Komplexe Zahlen sind eine Erweiterung der Menge der reellen Zahlen, die üblicherweise mit bezeichnet werden. Jede komplexe Zahl kann als formale Summe dargestellt werden, wobei und reelle Zahlen sind und die imaginäre Einheit ist.
Das Schreiben einer komplexen Zahl in der Form , wird als algebraische Form einer komplexen Zahl bezeichnet.
Eigenschaften komplexer Zahlen. Geometrische Interpretation einer komplexen Zahl.
Aktionen auf komplexe Zahlen in algebraischer Form:
Betrachten wir die Regeln, nach denen arithmetische Operationen für komplexe Zahlen ausgeführt werden.
Wenn zwei komplexe Zahlen α = a + bi und β = c + di gegeben sind, dann
α + β = (a + bi) + (c + di) = (a + c) + (b + d)i,
α – β = (a + bi) – (c + di) = (a – c) + (b – d)i. (elf)
Dies folgt aus der Definition der Operationen der Addition und Subtraktion zweier geordneter Paare reeller Zahlen (siehe Formeln (1) und (3)). Wir haben die Regeln zum Addieren und Subtrahieren komplexer Zahlen erhalten: Um zwei komplexe Zahlen zu addieren, müssen wir ihre Realteile und dementsprechend ihre Imaginärteile getrennt addieren; Um eine andere von einer komplexen Zahl zu subtrahieren, ist es notwendig, deren Real- bzw. Imaginärteil zu subtrahieren.
Die Zahl – α = – a – bi heißt das Gegenteil der Zahl α = a + bi. Die Summe dieser beiden Zahlen ist Null: - α + α = (- a - bi) + (a + bi) = (-a + a) + (-b + b)i = 0.
Um die Regel zur Multiplikation komplexer Zahlen zu erhalten, verwenden wir Formel (6), d. h. die Tatsache, dass i2 = -1. Unter Berücksichtigung dieser Beziehung finden wir (a + bi)(c + di) = ac + adi + bci + bdi2 = ac + (ad + bc)i – bd, d. h.
(a + bi)(c + di) = (ac - bd) + (ad + bc)i . (12)
Diese Formel entspricht Formel (2), die die Multiplikation geordneter Paare reeller Zahlen bestimmte.
Beachten Sie, dass die Summe und das Produkt zweier komplex konjugierter Zahlen reelle Zahlen sind. In der Tat, wenn α = a + bi, = a – bi, dann α = (a + bi)(a – bi) = a2 – i2b2 = a2 + b2 , α + = (a + bi) + (a – bi) = ( a + a) + (b - b)i= 2a, d.h.
α + = 2a, α = a2 + b2. (13)
Wenn man zwei komplexe Zahlen in algebraischer Form dividiert, sollte man damit rechnen, dass der Quotient auch durch eine Zahl desselben Typs ausgedrückt wird, d. h. α/β = u + vi, wobei u, v R. Lassen Sie uns die Regel für die Division komplexer Zahlen herleiten . Gegeben seien die Zahlen α = a + bi, β = c + di und β ≠ 0, also c2 + d2 ≠ 0. Die letzte Ungleichung bedeutet, dass c und d nicht gleichzeitig verschwinden (der Fall ist ausgeschlossen, wenn c = 0). , d = 0). Unter Anwendung der Formel (12) und der zweiten Gleichung (13) finden wir:
Daher wird der Quotient zweier komplexer Zahlen durch die Formel bestimmt:
entsprechend Formel (4).
Mit der resultierenden Formel für die Zahl β = c + di können Sie ihre Umkehrzahl β-1 = 1/β ermitteln. Unter der Annahme a = 1, b = 0 in Formel (14) erhalten wir
Diese Formel bestimmt den Kehrwert einer gegebenen komplexen Zahl ungleich Null; Auch diese Zahl ist komplex.
Zum Beispiel: (3 + 7i) + (4 + 2i) = 7 + 9i;
(6 + 5i) – (3 + 8i) = 3 – 3i;
(5 – 4i)(8 – 9i) = 4 – 77i;
Operationen mit komplexen Zahlen in algebraischer Form.
55. Argument einer komplexen Zahl. Trigonometrische Schreibweise einer komplexen Zahl (Ableitung).
Arg.com.numbers. – zwischen der positiven Richtung der realen X-Achse und dem Vektor, der die gegebene Zahl darstellt.
Trigon-Formel. Zahlen: ,
DEFINITION
Die algebraische Form einer komplexen Zahl besteht darin, die komplexe Zahl \(\z\) in der Form \(\z=x+i y\) zu schreiben, wobei \(\x\) und \(\y\) reelle Zahlen sind , \(\i\ ) – imaginäre Einheit, die die Beziehung \(\i^(2)=-1\) erfüllt
Die Zahl \(\ x \) heißt Realteil der komplexen Zahl \(\ z \) und wird mit \(\ x=\operatorname(Re) z \) bezeichnet.
Die Zahl \(\y\) heißt Imaginärteil der komplexen Zahl \(\z\) und wird mit \(\y=\operatorname(Im) z\) bezeichnet.
Zum Beispiel:
Die komplexe Zahl \(\ z=3-2 i \) und ihre adjungierte Zahl \(\ \overline(z)=3+2 i \) werden in algebraischer Form geschrieben.
Die imaginäre Größe \(\ z=5 i \) wird in algebraischer Form geschrieben.
Darüber hinaus können Sie je nach zu lösendem Problem eine komplexe Zahl in eine trigonometrische oder exponentielle Zahl umwandeln.
Schreiben Sie die Zahl \(\z=\frac(7-i)(4)+13\) in algebraischer Form, finden Sie ihren Real- und Imaginärteil sowie ihre konjugierte Zahl.
Unter Verwendung des Begriffs Division von Brüchen und der Regel zum Addieren von Brüchen erhalten wir:
\(\z=\frac(7-i)(4)+13=\frac(7)(4)+13-\frac(i)(4)=\frac(59)(4)-\frac( 1)(4)i\)
Daher ist der Realteil der komplexen Zahl \(\ z=\frac(5 g)(4)-\frac(1)(4) i \) die Zahl \(\ x=\operatorname(Re) z= \frac(59) (4) \) , der Imaginärteil ist die Zahl \(\ y=\operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \)
Konjugierte Zahl: \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
\(\ z=\frac(59)(4)-\frac(1)(4) i \), \(\ \operatorname(Re) z=\frac(59)(4) \), \(\ \operatorname(Im) z=-\frac(1)(4) \), \(\ \overline(z)=\frac(59)(4)+\frac(1)(4) i \)
Aktionen komplexer Zahlen im algebraischen Formenvergleich
Zwei komplexe Zahlen \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) heißen gleich, wenn \(\ x_(1)=x_(2) \), \(\ y_(1 )= y_(2) \) d.h. Ihr Real- und Imaginärteil sind gleich.
Bestimmen Sie, für welches x und y die beiden komplexen Zahlen \(\ z_(1)=13+y i \) und \(\ z_(2)=x+5 i \) gleich sind.
Per Definition sind zwei komplexe Zahlen gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind, d. h. \(\x=13\), \(\y=5\).
Zusatz
Das Addieren komplexer Zahlen \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) erfolgt durch direkte Summierung der Real- und Imaginärteile:
\(\ z_(1)+z_(2)=x_(1)+i y_(1)+x_(2)+i y_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right) +i\left(y_(1)+y_(2)\right) \)
Finden Sie die Summe der komplexen Zahlen \(\ z_(1)=-7+5 i \), \(\ z_(2)=13-4 i \)
Der Realteil einer komplexen Zahl \(\ z_(1)=-7+5 i \) ist die Zahl \(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=-7 \) , der Imaginärteil Teil ist die Zahl \( \ y_(1)=\mathrm(Im) \), \(\ z_(1)=5 \) . Der Real- und Imaginärteil der komplexen Zahl \(\ z_(2)=13-4 i \) sind gleich \(\ x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=13 \) und \( \ y_(2) bzw. )=\operatorname(Im) z_(2)=-4 \) .
Daher ist die Summe komplexer Zahlen:
\(\ z_(1)+z_(2)=\left(x_(1)+x_(2)\right)+i\left(y_(1)+y_(2)\right)=(-7+ 13)+i(5-4)=6+i \)
\(\ z_(1)+z_(2)=6+i \)
Weitere Informationen zum Addieren komplexer Zahlen finden Sie in einem separaten Artikel: Komplexe Zahlen hinzufügen.
Subtraktion
Die Subtraktion komplexer Zahlen \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) und \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) erfolgt durch direktes Subtrahieren der Real- und Imaginärteil:
\(\ z_(1)-z_(2)=x_(1)+i y_(1)-\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_(1)-x_(2) +\left(i y_(1)-i y_(2)\right)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right ) \)
Finden Sie die Differenz komplexer Zahlen \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \)
Finden Sie den Real- und Imaginärteil komplexer Zahlen \(\ z_(1)=17-35 i \), \(\ z_(2)=15+5 i \) :
\(\ x_(1)=\operatorname(Re) z_(1)=17, x_(2)=\operatorname(Re) z_(2)=15 \)
\(\ y_(1)=\operatorname(Im) z_(1)=-35, y_(2)=\operatorname(Im) z_(2)=5 \)
Daher ist der Unterschied komplexer Zahlen:
\(\ z_(1)-z_(2)=\left(x_(1)-x_(2)\right)+i\left(y_(1)-y_(2)\right)=(17-15 )+i(-35-5)=2-40 i \)
\(\ z_(1)-z_(2)=2-40 i \) Multiplikation
Die Multiplikation komplexer Zahlen \(\ z_(1)=x_(1)+i y_(1) \) und \(\ z_(2)=x_(2)+i y_(2) \) erfolgt durch direktes Erstellen Zahlen in algebraischer Form unter Berücksichtigung der Eigenschaft der imaginären Einheit \(\i^(2)=-1\) :
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1)+i y_(1)\right) \cdot\left(x_(2)+i y_(2)\right)=x_ (1) \cdot x_(2)+i^(2) \cdot y_(1) \cdot y_(2)+\left(x_(1) \cdot i y_(2)+x_(2) \cdot i y_(1)\right)=\)
\(\ =\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2 ) \cdot y_(1)\right) \)
Finden Sie das Produkt komplexer Zahlen \(\ z_(1)=1-5 i \)
Komplex komplexer Zahlen:
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=\left(x_(1) \cdot x_(2)-y_(1) \cdot y_(2)\right)+i\left(x_(1) \cdot y_(2)+x_(2) \cdot y_(1)\right)=(1 \cdot 5-(-5) \cdot 2)+i(1 \cdot 2+(-5) \cdot 5 )=15-23 i\)
\(\ z_(1) \cdot z_(2)=15-23 i \) Division
Der Faktor komplexer Zahlen \(\z_(1)=x_(1)+i y_(1)\) und \(\z_(2)=x_(2)+i y_(2)\) wird durch Multiplikation bestimmt Zähler und Nenner zur konjugierten Zahl mit dem Nenner:
\(\ \frac(z_(1))(z_(2))=\frac(x_(1)+i y_(1))(x_(2)+i y_(2))=\frac(\left (x_(1)+i y_(1)\right)\left(x_(2)-i y_(2)\right))(\left(x_(2)+i y_(2)\right)\left (x_(2)-i y_(2)\right))=\frac(x_(1) \cdot x_(2)+y_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2) +y_(2)^(2))+i \frac(x_(2) \cdot y_(1)-x_(1) \cdot y_(2))(x_(2)^(2)+y_(2 )^(2)) \)
Die Zahl 1 durch die komplexe Zahl \(\z=1+2 i\) dividieren.
Da der Imaginärteil der reellen Zahl 1 Null ist, beträgt der Faktor:
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1 \cdot 1)(1^(2)+2^(2))-i \frac(1 \cdot 2)(1^( 2)+2^(2))=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5)\)
\(\ \frac(1)(1+2 i)=\frac(1)(5)-i \frac(2)(5) \)
Erinnern wir uns an die notwendigen Informationen über komplexe Zahlen.
Komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form A + Bi, Wo A, B sind reelle Zahlen, und ich- sogenannt imaginäre Einheit, ein Symbol, dessen Quadrat gleich –1 ist ich 2 = –1. Nummer A angerufen echter Teil, und die Zahl B - Imaginärteil komplexe Zahl z = A + Bi. Wenn B= 0, dann stattdessen A + 0ich sie schreiben einfach A. Es ist ersichtlich, dass es sich um reelle Zahlen handelt besonderer Fall komplexe Zahlen.
Arithmetische Operationen an komplexen Zahlen sind die gleichen wie an reellen Zahlen: Sie können miteinander addiert, subtrahiert, multipliziert und dividiert werden. Addition und Subtraktion erfolgen nach der Regel ( A + Bi) ± ( C + di) = (A ± C) + (B ± D)ich, und die Multiplikation folgt der Regel ( A + Bi) · ( C + di) = (ac – bd) + (Anzeige + v. Chr)ich(Hier wird das verwendet ich 2 = –1). Zahl = A – Bi angerufen komplexes Konjugat Zu z = A + Bi. Gleichwertigkeit z · = A 2 + B 2 ermöglicht es Ihnen zu verstehen, wie man eine komplexe Zahl durch eine andere (ungleich Null) komplexe Zahl dividiert:
(Zum Beispiel, 
.)
Komplexe Zahlen haben eine praktische und anschauliche geometrische Darstellung: Zahl z = A + Bi kann durch einen Vektor mit Koordinaten dargestellt werden ( A; B) auf der kartesischen Ebene (oder, was fast dasselbe ist, ein Punkt – das Ende eines Vektors mit diesen Koordinaten). In diesem Fall wird die Summe zweier komplexer Zahlen als Summe der entsprechenden Vektoren dargestellt (die mit der Parallelogrammregel ermittelt werden können). Nach dem Satz des Pythagoras ist die Länge des Vektors mit Koordinaten ( A; B) ist gleich . Diese Menge heißt Modul komplexe Zahl z = A + Bi und wird mit | bezeichnet z|. Der Winkel, den dieser Vektor mit der positiven Richtung der x-Achse (gegen den Uhrzeigersinn gezählt) bildet, wird aufgerufen Streit komplexe Zahl z und wird mit Arg bezeichnet z. Das Argument ist nicht eindeutig definiert, sondern nur bis zur Addition eines Vielfachen von 2 π
Bogenmaß (oder 360°, wenn in Grad gezählt) - schließlich ist klar, dass eine Drehung um einen solchen Winkel um den Ursprung den Vektor nicht verändert. Aber wenn der Vektor der Länge R bildet einen Winkel φ
mit der positiven Richtung der x-Achse, dann sind seine Koordinaten gleich ( R cos φ
; R Sünde φ
). Von hier aus stellt sich heraus trigonometrische Notation komplexe Zahl: z = |z| · (cos(Arg z) + ich Sünde(Arg z)). Es ist oft praktisch, komplexe Zahlen in dieser Form zu schreiben, da dies die Berechnungen erheblich vereinfacht. Komplexe Zahlen in trigonometrischer Form zu multiplizieren ist sehr einfach: z 1 · z 2 = |z 1 | · | z 2 | · (cos(Arg z 1 + Arg z 2) + ich Sünde(Arg z 1 + Arg z 2)) (bei der Multiplikation zweier komplexer Zahlen werden ihre Module multipliziert und ihre Argumente addiert). Von hier aus folgen Moivres Formeln: z n = |z|N· (cos( N· (Arg z)) + ich Sünde( N· (Arg z))). Mit diesen Formeln ist es leicht zu lernen, wie man aus komplexen Zahlen Wurzeln beliebigen Grades zieht. Wurzel n. Grad ab Nummer z- Das ist eine komplexe Zahl w, Was w n = z. Es ist klar, dass 
, und wo k kann jeden Wert aus der Menge annehmen (0, 1, ..., N- 1). Das heißt, es gibt immer genau N Wurzeln N Grad einer komplexen Zahl (in der Ebene liegen sie an den Eckpunkten der Regelmäßigkeit). N-gon).
Betrachten Sie eine quadratische Gleichung.
Lassen Sie uns seine Wurzeln bestimmen.
Es gibt keine reelle Zahl, deren Quadrat -1 ist. Aber wenn wir den Operator mit einer Formel definieren ich als imaginäre Einheit, dann kann die Lösung dieser Gleichung geschrieben werden als 
. Dabei 
Und 
- komplexe Zahlen, bei denen -1 der Realteil ist, 2 oder im zweiten Fall -2 der Imaginärteil. Auch der Imaginärteil ist eine reelle Zahl. Der Imaginärteil multipliziert mit der Imaginäreinheit bedeutet bereits imaginäre Zahl.
Im Allgemeinen hat eine komplexe Zahl die Form
z = X + iy ,
Wo x, y– reelle Zahlen, – imaginäre Einheit. In einer Reihe von angewandten Wissenschaften, zum Beispiel in der Elektrotechnik, Elektronik, Signaltheorie, wird die imaginäre Einheit mit bezeichnet J. Reale Nummern x = Re(z) Und y =Ich bin(z) werden genannt Real- und Imaginärteile Zahlen z. Der Ausdruck heißt algebraische Form eine komplexe Zahl schreiben.
Jede reelle Zahl ist ein Sonderfall einer komplexen Zahl in der Form 
. Eine imaginäre Zahl ist auch ein Sonderfall einer komplexen Zahl 
.
Definition der Menge der komplexen Zahlen C
Dieser Ausdruck lautet wie folgt: set MIT, bestehend aus solchen Elementen X Und j gehören zur Menge der reellen Zahlen R und ist eine imaginäre Einheit. Beachten Sie, dass usw.
Zwei komplexe Zahlen 
Und 
sind genau dann gleich, wenn ihr Real- und Imaginärteil gleich sind, d. h. Und .
Komplexe Zahlen und Funktionen werden in Wissenschaft und Technik häufig verwendet, insbesondere in der Mechanik, Analyse und Berechnung von Wechselstromkreisen, analoger Elektronik, Theorie und Signalverarbeitung, Theorie automatische Kontrolle und andere angewandte Wissenschaften.
- Komplexe Zahlenarithmetik
Die Addition zweier komplexer Zahlen besteht aus der Addition ihrer reellen und imaginäre Teile, d.h.
Dementsprechend ist die Differenz zweier komplexer Zahlen
Komplexe Zahl 
angerufen umfassend konjugieren Nummer z =x+iy.
Komplexe konjugierte Zahlen z und z* unterscheiden sich in den Vorzeichen des Imaginärteils. Es ist klar, dass
.
Jede Gleichheit zwischen komplexe Ausdrücke bleibt in dieser Gleichheit überall gültig ich ersetzt durch -
ich, d.h. Gehen Sie zur Gleichheit konjugierter Zahlen. Zahlen ich Und –
ich sind algebraisch nicht unterscheidbar, da 
.
Das Produkt (Multiplikation) zweier komplexer Zahlen lässt sich wie folgt berechnen:
Division zweier komplexer Zahlen:
Beispiel:
- Komplexes Flugzeug
Eine komplexe Zahl kann grafisch in einem rechtwinkligen Koordinatensystem dargestellt werden. Definieren wir ein rechteckiges Koordinatensystem in der Ebene (x, y).
Auf Achse Ochse Wir werden die echten Teile platzieren X, es wird genannt echte (echte) Achse, auf der Achse Oy–Imaginärteile j komplexe Zahlen. Es heißt imaginäre Achse. In diesem Fall entspricht jede komplexe Zahl einem bestimmten Punkt auf der Ebene, und eine solche Ebene wird aufgerufen komplexe Ebene. Punkt A die komplexe Ebene entspricht dem Vektor OA.
Nummer X angerufen Abszisse komplexe Zahl, Zahl j – Ordinate.
Ein Paar komplex konjugierter Zahlen wird durch Punkte dargestellt, die symmetrisch um die reelle Achse liegen.
 |
Wenn wir im Flugzeug sitzen Polarkoordinatensystem, dann jede komplexe Zahl z durch Polarkoordinaten bestimmt. Dabei Modul Zahlen 
ist der Polarradius des Punktes und der Winkel 
- sein Polarwinkel oder sein komplexes Zahlenargument z.
Modul einer komplexen Zahl 
immer nicht negativ. Das Argument einer komplexen Zahl ist nicht eindeutig bestimmt. Der Hauptwert des Arguments muss die Bedingung erfüllen 
. Jeder Punkt der komplexen Ebene entspricht ebenfalls allgemeine Bedeutung Streit. Argumente, die sich um ein Vielfaches von 2π unterscheiden, gelten als gleich. Das Argument Zahl Null ist undefiniert.
Der Hauptwert des Arguments wird durch die Ausdrücke bestimmt:
Es ist klar, dass
Dabei
, 
.
Darstellung komplexer Zahlen z als
angerufen trigonometrische Form komplexe Zahl.
Beispiel.
- Exponentialform komplexer Zahlen
Zersetzung in Maclaurin-Serie für echte Argumentfunktionen 
hat die Form:
Für eine Exponentialfunktion mit einem komplexen Argument z die Zersetzung ist ähnlich
.
Die Maclaurin-Reihenentwicklung für die Exponentialfunktion des imaginären Arguments kann dargestellt werden als:
Die resultierende Identität heißt Eulers Formel.
Für ein negatives Argument hat es die Form
Durch die Kombination dieser Ausdrücke können Sie die folgenden Ausdrücke für Sinus und Cosinus definieren
.
Unter Verwendung der Euler-Formel aus der trigonometrischen Form der Darstellung komplexer Zahlen
verfügbar indikativ(exponentielle, polare) Form einer komplexen Zahl, d.h. seine Darstellung im Formular
,
Wo 
- Polarkoordinaten eines Punktes mit rechtwinkligen Koordinaten ( X,j).
Das Konjugat einer komplexen Zahl wird wie folgt in Exponentialform geschrieben.
Für die Exponentialform ist es leicht zu bestimmen folgenden Formeln komplexe Zahlen multiplizieren und dividieren
Das heißt, in der Exponentialform sind das Produkt und die Division komplexer Zahlen einfacher als in der algebraischen Form. Bei der Multiplikation werden die Module der Faktoren multipliziert und die Argumente addiert. Diese Regel gilt für eine beliebige Anzahl von Faktoren. Insbesondere beim Multiplizieren einer komplexen Zahl z An ich Vektor z dreht sich um 90° gegen den Uhrzeigersinn
Bei der Division wird der Modul des Zählers durch den Modul des Nenners dividiert und das Argument des Nenners vom Argument des Zählers subtrahiert.
Mithilfe der Exponentialform komplexer Zahlen können wir Ausdrücke für die bekannten trigonometrischen Identitäten erhalten. Zum Beispiel von der Identität
Mit der Eulerschen Formel können wir schreiben
Gleichsetzung von Real- und Imaginärteil in dieser Ausdruck erhalten wir Ausdrücke für den Kosinus und Sinus der Winkelsumme
- Potenzen, Wurzeln und Logarithmen komplexer Zahlen
Erhöhen einer komplexen Zahl auf natürlicher Grad N nach Rezept hergestellt
Beispiel. Rechnen wir 
.
Stellen wir uns eine Zahl vor in trigonometrischer Form
’
Wenn wir die Potenzierungsformel anwenden, erhalten wir
Indem Sie den Wert in den Ausdruck einfügen R= 1, wir erhalten das sogenannte Moivres Formel, mit dem Sie Ausdrücke für die Sinus- und Kosinuswerte mehrerer Winkel bestimmen können.
Wurzel N-te Potenz einer komplexen Zahl z Es hat N verschiedene Werte, die durch den Ausdruck bestimmt werden
Beispiel. Finden wir es.
Dazu drücken wir die komplexe Zahl () in trigonometrischer Form aus
.
Mit der Formel zur Berechnung der Wurzel einer komplexen Zahl erhalten wir
Logarithmus einer komplexen Zahl z- Das ist die Nummer w, wofür. Natürlicher Logarithmus komplexe Zahl hat unendliche Menge Werte und wird nach der Formel berechnet
Besteht aus einem Realteil (Kosinus) und einem Imaginärteil (Sinus). Diese Spannung kann als Längenvektor dargestellt werden Ähm , Anfangsphase(Winkel) rotiert mit Winkelgeschwindigkeit ω .
Wenn komplexe Funktionen hinzugefügt werden, werden außerdem deren Real- und Imaginärteil hinzugefügt. Wird eine komplexe Funktion mit einer Konstanten oder Realfunktion multipliziert, so werden ihr Real- und Imaginärteil mit demselben Faktor multipliziert. Die Differenzierung/Integration einer solch komplexen Funktion beruht auf der Differenzierung/Integration der Real- und Imaginärteile.
Zum Beispiel die Differenzierung des komplexen Stressausdrucks
ist es mit zu multiplizieren iω ist der Realteil der Funktion f(z) und 
– Imaginärteil der Funktion. Beispiele: 
.
Bedeutung z wird durch einen Punkt in der komplexen z-Ebene und den entsprechenden Wert dargestellt w- ein Punkt in der komplexen Ebene w. Wenn angezeigt w = f(z) ebene Linien z in ebene Linien umwandeln w, Figuren einer Ebene in Figuren einer anderen, aber die Formen der Linien oder Figuren können sich erheblich ändern.
Unterrichtsplan.
1. Organisatorischer Moment.
2. Präsentation des Materials.
3. Hausaufgaben.
4. Zusammenfassung der Lektion.
Während des Unterrichts
I. Organisatorischer Moment.
II. Präsentation des Materials.
Motivation.
Die Erweiterung der Menge der reellen Zahlen besteht darin, den reellen Zahlen neue (imaginäre) Zahlen hinzuzufügen. Die Einführung dieser Zahlen ist auf die Unmöglichkeit zurückzuführen, die Wurzel einer negativen Zahl aus der Menge der reellen Zahlen zu ziehen.
Einführung in das Konzept einer komplexen Zahl.
Imaginäre Zahlen, mit denen wir reelle Zahlen ergänzen, werden in der Form geschrieben Bi, Wo ich ist eine imaginäre Einheit und ich 2 = - 1.
Darauf aufbauend erhalten wir die folgende Definition einer komplexen Zahl.
Definition. Eine komplexe Zahl ist ein Ausdruck der Form a+bi, Wo A Und B- reale Nummern. In diesem Fall sind folgende Bedingungen erfüllt:
a) Zwei komplexe Zahlen a 1 + b 1 i Und a 2 + b 2 i gleich genau dann, wenn a 1 =a 2, b 1 =b 2.
b) Die Addition komplexer Zahlen wird durch die Regel bestimmt:
(a 1 + b 1 i) + (a 2 + b 2 i) = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2) i.
c) Die Multiplikation komplexer Zahlen wird durch die Regel bestimmt:
(a 1 + b 1 i) (a 2 + b 2 i) = (a 1 a 2 - b 1 b 2) + (a 1 b 2 - a 2 b 1) i.
Algebraische Form einer komplexen Zahl.
Eine komplexe Zahl in das Formular schreiben a+bi heißt die algebraische Form einer komplexen Zahl, wobei A– Realteil, Bi ist der Imaginärteil und B- reelle Zahl.
Komplexe Zahl a+bi gilt als gleich Null, wenn sein Real- und Imaginärteil gleich Null sind: a = b = 0
Komplexe Zahl a+bi bei b = 0 wird als eine reelle Zahl betrachtet A: a + 0i = a.
Komplexe Zahl a+bi bei a = 0 heißt rein imaginär und wird bezeichnet Bi: 0 + bi = bi.
Zwei komplexe Zahlen z = a + bi Und = a – bi, die sich nur im Vorzeichen des Imaginärteils unterscheiden, werden als konjugiert bezeichnet.
Operationen mit komplexen Zahlen in algebraischer Form.
Sie können die folgenden Operationen für komplexe Zahlen in algebraischer Form ausführen.
1) Ergänzung.
Definition. Summe komplexer Zahlen z 1 = a 1 + b 1 i Und z 2 = a 2 + b 2 i heißt komplexe Zahl z, dessen Realteil gleich der Summe der Realteile ist z 1 Und z 2, und der Imaginärteil ist die Summe der Imaginärteile von Zahlen z 1 Und z 2, also z = (a 1 + a 2) + (b 1 + b 2)i.
Zahlen z 1 Und z 2 werden Begriffe genannt.
Die Addition komplexer Zahlen hat folgende Eigenschaften:
1º. Kommutativität: z 1 + z 2 = z 2 + z 1.
2º. Assoziativität: (z 1 + z 2) + z 3 = z 1 + (z 2 + z 3).
3º. Komplexe Zahl –a –bi wird das Gegenteil einer komplexen Zahl genannt z = a + bi. Komplexe Zahl, Gegenteil der komplexen Zahl z, bezeichnet -z. Summe komplexer Zahlen z Und -z gleich Null: z + (-z) = 0
Beispiel 1: Addition durchführen (3 – i) + (-1 + 2i).
(3 – i) + (-1 + 2i) = (3 + (-1)) + (-1 + 2) i = 2 + 1i.
2) Subtraktion.
Definition. Von einer komplexen Zahl subtrahieren z 1 komplexe Zahl z 2 z, Was z + z 2 = z 1.
Satz. Der Unterschied zwischen komplexen Zahlen existiert und ist einzigartig.
Beispiel 2: Führen Sie eine Subtraktion durch (4 – 2i) - (-3 + 2i).
(4 – 2i) – (-3 + 2i) = (4 – (-3)) + (-2 – 2) i = 7 – 4i.
3) Multiplikation.
Definition. Produkt komplexer Zahlen z 1 =a 1 +b 1 i Und z 2 =a 2 +b 2 i heißt komplexe Zahl z, definiert durch die Gleichheit: z = (a 1 a 2 – b 1 b 2) + (a 1 b 2 + a 2 b 1)i.
Zahlen z 1 Und z 2 werden Faktoren genannt.
Die Multiplikation komplexer Zahlen hat folgende Eigenschaften:
1º. Kommutativität: z 1 z 2 = z 2 z 1.
2º. Assoziativität: (z 1 z 2)z 3 = z 1 (z 2 z 3)
3º. Distributivität der Multiplikation relativ zur Addition:
(z 1 + z 2) z 3 = z 1 z 3 + z 2 z 3.
4º. z = (a + bi)(a – bi) = a 2 + b 2- reelle Zahl.
In der Praxis erfolgt die Multiplikation komplexer Zahlen nach der Regel, eine Summe mit einer Summe zu multiplizieren und Real- und Imaginärteil zu trennen.
Im folgenden Beispiel betrachten wir die Multiplikation komplexer Zahlen auf zwei Arten: nach der Regel und durch Multiplikation von Summe mit Summe.
Beispiel 3: Führen Sie die Multiplikation durch (2 + 3i) (5 – 7i).
1 Weg. (2 + 3i) (5 – 7i) = (2× 5 – 3× (- 7)) + (2× (- 7) + 3× 5)i = = (10 + 21) + (- 14 + 15 )i = 31 + i.
Methode 2. (2 + 3i) (5 – 7i) = 2× 5 + 2× (- 7i) + 3i× 5 + 3i× (- 7i) = = 10 – 14i + 15i + 21 = 31 + i.
4) Abteilung.
Definition. Teilen Sie eine komplexe Zahl z 1 zu einer komplexen Zahl z 2 bedeutet, eine solche komplexe Zahl zu finden z, Was z · z 2 = z 1.
Satz. Der Quotient komplexer Zahlen existiert und ist eindeutig, wenn z 2 ≠ 0 + 0i.
In der Praxis wird der Quotient komplexer Zahlen durch Multiplikation von Zähler und Nenner mit dem Konjugat des Nenners ermittelt.
Lassen z 1 = a 1 + b 1 i, z 2 = a 2 + b 2 i, Dann
.
Im folgenden Beispiel führen wir eine Division mit der Formel und der Regel der Multiplikation mit der zum Nenner konjugierten Zahl durch.
Beispiel 4. Finden Sie den Quotienten 
.
5) Steigerung zu einer positiven Gesamtkraft.
a) Potenzen der imaginären Einheit.
Die Gleichberechtigung nutzen ich 2 = -1 ist es einfach, jede positive ganzzahlige Potenz der imaginären Einheit zu definieren. Wir haben:
i 3 = i 2 i = -i,
ich 4 = ich 2 ich 2 = 1,
ich 5 = ich 4 i = ich,
i 6 = i 4 i 2 = -1,
i 7 = i 5 i 2 = -i,
ich 8 = ich 6 ich 2 = 1 usw.
Dies zeigt, dass die Gradwerte In, Wo N– eine positive ganze Zahl, die periodisch wiederholt wird, wenn der Indikator um steigt 4 .
Daher die Zahl erhöhen ich Um eine positive ganze Potenz zu erhalten, müssen wir den Exponenten durch dividieren 4 und bauen ich zu einer Potenz, deren Exponent gleich dem Rest der Division ist.
Beispiel 5: Berechnen Sie: (i 36 + i 17) i 23.
ich 36 = (i 4) 9 = 1 9 = 1,
i 17 = i 4 × 4+1 = (i 4) 4 × i = 1 · i = i.
i 23 = i 4 × 5+3 = (i 4) 5 × i 3 = 1 · i 3 = - i.
(i 36 + i 17) · i 23 = (1 + i) (- i) = - i + 1= 1 – i.
b) Die Potenzierung einer komplexen Zahl in eine positive ganze Zahl erfolgt nach der Regel zur Potenzierung eines Binomials in die entsprechende Potenz, da es sich um einen Sonderfall der Multiplikation identischer komplexer Faktoren handelt.
Beispiel 6: Berechnen Sie: (4 + 2i) 3
(4 + 2i) 3 = 4 3 + 3× 4 2 × 2i + 3× 4× (2i) 2 + (2i) 3 = 64 + 96i – 48 – 8i = 16 + 88i.
