن يحتوي أي كتاب دراسي على هذا العدد الكبير والمتنوع من الأمثلة. ليس مشتق من وظيفةمع خمس قواعد للتمايز وجدول والعديد من التقنيات….

هل هناك حل! لن أتحدث بصوت عالٍ عن حقيقة أنني قمت بتطوير نوع من التقنية الفخمة، ولكن في رأيي، هناك نهج فعال للمشكلة قيد النظر، والذي يسمح حتى دمية كاملة بتحقيق نتائج جيدة وممتازة. على الأقل خوارزمية الحل العام مشاكل هندسيةتشكلت بشكل واضح جدا في رأسي.

ما تحتاج إلى معرفته وتكون قادرًا على القيام به
لحل المشاكل الهندسية بنجاح؟

لا يوجد مفر من هذا - حتى لا تضغط على الأزرار بشكل عشوائي بأنفك، فأنت بحاجة إلى إتقان أساسيات الهندسة التحليلية. لذلك، إذا كنت قد بدأت للتو في دراسة الهندسة أو نسيتها تمامًا، فيرجى البدء بالدرس ناقلات للدمى. بالإضافة إلى المتجهات والأفعال معها، تحتاج إلى معرفة المفاهيم الأساسية للهندسة المستوية، على وجه الخصوص، معادلة الخط في الطائرةو . يتم عرض هندسة الفضاء في المقالات معادلة الطائرة, معادلات الخط في الفضاء, المسائل الأساسية على الخط المستقيم والمستوى وبعض الدروس الأخرى. الخطوط المنحنية والأسطح المكانية من الدرجة الثانية تقف متباعدة إلى حد ما، و مهام محددةليس كثيرا معهم.

لنفترض أن الطالب لديه بالفعل المعرفة والمهارات الأساسية في حل أبسط مشاكل الهندسة التحليلية. ولكن يحدث الأمر على النحو التالي: تقرأ بيان المشكلة، وتريد إغلاق الأمر برمته، ورميه في الزاوية البعيدة وتنسى كيف كابوس. علاوة على ذلك، فإن هذا لا يعتمد بشكل أساسي على مستوى مؤهلاتك، فمن وقت لآخر أواجه بنفسي مهام لا يكون حلها واضحًا. ماذا تفعل في مثل هذه الحالات؟ لا داعي للخوف من مهمة لا تفهمها!

أولاً، يجب تثبيت - هل هذه مشكلة "مسطحة" أم مكانية؟على سبيل المثال، إذا كانت الحالة تتضمن متجهات بإحداثيتين، فهذه هي هندسة المستوى بالطبع. وإذا قام المعلم بتحميل المستمع الممتن بالهرم، فمن الواضح أن هناك هندسة الفضاء. نتائج الخطوة الأولى جيدة جدًا بالفعل، لأننا تمكنا من قطع كمية هائلة من المعلومات غير الضرورية لهذه المهمة!

ثانية. عادة ما تهمك الحالة ببعض الأشكال الهندسية. في الواقع، قم بالسير على طول ممرات جامعتك الأصلية، وسترى الكثير من الوجوه القلقة.

في المسائل "المسطحة"، ناهيك عن النقاط والخطوط الواضحة، يكون الشكل الأكثر شيوعًا هو المثلث. سنقوم بتحليلها بتفصيل كبير. بعد ذلك يأتي متوازي الأضلاع، والأقل شيوعًا هو المستطيل والمربع والمعين والدائرة والأشكال الأخرى.

في المهام المكانية يمكن لنفس المهام أن تطير شخصيات مسطحة+ الطائرات نفسها والأخرى المشتركة أهرامات ثلاثيةمع متوازي السطوح.

السؤال الثاني - هل تعرف كل شيء عن هذا الرقم؟لنفترض أن الحالة تتحدث عن مثلث متساوي الساقين، وأنك تتذكر بشكل غامض نوع المثلث الذي هو عليه. نفتح الكتاب المدرسي ونقرأ عنه مثلث متساوي الساقين. ماذا أفعل... قال الطبيب المعين، وهذا يعني المعين. الهندسة التحليلية هي الهندسة التحليلية، ولكن سوف يساعد في حل المشكلة خصائص هندسيةالأرقام نفسها، والمعروف لدينا من المنهج المدرسي. إذا كنت لا تعرف ما هو مجموع زوايا المثلث، يمكن أن تعاني لفترة طويلة.

ثالث. حاول دائمًا متابعة الرسم(على مسودة/نسخة نهائية/عقلية) ولو لم يقتضي الشرط ذلك. في المسائل "المسطحة"، أمر إقليدس نفسه بالتقاط مسطرة وقلم رصاص - ليس فقط لفهم الحالة، ولكن أيضًا لغرض الاختبار الذاتي. في هذه الحالة، المقياس الأكثر ملاءمة هو 1 وحدة = 1 سم (خليتان للكمبيوتر الدفتري). دعونا لا نتحدث عن الطلاب وعلماء الرياضيات المهملين الذين يدورون في قبورهم - يكاد يكون من المستحيل ارتكاب خطأ في مثل هذه المشكلات. بالنسبة للمهام المكانية، نقوم بإجراء رسم تخطيطي، مما سيساعد أيضًا في تحليل الحالة.

غالبًا ما يسمح لك الرسم أو الرسم التخطيطي برؤية طريقة حل المشكلة على الفور. بالطبع، لهذا تحتاج إلى معرفة أسس الهندسة وفهم خصائص الأشكال الهندسية (انظر الفقرة السابقة).

الرابع. تطوير خوارزمية الحل. العديد من المسائل الهندسية متعددة الخطوات، لذا فإن الحل وتصميمه مناسب جدًا لتقسيمه إلى نقاط. غالبًا ما تتبادر إلى ذهنك الخوارزمية فورًا بعد قراءة الشرط أو إكمال الرسم. في حالة الصعوبات، نبدأ بمسألة المهمة. على سبيل المثال، وفقًا للشرط "تحتاج إلى إنشاء خط مستقيم...". وهنا السؤال الأكثر منطقية هو: "ما الذي يجب معرفته لبناء هذا الخط المستقيم؟" لنفترض أننا "نعرف النقطة، ونحتاج إلى معرفة متجه الاتجاه". نطرح السؤال التالي: "كيف يمكن العثور على متجه الاتجاه هذا؟ أين؟" إلخ.

في بعض الأحيان يكون هناك "خطأ" - لم يتم حل المشكلة وهذا كل شيء. قد تكون أسباب التوقف ما يلي:

– فجوة خطيرة في المعرفة الأساسية. بمعنى آخر، أنت لا تعرف و/أو لا ترى شيئًا بسيطًا جدًا.

– الجهل بخصائص الأشكال الهندسية.

- كانت المهمة صعبة. نعم، يحدث ذلك. لا فائدة من التبخير لساعات وجمع الدموع في منديل. اطلب النصيحة من معلمك أو زملائك الطلاب أو اطرح سؤالاً في المنتدى. علاوة على ذلك، من الأفضل أن تجعل بيانها ملموسًا - حول ذلك الجزء من الحل الذي لا تفهمه. صرخة على شكل "كيف تحل المشكلة؟" لا يبدو جيدًا جدًا، وقبل كل شيء، لسمعتك الخاصة.

المرحلة الخامسة. نحن نقرر-نتحقق، نقرر-نتحقق، نقرر-نتحقق-نعطي إجابة. من المفيد التحقق من كل نقطة من المهمة مباشرة بعد الانتهاء منه. سيساعدك هذا على اكتشاف الخطأ على الفور. بطبيعة الحال، لا أحد يمنع حل المشكلة برمتها بسرعة، ولكن هناك خطر إعادة كتابة كل شيء مرة أخرى (في كثير من الأحيان عدة صفحات).

ربما تكون هذه هي جميع الاعتبارات الرئيسية التي ينبغي مراعاتها عند حل المشكلات.

الجزء العملي من الدرس معروض في الهندسة المستوية. سيكون هناك مثالين فقط، ولكن لن يبدو كافيا =)

دعنا نستعرض موضوع الخوارزمية الذي قمت بتغطيته للتو في كتابي الصغير عمل علمي:

مثال 1

يتم إعطاء ثلاثة رؤوس متوازي الأضلاع. العثور على القمة.

لنبدأ بالفهم:

الخطوةالاولى: من الواضح أننا نتحدث عن مشكلة "مسطحة".

الخطوة الثانية: المشكلة تتعامل مع متوازي الأضلاع. هل يتذكر الجميع هذا الشكل المتوازي الأضلاع؟ ليست هناك حاجة للابتسام، فالكثير من الناس يتلقون تعليمهم في سن 30-40-50 أو أكثر، لذلك حتى الحقائق البسيطة يمكن محوها من الذاكرة. تعريف متوازي الأضلاع موجود في المثال رقم 3 من الدرس الاعتماد الخطي (غير) للمتجهات. أساس المتجهات.

الخطوة الثالثة: لنقم بعمل رسم نحدد عليه ثلاثة رؤوس معروفة. من المضحك أنه ليس من الصعب بناء النقطة المطلوبة على الفور:

إن بنائه أمر جيد بالطبع، ولكن يجب صياغة الحل بشكل تحليلي.

الخطوة الرابعة: تطوير خوارزمية الحل. أول ما يتبادر إلى الذهن هو أنه يمكن العثور على نقطة كتقاطع الخطوط. نحن لا نعرف معادلاتهم، لذلك سيتعين علينا التعامل مع هذه المسألة:

1) الضلعان المتقابلان متوازيان. بالنقاط دعونا نجد متجه الاتجاه لهذه الجوانب. هذا أبسط مهمةالذي تمت مناقشته في الفصل ناقلات للدمى.

ملحوظة: من الأصح أن نقول "معادلة خط يحتوي على جانب" ، ولكن هنا وللإيجاز أكثر سأستخدم عبارات "معادلة الجانب" ، "متجه اتجاه الجانب" ، إلخ.

3) الضلعان المتقابلان متوازيان. وباستخدام النقاط، نجد متجه الاتجاه لهذه الجوانب.

4) لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه

في الفقرات 1-2 و3-4 قمنا بالفعل بحل نفس المشكلة مرتين، بالمناسبة تمت مناقشتها في المثال رقم 3 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. كان من الممكن اتباع طريق أطول - ابحث أولاً عن معادلات الخطوط وبعد ذلك فقط "اسحب" متجهات الاتجاه منها.

5) الآن أصبحت معادلات الخطوط معروفة. يبقى بناء وحل النظام المقابل المعادلات الخطية(انظر المثالين رقم 4، 5 من نفس الدرس). أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى).

تم العثور على هذه النقطة.

المهمة بسيطة للغاية وحلها واضح، ولكن هناك طريقة أقصر!

الحل الثاني:

أقطار متوازي الأضلاع مقسمة بنقطة تقاطعها. لقد حددت النقطة، ولكن من أجل عدم تشويش الرسم، لم أرسم الأقطار نفسها.

دعونا نؤلف معادلة الجانب نقطة بنقطة :

للتحقق، يجب عليك عقليًا أو على مسودة استبدال إحداثيات كل نقطة في المعادلة الناتجة. الآن دعونا نجد المنحدر. وللقيام بذلك نعيد كتابة المعادلة العامة في صورة معادلة ذات معامل الميل:

وبالتالي فإن المنحدر هو:

وبالمثل، نجد معادلات الجانبين. لا أرى فائدة كبيرة في وصف نفس الشيء، لذلك سأقدمه على الفور النتيجة النهائية:

2) أوجد طول الضلع. هذه هي أبسط مشكلة يتم تناولها في الفصل. ناقلات للدمى. للحصول على نقاط نستخدم الصيغة:

باستخدام نفس الصيغة، من السهل العثور على أطوال الجوانب الأخرى. يمكن إجراء الفحص بسرعة كبيرة باستخدام مسطرة عادية.

نحن نستخدم الصيغة .

لنجد المتجهات:

هكذا:

بالمناسبة، على طول الطريق وجدنا أطوال الجانبين.

نتيجة ل:

حسنًا، يبدو أن هذا صحيح، ولكي تكون مقنعًا، يمكنك إرفاق منقلة بالزاوية.

انتباه! لا تخلط بين زاوية المثلث والزاوية الواقعة بين الخطوط المستقيمة. يمكن أن تكون زاوية المثلث منفرجة، لكن لا يمكن أن تكون الزاوية بين الخطوط المستقيمة (راجع الفقرة الأخيرة من المقال أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى). ومع ذلك، للعثور على زاوية المثلث، يمكنك أيضًا استخدام الصيغ من الدرس أعلاه، ولكن الخشونة هي أن تلك الصيغ تعطي دائمًا زاوية حادة. وبمساعدتهم، قمت بحل هذه المشكلة في المسودة وحصلت على النتيجة. وفي النسخة النهائية، يجب أن أكتب أعذارًا إضافية.

4) اكتب معادلة المستقيم الذي يمر بنقطة موازية للخط.

المهمة القياسية، تمت مناقشتها بالتفصيل في المثال رقم 2 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. من المعادلة العامةمستقيم دعونا نخرج ناقل الدليل. لنقم بإنشاء معادلة خط مستقيم باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

كيفية العثور على ارتفاع المثلث؟

5) لنقم بإنشاء معادلة للارتفاع ونوجد طوله.

ليس هناك مفر من التعريفات الصارمة، لذلك سيتعين عليك سرقة الكتاب المدرسي:

ارتفاع المثلث ويسمى العمودي المرسوم من رأس المثلث على الخط الذي يحتوي على الضلع المقابل له.

أي أنه من الضروري إنشاء معادلة للخط العمودي المرسوم من الرأس إلى الجانب. تمت مناقشة هذه المهمة في الأمثلة رقم 6، 7 من الدرس أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوى. من مكافئ. إزالة الناقل العادي. لنقم بتكوين معادلة الارتفاع باستخدام نقطة ومتجه اتجاه:

يرجى ملاحظة أننا لا نعرف إحداثيات النقطة.

في بعض الأحيان يتم العثور على معادلة الارتفاع من نسبة المعاملات الزاوية للخطوط المتعامدة: . ففي هذه الحالة إذن: . لنقم بتكوين معادلة الارتفاع باستخدام نقطة ومعامل زاوي (انظر بداية الدرس معادلة الخط المستقيم على المستوى):

يمكن العثور على طول الارتفاع بطريقتين.

هناك طريق دوار:

أ) العثور على - نقطة تقاطع الارتفاع والجانب؛
ب) أوجد طول القطعة باستخدام نقطتين معروفتين.

ولكن في الصف أبسط المسائل المتعلقة بالخط المستقيم على المستوىتم النظر في صيغة مناسبة للمسافة من نقطة إلى خط. النقطة معروفة: ومعادلة الخط معروفة أيضاً: ، هكذا:

6) احسب مساحة المثلث . في الفضاء، يتم حساب مساحة المثلث تقليديا باستخدام ناقلات المنتج من ناقلات، ولكن هنا لدينا مثلث على المستوى. نستخدم صيغة المدرسة:
- مساحة المثلث تساوي نصف حاصل ضرب قاعدته وارتفاعه.

في هذه الحالة:

كيفية العثور على متوسط ​​المثلث؟

7) دعونا ننشئ معادلة للوسيط.

متوسط ​​المثلث تسمى القطعة التي تصل رأس المثلث بمنتصف الضلع المقابل.

أ) أوجد النقطة - منتصف الجانب. نحن نستخدم صيغ إحداثيات نقطة المنتصف للقطعة. إحداثيات نهايات القطعة معروفة: ثم إحداثيات الوسط:

هكذا:

لنقم بتكوين المعادلة المتوسطة نقطة بنقطة :

للتحقق من المعادلة، تحتاج إلى استبدال إحداثيات النقاط فيها.

8) أوجد نقطة تقاطع الارتفاع والوسيط. أعتقد أن الجميع قد تعلموا بالفعل كيفية أداء هذا العنصر من التزلج على الجليد دون السقوط: