Division erscheint. In diesem Artikel werden wir darüber sprechen Aufteilung gewöhnliche Brüche . Zunächst geben wir eine Regel zum Teilen gewöhnlicher Brüche an und schauen uns Beispiele für das Teilen von Brüchen an. Als nächstes konzentrieren wir uns auf die Division eines gewöhnlichen Bruchs durch natürliche Zahl und Zahlen in Brüche umwandeln. Schauen wir uns abschließend an, wie man einen gemeinsamen Bruch durch eine gemischte Zahl dividiert.

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Einen gemeinsamen Bruch durch einen gemeinsamen Bruch dividieren

Es ist bekannt, dass die Division die Umkehrung der Multiplikation ist (siehe den Zusammenhang zwischen Division und Multiplikation). Das heißt, bei der Division geht es darum, einen unbekannten Faktor zu finden, wenn das Produkt und ein anderer Faktor bekannt sind. Die gleiche Bedeutung der Division bleibt bei der Division gewöhnlicher Brüche erhalten.

Schauen wir uns Beispiele für die Division gewöhnlicher Brüche an.

Beachten Sie, dass wir nicht vergessen sollten, Brüche zu kürzen und den ganzen Teil von einem unechten Bruch zu trennen.

Einen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren

Wir geben es sofort Regel zum Teilen eines Bruchs durch eine natürliche Zahl: Um den Bruch a/b durch eine natürliche Zahl n zu dividieren, müssen Sie den Zähler gleich lassen und den Nenner mit n multiplizieren, also .

Diese Divisionsregel ergibt sich direkt aus der Regel zur Division gewöhnlicher Brüche. Tatsächlich führt die Darstellung einer natürlichen Zahl als Bruch zu den folgenden Gleichheiten .

Schauen wir uns das Beispiel der Division eines Bruchs durch eine Zahl an.

Beispiel.

Teilen Sie den Bruch 16/45 durch die natürliche Zahl 12.

Lösung.

Nach der Regel zum Teilen eines Bruchs durch eine Zahl gilt: . Machen wir die Abkürzung: . Diese Aufteilung ist abgeschlossen.

Antwort:

.

Division einer natürlichen Zahl durch einen Bruch

Die Regel zum Teilen von Brüchen ist ähnlich Regel zum Teilen einer natürlichen Zahl durch einen Bruch: Um eine natürliche Zahl n durch einen gemeinsamen Bruch a/b zu dividieren, müssen Sie die Zahl n mit dem Kehrwert des Bruchs a/b multiplizieren.

Gemäß der angegebenen Regel und der Regel zum Multiplizieren einer natürlichen Zahl mit einem gewöhnlichen Bruch lässt sich diese in die Form umschreiben.

Schauen wir uns ein Beispiel an.

Beispiel.

Teilen Sie die natürliche Zahl 25 durch den Bruch 15/28.

Lösung.

Gehen wir von der Division zur Multiplikation über . Nachdem wir den gesamten Teil reduziert und ausgewählt haben, erhalten wir .

Antwort:

.

Einen Bruch durch eine gemischte Zahl dividieren

Einen Bruch durch eine gemischte Zahl dividieren lässt sich leicht auf die Division gewöhnlicher Brüche reduzieren. Dazu genügt die Durchführung

Beim letzten Mal haben wir gelernt, wie man Brüche addiert und subtrahiert (siehe Lektion „Brüche addieren und subtrahieren“). Am meisten schwieriger Moment Bei diesen Aktionen ging es darum, Brüche auf einen gemeinsamen Nenner zu bringen.

Jetzt ist es an der Zeit, sich mit Multiplikation und Division zu befassen. Die gute Nachricht ist, dass diese Operationen noch einfacher sind als Addition und Subtraktion. Betrachten wir zunächst den einfachsten Fall, wenn es zwei positive Brüche ohne getrennten ganzzahligen Teil gibt.

Um zwei Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner getrennt multiplizieren. Die erste Zahl ist der Zähler des neuen Bruchs und die zweite der Nenner.

Um zwei Brüche zu dividieren, müssen Sie den ersten Bruch mit dem „invertierten“ zweiten Bruch multiplizieren.

Bezeichnung:

Aus der Definition folgt, dass die Division von Brüchen auf eine Multiplikation reduziert wird. Um einen Bruch umzudrehen, tauschen Sie einfach Zähler und Nenner aus. Daher werden wir uns in der gesamten Lektion hauptsächlich mit der Multiplikation befassen.

Durch die Multiplikation kann ein reduzierbarer Bruch entstehen (und entsteht oft auch) – dieser muss natürlich gekürzt werden. Sollte sich nach all den Kürzungen herausstellen, dass der Bruch falsch ist, sollte der ganze Teil hervorgehoben werden. Aber was bei der Multiplikation definitiv nicht passieren wird, ist die Reduktion auf einen gemeinsamen Nenner: keine Kreuzmethoden, größte Faktoren und kleinste gemeinsame Vielfache.

Per Definition haben wir:

Brüche mit ganzen Teilen und negativen Brüchen multiplizieren

Falls in Bruchteilen vorhanden ganzer Teil, müssen sie in falsche umgewandelt werden – und erst dann nach den oben beschriebenen Schemata multipliziert werden.

Steht im Zähler eines Bruchs, im Nenner oder davor ein Minus, kann es nach folgenden Regeln aus der Multiplikation herausgenommen oder ganz entfernt werden:

1. Plus durch Minus ergibt Minus;
2. Zwei Negative ergeben ein Bejahendes.

Bisher sind diese Regeln nur beim Addieren und Subtrahieren negativer Brüche anzutreffen, wenn es darum ging, den ganzen Teil loszuwerden. Für eine Arbeit können sie verallgemeinert werden, um mehrere Nachteile gleichzeitig zu „verbrennen“:

1. Wir streichen die Negative paarweise durch, bis sie vollständig verschwinden. Im Extremfall kann ein Minus überleben – dasjenige, für das es keinen Partner gab;
2. Wenn keine Minuspunkte mehr übrig sind, ist die Operation abgeschlossen – Sie können mit der Multiplikation beginnen. Wenn das letzte Minus nicht durchgestrichen ist, weil es dafür kein Paar gab, nehmen wir es außerhalb der Multiplikationsgrenzen. Das Ergebnis ist ein negativer Bruch.

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Wir wandeln alle Brüche in unechte Brüche um und entfernen dann die Minuspunkte aus der Multiplikation. Was übrig bleibt, multiplizieren wir nach den üblichen Regeln. Wir bekommen:

Ich möchte Sie noch einmal daran erinnern, dass sich das Minus, das vor einem Bruch mit hervorgehobenem ganzen Teil erscheint, speziell auf den gesamten Bruch bezieht und nicht nur auf seinen ganzen Teil (dies gilt für die letzten beiden Beispiele).

Beachten Sie auch negative Zahlen: Beim Multiplizieren werden sie in Klammern gesetzt. Dies geschieht, um die Minuszeichen von den Multiplikationszeichen zu trennen und die gesamte Notation genauer zu machen.

Brüche im laufenden Betrieb reduzieren

Die Multiplikation ist ein sehr arbeitsintensiver Vorgang. Die Zahlen fallen hier recht groß aus, und um das Problem zu vereinfachen, können Sie versuchen, den Bruch weiter zu reduzieren vor der Multiplikation. Tatsächlich sind Zähler und Nenner von Brüchen im Wesentlichen gewöhnliche Faktoren und können daher mithilfe der Grundeigenschaft eines Bruchs reduziert werden. Schauen Sie sich die Beispiele an:

Aufgabe. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Per Definition haben wir:

In allen Beispielen sind die reduzierten Zahlen und deren Reste rot markiert.

Bitte beachten Sie: Im ersten Fall wurden die Multiplikatoren vollständig reduziert. An ihre Stelle treten Einheiten, die im Allgemeinen nicht geschrieben werden müssen. Im zweiten Beispiel konnte zwar keine vollständige Reduzierung erreicht werden, der Gesamtaufwand an Berechnungen verringerte sich aber dennoch.

Wenden Sie diese Technik jedoch niemals beim Addieren und Subtrahieren von Brüchen an! Ja, manchmal gibt es ähnliche Zahlen, die man einfach reduzieren möchte. Hier, schau:

Das kannst du nicht machen!

Der Fehler tritt auf, weil beim Addieren der Zähler eines Bruchs eine Summe und kein Produkt von Zahlen ergibt. Daher ist es unmöglich, die Haupteigenschaft eines Bruchs anzuwenden, da in dieser Eigenschaft wir reden über speziell über das Multiplizieren von Zahlen.

Es gibt einfach keine anderen Gründe, Brüche zu kürzen, daher sieht die richtige Lösung des vorherigen Problems so aus:

Richtige Lösung:

Wie Sie sehen, war die richtige Antwort nicht so schön. Seien Sie im Allgemeinen vorsichtig.

Mit Brüchen kann man alles machen, auch Division. Dieser Artikel zeigt die Division gewöhnlicher Brüche. Es werden Definitionen gegeben und Beispiele besprochen. Lassen Sie uns ausführlich auf die Division von Brüchen durch natürliche Zahlen eingehen und umgekehrt. Die Division eines gewöhnlichen Bruchs durch eine gemischte Zahl wird besprochen.

Brüche dividieren

Division ist die Umkehrung der Multiplikation. Bei der Division wird der unbekannte Faktor bei gefunden berühmtes Werk und ein weiterer Faktor, dessen gegebene Bedeutung bei gewöhnlichen Brüchen erhalten bleibt.

Wenn es notwendig ist, einen gemeinsamen Bruch a b durch c d zu dividieren, müssen Sie zur Bestimmung einer solchen Zahl mit dem Teiler c d multiplizieren, was letztendlich den Dividenden a b ergibt. Nehmen wir eine Zahl und schreiben wir sie a b · d c , wobei d c der Kehrwert der Zahl c d ist. Gleichungen können mithilfe der Eigenschaften der Multiplikation geschrieben werden, nämlich: a b · d c · c d = a b · d c · c d = a b · 1 = a b, wobei der Ausdruck a b · d c der Quotient aus der Division von a b durch c d ist.

Von hier aus erhalten und formulieren wir die Regel für die Division gewöhnlicher Brüche:

Definition 1

Um einen gemeinsamen Bruch a b durch c d zu dividieren, müssen Sie den Dividenden mit dem Kehrwert des Divisors multiplizieren.

Schreiben wir die Regel in Form eines Ausdrucks: a b: c d = a b · d c

Die Divisionsregeln beschränken sich auf die Multiplikation. Um dabei zu bleiben, müssen Sie ein gutes Verständnis für die Multiplikation von Brüchen haben.

Kommen wir nun zur Betrachtung der Division gewöhnlicher Brüche.

Beispiel 1

Teilen Sie 9 7 durch 5 3. Schreiben Sie das Ergebnis als Bruch.

Lösung

Die Zahl 5 3 ist der Kehrwert 3 5. Es ist notwendig, die Regel zum Teilen gewöhnlicher Brüche zu verwenden. Wir schreiben diesen Ausdruck wie folgt: 9 7: 5 3 = 9 7 · 3 5 = 9 · 3 7 · 5 = 27 35.

Antwort: 9 7: 5 3 = 27 35 .

Trennen Sie beim Kürzen von Brüchen den ganzen Teil ab, wenn der Zähler größer als der Nenner ist.

Beispiel 2

Teilen Sie 8 15: 24 65. Schreiben Sie die Antwort als Bruch.

Lösung

Zum Lösen müssen Sie von der Division zur Multiplikation übergehen. Schreiben wir es in dieser Form: 8 15: 24 65 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Es ist eine Reduzierung erforderlich, und zwar wie folgt: 8 65 15 24 = 2 2 2 5 13 3 5 2 2 2 3 = 13 3 3 = 13 9

Wählen Sie den gesamten Teil aus und erhalten Sie 13 9 = 1 4 9.

Antwort: 8 15: 24 65 = 1 4 9 .

Einen außergewöhnlichen Bruch durch eine natürliche Zahl dividieren

Wir verwenden die Regel zum Teilen eines Bruchs durch eine natürliche Zahl: Um a b durch eine natürliche Zahl n zu teilen, müssen Sie nur den Nenner mit n multiplizieren. Von hier aus erhalten wir den Ausdruck: a b: n = a b · n.

Die Divisionsregel ist eine Folge der Multiplikationsregel. Daher ergibt die Darstellung einer natürlichen Zahl als Bruch eine Gleichheit dieser Art: a b: n = a b: n 1 = a b · 1 n = a b · n.

Betrachten Sie diese Division eines Bruchs durch eine Zahl.

Beispiel 3

Teilen Sie den Bruch 16 45 durch die Zahl 12.

Lösung

Wenden wir die Regel zum Teilen eines Bruchs durch eine Zahl an. Wir erhalten einen Ausdruck der Form 16 45: 12 = 16 45 · 12.

Reduzieren wir den Bruch. Wir erhalten 16 45 12 = 2 2 2 2 (3 3 5) (2 2 3) = 2 2 3 3 3 5 = 4 135.

Antwort: 16 45: 12 = 4 135 .

Division einer natürlichen Zahl durch einen Bruch

Die Divisionsregel ist ähnlich Ö die Regel zum Teilen einer natürlichen Zahl durch einen gewöhnlichen Bruch: Um eine natürliche Zahl n durch einen gewöhnlichen Bruch a b zu teilen, ist es notwendig, die Zahl n mit dem Kehrwert des Bruchs a b zu multiplizieren.

Basierend auf der Regel gilt n: a b = n · b a, und dank der Regel der Multiplikation einer natürlichen Zahl mit einem gewöhnlichen Bruch erhalten wir unseren Ausdruck in der Form n: a b = n · b a. Es ist notwendig, diese Aufteilung anhand eines Beispiels zu betrachten.

Beispiel 4

Teilen Sie 25 durch 15 28.

Lösung

Wir müssen von der Division zur Multiplikation übergehen. Schreiben wir es in Form des Ausdrucks 25: 15 28 = 25 28 15 = 25 28 15. Reduzieren wir den Bruch und erhalten das Ergebnis in Form des Bruchs 46 2 3.

Antwort: 25: 15 28 = 46 2 3 .

Einen Bruch durch eine gemischte Zahl dividieren

Wenn Sie einen gewöhnlichen Bruch durch eine gemischte Zahl dividieren, können Sie ganz einfach mit der Division gemeinsamer Brüche beginnen. Sie müssen eine gemischte Zahl in einen unechten Bruch umwandeln.

Beispiel 5

Teilen Sie den Bruch 35 16 durch 3 1 8.

Lösung

Da 3 1 8 eine gemischte Zahl ist, stellen wir sie als unechten Bruch dar. Dann erhalten wir 3 1 8 = 3 8 + 1 8 = 25 8. Nun lasst uns Brüche dividieren. Wir erhalten 35 16: 3 1 8 = 35 16: 25 8 = 35 16 8 25 = 35 8 16 25 = 5 7 2 2 2 2 2 2 2 (5 5) = 7 10

Antwort: 35 16: 3 1 8 = 7 10 .

Das Dividieren einer gemischten Zahl erfolgt auf die gleiche Weise wie bei gewöhnlichen Zahlen.

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Unterrichtsinhalte

Brüche mit gleichem Nenner addieren

Es gibt zwei Arten der Addition von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner addieren;
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren.

Lassen Sie uns zunächst die Addition von Brüchen mit gleichen Nennern untersuchen. Hier ist alles einfach. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen.

Addieren wir zum Beispiel die Brüche und . Addieren Sie die Zähler und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man Pizza zu Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 2. Addiere Brüche und .

Die Antwort war nein richtiger Bruch. Wenn das Ende der Aufgabe kommt, dann ab unechte Brüche Es ist üblich, es loszuwerden. Um einen unechten Bruch loszuwerden, müssen Sie den ganzen Teil davon auswählen. In unserem Fall lässt sich der ganze Teil leicht isolieren – zwei geteilt durch zwei ergibt eins:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an eine Pizza erinnern, die in zwei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza:

Beispiel 3. Addiere Brüche und .

Auch hier addieren wir die Zähler und lassen den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man der Pizza noch mehr Pizza hinzufügt, erhält man Pizza:

Beispiel 4. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Die Zähler müssen addiert und der Nenner unverändert gelassen werden:

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn Sie einer Pizza Pizzen hinzufügen und weitere Pizzen hinzufügen, erhalten Sie 1 ganze Pizza und weitere Pizzen.

Wie Sie sehen, ist das Addieren von Brüchen mit demselben Nenner nicht kompliziert. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um Brüche mit demselben Nenner zu addieren, müssen Sie deren Zähler addieren und den Nenner unverändert lassen;

Brüche mit unterschiedlichen Nennern addieren

Jetzt lernen wir, wie man Brüche mit unterschiedlichen Nennern addiert. Beim Addieren von Brüchen müssen die Nenner der Brüche gleich sein. Aber sie sind nicht immer gleich.

Brüche können beispielsweise addiert werden, weil sie es haben gleiche Nenner.

Aber Brüche können nicht sofort addiert werden, da diese Brüche verschiedene Nenner. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Es gibt mehrere Möglichkeiten, Brüche auf denselben Nenner zu reduzieren. Heute werden wir uns nur eine davon ansehen, da die anderen Methoden für einen Anfänger möglicherweise kompliziert erscheinen.

Der Kern dieser Methode besteht darin, dass zunächst die LCM der Nenner beider Brüche gesucht wird. Der LCM wird dann durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert, um den ersten zusätzlichen Faktor zu erhalten. Das Gleiche machen sie mit dem zweiten Bruch – der LCM wird durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor.

Anschließend werden Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Aktionen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben Nenner. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert.

Beispiel 1. Addieren wir die Brüche und

Zunächst ermitteln wir das kleinste gemeinsame Vielfache der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 6

LCM (2 und 3) = 6

Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und . Teilen Sie zunächst den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs und erhalten Sie den ersten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 6 durch 3, wir erhalten 2.

Die resultierende Zahl 2 ist der erste zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum ersten Bruch auf. Machen Sie dazu einen kleinen schrägen Strich über den Bruch und notieren Sie den darüber liegenden Zusatzfaktor:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Wir dividieren den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs und erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor. LCM ist die Zahl 6 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 6 durch 2, wir erhalten 3.

Die resultierende Zahl 3 ist der zweite zusätzliche Multiplikator. Wir schreiben es bis zum zweiten Bruch auf. Wieder machen wir einen kleinen schrägen Strich über den zweiten Bruch und notieren den darüber liegenden zusätzlichen Faktor:

Jetzt haben wir alles zum Hinzufügen bereit. Es bleibt noch, die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Schauen Sie sich genau an, wozu wir gekommen sind. Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche addiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:

Damit ist das Beispiel abgeschlossen. Es stellt sich heraus, hinzuzufügen.

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man einer Pizza Pizza hinzufügt, erhält man eine ganze Pizza und ein weiteres Sechstel einer Pizza:

Auch das Zusammenführen von Brüchen auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner kann mit einem Bild dargestellt werden. Indem wir die Brüche und auf einen gemeinsamen Nenner reduzieren, erhalten wir die Brüche und . Diese beiden Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke repräsentiert. Der einzige Unterschied besteht darin, dass sie diesmal in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert) werden.

Die erste Zeichnung stellt einen Bruch dar (vier von sechs Teilen), und die zweite Zeichnung stellt einen Bruch dar (drei von sechs Teilen). Wenn wir diese Teile addieren, erhalten wir (sieben von sechs Teilen). Dieser Bruch ist unechten, daher haben wir den gesamten Teil hervorgehoben. Als Ergebnis bekamen wir (eine ganze Pizza und eine weitere sechste Pizza).

Bitte beachten Sie, dass wir dieses Beispiel zu detailliert beschrieben haben. IN Bildungsinstitutionen Es ist nicht üblich, so detailliert zu schreiben. Sie müssen in der Lage sein, schnell den LCM beider Nenner und zusätzlicher Faktoren zu finden und die gefundenen zusätzlichen Faktoren schnell mit Ihren Zählern und Nennern zu multiplizieren. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel wie folgt schreiben:

Aber es gibt auch eine andere Seite der Medaille. Wenn man sich in den ersten Phasen des Mathematikstudiums keine detaillierten Notizen macht, tauchen solche Fragen auf. „Woher kommt diese Zahl?“, „Warum werden Brüche plötzlich zu ganz anderen Brüchen?“ «.

Um das Addieren von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern zu erleichtern, können Sie die folgende Schritt-für-Schritt-Anleitung verwenden:

1. Finden Sie den LCM der Nenner von Brüchen.
2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch.
3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner von Brüchen mit ihren zusätzlichen Faktoren;
4. Addiere Brüche, die den gleichen Nenner haben;
5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie seinen ganzen Teil aus;

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks .

Nutzen wir die oben gegebenen Anweisungen.

Schritt 1. Ermitteln Sie den LCM der Nenner der Brüche

Finden Sie den LCM der Nenner beider Brüche. Die Nenner von Brüchen sind die Zahlen 2, 3 und 4

Schritt 2. Teilen Sie den LCM durch den Nenner jedes Bruchs und erhalten Sie einen zusätzlichen Faktor für jeden Bruch

Teilen Sie den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 2. Teilen Sie 12 durch 2, wir erhalten 6. Wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 4. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun dividieren wir den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Schritt 3. Multiplizieren Sie die Zähler und Nenner der Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren

Wir multiplizieren die Zähler und Nenner mit ihren zusätzlichen Faktoren:

Schritt 4. Addiere Brüche mit demselben Nenner

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Jetzt müssen nur noch diese Brüche addiert werden. Addiere es zusammen:

Der Zusatz passte nicht in eine Zeile, daher haben wir den verbleibenden Ausdruck in die nächste Zeile verschoben. Das ist in der Mathematik erlaubt. Wenn ein Ausdruck nicht in eine Zeile passt, wird er in die nächste Zeile verschoben, und am Ende der ersten Zeile und am Anfang der neuen Zeile muss ein Gleichheitszeichen (=) eingefügt werden. Das Gleichheitszeichen in der zweiten Zeile zeigt an, dass es sich um eine Fortsetzung des Ausdrucks aus der ersten Zeile handelt.

Schritt 5. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, wählen Sie den ganzen Teil davon aus

Es stellte sich heraus, dass unsere Antwort ein unechter Bruch war. Wir müssen einen ganzen Teil davon hervorheben. Wir heben hervor:

Wir haben eine Antwort erhalten

Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren

Es gibt zwei Arten der Subtraktion von Brüchen:

1. Brüche mit gleichem Nenner subtrahieren
2. Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren

Lassen Sie uns zunächst lernen, wie man Brüche mit gleichen Nennern subtrahiert.

Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen.

Lassen Sie uns zum Beispiel den Wert des Ausdrucks ermitteln. Um dieses Beispiel zu lösen, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen. Lass uns das machen:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in vier Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Subtrahieren Sie erneut vom Zähler des ersten Bruchs den Zähler des zweiten Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dieses Beispiel lässt sich leicht verstehen, wenn wir uns an die Pizza erinnern, die in drei Teile geteilt ist. Wenn man aus einer Pizza Pizzen schneidet, erhält man Pizzen:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Dieses Beispiel wird genauso gelöst wie die vorherigen. Vom Zähler des ersten Bruchs müssen Sie die Zähler der übrigen Brüche subtrahieren:

Wie Sie sehen, ist das Subtrahieren von Brüchen mit demselben Nenner nichts Kompliziertes. Es reicht aus, die folgenden Regeln zu verstehen:

1. Um einen anderen von einem Bruch zu subtrahieren, müssen Sie den Zähler des zweiten Bruchs vom Zähler des ersten Bruchs subtrahieren und den Nenner unverändert lassen;
2. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den gesamten Teil davon hervorheben.

Brüche mit unterschiedlichen Nennern subtrahieren

Sie können beispielsweise einen Bruch von einem Bruch subtrahieren, weil die Brüche den gleichen Nenner haben. Sie können jedoch keinen Bruch von einem Bruch subtrahieren, da diese Brüche unterschiedliche Nenner haben. In solchen Fällen müssen Brüche auf den gleichen (gemeinsamen) Nenner reduziert werden.

Der gemeinsame Nenner wird nach dem gleichen Prinzip ermittelt, das wir bei der Addition von Brüchen mit unterschiedlichen Nennern verwendet haben. Ermitteln Sie zunächst den LCM der Nenner beider Brüche. Dann wird der LCM durch den Nenner des ersten Bruchs dividiert und man erhält den ersten zusätzlichen Faktor, der über dem ersten Bruch geschrieben wird. Ebenso wird der LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs dividiert und man erhält einen zweiten zusätzlichen Faktor, der über dem zweiten Bruch geschrieben wird.

Die Brüche werden dann mit ihren zusätzlichen Faktoren multipliziert. Als Ergebnis dieser Operationen werden Brüche mit unterschiedlichen Nennern in Brüche mit gleichen Nennern umgewandelt. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert.

Beispiel 1. Finden Sie die Bedeutung des Ausdrucks:

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.

Zuerst ermitteln wir den LCM der Nenner beider Brüche. Der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 12

LCM (3 und 4) = 12

Kommen wir nun zurück zu den Brüchen und

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner des ersten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 12 durch 3, wir erhalten 4. Schreiben Sie eine Vier über den ersten Bruch:

Dasselbe machen wir mit dem zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 12 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 4. Teilen Sie 12 durch 4, wir erhalten 3. Schreiben Sie eine Drei über den zweiten Bruch:

Jetzt sind wir bereit für die Subtraktion. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit gleichen Nennern wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel bis zum Ende durchgehen:

Wir haben eine Antwort erhalten

Versuchen wir, unsere Lösung anhand einer Zeichnung darzustellen. Wenn man aus einer Pizza Pizza schneidet, erhält man Pizza

Dies ist die detaillierte Version der Lösung. Wenn wir in der Schule wären, müssten wir dieses Beispiel kürzer lösen. Eine solche Lösung würde so aussehen:

Auch das Zusammenführen von Brüchen auf einen gemeinsamen Nenner lässt sich anhand eines Bildes veranschaulichen. Wenn wir diese Brüche auf einen gemeinsamen Nenner bringen, erhalten wir die Brüche und . Diese Brüche werden durch die gleichen Pizzastücke dargestellt, dieses Mal werden sie jedoch in gleiche Anteile aufgeteilt (auf den gleichen Nenner reduziert):

Das erste Bild zeigt einen Bruch (acht von zwölf Stücken), und das zweite Bild zeigt einen Bruch (drei von zwölf Stücken). Indem wir aus acht Stücken drei Stücke schneiden, erhalten wir fünf aus zwölf Stücken. Der Bruch beschreibt diese fünf Teile.

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Diese Brüche haben unterschiedliche Nenner, daher müssen Sie sie zunächst auf denselben (gemeinsamen) Nenner reduzieren.

Lassen Sie uns den LCM der Nenner dieser Brüche ermitteln.

Die Nenner der Brüche sind die Zahlen 10, 3 und 5. Das kleinste gemeinsame Vielfache dieser Zahlen ist 30

LCM(10, 3, 5) = 30

Jetzt finden wir für jeden Bruch zusätzliche Faktoren. Teilen Sie dazu den LCM durch den Nenner jedes Bruchs.

Suchen wir einen zusätzlichen Faktor für den ersten Bruch. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des ersten Bruchs ist die Zahl 10. Teilen Sie 30 durch 10, wir erhalten den ersten zusätzlichen Faktor 3. Wir schreiben ihn über den ersten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den zweiten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des zweiten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des zweiten Bruchs ist die Zahl 3. Teilen Sie 30 durch 3, wir erhalten den zweiten zusätzlichen Faktor 10. Wir schreiben ihn über den zweiten Bruch:

Nun finden wir einen zusätzlichen Faktor für den dritten Bruch. Teilen Sie den LCM durch den Nenner des dritten Bruchs. LCM ist die Zahl 30 und der Nenner des dritten Bruchs ist die Zahl 5. Teilen Sie 30 durch 5, wir erhalten den dritten zusätzlichen Faktor 6. Wir schreiben ihn über den dritten Bruch:

Jetzt ist alles zur Subtraktion bereit. Es bleibt noch, die Brüche mit ihren zusätzlichen Faktoren zu multiplizieren:

Wir kamen zu dem Schluss, dass Brüche mit unterschiedlichen Nennern zu Brüchen mit demselben (gemeinsamen) Nenner wurden. Und wir wissen bereits, wie man solche Brüche subtrahiert. Lassen Sie uns dieses Beispiel beenden.

Die Fortsetzung des Beispiels passt nicht in eine Zeile, daher verschieben wir die Fortsetzung in die nächste Zeile. Vergessen Sie nicht das Gleichheitszeichen (=) in der neuen Zeile:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, und alles scheint zu uns zu passen, aber es ist zu umständlich und hässlich. Wir sollten es einfacher machen. Was kann getan werden? Sie können diesen Bruch kürzen.

Um einen Bruch zu kürzen, müssen Sie seinen Zähler und Nenner durch (GCD) der Zahlen 20 und 30 dividieren.

Also finden wir den gcd der Zahlen 20 und 30:

Nun kehren wir zu unserem Beispiel zurück und dividieren Zähler und Nenner des Bruchs durch den gefundenen gcd, also durch 10

Wir haben eine Antwort erhalten

Einen Bruch mit einer Zahl multiplizieren

Um einen Bruch mit einer Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Zähler des Bruchs mit dieser Zahl multiplizieren und den Nenner unverändert lassen.

Beispiel 1. Multiplizieren Sie einen Bruch mit der Zahl 1.

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit der Zahl 1

Die Aufnahme kann als Halbzeitaufnahme verstanden werden. Wenn Sie beispielsweise einmal Pizza nehmen, erhalten Sie Pizza

Aus den Gesetzen der Multiplikation wissen wir, dass sich das Produkt nicht ändert, wenn der Multiplikand und der Faktor vertauscht werden. Wenn der Ausdruck als geschrieben wird, ist das Produkt immer noch gleich. Auch hier gilt die Regel zum Multiplizieren einer ganzen Zahl und eines Bruchs:

Diese Notation kann so verstanden werden, dass sie die Hälfte von eins nimmt. Wenn es zum Beispiel eine ganze Pizza gibt und wir die Hälfte davon nehmen, dann haben wir Pizza:

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des Bruchs mit 4

Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass er zwei Viertel viermal einnimmt. Wenn Sie beispielsweise 4 Pizzen nehmen, erhalten Sie zwei ganze Pizzen

Und wenn wir den Multiplikanden und den Multiplikator vertauschen, erhalten wir den Ausdruck. Es wird auch gleich 2 sein. Dieser Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus vier ganzen Pizzen zwei Pizzen nimmt:

Die mit dem Bruch multiplizierte Zahl und der Nenner des Bruchs werden aufgelöst, wenn sie einen gemeinsamen Faktor größer als eins haben.

Beispielsweise kann ein Ausdruck auf zwei Arten ausgewertet werden.

Erster Weg. Multiplizieren Sie die Zahl 4 mit dem Zähler des Bruchs und lassen Sie den Nenner des Bruchs unverändert:

Zweiter Weg. Die vier werden multipliziert und die vier im Nenner des Bruchs können reduziert werden. Diese Vieren können um 4 reduziert werden, da der größte gemeinsame Teiler zweier Vieren die Vier selbst ist:

Wir haben das gleiche Ergebnis erhalten 3. Nach dem Reduzieren der Vieren werden an ihrer Stelle neue Zahlen gebildet: zwei Einsen. Aber eins mit drei zu multiplizieren und dann durch eins zu dividieren, ändert nichts. Daher kann die Lösung kurz geschrieben werden:

Die Reduktion kann auch dann durchgeführt werden, wenn wir uns für die erste Methode entschieden haben, aber in der Phase der Multiplikation der Zahl 4 und des Zählers 3 haben wir uns für die Reduktion entschieden:

Aber zum Beispiel kann der Ausdruck nur auf die erste Weise berechnet werden – multiplizieren Sie 7 mit dem Nenner des Bruchs und lassen Sie den Nenner unverändert:

Dies liegt daran, dass die Zahl 7 und der Nenner des Bruchs keinen gemeinsamen Teiler größer als eins haben und sich dementsprechend nicht aufheben.

Manche Schüler verkürzen fälschlicherweise die Zahl, die multipliziert wird, und den Zähler des Bruchs. Das kannst du nicht machen. Beispielsweise ist der folgende Eintrag nicht korrekt:

Einen Bruch zu kürzen bedeutet das sowohl Zähler als auch Nenner wird durch die gleiche Zahl geteilt. In der Situation mit dem Ausdruck wird die Division nur im Zähler durchgeführt, da das Schreiben dasselbe ist wie das Schreiben von . Wir sehen, dass die Division nur im Zähler erfolgt und keine Division im Nenner erfolgt.

Brüche multiplizieren

Um Brüche zu multiplizieren, müssen Sie deren Zähler und Nenner multiplizieren. Wenn sich herausstellt, dass die Antwort ein unechter Bruch ist, müssen Sie den ganzen Teil davon hervorheben.

Beispiel 1. Finden Sie den Wert des Ausdrucks.

Wir haben eine Antwort erhalten. Es empfiehlt sich, diesen Anteil zu reduzieren. Der Bruch kann um 2 reduziert werden. Dann wird die endgültige Lösung die folgende Form annehmen:

Der Ausdruck kann so verstanden werden, dass man aus einer halben Pizza eine Pizza nimmt. Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Wie nimmt man aus dieser Hälfte zwei Drittel? Zuerst müssen Sie diese Hälfte in drei gleiche Teile teilen:

Und nimm zwei von diesen drei Teilen:

Wir machen Pizza. Denken Sie daran, wie Pizza aussieht, wenn sie in drei Teile geteilt wird:

Ein Stück dieser Pizza und die beiden Stücke, die wir genommen haben, werden die gleichen Abmessungen haben:

Mit anderen Worten, es handelt sich um eine Pizza gleicher Größe. Daher ist der Wert des Ausdrucks

Beispiel 2. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Die Antwort war ein unechter Bruch. Lassen Sie uns den gesamten Teil davon hervorheben:

Beispiel 3. Finden Sie den Wert eines Ausdrucks

Multiplizieren Sie den Zähler des ersten Bruchs mit dem Zähler des zweiten Bruchs und den Nenner des ersten Bruchs mit dem Nenner des zweiten Bruchs:

Es stellte sich heraus, dass die Antwort ein regulärer Bruch war, aber es wäre gut, wenn er gekürzt würde. Um diesen Bruch zu reduzieren, müssen Sie Zähler und Nenner dieses Bruchs durch den größten gemeinsamen Teiler (GCD) der Zahlen 105 und 450 dividieren.

Lassen Sie uns also den gcd der Zahlen 105 und 450 ermitteln:

Nun dividieren wir Zähler und Nenner unserer Antwort durch den ggT, ​​den wir nun gefunden haben, also durch 15

Darstellung einer ganzen Zahl als Bruch

Jede ganze Zahl kann als Bruch dargestellt werden. Beispielsweise kann die Zahl 5 als dargestellt werden. Dies ändert nichts an der Bedeutung von fünf, da der Ausdruck „die Zahl fünf geteilt durch eins“ bedeutet und dies, wie wir wissen, gleich fünf ist:

Reziproke Zahlen

Jetzt werden wir uns sehr kennenlernen interessantes Thema in Mathematik. Es heißt „umgekehrte Zahlen“.

Definition. Umgekehrt zur NummerA ist eine Zahl, die multipliziert mitA gibt einen.

Ersetzen wir in dieser Definition die Variable A Nummer 5 und versuchen Sie, die Definition zu lesen:

Umgekehrt zur Nummer 5 ist eine Zahl, die multipliziert mit 5 gibt einen.

Ist es möglich, eine Zahl zu finden, die, wenn man sie mit 5 multipliziert, eins ergibt? Es stellt sich heraus, dass es möglich ist. Stellen wir uns fünf als Bruch vor:

Dann multiplizieren Sie diesen Bruch mit sich selbst, indem Sie einfach Zähler und Nenner vertauschen. Mit anderen Worten, multiplizieren wir den Bruch mit sich selbst, nur verkehrt herum:

Was wird dadurch passieren? Wenn wir dieses Beispiel weiter lösen, erhalten wir eines:

Das bedeutet, dass die Umkehrung der Zahl 5 die Zahl ist, denn wenn man 5 mit multipliziert, erhält man eins.

Der Kehrwert einer Zahl kann auch für jede andere ganze Zahl ermittelt werden.

Finden reziproke Zahl Es ist auch für jeden anderen Bruch möglich. Drehen Sie es dazu einfach um.

Einen Bruch durch eine Zahl dividieren

Nehmen wir an, wir haben eine halbe Pizza:

Teilen wir es gleichmäßig auf zwei auf. Wie viel Pizza bekommt jede Person?

Es ist zu erkennen, dass nach dem Teilen der Pizza in zwei Hälften zwei gleiche Stücke entstanden, von denen jedes eine Pizza darstellt. So bekommt jeder eine Pizza.

) und Nenner für Nenner (wir erhalten den Nenner des Produkts).

Formel zur Multiplikation von Brüchen:

Zum Beispiel:

Bevor Sie mit der Multiplikation von Zählern und Nennern beginnen, müssen Sie prüfen, ob der Bruch reduziert werden kann. Wenn Sie den Bruch reduzieren können, können Sie weitere Berechnungen einfacher durchführen.

Einen gemeinsamen Bruch durch einen Bruch dividieren.

Division von Brüchen mit natürlichen Zahlen.

Es ist nicht so beängstigend, wie es scheint. Wie bei der Addition wandeln wir die ganze Zahl in einen Bruch mit Eins im Nenner um. Zum Beispiel:

Gemischte Brüche multiplizieren.

Regeln zum Multiplizieren von Brüchen (gemischt):

• gemischte Brüche in unechte Brüche umwandeln;
• Multiplizieren der Zähler und Nenner von Brüchen;
• Reduziere den Bruch;
• Wenn Sie einen unechten Bruch erhalten, wandeln wir den unechten Bruch in einen gemischten Bruch um.

Beachten Sie! Multiplizieren gemischte Fraktion Um sie in einen anderen gemischten Bruch umzuwandeln, müssen Sie sie zuerst in die Form unechter Brüche umwandeln und sie dann gemäß der Regel zur Multiplikation gewöhnlicher Brüche multiplizieren.

Die zweite Möglichkeit, einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren.

Es kann bequemer sein, die zweite Methode zu verwenden, bei der ein gemeinsamer Bruch mit einer Zahl multipliziert wird.

Beachten Sie! Um einen Bruch mit einer natürlichen Zahl zu multiplizieren, müssen Sie den Nenner des Bruchs durch diese Zahl dividieren und den Zähler unverändert lassen.

Aus dem obigen Beispiel wird deutlich, dass diese Option bequemer zu verwenden ist, wenn der Nenner eines Bruchs ohne Rest durch eine natürliche Zahl dividiert wird.

Mehrstöckige Brüche.

In der Oberstufe trifft man häufig auf dreistöckige (oder mehrstöckige) Brüche. Beispiel:

Um einen solchen Bruch in seine übliche Form zu bringen, verwenden Sie die Division durch 2 Punkte:

Beachten Sie! Bei der Division von Brüchen ist die Reihenfolge der Division sehr wichtig. Seien Sie vorsichtig, hier kann man leicht verwirrt werden.

Beachten Sie, Zum Beispiel:

Wenn man eins durch einen beliebigen Bruch dividiert, ist das Ergebnis derselbe Bruch, nur invertiert:

Praktische Ratschläge beim Multiplizieren und Dividieren von Brüchen:

1. Das Wichtigste bei der Arbeit mit gebrochenen Ausdrücken ist Genauigkeit und Aufmerksamkeit. Führen Sie alle Berechnungen sorgfältig und genau, konzentriert und klar durch. Es ist besser, ein paar zusätzliche Zeilen in Ihren Entwurf zu schreiben, als sich in gedanklichen Berechnungen zu verlieren.

2. Bei Aufgaben mit verschiedene Typen Brüche – gehen Sie zur Form gewöhnlicher Brüche über.

3. Wir reduzieren alle Brüche, bis eine Reduzierung nicht mehr möglich ist.

4. Mehrstöckig Bruchausdrücke Wir bringen sie in die gewöhnliche Form, indem wir sie durch zwei Punkte dividieren.

5. Teilen Sie im Kopf eine Einheit durch einen Bruch, indem Sie den Bruch einfach umdrehen.