Schwingungen Man nennt Bewegungen oder Vorgänge, die sich durch eine gewisse Wiederholbarkeit über die Zeit auszeichnen. Schwingungen sind in der umgebenden Welt weit verbreitet und können ganz unterschiedlicher Natur sein. Dies können mechanische (Pendel), elektromagnetische (Schwingkreis) und andere Schwingungsarten sein. Frei, oder eigen Als Schwingungen werden Schwingungen bezeichnet, die in einem sich selbst überlassenen System auftreten, nachdem es durch einen äußeren Einfluss aus dem Gleichgewicht gebracht wurde. Ein Beispiel ist die Schwingung einer an einem Faden hängenden Kugel. Harmonische Schwingungen Man nennt solche Schwingungen, bei denen sich die Schwinggröße gesetzesgemäß mit der Zeit ändert Sinus oder Kosinus . Die gleichung harmonische Schwingungen hat die Form:, wo ein - Schwingungsamplitude (die Größe der größten Abweichung des Systems von der Gleichgewichtslage); - kreisförmige (zyklische) Frequenz. Das sich periodisch ändernde Argument des Kosinus wird aufgerufen Schwingungsphase . Die Schwingungsphase bestimmt die Verschiebung der Schwingungsgröße aus der Gleichgewichtslage in dieser Moment Zeit t. Die Konstante φ stellt den Phasenwert zum Zeitpunkt t = 0 dar und heißt Anfangsphase der Schwingung .. Diese Zeitspanne T wird als Periode harmonischer Schwingungen bezeichnet. Die Periode harmonischer Schwingungen ist gleich : T = 2π/. Mathematische Pendel- ein Oszillator, ein mechanisches System, das aus einem materiellen Punkt besteht, der sich auf einem schwerelosen, nicht dehnbaren Faden oder auf einem schwerelosen Stab in einem gleichmäßigen Feld der Gravitationskräfte befindet. Periode kleiner Eigenschwingungen eines mathematischen Längenpendels L bewegungslos in einem gleichmäßigen Gravitationsfeld mit freier Fallbeschleunigung schwebend G gleicht

und hängt nicht von der Schwingungsamplitude und der Masse des Pendels ab. Physikalisches Pendel- Ein Oszillator, bei dem es sich um einen festen Körper handelt, der in einem Feld beliebiger Kräfte relativ zu einem Punkt schwingt, der nicht der Massenschwerpunkt dieses Körpers oder eine feste Achse ist, die senkrecht zur Wirkungsrichtung der Kräfte steht und nicht durch diesen verläuft Schwerpunkt dieses Körpers.

24. Elektromagnetische Schwingungen. Schwingkreis. Thomsons Formel.

Elektromagnetische Schwingungen- Dabei handelt es sich um Schwingungen elektrischer und magnetischer Felder, die mit periodischen Ladungs-, Strom- und Spannungsänderungen einhergehen. Das einfachste System, in dem freie elektromagnetische Schwingungen entstehen und existieren können, ist ein Schwingkreis. Schwingkreis- Dies ist eine Schaltung bestehend aus einer Induktivität und einem Kondensator (Abb. 29, a). Wenn der Kondensator aufgeladen und mit der Spule verbunden ist, fließt Strom durch die Spule (Abb. 29, b). Wenn der Kondensator entladen ist, stoppt der Strom im Stromkreis aufgrund der Selbstinduktion in der Spule nicht. Der induzierte Strom hat gemäß der Lenzschen Regel die gleiche Richtung und lädt den Kondensator wieder auf (Abb. 29, c). Der Vorgang wiederholt sich (Abb. 29, d) analog zu Pendelschwingungen. Dadurch kommt es aufgrund der Energieumwandlung zu elektromagnetischen Schwingungen im Schwingkreis elektrisches Feld kondensator() in Energie umwandeln Magnetfeld Spulen mit Strom () und umgekehrt. Die Periode elektromagnetischer Schwingungen in einem idealen Schwingkreis hängt von der Induktivität der Spule und der Kapazität des Kondensators ab und wird nach der Thomson-Formel ermittelt. Frequenz und Periode sind umgekehrt proportional.

Oszillationen sind ein Prozess der Zustandsänderung eines Systems um den Gleichgewichtspunkt, der sich im Laufe der Zeit in unterschiedlichem Ausmaß wiederholt.

Harmonische Schwingung – Schwingungen, bei denen sich eine physikalische (oder eine andere) Größe im Laufe der Zeit gemäß einem Sinus- oder Kosinusgesetz ändert. Die kinematische Gleichung harmonischer Schwingungen hat die Form

wobei x die Verschiebung (Abweichung) des Schwingpunkts von der Gleichgewichtsposition zum Zeitpunkt t ist; A ist die Schwingungsamplitude, dies ist der Wert, der die maximale Abweichung des Schwingungspunktes von der Gleichgewichtslage bestimmt; ω – zyklische Frequenz, ein Wert, der die Anzahl der vollständigen Schwingungen angibt, die innerhalb von 2π Sekunden auftreten – volle Phase Schwingungen, 0 ist die Anfangsphase der Schwingungen.

Die Amplitude ist der maximale Wert der Verschiebung oder Änderung einer Variablen gegenüber dem Durchschnittswert während einer Schwingungs- oder Wellenbewegung.

Die Amplitude und die Anfangsphase der Schwingungen werden durch die Anfangsbedingungen der Bewegung bestimmt, d. h. Position und Geschwindigkeit des Materialpunktes zum Zeitpunkt t=0.

Verallgemeinerte harmonische Schwingung in Differentialform

Die Amplitude von Schallwellen und Audiosignalen bezieht sich normalerweise auf die Amplitude des Luftdrucks in der Welle, wird jedoch manchmal auch als Amplitude der Verschiebung relativ zum Gleichgewicht (der Luft oder der Membran des Lautsprechers) beschrieben.

Die Frequenz ist eine physikalische Größe, ein Merkmal eines periodischen Prozesses und entspricht der Anzahl der vollständigen Zyklen des Prozesses, die pro Zeiteinheit abgeschlossen werden. Die Schwingungsfrequenz von Schallwellen wird durch die Schwingungsfrequenz der Quelle bestimmt. Hochfrequente Schwingungen klingen schneller ab als niederfrequente.

Der Kehrwert der Schwingungsfrequenz wird Periode T genannt.

Die Schwingungsperiode ist die Dauer eines vollständigen Schwingungszyklus.

Im Koordinatensystem zeichnen wir vom Punkt 0 aus einen Vektor A̅, dessen Projektion auf die OX-Achse gleich Аcosϕ ist. Wenn sich der Vektor A̅ gleichmäßig mit einer Winkelgeschwindigkeit ω˳ gegen den Uhrzeigersinn dreht, dann gilt ϕ=ω˳t +ϕ˳, wobei ϕ˳ der Anfangswert von ϕ (Schwingungsphase) ist, dann ist die Amplitude der Schwingungen der Modul der Gleichmäßigkeit rotierender Vektor A̅, die Schwingungsphase (ϕ) – Winkel zwischen Vektor A̅ und OX-Achse, Anfangsphase (ϕ˳) -Ursprünglicher Wert dieses Winkels, die Kreisfrequenz der Schwingungen (ω) – Winkelgeschwindigkeit Drehung des Vektors A̅..

2. Eigenschaften von Wellenprozessen: Wellenfront, Strahl, Wellengeschwindigkeit, Wellenlänge. Längs- und Querwellen; Beispiele.

Die Fläche, die zu einem bestimmten Zeitpunkt das bereits von Schwingungen bedeckte und noch nicht von Schwingungen bedeckte Medium trennt, wird Wellenfront genannt. An allen Punkten einer solchen Oberfläche stellen sich nach dem Verlassen der Wellenfront Schwingungen ein, deren Phase identisch ist.

Der Strahl steht senkrecht zur Wellenfront. Akustische Strahlen sind wie Lichtstrahlen in einem homogenen Medium geradlinig. Sie werden an der Grenzfläche zwischen zwei Medien reflektiert und gebrochen.

Die Wellenlänge ist der Abstand zwischen zwei einander am nächsten liegenden Punkten, die in den gleichen Phasen schwingen. Normalerweise wird die Wellenlänge angegeben griechischer Brief. In Analogie zu Wellen, die im Wasser durch einen geworfenen Stein erzeugt werden, ist die Wellenlänge der Abstand zwischen zwei benachbarten Wellenbergen. Eines der Hauptmerkmale von Vibrationen. Gemessen in Entfernungseinheiten (Meter, Zentimeter usw.)

• längs Wellen (Kompressionswellen, P-Wellen) – Teilchen des Mediums vibrieren parallel(entlang) der Richtung der Wellenausbreitung (wie zum Beispiel im Fall der Schallausbreitung);
• quer Wellen (Scherwellen, S-Wellen) – Teilchen des Mediums vibrieren aufrecht Richtung der Wellenausbreitung ( Elektromagnetische Wellen, Wellen auf Trennflächen);

Die Kreisfrequenz der Schwingungen (ω) ist die Winkelgeschwindigkeit der Drehung des Vektors A̅(V), die Verschiebung x des Schwingungspunkts ist die Projektion des Vektors A auf die OX-Achse.

V=dx/dt=-Aω˳sin(ω˳t+ϕ˳)=-Vmsin(ω˳t+ϕ˳),wobei Vm=Аω˳ ― maximale Geschwindigkeit(Geschwindigkeitsamplitude)

3. Freie und erzwungene Vibrationen. Eigenfrequenz der Schwingungen des Systems. Das Phänomen der Resonanz. Beispiele .

Freie (natürliche) Schwingungen nennt man solche, die ohne äußere Einflüsse aufgrund der zunächst durch Wärme gewonnenen Energie entstehen. Typische Modelle davon mechanische Schwingungen sind ein materieller Punkt auf einer Feder (Federpendel) und ein materieller Punkt auf einem nicht dehnbaren Faden (mathematisches Pendel).

In diesen Beispielen entstehen Schwingungen entweder aufgrund der Anfangsenergie (Abweichung eines materiellen Punktes von der Gleichgewichtsposition und Bewegung ohne Anfangsgeschwindigkeit) oder aufgrund der Kinetik (dem Körper wird in der anfänglichen Gleichgewichtsposition Geschwindigkeit verliehen) oder aufgrund von beidem Energie (die dem Körper Geschwindigkeit verleiht, die von der Gleichgewichtsposition abweicht).

Betrachten Sie ein Federpendel. In der Gleichgewichtslage wirkt die elastische Kraft F1

gleicht die Schwerkraft mg aus. Wenn Sie die Feder um eine Strecke x ziehen, dann materieller Punkt Es wirkt eine große elastische Kraft. Die Änderung des Wertes der elastischen Kraft (F) ist nach dem Hookeschen Gesetz proportional zur Änderung der Federlänge bzw. der Verschiebung x des Punktes: F= - rx

Ein anderes Beispiel. Das mathematische Pendel der Abweichung von der Gleichgewichtslage hat einen so kleinen Winkel α, dass die Flugbahn eines materiellen Punktes als gerade Linie betrachtet werden kann, die mit der OX-Achse zusammenfällt. In diesem Fall ist die Näherungsgleichung erfüllt: α ≈sin α≈ tanα ≈x/L

Ungedämpfte Schwingungen. Betrachten wir ein Modell, bei dem die Widerstandskraft vernachlässigt wird.
Die Amplitude und die Anfangsphase der Schwingungen werden durch die Anfangsbedingungen der Bewegung bestimmt, d. h. Position und Geschwindigkeit des materiellen Punktes Moment t=0.
Unter den verschiedenen Schwingungsarten ist die harmonische Schwingung die einfachste Form.

So führt ein an einer Feder oder einem Faden aufgehängter Materialpunkt harmonische Schwingungen aus, wenn Widerstandskräfte nicht berücksichtigt werden.

Die Schwingungsdauer kann aus der Formel T=1/v=2П/ω0 ermittelt werden

Gedämpfte Schwingungen. IN echter Fall Auf den Schwingkörper wirken Widerstandskräfte (Reibungskräfte), die Art der Bewegung ändert sich und die Schwingung wird gedämpft.

In Bezug auf eindimensionale Bewegung geben wir der letzten Formel die folgende Form: Fc = - r * dx/dt

Die Geschwindigkeit, mit der die Schwingungsamplitude abnimmt, wird durch den Dämpfungskoeffizienten bestimmt: Je stärker die Bremswirkung des Mediums ist, desto größer ist ß und desto schneller nimmt die Amplitude ab. In der Praxis wird der Dämpfungsgrad jedoch häufig durch ein logarithmisches Dämpfungsdekrement charakterisiert, das als Wert gleich verstanden wird natürlicher Logarithmus das Verhältnis zweier aufeinanderfolgender Amplituden, die durch ein Zeitintervall gleich der Schwingungsperiode getrennt sind. Daher hängen der Dämpfungskoeffizient und das logarithmische Dämpfungsdekrement durch eine ziemlich einfache Abhängigkeit zusammen: λ=ßT

Bei starker Dämpfung ist aus der Formel ersichtlich, dass die Schwingungsdauer eine imaginäre Größe ist. Die Bewegung ist in diesem Fall nicht mehr periodisch und wird als aperiodisch bezeichnet.

Erzwungene Vibrationen. Erzwungene Schwingungen sind Schwingungen, die in einem System unter Beteiligung von auftreten äußere Kraft, variierend nach einem periodischen Gesetz.

Nehmen wir an, dass auf den Materialpunkt zusätzlich zur elastischen Kraft und der Reibungskraft eine äußere Antriebskraft F=F0 cos ωt einwirkt

Die Amplitude der erzwungenen Schwingung ist direkt proportional zur Amplitude der Antriebskraft und hängt komplex vom Dämpfungskoeffizienten des Mediums und den Kreisfrequenzen der natürlichen und erzwungenen Schwingungen ab. Wenn ω0 und ß für das System gegeben sind, dann hat die Amplitude erzwungener Schwingungen einen Maximalwert bei einer bestimmten Frequenz der Antriebskraft, genannt resonant Das Phänomen selbst – das Erreichen der maximalen Amplitude erzwungener Schwingungen bei gegebenem ω0 und ß – heißt Resonanz.

Die Resonanzkreisfrequenz ergibt sich aus der Bedingung des minimalen Nenners in: ωres=√ωₒ- 2ß

Mechanische Resonanz kann sowohl nützlich als auch schädlich sein. Die schädlichen Auswirkungen sind hauptsächlich auf die Zerstörung zurückzuführen, die es verursachen kann. Daher muss in der Technik unter Berücksichtigung verschiedener Schwingungen für das mögliche Auftreten von Resonanzzuständen gesorgt werden, da es sonst zu Zerstörungen und Katastrophen kommen kann. Körper haben in der Regel mehrere Eigenschwingungsfrequenzen und dementsprechend mehrere Resonanzfrequenzen.

In inneren Organen treten Resonanzphänomene unter Einwirkung äußerer mechanischer Schwingungen auf. Dies ist offenbar einer der Gründe für die negativen Auswirkungen von Infraschallschwingungen und Vibrationen auf den menschlichen Körper.

6. Methoden der Klangforschung in der Medizin: Perkussion, Auskultation. Phonokardiographie.

Schall kann eine Informationsquelle über den Zustand der inneren Organe einer Person sein, weshalb in der Medizin häufig Methoden zur Untersuchung des Zustands des Patienten wie Auskultation, Perkussion und Phonokardiographie eingesetzt werden.

Auskultation

Zur Auskultation wird ein Stethoskop oder Phonendoskop verwendet. Ein Phonendoskop besteht aus einer Hohlkapsel mit einer schallübertragenden Membran, die auf den Körper des Patienten aufgebracht wird und von der aus Gummischläuche zum Ohr des Arztes führen. In der Kapsel kommt es zu einer Resonanz der Luftsäule, was zu einem verstärkten Schall und einer verbesserten Auskultation führt. Bei der Auskultation der Lunge sind Atemgeräusche und verschiedene für Krankheiten charakteristische Keuchgeräusche zu hören. Sie können auch auf Herz, Darm und Magen hören.

Schlagzeug

Bei dieser Methode wird dem Ton zugehört Einzelteile Körper, wenn man darauf klopft. Stellen wir uns einen geschlossenen, mit Luft gefüllten Hohlraum im Inneren eines Körpers vor. Wenn in diesem Gremium aufgerufen Schallschwingungen Dann beginnt die Luft im Hohlraum bei einer bestimmten Schallfrequenz zu schwingen und gibt einen Ton ab, der der Größe und Position des Hohlraums entspricht, und verstärkt ihn. Der menschliche Körper kann als Ansammlung gasgefüllter (Lunge), flüssiger (innere Organe) und fester (Knochen) Volumina dargestellt werden. Beim Auftreffen auf die Oberfläche eines Körpers entstehen Schwingungen, deren Frequenzen eine große Bandbreite haben. In diesem Bereich werden einige Schwingungen recht schnell verschwinden, während andere, die mit den natürlichen Schwingungen der Hohlräume zusammenfallen, sich verstärken und aufgrund der Resonanz hörbar werden.

Phonokardiographie

Wird zur Diagnose von Herzerkrankungen verwendet. Die Methode besteht darin, Herztöne und -geräusche grafisch aufzuzeichnen und diagnostisch zu interpretieren. Ein Phonokardiograph besteht aus einem Mikrofon, einem Verstärker, einem System von Frequenzfiltern und einem Aufnahmegerät.

9. Ultraschallforschungsmethoden (Ultraschall) in der medizinischen Diagnostik.

1) Diagnose- und Forschungsmethoden

Dazu gehören Ortungsverfahren, bei denen überwiegend gepulste Strahlung zum Einsatz kommt. Dies ist Echoenzephalographie – Erkennung von Tumoren und Ödemen des Gehirns. Ultraschallkardiographie – Messung der Herzgröße in Dynamik; in der Augenheilkunde - Ultraschallortung zur Bestimmung der Größe der Augenmedien.

2)Methoden der Einflussnahme

Ultraschallphysiotherapie – mechanische und thermische Wirkung auf das Gewebe.

11. Stoßwelle. Erzeugung und Verwendung von Stoßwellen in der Medizin.
Schockwelle – eine Diskontinuitätsfläche, die sich relativ zum Gas bewegt und bei deren Überquerung Druck, Dichte, Temperatur und Geschwindigkeit einen Sprung erfahren.
Bei großen Störungen (Explosion, Überschallbewegung von Körpern, kraftvoll elektrische Entladung usw.) kann die Geschwindigkeit oszillierender Teilchen des Mediums mit der Schallgeschwindigkeit vergleichbar werden , Es entsteht eine Stoßwelle.

Die Stoßwelle kann eine erhebliche Energie haben, ja, um Nukleare Explosion für die Bildung einer Stoßwelle in Umfeld Dabei werden etwa 50 % der Explosionsenergie verbraucht. Daher kann eine Stoßwelle, die biologische und technische Objekte erreicht, Tod, Verletzung und Zerstörung verursachen.

Stoßwellen werden in der Medizintechnik eingesetzt, was eine extrem kurze, kraftvoller Impuls Druck mit hohen Druckamplituden und kleinem Zuganteil. Sie werden außerhalb des Körpers des Patienten erzeugt und tief in den Körper übertragen, wodurch eine therapeutische Wirkung erzielt wird, die durch die Spezialisierung des Gerätemodells vorgesehen ist: Zertrümmerung von Harnsteinen, Behandlung von Schmerzbereichen und den Folgen von Verletzungen des Bewegungsapparates, Anregung der Erholung des Herzmuskels nach einem Herzinfarkt, Glättung von Cellulite-Bildungen usw.

Bedenken Sie dies bitte beim Studium dieses Abschnitts Schwankungen physikalischer Natur werden aus gängigen mathematischen Positionen beschrieben. Hier ist es notwendig, Konzepte wie harmonische Schwingung, Phase, Phasendifferenz, Amplitude, Frequenz, Schwingungsperiode klar zu verstehen.

Es muss berücksichtigt werden, dass es in jedem realen Schwingungssystem einen Widerstand des Mediums gibt, d.h. die Schwingungen werden gedämpft. Um die Dämpfung von Schwingungen zu charakterisieren, werden ein Dämpfungskoeffizient und ein logarithmisches Dämpfungsdekrement eingeführt.

Treten Schwingungen unter dem Einfluss einer äußeren, sich periodisch ändernden Kraft auf, spricht man von erzwungenen Schwingungen. Sie werden ungedämpft sein. Die Amplitude erzwungener Schwingungen hängt von der Frequenz der Antriebskraft ab. Wenn sich die Frequenz der erzwungenen Schwingungen der Frequenz der natürlichen Schwingungen nähert, nimmt die Amplitude der erzwungenen Schwingungen stark zu. Dieses Phänomen nennt man Resonanz.

Wenn Sie mit der Untersuchung elektromagnetischer Wellen fortfahren, müssen Sie dies klar verstehenElektromagnetische Welleist ein elektromagnetisches Feld, das sich im Raum ausbreitet. Das einfachste System, das elektromagnetische Wellen aussendet, ist ein elektrischer Dipol. Wenn ein Dipol harmonische Schwingungen erfährt, sendet er eine monochromatische Welle aus.

Formeltabelle: Schwingungen und Wellen

Physikalische Gesetze, Formeln, Variablen	Schwingungs- und Wellenformeln
Harmonische Schwingungsgleichung: wobei x die Verschiebung (Abweichung) der schwankenden Größe von der Gleichgewichtslage ist; A - Amplitude; ω - kreisförmige (zyklische) Frequenz; α – Anfangsphase; (ωt+α) – Phase.
Zusammenhang zwischen Periode und Kreisfrequenz:
Frequenz:
Zusammenhang zwischen Kreisfrequenz und Frequenz:
Perioden natürlicher Schwingungen 1) Federpendel: wobei k die Federsteifigkeit ist; 2) mathematisches Pendel: wobei l die Länge des Pendels ist, g - Beschleunigung des freien Falls; 3) Schwingkreis: wobei L die Induktivität des Stromkreises ist, C ist die Kapazität des Kondensators.
Eigenfrequenz:
Addition von Schwingungen gleicher Frequenz und Richtung: 1) Amplitude der resultierenden Schwingung wobei A 1 und A 2 die Amplituden der Schwingungskomponenten sind, α 1 und α 2 – Anfangsphasen der Schwingungskomponenten; 2) die Anfangsphase der resultierenden Schwingung
Gleichung gedämpfter Schwingungen: e = 2,71... - die Basis natürlicher Logarithmen.
Amplitude gedämpfter Schwingungen: wobei A 0 die Amplitude zum Anfangszeitpunkt ist; β - Dämpfungskoeffizient;
Dämpfungskoeffizient: Schwingkörper wobei r der Widerstandskoeffizient des Mediums ist, m - Körpergewicht; Schwingkreis wobei R der aktive Widerstand ist, L ist die Induktivität des Stromkreises.
Frequenz gedämpfter Schwingungen ω:
Periode gedämpfter Schwingungen T:
Logarithmisches Dämpfungsdekrement:
Zusammenhang zwischen dem logarithmischen Dekrement χ und dem Dämpfungskoeffizienten β:

Lassen Sie uns eine weitere Größe einführen, die harmonische Schwingungen charakterisiert – Schwingungsphase.

Für eine gegebene Schwingungsamplitude wird die Koordinate des schwingenden Körpers zu jedem Zeitpunkt eindeutig durch das Argument des Kosinus oder Sinus bestimmt: φ = ω 0 t.

Man nennt die Größe φ unter dem Vorzeichen der Kosinus- oder Sinusfunktion Schwingungsphase durch diese Funktion beschrieben. Die Phase wird in Winkeleinheiten ausgedrückt – Bogenmaß.

Die Phase bestimmt nicht nur den Wert der Koordinate, sondern auch den Wert anderer physikalische Quantitäten, zum Beispiel Geschwindigkeit und Beschleunigung, die ebenfalls nach einem harmonischen Gesetz variieren. Deshalb können wir das sagen Die Phase bestimmt für eine gegebene Amplitude den Zustand des Schwingungssystems zu jedem Zeitpunkt. Dies ist die Bedeutung des Phasenbegriffs.

Schwingungen mit gleichen Amplituden und Frequenzen können sich in der Phase unterscheiden.

Seit damals

Das Verhältnis gibt an, wie viele Perioden seit Beginn der Schwingung vergangen sind. Jeder Zeitwert t, ausgedrückt in der Anzahl der Perioden T, entspricht dem Phasenwert φ, ausgedrückt im Bogenmaß. Also nach einer Zeit (einer viertel Periode), nach einer halben Periode, φ = π, nach einer ganzen Periode, φ = 2π usw.

Sie können in einem Diagramm die Abhängigkeit der Koordinaten eines Schwingungspunkts nicht von der Zeit, sondern von der Phase darstellen. Abbildung 3.7 zeigt die gleiche Kosinuswelle wie in Abbildung 3.6, jedoch auf der horizontalen Achse statt auf der Zeitachse unterschiedliche Bedeutungen Phase φ.

Darstellung harmonischer Schwingungen mittels Kosinus und Sinus. Sie wissen bereits, dass sich bei harmonischen Schwingungen die Koordinate eines Körpers im Laufe der Zeit gemäß dem Kosinus- oder Sinusgesetz ändert. Nachdem wir das Konzept der Phase vorgestellt haben, werden wir näher darauf eingehen.

Der Sinus unterscheidet sich vom Kosinus durch die Verschiebung des Arguments um , was, wie aus Gleichung (3.21) ersichtlich ist, einer Zeitspanne entspricht, die einem Viertel der Periode entspricht:

Daher können wir anstelle der Formel x = x m cos ω 0 t die Formel zur Beschreibung harmonischer Schwingungen verwenden

Aber zur selben Zeit Anfangsphase, also der Phasenwert zum Zeitpunkt t = 0, ist nicht gleich Null, sondern .

Normalerweise regen wir Schwingungen eines an einer Feder befestigten Körpers oder Schwingungen eines Pendels an, indem wir den Körper des Pendels aus seiner Gleichgewichtslage entfernen und ihn dann loslassen. Die Verschiebung aus der Gleichgewichtslage ist im Anfangsmoment maximal. Daher ist es zur Beschreibung von Schwingungen bequemer, die Formel (3.14) mit einem Kosinus zu verwenden als die Formel (3.23) mit einem Sinus.

Wenn wir jedoch einen ruhenden Körper durch einen kurzfristigen Stoß zu Schwingungen anregen würden, wäre die Koordinate des Körpers im Anfangsmoment gleich Null, und es wäre bequemer, Änderungen der Koordinate im Laufe der Zeit mit dem Sinus zu beschreiben , also nach der Formel

x = x m sin ω 0 t, (3.24)

da in diesem Fall die Anfangsphase Null ist.

Wenn zum Anfangszeitpunkt (bei t - 0) die Schwingungsphase gleich φ ist, kann die Schwingungsgleichung in der Form geschrieben werden

x = x m sin (ω 0 t + φ).

Die durch die Formeln (3.23) und (3.24) beschriebenen Schwingungen unterscheiden sich nur in Phasen voneinander. Der Phasenunterschied oder, wie oft gesagt wird, die Phasenverschiebung dieser Schwingungen beträgt . Abbildung 3.8 zeigt Diagramme der Koordinaten über der Zeit für zwei harmonische Schwingungen, die um phasenverschoben sind. Diagramm 1 entspricht Schwingungen, die nach dem Sinusgesetz auftreten: x = x m sin ω 0 t, und Diagramm 2 entspricht Schwingungen, die nach dem Kosinusgesetz auftreten:

Um die Phasendifferenz zwischen zwei Schwingungen zu bestimmen, muss in beiden Fällen die Schwinggröße durch dieselbe ausgedrückt werden Trigonometrische Funktion- Kosinus oder Sinus.

Fragen zum Absatz

1. Welche Schwingungen werden harmonisch genannt?

2. Wie hängen Beschleunigung und Koordinaten bei harmonischen Schwingungen zusammen?

3. Wie hängen die Schwingungsfrequenz und die Schwingungsdauer zusammen?

4. Warum hängt die Schwingungsfrequenz eines an einer Feder befestigten Körpers von seiner Masse ab, die Schwingungsfrequenz eines mathematischen Pendels jedoch nicht von der Masse?

5. Welche Amplituden und Perioden haben drei verschiedene harmonische Schwingungen, deren Diagramme in den Abbildungen 3.8 und 3.9 dargestellt sind?