Logarithmen

Geschichte der Logarithmen

Der Name wurde von Napier eingeführt und kommt von den griechischen Wörtern logoz und ariumoz – er bedeutet wörtlich „Anzahl der Beziehungen“. Logarithmen wurden von Napier erfunden. Napier erfand spätestens 1594 den Logarithmus. Logarithmen mit Basis A eingeführt von Mathematiklehrer Speidel. Das Wort Basis wurde aus der Potenztheorie entlehnt und von Euler auf die Logarithmentheorie übertragen. Das Verb „logarithmieren“ tauchte im 19. Jahrhundert in Coppe auf. Cauchy war der erste, der die Einführung unterschiedlicher Vorzeichen für Dezimalzahlen und vorschlug natürliche Logarithmen. Moderne ähnliche Notationen wurden 1893 vom deutschen Mathematiker Pringsheim eingeführt. Er war es, der den Logarithmus bezeichnete natürliche Zahl durch ln. Die Definition eines Logarithmus als Exponent einer gegebenen Basis findet sich bei Wallis (1665), Bernoulli (1694).

Definition von Logarithmus

Logarithmus Die Zahl b>0 zur Basis a>0, a ≠ 1, wird als Exponent bezeichnet, auf den die Zahl a erhöht werden muss, um die Zahl b zu erhalten.

Der Logarithmus einer Zahl b zur Basis a wird bezeichnet: log a b

Grundlegende logarithmische Identität

Diese Gleichheit ist lediglich eine andere Form der Definition des Logarithmus. Es wird oft genannt grundlegende logarithmische Identität.

Beispiel

1. 3=log 2 8, da 2³=8

2. ½=log 3 √3, da 3= √3

3. 3 log 3 1/5 =1/5

4. 2=log √5 5, da (√5)²=5

Natürlich und dezimale Logarithmen

Natürlich heißt Logarithmus, dessen Basis gleich e ist. Bezeichnet mit ln b, d.h.

Dezimal wird als Logarithmus mit der Basis 10 bezeichnet. Er wird mit lg b bezeichnet, d. h.

Grundlegende Eigenschaften von Logarithmen

Sei: a > 0, a ≠ 1. Dann:

1. log a x*y=logax+logay (x>0, y>0)

2. log a y/x=logax−logay (x>0, y>0)

3. log a x p =p*logax (x>0)

4. log a p x=1/p*logax (x>0)

Beispiel

1) log 8 16+log 8 4= log 8 (16 4)= log 8 64= 2;

2) log 5 375– log 5 3= log 5 375/3=log 5 125= 3;

3) ½log 3 36+ log 3 2- log 3 √6- ½ log 3 8=log 3 √36+ log 3 2-(log 3 √6+log 3 √8) =log 3 12/4 √3=log 3 √3= ½.

Formen des Übergangs von einem Logarithmus einer Basis zu einem Logarithmus einer anderen Basis

1.log a b=log c b/log c a

2.log a b=1/log b a

Logarithmische Gleichungen

1) Gleichungen, die eine Variable unter dem Logarithmuszeichen (log) enthalten, werden logarithmisch genannt. Das einfachste Beispiel einer logarithmischen Gleichung ist eine Gleichung der Form: log a x=b, wobei a>0 und a=1.

2) Die Lösung einer logarithmischen Gleichung der Form: log a f(x)=log a g(x) (1) basiert auf der Tatsache, dass sie einer Gleichung der Form f(x) = g(x) entspricht. (2) mit zusätzliche Bedingungen f(x)>0 und g(x)>0.

3) Beim Übergang von Gleichung (1) zu Gleichung (2) können fremde Wurzeln auftreten; daher erfordert deren Identifizierung eine Überprüfung.

4) Bei der Lösung logarithmischer Gleichungen wird häufig die Substitutionsmethode verwendet.

Abschluss

Logarithmus eine Zahl, die zur Vereinfachung vieler komplexer Rechenoperationen verwendet werden kann. Durch die Verwendung von Logarithmen anstelle von Zahlen in Berechnungen können Sie die Multiplikation durch die einfachere Operation Addition, Division durch Subtraktion, Potenzierung durch Multiplikation und Wurzelziehen durch Division ersetzen.

Der einzige Weg zur Umsetzung lange Reisen Es gab die Navigation, die immer mit der Durchführung umfangreicher Navigationsberechnungen verbunden ist. Heutzutage ist es schwer vorstellbar, wie anstrengend die Berechnungen beim Multiplizieren und Dividieren von fünf- bis sechsstelligen Zahlen „von Hand“ sind. Aufgrund der Natur seiner Haupttätigkeit, die in seiner Freizeit trigonometrische Berechnungen durchführte, fand der Theologe heraus, das arbeitsintensive Verfahren der Multiplikation durch eine einfache Addition zu ersetzen. Er selbst sagte, sein Ziel sei es, „von der Schwierigkeit und Langeweile des Rechnens befreit zu werden, die viele davon abhält, Mathematik zu studieren“. Die Bemühungen waren von Erfolg gekrönt – es entstand ein mathematischer Apparat, das sogenannte Logarithmensystem.

Was ist also ein Logarithmus? Grundlage logarithmischer Berechnungen ist eine andere Darstellung der Zahl: Anstelle des üblichen Stellensystems, wie wir es gewohnt sind, wird die Zahl A in der Form dargestellt Machtausdruck, wobei eine beliebige Zahl N, die Basis der Potenz genannt wird, auf eine solche Potenz n erhöht wird, dass das Ergebnis die Zahl A ist. Somit ist n der Logarithmus der Zahl A zur Basis N. Die Wahl der Basis der Logarithmen bestimmt den Namen des Systems. Für einfache Berechnungen wird das Dezimalsystem der Logarithmen verwendet, in Wissenschaft und Technik weit verbreitet das System der natürlichen Logarithmen, dessen Basis die irrationale Zahl e = 2,718 ist. Der Ausdruck, der den Logarithmus der Zahl A definiert, wird in mathematischer Sprache wie folgt geschrieben:

n=log(N)A, wobei N die Basis ist.

Dezimale und natürliche Logarithmen haben ihre eigene spezifische Kurzform – lgA bzw. lnA.

In einem Berechnungssystem, das Logarithmen verwendet, besteht das Hauptelement darin, eine Zahl mithilfe einer Logarithmentabelle zur Basis einer bestimmten Basis, beispielsweise 10, in eine Potenzform umzuwandeln. Diese Manipulation bereitet keine Schwierigkeiten. Als nächstes nutzen wir die Eigenschaft von Potenzzahlen, dass sich ihre Potenzen addieren, wenn sie multipliziert werden. In der Praxis bedeutet dies, dass die Multiplikation von Zahlen mit logarithmischer Darstellung durch die Addition ihrer Potenzen ersetzt wird. Daher gibt es auf die Frage „Was ist ein Logarithmus“, wenn man sie mit „Warum brauchen wir ihn“ fortsetzt, eine einfache Antwort – um das Verfahren zum Multiplizieren und Dividieren mehrstelliger Zahlen zu vereinfachen – schließlich ist die Spaltenaddition viel einfacher als die Spaltenmultiplikation. Wer es nicht glaubt, sollte mal versuchen, zwei achtstellige Zahlen zu addieren und zu multiplizieren.

Die ersten Logarithmentabellen (basierend auf c) wurden 1614 von John Napier veröffentlicht, und eine völlig fehlerfreie Version, einschließlich Tabellen mit dezimalen Logarithmen, erschien 1857 und ist als Bremiker-Tabellen bekannt. Die Verwendung von Logarithmen mit Basis in der Die Form ist auf die Tatsache zurückzuführen, dass die Zahl e ganz einfach durch die Taylor-Reihe erhalten werden kann Breite Anwendung im Integral und

Die Essenz dieses Rechensystems ist in der Antwort auf die Frage „Was ist ein Logarithmus“ enthalten und folgt aus der grundlegenden logarithmischen Identität: N(Logarithmusbasis) n, gleich dem Logarithmus der Zahl A(logA), ist gleich diese Zahl A. In diesem Fall ist A>0, d.h. . Der Logarithmus ist nur für positive Zahlen definiert und die Basis des Logarithmus ist immer größer als 0 und ungleich 1. Basierend auf dem oben Gesagten können die Eigenschaften des natürlichen Logarithmus wie folgt formuliert werden:

1. Der Definitionsbereich des natürlichen Logarithmus ist die gesamte Zahlenachse von 0 bis unendlich.
2. ln x = 0 – eine Folge der bekannten Beziehung – jede Zahl hoch zur Nullpotenz ist gleich 1.
3. ln (X*Y) = ln
4. ln (X/Y) = ln X - lnY – der Logarithmus des Quotienten zweier Zahlen ist gleich der Differenz der Logarithmen dieser Zahlen.
5. ln (X)n =n*ln X .
6. Der natürliche Logarithmus ist eine differenzierbare, aufwärtskonvexe Funktion mit ln’ X = 1 / X
7. log (N)A =K* ln A – der Logarithmus zu jeder positiven Basis, die sich von der Zahl e unterscheidet, unterscheidet sich von der natürlichen nur durch den Koeffizienten.

Jetzt weiß jedes Schulkind, was ein Logarithmus ist, aber dank der Fortschritte auf dem Gebiet der Anwendung Computertechnologie Rechenprobleme gehören der Vergangenheit an. Allerdings werden Logarithmen, bereits als mathematisches Werkzeug, beim Lösen von Gleichungen mit Unbekannten im Exponenten und in Ausdrücken zur Zeitberechnung verwendet

Was ist ein Logarithmus?

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Was ist ein Logarithmus? Wie löst man Logarithmen? Diese Fragen verwirren viele Absolventen. Traditionell gilt das Thema Logarithmen als komplex, unverständlich und beängstigend. Besonders Gleichungen mit Logarithmen.

Das ist absolut nicht wahr. Absolut! Glauben Sie mir nicht? Bußgeld. Jetzt können Sie in nur 10 bis 20 Minuten:

1. Du wirst es verstehen Was ist ein Logarithmus?.

2. Lernen Sie, eine ganze Klasse zu lösen Exponentialgleichungen. Auch wenn Sie noch nichts davon gehört haben.

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Darüber hinaus müssen Sie dazu nur das Einmaleins kennen und wissen, wie man eine Zahl potenziert ...

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Lösen Sie zunächst diese Gleichung im Kopf:

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Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

Wir haben also Zweierpotenzen. Wenn Sie die Zahl aus der unteren Zeile nehmen, können Sie leicht die Potenz ermitteln, mit der Sie zwei erhöhen müssen, um diese Zahl zu erhalten. Um beispielsweise 16 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die vierte Potenz erhöhen. Und um 64 zu erhalten, müssen Sie zwei auf die sechste Potenz erhöhen. Dies ist aus der Tabelle ersichtlich.

Und nun eigentlich die Definition des Logarithmus:

Der Basislogarithmus von x ist die Potenz, mit der a erhöht werden muss, um x zu erhalten.

Notation: log a x = b, wobei a die Basis, x das Argument und b der tatsächliche Wert des Logarithmus ist.

Zum Beispiel: 2 3 = 8 ⇒ log 2 8 = 3 (der Logarithmus zur Basis 2 von 8 ist drei, weil 2 3 = 8). Mit dem gleichen Erfolg ist log 2 64 = 6, da 2 6 = 64.

Die Operation, den Logarithmus einer Zahl zu einer gegebenen Basis zu ermitteln, wird Logarithmisierung genannt. Fügen wir also eine neue Zeile zu unserer Tabelle hinzu:

2 1	2 2	2 3	2 4	2 5	2 6
2	4	8	16	32	64
log 2 2 = 1	log 2 4 = 2	log 2 8 = 3	log 2 16 = 4	log 2 32 = 5	log 2 64 = 6

Leider lassen sich nicht alle Logarithmen so einfach berechnen. Versuchen Sie beispielsweise, log 2 5 zu finden. Die Zahl 5 ist nicht in der Tabelle, aber die Logik schreibt vor, dass der Logarithmus irgendwo auf dem Intervall liegen wird. Weil 2 2< 5 < 2 3 , а чем больше степень двойки, тем больше получится число.

Solche Zahlen nennt man irrational: Die Zahlen nach dem Komma können bis ins Unendliche geschrieben werden und wiederholen sich nie. Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, belässt man es besser dabei: log 2 5, log 3 8, log 5 100.

Es ist wichtig zu verstehen, dass ein Logarithmus ein Ausdruck mit zwei Variablen (der Basis und dem Argument) ist. Viele Menschen verwechseln zunächst die Grundlage und das Argument. Vermeiden ärgerliche Missverständnisse, schauen Sie sich einfach das Bild an:

Vor uns liegt nichts weiter als die Definition eines Logarithmus. Erinnern: Logarithmus ist eine Potenz, in die die Basis eingebaut werden muss, um ein Argument zu erhalten. Es ist die Basis, die zur Potenz erhoben wird – sie ist im Bild rot hervorgehoben. Es stellt sich heraus, dass die Basis immer unten ist! Ich erzähle meinen Schülern diese wunderbare Regel gleich in der ersten Unterrichtsstunde – und es entsteht keine Verwirrung.

Wir haben die Definition herausgefunden – jetzt müssen wir nur noch lernen, wie man Logarithmen zählt, d. h. Entfernen Sie das „Log“-Schild. Zunächst stellen wir fest, dass sich aus der Definition zwei wichtige Tatsachen ergeben:

1. Das Argument und die Basis müssen immer größer als Null sein. Dies ergibt sich aus der Definition des Abschlusses rationaler Indikator, worauf die Definition eines Logarithmus hinausläuft.
2. Die Basis muss von Eins verschieden sein, da Eins bis zu jedem Grad immer noch Eins bleibt. Aus diesem Grund ist die Frage „zu welcher Macht muss man erhoben werden, um zwei zu bekommen“ bedeutungslos. Einen solchen Abschluss gibt es nicht!

Solche Einschränkungen nennt man Region akzeptable Werte (ODZ). Es stellt sich heraus, dass die ODZ des Logarithmus so aussieht: log a x = b ⇒ x > 0, a > 0, a ≠ 1.

Beachten Sie, dass es keine Einschränkungen für die Zahl b (den Wert des Logarithmus) gibt. Beispielsweise kann der Logarithmus durchaus negativ sein: log 2 0,5 = −1, weil 0,5 = 2 −1.

Jetzt denken wir jedoch nur darüber nach numerische Ausdrücke, wobei es nicht erforderlich ist, den CVD des Logarithmus zu kennen. Alle Einschränkungen wurden von den Problemautoren bereits berücksichtigt. Aber wenn sie gehen logarithmische Gleichungen und Ungleichheiten werden DHS-Anforderungen verbindlich. Schließlich können Basis und Argument sehr starke Konstruktionen enthalten, die nicht unbedingt den oben genannten Einschränkungen entsprechen.

Schauen wir uns nun das allgemeine Schema zur Berechnung von Logarithmen an. Es besteht aus drei Schritten:

1. Drücken Sie die Basis a und das Argument x als Potenz aus, deren minimal mögliche Basis größer als eins ist. Unterwegs ist es besser, auf Dezimalstellen zu verzichten;
2. Lösen Sie die Gleichung für die Variable b: x = a b ;
3. Die resultierende Zahl b wird die Antwort sein.

Das ist alles! Sollte sich herausstellen, dass der Logarithmus irrational ist, wird dies bereits im ersten Schritt sichtbar. Die Anforderung, dass die Basis sein muss mehr als eine, ist sehr relevant: Es verringert die Fehlerwahrscheinlichkeit und vereinfacht die Berechnungen erheblich. Das gleiche mit Dezimalstellen: Wenn Sie sie sofort in normale umwandeln, treten viel weniger Fehler auf.

Sehen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie dieses Schema funktioniert:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 5 25

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Fünferpotenz vor: 5 = 5 1 ; 25 = 5 2 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 5 25 = b ⇒ (5 1) b = 5 2 ⇒ 5 b = 5 2 ⇒ b = 2;
3. Wir erhielten die Antwort: 2.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus:

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 4 64

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 4 = 2 2 ; 64 = 2 6 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 4 64 = b ⇒ (2 2) b = 2 6 ⇒ 2 2b = 2 6 ⇒ 2b = 6 ⇒ b = 3;
3. Wir erhielten die Antwort: 3.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 16 1

1. Stellen wir uns Basis und Argument als Zweierpotenz vor: 16 = 2 4 ; 1 = 2 0 ;
2. Lassen Sie uns die Gleichung erstellen und lösen:
   log 16 1 = b ⇒ (2 4) b = 2 0 ⇒ 2 4b = 2 0 ⇒ 4b = 0 ⇒ b = 0;
3. Wir haben die Antwort erhalten: 0.

Aufgabe. Berechnen Sie den Logarithmus: log 7 14

1. Stellen wir uns die Basis und das Argument als eine Siebenerpotenz vor: 7 = 7 1 ; 14 kann nicht als Siebenerpotenz dargestellt werden, da 7 1< 14 < 7 2 ;
2. Aus dem vorherigen Absatz folgt, dass der Logarithmus nicht zählt;
3. Die Antwort ist keine Änderung: Protokoll 7 14.

Eine kleine Anmerkung zum letzten Beispiel. Wie kann man sicher sein, dass eine Zahl keine exakte Potenz einer anderen Zahl ist? Es ist ganz einfach – faktorisieren Sie es einfach in Primfaktoren. Und wenn solche Faktoren nicht in Potenzen mit denselben Exponenten zusammengefasst werden können, dann ist die ursprüngliche Zahl keine exakte Potenz.

Aufgabe. Finden Sie heraus, ob es sich bei den Zahlen um exakte Potenzen handelt: 8; 48; 81; 35; 14.

8 = 2 · 2 · 2 = 2 3 - exakter Grad, weil es gibt nur einen Multiplikator;
48 = 6 · 8 = 3 · 2 · 2 · 2 · 2 = 3 · 2 4 - ist keine exakte Potenz, da es zwei Faktoren gibt: 3 und 2;
81 = 9 · 9 = 3 · 3 · 3 · 3 = 3 4 - exakter Grad;
35 = 7 · 5 – wiederum keine exakte Potenz;
14 = 7 · 2 – wiederum kein exakter Grad;

Beachten wir auch, dass wir selbst Primzahlen sind immer exakte Grade ihrer selbst.

Dezimaler Logarithmus

Einige Logarithmen sind so häufig, dass sie einen besonderen Namen und ein besonderes Symbol haben.

Der dezimale Logarithmus von x ist der Logarithmus zur Basis 10, d. h. Die Potenz, mit der die Zahl 10 erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: lg x.

Beispiel: log 10 = 1; lg 100 = 2; lg 1000 = 3 - usw.

Wenn in einem Lehrbuch von nun an ein Satz wie „Finde lg 0,01“ auftaucht, sollten Sie wissen, dass es sich hierbei nicht um einen Tippfehler handelt. Dies ist ein dezimaler Logarithmus. Wenn Sie mit dieser Notation jedoch nicht vertraut sind, können Sie sie jederzeit umschreiben:
log x = log 10 x

Alles, was für gewöhnliche Logarithmen gilt, gilt auch für dezimale Logarithmen.

Natürlicher Logarithmus

Es gibt einen weiteren Logarithmus, der eine eigene Bezeichnung hat. In mancher Hinsicht ist es sogar noch wichtiger als die Dezimalzahl. Es geht umüber den natürlichen Logarithmus.

Der natürliche Logarithmus von x ist der Logarithmus zur Basis e, d. h. die Potenz, mit der die Zahl e erhöht werden muss, um die Zahl x zu erhalten. Bezeichnung: ln x .

Viele werden fragen: Was ist die Zahl e? Dies ist eine irrationale Zahl; ihr genauer Wert kann nicht gefunden und niedergeschrieben werden. Ich nenne nur die ersten Zahlen:
e = 2,718281828459...

Wir werden nicht im Detail darauf eingehen, was diese Nummer ist und warum sie benötigt wird. Denken Sie daran, dass e die Basis des natürlichen Logarithmus ist:
ln x = log e x

Somit ist ln e = 1; ln e 2 = 2; ln e 16 = 16 - usw. Andererseits ist ln 2 eine irrationale Zahl. Im Allgemeinen der natürliche Logarithmus von jedem Rationale Zahl irrational. Außer natürlich einer: ln 1 = 0.

Für natürliche Logarithmen gelten alle Regeln, die auch für gewöhnliche Logarithmen gelten.

Im 16. Jahrhundert entwickelte sich die Schifffahrt rasant. Daher sind Beobachtungen von Himmelskörper. Um astronomische Berechnungen zu vereinfachen, wurde im späten 16. und frühen 17. Jahrhundert logarithmische Berechnungen.

Der Wert der logarithmischen Methode liegt darin, die Multiplikation und Division von Zahlen auf Addition und Subtraktion zu reduzieren. Weniger arbeitsintensive Aktionen. Vor allem, wenn Sie mit mehrstelligen Zahlen arbeiten müssen.

Bürgi-Methode

Die ersten logarithmischen Tabellen wurden 1590 vom Schweizer Mathematiker Joost Bürgi erstellt. Der Kern seiner Methode war wie folgt.

Um beispielsweise 10.000 mit 1.000 zu multiplizieren, reicht es aus, die Anzahl der Nullen im Multiplikanden und im Multiplikator zu zählen, diese zu addieren (4 + 3) und das Produkt 10.000.000 (7 Nullen) zu schreiben. Faktoren sind ganzzahlige Potenzen der Zahl 10. Bei der Multiplikation werden die Exponenten der Potenzen addiert. Es wird auch eine Division durchgeführt. Es wird durch Subtrahieren von Exponenten ersetzt.

Daher können nicht alle Zahlen geteilt und multipliziert werden. Aber es wird mehr davon geben, wenn Sie eine Zahl nahe 1 als Basis nehmen, zum Beispiel 1,000001.

Das hat der Mathematiker Jost Bürgi vor vierhundert Jahren getan. Allerdings veröffentlichte er sein Werk „Tabellen der Arithmetik und Geometrie, nebst ausführlicher Anleitung...“ erst im Jahr 1620.

Jost Bürgi wurde am 28. Februar 1552 in Liechtenstein geboren. Von 1579 bis 1604 war er Hofastronom des Landgrafen Wilhelm IV. von Hessen-Kassel. Später bei Kaiser Rudolf II. in Prag. Ein Jahr vor seinem Tod, 1631, in Kassel. Bürgi gilt auch als Erfinder der ersten Pendeluhr.

Napiers Tische

Im Jahr 1614 erschienen die Tabellen von John Napier. Auch dieser Wissenschaftler ging von einer Zahl nahe eins aus. Aber es war weniger als eins.

Der schottische Baron John Napier (1550-1617) studierte in seiner Heimat. Liebte es zu reisen. Besuchte Deutschland, Frankreich und Spanien. Im Alter von 21 Jahren kehrte er auf das Familienanwesen in der Nähe von Edinburgh zurück und lebte dort bis zu seinem Tod. Er studierte Theologie und Mathematik. Letzteres studierte er anhand der Werke von Euklid, Archimedes und Kopernikus.

Dezimale Logarithmen

Napier und der Engländer Brigg hatten die Idee, eine Tabelle mit Dezimallogarithmen zu erstellen. Sie begannen gemeinsam mit der Neuberechnung der zuvor zusammengestellten Napier-Tabellen. Nach Napiers Tod führte Brigg es weiter. Er veröffentlichte das Werk 1624. Daher werden Dezimalzahlen auch Briggian genannt.

Die Erstellung logarithmischer Tabellen erforderte viele Jahre arbeitsintensiver Arbeit der Wissenschaftler. Aber die Produktivität Tausender Rechner, die die von ihnen erstellten Tabellen nutzten, steigerte sich um ein Vielfaches.