In dieser Lektion werden wir die Formel für die Summe der Terme eines Finales ableiten arithmetische Folge und lösen Sie einige Probleme mit dieser Formel.

Thema: Fortschritte

Lektion: Formel für die Summe der Terme einer endlichen arithmetischen Folge

1. Einleitung

Betrachten Sie das Problem: Finden Sie die Summe natürliche Zahlen von 1 bis einschließlich 100.

Gegeben: 1, 2, 3, …, 98, 99, 100.

Finden Sie: S100=1+2+3 … +98 + 99 + 100.

Lösung: S100=(1+100)+(2+99)+(3+98)+…+(50+51)=101+101+101+…+101=101 x 50=5050.

Antwort: 5050.

Die Folge der natürlichen Zahlen 1, 2, 3, …, 98, 99, 100 ist arithmetische Folge: a1=1, d=1.

Wir haben die Summe der ersten hundert natürlichen Zahlen gefunden, also die Summe der ersten n Begriffe einer arithmetischen Folge.

Die überlegte Lösung wurde vom großen Mathematiker Carl Friedrich Gauß vorgeschlagen, der im 19. Jahrhundert lebte. Er löste das Problem im Alter von 5 Jahren.

Historischer Bezug: Johann Carl Friedrich Gauß (1777–1855) war ein deutscher Mathematiker, Mechaniker, Physiker und Astronom. Gilt als einer der größten Mathematiker aller Zeiten, der „König der Mathematiker“. Preisträger der Copley-Medaille (1838), ausländisches Mitglied der schwedischen (1821) und russischen (1824) Akademie der Wissenschaften sowie der englischen Royal Society. Der Legende nach forderte ein Mathematiklehrer an einer Schule die Kinder auf, die Summe der Zahlen von 1 bis 100 zu zählen, um sie lange zu beschäftigen. Der junge Gauß bemerkte, dass paarweise Summen von Gegensätzen gleich sind: 1+100=101 , 2+99=101 usw. usw. und erhielt sofort das Ergebnis: 101x50=5050.

2. Herleitung der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge

Betrachten wir ein ähnliches Problem für eine beliebige arithmetische Folge.

Finden: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge.

Zeigen wir, dass alle Ausdrücke in Klammern untereinander gleich sind, nämlich mit dem Ausdruck . Sei d die Differenz einer arithmetischen Folge. Dann:

Usw. Daher können wir schreiben:

Woher bekommen wir die Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge:

.

3. Lösen von Problemen mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

1. Lösen wir das Problem der Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge:

Lösung: a1=1, d=1, n=100.

Allgemeine Formel:

.

In unserem Fall: .

Antwort: 5050.

Allgemeine Formel:

. Finden wir den n-ten Term der arithmetischen Folge mithilfe der Formel: .

In unserem Fall: .

Um zu finden, muss man zuerst finden.

Dies kann mit der allgemeinen Formel erfolgen .Zuerst wenden wir diese Formel an, um die Differenz einer arithmetischen Folge zu ermitteln.

Das ist . Bedeutet .

Jetzt können wir finden.

Verwendung der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

, wir werden es finden.

4. Herleitung der zweiten Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge

Erhalten wir die zweite Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge, nämlich: Wir beweisen das .

Nachweisen:

In der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge Ersetzen wir den Ausdruck durch , nämlich . Wir erhalten: , d.h. . Q.E.D.

Lassen Sie uns die resultierenden Formeln analysieren. Für Berechnungen mit der ersten Formel Sie müssen den ersten Term, den letzten Term und n mithilfe der zweiten Formel kennen - Sie müssen den ersten Term, die Differenz und n kennen.

Und abschließend stellen wir fest, dass Sn auf jeden Fall vorhanden ist quadratische Funktion von n, weil .

5. Lösen von Problemen mit der zweiten Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

Allgemeine Formel:

.

In unserem Fall:.

Antwort: 403.

2. Ermitteln Sie die Summe aller zweistellige Zahlen, Vielfaches von 4.

(12; 16; 20; …; 96) – eine Menge von Zahlen, die die Bedingungen des Problems erfüllen.

Das heißt, wir haben eine arithmetische Folge.

n finden wir aus der Formel für:.

Das ist . Bedeutet .

Verwendung der zweiten Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge

, wir werden es finden.

Sie müssen die Summe aller Terme vom 10. bis einschließlich 25. ermitteln.

Eine Lösung ist diese:

Somit, .

6. Zusammenfassung der Lektion

Wir haben also Formeln für die Summe der Terme einer endlichen arithmetischen Folge abgeleitet. Wir haben diese Formeln verwendet, um einige Probleme zu lösen.

In der nächsten Lektion lernen wir die charakteristische Eigenschaft der arithmetischen Progression kennen.

1. Makarychev Yu. N. et al. Algebra 9. Klasse (Lehrbuch für das Gymnasium). - M.: Bildung, 1992.

2. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G., Neshkov, K. I. Algebra für die 9. Klasse mit Fortgeschrittenen. studiert Mathematik.-M.: Mnemosyne, 2003.

3. Makarychev Yu. N., Mindyuk N. G. Zusätzliche Kapitel für das Algebra-Lehrbuch der 9. Klasse. - M.: Prosveshchenie, 2002.

4. Galitsky M. L., Goldman A. M., Zvavich L. I. Sammlung von Algebra-Aufgaben für die Klassen 8-9 ( Lernprogramm für Schüler von Schulen und höheren Klassen. studiert Mathematik).-M.: Pädagogik, 1996.

5. Mordkovich A.G. Algebra 9. Klasse, Lehrbuch für allgemeinbildende Einrichtungen. - M.: Mnemosyne, 2002.

6. Mordkovich A. G., Mishutina T. N., Tulchinskaya E. E. Algebra 9. Klasse, Problembuch für Bildungseinrichtungen. - M.: Mnemosyne, 2002.

7. Glazer G. I. Geschichte der Mathematik in der Schule. Klassen 7-8 (Lehrerhandbuch). - M.: Bildung, 1983.

1. College-Bereich. ru in Mathematik.

2. Portal der Naturwissenschaften.

3. Exponenta. ru Pädagogische mathematische Website.

1. Nr. 362, 371, 377, 382 (Makarychev Yu. N. et al. Algebra 9. Klasse).

2. Nr. 12.96 (Galitsky M.L., Goldman A.M., Zvavich L.I. Sammlung von Algebra-Aufgaben für die Klassen 8-9).

Summe einer arithmetischen Folge.

Die Summe einer arithmetischen Folge ist eine einfache Sache. Sowohl in der Bedeutung als auch in der Formel. Aber zu diesem Thema gibt es allerhand Aufgaben. Von einfach bis ziemlich solide.

Lassen Sie uns zunächst die Bedeutung und Formel des Betrags verstehen. Und dann werden wir entscheiden. Zu Ihrem eigenen Vergnügen.) Die Bedeutung des Betrags ist so einfach wie ein Muh. Um die Summe einer arithmetischen Folge zu ermitteln, müssen Sie lediglich alle Terme sorgfältig addieren. Wenn es nur wenige Begriffe gibt, können Sie diese ohne Formeln hinzufügen. Aber wenn es viel ist, oder viel... das Hinzufügen ist ärgerlich.) In diesem Fall hilft die Formel.

Die Formel für den Betrag ist einfach:

Lassen Sie uns herausfinden, welche Buchstaben in der Formel enthalten sind. Das wird einiges klären.

S n - die Summe einer arithmetischen Folge. Additionsergebnis alle Mitglieder, mit Erste Von zuletzt. Es ist wichtig. Sie summieren sich genau Alle Mitglieder in einer Reihe, ohne zu überspringen oder zu überspringen. Und genau ab Erste. Bei Problemen wie der Ermittlung der Summe des dritten und achten Termes oder der Summe des fünften bis zwanzigsten Termes wird die direkte Anwendung der Formel enttäuschen.)

eine 1 - Erste Mitglied der Progression. Hier ist alles klar, es ist einfach Erste Zeilennummer.

ein- zuletzt Mitglied der Progression. Letzte Nummer Reihe. Kein sehr bekannter Name, aber wenn man ihn auf die Menge anwendet, ist er sehr passend. Dann werden Sie es selbst sehen.

N - Nummer des letzten Mitglieds. Es ist wichtig zu verstehen, dass diese Zahl in der Formel enthalten ist stimmt mit der Anzahl der hinzugefügten Begriffe überein.

Lassen Sie uns das Konzept definieren zuletzt Mitglied ein. Knifflige Frage: Welches Mitglied wird sein? der Letzte wenn gegeben endlos arithmetische Folge?)

Um sicher antworten zu können, müssen Sie die elementare Bedeutung der arithmetischen Folge verstehen und ... die Aufgabe sorgfältig lesen!)

Bei der Aufgabe, die Summe einer arithmetischen Folge zu ermitteln, erscheint immer der letzte Term (direkt oder indirekt), was begrenzt sein sollte. Ansonsten ein endgültiger, konkreter Betrag existiert einfach nicht. Für die Lösung spielt es keine Rolle, ob die Progression gegeben ist: endlich oder unendlich. Es spielt keine Rolle, wie es angegeben wird: eine Reihe von Zahlen oder eine Formel für den n-ten Term.

Das Wichtigste ist zu verstehen, dass die Formel vom ersten Term der Progression bis zum Term mit Zahl funktioniert N. Tatsächlich sieht der vollständige Name der Formel so aus: die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge. Die Zahl dieser allerersten Mitglieder, d.h. N, wird allein durch die Aufgabe bestimmt. In einer Aufgabe werden all diese wertvollen Informationen oft verschlüsselt, ja ... Aber egal, in den folgenden Beispielen enthüllen wir diese Geheimnisse.)

Beispiele für Aufgaben zur Summe einer arithmetischen Folge.

Vor allem, eine nützliche Information:

Die Hauptschwierigkeit bei Aufgaben, bei denen es um die Summe einer arithmetischen Folge geht, ist richtige Definition Elemente der Formel.

Die Aufgabenschreiber verschlüsseln genau diese Elemente mit grenzenloser Fantasie.) Hier kommt es vor allem darauf an, keine Angst zu haben. Um das Wesen der Elemente zu verstehen, genügt es, sie einfach zu entschlüsseln. Schauen wir uns einige Beispiele im Detail an. Beginnen wir mit einer Aufgabe, die auf einem echten GIA basiert.

1. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingung gegeben: a n = 2n-3,5. Finden Sie die Summe der ersten 10 Terme.

Gute Arbeit. Ganz einfach.) Was müssen wir wissen, um die Menge mithilfe der Formel zu ermitteln? Erstes Mitglied eine 1, das letzte Semester ein, ja die Nummer des letzten Mitglieds N.

Wo erhalte ich die letzte Mitgliedsnummer? N? Ja, genau dort, unter der Bedingung! Es heißt: Finden Sie die Summe ersten 10 Mitglieder. Nun, mit welcher Nummer wird es sein? zuletzt, zehntes Mitglied?) Sie werden es nicht glauben, seine Nummer ist das zehnte!) Daher statt ein Wir werden in die Formel ersetzen eine 10, und stattdessen N- zehn. Ich wiederhole, die Nummer des letzten Mitglieds stimmt mit der Anzahl der Mitglieder überein.

Es bleibt abzuwarten eine 1 Und eine 10. Dies lässt sich leicht mit der Formel für den n-ten Term berechnen, die in der Problemstellung angegeben ist. Sie wissen nicht, wie das geht? Nehmen Sie an der vorherigen Lektion teil, ohne diese geht es nicht.

eine 1= 2 1 - 3,5 = -1,5

eine 10=2·10 - 3,5 =16,5

S n = S 10.

Wir haben die Bedeutung aller Elemente der Formel für die Summe einer arithmetischen Folge herausgefunden. Es bleibt nur noch, sie zu ersetzen und zu zählen:

Das ist es. Antwort: 75.

Eine weitere Aufgabe basierend auf dem GIA. Etwas komplizierter:

2. Gegeben sei eine arithmetische Folge (a n), deren Differenz 3,7 beträgt; a 1 =2,3. Finden Sie die Summe der ersten 15 Terme.

Wir schreiben sofort die Summenformel:

Mit dieser Formel können wir den Wert eines beliebigen Begriffs anhand seiner Zahl ermitteln. Wir suchen nach einer einfachen Substitution:

a 15 = 2,3 + (15-1) 3,7 = 54,1

Es bleibt noch, alle Elemente in die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge einzusetzen und die Antwort zu berechnen:

Antwort: 423.

Übrigens, wenn in der Summenformel statt ein Wir ersetzen einfach den n-ten Term durch die Formel und erhalten:

Stellen wir ähnliche vor und erhalten eine neue Formel für die Summe der Terme einer arithmetischen Folge:

Wie Sie sehen, ist dies hier nicht erforderlich n. Semester ein. Bei manchen Problemen hilft diese Formel sehr, ja... Sie können sich diese Formel merken. Ist es möglich in richtiger Moment Es ist einfach, es anzuzeigen, wie hier. Schließlich müssen Sie sich immer die Formel für die Summe und die Formel für den n-ten Term merken.)

Nun die Aufgabe in Form einer kurzen Verschlüsselung):

3. Ermitteln Sie die Summe aller positiven zweistelligen Zahlen, die ein Vielfaches von drei sind.

Wow! Weder Ihr erstes Mitglied, noch Ihr letztes, noch überhaupt ein Fortschritt ... Wie soll man leben!?

Sie müssen mit dem Kopf denken und alle Elemente der Summe der arithmetischen Folge aus der Bedingung herausziehen. Wir wissen, was zweistellige Zahlen sind. Sie bestehen aus zwei Zahlen.) Welche zweistellige Zahl wird sein? Erste? 10, vermutlich.) A letztes Ding zweistellige Zahl? 99, natürlich! Die Dreistelligen werden ihm folgen...

Vielfache von drei... Hm... Das sind hier Zahlen, die durch drei teilbar sind! Zehn ist nicht durch drei teilbar, 11 ist nicht teilbar... 12... ist teilbar! Es entsteht also etwas. Sie können bereits eine Reihe entsprechend den Bedingungen des Problems aufschreiben:

12, 15, 18, 21, ... 96, 99.

Wird diese Serie eine arithmetische Folge sein? Sicherlich! Jeder Begriff unterscheidet sich vom vorherigen um genau drei Punkte. Wenn man beispielsweise zu einem Begriff 2 oder 4 addiert, erhält man das Ergebnis, d.h. die neue Zahl ist nicht mehr durch 3 teilbar. Den Unterschied der arithmetischen Folge können Sie sofort ermitteln: d = 3. Es wird sich als nützlich erweisen!)

Daher können wir einige Fortschrittsparameter sicher aufschreiben:

Wie hoch wird die Zahl sein? N letztes Mitglied? Wer denkt, dass 99 ist, irrt sich gewaltig... Die Zahlen stehen immer hintereinander, aber unsere Mitglieder springen über drei. Sie passen nicht zusammen.

Hier gibt es zwei Lösungen. Eine Möglichkeit ist für die Superfleißigen. Sie können den Verlauf und die gesamte Zahlenreihe aufschreiben und die Anzahl der Mitglieder mit Ihrem Finger zählen.) Der zweite Weg ist für Nachdenkliche. Sie müssen sich die Formel für den n-ten Term merken. Wenn wir die Formel auf unser Problem anwenden, stellen wir fest, dass 99 der dreißigste Term der Progression ist. Diese. n = 30.

Schauen wir uns die Formel für die Summe einer arithmetischen Folge an:

Wir schauen und freuen uns.) Wir haben der Problemstellung alles Notwendige entnommen, um den Betrag zu berechnen:

eine 1= 12.

ein 30= 99.

S n = S 30.

Es bleibt nur noch die elementare Arithmetik. Wir setzen die Zahlen in die Formel ein und berechnen:

Antwort: 1665

Eine andere Art beliebter Rätsel:

4. Gegeben sei eine arithmetische Folge:

-21,5; -20; -18,5; -17; ...

Finden Sie die Summe der Terme vom zwanzigsten bis zum vierunddreißigsten.

Wir schauen uns die Formel für den Betrag an und ... wir regen uns auf.) Ich möchte Sie daran erinnern, dass die Formel den Betrag berechnet vom ersten Mitglied. Und in der Aufgabe müssen Sie die Summe berechnen seit dem zwanzigsten... Die Formel wird nicht funktionieren.

Sie können natürlich die gesamte Progression in einer Reihe aufschreiben und Begriffe von 20 bis 34 hinzufügen. Aber... das ist irgendwie dumm und dauert lange, oder?)

Es gibt eine elegantere Lösung. Teilen wir unsere Serie in zwei Teile. Der erste Teil wird sein vom ersten Semester bis zum neunzehnten. Zweiter Teil - von zwanzig bis vierunddreißig. Das ist klar, wenn wir die Summe der Terme des ersten Teils berechnen S 1-19, addieren wir es mit der Summe der Terme des zweiten Teils S 20-34 erhalten wir die Summe der Progression vom ersten bis zum vierunddreißigsten Term S 1-34. So:

S 1-19 + S 20-34 = S 1-34

Daraus können wir ersehen, dass wir die Summe finden S 20-34 kann durch einfache Subtraktion erfolgen

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19

Es werden beide Beträge auf der rechten Seite berücksichtigt vom ersten Mitglied, d.h. Die Standardsummenformel ist auf sie durchaus anwendbar. Lass uns anfangen?

Wir extrahieren die Fortschrittsparameter aus der Problemstellung:

d = 1,5.

eine 1= -21,5.

Um die Summen der ersten 19 und ersten 34 Terme zu berechnen, benötigen wir den 19. und 34. Term. Wir berechnen sie mit der Formel für den n-ten Term, wie in Aufgabe 2:

ein 19= -21,5 +(19-1) 1,5 = 5,5

eine 34= -21,5 +(34-1) 1,5 = 28

Da ist nichts übrig. Subtrahieren Sie von der Summe von 34 Termen die Summe von 19 Termen:

S 20-34 = S 1-34 - S 1-19 = 110,5 - (-152) = 262,5

Antwort: 262,5

Ein wichtiger Hinweis! Es gibt einen sehr nützlichen Trick, um dieses Problem zu lösen. Statt direkter Berechnung was Sie brauchen (S 20-34), wir haben gezählt etwas, das scheinbar nicht nötig ist – S 1-19. Und dann haben sie entschieden S 20-34, wobei das Unnötige aus dem Gesamtergebnis entfernt wird. Diese Art von „Finte mit den Ohren“ rettet einen oft vor schlimmen Problemen.)

In dieser Lektion haben wir uns mit Problemen befasst, bei denen es ausreicht, die Bedeutung der Summe einer arithmetischen Folge zu verstehen. Nun, Sie müssen ein paar Formeln kennen.)

Praktische Ratschläge:

Wenn Sie ein Problem lösen, bei dem es um die Summe einer arithmetischen Folge geht, empfehle ich, sofort die beiden Hauptformeln aus diesem Thema aufzuschreiben.

Formel für den n-ten Term:

Diese Formeln verraten Ihnen sofort, worauf Sie achten und in welche Richtung Sie denken müssen, um das Problem zu lösen. Hilft.

Und nun die Aufgaben zur eigenständigen Lösung.

5. Ermitteln Sie die Summe aller zweistelligen Zahlen, die nicht durch drei teilbar sind.

Cool?) Der Hinweis ist in der Notiz zu Problem 4 versteckt. Nun, Problem 3 wird helfen.

6. Die arithmetische Folge ist durch die Bedingung gegeben: a 1 = -5,5; a n+1 = a n +0,5. Finden Sie die Summe der ersten 24 Terme.

Ungewöhnlich?) Dies ist eine wiederkehrende Formel. Sie können darüber in der vorherigen Lektion lesen. Ignorieren Sie den Link nicht, solche Probleme gibt es häufig in der Staatlichen Akademie der Wissenschaften.

7. Vasya hat Geld für den Urlaub gespart. Bis zu 4550 Rubel! Und ich beschloss, meinem Lieblingsmenschen (mir selbst) ein paar glückliche Tage zu schenken. Lebe schön, ohne dir etwas zu verweigern. Geben Sie am ersten Tag 500 Rubel aus und an jedem weiteren Tag geben Sie 50 Rubel mehr aus als am vorherigen! Bis das Geld ausgeht. Wie viele glückliche Tage hatte Vasya?

Ist es schwierig? Wird es helfen? Zusatzformel ab Aufgabe 2.

Antworten (in Unordnung): 7, 3240, 6.

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Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

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NUMERISCHE SEQUENZEN VI

§ 144. Summe der Terme einer arithmetischen Folge

Sie sagen, dass eines Tages ein Lehrer Grundschule Um die Klasse lange mit selbstständiger Arbeit zu beschäftigen, stellte er den Kindern eine „schwierige“ Aufgabe – die Summe aller natürlichen Zahlen von 1 bis 100 zu berechnen:

1 + 2 + 3 + 4 + ... + 100.

Einer der Studenten schlug sofort eine Lösung vor. Hier ist es.:

1+2 +3+... + 98 +99+ 100 = (1 + 100) + (2 + 99) + (3 + 98) + ... +(49 + 52)+ (50 + 51) =
= 101 + 101 + . . . + 101 + 101 = 101 50 = 5050.
50 mal

Das war Carl Gauß, der später einer der berühmtesten Mathematiker der Welt* wurde.

*Ein ähnlicher Fall mit Gauß ist tatsächlich passiert. Allerdings ist es hier stark vereinfacht. Die vom Lehrer vorgeschlagenen Zahlen waren fünfstellig und bildeten eine arithmetische Folge mit einer dreistelligen Differenz.

Die Idee einer solchen Lösung kann verwendet werden, um die Summe der Terme einer beliebigen arithmetischen Folge zu ermitteln.

Lemma. Die Summe zweier Terme einer endlichen arithmetischen Folge mit gleichem Abstand von den Enden ist gleich der Summe der Extremterme.

Zum Beispiel in einer endlichen arithmetischen Folge

1, 2, 3.....98, 99, 100

Die Terme 2 und 99, 3 und 98, 4 und 97 usw. sind von den Enden dieser Folge gleich weit entfernt. Daher sind ihre Summen 2 + 99, 3 + 98, 4 + 97 gleich der Summe der Extremterme 1 + 100.

Beweis des Lemmas. Lassen Sie eine endliche arithmetische Folge ein

A 1 , A 2 , ..., A N - 1 , A N

Zwei beliebige Mitglieder sind gleich weit von den Enden entfernt. Nehmen wir an, dass einer von ihnen einer ist k Das heißt, der Term auf der linken Seite A k , und der andere - k das ist der th-Term auf der rechten Seite A N -k+ 1 . Dann

A k + A N -k+ 1 =[A 1 + (k - 1)D ] + [A 1 + (p - k )D ] = 2A 1 + (N - 1)D .

Die Summe der Extremterme dieser Progression ist gleich

A 1 + A N = A 1 + [A 1 + (N - 1)D ] = 2A 1 + (N - 1)D .

Auf diese Weise,

A k + A N -k+ 1 = A 1 + A N

Q.E.D.

Mit dem bewährten Lemma ist es leicht zu erhalten allgemeine Formel für den Betrag P Mitglieder jeder arithmetischen Folge.

S N = A 1 +A 2 + ...+ A N - 1 + A N

S N = A N + A N - 1 + ... + A 2 + A 1 .

Wenn wir diese beiden Gleichungen Term für Term addieren, erhalten wir:

2S N = (A 1 +A N ) + (A 2 +A N - 1)+...+(A N - 1 +A 2) + (A N +A 1)

A 1 +A N = A 2 +A N - 1 = A 3 +A N - 2 =... .

2S N = N (A 1 +A N ),

Die Summe der Terme einer endlichen arithmetischen Folge ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Extremterme und der Anzahl aller Terme.

Insbesondere,

Übungen

971. Finden Sie die Summe aller ungeraden dreistelligen Zahlen.

972. Wie viele Schläge schlägt eine Uhr tagsüber, wenn sie nur die Anzahl ganzer Stunden schlägt?

973. Was ist die Summe des ersten P Zahlen natürlicher Zahlen?

974. Leiten Sie die Formel für die Länge des Weges her, den ein Körper bei gleichmäßig beschleunigter Bewegung zurücklegt:

Wo v 0 – Anfangsgeschwindigkeit m/Sek , A - Beschleunigung hinein m/Sek 2 , T - Reisezeit in Sek.

975. Finden Sie die Summe aller irreduziblen Brüche mit Nenner 3 zwischen positiven ganzen Zahlen T Und P (T< п ).

976. Ein Arbeiter wartet 16 automatische Webstühle. Produktivität jeder Maschine A m/h. Um 7 Uhr schaltete der Arbeiter die erste Maschine ein H, und jedes nächste um 5 Mindest später als der vorherige. Finden Sie die Produktion in Metern für die ersten 2 heraus H arbeiten.

977. Gleichungen lösen:

a) 1 + 7 + 13 + ... + X = 280;

B) ( X + 1) + (X + 4) + (X + 7) +...+ (X + 28) = 155

978. Vom 1. Juli bis einschließlich 12. Juli stieg die Lufttemperatur täglich um durchschnittlich 1/2 Grad. Bestimmen Sie, wie hoch die Lufttemperatur am 1. Juli war, da die Durchschnittstemperatur in dieser Zeit 18 3/4 Grad betrug.

979. Finden Sie eine arithmetische Folge, deren arithmetisches Mittel ist P erste Begriffe für alle P gleich ihrer Anzahl.

980. Finden Sie die Summe der ersten zwanzig Terme der arithmetischen Folge, in der

A 6 + A 9 + A 12 + A 15 = 20.

Unterrichtsart: neues Material lernen.

Lernziele:

• Erweiterung und Vertiefung des Verständnisses der Schüler für Probleme, die mithilfe der arithmetischen Progression gelöst werden; Organisation Suchaktivität Studierende bei der Ableitung der Formel für die Summe der ersten n Glieder einer arithmetischen Folge;
• Entwicklung der Fähigkeit, sich selbstständig neues Wissen anzueignen und bereits erworbenes Wissen zur Lösung einer gegebenen Aufgabe zu nutzen;
• Entwicklung des Wunsches und der Notwendigkeit, die gewonnenen Fakten zu verallgemeinern, Entwicklung der Unabhängigkeit.

Aufgaben:

• Vorhandenes Wissen zum Thema „Arithmetische Progression“ zusammenfassen und systematisieren;
• Formeln zur Berechnung der Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge ableiten;
• lehren, wie man die erhaltenen Formeln bei der Lösung verschiedener Probleme anwendet;
• Machen Sie die Schüler auf das Verfahren zum Ermitteln des Werts eines numerischen Ausdrucks aufmerksam.

Ausrüstung:

• Karten mit Aufgaben für die Arbeit in Gruppen und Paaren;
• Bewertungspapier;
• Präsentation„Arithmetische Folge.“

I. Aktualisierung des Grundwissens.

1. Selbstständige Arbeit in Paaren.

1. Möglichkeit:

Arithmetische Folge definieren. Schreiben Sie eine Wiederholungsformel auf, die eine arithmetische Folge definiert. Bitte geben Sie ein Beispiel für eine arithmetische Folge an und geben Sie deren Differenz an.

2. Möglichkeit:

Schreiben Sie die Formel für das n-te Glied einer arithmetischen Folge auf. Finden Sie das 100. Glied der arithmetischen Folge ( ein}: 2, 5, 8 …
Zu diesem Zeitpunkt bereiten zwei Schüler auf der Rückseite der Tafel Antworten auf dieselben Fragen vor.
Die Schüler bewerten die Arbeit ihres Partners, indem sie sie an der Tafel überprüfen. (Bögen mit Antworten werden abgegeben.)

2. Spielmoment.

Übung 1.

Lehrer. Ich dachte an eine arithmetische Folge. Stellen Sie mir nur zwei Fragen, damit Sie nach den Antworten schnell den 7. Term dieser Progression benennen können. (1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15…)

Fragen von Studierenden.

1. Was ist das sechste Glied der Progression und was ist der Unterschied?
2. Was ist das achte Glied der Progression und was ist der Unterschied?

Wenn es keine weiteren Fragen gibt, kann der Lehrer sie anregen – ein „Verbot“ von d (Unterschied), das heißt, es darf nicht gefragt werden, was der Unterschied ist. Sie können Fragen stellen: Was ist der 6. Term der Progression und was ist der 8. Term der Progression?

Aufgabe 2.

Auf der Tafel stehen 20 Zahlen: 1, 4, 7 10, 13, 16, 19, 22, 25, 28, 31, 34, 37, 40, 43, 46, 49, 52, 55, 58.

Der Lehrer steht mit dem Rücken zur Tafel. Die Schüler rufen die Nummer an, und der Lehrer ruft sofort die Nummer selbst auf. Erklären Sie, wie ich das machen kann?

Der Lehrer erinnert sich an die Formel für das n-te Semester a n = 3n – 2 und findet durch Ersetzen der angegebenen Werte n die entsprechenden Werte ein.

II. Eine Lernaufgabe stellen.

Ich schlage vor, ein altes Problem aus dem 2. Jahrtausend v. Chr. zu lösen, das in ägyptischen Papyri gefunden wurde.

Aufgabe:„Lass euch sagen: Verteilt 10 Maß Gerste unter 10 Personen, der Unterschied zwischen jedem und seinem Nachbarn beträgt 1/8 des Maßes.“

• Wie hängt dieses Problem mit dem Thema arithmetische Progression zusammen? (Jede nächste Person erhält 1/8 des Maßes mehr, das heißt, die Differenz beträgt d=1/8, 10 Personen, also n=10.)
• Was bedeutet Ihrer Meinung nach die Zahl 10? (Summe aller Terme der Progression.)
• Was müssen Sie sonst noch wissen, um die Aufteilung der Gerste entsprechend den Problembedingungen einfach und unkompliziert zu gestalten? (Erstes Semester der Progression.)

Unterrichtsziel– Ermittlung der Abhängigkeit der Summe der Progressionsglieder von ihrer Zahl, dem ersten Glied und der Differenz und Überprüfung, ob das Problem in der Antike richtig gelöst wurde.

Bevor wir die Formel herleiten, schauen wir uns an, wie die alten Ägypter das Problem lösten.

Und sie haben es wie folgt gelöst:

1) 10 Maßnahmen: 10 = 1 Maßnahme – durchschnittlicher Anteil;
2) 1 Takt ∙ = 2 Takte – verdoppelt Durchschnitt Aktie.
Verdoppelt Durchschnitt Anteil ist die Summe der Anteile der 5. und 6. Person.
3) 2 Takte – 1/8 Takte = 1 7/8 Takte – doppelter Anteil der fünften Person.
4) 1 7/8: 2 = 5/16 – Bruchteil eines Fünftels; usw. Sie können den Anteil jeder vorherigen und nachfolgenden Person ermitteln.

Wir erhalten die Reihenfolge:

III. Lösung des Problems.

1. Arbeiten Sie in Gruppen

Gruppe I: Finden Sie die Summe von 20 aufeinanderfolgenden natürlichen Zahlen: S 20 =(20+1)∙10 =210.

Allgemein

II. Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 100 (Die Legende vom kleinen Gauss).

S 100 = (1+100)∙50 = 5050

Abschluss:

III-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 21.

Lösung: 1+21=2+20=3+19=4+18…

Abschluss:

IV-Gruppe: Finden Sie die Summe der natürlichen Zahlen von 1 bis 101.

Abschluss:

Diese Methode zur Lösung der betrachteten Probleme wird „Gauss-Methode“ genannt.

2. Jede Gruppe präsentiert die Lösung des Problems an der Tafel.

3. Verallgemeinerung der vorgeschlagenen Lösungen für eine beliebige arithmetische Folge:

a 1, a 2, a 3,…, a n-2, a n-1, a n.
S n =a 1 + a 2 + a 3 + a 4 +…+ a n-3 + a n-2 + a n-1 + a n.

Lassen Sie uns diese Summe mit ähnlichen Überlegungen ermitteln:

4. Haben wir das Problem gelöst?(Ja.)

IV. Primäres Verständnis und Anwendung der erhaltenen Formeln bei der Lösung von Problemen.

1. Überprüfung der Lösung eines alten Problems anhand der Formel.

2. Anwendung der Formel bei der Lösung verschiedener Probleme.

3. Übungen zur Entwicklung der Fähigkeit, Formeln bei der Lösung von Problemen anzuwenden.

A) Nr. 613

Gegeben: ( ein) - arithmetische Folge;

(a n): 1, 2, 3, …, 1500

Finden: S 1500

Lösung: , a 1 = 1 und 1500 = 1500,

B) Gegeben: ( ein) - arithmetische Folge;
(a n): 1, 2, 3, …
S n = 210

Finden: N
Lösung:

V. Unabhängiges Arbeiten mit gegenseitiger Überprüfung.

Denis begann als Kurier zu arbeiten. Im ersten Monat betrug sein Gehalt 200 Rubel, in jedem weiteren Monat erhöhte es sich um 30 Rubel. Wie viel hat er insgesamt in einem Jahr verdient?

Gegeben: ( ein) - arithmetische Folge;
a 1 = 200, d=30, n=12
Finden: S 12
Lösung:

Antwort: Denis erhielt für das Jahr 4380 Rubel.

VI. Hausaufgabenunterricht.

1. Abschnitt 4.3 – Lernen Sie die Ableitung der Formel.
2. №№ 585, 623 .
3. Erstellen Sie ein Problem, das mit der Formel für die Summe der ersten n Terme einer arithmetischen Folge gelöst werden kann.

VII. Zusammenfassung der Lektion.

1. Punkteblatt

2. Setzen Sie die Sätze fort

• Heute im Unterricht habe ich gelernt...
• Formeln gelernt...
• Ich glaube, dass …

3. Können Sie die Summe der Zahlen von 1 bis 500 ermitteln? Mit welcher Methode werden Sie dieses Problem lösen?

Referenzliste.

1. Algebra, 9. Klasse. Anleitung für Bildungsinstitutionen. Ed. G.V. Dorofeeva. M.: „Aufklärung“, 2009.

Beim Studium der Algebra in weiterführende Schule(9. Klasse) Eines der wichtigen Themen ist das Studium von Zahlenfolgen, die Progressionen umfassen – geometrisch und arithmetisch. In diesem Artikel betrachten wir eine arithmetische Folge und Beispiele mit Lösungen.

Was ist eine arithmetische Folge?

Um dies zu verstehen, ist es notwendig, den betreffenden Fortschritt zu definieren und die grundlegenden Formeln bereitzustellen, die später bei der Lösung von Problemen verwendet werden.

Eine arithmetische oder algebraische Folge ist eine Menge geordneter rationaler Zahlen, deren jedes Glied sich um einen konstanten Wert vom vorherigen unterscheidet. Dieser Wert wird als Differenz bezeichnet. Das heißt, wenn Sie jedes Mitglied einer geordneten Zahlenreihe und die Differenz kennen, können Sie die gesamte arithmetische Folge wiederherstellen.

Geben wir ein Beispiel. Die folgende Zahlenfolge stellt eine arithmetische Folge dar: 4, 8, 12, 16, ..., da die Differenz in diesem Fall 4 beträgt (8 - 4 = 12 - 8 = 16 - 12). Die Zahlenmenge 3, 5, 8, 12, 17 kann jedoch nicht mehr der betrachteten Art der Progression zugeordnet werden, da es für sie keinen Unterschied gibt konstanter Wert (5 - 3 ≠ 8 - 5 ≠ 12 - 8 ≠ 17 - 12).

Wichtige Formeln

Lassen Sie uns nun die Grundformeln vorstellen, die zur Lösung von Problemen mithilfe der arithmetischen Folge erforderlich sind. Bezeichnen wir mit dem Symbol a n das n-te Glied der Folge, wobei n eine ganze Zahl ist. Wir bezeichnen den Unterschied Lateinischer Buchstabe D. Dann gelten folgende Ausdrücke:

1. Um den Wert des n-ten Termes zu bestimmen, eignet sich folgende Formel: a n = (n-1)*d+a 1 .
2. Um die Summe der ersten n Terme zu bestimmen: S n = (a n +a 1)*n/2.

Um Beispiele für arithmetische Progression mit Lösungen in der 9. Klasse zu verstehen, reicht es aus, sich diese beiden Formeln zu merken, da alle Probleme der betrachteten Art auf ihrer Verwendung basieren. Sie sollten auch bedenken, dass die Progressionsdifferenz durch die Formel d = a n – a n-1 bestimmt wird.

Beispiel Nr. 1: Einen unbekannten Begriff finden

Lassen Sie uns ein einfaches Beispiel für eine arithmetische Folge und die Formeln geben, die zu ihrer Lösung verwendet werden müssen.

Gegeben sei die Folge 10, 8, 6, 4, ..., Sie müssen darin fünf Begriffe finden.

Aus den Bedingungen des Problems folgt bereits, dass die ersten 4 Terme bekannt sind. Die Quinte kann auf zwei Arten definiert werden:

1. Berechnen wir zunächst die Differenz. Wir haben: d = 8 - 10 = -2. Ebenso könnten Sie zwei beliebige andere Mitglieder nehmen, die nebeneinander stehen. Zum Beispiel d = 4 - 6 = -2. Da bekannt ist, dass d = a n – a n-1, dann ist d = a 5 – a 4, woraus wir erhalten: a 5 = a 4 + d. Wir ersetzen die bekannten Werte: a 5 = 4 + (-2) = 2.
2. Auch bei der zweiten Methode ist die Kenntnis des Unterschieds der betreffenden Progression erforderlich, daher muss dieser zunächst wie oben dargestellt ermittelt werden (d = -2). Da wir wissen, dass der erste Term a 1 = 10 ist, verwenden wir die Formel für die n-Zahl der Folge. Wir haben: a n = (n - 1) * d + a 1 = (n - 1) * (-2) + 10 = 12 - 2*n. Wenn wir n = 5 in den letzten Ausdruck einsetzen, erhalten wir: a 5 = 12-2 * 5 = 2.

Wie Sie sehen, führten beide Lösungen zum gleichen Ergebnis. Beachten Sie, dass in diesem Beispiel die Progressionsdifferenz d ein negativer Wert ist. Solche Folgen werden als absteigend bezeichnet, da jeder nächste Term kleiner ist als der vorherige.

Beispiel Nr. 2: Fortschrittsunterschied

Lassen Sie uns die Aufgabe nun etwas verkomplizieren und ein Beispiel dafür geben

Es ist bekannt, dass in einigen Fällen der 1. Term gleich 6 und der 7. Term gleich 18 ist. Es ist notwendig, den Unterschied zu finden und diese Reihenfolge auf den 7. Term wiederherzustellen.

Verwenden wir die Formel, um den unbekannten Term zu bestimmen: a n = (n - 1) * d + a 1 . Ersetzen wir darin die bekannten Daten aus der Bedingung, also die Zahlen a 1 und a 7, wir haben: 18 = 6 + 6 * d. Aus diesem Ausdruck können Sie die Differenz leicht berechnen: d = (18 - 6) /6 = 2. Damit haben wir den ersten Teil des Problems beantwortet.

Um die Folge auf den 7. Term wiederherzustellen, sollten Sie die Definition einer algebraischen Folge verwenden, also a 2 = a 1 + d, a 3 = a 2 + d usw. Als Ergebnis stellen wir die gesamte Sequenz wieder her: a 1 = 6, a 2 = 6 + 2=8, a 3 = 8 + 2 = 10, a 4 = 10 + 2 = 12, a 5 = 12 + 2 = 14 , a 6 = 14 + 2 = 16, a 7 = 18.

Beispiel Nr. 3: Erstellen einer Progression

Machen wir das Problem noch komplizierter. Jetzt müssen wir die Frage beantworten, wie man eine arithmetische Folge findet. Als Beispiel kann folgendes gegeben werden: Es werden zwei Zahlen angegeben, zum Beispiel 4 und 5. Es ist notwendig, eine algebraische Folge zu erstellen, damit drei weitere Terme dazwischen stehen.

Bevor Sie mit der Lösung dieses Problems beginnen, müssen Sie verstehen, welchen Platz die angegebenen Zahlen im zukünftigen Verlauf einnehmen werden. Da zwischen ihnen drei weitere Terme liegen, ist a 1 = -4 und a 5 = 5. Nachdem wir dies festgestellt haben, gehen wir zum Problem über, das dem vorherigen ähnlich ist. Auch für den n-ten Term verwenden wir die Formel, wir erhalten: a 5 = a 1 + 4 * d. Aus: d = (a 5 - a 1)/4 = (5 - (-4)) / 4 = 2,25. Was wir hier erhalten haben, ist kein ganzzahliger Wert der Differenz, aber er ist es Rationale Zahl, daher bleiben die Formeln für die algebraische Progression gleich.

Nun addieren wir die gefundene Differenz zu einer 1 und stellen die fehlenden Terme der Progression wieder her. Wir erhalten: a 1 = - 4, a 2 = - 4 + 2,25 = - 1,75, a 3 = -1,75 + 2,25 = 0,5, a 4 = 0,5 + 2,25 = 2,75, a 5 = 2,75 + 2,25 = 5, was übereinstimmte mit den Bedingungen des Problems.

Beispiel Nr. 4: erstes Progressionssemester

Lassen Sie uns weiterhin Beispiele für die arithmetische Folge mit Lösungen geben. Bei allen bisherigen Aufgaben war die erste Zahl der algebraischen Folge bekannt. Betrachten wir nun ein Problem anderer Art: Es seien zwei Zahlen gegeben, wobei a 15 = 50 und a 43 = 37. Es gilt herauszufinden, mit welcher Zahl diese Folge beginnt.

Die bisher verwendeten Formeln setzen die Kenntnis von a 1 und d voraus. In der Problemstellung ist über diese Zahlen nichts bekannt. Dennoch werden wir für jeden Term Ausdrücke aufschreiben, über die Informationen verfügbar sind: a 15 = a 1 + 14 * d und a 43 = a 1 + 42 * d. Wir haben zwei Gleichungen erhalten, in denen es zwei unbekannte Größen gibt (a 1 und d). Dies bedeutet, dass das Problem auf die Lösung eines linearen Gleichungssystems reduziert wird.

Der einfachste Weg, dieses System zu lösen, besteht darin, in jeder Gleichung eine 1 auszudrücken und dann die resultierenden Ausdrücke zu vergleichen. Erste Gleichung: a 1 = a 15 - 14 * d = 50 - 14 * d; zweite Gleichung: a 1 = a 43 - 42 * d = 37 - 42 * d. Wenn wir diese Ausdrücke gleichsetzen, erhalten wir: 50 - 14 * d = 37 - 42 * d, woraus sich die Differenz d = (37 - 50) / (42 - 14) = - 0,464 ergibt (es werden nur 3 Dezimalstellen angegeben).

Wenn Sie d kennen, können Sie jeden der beiden oben genannten Ausdrücke für eine 1 verwenden. Zum Beispiel zuerst: a 1 = 50 - 14 * d = 50 - 14 * (- 0,464) = 56,496.

Wenn Sie Zweifel am erzielten Ergebnis haben, können Sie es überprüfen, beispielsweise den 43. Term der Progression ermitteln, der in der Bedingung angegeben ist. Wir erhalten: a 43 = a 1 + 42 * d = 56,496 + 42 * (- 0,464) = 37,008. Der kleine Fehler ist darauf zurückzuführen, dass bei den Berechnungen auf Tausendstel gerundet wurde.

Beispiel Nr. 5: Betrag

Schauen wir uns nun einige Beispiele mit Lösungen für die Summe einer arithmetischen Folge an.

Gegeben sei eine numerische Folge der folgenden Form: 1, 2, 3, 4, ...,. Wie berechnet man die Summe von 100 dieser Zahlen?

Dank der Entwicklung Computertechnologie Sie können dieses Problem lösen, indem Sie alle Zahlen der Reihe nach addieren, was der Computer sofort ausführt, sobald eine Person die Eingabetaste drückt. Das Problem kann jedoch mental gelöst werden, wenn man beachtet, dass die dargestellte Zahlenreihe eine algebraische Folge ist und ihre Differenz gleich 1 ist. Wenn wir die Formel für die Summe anwenden, erhalten wir: S n = n * (a 1 + a n) / 2 = 100 * (1 + 100) / 2 = 5050.

Es ist interessant festzustellen, dass dieses Problem „Gaussian“ genannt wird, weil in Anfang des 18. Jahrhunderts Jahrhundert konnte der berühmte Deutsche es im Alter von nur 10 Jahren in wenigen Sekunden in seinem Kopf lösen. Der Junge kannte die Formel für die Summe einer algebraischen Folge nicht, aber er bemerkte, dass man immer das gleiche Ergebnis erhält, wenn man die Zahlen am Ende der Folge paarweise addiert, also 1 + 100 = 2 + 99 = 3 + 98 = ..., und da diese Summen genau 50 (100 / 2) betragen, reicht es aus, 50 mit 101 zu multiplizieren, um die richtige Antwort zu erhalten.

Beispiel Nr. 6: Summe der Terme von n bis m

Ein weiteres typisches Beispiel für die Summe einer arithmetischen Folge ist das Folgende: Bei einer gegebenen Zahlenreihe: 3, 7, 11, 15, ... müssen Sie herausfinden, wie hoch die Summe ihrer Terme von 8 bis 14 sein wird .

Das Problem wird auf zwei Arten gelöst. Die erste davon besteht darin, unbekannte Begriffe von 8 bis 14 zu finden und sie dann der Reihe nach zu summieren. Da es nur wenige Begriffe gibt, ist diese Methode nicht sehr arbeitsintensiv. Dennoch wird vorgeschlagen, dieses Problem mit einer zweiten, universelleren Methode zu lösen.

Die Idee besteht darin, eine Formel für die Summe der algebraischen Progression zwischen den Termen m und n zu erhalten, wobei n > m ganze Zahlen sind. Für beide Fälle schreiben wir zwei Ausdrücke für die Summe:

1. S m = m * (a m + a 1) / 2.
2. S n = n * (a n + a 1) / 2.

Da n > m ist, ist es offensichtlich, dass die 2. Summe die erste enthält. Die letzte Schlussfolgerung bedeutet, dass wir die notwendige Antwort auf das Problem erhalten, wenn wir die Differenz zwischen diesen Summen nehmen und den Term a m hinzufügen (im Falle der Differenzbildung wird sie von der Summe S n subtrahiert). Wir haben: S mn = S n - S m + a m =n * (a 1 + a n) / 2 - m *(a 1 + a m)/2 + a m = a 1 * (n - m) / 2 + a n * n/2 + a m * (1- m/2). In diesen Ausdruck müssen Formeln für a n und a m eingesetzt werden. Dann erhalten wir: S mn = a 1 * (n - m) / 2 + n * (a 1 + (n - 1) * d) / 2 + (a 1 + (m - 1) * d) * (1 - m / 2) = a 1 * (n - m + 1) + d * n * (n - 1) / 2 + d *(3 * m - m 2 - 2) / 2.

Die resultierende Formel ist etwas umständlich, allerdings hängt die Summe S mn nur von n, m, a 1 und d ab. In unserem Fall ist a 1 = 3, d = 4, n = 14, m = 8. Wenn wir diese Zahlen ersetzen, erhalten wir: S mn = 301.

Wie aus den obigen Lösungen hervorgeht, basieren alle Probleme auf der Kenntnis des Ausdrucks für den n-ten Term und der Formel für die Summe der Menge der ersten Terme. Bevor Sie mit der Lösung eines dieser Probleme beginnen, wird empfohlen, die Bedingung sorgfältig zu lesen, klar zu verstehen, was Sie finden müssen, und erst dann mit der Lösung fortzufahren.

Ein weiterer Tipp ist, nach Einfachheit zu streben, d. h. wenn Sie eine Frage ohne komplexe mathematische Berechnungen beantworten können, dann müssen Sie genau das tun, da in diesem Fall die Wahrscheinlichkeit, einen Fehler zu machen, geringer ist. Beispielsweise könnte man im Beispiel einer arithmetischen Folge mit Lösung Nr. 6 bei der Formel S mn = n * (a 1 + a n) / 2 - m * (a 1 + a m) / 2 + a m, und bleiben Teilen Sie das Gesamtproblem in separate Teilaufgaben auf (in diesem Fall finden Sie zunächst die Begriffe a n und a m).

Wenn Sie Zweifel am erzielten Ergebnis haben, empfiehlt es sich, es zu überprüfen, wie dies in einigen der angegebenen Beispiele der Fall war. Wir haben herausgefunden, wie man eine arithmetische Folge findet. Wenn Sie es herausfinden, ist es nicht so schwierig.