الرسم البياني للدالة هو تمثيل مرئي لسلوك الوظيفة على المستوى الإحداثي. تساعدك الرسوم البيانية على فهم الجوانب المختلفة للوظيفة التي لا يمكن تحديدها من الوظيفة نفسها. يمكنك بناء رسوم بيانية للعديد من الوظائف، وسيتم إعطاء كل منها صيغة محددة. يتم إنشاء الرسم البياني لأي دالة باستخدام خوارزمية محددة (إذا كنت قد نسيت العملية الدقيقة لرسم دالة معينة).
خطوات
رسم بياني للدالة الخطية
- إذا كان الميل سالبًا، فإن الدالة تتناقص.
-
من النقطة التي يتقاطع فيها الخط المستقيم مع المحور Y، ارسم نقطة ثانية باستخدام المسافات الرأسية والأفقية. جدول دالة خطيةيمكن بناؤها من نقطتين. في مثالنا، نقطة التقاطع مع المحور Y لها إحداثيات (0.5)؛ من هذه النقطة، حرك مسافتين للأعلى ثم مسافة واحدة إلى اليمين. ضع علامة على نقطة؛ سيكون لها إحداثيات (1،7). الآن يمكنك رسم خط مستقيم.
باستخدام المسطرة، ارسم خطًا مستقيمًا يمر عبر نقطتين.لتجنب الأخطاء، ابحث عن النقطة الثالثة، ولكن في معظم الحالات يمكن رسم الرسم البياني باستخدام نقطتين. وهكذا، قمت برسم دالة خطية.
رسم النقاط على المستوى الإحداثي
-
تحديد وظيفة.تتم الإشارة إلى الوظيفة كـ f(x). تسمى جميع القيم الممكنة للمتغير "y" بمجال الدالة، وتسمى جميع القيم الممكنة للمتغير "x" بمجال الدالة. على سبيل المثال، خذ بعين الاعتبار الدالة y = x+2، وهي f(x) = x+2.
ارسم خطين متعامدين متقاطعين.الخط الأفقي هو المحور X. الخط العمودي هو المحور Y.
قم بتسمية محاور الإحداثيات.قسم كل محور إلى أجزاء متساوية وقم بترقيمها. نقطة تقاطع المحاور هي 0. بالنسبة للمحور X: يتم رسم الأرقام الموجبة إلى اليمين (من 0)، والأرقام السالبة إلى اليسار. بالنسبة للمحور Y: يتم رسم الأرقام الموجبة في الأعلى (من 0)، والأرقام السالبة في الأسفل.
ابحث عن قيم "y" من قيم "x".في مثالنا، f(x) = x+2. استبدل قيم x محددة في هذه الصيغة لحساب قيم y المقابلة. إذا أعطيت دالة معقدة، قم بتبسيطها عن طريق عزل "y" في أحد طرفي المعادلة.
- -1: -1 + 2 = 1
- 0: 0 +2 = 2
- 1: 1 + 2 = 3
-
رسم النقاط على المستوى الإحداثي.لكل زوج من الإحداثيات، قم بما يلي: ابحث عن القيمة المقابلة على المحور X وارسم خطًا رأسيًا (منقطًا)؛ ابحث عن القيمة المقابلة على المحور Y وارسم خطًا أفقيًا (خط متقطع). حدد نقطة تقاطع الخطين المنقطين؛ وهكذا، قمت برسم نقطة على الرسم البياني.
محو الخطوط المنقطة.افعل ذلك بعد رسم جميع النقاط على الرسم البياني على المستوى الإحداثي. ملحوظة: الرسم البياني للدالة f(x) = x هو خط مستقيم يمر عبر مركز الإحداثيات [نقطة بإحداثيات (0,0)]؛ الرسم البياني f(x) = x + 2 هو خط موازي للخط f(x) = x، ولكنه مُزاح لأعلى بمقدار وحدتين وبالتالي يمر عبر النقطة ذات الإحداثيات (0,2) (لأن الثابت هو 2) .
رسم بياني لوظيفة معقدة
أوجد أصفار الدالة.أصفار الدالة هي قيم المتغير x حيث y = 0، أي أن هذه هي النقاط التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور X. ضع في اعتبارك أنه ليست كل الدوال بها أصفار، لكنها الأولى خطوة في عملية الرسم البياني لأي وظيفة. للعثور على أصفار دالة، قم بمساواتها بالصفر. على سبيل المثال:
ابحث عن الخطوط المقاربة الأفقية وحددها.الخط المقارب هو خط يقترب منه الرسم البياني للدالة ولكنه لا يتقاطع معه أبدًا (أي أنه في هذه المنطقة لا يتم تعريف الدالة، على سبيل المثال، عند القسمة على 0). ضع علامة على الخط المقارب بخط منقط. إذا كان المتغير "x" موجودًا في مقام الكسر (على سبيل المثال، y = 1 4 − x 2 (\displaystyle y=(\frac (1)(4-x^(2))))) ، اضبط المقام على الصفر وابحث عن "x". في القيم التي تم الحصول عليها للمتغير "x" لم يتم تعريف الدالة (في مثالنا، ارسم خطوطًا منقطة عبر x = 2 و x = -2)، لأنه لا يمكنك القسمة على 0. لكن الخطوط المقاربة موجودة ليس فقط في الحالات التي تحتوي فيها الدالة التعبير الكسري. لذلك يوصى باستخدام المنطق السليم:
-
تحديد ما إذا كانت الدالة خطية.يتم إعطاء الدالة الخطية بواسطة صيغة النموذج F (x) = k x + b (\displaystyle F(x)=kx+b)أو ص = ك س + ب (\displaystyle y=kx+b)(على سبيل المثال، )، ورسمه البياني عبارة عن خط مستقيم. وبالتالي، تتضمن الصيغة متغيرًا واحدًا وثابتًا واحدًا (ثابتًا) دون أي أسس أو علامات جذر أو ما شابه. إذا تم إعطاء دالة من نوع مماثل، فمن السهل جدًا رسم رسم بياني لهذه الوظيفة. فيما يلي أمثلة أخرى للوظائف الخطية:
استخدم ثابتًا لتحديد نقطة على المحور Y.الثابت (b) هو الإحداثي "y" للنقطة التي يتقاطع فيها الرسم البياني مع المحور Y. أي أنها نقطة يساوي إحداثيها "x" 0. وبالتالي، إذا تم استبدال x = 0 في الصيغة ، ثم ص = ب (ثابت). في مثالنا ص = 2 س + 5 (\displaystyle y=2x+5)الثابت يساوي 5، أي أن نقطة التقاطع مع المحور Y لها إحداثيات (0.5). ضع هذه النقطة على خطة تنسيق.
يجد ميلمستقيم.وهو يساوي مضاعف المتغير. في مثالنا ص = 2 س + 5 (\displaystyle y=2x+5)مع المتغير "x" هناك عامل 2؛ وبالتالي فإن معامل الميل يساوي 2. ويحدد معامل الميل زاوية ميل الخط المستقيم إلى المحور X، أي أنه كلما زاد معامل الميل، زادت سرعة الدالة أو نقصانها.
اكتب الميل في صورة كسر.المعامل الزاوي يساوي ظل زاوية الميل، أي نسبة المسافة العمودية (بين نقطتين على خط مستقيم) إلى المسافة الأفقية (بين نفس النقاط). في مثالنا، الميل هو 2، لذلك يمكننا أن نذكر أن المسافة الرأسية هي 2 والمسافة الأفقية هي 1. اكتب هذا في صورة كسر: 2 1 (\displaystyle (\frac (2)(1))).
1. الدالة الخطية الكسرية ورسمها البياني
دالة من النموذج y = P(x) / Q(x)، حيث P(x) وQ(x) كثيرات الحدود، تسمى دالة عقلانية كسرية.
ربما تكون على دراية بمفهوم الأعداد العقلانية. على نفس المنوال وظائف عقلانية هي الدوال التي يمكن تمثيلها كحاصل اثنين من كثيرات الحدود.
إذا كانت الدالة الكسرية هي حاصل دالتين خطيتين - كثيرات الحدود من الدرجة الأولى، أي. وظيفة النموذج
y = (ax + b) / (cx + d) ويسمى خطيًا كسريًا.
لاحظ أنه في الدالة y = (ax + b) / (cx + d)، c ≠ 0 (وإلا تصبح الدالة خطية y = ax/d + b/d) وأن a/c ≠ b/d (وإلا فإن الدالة ثابتة). يتم تعريف الدالة الكسرية الخطية لجميع الأعداد الحقيقية باستثناء x = -d/c. الرسوم البيانية للدوال الخطية الكسرية لا تختلف في الشكل عن الرسم البياني y = 1/x الذي تعرفه. يسمى المنحنى الذي يمثل رسمًا بيانيًا للدالة y = 1/x مقارنة مبالغ فيها. مع زيادة غير محدودة في x قيمه مطلقهالدالة y = 1/x تتناقص إلى أجل غير مسمى في القيمة المطلقة وكلا فرعي الرسم البياني يقتربان من المحور السيني: يقترب اليمين من الأعلى، واليسار من الأسفل. الخطوط التي تسمى فروع نهج القطع الزائد لها الخطوط المقاربة.
مثال 1.
ص = (2س + 1) / (س – 3).
حل.
لنحدد الجزء بالكامل: (2س + 1) / (س – 3) = 2 + 7/(س – 3).
من السهل الآن أن نرى أن الرسم البياني لهذه الدالة يتم الحصول عليه من الرسم البياني للدالة y = 1/x عن طريق التحويلات التالية: التحول بمقدار 3 وحدات إلى اليمين، والتمدد على طول محور Oy 7 مرات والتحول بمقدار 2 وحدات الوحدة إلى أعلى.
يمكن كتابة أي جزء y = (ax + b) / (cx + d) بطريقة مماثلة، مع تحديد "الجزء الصحيح". وبالتالي، فإن الرسوم البيانية لجميع الدوال الخطية الكسرية عبارة عن قطع زائدة، يتم إزاحتها بطرق مختلفة على طول محاور الإحداثيات وتمتد على طول محور أوي.
لبناء رسم بياني لأي تعسفي دالة خطية كسريةليس من الضروري على الإطلاق تحويل الكسر الذي يحدد هذه الوظيفة. وبما أننا نعلم أن الرسم البياني عبارة عن قطع زائد، فسيكون كافيًا العثور على الخطوط المستقيمة التي تقترب منها فروعه - الخطوط المقاربة للقطع الزائد x = -d/c و y = a/c.
مثال 2.
أوجد الخطوط المقاربة للرسم البياني للدالة y = (3x + 5)/(2x + 2).
حل.
لم يتم تعريف الدالة، عند x = -1. هذا يعني أن الخط المستقيم x = -1 يعمل كخط مقارب رأسي. للعثور على الخط المقارب الأفقي، دعونا نكتشف ما تقترب منه قيم الدالة y(x) عندما تزداد قيمة الوسيطة x في القيمة المطلقة.
للقيام بذلك، قم بتقسيم البسط والمقام للكسر على x:
ص = (3 + 5/س) / (2 + 2/س).
مثل x → ∞ سيميل الكسر إلى 3/2. وهذا يعني أن الخط المقارب الأفقي هو الخط المستقيم y = 3/2.
مثال 3.
ارسم بيانيًا الدالة y = (2x + 1)/(x + 1).
حل.
لنختار "الجزء الكامل" من الكسر:
(2س + 1) / (س + 1) = (2س + 2 – 1) / (س + 1) = 2(س + 1) / (س + 1) – 1/(س + 1) =
2 - 1/(س + 1).
من السهل الآن أن نرى أنه تم الحصول على الرسم البياني لهذه الدالة من الرسم البياني للدالة y = 1/x عن طريق التحويلات التالية: التحول بمقدار وحدة واحدة إلى اليسار، والعرض المتماثل فيما يتعلق بالثور والتحول بمقدار قطعتان من الوحدات على طول محور أوي.
المجال D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).
نطاق القيم E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).
نقاط التقاطع مع المحاور: ج أوي: (0؛ 1)؛ ج الثور: (-1/2؛ 0). تزداد الوظيفة عند كل فاصل زمني لمجال التعريف.
الجواب: الشكل 1.
2. وظيفة عقلانية كسرية
فكر في دالة عقلانية كسرية من النموذج y = P(x) / Q(x)، حيث P(x) وQ(x) متعددو الحدود بدرجة أعلى من الأولى.
أمثلة على هذه الوظائف العقلانية:
ص = (س 3 - 5س + 6) / (س 7 - 6) أو ص = (س - 2) 2 (س + 1) / (س 2 + 3).
إذا كانت الدالة y = P(x) / Q(x) تمثل حاصل قسمة كثيرتي الحدود بدرجة أعلى من الأولى، فسيكون الرسم البياني لها، كقاعدة عامة، أكثر تعقيدًا، وقد يكون من الصعب في بعض الأحيان بناؤه بدقة ، بكل التفاصيل. ومع ذلك، غالبًا ما يكفي استخدام تقنيات مشابهة لتلك التي قدمناها أعلاه.
دع الكسر يكون كسرًا مناسبًا (ن< m). Известно, что любую несократимую جزء عقلانييمكن للمرء أن يتخيل، وعلاوة على ذلك الطريقة الوحيدة، كمجموع عدد محدود الكسور الأولية، يتم تحديد شكلها عن طريق تحليل مقام الكسر Q(x) إلى منتج العوامل الحقيقية:
P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+
L 1 /(x – K s) مللي ثانية + L 2 /(x – K s) مللي ثانية-1 + … + L مللي ثانية /(x – K s) + …+
+ (ب 1 س + ج 1) / (س 2 + ع 1 س + ف 1) م1 + … + (ب م1 س + ج م1) / (س 2 + ع 1 س + ف 1) + …+
+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).
من الواضح أنه يمكن الحصول على الرسم البياني للدالة الكسرية كمجموع الرسوم البيانية للكسور الأولية.
رسم الرسوم البيانية للوظائف العقلانية الكسرية
دعونا نفكر في عدة طرق لإنشاء رسوم بيانية لدالة عقلانية كسرية.
مثال 4.
ارسم رسمًا بيانيًا للدالة y = 1/x 2 .
حل.
نستخدم الرسم البياني للدالة y = x 2 لإنشاء رسم بياني لـ y = 1/x 2 واستخدام تقنية "تقسيم" الرسوم البيانية.
المجال D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).
نطاق القيم E(y) = (0; +∞).
لا توجد نقاط تقاطع مع المحاور. الوظيفة متساوية. الزيادات لجميع x من الفاصل الزمني (-∞; 0)، والنقصان لـ x من 0 إلى +∞.
الجواب: الشكل 2.
مثال 5.
ارسم بيانيًا الدالة y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).
حل.
المجال D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).
ص = (س 2 – 4س + 3) / (9 – 3س) = (س – 3)(س – 1) / (-3(س – 3)) = -(س – 1)/3 = -س/ 3 + 1/3.
استخدمنا هنا تقنية التحليل والاختزال والاختزال إلى دالة خطية.
الجواب: الشكل 3.
مثال 6.
ارسم بيانيًا الدالة y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1).
حل.
مجال التعريف هو D(y) = R. وبما أن الدالة زوجية، فإن الرسم البياني يكون متماثلًا حول الإحداثي. قبل بناء الرسم البياني، دعونا نحول التعبير مرة أخرى، مع تسليط الضوء على الجزء بأكمله:
ص = (س 2 - 1)/(س 2 + 1) = 1 - 2/(س 2 + 1).
لاحظ أن عزل الجزء الصحيح في صيغة الدالة الكسرية هو أحد أهم العناصر عند إنشاء الرسوم البيانية.
إذا كانت x → ±∞، فإن y → 1، على سبيل المثال. الخط المستقيم y = 1 هو خط مقارب أفقي.
الجواب: الشكل 4.
مثال 7.
لنفكر في الدالة y = x/(x 2 + 1) ونحاول العثور على أكبر قيمة لها بدقة، أي. أكثر نقطة عاليةالنصف الأيمن من الرسم البياني. إن معرفة اليوم ليست كافية لبناء هذا الرسم البياني بدقة. من الواضح أن منحنىنا لا يمكن أن "يرتفع" عاليًا جدًا، لأنه يبدأ المقام بسرعة في "تجاوز" البسط. دعونا نرى ما إذا كانت قيمة الدالة يمكن أن تساوي 1. للقيام بذلك، نحتاج إلى حل المعادلة x 2 + 1 = x، x 2 - x + 1 = 0. هذه المعادلة لا تحتوي على جذور حقيقية. وهذا يعني أن افتراضنا غير صحيح. للعثور على أكثر أهمية عظيمةدالة، عليك أن تعرف عند أي حجم أكبر A سيكون للمعادلة A = x/(x 2 + 1) حل. لنستبدل المعادلة الأصلية بمعادلة تربيعية: Аx 2 – x + А = 0. هذه المعادلة لها حل عندما 1 – 4А 2 ≥ 0. ومن هنا نجد أعلى قيمةأ = 1/2. 
الإجابة: الشكل 5، الحد الأقصى لـ y(x) = ½.
لا تزال لديك أسئلة؟ لا أعرف كيفية الرسم البياني للوظائف؟
للحصول على مساعدة من المعلم، قم بالتسجيل.
الدرس الأول مجاني!
موقع الويب، عند نسخ المادة كليًا أو جزئيًا، يلزم وجود رابط للمصدر.
تسمى الدالة y=x^2 دالة تربيعية. جدول وظيفة من الدرجة الثانيةهو القطع المكافئ. الشكل العاميظهر القطع المكافئ في الشكل أدناه.
وظيفة من الدرجة الثانية
الشكل 1. منظر عام للقطع المكافئ
كما يتبين من الرسم البياني، فهو متماثل حول محور أوي. يُسمى محور أوي بمحور تناظر القطع المكافئ. وهذا يعني أنه إذا قمت برسم خط مستقيم على الرسم البياني موازيًا لمحور الثور فوق هذا المحور. وبعد ذلك سوف يتقاطع مع القطع المكافئ عند نقطتين. المسافة من هذه النقاط إلى محور أوي ستكون هي نفسها.
يقسم محور التماثل الرسم البياني للقطع المكافئ إلى قسمين. وتسمى هذه الأجزاء فروع القطع المكافئ. ونقطة القطع المكافئ التي تقع على محور التماثل تسمى رأس القطع المكافئ. أي أن محور التماثل يمر عبر قمة القطع المكافئ. إحداثيات هذه النقطة هي (0;0).
الخصائص الأساسية للدالة التربيعية
1. عند x =0، وy=0، وy>0 عند x0
2. تصل الدالة التربيعية إلى أدنى قيمة لها عند رأسها. يمين عند x=0; تجدر الإشارة أيضًا إلى أن الدالة ليس لها قيمة قصوى.
3. الدالة تتناقص على الفترة (-∞;0] وتزيد على الفترة. حل المعادلة \(x"\left(t \right) = 0,\) نحدد النقاط الثابتة للدالة \(x\ left(t \right):\ ) \[ (x"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3(t^2) + 2t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow (t_(1, 2)) = \frac(( - 2 \pm \sqrt (16) ))(6) = - 1;\;\frac(1)(3).) \] لـ \ (t = 1\) تصل الدالة \ (x\left(t \right)\) إلى الحد الأقصى يساوي \وفي النقطة \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\) لديها الحد الأدنى يساوي \[ (x\left(( \frac(1)(3)) \right)) ) = ((\left((\frac(1)(3)) \right)^3) + (\ left((\frac(1)(3)) \right)^2) - \left((\frac(1)(3)) \right)) ) = (\frac(1)((27)) + \ frac(1)(9) - \frac(1 )(3) = - \frac(5)((27)).) \] خذ بعين الاعتبار المشتق \(y"\left(t \right):\) \ [ (y"\left(t \right) = ( \left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right)^\prime ) ) = (3(t^2) + 4t - 4.) \] أوجد النقاط الثابتة للدالة \(y \left(t \right):\) \[ (y"\left(t \right) = 0,)\;\; (\Rightarrow 3 (t^2) + 4t - 4 = 0,)\;\ ; (\Rightarrow (t_(1,2)) = \frac(( - 4 \pm \sqrt (64) ))(6) = - 2 ;\;\frac(2)(3).) \] هنا، بالمثل، تصل الدالة \(y\left(t \right)\) إلى الحد الأقصى عند النقطة \(t = -2:\) \ و الحد الأدنى عند النقطة \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize :\) \[ (y\left((\frac(2)(3)) \right) ) = ((\left ((\frac(2)(3)) \يمين)^3) + 2(\ يسار((\frac(2)(3)) \يمين)^2) - 4 \cdot \frac(2)(3) ) ) = (\frac(8)((27)) + \frac(8)( 9) - \frac(8)(3) ) = ( - \frac((40))((27)).) \] تظهر الرسوم البيانية للوظائف \(x\left(t \right)\)، \(y\ left(t \right)\) بشكل تخطيطي في الشكل \(15a.\)
الشكل 15 أ |
الشكل 15 ب |
الشكل 15 ج |
لاحظ أنه بما أن \[ (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) x\left(t \right) = \pm \infty ,)\;\;\; (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) y\left(t \right) = \pm \infty ,) \] فإن المنحنى \(y\left(x \right)\) ليس له رأسية، لا الخطوط المقاربة الأفقية. علاوة على ذلك، بما أن \[ (k = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((y\left(t \right)))((x\left(t \right))) ) = ( \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac(((t^3) + 2(t^2) - 4t))(((t^3) + (t^2) - t)) ) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \frac((1 + \frac(2)(t) - \frac(4)(((t^2))))))(( 1 + \frac(1)(t) - \frac(1)(((t^2))))) = 1,) \] \[ (b = \lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left[ (y\left(t \right) - kx\left(t \right)) \right] ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\cancel(\ color (أزرق)(t^3)) + \color(أحمر)(2(t^2)) - \color(أخضر)(4t) - \cancel(\color(blue)(t^3)) - \ color (أحمر)(t^2) + \color(green)(t)) \right) ) = (\lim\limits_(t \to \pm \infty ) \left((\color(red)(t^ 2 ) - \color(green)(3t)) \right) = + \infty ,) \] فإن المنحنى \(y\left(x \right)\) لا يحتوي أيضًا على خطوط مقاربة مائلة.
لنحدد نقاط تقاطع الرسم البياني \(y\left(x \right)\) مع محاور الإحداثيات. يحدث التقاطع مع المحور السيني في النقاط التالية: \[ (y\left(t \right) = (t^3) + 2(t^2) - 4t = 0,)\;\; (\Rightarrow t\left(((t^2) + 2t - 4) \right) = 0;) \]
\(((t^2) + 2t - 4 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 4 - 4 \cdot \left(( - 4) \right) = 20,)\;\; (\ السهم الأيمن (t_(2,3)) = \كبير\frac(( - 2 \pm \sqrt (20) ))(2)\normalsize = - 1 \pm \sqrt 5 .) \)
\(((t^2) + t - 1 = 0,)\;\; (\Rightarrow D = 1 - 4 \cdot \left(( - 1) \right) = 5,)\;\; (\ السهم الأيمن (t_(2,3)) = \large\frac(( - 1 \pm \sqrt (5) ))(2)\الحجم الطبيعي.) \)
في الفاصل الزمني الثاني \(\left(( - 2, - 1) \right)\) يزداد المتغير \(x\) من \(x\left(( - 2) \right) = - 2\) إلى \ (x \left(( - 1) \right) = 1,\) ويتناقص المتغير \(y\) من \(y\left(( - 2) \right) = 8\) إلى \(y\left (( - 1) \right) = 5.\) لدينا هنا قسم من المنحنى المتناقص \(y\left(x \right).\) يتقاطع مع المحور الإحداثي عند النقطة \(\left((0.3 + 2\sqrt 5 ) \يمين).\)
في الفاصل الزمني الثالث \(\left(( - 1,\large\frac(1)(3)\normalsize) \right)\) ينخفض كلا المتغيرين. تتغير قيمة \(x\) من \(x\left(( - 1) \right) = 1\) إلى \(x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right ) = - \large\frac(5)((27))\normalsize.\) وبناءً على ذلك، تنخفض قيمة \(y\) من \(y\left(( - 1) \right) = 5\) إلى \(y\ left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize.\) منحنى \(y\left(x) \right)\ ) يتقاطع مع أصل الإحداثيات.
في الفاصل الزمني الرابع \(\left((\large\frac(1)(3)\normalsize,\large\frac(2)(3)\normalsize) \right)\) يزداد المتغير \(x\) من \( x\left((\large\frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(5)((27))\normalsize\) إلى \(x\left((\ كبير\ frac(2)(3)\normalsize) \right) = \large\frac(2)((27))\normalsize,\) ويتناقص المتغير \(y\) من \(y\left(( \large\ frac(1)(3)\normalsize) \right) = - \large\frac(29)((27))\normalsize\) إلى \(y\left((\large\frac(2)( 3)\ Normalsize) \right) = - \large\frac(40)((27))\normalsize.\) في هذا القسم، يتقاطع المنحنى \(y\left(x \right)\) مع المحور الإحداثي عند النقطة \(\left( (0.3 - 2\sqrt 5 ) \right).\)
أخيرًا، في الفاصل الزمني الأخير \(\left((\large\frac(2)(3)\normalsize, + \infty ) \right)\) كلتا الدالتين \(x\left(t \right)\), \ ( y\left(t \right)\) زيادة. يتقاطع المنحنى \(y\left(x \right)\) مع المحور x عند النقطة \(x = - 9 + 5\sqrt 5 \approx 2.18.\)
لتوضيح شكل المنحنى \(y\left(x \right)\)، دعونا نحسب النقاط القصوى والدنيا. يتم التعبير عن المشتق \(y"\left(x \right)\) كـ \[ (y"\left(x \right) = (y"_x) ) = (\frac(((y"_t))) ( ((x"_t)))) = (\frac(((\left(((t^3) + 2(t^2) - 4t) \right))^\prime )))((( ( \left(((t^3) + (t^2) - t) \right))^\prime ))) ) = (\frac((3(t^2) + 4t - 4))(( 3 (t^2) + 2t - 1)) ) = (\frac((\cancel(3)\left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \ يمين)))((\cancel(3)\left((t + 1) \right)\left((t - \frac(1)(3)) \right)))) ) = (\frac(( \ left((t + 2) \right)\left((t - \frac(2)(3)) \right)))(\left((t + 1) \right)\left((t - \ frac(1)(3)) \right))).) \] يظهر التغير في إشارة المشتق \(y"\left(x \right)\) في الشكل \(15c.\) يمكن يمكن ملاحظة ذلك عند النقطة \(t = - 2,\) أي. عند حدود الفاصلين \(I\)-th و \(II\)-th، يكون للمنحنى حد أقصى، وعند \(t = \large\frac(2)(3)\normalsize\) (عند حدود \(IV\) الفواصل الزمنية و\(V\)th) هناك حد أدنى. عند المرور بالنقطة \(t = \large\frac(1)(3)\normalsize\)، تتغير إشارة المشتق أيضًا من علامة زائد إلى علامة ناقص، ولكن في هذه المنطقة يكون المنحنى \(y\left(x \right) \) ليست وظيفة فريدة. ولذلك فإن النقطة المشار إليها ليست نقطة متطرفة.
نحن ندرس أيضًا تحدب هذا المنحنى. المشتق الثاني\(y""\left(x \right)\) له الصيغة: \[ y""\left(x \right) = (y""_(xx)) = \frac(((\left( ( (y"_x)) \right))"_t)))(((x"_t))) = \frac(((\left((\frac((3(t^2) + 4t - 4) ) )((3(t^2) + 2t - 1))) \يمين))^\رئيسي )))(((\left(((t^3) + (t^2) - t) \ يمين )^\prime ))) = \frac((\left((6t + 4) \right)\left((3(t^2) + 2t - 1) \right) - \left((3( t ^2) + 4t - 4) \يمين)\left((6t + 2) \right)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3 ) ) = \frac((18(t^3) + 12(t^2) + 12(t^2) + 8t - 6t - 4 - \left((18(t^3) + 24(t^ 2 ) - 24t + 6(t^2) + 8t - 8) \يمين)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \ فارك ((\cancel(\color(blue)(18(t^3))) + \color(red)(24(t^2)) + \color(green)(2t) - \color(maroon) ( 4) - \cancel(\color(blue)(18(t^3))) - \color(red)(30(t^2)) + \color(green)(16t) + \color(maroon) ( 8)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - \color(red)(6(t^2) ) ) + \color(أخضر)(18t) + \color(كستنائي)(4)))(((\left((3(t^2) + 2t - 1) \right))^3))) = \frac(( - 6\left((t - \frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right)\left((t - \frac((9 + \sqrt (105) ) )(6)) \يمين)))(((\left((t + 1) \right))^3)((\left((3t - 1) \right))^3))). \] وبالتالي فإن المشتق الثاني يغير إشارته إلى العكس عند المرور بالنقاط التالية (الشكل\(15с\)): \[ ((t_1) = - 1:\;\;x\left(( - 1 ) \يمين ) = 1,)\;\; (y\left(( - 1) \right) = 5;) \] \[ ((t_2) = \frac((9 - \sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0.24;)\;\; (y\left((\frac((9 - \sqrt (105) ))(6)) \right) \approx 0.91;) \] \[ ((t_3) = \frac(1)(3) :) \;\; (x\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac(5)((27)),)\;\; (y\left((\frac(1)(3)) \right) = - \frac((29))((27));) \] \[ ((t_4) = \frac((9 + \ sqrt (105) ))(6):)\;\; (x\left((\frac((9 + \sqrt (105)))(6)) \right) \approx 40.1;)\;\; (y\left((\frac((9 + \sqrt (105)))(6)) \right) \approx 40.8.) \] لذلك، تمثل النقاط المشار إليها نقاط انعطاف المنحنى \(y\left( س \يمين).\)
يظهر الرسم البياني التخطيطي للمنحنى \(y\left(x \right)\) أعلاه في الشكل \(15b.\)
