Zentriert am Punkt A.
α ist der im Bogenmaß ausgedrückte Winkel.

Tangente ( tan α) ist eine trigonometrische Funktion abhängig vom Winkel α zwischen Hypotenuse und Bein rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis Länge der gegenüberliegenden Seite |BC| zur Länge des benachbarten Beins |AB| .

Kotangens ( ctg α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge des gegenüberliegenden Beins |BC| .

Tangente

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Tangens wie folgt bezeichnet:
.
;
;
.

Graph der Tangensfunktion, y = tan x

Kotangens

Wo N- ganz.

In der westlichen Literatur wird Kotangens wie folgt bezeichnet:
.
Folgende Notationen werden ebenfalls akzeptiert:
;
;
.

Diagramm der Kotangensfunktion, y = ctg x

Eigenschaften von Tangens und Kotangens

Periodizität

Funktionen y = tg x und y = ctg x sind periodisch mit der Periode π.

Parität

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind ungerade.

Definitions- und Wertebereiche, zunehmend, abnehmend

Die Tangens- und Kotangensfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig (siehe Kontinuitätsnachweis). Die Haupteigenschaften von Tangens und Kotangens sind in der Tabelle dargestellt ( N- ganz).

	y = tg x	y = ctg x
Umfang und Kontinuität
Wertebereich	-∞ < y < +∞	-∞ < y < +∞
Zunehmend		-
Absteigend	-
Extreme	-	-
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y = 0	-

Formeln

Ausdrücke mit Sinus und Cosinus

; ;
; ;
;

Formeln für Tangens und Kotangens aus Summe und Differenz

Die restlichen Formeln sind beispielsweise leicht zu erhalten

Produkt von Tangenten

Formel für Summe und Differenz von Tangenten

Diese Tabelle präsentiert die Werte von Tangenten und Kotangenten für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke mit komplexen Zahlen

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; .

.
Ableitung n-ter Ordnung nach der Variablen x der Funktion:
.
Formeln für Tangenten ableiten > > > ; für Kotangens > > >

Integrale

Serienerweiterungen

Um die Entwicklung des Tangens in Potenzen von x zu erhalten, müssen Sie mehrere Terme der Entwicklung in einer Potenzreihe für die Funktionen verwenden Sünde x Und weil x und dividiere diese Polynome durcheinander, . In diesem Fall stellt sich heraus folgenden Formeln.

Bei .

bei .
Wo Mrd- Bernoulli-Zahlen. Sie werden entweder aus der Wiederholungsrelation bestimmt:
;
;
Wo .
Oder nach Laplaces Formel:

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen an Tangens und Kotangens sind Arkustangens bzw. Arkuskotangens.

Arcustangens, arctg

, Wo N- ganz.

Arkuskotangens, arcctg

, Wo N- ganz.

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.
G. Korn, Handbook of Mathematics for Scientists and Engineers, 2012.

In dieser Lektion werden wir uns weiterhin mit dem Arkustangens befassen und Gleichungen der Form tg x = a für jedes a lösen. Zu Beginn der Lektion lösen wir eine Gleichung mit einem Tabellenwert und veranschaulichen die Lösung in einem Diagramm und anschließend in einem Kreis. Als nächstes lösen wir die Gleichung tgx = aв Gesamtansicht und Ausgabe allgemeine Formel Antwort. Lassen Sie uns die Berechnungen anhand einer Grafik und eines Kreises veranschaulichen und die verschiedenen Formen der Antwort betrachten. Am Ende der Lektion werden wir mehrere Probleme mit Lösungen lösen, die in einer Grafik und einem Kreis dargestellt sind.

Thema: Trigonometrische Gleichungen

Lektion: Arcustangens und Lösung der Gleichung tgx=a (Fortsetzung)

1. Unterrichtsthema, Einführung

In dieser Lektion werden wir uns mit der Lösung der Gleichung für jeden reellen Wert befassen

2. Lösung der Gleichung tgx=√3

Aufgabe 1. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns die Lösung mithilfe von Funktionsgraphen finden (Abb. 1).

Betrachten wir das Intervall. In diesem Intervall ist die Funktion monoton, was bedeutet, dass sie nur für einen Wert der Funktion erreicht wird.

Antwort:

Lösen wir die gleiche Gleichung mit Zahlenkreis(Abb. 2).

Antwort:

3. Lösung der Gleichung tgx=a in allgemeiner Form

Lösen wir die Gleichung in allgemeiner Form (Abb. 3).

Auf dem Intervall hat die Gleichung eine eindeutige Lösung

Kleinster positiver Zeitraum

Lassen Sie uns dies am Zahlenkreis veranschaulichen (Abb. 4).

4. Problemlösung

Aufgabe 2. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns die Variable ändern

Problem 3. Lösen Sie das System:

Lösung (Abb. 5):

An einem Punkt ist der Wert also die Lösung für das System nur der Punkt

Antwort:

Aufgabe 4. Lösen Sie die Gleichung

Lassen Sie uns mit der Variablenänderungsmethode lösen:

Aufgabe 5. Finden Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung im Intervall

Lösen wir das Problem anhand eines Diagramms (Abb. 6).

Die Gleichung hat drei Lösungen in einem bestimmten Intervall.

Lassen Sie es uns anhand eines Zahlenkreises veranschaulichen (Abb. 7), obwohl es nicht so klar ist wie in der Grafik.

Antwort: Drei Lösungen.

5. Fazit, Fazit

Wir haben die Gleichung für jeden reellen Wert mithilfe des Konzepts des Arkustangens gelöst. In der nächsten Lektion stellen wir das Konzept des Arcus-Tangens vor.

Referenzliste

1. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Anleitung für Bildungsinstitutionen(Profilebene) Hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2009.

2. Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

3. Vilenkin N. Ya., Ivashev-Musatov O. S., Shvartsburd S. I. Algebra und mathematische Analyse für die 10. Klasse ( Lernprogramm für Schüler von Schulen und Klassen mit vertieftem Mathematikstudium).-M.: Prosveshchenie, 1996.

4. Galitsky M. L., Moshkovich M. M., Shvartsburd S. I. Eingehende Studie Algebra und mathematische Analyse.-M.: Bildung, 1997.

5. Sammlung von Problemen in der Mathematik für Bewerber an höheren Bildungseinrichtungen (herausgegeben von M. I. Skanavi). - M.: Higher School, 1992.

6. Merzlyak A.G., Polonsky V.B., Yakir M.S. Algebraischer Simulator.-K.: A.S.K., 1997.

7. Sahakyan S. M., Goldman A. M., Denisov D. V. Probleme der Algebra und Prinzipien der Analyse (ein Handbuch für Schüler der Klassen 10-11 allgemeinbildender Einrichtungen). - M.: Prosveshchenie, 2003.

8. Karp A.P. Sammlung von Problemen zur Algebra und Prinzipien der Analyse: Lehrbuch. Zulage für die Klassen 10-11. mit Tiefgang studiert Mathematik.-M.: Bildung, 2006.

Hausaufgaben

Algebra und Beginn der Analysis, Klasse 10 (in zwei Teilen). Problembuch für Bildungseinrichtungen (Profilebene), hrsg. A. G. Mordkovich. -M.: Mnemosyne, 2007.

№№ 22.18, 22.21.

Zusätzliche Webressourcen

1. Mathematik.

2. Probleme mit dem Internetportal. ru.

3. Bildungsportal um sich auf Prüfungen vorzubereiten.

>> Arkustangens und Arkuskotangens. Lösung tgx-Gleichungen= a, ctgx = a

§ 19. Arkustangens und Arkuskotangens. Lösen der Gleichungen tgx = a, ctgx = a

In Beispiel 2 von §16 konnten wir drei Gleichungen nicht lösen:

Zwei davon haben wir bereits gelöst – den ersten in § 17 und den zweiten in § 18, dazu mussten wir die Konzepte vorstellen Arkuskosinus und Arkussinus. Betrachten Sie die dritte Gleichung x = 2.
Die Graphen der Funktionen y=tg x und y=2 haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen aller dieser Punkte haben die Form - die Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = 2 mit dem Hauptast des Tangentoids (Abb. 90). Für die Zahl x1 haben Mathematiker die Bezeichnung acrtg 2 (sprich „Arkustangens von zwei“) erfunden. Dann können alle Wurzeln der Gleichung x=2 durch die Formel x=arctg 2 + pk beschrieben werden.
Was ist AGCTG 2? Das ist die Nummer Tangente der gleich 2 ist und zum Intervall gehört
Betrachten wir nun die Gleichung tg x = -2.
Funktionsgraphen haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen aller dieser Punkte haben die Form Abszisse des Schnittpunkts der Geraden y = -2 mit dem Hauptast der Tangente. Für die Zahl x 2 haben Mathematiker die Notation arctg(-2) erfunden. Dann können alle Wurzeln der Gleichung x = -2 durch die Formel beschrieben werden

Was ist acrtg(-2)? Dies ist eine Zahl, deren Tangens -2 ist und die zum Intervall gehört. Bitte beachten (siehe Abb. 90): x 2 = -x 2. Dies bedeutet, dass arctg(-2) = - arctg 2.
Lassen Sie uns die Definition des Arkustangens in allgemeiner Form formulieren.

Definition 1. arсtg a (Arctangens a) ist eine Zahl aus dem Intervall, dessen Tangens gleich a ist. Also,

Wir sind nun in der Lage, ein allgemeines Fazit zur Lösung zu ziehen Gleichungen x=a: Die Gleichung x = a hat Lösungen

Wir haben oben festgestellt, dass arctg(-2) = -arctg 2. Im Allgemeinen ist die Formel für jeden Wert von a gültig

Beispiel 1. Berechnung:

Beispiel 2. Gleichungen lösen:

A) Lassen Sie uns eine Lösungsformel erstellen:

Da wir in diesem Fall den Wert des Arkustangens nicht berechnen können, belassen wir die Lösung der Gleichung in der erhaltenen Form.
Antwort:
Beispiel 3. Ungleichungen lösen:
Ungleichungen der Form können grafisch gelöst werden, indem man sich an die folgenden Pläne hält
1) Konstruieren Sie eine Tangente y = tan x und eine Gerade y = a;
2) Wählen Sie für den Hauptzweig des Tangeisoids das Intervall der x-Achse aus, auf dem die gegebene Ungleichung erfüllt ist;
3) Schreiben Sie die Antwort unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y = tan x in allgemeiner Form.
Wenden wir diesen Plan an, um die gegebenen Ungleichungen zu lösen.

: a) Konstruieren wir Graphen der Funktionen y = tgх und y = 1. Auf dem Hauptast der Tangente schneiden sie sich im Punkt

Wählen wir das Intervall der x-Achse, auf dem der Hauptast des Tangentoids unterhalb der Geraden y = 1 liegt – das ist das Intervall
Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion y = tgх kommen wir zu dem Schluss, dass die gegebene Ungleichung in jedem Intervall der Form erfüllt ist:

Die Vereinigung aller dieser Intervalle ist gemeinsame Entscheidung gegebene Ungleichheit.
Die Antwort kann auch anders geschrieben werden:

b) Lassen Sie uns Graphen der Funktionen y = tan x und y = -2 erstellen. Auf dem Hauptast des Tangentoids (Abb. 92) schneiden sie sich im Punkt x = arctg(-2).

Wählen wir das Intervall der x-Achse aus, auf dem der Hauptast des Tangentoids liegt

Betrachten Sie die Gleichung mit tan x=a, wobei a>0. Die Graphen der Funktionen y=ctg x und y =a haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen aller dieser Punkte haben die Form: x = x 1 + pk, wobei x 1 =arccstg a die Abszisse des Schnittpunkts ist der Geraden y=a mit dem Hauptast der Tangente (Abb. 93). Dies bedeutet, dass arcstg a eine Zahl ist, deren Kotangens gleich a ist und die zum Intervall (0, n) gehört; Auf diesem Intervall wird der Hauptzweig des Graphen der Funktion y = сtg x konstruiert.

In Abb. 93 präsentiert auch eine grafische Darstellung der Lösung der Gleichung c1tg = -a. Die Graphen der Funktionen y = сtg x und y = -а haben unendlich viele gemeinsame Punkte, die Abszissen aller dieser Punkte haben die Form x = x 2 + pk, wobei x 2 = агсстg (- а) die Abszisse des ist Schnittpunkt der Linie y = -а mit dem tangentialen Zweig der Hauptlinie. Dies bedeutet, dass arcstg(-a) eine Zahl ist, deren Kotangens gleich -a ist und die zum Intervall (O, n) gehört; Auf diesem Intervall wird der Hauptzweig des Graphen der Funktion Y = сtg x konstruiert.

Definition 2. arccstg a (Bogenkotangens a) ist eine Zahl aus dem Intervall (0, n), deren Kotangens gleich a ist.
Also,

Nun können wir eine allgemeine Schlussfolgerung über die Lösung der Gleichung ctg x = a ziehen: Die Gleichung ctg x = a hat Lösungen:

Bitte beachten (siehe Abb. 93): x 2 = n-x 1. Das bedeutet es

Beispiel 4. Berechnung:

A) Sagen wir mal

Die Gleichung сtg x=а kann fast immer in die Form umgewandelt werden. Eine Ausnahme bildet die Gleichung сtg x =0. Aber in diesem Fall nutzen Sie die Tatsache aus, dass Sie dorthin gehen können
Gleichung cos x=0. Daher ist eine Gleichung der Form x = a nicht von unabhängigem Interesse.

A.G. Mordkovich Algebra 10. Klasse

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Gleichheit, die das Unbekannte unter dem Zeichen enthält Trigonometrische Funktion(„sin x, cos x, tan x“ oder „ctg x“) wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und ihre Formeln werden wir weiter betrachten.

Die einfachsten Gleichungen sind „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, wobei „x“ der zu findende Winkel und „a“ eine beliebige Zahl ist. Schreiben wir die Grundformeln für jede von ihnen auf.

1. Gleichung „sin x=a“.

Für `|a|>1` gibt es keine Lösungen.

Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.

Wurzelformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`

2. Gleichung „cos x=a“.

Für „|a|>1“ – wie im Fall des Sinus – gibt es keine Lösungen unter reellen Zahlen.

Wenn `|a| \leq 1` hat unendliche Menge Entscheidungen.

Wurzelformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`

Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Diagrammen.

3. Gleichung „tg x=a“.

Hat unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.

Wurzelformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`

4. Gleichung „ctg x=a“.

Es gibt auch unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.

Wurzelformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`

Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in der Tabelle

Für Sinus:
Für Kosinus:
Für Tangens und Kotangens:
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:

Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen

Das Lösen einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten:

• mit Hilfe der Umwandlung in das Einfachste;
• Lösen Sie die einfachste Gleichung, die Sie mit den oben beschriebenen Wurzelformeln und Tabellen erhalten haben.

Schauen wir uns die wichtigsten Lösungsmethoden anhand von Beispielen an.

Algebraische Methode.

Bei dieser Methode wird eine Variable ersetzt und durch eine Gleichheit ersetzt.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0“.

`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,

Ersetzen Sie: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dann `2y^2-3y+1=0`,

Wir finden die Wurzeln: `y_1=1, y_2=1/2`, woraus zwei Fälle folgen:

1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.

2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.

Antwort: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.

Faktorisierung.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „sin x+cos x=1“.

Lösung. Verschieben wir alle Terme der Gleichheit nach links: „sin x+cos x-1=0“. Mit transformieren und faktorisieren wir die linke Seite:

„sin x — 2sin^2 x/2=0“,

`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,

`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,

1. `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
2. `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.

Antwort: „x_1=2\pi n“, „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.

Reduktion auf eine homogene Gleichung

Zuerst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung auf eine von zwei Formen reduzieren:

„a sin x+b cos x=0“ (homogene Gleichung ersten Grades) oder „a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0“ (homogene Gleichung zweiten Grades).

Teilen Sie dann beide Teile durch „cos x \ne 0“ – für den ersten Fall, und durch „cos^2 x \ne 0“ – für den zweiten. Wir erhalten Gleichungen für „tg x“: „a tg x+b=0“ und „a tg^2 x + b tg x +c =0“, die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1“.

Lösung. Schreiben wir die rechte Seite als „1=sin^2 x+cos^2 x“:

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,

`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`

`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.

Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades, wir teilen ihre linke und rechte Seite durch „cos^2 x \ne 0“, wir erhalten:

`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`

`tg^2 x+tg x — 2=0`. Lassen Sie uns den Ersatz „tg x=t“ einführen, was zu „t^2 + t - 2=0“ führt. Die Wurzeln dieser Gleichung sind „t_1=-2“ und „t_2=1“. Dann:

1. `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
2. `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.

Antwort. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.

Übergang zum Halbwinkel

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „11 sin x – 2 cos x = 10“.

Lösung. Wenden wir die Formeln an Doppelwinkel, was zu: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ führt 2 x/2`

`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`

Anwendung des oben Gesagten algebraische Methode, wir bekommen:

1. `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
2. `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Antwort. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.

Einführung des Hilfswinkels

In der trigonometrischen Gleichung „a sin x + b cos x =c“, wobei a,b,c Koeffizienten sind und x eine Variable ist, dividieren Sie beide Seiten durch „sqrt (a^2+b^2)“:

`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.

Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich dass die Summe ihrer Quadrate gleich 1 ist und ihre Module nicht größer als 1 sind. Bezeichnen wir sie wie folgt: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, dann:

`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.

Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:

Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „3 sin x+4 cos x=2“.

Lösung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch „sqrt (3^2+4^2)“, wir erhalten:

`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`

„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.

Bezeichnen wir „3/5 = cos \varphi“, „4/5=sin \varphi“. Da „sin \varphi>0“, „cos \varphi>0“, dann nehmen wir „\varphi=arcsin 4/5“ als Hilfswinkel. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in der Form:

`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`

Wenn wir die Formel für die Winkelsumme für den Sinus anwenden, schreiben wir unsere Gleichheit in der folgenden Form:

`sin (x+\varphi)=2/5`,

`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,

`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Antwort. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.

Bruchrationale trigonometrische Gleichungen

Dabei handelt es sich um Gleichungen mit Brüchen, deren Zähler und Nenner trigonometrische Funktionen enthalten.

Beispiel. Löse die Gleichung. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.

Lösung. Multiplizieren und dividieren Sie die rechte Seite der Gleichheit durch „(1+cos x)“. Als Ergebnis erhalten wir:

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`

`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`

`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`

Wenn man bedenkt, dass der Nenner nicht gleich Null sein kann, erhalten wir „1+cos x \ne 0“, „cos x \ne -1“, „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“.

Setzen wir den Zähler des Bruchs mit Null gleich: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Dann ist „sin x=0“ oder „1-sin x=0“.

1. `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
2. `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.

Vorausgesetzt, dass „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“, sind die Lösungen „x=2\pi n, n \in Z“ und „x=\pi /2+2\pi n“. , `n \in Z`.

Antwort. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.

Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Technik verwendet. Das Studium beginnt in der 10. Klasse, es gibt immer Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen, also versuchen Sie, sich alle Formeln zu merken trigonometrische Gleichungen- Sie werden Ihnen auf jeden Fall nützlich sein!

Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen, die Hauptsache ist, das Wesentliche zu verstehen und daraus ableiten zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es scheint. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.