Sie haben die gleichen Grade, aber die Exponenten der Grade sind nicht gleich, 2² * 2³, dann ist das Ergebnis eine Basis des Grades mit derselben identischen Basis der Terme des Gradprodukts, erhöht zu einem gleichen Exponenten zur Summe der Exponenten aller multiplizierten Grade.
2² * 2³ = 2²⁺³ = 2⁵ = 32
Wenn die Terme eines Potenzprodukts unterschiedliche Potenzbasen haben und die Exponenten gleich sind, zum Beispiel 2³ * 5³, dann ist das Ergebnis das Produkt der Basen dieser Potenzen, erhöht um einen Exponenten, der diesem Exponenten entspricht .
2³ * 5³ = (2*5)³ = 10³ = 1000
Wenn die zu multiplizierenden Potenzen einander gleich sind, zum Beispiel 5³ * 5³, dann ist das Ergebnis eine Potenz mit einer Basis, die diesen identischen Potenzbasen entspricht, erhöht auf einen Exponenten, der dem Exponenten der Potenzen multipliziert mit entspricht die Anzahl dieser identischen Befugnisse.
5³ * 5³ = (5³)² = 5³*² = 5⁶ = 15625
Oder ein anderes Beispiel mit dem gleichen Ergebnis:
5² * 5² * 5² = (5²)³ = 5²*³ = 5⁶ = 15625
Quellen:
- Was ist ein Grad mit natürlichem Exponenten?
- Produkt der Kräfte
Mathematische Operationen mit Potenzen können nur durchgeführt werden, wenn die Basen der Exponenten gleich sind und zwischen ihnen Multiplikations- oder Divisionszeichen stehen. Die Basis eines Exponenten ist die Zahl, die potenziert wird.
Anweisungen
Sind die Zahlen durcheinander teilbar (cm 1), dann erscheint y (in diesem Beispiel die Zahl 3) als Potenz, die durch Subtraktion der Exponenten gebildet wird. Darüber hinaus wird diese Aktion direkt ausgeführt: Der zweite wird vom ersten Indikator abgezogen. Beispiel 1. Wir führen ein: (a)b, wobei in Klammern – a die Basis ist, außerhalb der Klammern – in – der Exponent. (6)5: (6)3 = (6)5-3 = (6) 2 = 6*6 = 36. Wenn die Antwort eine Zahl in negativer Potenz ergibt, wird eine solche Zahl in umgewandelt gemeinsamer Bruch, in dessen Zähler eine Einheit und im Nenner die Basis mit dem aus der Differenz erhaltenen Exponenten steht, nur in positiver Form (mit Pluszeichen). Beispiel 2. (2) 4: (2)6 = (2) 4-6 = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼. Die Gewaltenteilung kann in einer anderen Form durch das Bruchzeichen geschrieben werden und nicht wie in diesem Schritt angegeben durch das „:“-Zeichen. Am Lösungsprinzip ändert sich dadurch nichts, alles wird genauso gemacht, nur die Eingabe erfolgt mit einem waagerechten (oder schrägen) Bruchzeichen statt einem Doppelpunkt. Beispiel 3. (2) 4 / (2)6 = (2) 4-6 = (2 ) -2 = 1/(2)2 = ¼.
Bei der Multiplikation identischer Basen mit Graden werden die Grade addiert. Beispiel 4. (5) 2* (5)3 = (5)2+3 = (5)5 = 3125. Wenn die Exponenten haben verschiedene Zeichen, dann erfolgt ihre Addition nach mathematischen Gesetzen. Beispiel 5. (2)1* (2)-3 = (2) 1+(-3) = (2) -2 = 1/(2)2 = ¼ .
Wenn sich die Basen der Exponenten unterscheiden, können sie höchstwahrscheinlich durch mathematische Transformation in die gleiche Form gebracht werden. Beispiel 6. Angenommen, wir müssen den Wert des Ausdrucks finden: (4)2: (2)3. Da wir wissen, dass die Zahl Vier als Zweierquadrat dargestellt werden kann, wird dieses Beispiel wie folgt gelöst: (4)2: (2)3 = (2*2)2: (2)3. Als nächstes, wenn eine Zahl potenziert wird. Wenn Sie bereits einen Abschluss haben, werden die Abschlussindizes miteinander multipliziert: ((2)2)2: (2)3 = (2)4: (2)3 = (2) 4-3 = (2)1 = 2 .
Denken Sie daran: Wenn sich eine bestimmte Basis von der zweiten Basis zu unterscheiden scheint, suchen Sie nach einer mathematischen Lösung. Unterschiedliche Zahlen werden nicht einfach angegeben. Es sei denn, der Schriftsetzer hat im Lehrbuch einen Tippfehler gemacht.
Das Potenzformat zum Schreiben einer Zahl ist eine verkürzte Form des Schreibens der Operation, bei der eine Basis mit sich selbst multipliziert wird. Mit einer Zahl in dieser Form können Sie die gleichen Operationen wie mit jeder anderen Zahl durchführen, einschließlich der Potenzierung. Sie können beispielsweise das Quadrat einer Zahl beliebig potenzieren und das Ergebnis auf dem aktuellen Stand der technischen Entwicklung zu erhalten, wird keine Schwierigkeiten bereiten.
Du wirst brauchen
- Internetzugang oder Windows-Rechner.
Anweisungen
Um ein Quadrat zu potenzieren, verwenden Sie allgemeine Regel Erhöhung zu einer Macht, die bereits vorhanden ist Potenzexponent. Bei dieser Operation werden die Indikatoren multipliziert, die Basis bleibt jedoch gleich. Wenn die Basis mit x bezeichnet wird und die ursprünglichen und zusätzlichen Indikatoren mit a und b bezeichnet werden, schreiben Sie diese Regel ein Gesamtansicht Sie können dies tun: (xᵃ)ᵇ=xᵃᵇ.
Wie multipliziert man Potenzen? Welche Kräfte können vervielfacht werden und welche nicht? Wie multipliziert man eine Zahl mit einer Potenz?
In der Algebra kann man ein Potenzprodukt in zwei Fällen finden:
1) wenn die Abschlüsse die gleichen Grundlagen haben;
2) wenn die Abschlüsse die gleichen Indikatoren haben.
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen muss die Basis gleich bleiben und die Exponenten addiert werden:
Bei der Multiplikation von Graden mit denselben Indikatoren kann der Gesamtindikator aus Klammern entnommen werden:
Schauen wir uns anhand konkreter Beispiele an, wie man Potenzen multipliziert.
Die Einheit wird nicht im Exponenten geschrieben, aber bei der Multiplikation von Potenzen berücksichtigen sie:
Bei der Multiplikation kann es beliebig viele Potenzen geben. Denken Sie daran, dass Sie das Multiplikationszeichen nicht vor dem Buchstaben schreiben müssen:
Bei Ausdrücken erfolgt zunächst die Potenzierung.
Wenn Sie eine Zahl mit einer Potenz multiplizieren müssen, sollten Sie zuerst die Potenzierung und erst dann die Multiplikation durchführen:
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Addition, Subtraktion, Multiplikation und Potenzenteilung
Addition und Subtraktion von Potenzen
Es ist offensichtlich, dass Zahlen mit Potenzen wie andere Größen addiert werden können , indem man sie nacheinander mit ihren Zeichen hinzufügt.
Die Summe von a 3 und b 2 ist also a 3 + b 2.
Die Summe von a 3 - b n und h 5 -d 4 ist a 3 - b n + h 5 - d 4.
Chancen gleiche Potenzen identischer Variablen kann addiert oder subtrahiert werden.
Die Summe von 2a 2 und 3a 2 ist also gleich 5a 2.
Es ist auch offensichtlich, dass man zwei Quadrate a, drei Quadrate a oder fünf Quadrate a nimmt.
Aber Grad verschiedene Variablen Und verschiedene Grade identische Variablen, müssen durch Hinzufügen ihrer Zeichen zusammengesetzt werden.
Die Summe einer 2 und einer 3 ist also die Summe einer 2 + einer 3.
Es ist offensichtlich, dass das Quadrat von a und die Potenz von a nicht gleich dem Doppelten des Quadrats von a sind, sondern dem Doppelten der Potenz von a.
Die Summe von a 3 b n und 3a 5 b 6 ist a 3 b n + 3a 5 b 6.
Subtraktion Potenzen werden wie Additionen ausgeführt, nur dass die Vorzeichen der Subtrahenden entsprechend geändert werden müssen.
Oder:
2a 4 - (-6a 4) = 8a 4
3h 2 b 6 — 4h 2 b 6 = -h 2 b 6
5(a - h) 6 - 2(a - h) 6 = 3(a - h) 6
Potenzen multiplizieren
Zahlen mit Potenzen können wie andere Größen multipliziert werden, indem man sie nacheinander schreibt, mit oder ohne ein Multiplikationszeichen dazwischen.
Das Ergebnis der Multiplikation von a 3 mit b 2 ist also a 3 b 2 oder aaabb.
Oder:
x -3 ⋅ a m = a m x -3
3a 6 y 2 ⋅ (-2x) = -6a 6 xy 2
a 2 b 3 y 2 ⋅ a 3 b 2 y = a 2 b 3 y 2 a 3 b 2 y
Das Ergebnis im letzten Beispiel kann durch Hinzufügen identischer Variablen geordnet werden.
Der Ausdruck hat die Form: a 5 b 5 y 3.
Durch den Vergleich mehrerer Zahlen (Variablen) mit Potenzen können wir sehen, dass das Ergebnis einer Multiplikation von zwei beliebigen Zahlen eine Zahl (Variable) mit einer Potenz von ist Menge Grad der Begriffe.
Also, a 2 .a 3 = aa.aaa = aaaaa = a 5 .
Hier ist 5 die Potenz des Multiplikationsergebnisses, die gleich 2 + 3 ist, der Summe der Potenzen der Terme.
Also, a n .a m = a m+n .
Für a n wird a als Faktor so oft wie die Potenz von n verwendet;
Und ein m wird so oft als Faktor genommen, wie der Grad m gleich ist;
Deshalb, Potenzen mit gleichen Basen können durch Addition der Exponenten der Potenzen multipliziert werden.
Also, a 2 .a 6 = a 2+6 = a 8 . Und x 3 .x 2 .x = x 3+2+1 = x 6 .
Oder:
4a n ⋅ 2a n = 8a 2n
b 2 y 3 ⋅ b 4 y = b 6 y 4
(b + h - y) n ⋅ (b + h - y) = (b + h - y) n+1
Multiplizieren Sie (x 3 + x 2 y + xy 2 + y 3) ⋅ (x - y).
Antwort: x 4 - y 4.
Multiplizieren Sie (x 3 + x – 5) ⋅ (2x 3 + x + 1).
Diese Regel gilt auch für Zahlen, deren Exponenten sind Negativ.
1. Also, a -2 .a -3 = a -5 . Dies kann als (1/aa).(1/aaa) = 1/aaaaa geschrieben werden.
2. y -n .y -m = y -n-m .
3. a -n .a m = a m-n .
Wenn a + b mit a - b multipliziert werden, ist das Ergebnis a 2 - b 2: das heißt
Das Ergebnis der Multiplikation der Summe oder Differenz zweier Zahlen gleich der Summe oder die Differenz ihrer Quadrate.
Wenn Sie die Summe und Differenz zweier erhöhter Zahlen multiplizieren Quadrat, das Ergebnis ist gleich der Summe oder Differenz dieser Zahlen in vierte Grad.
Also, (a - y).(a + y) = a 2 - y 2.
(a 2 - y 2)⋅(a 2 + y 2) = a 4 - y 4.
(a 4 - y 4)⋅(a 4 + y 4) = a 8 - y 8.
Aufteilung der Abschlüsse
Zahlen mit Potenzen können wie andere Zahlen dividiert werden, indem man sie vom Dividenden subtrahiert oder sie in Bruchform umwandelt.
Somit ist a 3 b 2 dividiert durch b 2 gleich a 3.
Eine 5 dividiert durch eine 3 zu schreiben sieht aus wie $\frac $. Aber das ist gleich einer 2 . In einer Zahlenreihe
a +4 , a +3 , a +2 , a +1 , a 0 , a -1 , a -2 , a -3 , a -4 .
Jede Zahl kann durch eine andere geteilt werden, und der Exponent ist gleich Unterschied Indikatoren für teilbare Zahlen.
Bei der Division von Graden mit gleicher Basis werden deren Exponenten subtrahiert..
Also, y 3:y 2 = y 3-2 = y 1. Das heißt, $\frac = y$.
Und a n+1:a = a n+1-1 = a n . Das heißt, $\frac = a^n$.
Oder:
y 2m: y m = y m
8a n+m: 4a m = 2a n
12(b + y) n: 3(b + y) 3 = 4(b +y) n-3
Die Regel gilt auch für Zahlen mit Negativ Werte von Grad.
Das Ergebnis der Division von -5 durch -3 ist -2.
Auch $\frac: \frac = \frac .\frac = \frac = \frac $.
h 2:h -1 = h 2+1 = h 3 oder $h^2:\frac = h^2.\frac = h^3$
Es ist notwendig, die Multiplikation und Potenzenteilung sehr gut zu beherrschen, da solche Operationen in der Algebra sehr weit verbreitet sind.
Beispiele für das Lösen von Beispielen mit Brüchen, die Zahlen mit Potenzen enthalten
1. Verringern Sie die Exponenten um $\frac $ Antwort: $\frac $.
2. Verringern Sie die Exponenten um $\frac$. Antwort: $\frac$ oder 2x.
3. Reduziere die Exponenten a 2 /a 3 und a -3 /a -4 und führe zu gemeinsamer Nenner.
a 2 .a -4 ist a -2 der erste Zähler.
a 3 .a -3 ist a 0 = 1, der zweite Zähler.
a 3 .a -4 ist a -1 , der gemeinsame Zähler.
Nach der Vereinfachung: a -2 /a -1 und 1/a -1 .
4. Reduzieren Sie die Exponenten 2a 4 /5a 3 und 2 /a 4 und bringen Sie sie auf einen gemeinsamen Nenner.
Antwort: 2a 3 /5a 7 und 5a 5 /5a 7 oder 2a 3 /5a 2 und 5/5a 2.
5. Multiplizieren Sie (a 3 + b)/b 4 mit (a - b)/3.
6. Multiplizieren Sie (a 5 + 1)/x 2 mit (b 2 - 1)/(x + a).
7. Multiplizieren Sie b 4 /a -2 mit h -3 /x und a n /y -3 .
8. Teilen Sie a 4 /y 3 durch a 3 /y 2 . Antwort: a/y.
Eigenschaften des Abschlusses
Wir erinnern Sie daran, dass wir es in dieser Lektion verstehen werden Eigenschaften von Graden mit natürlichen Indikatoren und Null. Potenzen mit rationalen Exponenten und ihre Eigenschaften werden im Unterricht für die 8. Klasse besprochen.
Ein Abschluss mit einem natürlichen Indikator hat mehrere wichtige Eigenschaften, mit denen Sie Berechnungen in Beispielen mit Potenzen vereinfachen können.
Objekt Nr. 1
Produkt von Potenzen
Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleichen Basen bleibt die Basis unverändert und die Exponenten der Potenzen werden addiert.
a m · a n = a m + n, wobei „a“ eine beliebige Zahl und „m“, „n“ eine beliebige Zahl ist ganze Zahlen.
Diese Eigenschaft von Potenzen gilt auch für das Produkt von drei oder mehr Potenzen.
b b 2 b 3 b 4 b 5 = b 1 + 2 + 3 + 4 + 5 = b 15
6 15 36 = 6 15 6 2 = 6 15 6 2 = 6 17
(0,8) 3 · (0,8) 12 = (0,8) 3 + 12 = (0,8) 15
Bitte beachten Sie, dass in angegebene Eigenschaft Wir sprachen nur über die Multiplikation von Potenzen mit denselben Basen. Dies gilt nicht für deren Hinzufügung.
Sie können die Summe (3 3 + 3 2) nicht durch 3 5 ersetzen. Das ist verständlich, wenn
Berechnen Sie (3 3 + 3 2) = (27 + 9) = 36 und 3 5 = 243
Objekt Nr. 2
Teilabschlüsse
Bei der Division von Potenzen mit gleichen Basen bleibt die Basis unverändert und der Exponent des Divisors wird vom Exponenten des Dividenden subtrahiert.
(2b) 5: (2b) 3 = (2b) 5 − 3 = (2b) 2
11 3 − 2 4 2 − 1 = 11 4 = 44
Beispiel. Löse die Gleichung. Wir nutzen die Eigenschaft der Quotientenpotenzen.
3 8: t = 3 4
Antwort: t = 3 4 = 81
Mit den Eigenschaften Nr. 1 und Nr. 2 können Sie Ausdrücke einfach vereinfachen und Berechnungen durchführen.
- Beispiel. Den Ausdruck vereinfachen.
4 5m + 6 4m + 2: 4 4m + 3 = 4 5m + 6 + m + 2: 4 4m + 3 = 4 6m + 8 − 4m − 3 = 4 2m + 5
Beispiel. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks mithilfe der Eigenschaften von Exponenten.
2 11 − 5 = 2 6 = 64
Bitte beachten Sie, dass wir in Eigenschaft 2 nur über die Teilung von Befugnissen mit denselben Basen gesprochen haben.
Sie können die Differenz (4 3 −4 2) nicht durch 4 1 ersetzen. Dies ist verständlich, wenn man (4 3 −4 2) = (64 − 16) = 48 und 4 1 = 4 berechnet
Objekt Nr. 3
Einen Grad zu einer Potenz erheben
Bei der Potenzierung eines Grades bleibt die Basis des Grades unverändert und die Exponenten werden multipliziert.
(a n) m = a n · m, wobei „a“ eine beliebige Zahl ist und „m“, „n“ beliebige natürliche Zahlen sind.
Bitte beachten Sie, dass Eigenschaft Nr. 4, wie andere Eigenschaften von Graden auch, in umgekehrter Reihenfolge angewendet wird.
(a n · b n)= (a · b) n
Das heißt, um Potenzen mit denselben Exponenten zu multiplizieren, können Sie die Basen multiplizieren, den Exponenten jedoch unverändert lassen.
2 4 5 4 = (2 5) 4 = 10 4 = 10.000
0,5 16 2 16 = (0,5 2) 16 = 1
In komplexeren Beispielen kann es Fälle geben, in denen Multiplikation und Division mit Potenzen mit unterschiedlichen Basen und durchgeführt werden müssen verschiedene Indikatoren. In diesem Fall empfehlen wir Ihnen, Folgendes zu tun.
Beispiel: 4 5 3 2 = 4 3 4 2 3 2 = 4 3 (4 3) 2 = 64 12 2 = 64 144 = 9216
Ein Beispiel für die Potenzierung einer Dezimalzahl.
4 21 (−0,25) 20 = 4 4 20 (−0,25) 20 = 4 (4 (−0,25)) 20 = 4 (−1) 20 = 4 1 = 4
Eigenschaften 5
Potenz eines Quotienten (Bruch)
Um einen Quotienten zu potenzieren, können Sie den Dividenden und den Divisor separat potenzieren und das erste Ergebnis durch das zweite dividieren.
(a: b) n = a n: b n, wobei „a“, „b“ beliebige sind Rationale Zahlen, b ≠ 0, n – jede natürliche Zahl.
(5: 3) 12 = 5 12: 3 12
Wir erinnern Sie daran, dass ein Quotient als Bruch dargestellt werden kann. Daher gehen wir auf der nächsten Seite näher auf das Thema der Potenzierung eines Bruchs ein.
Kräfte und Wurzeln
Operationen mit Kräften und Wurzeln. Abschluss mit Negativ ,
Null und Bruch Indikator. Über Ausdrücke, die keine Bedeutung haben.
Operationen mit Abschlüssen.
1. Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden deren Exponenten addiert:
Bin · a n = a m + n .
2. Bei der Division von Graden mit derselben Basis, deren Exponenten werden abgezogen .
3. Der Grad des Produkts zweier oder mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Grade dieser Faktoren.
4. Der Grad eines Verhältnisses (Bruch) ist gleich dem Verhältnis der Grade von Dividend (Zähler) und Divisor (Nenner):
(a/b) n = a n / b n .
5. Bei der Potenzierung werden deren Exponenten multipliziert:
Alle oben genannten Formeln werden in beide Richtungen von links nach rechts und umgekehrt gelesen und ausgeführt.
BEISPIEL (2 3 5 / 15)² = 2² · 3² · 5² / 15² = 900 / 225 = 4 .
Operationen mit Wurzeln. In allen folgenden Formeln bedeutet das Symbol arithmetische Wurzel(Der radikale Ausdruck ist positiv).
1. Die Wurzel des Produkts mehrerer Faktoren ist gleich dem Produkt der Wurzeln dieser Faktoren:
2. Wurzel der Einstellung gleich dem Verhältnis Wurzeln von Dividende und Divisor:
3. Wenn man eine Wurzel zu einer Potenz erhebt, reicht es aus, sie auf diese Potenz zu erhöhen Wurzelzahl:
4. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache erhöhen und gleichzeitig die Wurzelzahl auf die m-te Potenz erhöhen, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
5. Wenn Sie den Grad der Wurzel um das m-fache reduzieren und gleichzeitig die m-te Wurzel der Wurzelzahl extrahieren, ändert sich der Wert der Wurzel nicht:
Erweiterung des Abschlussbegriffs. Bisher haben wir Grade nur mit natürlichen Exponenten betrachtet; aber auch Operationen mit Kräften und Wurzeln können dazu führen Negativ, null Und gebrochen Indikatoren. Alle diese Exponenten erfordern eine zusätzliche Definition.
Ein Abschluss mit einem negativen Exponenten. Die Potenz einer bestimmten Zahl mit einem negativen (ganzzahligen) Exponenten ist definiert als eins geteilt durch die Potenz derselben Zahl mit einem Exponenten, der dem Absolutwert des negativen Exponenten entspricht:
Jetzt die Formel Bin : ein = a m - n kann nicht nur für verwendet werden M, mehr als N, aber auch mit M, weniger als N .
BEISPIEL A 4: A 7 = a 4 — 7 = a — 3 .
Wenn wir die Formel wollen Bin : ein = Bin — N war fair wann m = n, wir brauchen eine Definition des Grades Null.
Ein Abschluss mit einem Nullindex. Die Potenz jeder Zahl ungleich Null mit dem Exponenten Null ist 1.
BEISPIELE. 2 0 = 1, ( – 5) 0 = 1, (– 3 / 5) 0 = 1.
Grad mit gebrochenem Exponenten. Um eine reelle Zahl a auf die Potenz m/n zu erhöhen, müssen Sie die n-te Wurzel der m-ten Potenz dieser Zahl a ziehen:
Über Ausdrücke, die keine Bedeutung haben. Es gibt mehrere solcher Ausdrücke.
Wo A ≠ 0 , existiert nicht.
Tatsächlich, wenn wir das annehmen X eine bestimmte Zahl ist, dann gilt gemäß der Definition der Divisionsoperation: A = 0· X, d.h. A= 0, was der Bedingung widerspricht: A ≠ 0
— irgendeine Nummer.
Wenn wir tatsächlich davon ausgehen, dass dieser Ausdruck einer Zahl entspricht X, dann gilt nach der Definition der Divisionsoperation: 0 = 0 · X. Aber diese Gleichheit tritt ein, wenn eine beliebige Zahl x, was bewiesen werden musste.
0 0 — irgendeine Nummer.
Lösung. Betrachten wir drei Hauptfälle:
1) X = 0 – Dieser Wert erfüllt diese Gleichung nicht
2) wann X> 0 erhalten wir: x/x= 1, d.h. 1 = 1, was bedeutet
Was X- irgendeine Nummer; aber unter Berücksichtigung dessen in
in unserem Fall X> 0 lautet die Antwort X > 0 ;
Regeln zur Multiplikation von Potenzen mit unterschiedlichen Basen
ABSCHLUSS MIT RATIONALEM INDIKATOR,
POWER-FUNKTION IV
§ 69. Multiplikation und Teilung der Gewalten mit gleichen Grundlagen
Satz 1. Um Potenzen mit gleichen Basen zu multiplizieren, genügt es, die Exponenten zu addieren und die Basis gleich zu lassen
Nachweisen. Per Definition des Abschlusses
2 2 2 3 = 2 5 = 32; (-3) (-3) 3 = (-3) 4 = 81.
Wir haben uns das Produkt zweier Potenzen angesehen. Tatsächlich gilt die bewiesene Eigenschaft für beliebig viele Potenzen mit den gleichen Basen.
Satz 2. Um Potenzen mit denselben Basen zu dividieren, wenn der Index des Dividenden größer als der Index des Divisors ist, reicht es aus, den Index des Divisors vom Index des Dividenden zu subtrahieren und die Basis gleich zu lassen bei t > p
(A =/= 0)
Nachweisen. Denken Sie daran, dass der Quotient aus der Division einer Zahl durch eine andere die Zahl ist, die, multipliziert mit dem Divisor, den Dividenden ergibt. Beweisen Sie daher die Formel wo A =/= 0, es ist dasselbe wie der Beweis der Formel
Wenn t > p , dann die Zahl t - p wird natürlich sein; daher nach Satz 1
Satz 2 ist bewiesen.
Es ist zu beachten, dass die Formel
Wir haben es nur unter der Annahme bewiesen, dass t > p . Aus dem Bewiesenen können daher beispielsweise noch keine folgenden Schlussfolgerungen gezogen werden:
Darüber hinaus haben wir Grade mit negativen Exponenten noch nicht berücksichtigt und wissen noch nicht, welche Bedeutung Ausdruck 3 haben kann - 2 .
Satz 3. Um einen Grad zu potenzieren, genügt es, die Exponenten zu multiplizieren, wobei die Basis des Grades gleich bleibt, also
Nachweisen. Mit der Definition des Grades und Satz 1 dieses Abschnitts erhalten wir:
Q.E.D.
Zum Beispiel (2 3) 2 = 2 6 = 64;
518 (mündlich) Bestimmen X aus den Gleichungen:
1) 2 2 2 2 3 2 4 2 5 2 6 = 2 X ; 3) 4 2 4 4 4 6 4 8 4 10 = 2 X ;
2) 3 3 3 3 5 3 7 3 9 = 3 X ; 4) 1 / 5 1 / 25 1 / 125 1 / 625 = 1 / 5 X .
519. (Set-Nr.) Vereinfachen:
520. (Set-Nr.) Vereinfachen:
521. Stellen Sie diese Ausdrücke in Form von Graden mit denselben Basen dar:
1) 32 und 64; 3) 8 5 und 16 3; 5) 4 100 und 32 50;
2) -1000 und 100; 4) -27 und -243; 6) 81 75 8 200 und 3 600 4 150.
Grundlegende Eigenschaften von Abschlüssen
„Eigenschaften von Graden“ ist eine recht beliebte Suchanfrage in Suchmaschinen, die großes Interesse an den Eigenschaften des Abschlusses zeigt. Wir haben für Sie alle Eigenschaften eines Grades zusammengestellt (Eigenschaften eines Grades mit natürlichem Exponenten, Eigenschaften eines Grades mit rationaler Indikator, Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten) an einer Stelle. Sie können eine Kurzversion des Spickzettels herunterladen „Eigenschaften von Graden“ im .pdf-Format, damit Sie sich diese bei Bedarf leicht merken oder sich damit vertraut machen können Eigenschaften von Graden direkt auf der Website. Ausführlicher Eigenschaften von Potenzen mit Beispielen nachfolgend diskutiert.
Laden Sie den Spickzettel „Eigenschaften von Abschlüssen“ herunter (Format.pdf)
Eigenschaften von Kräften (kurz)
A 0=1 wenn A≠0
A 1=A
(−A)N=ein, Wenn N- sogar
(−A)N=−ein, Wenn N- seltsam
(A⋅B)N=ein⋅Mrd
(ab)N=anbn
A−N=1ein
(ab)−N=(ba)N
ein⋅Bin=ein+M
anam=ein−M
(ein)M=ein⋅M
Eigenschaften von Abschlüssen (mit Beispielen)
Eigentum 1. Grades Jede Zahl außer Null hoch null ist gleich eins. A 0=1 wenn A≠0 Zum Beispiel: 1120=1, (−4)0=1, (0,15)0=1
Eigentum 2. Grades Jede Zahl in der ersten Potenz ist gleich der Zahl selbst. A 1=A Zum Beispiel: 231=23, (−9,3)1=−9,3
Eigentum 3. Grades Jede Zahl zu einer geraden Potenz ist positiv. ein=ein, Wenn N- gerade (durch 2 teilbare) ganze Zahl (− A)N=ein, Wenn N- gerade (durch 2 teilbare) ganze Zahl Zum Beispiel: 24=16, (−3)2=32=9, (−1)10=110=1
Eigentum 4. Grades Jede Zahl mit einer ungeraden Potenz behält ihr Vorzeichen. ein=ein, Wenn N- ungerade (nicht durch 2 teilbar) ganze Zahl (− A)N=−ein, Wenn N- ungerade (nicht durch 2 teilbare) ganze Zahl Zum Beispiel: 53=125, (−3)3=33=27, (−1)11=−111=−1
Eigentum 5. Grades Produkt der erhobenen Zahlen Oh zu einer Potenz, kann als Produkt der erhöhten Zahlen dargestellt werden S V Das Abschluss (und umgekehrt). ( A⋅B)N=ein⋅Mrd, dabei A, B, N Zum Beispiel: (2,1⋅0,3)4,5=2,14,5⋅0,34,5
Eigentum 6. Grades Der Quotient (Division) der erhobenen Zahlen Oh zu einer Potenz, kann als Quotient der erhöhten Zahlen dargestellt werden S V Das Abschluss (und umgekehrt). ( ab)N=anbn, dabei A, B, N- alle gültigen (nicht unbedingt ganzzahligen) Zahlen Zum Beispiel: (1,75)0,1=(1,7)0,150,1
Eigentum 7. Grades Jede Zahl zu einer negativen Potenz ist gleich ihrem Kehrwert zu dieser Potenz. (Der Kehrwert ist die Zahl, mit der die gegebene Zahl multipliziert werden muss, um eins zu erhalten.) A−N=1ein, dabei A Und N- alle gültigen (nicht unbedingt ganzzahligen) Zahlen Zum Beispiel: 7−2=172=149
Eigentum 8. Grades Jeder Bruch einer negativen Potenz ist gleich dem Kehrwert dieser Potenz. ( ab)−N=(ba)N, dabei A, B, N- alle gültigen (nicht unbedingt ganzzahligen) Zahlen Zum Beispiel: (23)−2=(32)2, (14)−3=(41)3=43=64
Eigentum 9. Grades Bei der Multiplikation von Potenzen mit gleicher Basis werden die Exponenten addiert, die Basis bleibt jedoch gleich. ein⋅Bin=ein+M, dabei A, N, M- alle gültigen (nicht unbedingt ganzzahligen) Zahlen Zum Beispiel: 23⋅25=23+5=28, beachten Sie, dass diese Eigenschaft des Grades für negative Werte der Grade 3−2⋅36=3−2+6=34, 47⋅4−3=47+( −3)= 47−3=44
Eigentum 10. Grades Bei der Potenzteilung mit gleicher Basis werden die Exponenten subtrahiert, die Basis bleibt jedoch gleich. anam=ein−M, dabei A, N, M- alle gültigen (nicht unbedingt ganzzahligen) Zahlen Zum Beispiel:(1,4)2(1,4)3=1,42+3=1,45, beachten Sie, wie diese Potenzeigenschaft auf negative Potenzen angewendet wird3−236=3−2−6=3−8, 474− 3=47−(−3 )=47+3=410
Eigentum 11. Grades Bei der Potenzerhöhung werden die Potenzen vervielfacht. ( ein)M=ein⋅M Zum Beispiel: (23)2=23⋅2=26=64
Tabelle der Potenzen bis 10
Nur wenige Menschen schaffen es, sich die gesamte Gradtabelle zu merken, und wer braucht sie schon, wenn sie so leicht zu finden ist? Unsere Potenztabelle umfasst sowohl die beliebten Quadrat- und Würfeltabellen (von 1 bis 10) als auch Tabellen mit anderen Potenzen, die weniger verbreitet sind. Die Spalten der Potenztabelle geben die Basen des Grades an (die Zahl, die potenziert werden muss), die Zeilen geben die Exponenten an (die Potenz, auf die die Zahl erhöht werden muss) und am Schnittpunkt der Die gewünschte Spalte und die gewünschte Zeile ist das Ergebnis der Potenzierung der gewünschten Zahl. Es gibt verschiedene Arten von Problemen, die mithilfe von Leistungstabellen gelöst werden können. Die unmittelbare Aufgabe besteht darin, zu rechnen N Potenz einer Zahl. Das umgekehrte Problem, das auch mit einer Potenztabelle gelöst werden kann, könnte so klingen: „Auf welche Potenz soll die Zahl erhöht werden?“ A um die Nummer zu bekommen B ?" oder „Welche Zahl hoch N gibt eine Zahl an B ?".
Tabelle der Potenzen bis 10
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2 N |
3 N |
4 N |
5 N |
6 N |
7 N |
8 N |
9 N |
10 N |
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So verwenden Sie die Abschlusstabelle
Schauen wir uns einige Beispiele für die Verwendung des Leistungstisches an.
Beispiel 1. Welche Zahl ergibt sich, wenn man die Zahl 6 auf die 8. Potenz erhöht? In der Gradtabelle suchen wir nach Spalte 6 N, da entsprechend den Bedingungen des Problems die Zahl 6 potenziert wird. Dann suchen wir in der Potenztabelle nach Zeile 8, da die angegebene Zahl mit 8 potenziert werden muss. Am Schnittpunkt sehen wir uns die Antwort an: 1679616.
Beispiel 2. Auf welche Potenz muss die Zahl 9 erhöht werden, um 729 zu erhalten? In der Gradtabelle suchen wir nach Spalte 9 N und wir gehen weiter bis zur Zahl 729 (die dritte Zeile unserer Gradtabelle). Die Zeilennummer ist der erforderliche Abschluss, also die Antwort: 3.
Beispiel 3. Welche Zahl muss mit 7 potenziert werden, um 2187 zu erhalten? In der Gradtabelle suchen wir nach Zeile 7 und bewegen uns dann entlang dieser nach rechts zur Zahl 2187. Von der gefundenen Zahl gehen wir nach oben und stellen fest, dass die Überschrift dieser Spalte 3 ist N, was bedeutet, dass die Antwort lautet: 3.
Beispiel 4. Auf welche Potenz muss die Zahl 2 erhöht werden, um 63 zu erhalten? In der Gradtabelle finden wir Spalte 2 N und wir gehen es hinunter, bis wir 63 erreichen... Aber das wird nicht passieren. Wir werden die Zahl 63 weder in dieser Spalte noch in einer anderen Spalte der Potenztabelle sehen, was bedeutet, dass keine ganze Zahl von 1 bis 10 die Zahl 63 ergibt, wenn sie mit einer ganzen Zahl von 1 bis 10 potenziert wird. Daher gibt es keine Zahl Antwort .
Warum werden Abschlüsse benötigt?
Wo werden Sie sie brauchen?
Warum sollten Sie sich die Zeit nehmen, sie zu studieren?
Um ALLES ÜBER ABSCHLÜSSE zu erfahren, lesen Sie diesen Artikel.
Und natürlich bringt Sie die Kenntnis der Abschlüsse dem erfolgreichen Bestehen des Einheitlichen Staatsexamens näher.
Und auf die Zulassung zur Universität Ihrer Träume!
Los geht's!)
ERSTE EBENE
Potenzierung ist eine mathematische Operation, genau wie Addition, Subtraktion, Multiplikation oder Division.
Jetzt werde ich alles in menschlicher Sprache sehr erklären einfache Beispiele. Seien Sie vorsichtig. Die Beispiele sind elementar, erklären aber Wichtiges.
Beginnen wir mit der Addition.
Hier gibt es nichts zu erklären. Sie wissen bereits alles: Wir sind zu acht. Jeder hat zwei Flaschen Cola. Wie viel Cola gibt es? Genau, 16 Flaschen.
Jetzt Multiplikation.
Das gleiche Beispiel mit Cola kann anders geschrieben werden: . Mathematiker sind schlaue und faule Leute. Sie bemerken zunächst einige Muster und finden dann einen Weg, sie schneller zu „zählen“. In unserem Fall stellten sie fest, dass jede der acht Personen die gleiche Anzahl Cola-Flaschen hatte, und entwickelten eine Technik namens Multiplikation. Stimmen Sie zu, es gilt als einfacher und schneller als.
Um also schneller, einfacher und fehlerfrei zu zählen, müssen Sie sich nur daran erinnern Multiplikationstabelle. Natürlich geht es auch langsamer, schwieriger und mit Fehlern! Aber…
Hier ist die Multiplikationstabelle. Wiederholen.
Und noch eins, schöneres:
Welche anderen cleveren Zähltricks haben sich faule Mathematiker ausgedacht? Rechts - eine Zahl potenzieren.
Eine Zahl potenzieren
Wenn Sie eine Zahl fünfmal mit sich selbst multiplizieren müssen, sagen Mathematiker, dass Sie diese Zahl auf die fünfte Potenz erhöhen müssen. Zum Beispiel, . Mathematiker erinnern sich daran, dass zwei hoch fünf... Und sie lösen solche Probleme im Kopf – schneller, einfacher und fehlerfrei.
Alles was Sie tun müssen ist Merken Sie sich, was in der Tabelle der Zahlenpotenzen farblich hervorgehoben ist. Glauben Sie mir, das wird Ihr Leben viel einfacher machen.
Warum heißt es übrigens zweiter Grad? Quadrat Zahlen und der dritte - Würfel? Was bedeutet das? Sehr gute Frage. Jetzt haben Sie sowohl Quadrate als auch Würfel.
Beispiel Nr. 1 aus dem wirklichen Leben
Beginnen wir mit dem Quadrat oder der zweiten Potenz der Zahl.
Stellen Sie sich einen quadratischen Pool vor, der einen mal einen Meter misst. Der Pool befindet sich in Ihrer Datscha. Es ist heiß und ich möchte unbedingt schwimmen. Aber... der Pool hat keinen Boden! Sie müssen den Boden des Pools mit Fliesen abdecken. Wie viele Fliesen benötigen Sie? Um dies zu ermitteln, müssen Sie den Bodenbereich des Beckens kennen.
Sie können ganz einfach per Fingerzeig ausrechnen, dass der Boden des Beckens aus meterweise großen Würfeln besteht. Wenn Sie Fliesen von einem Meter mal einem Meter haben, benötigen Sie Stücke. Es ist ganz einfach... Aber wo hat man solche Fliesen gesehen? Die Fliese wird höchstwahrscheinlich Zentimeter für Zentimeter groß sein, und dann wird man mit dem „Zählen mit dem Finger“ gequält. Dann muss man multiplizieren. Wir werden also auf einer Seite des Beckenbodens Fliesen (Stücke) und auf der anderen Seite ebenfalls Fliesen anbringen. Multiplizieren Sie mit und Sie erhalten Kacheln ().
Ist Ihnen aufgefallen, dass wir zur Bestimmung der Fläche des Beckenbodens dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert haben? Was bedeutet das? Da wir dieselbe Zahl multiplizieren, können wir die Technik der „Potenzierung“ verwenden. (Wenn Sie nur zwei Zahlen haben, müssen Sie diese natürlich trotzdem multiplizieren oder potenzieren. Aber wenn Sie viele davon haben, ist die Potenzierung viel einfacher und es gibt auch weniger Fehler in den Berechnungen . Für das Einheitliche Staatsexamen ist dies sehr wichtig).
Dreißig hoch zwei ist also (). Oder wir können sagen, dass es dreißig im Quadrat sein werden. Mit anderen Worten: Die zweite Potenz einer Zahl kann immer als Quadrat dargestellt werden. Und umgekehrt, wenn Sie ein Quadrat sehen, ist es IMMER die zweite Potenz einer Zahl. Ein Quadrat ist ein Bild der zweiten Potenz einer Zahl.
Beispiel Nr. 2 aus dem wirklichen Leben
Hier ist eine Aufgabe für Sie: Zählen Sie anhand des Zahlenquadrats, wie viele Felder es auf dem Schachbrett gibt ... Auf der einen Seite der Zellen und auch auf der anderen. Um ihre Zahl zu berechnen, müssen Sie acht mit acht multiplizieren oder ... wenn Sie bemerken, dass ein Schachbrett ein Quadrat mit einer Seite ist, dann können Sie acht quadrieren. Sie erhalten Zellen. () Also?
Beispiel Nr. 3 aus dem wirklichen Leben
Nun die Potenz bzw. die dritte Potenz einer Zahl. Derselbe Pool. Jetzt müssen Sie jedoch herausfinden, wie viel Wasser in dieses Becken gegossen werden muss. Sie müssen das Volumen berechnen. (Volumen und Flüssigkeiten werden übrigens in Kubikmetern gemessen. Unerwartet, oder?) Zeichnen Sie ein Becken: Der Boden ist einen Meter groß und einen Meter tief, und versuchen Sie zu zählen, wie viele Würfel es mit einem Meter mal einem Meter gibt passt in Ihren Pool.
Zeigen Sie einfach mit dem Finger und zählen Sie! Eins, zwei, drei, vier ... zweiundzwanzig, dreiundzwanzig ... Wie viele hast du bekommen? Nicht verloren? Ist es schwierig, mit dem Finger zu zählen? So dass! Nehmen Sie ein Beispiel von Mathematikern. Sie sind faul und haben bemerkt, dass man zur Berechnung des Beckenvolumens dessen Länge, Breite und Höhe miteinander multiplizieren muss. In unserem Fall entspricht das Volumen des Pools einem Würfel... Einfacher, oder?
Stellen Sie sich nun vor, wie faul und schlau die Mathematiker wären, wenn sie auch dies vereinfachen würden. Wir haben alles auf eine Aktion reduziert. Sie stellten fest, dass Länge, Breite und Höhe gleich sind und dass dieselbe Zahl mit sich selbst multipliziert wird ... Was bedeutet das? Das bedeutet, dass Sie den Abschluss nutzen können. Was Sie also einmal mit dem Finger gezählt haben, erledigen sie in einer Aktion: Drei Würfel sind gleich. Es ist so geschrieben: .
Es bleibt nur noch Denken Sie an die Gradtabelle. Es sei denn natürlich, Sie sind so faul und schlau wie Mathematiker. Wenn Sie gerne hart arbeiten und Fehler machen, können Sie weiterhin mit dem Finger zählen.
Nun, um Sie endlich davon zu überzeugen, dass Abschlüsse von Aufgebenden und schlauen Menschen erfunden wurden, um ihre Lebensprobleme zu lösen und nicht, um Ihnen Probleme zu bereiten, hier ein paar weitere Beispiele aus dem Leben.
Beispiel Nr. 4 aus dem wirklichen Leben
Sie haben eine Million Rubel. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, eine weitere Million. Das heißt, jede Million, die Sie haben, verdoppelt sich zu Beginn eines jeden Jahres. Wie viel Geld werden Sie in Jahren haben? Wenn Sie jetzt sitzen und „mit dem Finger zählen“, dann sind Sie ein sehr fleißiger Mensch und ... dumm. Aber höchstwahrscheinlich werden Sie in ein paar Sekunden eine Antwort geben, weil Sie schlau sind! Also, im ersten Jahr – zwei multipliziert mit zwei … im zweiten Jahr – was im dritten Jahr um zwei weitere geschah … Stopp! Sie haben bemerkt, dass die Zahl mit sich selbst multipliziert wird. Zwei hoch fünf ist also eine Million! Stellen Sie sich nun vor, Sie haben einen Wettbewerb und derjenige, der am schnellsten zählen kann, wird diese Millionen bekommen ... Es lohnt sich, sich an die Macht der Zahlen zu erinnern, finden Sie nicht?
Beispiel Nr. 5 aus dem wirklichen Leben
Du hast eine Million. Zu Beginn eines jeden Jahres verdienen Sie für jede Million, die Sie verdienen, zwei weitere. Großartig, nicht wahr? Jede Million wird verdreifacht. Wie viel Geld werden Sie in einem Jahr haben? Lass uns zählen. Das erste Jahr – mit multiplizieren, dann das Ergebnis mit einem anderen... Es ist schon langweilig, weil Sie schon alles verstanden haben: Drei wird mit sich selbst mal multipliziert. In der vierten Potenz entspricht es also einer Million. Sie müssen sich nur daran erinnern, dass drei hoch vier Potenzen oder sind.
Jetzt wissen Sie, dass Sie Ihr Leben viel einfacher machen, wenn Sie eine Zahl potenzieren. Werfen wir einen weiteren Blick darauf, was Sie mit Abschlüssen alles machen können und was Sie darüber wissen müssen.
Begriffe und Konzepte... um nicht durcheinander zu kommen
Definieren wir also zunächst die Konzepte. Wie denkst du, Was ist ein Exponent?? Es ist ganz einfach: Es ist die Zahl, die „an der Spitze“ der Potenz der Zahl steht. Nicht wissenschaftlich, aber klar und leicht zu merken ...
Nun, zur gleichen Zeit, was eine solche Abschlussbasis? Noch einfacher: Dies ist die Nummer, die sich unten an der Basis befindet.
Hier ist eine Zeichnung zur Sicherheit.
Nun, im Allgemeinen, um es zu verallgemeinern und sich besser zu merken ... Ein Grad mit einer Basis „ “ und einem Exponenten „ “ wird als „bis zum Grad“ gelesen und wie folgt geschrieben:
Potenz einer Zahl mit natürlichem Exponenten
Sie haben es wahrscheinlich schon erraten: Weil der Exponent eine natürliche Zahl ist. Ja, aber was ist das? natürliche Zahl? Elementar! Natürliche Zahlen sind die Zahlen, die beim Zählen von Objekten verwendet werden: eins, zwei, drei ... Wenn wir Objekte zählen, sagen wir nicht: „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“. Wir sagen auch nicht: „ein Drittel“ oder „null Komma fünf“. Das sind keine natürlichen Zahlen. Welche Zahlen sind das Ihrer Meinung nach?
Zahlen wie „minus fünf“, „minus sechs“, „minus sieben“ beziehen sich auf ganze Zahlen. Im Allgemeinen umfassen ganze Zahlen alle natürlichen Zahlen, Zahlen, die den natürlichen Zahlen entgegengesetzt sind (d. h. mit einem Minuszeichen versehen) und Zahlen. Null ist leicht zu verstehen – es ist, wenn es nichts gibt. Was bedeuten negative („Minus“) Zahlen? Sie wurden jedoch in erster Linie erfunden, um Schulden anzuzeigen: Wenn Sie auf Ihrem Telefon ein Guthaben in Rubel haben, bedeutet dies, dass Sie dem Betreiber Rubel schulden.
Alle Brüche sind rationale Zahlen. Wie sind sie Ihrer Meinung nach entstanden? Sehr einfach. Vor mehreren tausend Jahren entdeckten unsere Vorfahren, dass ihnen natürliche Zahlen zur Messung von Länge, Gewicht, Fläche usw. fehlten. Und sie haben es sich ausgedacht Rationale Zahlen... Interessant, nicht wahr?
Es gibt auch irrationale Zahlen. Was sind das für Zahlen? Kurz gesagt, endlos Dezimal. Teilt man beispielsweise den Umfang eines Kreises durch seinen Durchmesser, erhält man eine irrationale Zahl.
Zusammenfassung:
Definieren wir das Konzept eines Grades, dessen Exponent eine natürliche Zahl (d. h. ganzzahlig und positiv) ist.
- Jede Zahl in der ersten Potenz ist gleich sich selbst:
- Eine Zahl quadrieren bedeutet, sie mit sich selbst zu multiplizieren:
- Eine Zahl zu würfeln bedeutet, sie dreimal mit sich selbst zu multiplizieren:
Definition. Eine Zahl auf eine natürliche Potenz zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
.
Eigenschaften von Graden
Woher kamen diese Eigenschaften? Ich werde es dir jetzt zeigen.
Mal sehen: Was ist das? Und ?
A-Priorat:
Wie viele Multiplikatoren gibt es insgesamt?
Es ist ganz einfach: Wir haben den Faktoren Multiplikatoren hinzugefügt und das Ergebnis sind Multiplikatoren.
Aber per Definition ist dies eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, also: , was bewiesen werden musste.
Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.
Lösung:
Beispiel: Den Ausdruck vereinfachen.
Lösung: Es ist wichtig, dies in unserer Regel zu beachten Notwendig Es muss die gleichen Gründe geben!
Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:
nur für das Produkt der Potenzen!
Das darf man auf keinen Fall schreiben.
2. Das ist es Potenz einer Zahl
Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:
Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:
Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze tun:
Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben?
Aber das stimmt schließlich nicht.
Leistung mit negativer Basis
Bisher haben wir nur besprochen, was der Exponent sein sollte.
Doch was soll die Grundlage sein?
In Potenzen von natürlicher Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer. Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar.
Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Potenzen positiver und negativer Zahlen haben werden.
Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ? Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.
Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit multiplizieren, funktioniert es.
Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:
| 1) | 2) | 3) |
| 4) | 5) | 6) |
Hast du es geschafft?
Hier sind die Antworten: In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.
Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird.
Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).
Beispiel 6) ist nicht mehr so einfach!
6 Beispiele zum Üben
Analyse der Lösung 6 Beispiele
Ganz Wir nennen die natürlichen Zahlen, ihre Gegensätze (also mit dem „ “-Zeichen genommen) und die Zahl.
positive ganze Zahl, und es unterscheidet sich nicht von natürlich, dann sieht alles genauso aus wie im vorherigen Abschnitt.
Schauen wir uns nun neue Fälle an. Beginnen wir mit einem Indikator gleich.
Jede Zahl hoch null ist gleich eins:
Fragen wir uns wie immer: Warum ist das so?
Betrachten wir einen Grad mit einer Basis. Nehmen Sie zum Beispiel und multiplizieren Sie mit:
Also multiplizierten wir die Zahl mit und bekamen das Gleiche wie es war – . Mit welcher Zahl muss man multiplizieren, damit sich nichts ändert? Genau, weiter. Bedeutet.
Das Gleiche können wir auch mit einer beliebigen Zahl machen:
Wiederholen wir die Regel:
Jede Zahl hoch null ist gleich eins.
Doch von vielen Regeln gibt es Ausnahmen. Und hier ist es auch da – das ist eine Zahl (als Basis).
Einerseits muss es in jedem Grad gleich sein – egal wie viel man Null mit sich selbst multipliziert, man erhält immer noch Null, das ist klar. Aber andererseits muss sie wie jede Zahl hoch null gleich sein. Wie viel davon ist wahr? Die Mathematiker entschieden sich, sich nicht darauf einzulassen und weigerten sich, Null in die Nullpotenz zu erhöhen. Das heißt, wir können jetzt nicht nur durch Null dividieren, sondern es auch mit Null potenzieren.
Lass uns weitermachen. Zu den ganzen Zahlen zählen neben natürlichen Zahlen und Zahlen auch negative Zahlen. Um zu verstehen, was eine negative Potenz ist, machen wir es wie beim letzten Mal: Multiplizieren Sie eine normale Zahl mit derselben Zahl, um eine negative Potenz zu erhalten:
Von hier aus können Sie ganz einfach ausdrücken, wonach Sie suchen:
Nun erweitern wir die resultierende Regel beliebig:
Formulieren wir also eine Regel:
Eine Zahl mit negativer Potenz ist der Kehrwert derselben Zahl mit positiver Potenz. Aber zur selben Zeit Die Basis darf nicht null sein:(weil man nicht durch teilen kann).
Fassen wir zusammen:
Aufgaben zur eigenständigen Lösung:
Nun, wie immer Beispiele für unabhängige Lösungen:
Analyse von Problemen zur eigenständigen Lösung:
Ich weiß, ich weiß, die Zahlen sind beängstigend, aber beim Einheitlichen Staatsexamen muss man auf alles vorbereitet sein! Lösen Sie diese Beispiele oder analysieren Sie ihre Lösungen, wenn Sie sie nicht lösen konnten, und Sie werden lernen, in der Prüfung problemlos damit umzugehen!
Erweitern wir den Zahlenbereich, der als Exponent „geeignet“ ist, weiter.
Lassen Sie uns nun überlegen Rationale Zahlen. Welche Zahlen nennt man rational?
Antwort: alles, was als Bruch dargestellt werden kann, wobei und ganze Zahlen sind und.
Um zu verstehen, was es ist „Bruchgrad“ Betrachten Sie den Bruch:
Potenzieren wir beide Seiten der Gleichung:
Erinnern wir uns nun an die Regel über „Grad zu Grad“:
Welche Zahl muss potenziert werden, um sie zu erhalten?
Diese Formulierung ist die Definition der Wurzel des th-Grades.
Ich möchte Sie daran erinnern: Die Wurzel der Potenz einer Zahl () ist eine Zahl, die, wenn sie potenziert wird, gleich ist.
Das heißt, die Wurzel der Potenz ist die umgekehrte Operation der Potenzierung: .
Es stellt sich heraus, dass. Offensichtlich das besonderer Fall erweiterbar: .
Nun fügen wir den Zähler hinzu: Was ist das? Die Antwort lässt sich leicht mit der Power-to-Power-Regel erhalten:
Aber kann die Basis eine beliebige Zahl sein? Schließlich lässt sich nicht aus allen Zahlen die Wurzel ziehen.
Keiner!
Denken Sie an die Regel: jede Zahl, die auf erhöht wird sogar Grad- Die Zahl ist positiv. Das heißt, es ist unmöglich, gerade Wurzeln aus negativen Zahlen zu ziehen!
Dies bedeutet, dass solche Zahlen nicht erhöht werden können Teilleistung mit einem geraden Nenner, das heißt, der Ausdruck ergibt keinen Sinn.
Was ist mit dem Ausdruck?
Aber hier entsteht ein Problem.
Die Zahl kann beispielsweise in Form anderer, reduzierbarer Brüche dargestellt werden, oder.
Und es stellt sich heraus, dass es existiert, aber nicht existiert, sondern dass es sich nur um zwei verschiedene Datensätze derselben Nummer handelt.
Oder ein anderes Beispiel: Einmal, dann kannst du es aufschreiben. Aber wenn wir den Indikator anders aufschreiben, geraten wir erneut in Schwierigkeiten: (das heißt, wir haben ein völlig anderes Ergebnis erhalten!).
Um solche Paradoxien zu vermeiden, überlegen wir nur positiver Basisexponent mit gebrochenem Exponenten.
Wenn also:
- - natürliche Zahl;
- - ganze Zahl;
Beispiele:
Rationale Exponenten sind sehr nützlich für die Transformation von Ausdrücken mit Wurzeln, zum Beispiel:
5 Beispiele zum Üben
Analyse von 5 Beispielen für das Training
Nun kommt der schwierigste Teil. Jetzt werden wir es herausfinden Grad mit irrationalem Exponenten.
Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier mit einer Ausnahme genau die gleichen wie für einen Grad mit rationalem Exponenten
Schließlich sind irrationale Zahlen per Definition Zahlen, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (das heißt, irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).
Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt.
Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl;
...Zahl hoch null- das ist sozusagen eine Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert wird, d. , nämlich eine Zahl;
...negativer ganzzahliger Grad- Es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.
In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl.
Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte im Institut zu verstehen.
WOHIN WIR SICHER SIND, WERDEN SIE GEHEN! (Wenn Sie lernen, solche Beispiele zu lösen :))
Zum Beispiel:
Entscheide dich selbst:
Analyse der Lösungen:
1. Beginnen wir mit der üblichen Regel zur Potenzsteigerung:
FORTGESCHRITTENES LEVEL
Bestimmung des Abschlusses
Ein Abschluss ist ein Ausdruck der Form: , wobei:
- — Abschlussbasis;
- - Exponent.
Abschluss mit natürlichem Indikator (n = 1, 2, 3,...)
Eine Zahl auf die natürliche Potenz n zu erhöhen bedeutet, die Zahl mit sich selbst zu multiplizieren:
Grad mit einem ganzzahligen Exponenten (0, ±1, ±2,...)
Wenn der Exponent ist positive ganze Zahl Nummer:
Konstruktion bis zum Nullgrad:
Der Ausdruck ist unbestimmt, denn einerseits ist dies in jedem Grad der Fall, und andererseits ist dies jede Zahl im Th-Grad.
Wenn der Exponent ist negative ganze Zahl Nummer:
(weil man nicht durch teilen kann).
Noch einmal zu den Nullen: Der Ausdruck ist in diesem Fall nicht definiert. Wenn, dann.
Beispiele:
Potenz mit rationalem Exponenten
- - natürliche Zahl;
- - ganze Zahl;
Beispiele:
Eigenschaften von Graden
Um die Lösung von Problemen zu erleichtern, versuchen wir zu verstehen: Woher kommen diese Eigenschaften? Lassen Sie uns sie beweisen.
Mal sehen: Was ist und?
A-Priorat:
Auf der rechten Seite dieses Ausdrucks erhalten wir also das folgende Produkt:
Aber per Definition ist es eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten, das heißt:
Q.E.D.
Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.
Lösung : .
Beispiel : Den Ausdruck vereinfachen.
Lösung : Es ist wichtig, das in unserer Regel zu beachten Notwendig Es muss die gleichen Gründe geben. Daher kombinieren wir die Kräfte mit der Basis, aber es bleibt ein separater Faktor:
Noch ein wichtiger Hinweis: Diese Regel - nur für Potenzprodukte!
Das darf man auf keinen Fall schreiben.
Wenden wir uns wie bei der vorherigen Eigenschaft der Definition des Grades zu:
Lassen Sie uns diese Arbeit wie folgt neu gruppieren:
Es stellt sich heraus, dass der Ausdruck mit sich selbst multipliziert wird, das heißt laut Definition ist dies die te Potenz der Zahl:
Im Wesentlichen kann man dies als „Ausklammern des Indikators“ bezeichnen. Aber das kann man nie in Gänze schaffen: !
Erinnern wir uns an die abgekürzten Multiplikationsformeln: Wie oft wollten wir schreiben? Aber das stimmt schließlich nicht.
Macht mit negativer Basis.
Bisher haben wir nur besprochen, wie es sein sollte Index Grad. Doch was soll die Grundlage sein? In Potenzen von natürlich Indikator die grundlage kann sein irgendeine Nummer .
Tatsächlich können wir beliebige Zahlen miteinander multiplizieren, seien sie positiv, negativ oder sogar. Lassen Sie uns darüber nachdenken, welche Zeichen („“ oder „“) Potenzen positiver und negativer Zahlen haben werden.
Ist die Zahl beispielsweise positiv oder negativ? A? ?
Beim ersten ist alles klar: Egal wie viele positive Zahlen wir miteinander multiplizieren, das Ergebnis wird positiv sein.
Aber die negativen sind etwas interessanter. Wir erinnern uns an die einfache Regel aus der 6. Klasse: „Minus für Minus ergibt ein Plus.“ Das heißt, oder. Aber wenn wir mit () multiplizieren, erhalten wir - .
Und so weiter bis ins Unendliche: Bei jeder weiteren Multiplikation ändert sich das Vorzeichen. Wir können Folgendes formulieren einfache Regeln:
- sogar Grad, - Zahl positiv.
- Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
- Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
- Null zu jeder Potenz ist gleich Null.
Bestimmen Sie selbst, welches Vorzeichen die folgenden Ausdrücke haben werden:
| 1. | 2. | 3. |
| 4. | 5. | 6. |
Hast du es geschafft? Hier sind die Antworten:
1) ; 2) ; 3) ; 4) ; 5) ; 6) .
In den ersten vier Beispielen hoffe ich, dass alles klar ist? Wir schauen uns einfach die Basis und den Exponenten an und wenden die entsprechende Regel an.
Auch in Beispiel 5) ist alles nicht so beängstigend, wie es scheint: Schließlich spielt es keine Rolle, welcher Basis gleich ist – der Grad ist gerade, was bedeutet, dass das Ergebnis immer positiv sein wird. Nun, außer wenn die Basis Null ist. Die Basis ist nicht gleich, oder? Offensichtlich nicht, denn (weil).
Beispiel 6) ist nicht mehr so einfach. Hier gilt es herauszufinden, was weniger ist: oder? Wenn wir uns daran erinnern, wird klar, dass die Basis kleiner als Null ist. Das heißt, wir wenden Regel 2 an: Das Ergebnis wird negativ sein.
Und wieder verwenden wir die Definition des Grades:
Alles ist wie immer – wir schreiben die Definition der Grade auf und teilen sie durcheinander, teilen sie in Paare auf und erhalten:
Bevor wir uns die letzte Regel ansehen, lösen wir einige Beispiele.
Berechnen Sie die Ausdrücke:
Lösungen :
Kehren wir zum Beispiel zurück:
Und noch einmal die Formel:
Nun also die letzte Regel:
Wie werden wir es beweisen? Natürlich wie immer: Lassen Sie uns das Konzept des Abschlusses erweitern und vereinfachen:
Nun öffnen wir die Klammern. Wie viele Buchstaben gibt es insgesamt? mal durch Multiplikatoren - woran erinnert dich das? Dies ist nichts weiter als eine Definition einer Operation Multiplikation: Da gab es nur Multiplikatoren. Das heißt, dies ist per Definition eine Potenz einer Zahl mit einem Exponenten:
Beispiel:
Grad mit irrationalem Exponenten
Zusätzlich zu den Gradangaben für das Durchschnittsniveau analysieren wir den Grad mit einem irrationalen Exponenten. Alle Regeln und Eigenschaften von Graden sind hier genau die gleichen wie für einen Grad mit einem rationalen Exponenten, mit der Ausnahme, dass irrationale Zahlen per Definition Zahlen sind, die nicht als Bruch dargestellt werden können, wobei und ganze Zahlen sind (d. h , irrationale Zahlen sind alle reellen Zahlen außer rationalen Zahlen).
Bei der Untersuchung von Graden mit natürlichen, ganzzahligen und rationalen Exponenten haben wir jedes Mal ein bestimmtes „Bild“, eine „Analogie“ oder eine Beschreibung in vertrauteren Begriffen erstellt. Beispielsweise ist ein Grad mit natürlichem Exponenten eine mehrfach mit sich selbst multiplizierte Zahl; eine Zahl hoch null ist sozusagen eine Zahl, die einmal mit sich selbst multipliziert wird, d „Leerzahl“, nämlich eine Zahl; ein Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten – es ist, als ob ein „umgekehrter Prozess“ stattgefunden hätte, das heißt, die Zahl wurde nicht mit sich selbst multipliziert, sondern dividiert.
Es ist äußerst schwierig, sich einen Grad mit einem irrationalen Exponenten vorzustellen (ebenso wie es schwierig ist, sich einen vierdimensionalen Raum vorzustellen). Es handelt sich vielmehr um ein rein mathematisches Objekt, das Mathematiker geschaffen haben, um das Konzept des Grades auf den gesamten Zahlenraum auszudehnen.
In der Wissenschaft wird übrigens oft ein Grad mit einem komplexen Exponenten verwendet, das heißt, der Exponent ist nicht einmal eine reelle Zahl. Aber in der Schule denken wir nicht über solche Schwierigkeiten nach; Sie haben die Möglichkeit, diese neuen Konzepte im Institut zu verstehen.
Was machen wir also, wenn wir einen irrationalen Exponenten sehen? Wir versuchen unser Bestes, es loszuwerden! :)
Zum Beispiel:
Entscheide dich selbst:
| 1) | 2) | 3) |
Antworten:
ZUSAMMENFASSUNG DES ABSCHNITTS UND GRUNDFORMELN
Grad wird als Ausdruck der Form bezeichnet: , wobei:
Grad mit einem ganzzahligen Exponenten
ein Grad, dessen Exponent eine natürliche Zahl ist (d. h. ganzzahlig und positiv).
Potenz mit rationalem Exponenten
Grad, dessen Exponent negative und gebrochene Zahlen sind.
Grad mit irrationalem Exponenten
ein Grad, dessen Exponent ein unendlicher Dezimalbruch oder eine unendliche Wurzel ist.
Eigenschaften von Graden
Merkmale von Abschlüssen.
- Negative Zahl erhöht auf sogar Grad, - Zahl positiv.
- Negative Zahl erhöht auf seltsam Grad, - Zahl Negativ.
- Eine positive Zahl ist in jedem Grad eine positive Zahl.
- Null ist gleich jeder Potenz.
- Jede Zahl hoch null ist gleich.
JETZT HABEN SIE DAS WORT...
Wie gefällt Ihnen der Artikel? Schreiben Sie unten in die Kommentare, ob es Ihnen gefallen hat oder nicht.
Erzählen Sie uns von Ihren Erfahrungen mit Abschlusseigenschaften.
Vielleicht haben Sie Fragen. Oder Vorschläge.
Schreiben Sie in die Kommentare.
Und viel Glück bei deinen Prüfungen!
Nun, das Thema ist vorbei. Wenn Sie diese Zeilen lesen, bedeutet das, dass Sie sehr cool sind.
Denn nur 5 % der Menschen sind in der Lage, etwas alleine zu meistern. Und wenn Sie bis zum Ende lesen, dann sind Sie bei diesen 5 %!
Jetzt das Wichtigste.
Sie haben die Theorie zu diesem Thema verstanden. Und ich wiederhole, das... das ist einfach super! Sie sind bereits besser als die überwiegende Mehrheit Ihrer Kollegen.
Das Problem ist, dass dies möglicherweise nicht ausreicht ...
Wofür?
Für Erfolgreiche Fertigstellung Einheitliches Staatsexamen für die Zulassung zum College mit kleinem Budget und vor allem lebenslang.
Ich werde Sie von nichts überzeugen, ich sage nur eines ...
Menschen, die empfangen haben eine gute Ausbildung, verdienen viel mehr als diejenigen, die es nicht erhalten haben. Das ist Statistik.
Aber das ist nicht die Hauptsache.
Hauptsache, sie sind GLÜCKLICHER (es gibt solche Studien). Vielleicht, weil vor ihnen viel mehr Offenheit liegt Weitere Möglichkeiten und das Leben wird heller? Weiß nicht...
Aber denken Sie selbst...
Was braucht es, um beim Einheitlichen Staatsexamen sicher besser zu sein als andere und letztendlich ... glücklicher zu sein?
Gewinnen Sie Ihre Hand, indem Sie Probleme zu diesem Thema lösen.
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Abschließend...
Wenn Ihnen unsere Aufgaben nicht gefallen, finden Sie andere. Hören Sie einfach nicht bei der Theorie auf.
„Verstanden“ und „Ich kann lösen“ sind völlig unterschiedliche Fähigkeiten. Sie brauchen beides.
Finden Sie Probleme und lösen Sie sie!
Nachdem die Potenz einer Zahl bestimmt wurde, ist es logisch, darüber zu sprechen Abschlusseigenschaften. In diesem Artikel geben wir die grundlegenden Eigenschaften der Potenz einer Zahl an und gehen dabei auf alle möglichen Exponenten ein. Hier liefern wir Beweise für alle Eigenschaften von Graden und zeigen auch, wie diese Eigenschaften beim Lösen von Beispielen verwendet werden.
Seitennavigation.
Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten
Nach Definition einer Potenz mit natürlichem Exponenten ist die Potenz a n das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Basierend auf dieser Definition und auch unter Verwendung Eigenschaften der Multiplikation reeller Zahlen können wir Folgendes erhalten und begründen Eigenschaften des Grades mit natürlichem Exponenten:
- die Haupteigenschaft des Grades a m ·a n =a m+n, seine Verallgemeinerung;
- Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis a m:a n =a m−n ;
- Produktleistungseigenschaft (a·b) n =a n ·b n , seine Erweiterung;
- Eigenschaft des Quotienten zum natürlichen Grad (a:b) n =a n:b n ;
- Potenzierung eines Grades (a m) n =a m·n, seine Verallgemeinerung (((a n 1) n 2) …) n k =a n 1 ·n 2 ·…·n k;
- Vergleich des Grades mit Null:
- wenn a>0, dann a n>0 für jede natürliche Zahl n;
- wenn a=0, dann a n =0;
- wenn ein<0 и показатель степени является четным числом 2·m , то a 2·m >0 wenn a<0 и показатель степени есть нечетное число 2·m−1 , то a 2·m−1 <0 ;
- wenn a und b positive Zahlen sind und a
- Wenn m und n natürliche Zahlen sind, so dass m>n ist, dann bei 0
- Wenn m und n natürliche Zahlen sind, so dass m>n ist, dann bei 0
Beachten wir sofort, dass alle geschriebenen Gleichheiten gelten identisch Unter den angegebenen Bedingungen können sowohl der rechte als auch der linke Teil ausgetauscht werden. Zum Beispiel die Haupteigenschaft des Bruchs a m ·a n =a m+n mit Ausdrücke vereinfachen wird oft in der Form a m+n =a m ·a n verwendet.
Schauen wir uns nun jeden von ihnen im Detail an.
Beginnen wir mit der Eigenschaft des Produkts zweier Potenzen mit gleichen Basen, die man nennt die Haupteigenschaft des Abschlusses: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n gilt die Gleichung a m ·a n =a m+n.
Lassen Sie uns die Haupteigenschaft des Abschlusses beweisen. Durch die Definition einer Potenz mit natürlichem Exponenten kann das Produkt von Potenzen mit gleichen Basen der Form a m ·a n als Produkt geschrieben werden. Aufgrund der Eigenschaften der Multiplikation kann der resultierende Ausdruck wie folgt geschrieben werden: 
, und dieses Produkt ist eine Potenz der Zahl a mit einem natürlichen Exponenten m+n, also a m+n. Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Lassen Sie uns ein Beispiel geben, das die Haupteigenschaft des Abschlusses bestätigt. Nehmen wir Grade mit den gleichen Basen 2 und natürlichen Potenzen 2 und 3. Mithilfe der Grundeigenschaft der Grade können wir die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 2+3 =2 5 schreiben. Überprüfen wir seine Gültigkeit, indem wir die Werte der Ausdrücke 2 2 · 2 3 und 2 5 berechnen. Wir führen eine Potenzierung durch 2 2 ·2 3 =(2·2)·(2·2·2)=4·8=32 und 2 5 =2·2·2·2·2=32, da gleiche Werte erhalten werden, dann ist die Gleichheit 2 2 ·2 3 =2 5 richtig und bestätigt die Haupteigenschaft des Grades.
Die grundlegende Eigenschaft eines Grades, die auf den Eigenschaften der Multiplikation basiert, kann auf das Produkt von drei oder mehr Potenzen mit denselben Basen und natürlichen Exponenten verallgemeinert werden. Für jede Anzahl k natürlicher Zahlen n 1, n 2, …, n k gilt also die folgende Gleichheit: a n 1 ·a n 2 ·…·a n k =a n 1 +n 2 +…+n k.
Zum Beispiel, (2,1) 3 ·(2,1) 3 ·(2,1) 4 ·(2,1) 7 = (2,1) 3+3+4+7 =(2,1) 17 .
Wir können zur nächsten Eigenschaft von Potenzen mit einem natürlichen Exponenten übergehen – Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit gleichen Basen: Für jede reelle Zahl a ungleich Null und beliebige natürliche Zahlen m und n, die die Bedingung m>n erfüllen, gilt die Gleichheit a m:a n =a m−n.
Bevor wir den Beweis dieser Eigenschaft vorlegen, wollen wir die Bedeutung der zusätzlichen Bedingungen in der Formulierung diskutieren. Die Bedingung a≠0 ist notwendig, um eine Division durch Null zu vermeiden, da 0 n =0 ist, und als wir uns mit der Division vertraut machten, waren wir uns einig, dass wir nicht durch Null dividieren können. Damit wir nicht über die natürlichen Exponenten hinausgehen, wird die Bedingung m>n eingeführt. Tatsächlich ist der Exponent a m−n für m>n eine natürliche Zahl, andernfalls ist er entweder Null (was für m−n der Fall ist) oder eine negative Zahl (was für m der Fall ist). Nachweisen. Die Haupteigenschaft eines Bruchs ermöglicht es uns, die Gleichheit zu schreiben a m−n ·a n =a (m−n)+n =a m. Aus der resultierenden Gleichung a m−n ·a n =am folgt, dass a m−n ein Quotient der Potenzen a m und a n ist. Damit ist die Eigenschaft von Quotientenpotenzen mit identischer Basis bewiesen. Geben wir ein Beispiel. Nehmen wir zwei Grade mit den gleichen Basen π und den natürlichen Exponenten 5 und 2, die Gleichheit π 5:π 2 =π 5−3 =π 3 entspricht der betrachteten Eigenschaft des Grades. Lassen Sie uns nun überlegen Produktleistungseigenschaft: Die natürliche Potenz n des Produkts zweier beliebiger reeller Zahlen a und b ist gleich dem Produkt der Potenzen a n und b n , d. h. (a·b) n =a n ·b n . Tatsächlich haben wir nach der Definition eines Grades mit einem natürlichen Exponenten Hier ist ein Beispiel: Diese Eigenschaft erstreckt sich auf die Potenz des Produkts von drei oder mehr Faktoren. Das heißt, die Eigenschaft des natürlichen Grades n des Produkts von k Faktoren wird geschrieben als (a 1 ·a 2 ·…·a k) n =a 1 n ·a 2 n ·…·a k n. Der Übersichtlichkeit halber zeigen wir diese Eigenschaft anhand eines Beispiels. Für das Produkt aus drei Faktoren hoch 7 gilt: Die folgende Eigenschaft ist Eigenschaft eines Quotienten in Form von Sachleistungen: Der Quotient der reellen Zahlen a und b, b≠0 zur natürlichen Potenz n ist gleich dem Quotienten der Potenzen a n und b n, also (a:b) n =a n:b n. Der Nachweis kann anhand der bisherigen Eigenschaft erfolgen. Also (a:b) n b n =((a:b) b) n =a n, und aus der Gleichung (a:b) n ·b n =a n folgt, dass (a:b) n der Quotient von a n dividiert durch b n ist. Schreiben wir diese Eigenschaft am Beispiel konkreter Zahlen: Lassen Sie es uns jetzt aussprechen Eigenschaft, eine Macht zu einer Macht zu erheben: Für jede reelle Zahl a und alle natürlichen Zahlen m und n ist die Potenz von a m hoch n gleich der Potenz der Zahl a mit dem Exponenten m·n, d. h. (a m) n =a m·n. Zum Beispiel (5 2) 3 =5 2·3 =5 6. Der Beweis der Power-to-Degree-Eigenschaft ist die folgende Gleichungskette: Die betrachtete Eigenschaft kann von Grad zu Grad usw. erweitert werden. Beispielsweise gilt für alle natürlichen Zahlen p, q, r und s die Gleichheit Es bleibt noch auf die Eigenschaften des Vergleichs von Graden mit einem natürlichen Exponenten einzugehen. Beginnen wir mit dem Beweis der Eigenschaft, Null und Potenz mit einem natürlichen Exponenten zu vergleichen. Beweisen wir zunächst, dass a n > 0 für jedes a > 0 gilt. Das Produkt zweier positiver Zahlen ist eine positive Zahl, wie aus der Definition der Multiplikation hervorgeht. Diese Tatsache und die Eigenschaften der Multiplikation legen nahe, dass das Ergebnis der Multiplikation einer beliebigen Anzahl positiver Zahlen auch eine positive Zahl sein wird. Und die Potenz einer Zahl a mit natürlichem Exponenten n ist per Definition das Produkt von n Faktoren, von denen jeder gleich a ist. Mit diesen Argumenten können wir behaupten, dass für jede positive Basis a der Grad a n eine positive Zahl ist. Aufgrund der nachgewiesenen Eigenschaft 3 5 >0, (0,00201) 2 >0 und Es ist ziemlich offensichtlich, dass für jede natürliche Zahl n mit a=0 der Grad von a n Null ist. Tatsächlich ist 0 n =0·0·…·0=0 . Beispiel: 0 3 =0 und 0 762 =0. Kommen wir nun zu den negativen Gradzahlen. Beginnen wir mit dem Fall, dass der Exponent eine gerade Zahl ist, bezeichnen wir ihn als 2·m, wobei m eine natürliche Zahl ist. Dann Wenn schließlich die Basis a eine negative Zahl und der Exponent eine ungerade Zahl 2 m−1 ist, dann Kommen wir zur Eigenschaft, Potenzen mit denselben natürlichen Exponenten zu vergleichen, die wie folgt formuliert ist: Von zwei Potenzen mit denselben natürlichen Exponenten ist n kleiner als diejenige, deren Basis kleiner ist, und größer ist diejenige, deren Basis größer ist . Lass es uns beweisen. Ungleichheit a n Eigenschaften von Ungleichungen eine beweisbare Ungleichung der Form a n ist ebenfalls wahr (2.2) 7 und Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten zu beweisen. Formulieren wir es. Von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten und identischen positiven Basen kleiner als eins ist diejenige größer, deren Exponent kleiner ist; und von zwei Potenzen mit natürlichen Exponenten und identischen Basen größer als eins ist diejenige größer, deren Exponent größer ist. Fahren wir mit dem Beweis dieser Eigenschaft fort. Beweisen wir das für m>n und 0 Es bleibt der Nachweis des zweiten Teils der Immobilie. Beweisen wir, dass für m>n und a>1 a m >a n gilt. Die Differenz a m −a n nach Entfernen von a n aus Klammern hat die Form a n ·(a m−n −1) . Dieses Produkt ist positiv, da für a>1 der Grad a n eine positive Zahl ist und die Differenz a m−n −1 eine positive Zahl ist, da aufgrund der Anfangsbedingung m−n>0 ist, und für a>1 der Grad a m−n ist größer als eins. Folglich gilt: a m −a n >0 und a m >a n , was bewiesen werden musste. Diese Eigenschaft wird durch die Ungleichung 3 7 >3 2 veranschaulicht.
. Basierend auf den Eigenschaften der Multiplikation kann das letzte Produkt umgeschrieben werden als 
, was gleich a n · b n ist.
.
.
.
. Zur besseren Übersicht hier ein Beispiel mit konkreten Zahlen: (((5,2) 3) 2) 5 =(5,2) 3+2+5 =(5,2) 10
.
.
. Denn jedes der Produkte der Form a·a ist gleich dem Produkt der Moduli der Zahlen a und a, also eine positive Zahl. Daher wird das Produkt auch positiv sein 
und Grad a 2·m. Geben wir Beispiele: (−6) 4 >0 , (−2,2) 12 >0 und .
. Alle Produkte a·a sind positive Zahlen, das Produkt dieser positiven Zahlen ist ebenfalls positiv und seine Multiplikation mit den übrigen eine negative Zahl a ergibt eine negative Zahl. Aufgrund dieser Eigenschaft (−5) 3<0
, (−0,003) 17 <0
и 
.
.
Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten
Da positive ganze Zahlen natürliche Zahlen sind, stimmen alle Eigenschaften von Potenzen mit positiven ganzzahligen Exponenten genau mit den im vorherigen Absatz aufgeführten und bewiesenen Eigenschaften von Potenzen mit natürlichen Exponenten überein.
Wir haben einen Grad mit einem ganzzahligen negativen Exponenten sowie einen Grad mit einem Exponenten von Null so definiert, dass alle Eigenschaften von Graden mit natürlichen Exponenten, ausgedrückt durch Gleichheiten, gültig bleiben. Daher gelten alle diese Eigenschaften sowohl für Nullexponenten als auch für negative Exponenten, wobei natürlich die Basen der Potenzen von Null verschieden sind.
Für alle reellen und ungleich Null Zahlen a und b sowie alle ganzen Zahlen m und n gilt also Folgendes: Eigenschaften von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten:
- a m ·a n =a m+n ;
- a m:a n =a m−n ;
- (a·b) n =a n ·b n ;
- (a:b) n =a n:b n ;
- (a m) n =a m·n ;
- Wenn n eine positive ganze Zahl ist, sind a und b positive Zahlen und a b−n ;
- wenn m und n ganze Zahlen sind und m>n , dann bei 0
Wenn a=0, sind die Potenzen a m und a n nur dann sinnvoll, wenn sowohl m als auch n positive ganze Zahlen, also natürliche Zahlen, sind. Somit gelten die gerade geschriebenen Eigenschaften auch für die Fälle, in denen a=0 ist und die Zahlen m und n positive ganze Zahlen sind.
Der Beweis jeder dieser Eigenschaften ist nicht schwierig; dazu genügt es, die Definitionen von Graden mit natürlichen und ganzzahligen Exponenten sowie die Eigenschaften von Operationen mit reellen Zahlen zu verwenden. Lassen Sie uns als Beispiel beweisen, dass die Potenz-zu-Potenz-Eigenschaft sowohl für positive ganze Zahlen als auch für nicht positive ganze Zahlen gilt. Dazu müssen Sie zeigen, dass, wenn p Null oder eine natürliche Zahl ist und q Null oder eine natürliche Zahl ist, die Gleichungen (a p) q =a p·q, (a −p) q =a (−p) ·q, (a p ) −q =a p·(−q) und (a −p) −q =a (−p)·(−q). Lass es uns tun.
Für positive p und q wurde im vorherigen Absatz die Gleichheit (a p) q =a p·q bewiesen. Wenn p=0, dann gilt (a 0) q =1 q =1 und a 0·q =a 0 =1, woraus (a 0) q =a 0·q. Wenn q=0, dann gilt in ähnlicher Weise (a p) 0 =1 und a p·0 =a 0 =1, woraus (a p) 0 =a p·0. Wenn sowohl p=0 als auch q=0, dann (a 0) 0 =1 0 =1 und a 0·0 =a 0 =1, woraus (a 0) 0 =a 0·0.
Nun beweisen wir, dass (a −p) q =a (−p)·q . Per Definition einer Potenz mit einem negativen ganzzahligen Exponenten 
. Durch die Eigenschaft von Quotienten zu Potenzen haben wir 
. Da 1 p =1·1·…·1=1 und , dann . Der letzte Ausdruck ist per Definition eine Potenz der Form a −(p·q), die aufgrund der Multiplikationsregeln als a (−p)·q geschrieben werden kann.
Ebenfalls 
.
UND 
.
Nach dem gleichen Prinzip können Sie alle anderen Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten beweisen, geschrieben in Form von Gleichungen.
In der vorletzten der aufgezeichneten Eigenschaften lohnt es sich, auf den Beweis der Ungleichung a −n > b −n einzugehen, die für jede negative ganze Zahl −n und alle positiven a und b gilt, für die die Bedingung a erfüllt ist . Da nach Bedingung a 0 . Das Produkt a n · b n ist auch positiv als Produkt positiver Zahlen a n und b n . Dann ist der resultierende Bruch positiv als Quotient der positiven Zahlen b n −a n und a n ·b n . Daher ist a −n > b −n , was bewiesen werden musste.
Die letzte Eigenschaft von Potenzen mit ganzzahligen Exponenten wird auf die gleiche Weise bewiesen wie eine ähnliche Eigenschaft von Potenzen mit natürlichen Exponenten.
Eigenschaften von Potenzen mit rationalen Exponenten
Wir haben einen Grad mit einem gebrochenen Exponenten definiert, indem wir die Eigenschaften eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten darauf erweitert haben. Mit anderen Worten: Potenzen mit gebrochenen Exponenten haben die gleichen Eigenschaften wie Potenzen mit ganzzahligen Exponenten. Nämlich:
Der Beweis der Eigenschaften von Graden mit gebrochenem Exponenten basiert auf der Definition eines Grades mit gebrochenem Exponenten und auf den Eigenschaften eines Grades mit ganzzahligem Exponenten. Lassen Sie uns Beweise liefern.
Per Definition einer Potenz mit gebrochenem Exponenten und dann 
. Die Eigenschaften der arithmetischen Wurzel ermöglichen es uns, die folgenden Gleichungen zu schreiben. Wenn wir außerdem die Eigenschaft eines Grades mit einem ganzzahligen Exponenten verwenden, erhalten wir , woraus wir durch die Definition eines Grades mit einem gebrochenen Exponenten haben 
, und der Indikator des erreichten Abschlusses kann wie folgt transformiert werden: . Damit ist der Beweis abgeschlossen.
Die zweite Eigenschaft von Potenzen mit gebrochenen Exponenten wird auf ganz ähnliche Weise bewiesen: 
Die übrigen Gleichheiten werden nach ähnlichen Prinzipien bewiesen: 
Fahren wir mit dem Beweis der nächsten Eigenschaft fort. Beweisen wir, dass für jedes positive a und b a gilt b p . Schreiben wir die rationale Zahl p als m/n, wobei m eine ganze Zahl und n eine natürliche Zahl ist. Bedingungen S<0 и p>0 in diesem Fall die Bedingungen m<0 и m>0 entsprechend. Für m>0 und a
Ebenso gilt für m<0 имеем a m >b m , woher also und a p > b p .
Es bleibt noch die letzte der aufgeführten Eigenschaften zu beweisen. Beweisen wir, dass für rationale Zahlen p und q p>q bei 0 gilt 
Und 
. Und die Definition eines Grades mit einem rationalen Exponenten ermöglicht es uns, zu Ungleichungen überzugehen und dementsprechend. Von hier aus ziehen wir die endgültige Schlussfolgerung: für p>q und 0
Eigenschaften von Potenzen mit irrationalen Exponenten
Aus der Art und Weise, wie ein Grad mit irrationalem Exponenten definiert ist, können wir schließen, dass er alle Eigenschaften von Graden mit rationalem Exponenten aufweist. Für alle a>0, b>0 und irrationalen Zahlen p und q gilt also Folgendes Eigenschaften von Potenzen mit irrationalen Exponenten:
- a p ·a q =a p+q ;
- a p:a q =a p−q ;
- (a·b) p =a p ·b p ;
- (a:b) p =a p:b p ;
- (a p) q =a p·q ;
- für alle positiven Zahlen a und b, a 0 die Ungleichung a p b p ;
- für irrationale Zahlen p und q, p>q bei 0
Daraus können wir schließen, dass Potenzen mit beliebigen reellen Exponenten p und q für a>0 die gleichen Eigenschaften haben.
Referenzliste.
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- Makarychev Yu.N., Mindyuk N.G., Neshkov K.I., Suvorova S.B. Algebra: Lehrbuch für die 9. Klasse. Bildungsinstitutionen.
- Kolmogorov A.N., Abramov A.M., Dudnitsyn Yu.P. und andere. Algebra und die Anfänge der Analysis: Lehrbuch für die Klassen 10 - 11 allgemeinbildender Bildungseinrichtungen.
- Gusev V.A., Mordkovich A.G. Mathematik (ein Handbuch für Berufsanfänger).
