Manchmal werden in Gleichungen einige Koeffizienten nicht durch bestimmte Zahlenwerte angegeben, sondern durch Buchstaben angegeben.

Beispiel: Axt+b=c.

In dieser Gleichung X- Unbekannt, a, b, c– Koeffizienten, die unterschiedlich sein können numerische Werte. Die so angegebenen Koeffizienten werden aufgerufen Parameter.

Eine Gleichung mit Parametern definiert viele Gleichungen (für alle möglichen Parameterwerte).

Beispiel: –5 X+10=– 1;

X+4y= 0;

–102–1000y=; usw.

Dies sind alle Gleichungen, die durch die Gleichung mit Parametern spezifiziert werden Axt+b=c.

Eine Gleichung mit Parametern zu lösen bedeutet:

1. Geben Sie an, bei welchen Werten der Parameter die Gleichung Wurzeln hat und wie viele es gibt unterschiedliche Bedeutungen Parameter.

2. Finden Sie alle Ausdrücke für die Wurzeln und geben Sie für jeden von ihnen die Parameterwerte an, bei denen dieser Ausdruck die Wurzel der Gleichung bestimmt.

Wenden wir uns der bereits gegebenen Gleichung mit Parametern zu Axt+b=c und wir werden es lösen.

Wenn A¹0, dann https://pandia.ru/text/80/014/images/image002_67.gif" width="63" height="41">;

bei a=0 Und b=c, x– jede reelle Zahl;

bei a=0 Und B¹ C, die Gleichung hat keine Wurzeln.

Bei der Lösung dieser Gleichung haben wir den Wert des Parameters isoliert a=0, bei dem eine qualitative Änderung der Gleichung auftritt, nennen wir diesen Wert des Parameters weiterhin „Kontrolle“. Je nachdem, welche Gleichung wir haben, werden die „Kontrollwerte“ des Parameters unterschiedlich gefunden. Schauen wir uns verschiedene Arten von Gleichungen an und zeigen, wie man die „Kontroll“-Werte des Parameters findet.

I. Lineare Gleichungen mit einem Parameter und auf lineare reduzierbare Gleichungen

In solchen Gleichungen sind die „Kontrollwerte“ der Parameter in der Regel die Werte, die die Koeffizienten auf Null bringen X.

Beispiel 1. : 2A(A–2)x=a– 2

1. „Kontrollwerte“ sind Werte, die die Bedingung erfüllen:

2A(A–2)=0

Lösen wir diese Gleichung nach der Variablen A.

2a= 0 oder A–2= 0, von wo a= 0, a= 2.

2. Lösen wir die Anfangsgleichung nach „Kontrollwerten“ des Parameters.

Bei a= 0 haben wir 0× x=– 2, dies ist jedoch bei keinem realen Wert der Fall X, das heißt, in diesem Fall hat die Gleichung keine Wurzeln.

Bei a= 2 haben wir 0× x= 0, das gilt für jeden Wert X, was bedeutet, dass die Wurzel der Gleichung eine beliebige reelle Zahl ist X.

3. Lösen wir die ursprüngliche Gleichung für den Fall, dass A¹ 0 und A¹ 2 dann 2 A(A–2)¹ 0 und beide Seiten der Gleichung können durch 2 geteilt werden A(A–2) erhalten wir:

Als A¹ 2, dann kann der Bruch reduziert werden um ( A–2), dann gilt .

Antwort: bei a= 0, keine Wurzeln;

bei a= 2, Wurzel – jede reelle Zahl;

bei A¹ 0, A¹ 2, .

Man kann sich einen Algorithmus zum Lösen dieser Art von Gleichung vorstellen.

1. Bestimmen Sie die „Kontrollwerte“ des Parameters.

2. Lösen Sie die Gleichung nach X, bei Steuerparameterwerten.

3. Lösen Sie die Gleichung nach X, bei Werten, die sich von den „Kontroll“-Werten unterscheiden.

4. Schreiben Sie die Antwort in das Formular:

Antwort: 1) für Parameterwerte... hat die Gleichung Wurzeln...;

2) für Parameterwerte... hat die Gleichung Wurzeln...;

3) Für Werte des Parameters... hat die Gleichung keine Wurzeln.

Beispiel 2. Gleichung mit Parameter lösen

(A 2–2A+1)x=a 2+2A- 3

1. Finden Sie die Kontrollwerte des Parameters

A 2–2A+1=0 Û ( A–1)2=0 Û A=1

2. Lösen Sie die Gleichung nach a= 1

0× x=(1+2×1–3) Û 0× x= 0 Þ X– jede reelle Zahl.

3. Lösen Sie die Gleichung nach A¹ 1

A 2–2A+1¹ 0 Þ https://pandia.ru/text/80/014/images/image006_39.gif" width="115" height="45 src=">

als A¹ 1 kann der Bruch reduziert werden

https://pandia.ru/text/80/014/images/image007_35.gif" width="64" height="41 src=">.

Beispiel 3. Gleichung mit Parameter lösen

https://pandia.ru/text/80/014/images/image009_29.gif" width="72" height="41 src=">.

4. Antwort: 1) bei a= 2, keine Wurzeln;

2) wann A¹ 0,A¹ 2, ;

3) wann a= 0-Gleichung macht keinen Sinn.

Beispiel 4. Gleichung mit Parameter lösen

https://pandia.ru/text/80/014/images/image011_28.gif" width="135" height="45 src=">

https://pandia.ru/text/80/014/images/image013_25.gif" width="175" height="45 src=">

als X¹ 0 und A¹ – 2, die Gleichung ist äquivalent zur Gleichung

(A+3)x= 2A–1

Lassen Sie uns die Kontrollwerte des Parameters finden

A+3= 0 Þ a=– 3.

2. Lösen Sie die Gleichung nach a=– 3.

0× x=– 7

überhaupt X es gibt keine Gleichheit

3. Lösen Sie die Gleichung nach A¹ – 3, a+ 3¹ 0.

https://pandia.ru/text/80/014/images/image015_21.gif" width="69" height="41 src="> Û ,

damit die Gleichung einen Sinn ergibt https://pandia.ru/text/80/014/images/image016_21.gif" width="40" height="41 src=">, gibt es keine Wurzeln;

2) wann A¹ – 2, A¹ – 3, , .

II. Quadratische Gleichungen mit einem Parameter und auf quadratische reduzierbare Gleichungen

In solchen Gleichungen werden normalerweise die Werte des Parameters, die den Koeffizienten auf Null setzen, als „Kontrolle“ verwendet. X 2, da in diesem Fall die Gleichung linear wird, ebenso wie der Wert des Parameters, wodurch die Diskriminante der Gleichung verschwindet, da die Zahl vom Wert der Diskriminante abhängt echte Wurzeln quadratische Gleichung.

Beispiel 5. Gleichung mit Parameter lösen

(A–1)X 2+2(2A+1)X+(4A+3)= 0

1. Finden wir die Parameterwerte, die den Koeffizienten auf Null bringen X

A- 1=0 Û a= 1

2. Lösen Sie die Gleichung nach a= 1

0× X 2+2(2×1+1) X+4×1+3=0 Û 6 X+7=0 Û .

3. Finden wir die Werte des Parameters, die die Diskriminante der Gleichung verschwinden lassen

D=(2(2A+1))2–4(A–1)(4A+3)=(4A+1)2–(4A–4)(4A+3)=4(5A+4)

4(5A+4)=0 Û .

4. Lösen wir die Gleichung nach auf. In diesem Fall hat die Gleichung eine reelle Wurzel

https://pandia.ru/text/80/014/images/image021_15.gif" width="133" height="41"> Û

9X 2+6X+1=0 Û (3 X+1)2=0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image023_15.gif" width="51" height="41 src=">. In diesem Fall D<0, поэтому уравнение действительных корней не имеет.

6. Lösen Sie die Gleichung nach A Nr. 1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image025_12.gif" width="341" height="49 src=">

7. Antwort: 1) mit https://pandia.ru/text/80/014/images/image022_14.gif" width="51" height="41 src=">;

2) wann a= 1, ;

3) für gibt es keine wirklichen Wurzeln;

4) bei und A Nr. 1, https://pandia.ru/text/80/014/images/image027_10.gif" width="144" height="44 src=">

1. Seit A im Nenner des Bruchs steht, dann macht die Gleichung nur dann Sinn, wenn A#0. Der Nenner enthält auch die Ausdrücke a2x– 2A und 2- Oh, die ebenfalls ungleich Null sein muss

a2x– 2A¹0 Û A(Oh–2)¹0 Û A¹0, Oh–2¹0 Û A¹0, ;

2–Oh¹0 Û https://pandia.ru/text/80/014/images/image028_9.gif" width="41" height="41 src=">.

2. Lösen Sie die Gleichung nach A¹0, https://pandia.ru/text/80/014/images/image029_9.gif" width="169" height="47 src="> Û Û

(1–A)X 2+2X+1+A=0 ...................(*)

3. Finden wir die Parameterwerte, die den Koeffizienten auf Null bringen X 2

1–A=0 Û A=1

4. Lösen Sie die Gleichung (*) nach A=1

0× X 2+2X+2=0 Û 2 x=– 2 Û x=–1

Schauen wir gleich mal nach, ob es passt X von https://pandia.ru/text/80/014/images/image032_8.gif" width="72" height="41 src=">, was bedeutet, wann A=1, x=– 1.

Ziel:

• Wiederholen Sie die Lösung von Systemen lineare Gleichungen mit zwei Variablen
• Definieren Sie ein System linearer Gleichungen mit Parametern
• wird Ihnen beibringen, wie man lineare Gleichungssysteme mit Parametern löst.

Während des Unterrichts

1. Zeit organisieren
2. Wiederholung
3. Erläuterung neues Thema
4. Konsolidierung
5. Zusammenfassung der Lektion
6. Hausaufgaben

2. Wiederholung:

I. Lineare Gleichung mit einer Variablen:

1. Definieren Sie eine lineare Gleichung mit einer Variablen

[Eine Gleichung der Form ax=b, wobei x eine Variable ist, a und b einige Zahlen sind, wird als lineare Gleichung mit einer Variablen bezeichnet]

2. Wie viele Wurzeln kann eine lineare Gleichung haben?

[- Wenn a=0, b0, dann hat die Gleichung keine Lösungen, x

Wenn a=0, b=0, dann x R

Wenn a0, dann hat die Gleichung eine eindeutige Lösung, x =

3. Finden Sie heraus, wie viele Wurzeln die Gleichung hat (je nach Optionen)

II. Lineare Gleichung mit 2 Variablen und lineares Gleichungssystem mit 2 Variablen.

1. Definieren Sie eine lineare Gleichung in zwei Variablen. Gib ein Beispiel.

[Eine lineare Gleichung mit zwei Variablen ist eine Gleichung der Form ax + by = c, wobei x und y Variablen sind, a, b und c einige Zahlen. Zum Beispiel x-y=5]

2. Wie nennt man das Lösen einer Gleichung mit zwei Variablen?

[Eine Lösung einer Gleichung mit zwei Variablen ist ein Wertepaar von Variablen, das die Gleichung in eine echte Gleichheit umwandelt.]

3. Ist das Wertepaar der Variablen x = 7, y = 3 eine Lösung der Gleichung 2x + y = 17?

4. Wie heißt der Graph einer Gleichung in zwei Variablen?

[Der Graph einer Gleichung mit zwei Variablen ist die Menge aller Punkte auf der Koordinatenebene, deren Koordinaten Lösungen dieser Gleichung sind.]

5. Finden Sie heraus, wie der Graph der Gleichung aussieht:

[Lassen Sie uns die Variable y durch x ausdrücken: y=-1,5x+3

Die Formel y=-1,5x+3 ist eine lineare Funktion, deren Graph eine Gerade ist. Da die Gleichungen 3x+2y=6 und y=-1,5x+3 äquivalent sind, ist diese Linie auch ein Diagramm der Gleichung 3x+2y=6]

6. Was ist der Graph der Gleichung ax+bу=c mit den Variablen x und y, wobei a0 oder b0?

[Der Graph einer linearen Gleichung mit zwei Variablen, in der mindestens einer der Koeffizienten der Variablen nicht Null ist, ist eine Gerade.]

7. Wie nennt man das Lösen eines Gleichungssystems mit zwei Variablen?

[Eine Lösung eines Gleichungssystems mit zwei Variablen ist ein Wertepaar von Variablen, das jede Gleichung des Systems in eine echte Gleichheit umwandelt]

8. Was bedeutet es, ein Gleichungssystem zu lösen?

[Ein Gleichungssystem zu lösen bedeutet, alle seine Lösungen zu finden oder zu beweisen, dass es keine Lösungen gibt.]

9. Finden Sie heraus, ob ein solches System immer Lösungen hat und wenn ja, wie viele (grafisch).

10. Wie viele Lösungen kann ein System aus zwei linearen Gleichungen mit zwei Variablen haben?

[Die einzige Lösung besteht darin, dass sich die Linien schneiden; hat keine Lösungen, wenn die Geraden parallel sind; unendlich viele, wenn die Linien zusammenfallen]

11. Welche Gleichung definiert normalerweise eine gerade Linie?

12. Stellen Sie einen Zusammenhang zwischen Winkelkoeffizienten und freien Termen her:

Option I: y=-x+2 y= -x-3, k 1 = k 2 , b 1 b 2, keine Lösungen;

Option II: y=-x+8 y=2x-1, k 1 k 2 , eine Lösung;

Option III: y=-x-1 y=-x-1, k 1 = k 2, b 1 = b 2, viele Lösungen.

Abschluss:

1. Wenn Pisten Sind Linien, die Graphen dieser Funktionen sind, unterschiedlich, dann schneiden sich diese Linien und das System hat eine eindeutige Lösung.
2. Wenn die Winkelkoeffizienten der Linien gleich sind und die Schnittpunkte mit der y-Achse unterschiedlich sind, dann sind die Linien parallel und das System hat keine Lösungen.
3. Sind die Winkelkoeffizienten und die Schnittpunkte mit der y-Achse gleich, dann fallen die Geraden zusammen und das System hat unendlich viele Lösungen.

An der Tafel befindet sich eine Tabelle, die Lehrer und Schüler nach und nach ausfüllen.

III. Erläuterung eines neuen Themas.

Definition: System anzeigen

• A 1 x+B 1 y=C
• A 2 x+B 2 y=C 2

wobei A 1, A 2, B 1, B 2, C 1 C 2 von den Parametern abhängige Ausdrücke sind und x und y unbekannt sind, wird ein System aus zwei linearen Systemen genannt algebraische Gleichungen mit zwei unbekannten Parametern.

Folgende Fälle sind möglich:

1) Wenn , dann hat das System eine eindeutige Lösung

2) Wenn , dann hat das System keine Lösungen

3) Wenn , dann hat das System unendlich viele Lösungen.

IV. Konsolidierung

Beispiel 1.

Bei welchen Werten des Parameters a funktioniert das System

• 2x - 3y = 7
• ah - 6y = 14

a) hat unendliche Menge Entscheidungen;

b) hat eine eindeutige Lösung

Antwort:

a) wenn a=4, dann hat das System unendlich viele Lösungen;

b) wenn a4, dann gibt es nur eine Lösung.

Beispiel 2.

Lösen Sie das Gleichungssystem

• x+(m+1)y=1
• x+2y=n

Lösung: a) , d.h. Für m1 hat das System eine einzigartige Lösung.

b), d.h. Für m=1 (2=m+1) und n1 hat das ursprüngliche System keine Lösungen

c) , für m=1 und n=1 hat das System unendlich viele Lösungen.

Antwort: a) wenn m=1 und n1, dann gibt es keine Lösungen

b) m=1 und n=1, dann ist die Lösung eine unendliche Menge

• y - irgendein
• x=n-2y

c) wenn m1 und n beliebig sind, dann

Beispiel 3.

• akh-3ау=2а+3
• x+ay=1

Lösung: Aus Gleichung II ermitteln wir x = 1-ay und setzen Gleichung I in Gleichung ein

a(1-a)-3a=2a+3

a-a 2 y-3ау=2а+3

A 2 y-3ау=а+3

A(a+3)y=a+3

Mögliche Fälle:

1) a=0. Dann sieht die Gleichung wie folgt aus: 0*y=3 [y]

Daher hat das System für a=0 keine Lösungen

2) a=-3. Dann ist 0*y=0.

Deshalb, y. In diesem Fall x=1-ау=1+3у

3) a0 und a-3. Dann ist y=-, x=1-a(-=1+1=2

Antwort:

1) wenn a=0, dann (x; y)

2) wenn a=-3, dann x=1+3y, y

3) wenn a0 und a?-3, dann x=2, y=-

Betrachten wir die zweite Methode zur Lösung von System (1).

Lösen wir System (1) mit der algebraischen Additionsmethode: Multiplizieren wir zunächst die erste Gleichung des Systems mit B 2, die zweite mit B 1 und addieren diese Gleichungen Term für Term, wodurch die Variable y eliminiert wird:

Weil A 1 B 2 -A 2 B 1 0, dann x =

Eliminieren wir nun die Variable x. Multiplizieren Sie dazu die erste Gleichung des Systems (1) mit A 2 und die zweite mit A 1 und addieren Sie beide Gleichungen Term für Term:

• A 1 A 2 x +A 2 B 1 y=A 2 C 1
• -A 1 A 2 x-A 1 B 2 y=-A 1 C 2
• y(A 2 B 1 -A 1 B 2) = A 2 C 1 -A 1 C 2

Weil A 2 B 1 -A 1 B 2 0 y =

Zur Vereinfachung der Lösung von System (1) führen wir die folgende Notation ein:

- Hauptdeterminante

Nun kann die Lösung von System (1) mithilfe von Determinanten geschrieben werden:

Die angegebenen Formeln werden Cramer-Formeln genannt.

Wenn , dann hat System (1) eine eindeutige Lösung: x=; y=

Wenn , oder , dann hat System (1) keine Lösungen

Wenn , , , , dann hat System (1) unendlich viele Lösungen.

In diesem Fall muss das System weiter untersucht werden. In diesem Fall wird sie in der Regel auf eine lineare Gleichung reduziert. In diesem Fall ist es oft zweckmäßig, das System auf folgende Weise zu untersuchen: Durch Lösen der Gleichung finden wir spezifische Werte der Parameter oder drücken einen der Parameter durch die anderen aus und ersetzen diese Parameterwerte durch das System. Dann erhalten wir ein System mit spezifischen numerischen Koeffizienten oder mit einer geringeren Anzahl von Parametern, die untersucht werden müssen.

Wenn die Koeffizienten A 1 , A 2 , B 1 , B 2 des Systems von mehreren Parametern abhängen, ist es zweckmäßig, das System anhand der Determinanten des Systems zu untersuchen.

Beispiel 4.

Lösen Sie für alle Werte des Parameters a das Gleichungssystem

• (a+5)x+(2a+3)y=3a+2
• (3a+10)x+(5a+6)y=2a+4

Lösung: Finden wir die Determinante des Systems:

= (a+5)(5a+6) – (3a+10) (2a+3)= 5a 2 +31a+30-6a 2 -29a-30=-a 2 +2a=a(2-a)

= (3a+2) (5a+6) –(2a+4)(2a+3)=15a 2 +28a+12-4a 2 -14a-12=11a 2 +14a=a(11a+14)

=(a+5) (2a+4)-(3a+10)(3a+2)=2a 2 +14a+20-9a 2 -36a-20=-7a 2 -22a=-a(7a+22)

ZU Aufgaben mit Parameter kann beispielsweise die Suche nach Lösungen für lineare und umfassen quadratische Gleichungen V Gesamtansicht, Untersuchung der Gleichung für die Anzahl der verfügbaren Wurzeln in Abhängigkeit vom Wert des Parameters.

Ohne detaillierte Definitionen zu geben, betrachten wir die folgenden Gleichungen als Beispiele:

y = kx, wobei x, y Variablen sind, k ein Parameter ist;

y = kx + b, wobei x, y Variablen sind, k und b Parameter sind;

ax 2 + bx + c = 0, wobei x Variablen sind, a, b und c ein Parameter sind.

Das Lösen einer Gleichung (Ungleichung, System) mit einem Parameter bedeutet in der Regel das Lösen einer unendlichen Menge von Gleichungen (Ungleichungen, Systemen).

Aufgaben mit einem Parameter können in zwei Typen unterteilt werden:

A) Die Bedingung besagt: Lösen Sie die Gleichung (Ungleichung, System) – das bedeutet, für alle Werte des Parameters alle Lösungen zu finden. Bleibt mindestens ein Fall ungeklärt, kann eine solche Lösung nicht als zufriedenstellend angesehen werden.

B) Es ist erforderlich, die möglichen Werte des Parameters anzugeben, bei denen die Gleichung (Ungleichung, System) bestimmte Eigenschaften aufweist. Hat zum Beispiel eine Lösung, hat keine Lösungen, hat Lösungen, zum Intervall gehörend usw. Bei solchen Aufgaben muss klar angegeben werden, bei welchem ​​Parameterwert die geforderte Bedingung erfüllt ist.

Da der Parameter eine unbekannte feste Zahl ist, weist er eine Art besondere Dualität auf. Zunächst muss berücksichtigt werden, dass die angenommene Popularität darauf hindeutet, dass der Parameter als Zahl wahrgenommen werden muss. Zweitens wird die Freiheit, den Parameter zu manipulieren, durch seine Unklarheit eingeschränkt. Zum Beispiel Operationen zum Dividieren durch einen Ausdruck, der einen Parameter enthält, oder zum Extrahieren der Wurzel sogar Grad aus einem solchen Ausdruck erfordern vorläufige Forschung. Daher ist beim Umgang mit dem Parameter Vorsicht geboten.

Um beispielsweise zwei Zahlen -6a und 3a zu vergleichen, müssen Sie drei Fälle berücksichtigen:

1) -6a ist größer als 3a, wenn a eine negative Zahl ist;

2) -6a = 3a für den Fall, dass a = 0;

3) -6a ist kleiner als 3a, wenn a eine positive Zahl 0 ist.

Die Lösung wird die Antwort sein.

Gegeben sei die Gleichung kx = b. Diese Gleichung ist eine Kurzform für unendlich viele Gleichungen mit einer Variablen.

Bei der Lösung solcher Gleichungen kann es folgende Fälle geben:

1. Sei k eine beliebige reelle Zahl ungleich Null und b eine beliebige Zahl aus R, dann ist x = b/k.

2. Sei k = 0 und b ≠ 0, die ursprüngliche Gleichung hat die Form 0 x = b. Offensichtlich hat diese Gleichung keine Lösungen.

3. Seien k und b Zahlen gleich Null, dann gilt die Gleichheit 0 x = 0. Ihre Lösung ist eine beliebige reelle Zahl.

Ein Algorithmus zur Lösung dieser Art von Gleichung:

1. Bestimmen Sie die „Kontrollwerte“ des Parameters.

2. Lösen Sie die ursprüngliche Gleichung nach x für die Parameterwerte auf, die im ersten Absatz ermittelt wurden.

3. Lösen Sie die ursprüngliche Gleichung nach x für Parameterwerte auf, die sich von den im ersten Absatz gewählten unterscheiden.

4. Sie können die Antwort in folgender Form schreiben:

1) für ... (Parameterwerte) hat die Gleichung Wurzeln ...;

2) Für ... (Parameterwerte) gibt es keine Wurzeln in der Gleichung.

Beispiel 1.

Lösen Sie die Gleichung mit dem Parameter |6 – x| = a.

Lösung.

Es ist leicht zu erkennen, dass hier a ≥ 0 ist.

Gemäß der Regel von Modul 6 – x = ±a drücken wir x aus:

Antwort: x = 6 ± a, wobei a ≥ 0.

Beispiel 2.

Lösen Sie die Gleichung a(x – 1) + 2(x – 1) = 0 bezüglich der Variablen x.

Lösung.

Öffnen wir die Klammern: aх – a + 2х – 2 = 0

Schreiben wir die Gleichung in Standardform: x(a + 2) = a + 2.

Wenn der Ausdruck a + 2 nicht Null ist, das heißt, wenn a ≠ -2, haben wir die Lösung x = (a + 2) / (a ​​​​+ 2), d. h. x = 1.

Wenn a + 2 gleich Null ist, d.h. a = -2, dann haben wir die korrekte Gleichung 0 x = 0, also ist x eine beliebige reelle Zahl.

Antwort: x = 1 für a ≠ -2 und x € R für a = -2.

Beispiel 3.

Lösen Sie die Gleichung x/a + 1 = a + x bezüglich der Variablen x.

Lösung.

Wenn a = 0, dann transformieren wir die Gleichung in die Form a + x = a 2 + ax oder (a – 1)x = -a(a – 1). Die letzte Gleichung für a = 1 hat die Form 0 x = 0, daher ist x eine beliebige Zahl.

Wenn a ≠ 1, dann hat die letzte Gleichung die Form x = -a.

Diese Lösung lässt sich an der Koordinatenlinie veranschaulichen (Abb. 1)

Antwort: Es gibt keine Lösungen für a = 0; x – jede Zahl mit a = 1; x = -a für a ≠ 0 und a ≠ 1.

Grafische Methode

Betrachten wir eine andere Möglichkeit, Gleichungen mit einem Parameter zu lösen – grafisch. Diese Methode wird häufig verwendet.

Beispiel 4.

Abhängig vom Parameter a, wie viele Wurzeln hat die Gleichung ||x| – 2| = ein?

Lösung.

Für Lösungen grafische Methode Erstellen Sie Graphen der Funktionen y = ||x| – 2| und y = a (Abb. 2).

Die Zeichnung zeigt deutlich mögliche Fälle der Lage der Geraden y = a und die Anzahl der Wurzeln in jedem von ihnen.

Antwort: Die Gleichung hat keine Wurzeln, wenn a< 0; два корня будет в случае, если a >2 und a = 0; im Fall a = 2 hat die Gleichung drei Wurzeln; vier Wurzeln – bei 0< a < 2.

Beispiel 5.

Bei welcher Gleichung gilt 2|x| + |x – 1| = a hat eine einzige Wurzel?

Lösung.

Lassen Sie uns die Graphen der Funktionen y = 2|x| darstellen + |x – 1| und y = a. Für y = 2|x| + |x – 1|, wenn wir die Module mit der Intervallmethode erweitern, erhalten wir:

(-3x + 1, bei x< 0,

y = (x + 1, für 0 ≤ x ≤ 1,

(3x – 1, für x > 1.

An Figur 3 Es ist deutlich zu erkennen, dass die Gleichung nur dann eine einzige Wurzel hat, wenn a = 1.

Antwort: a = 1.

Beispiel 6.

Bestimmen Sie die Anzahl der Lösungen der Gleichung |x + 1| + |x + 2| = a abhängig vom Parameter a?

Lösung.

Graph der Funktion y = |x + 1| + |x + 2| wird eine unterbrochene Linie sein. Seine Eckpunkte liegen an den Punkten (-2; 1) und (-1; 1) (Figur 4).

Antwort: Wenn der Parameter a kleiner als eins ist, hat die Gleichung keine Wurzeln; wenn a = 1, dann ist die Lösung der Gleichung eine unendliche Menge von Zahlen aus dem Intervall [-2; -1]; Wenn die Werte des Parameters a größer als eins sind, hat die Gleichung zwei Wurzeln.

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Lösen wir ein Gleichungssystem mit einem Parameter (A. Larin, Option 98)

Finden Sie alle Werte des Parameters, für die jeweils das System gilt

hat genau eine Lösung.

Schauen wir uns das System genauer an. In der ersten Gleichung des Systems ist die linke Seite , und die rechte Seite hängt nicht vom Parameter ab. Das heißt, wir können diese Gleichung als Gleichung der Funktion betrachten

und wir können diese Funktion grafisch darstellen.

Zweite Gleichung des Systems

hängt vom Parameter und durch Hervorhebung auf der linken Seite der Gleichung ab Perfektes Viereck, wir erhalten die Gleichung eines Kreises.

Daher ist es sinnvoll, Diagramme jeder Gleichung zu zeichnen und zu sehen, bei welchem ​​Wert des Parameters diese Diagramme einen Schnittpunkt haben.

Beginnen wir mit der ersten Gleichung. Öffnen wir zunächst die Module. Dazu setzen wir jeden submodularen Ausdruck mit Null gleich, um die Punkte zu finden, an denen sich das Vorzeichen ändert.

Der erste submodulare Ausdruck ändert das Vorzeichen bei , der zweite - bei .

Zeichnen wir diese Punkte auf der Koordinatenlinie ein und ermitteln wir die Vorzeichen jedes submodularen Ausdrucks in jedem Intervall:

Beachten Sie, dass die Gleichung für und keinen Sinn ergibt, daher punktieren wir diese Punkte.

Erweitern wir nun die Module in jedem Intervall. (Denken Sie daran: Wenn ein submodularer Ausdruck größer oder gleich Null ist, erweitern wir das Modul mit demselben Vorzeichen, und wenn es kleiner als Null ist, dann mit dem umgekehrten Vorzeichen.)

Beide submodularen Ausdrücke sind negativ, daher erweitern wir beide Module mit umgekehrtem Vorzeichen:

Das heißt, wenn die ursprüngliche Funktion die Form hat

In diesem Intervall ist der erste submodulare Ausdruck negativ und der zweite positiv, daher erhalten wir:

- Die Funktion existiert in diesem Intervall nicht.

3. title="x>2">!}

In diesem Intervall sind beide submodularen Ausdrücke positiv; wir entwickeln beide Module mit demselben Vorzeichen. Wir bekommen:

Das heißt, mit title="x>2"> исходная функция имеет вид !}

Wir haben also den Graphen der Funktion erhalten

Schauen wir uns nun die zweite Gleichung an:

Wählen wir auf der linken Seite der Gleichung ein vollständiges Quadrat aus; dazu addieren wir auf beiden Seiten der Gleichung die Zahl 4:

Für einen bestimmten Wert des Parameters ist der Graph dieser Gleichung ein Kreis mit einem Mittelpunkt an einem Punkt mit den Koordinaten , dessen Radius 5 beträgt. Für unterschiedliche Bedeutungen wir haben eine Reihe von Kreisen:

Wir bewegen den Kreis von unten nach oben, bis er die linke Seite des Diagramms der ersten Funktion berührt. Im Bild ist dieser Kreis rot. Der Mittelpunkt dieses Kreises ist der Punkt, seine Koordinaten sind (-2;-3). Wenn sich der Kreis nach oben bewegt, hat er außerdem einen Schnittpunkt mit der linken Seite des Funktionsgraphen, d. h. das System hat eine eindeutige Lösung.

Wir bewegen den Kreis weiter nach oben, bis er die rechte Seite des Diagramms der ersten Funktion berührt. Dies geschieht, wenn sich der Mittelpunkt des Kreises am Punkt mit den Koordinaten (-2;0) befindet – in der Abbildung ist dieser Kreis blau.

Wenn man sich weiter nach oben bewegt, schneidet der Kreis sowohl den linken als auch den rechten Teil des Graphen der ersten Funktion, d. h. der Kreis hat zwei Schnittpunkte mit dem Graphen der ersten Funktion und das System hat zwei Lösungen. Diese Situation dauert an, bis sich der Mittelpunkt des Kreises am Punkt mit den Koordinaten (-2; 5) befindet – dieser Kreis ist grün. An diesem Punkt berührt der Kreis die linke Seite des Diagramms und schneidet die rechte. Das heißt, das System hat eine Lösung.

Das System verfügt also über eine einzigartige Lösung, wenn(-3;0] wobei \ Variablen sind, \ ein Parameter ist;

\[y = kx + b,\] wobei \ Variablen sind, \ ein Parameter ist;

\[аx^2 + bх + с = 0,\] wobei \ eine Variable und \[а, b, с\] ein Parameter ist.

Das Lösen einer Gleichung mit einem Parameter bedeutet in der Regel das Lösen einer unendlichen Menge von Gleichungen.

Wenn Sie jedoch einem bestimmten Algorithmus folgen, können Sie die folgenden Gleichungen leicht lösen:

1. Bestimmen Sie die „Kontrollwerte“ des Parameters.

2. Lösen Sie die ursprüngliche Gleichung nach [\x\] mit den im ersten Absatz definierten Parameterwerten.

3. Lösen Sie die ursprüngliche Gleichung nach [\x\] nach Parameterwerten, die sich von den im ersten Absatz gewählten unterscheiden.

Nehmen wir an, wir erhalten die folgende Gleichung:

\[\mid 6 - x \mid = a.\]

Nach der Analyse der Ausgangsdaten ist klar, dass a \[\ge 0.\]

Nach der Modulregel \ drücken wir aus

Antwort: \wo\

Wo kann ich online eine Gleichung mit einem Parameter lösen?

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