Назад
Вперёд
Внимание! Предварительный просмотр слайдов используется исключительно в ознакомительных целях и может не давать представления о всех возможностях презентации. Если вас заинтересовала данная работа, пожалуйста, загрузите полную версию.
Цель урока. Решение уравнений с параметрами и модулями, применяя свойства функций в неожиданных ситуациях и освоение геометрических приемов решения задач. Нестандарные уравнения.
Задачи:
- Образовательные : научить решать некоторые виды уравнений уравнений модулями и параметрами;
- Развивающие : развивать культуру мысли, культуру речи и умение работать с тетрадью и доской.
- Воспитательные : воспитывать самостоятельность и умение преодолевать трудности.
Оборудование: наглядный материал для устного счёта и объяснения новой темы. Интерактивная доска, мультимедийное оборудование урока.
Структура урока:
- Повторение изученного материала (устный счёт).
- Изучение нового материала.
- Закрепление изученного материала.
- Итог урока.
- Домашнее задание.
ХОД УРОКА
1. Повторение важнейшего теоретического материала по темам: «Уравнения, содержащие модуль», «Решение уравнений с параметрами»
1) «Уравнения, содержащие модуль»
Абсолютной величиной или модулем числа a называется число a , если a > 0, число – a , если a < 0, нуль, если a = 0. Или
Из определения следует, что | a
| >
0
и | a
| >
a
для всех a
€ R .
Неравенство | x
| < a
, (если a
> 0) равносильно двойному неравенству – a
<
х
< a
.
Неравенство | x
| < a
, (если a
< 0)
не имеет смысла, так как | х | >0.
Неравенство | x
| > a
, (если a
> 0)
равносильно двум неравенствам
Неравенство | x
| > a
, (если a
< 0)
справедливо для любого х
€ R.
2) «Решение уравнений с параметрами»
Решить уравнение с параметрами – значит указать, при каких значениях параметров существуют решения и каковы они.
а) определить множество допустимых значений неизвестного и параметров;
б) для каждой допустимой системы значений параметров найти соответствующие множества решений уравнения.
2. Устные упражнения
1. Решить уравнение | x – 2 | = 5; Ответ : 7; – 3
| x – 2 | = – 5; Ответ : решения нет
| x – 2 | = х + 5; Ответ : решения нет; 1,5
| x – 2 | = | x + 5 |; Ответ : решения нет; – 1,5; решения нет; – 1,5;
2. Решить уравнение: | x + 3 | + | y – 2 | = 4;
Расcмотрим четыре случая
{ | x + 3 > 0 | { | x > – 3 |
y – 2 > 0 | y > 2 | ||
x + 3 + y – 2 = 4 | y = – x + 3 |
{ | x + 3 > 0 | { | x > – 3 |
y – 2 < 0 | y < 2 | ||
x + 3 – y + 2 = 4 | y = x + 1 |
{ | x + 3 < 0 | { | x < – 3 |
y + 2 > 0 | y > – 2 | ||
– x – 3 – y – 2 = 4 | y = x + 9 |
{ | x + 3 < 0 | { | x < – 3 |
y + 2 < 0 | y < – 2 | ||
– x – 3 – y – 2 = 4 | y = – x – 9 |
В результате мы получаем квадрат, центр которого (–3; 2), а длина диагонали равна 8, причем диагонали параллельны осям координат.
Из наглядных соображений можно сделать вывод: что уравнение вида | х + a | + | у + b | = с ; задает на плоскости квадрат с центром в точке (– а ; – b ), диагоналями параллельными осям OX и ОУ, и длина каждой диагонали равна 2с . Ответ : (– 3; 2).
2. Решить уравнение aх = 1
Ответ : если a = 0, то нет решения; если a = 0, то х = 1/ a
3. Решить уравнение (а 2 – 1) х = а + 1.
Решение .
Нетрудно сообразить, что при решении этого уравнения достаточно рассмотреть такие случаи:
1) а = 1; тогда уравнение принимает вид ОX = 2 и не имеет решения
2) а = – 1; получаем ОX = О, и очевидно х – любое.
1
3) если а
= +
1, то х
= –––
а
– 1
Ответ:
если а
= – 1, то х
– любое;
если а
= 1, то нет решения;
1
если а
= +
1 , то х
= –––
а
– 1
3. Решения примеров (из вариантов С)
1. При каком значении параметра р уравнение | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 | = р имеет четыре корня.
Рассмотрим функцию у = | х 2 – 5х + 6 | + | х 2 – 5х + 4 |
Так как х 2 – 5х + 6 = (х – 2)(х – 3) и х 2 – 5х + 4 = (х – 1)(х – 4), то y = | (х – 2)(х – 3) | + | (х – 1)(х – 4) |, корни квадратных трехчленов отметим на числовой прямой
1 2 3 4 х
Числовая прямая при этом разбивает на 5 промежутков
{ | x < 1 | { | x < 1 |
y = x 2 – 5x + 6 + x 2 – 5x + 4 | y = 2x 2 – 10x + 10 |
{ | 1 < x < 2 | { | 1 < x < 2 |
y = x 2 – 5x + 6 – x 2 + 5x – 4 | y = 2 |
{ | 2 < x < 3 | { | 2 < x <3 |
y = – 2x 2 + 10x – 10 | y = – x 2 + 5x – 6 – x 2 + 5x – 4 |
{ | 3 < x < 4 | { | 3 < x < 4 |
y = 2 | y = x 2 – 5x + 6 – x 2 + 5x – 4 |
{ | x > 4 | { | x > 4 |
y = 2x 2 – 10x + 10 | y = x 2 – 5x + 6 + x 2 –5x + 4 |
Для случая 3) х 0 = – b | 2a = 2, y 0 = 25: 2 + 25 – 10 = 2,5
Итак, (2,5; 2,5) – координаты вершины параболы y = – 2x 2 + 10x – 10.
Построим график функции, заданной равенством
Как видно из рисунка, исходное уравнение имеет четыре корня, если 2 < а < 2,5
Ответ : при 2 < а < 2,5
4. Самостоятельная работа по уровням
1 уровень
1. Решить уравнение х
2 – | x
| = 6
2. При каких целых значениях а имеет единственное
решение уравнение ах
2 – (а
+ 1) + а
2
+ а
= 0?
2 уровень
1. Решить уравнение: | x
– 5 | – | 2x
+ 3 | = 10
а
–12) х
2 + 2 =
2(12 – а
) имеет два различных корня?
3 уровень
1. Решить уравнение | x
– 5 | – | 2x
+ 3| = 10
2. Найти все значениях параметра а, при
которых уравнение (а
– 12) х
2 + 2 = 2(12
– а
) имеет два различных корня?
5. Итог урока
1. Определение модуля.
2. Что значит решить уравнение с параметром?
6. Задание на дом. C5 варианта №11 Ф.Ф. Лысенко. Математика, 2012
Уравнения с параметрами
Математика – единственный совершенный метод, позволяющий провести самого себя за нос. Альберт Эйнштейн
№ 1 Найдите все значения a, при каждом из которых уравнение x² + (a + 5)² = |x + a + 5| + |x – a -5| имеет ровно три корня.
РЕШЕНИЕ Уравнение не изменится, если заменить x числом –x . Следовательно, уравнение имеет чётное число ненулевых решений. Значит, три решения уравнения имеет только тогда, когда одно из них 0. Поставим x = 0 .
Получим: (a + 5)² = 2|a + 5|
Откуда a + 5 = 0 или |a + 5| = 2.
Если a + 5 = 0, уравнение принимает вид x² = 2|x| и имеет ровно три решения: -2, 0, 2. Из a + 5 = 0 получаем: a = -5. Если |a +5| = 2, уравнение принимает вид x² + 4 = |x + 2| + |x – 2|.
2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5. " width="640"
При -2 ≤ x ≤ 2 уравнение имеет единственное решение 0. При x 2 уравнение принимает вид x² - 2x + 4 = 0 и не имеет решений. Аналогично решений нет при x Ответ: a = -5.
№ 2
Найдите все значения параметра a, при котором уравнение f(x) = |2a + 5|x
имеет 6 решений, где f -- чётная периодическая функция, с периодом Т = 2, определённая на всей числовой прямой, причём f(x) = ax², если 0≤x≤1 .
РЕШЕНИЕ Если а = 0, функция f(x) тождественно равна нулю, и её график имеет с прямой y = 5x единственную общую точку.
0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен. " width="640"
Пусть а = 0, (рис. 1). Решение х = 0 есть при всех а. Нужно ещё ровно пять решений. Единственный возможный случай показан на рисунке: прямая проходит через точку (5 ; а). Составим уравнение |2a + 5| ∙ 5 = a. Так как а 0, то 9а = -25. Положительных решений нет. Следовательно, случай а 0 невозможен.
№ 3 Найдите все значения а, при каждом из которых функция f(x) = x² - 3|x - a²| - 5x имеет более двух точек экстремума. РЕШЕНИЕ При х ≥ а² f (x) = x² - 8x + 3a², поэтому график функции есть часть параболы с ветвями, направленными вверх, и осью симметрии х = 4.
Обе параболы проходят через точку (а² ; f(a²)). Функция y = f(x) имеет более двух точек экстремума, а именно три, в единственном случае (рис. 1): 1
Ответ: -2
СПАСИБО ЗА ВНИМАНИЕ!
«Линейное уравнение с двумя переменными» - Равенство, содержащее две переменные, называется уравнением с двумя переменными. -Что называется уравнением с двумя переменными? Приведите примеры. -Какое уравнение с двумя переменными называется линейным? Линейное уравнение с двумя переменными. Определение: Алгоритм доказательства, что данная пара чисел является решением уравнения:
«Решение показательных уравнений» - Сведение к одному основанию. Вынесение за скобки. Т. Виета. Графический способ. Показательным уравнением называют уравнение, содержащее переменную в показателе степени. Решение показательных уравнений. Устная работа. ab+ac=a(b+c). Степени. 2.Решить уравнение: Свойство. Виды и способы решения показательных уравнений.
«Графический способ решения уравнений» - Ответ: один корень, х=-1. Два корня. Решить графически уравнение (х+1)/(х-2)=2. Построить график функции y=x?+6x+8. Практикум по решению уравнений графическим способом Подготовка к зачету. Построить графики функций. Построить график функции y=(x+1)/(x-2). 1. Перенесем 8 в правую часть уравнения. Корней нет.
«Решение целых уравнений» - «Уравнения, в которых скопом Корни, степень, неравенств бездна. Три великих математика. Удачи в дальнейшем изучении методов решения уравнений. Осевая симметрия присуща большинству видов растений и животных. Центральная. В животном мире 2 вида симметрии. Диктант. Осевая. Определите методы решения уравнений.
«Уравнения с логарифмами» - Логарифмические уравнения. Реши устно уравнения. Формулы преобразования логарифмов. Уравнение. Определение. Таблицы логарифмов. Определение логарифма. Определение и свойства логарифма. Логарифмическая линейка. Функция. Наушники или колонки. Область определения. Подходы к решению. Решить уравнение. Гимназия.
«Иррациональные уравнения» - На контроль д/з выполнили: №419 (в,г) Сафиуллина, №418(в,г) Кульмухаметов, №420(в,г)Шагеев. 2 урок Решение систем уравнений. Урок 1 Тема: Решение иррациональных уравнений. 1.Какие из следующих уравнений являются иррациональными: Цели: Познакомить учащихся с решениями некоторых видов иррациональных уравнений.
Всего в теме 49 презентаций
Цель:
- повторить решение систем линейных уравнений с двумя переменными
- дать определение системы линейных уравнений с параметрами
- научит решать системы линейных уравнений с параметрами.
Ход урока
- Организационный момент
- Повторение
- Объяснение новой темы
- Закрепление
- Итог урока
- Домашнее задание
2. Повторение:
I. Линейное уравнение с одной переменной:
1. Дайте определение линейного уравнения с одной переменной
[Уравнение вида ax=b, где х – переменная, а и b некоторые числа, называется линейным уравнением с одной переменной]
2. Сколько корней может иметь линейное уравнение?
[- Если а=0, b0, то уравнение не имеет решений, х
Если а=0, b=0, то х R
Если а0, то уравнение имеет единственное решение, х =
3. Выясните, сколько корней имеет уравнение (по вариантам)
II. Линейное уравнение с 2 –мя переменными и система линейных уравнений с 2- мя переменными.
1. Дайте определение линейного уравнения с двумя переменными. Приведите пример.
[Линейным уравнением с двумя переменными называются уравнения вида ах +by=с, где х и у – переменные, а, b и с – некоторые числа. Например, х-у=5]
2. Что называется решением уравнения с двумя переменными?
[Решением уравнения с двумя переменными называются пара значений переменных, обращающие это уравнение в верное равенство.]
3. Является ли пара значений переменных х = 7, у = 3 решением уравнения 2х + у = 17?
4. Что называется графиком уравнения с двумя переменными?
[Графиком уравнения с двумя переменными называется множество всех точек координатной плоскости, координаты которых является решениями этого уравнения.]
5. Выясните, что представляет собой график уравнения:
[Выразим переменную у через х: у=-1,5х+3
Формулой у=-1,5х+3 является линейная функция, графиком которой служит прямая. Так как, уравнения 3х+2у=6 и у=-1,5х+3 равносильны, то эта прямая является и графиком уравнения 3х+2у=6]
6. Что является графиком уравнения ах+bу=с с переменными х и у, где а0 или b0?
[Графиком линейного уравнения с двумя переменными, в котором хотя бы один из коэффициентов при переменных не равен нулю, является прямая.]
7. Что называется решением системы уравнений с двумя переменными?
[Решением системы уравнений с двумя переменными называется пара значений переменных, обращающая каждое уравнение системы в верное равенство]
8. Что значит решить систему уравнений?
[Решить систему уравнений – значит найти все ее решения или доказать, что решений нет.]
9. Выясните, всегда ли имеет такая система решения и если имеет, то сколько (графическим способом).
10. Сколько решений может иметь система двух линейных уравнений с двумя переменными?
[Единственное решение, если прямые пересекаются; не имеет решений, если прямые параллельны; бесконечно много, если прямые совпадают]
11. Каким уравнением обычно задается прямая?
12. Установите связь между угловыми коэффициентами и свободными членами:
I вариант:
k 1 = k 2 , b 1 b 2, нет решений; |
II вариант:
k 1 k 2 , одно решение; |
III вариант:
k 1 = k 2 , b 1 = b 2, много решений. |
Вывод:
- Если угловые коэффициенты прямых являющихся графиками этих функций различны, то эти прямые пересекаются и система имеет единственное решение.
- Если угловые коэффициенты прямых одинаковы, а точки пересечения с осью у различны, то прямые параллельны, а система не имеет решений.
- Если угловые коэффициенты и точки пересечения с осью у одинаковы, то прямые совпадают и система имеет бесконечно много решений.
На доске таблица, которую постепенно заполняет учитель вместе с учениками.
III. Объяснение новой темы.
Определение: Система вида
- A 1 x+B 1 y=C
- A 2 x+B 2 y=C 2
где A 1, A 2, B 1 ,B 2, C 1 C 2 – выражения, зависящие от параметров, а х и у – неизвестные, называется системой двух линейных алгебраических уравнений с двумя неизвестными в параметрах.
Возможны следующие случаи:
1) Если , то система имеет единственное решение
2) Если , то система не имеет решений
3) Если , то система имеет бесконечно много решений.
IV. Закрепление
Пример 1.
При каких значениях параметра а система
- 2х - 3у = 7
- ах - 6у = 14
а) имеет бесконечное множество решений;
б) имеет единственное решение
Ответ:
а) если а=4, то система имеет бесконечное множество решений;
б) если а 4, то решение единственное.
Пример 2.
Решите систему уравнений
- x+(m+1)y=1
- x+2y=n
Решение: а) , т.е. при m1 система имеет единственное решение.
б) , т.е. при m=1 (2=m+1) и n1 исходная система решений не имеет
в) , при m=1 и n=1 система имеет бесконечно много решений.
Ответ: а) если m=1 и n1, то решений нет
б) m=1 и n=1, то решение бесконечное множество
- у - любое
- x=n-2y
в) если m1 и n - любое, то
Пример 3.
- ах-3ау=2а+3
- х+ау=1
Решение: Из II уравнения найдем х=1-ау и подставим в I уравнение
а(1-ау)-3ау=2а+3
а-а 2 у-3ау=2а+3
А 2 у-3ау=а+3
А(а+3)у=а+3
Возможны случаи:
1) а=0. Тогда уравнение имеет вид 0*у=3 [у ]
Следовательно, при а=0 система не имеет решений
2) а=-3. Тогда 0*у=0.
Следовательно, у . При этом х=1-ау=1+3у
3) а0 и а-3. Тогда у=-, х=1-а(-=1+1=2
Ответ:
1) если а=0, то (х; у)
2) если а=-3, то х=1+3у, у
3) если а 0 и а?-3, то х=2, у=-
Рассмотрим II способ решения системы (1).
Решим систему (1) методом алгебраического сложения: вначале умножим первое уравнение системы на В 2, второе на – В 1 и сложим почленно эти уравнения, исключив, таким образом, переменную у:
Т.к. А 1 В 2 -А 2 В 1 0, то х =
Теперь исключим переменную х. Для этого умножим первое уравнение системы (1) на А 2 , а второе на – А 1 , и оба уравнения сложим почленно:
- А 1 А 2 х +А 2 В 1 у=А 2 С 1
- -А 1 А 2 х-А 1 В 2 у=-А 1 С 2
- у(А 2 В 1 -А 1 В 2)=А 2 С 1 -А 1 С 2
т.к. А 2 В 1 -А 1 В 2 0 у =
Для удобства решения системы (1) введем обозначения:
- главный определитель
Теперь решение системы (1) можно записать с помощью определителей:
Приведенные формулы называют формулами Крамера.
Если , то система (1) имеет единственное решение: х=; у=
Если , или , , то система (1) не имеет решений
Если , , , , то система (1) имеет бесконечное множество решений.
В этом случае систему надо исследовать дополнительно. При этом, как правило, она сводится к одному линейному уравнению. В случае часто бывает удобно исследовать систему следующим образом: решая уравнение , найдем конкретные значения параметров или выразим один из параметров через остальные и подставим эти значения параметров в систему. Тогда получим систему с конкретными числовыми коэффициентами или с меньшим числом параметров, которую надо и исследовать.
Если коэффициенты А 1 , А 2 , В 1 , В 2 , системы зависят от нескольких параметров, то исследовать систему удобно с помощью определителей системы.
Пример 4.
Для всех значений параметра а решить систему уравнений
- (а+5)х+(2а+3)у=3а+2
- (3а+10)х+(5а+6)у=2а+4
Решение: Найдем определитель системы:
= (а+5)(5а+6) – (3а+10) (2а+3)= 5а 2 +31а+30-6а 2 -29а-30=-а 2 +2а=а(2-а)
= (3а+2) (5а+6) –(2а+4)(2а+3)=15а 2 +28а+12-4а 2 -14а-12=11а 2 +14а=а(11а+14)
=(а+5) (2а+4)-(3а+10)(3а+2)=2а 2 +14а+20-9а 2 -36а-20=-7а 2 -22а=-а(7а+22)
21x 2 + 55x + 42 = 0, D = 552 − 4 21 42 = 3025 − 3582 < 0.
Ответ: 1; 2.
§6. Решение уравнений с модулями и параметрами
Рассмотрим несколько уравнений, в которых переменная x стоит под знаком модуля. Напомним, что
x , если x ≥ 0,
x = − x , если x < 0.
Пример 1. Решите уравнение:
а) x − 2 = 3; б) x + 1 − 2x − 3 = 1;
x + 2 |
X =1; г) x 2 − |
6; д) 6x 2 − |
x + 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
x − 1 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
а) Если модуль числа равен 3, то это число равно либо 3, либо (− 3 ) , |
||||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. x − 2 = 3, x = 5 или x − 2 = − 3, x = − 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
б) Из определения модуля следует, что |
x + 1 |
X + 1, при x + 1 ≥ 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||
т. е. при x ≥ − 1 и |
x + 1 |
= − x − 1 при x < − 1. Выражение |
2x − 3 |
|||||||||||||||||||||||||||||
2 x − 3, если x ≥ 3 |
и равно − 2 x + 3, если x < 3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||
x < −1 |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||||
− x −1 − |
(− 2 x + 3 ) = 1, из которого следует, что |
x = 5. Но число 5 не |
||||||||||||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x < − 1, следовательно, |
при x < − 1 данное |
|||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение решений не имеет. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 ≤ x < |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||||||||||||||||||||||||||
x + 1− (2x + 3) = 1, из которого следует, что x = 1; |
число 1 удовлетворя- |
|||||||||||||||||||||||||||||||
ет условию − 1 ≤ x < |
||||||||||||||||||||||||||||||||
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
x ≥ |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
||||||||||||||||||
x + 1 − (− 2 x − 3 ) = 1, которое имеет решение x = 3. А так как число 3 |
|||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x ≥ |
то оно является решением уравнения. |
||||||||||||||||||||
x + 2 |
|||||||||||||||||||||
в) Если числитель и знаменатель дроби |
имеют одинаковые |
||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
знаки, то дробь положительна, а если разные – то отрицательна, т. е. |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
x + 2 |
Если x ≤ − 2, если x > 1, |
|||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
Если − 2 < x < 1. |
||||||||||||||||||||
−1 |
|||||||||||||||||||||
При x ≤ − 2 |
ипри x > 1 |
||||||||||||||||||||
исходноеуравнениеравносильноуравнению |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
X =1, x +2 |
X (x −1 ) = x −1, x 2 − x +3 =0. |
|||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
Последнее уравнение не имеет решений. |
|||||||||||||||||||||
При − 2 < x < 1 данное уравнение равносильно уравнению |
|||||||||||||||||||||
x + 2 |
X =1, − x −2 + x 2 − x = x −1, x 2 −3 x −1 = 0. |
||||||||||||||||||||
x − 1 |
|||||||||||||||||||||
Найдём корни этого уравнения: |
|||||||||||||||||||||
x = 3 ± 9 + 4 = 3 ± 13 . |
|||||||||||||||||||||
Неравенствам |
− 2 < x < 1 удовлетворяет число 3 − 13 |
Следова- |
|||||||||||||||||||
тельно, это число является решением уравнения. |
|||||||||||||||||||||
x ≥ 0 данное |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
||||||||||||||||||
x 2 − x −6 = 0, |
корнями которого являются числа 3 и – 2. Число 3 |
||||||||||||||||||||
удовлетворяет условию x > 0, |
а число – 2 не удовлетворяет этому ус- |
ловию, следовательно, только число 3 является решением исходного
x < 0 удовлетворяет число − 3 и не удовлетворяет число 2.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения |
||||||||
x ≥ − 1 данное |
уравнение |
равносильно |
уравнению |
|||||
6 x 2 − x − 1 = 0, находим его корни: x = 1 ± |
25 , x = 1 , x |
= −1 . |
||||||
Оба корня удовлетворяют условию x ≥ − 1, |
следовательно, они яв- |
|||||||
ляются решениями данного уравнения. При |
x < − 1 данное уравнение |
|||||||
равносильно уравнению 6 x 2 + x + 1 = 0, которое не имеет решений. |
||||||||
Пусть заданы выражения f (x , a ) и g (x , a ) , |
зависящие от перемен- |
|||||||
ных x |
и a . |
Тогда уравнение |
f (x, a) = g(x, a) |
относительно перемен- |
ной x называется уравнением с параметром a . Решить уравнение с параметром – это значит при любом допустимом значении параметра найти все решения данного уравнения.
Пример 2. Решитеуравнениепривсехдопустимыхзначенияхпараметра a :
а) ax 2 − 3 = 4 a 2 − 2 x 2 ; б) (a − 3 ) x 2 = a 2 − 9;
в) (a − 1 ) x2 + 2 (a + 1 ) x + (a − 2 ) = 0.
x 2 = |
4a 2 + 3 |
Выражение 4 a 2 |
3 > 0 для любого a ; при a > − 2 име- |
|||||
a + 2 |
||||||||
ем два решения: x = |
4a 2 + 3 |
и x = − |
4a 2 |
Если |
a + 2 < 0, то |
|||
a + 2 |
a + 2 |
|||||||
выражение 4 a 2 + 3 < 0, тогда уравнение не имеет решений. a + 2
Ответ: x = ± |
4a 2 + 3 |
При a > − 2; |
при a ≤ − 2 решений нет. |
|
a + 2 |
||||
то x 2 = a + 3. Если a + 3 = 0, |
||||
б) Если a = 3, то x . Если a ≠ 3, |
||||
т.е. если a = − 3, |
то уравнение имеет единственное решение x = 0. Ес- |
ли a < − 3, то уравнение не имеет решений. Если a > − 3 и a ≠ 3, то уравнение имеет два решения: x 1 = a + 3 и x 2 = − a + 3.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения |
||||||||||||||||||
a = 1 данное уравнение принимает вид |
4x − 1 = 0, |
|||||||||||||||||
x = 1 |
является его решением. При |
a ≠ 1 данное уравнение является |
||||||||||||||||
квадратным, его дискриминант D 1 равен |
||||||||||||||||||
(a + 1 ) 2 − (a − 1 )(a − 2 ) = 5 a − 1. |
||||||||||||||||||
Если 5 a − 1 < 0, т.е. a < 1 , |
то данное уравнение не имеет решений. |
|||||||||||||||||
Если a = |
то уравнение имеет единственное решение |
|||||||||||||||||
a + 1 |
||||||||||||||||||
x = − |
||||||||||||||||||
a − 1 |
−1 |
|||||||||||||||||
Если a > |
и a ≠ 1, |
то данное уравнение имеет два решения: |
||||||||||||||||
x = − (a + 1 ) ± 5 a − 1 . |
||||||||||||||||||
a − 1 |
−(a +1 ) ± |
|||||||||||||||||
1 при |
a = 1; x = 3 |
при a |
; x = |
5a − 1 |
||||||||||||||
a − 1 |
||||||||||||||||||
при a > 1 |
и a ≠ 1; при a < 1 |
уравнение не имеет решений. |
||||||||||||||||
§7. Решение систем уравнений. Решение задач, сводящихся к квадратным уравнениям
В этом параграфе рассмотрим системы, которые содержат уравнения второй степени.
Пример 1. Решить систему уравнений
2x + 3y = 8,
xy = 2.
В этой системе уравнение 2 x + 3 y = 8 является уравнением первой степени, а уравнение xy = 2 – второй. Решим эту систему методом
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
подстановки. Из первого уравнения системы выразим x через y и подставим это выражение для x во второе уравнение системы:
8 − 3y |
4 − |
||||||
y , 4 |
y y = 2. |
||||||
Последнее уравнение сводится к квадратному уравнению
8y − 3y 2 = 4, 3y 2 − 8y + 4 = 0.
Находим его корни: |
|||||||||||||
4 ± 4 |
4 ± 2 |
Y = 2, y |
|||||||||||
Из условия x = 4 − |
получим x = 1, x |
||||||||||||
Ответ: (1;2 ) и |
|||||||||||||
Пример 2. Решите систему уравнений:
x 2 + y 2 = 41,
xy = 20.
Умножим обе части второго уравнения на 2 и сложим с первым
уравнением системы: |
x 2 + y 2 + 2xy = 41 + 20 2, |
(x + y ) 2 = 81, откуда |
||||
следует, что x + y = 9 или x + y = − 9. |
||||||
Если x + y = 9, то |
x = 9 − y . Подставим это выражение для x во |
|||||
второе уравнение системы: |
||||||
(9 − y ) y = 20, y 2 − 9 y + 20 = 0, |
||||||
y = 9 ± 81 − 80 = 9 ± 1 , y = 5, y |
4, x = 4, x = 5. |
|||||
Из условия x + y = − 9 получим решения (− 4; − 5) и (− 5; − 4 ) . |
||||||
Ответ: (± 4;± 5) , (± 5;± 4) . |
||||||
Пример 3. Решите систему уравнений: |
||||||
y = 1, |
||||||
x − |
||||||
x − y |
Запишем второе уравнение системы в виде
( x − y )( x + y ) = 5.
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Используя уравнение x − y = 1, получаем: x + y = 5. Таким образом, получаем систему уравнений, равносильную дан-
x − |
y = 1, |
|
y = 5. |
||
Сложим эти уравнения, получим: 2 x = 6, |
x = 3, x = 9. |
||||||
Подставляя значение x = 9 в первое уравнение |
системы, получа- |
||||||
ем 3 − y = 1, откуда следует, что y = 4. |
|||||||
Ответ: (9;4 ) . |
(x + y)(x |
Y −4 ) = −4, |
|||||
Пример 4. Решите систему уравнений: (x 2 + y 2 ) xy = − 160. |
|||||||
xy = v; |
|||||||
Введём новые переменные |
x + y = u |
||||||
x2 + y2 = x2 + y2 + 2 xy − 2 xy = (x + y) 2 − 2 xy = u2 − 2 v, |
|||||||
u (u −4 ) = −4, |
|||||||
система приводится к виду (u 2 − 2 v ) v = − 160. |
|||||||
Решаем уравнение: |
|||||||
u (u − 4) = − 4, u 2 − 4u + 4 = 0, (u − 2) 2 = 0, u = 2. |
|||||||
Подставляем это значение для u в уравнение: |
|||||||
(u 2 − 2v ) v = − 160, (4 − 2v ) v = − 160, 2v 2 − 4v − 160 = 0, |
|||||||
v 2 − 2v − 80 = 0, v = 1± 1 + 80 = 1± 9, v = 10, v |
= −8. |
||||||
Решаем две системы уравнений: |
|||||||
x + y = 2, |
|||||||
x + y = 2, |
|||||||
и |
|||||||
xy = 10 |
xy = − 8. |
||||||
Обесистемырешаемметодомподстановки. Дляпервойсистемыимеем: |
|||||||
x = 2 − y , ( 2 − y ) y = 10, y 2 − 2 y + 10 = 0. |
Полученное квадратное уравнение не имеет решений. Для второй системы имеем: x = 2 − y , (2 − y ) y = − 8, y 2 − 2 y − 8 = 0.
y = 1 ± 1 + 8 = 1 ± 3, y 1 = 4, y 2 = − 2. Тогда x 1 = − 2 и x 2 = 4. Ответ: (− 2;4 ) и (4; − 2 ) .
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
умноженное на 3, получим:
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Пример 5. Решите систему уравнений:
x2 + 4 xy = 3,
y2 + 3 xy = 2.
Из первого уравнения умноженного на 2, вычтем второе уравнение,
2 x2 − xy − 3 y2 = 0.
Если y = 0, тогда и x = 0, но пара чисел (0;0 ) не является решением исходной системы. Разделим в полученном уравнении обе части ра-
венства на y 2 , |
||||||||||||||||||||||||
1 ± 5 , x = 2 y и x = − y. |
||||||||||||||||||||||||
−3 |
= 0, |
|||||||||||||||||||||||
y |
||||||||||||||||||||||||
Подставляем |
значение |
x = |
3y |
первое уравнение |
||||||||||||||||||||
9 y 2 + 6 y 2 = 3, 11y 2 = 4, y = |
, x = |
, x = − |
||||||||||||||||||||||
Подставляем значение x = − y в первое уравнение системы: y 2 − 4 y 2 = 3, − 3 y 2 = 3.
Решений нет.
Пример 9. Найтивсезначенияпараметра a , прикоторыхсистемауравнений
x2 + ( y − 2 ) 2 = 1,
y = ax2 .
имеет хотя бы одно решение.
Данная система называется системой с параметром. Их можно решить аналитическим методом, т.е. с помощью формул, а можно применить так называемый графический метод.
Заметим, что первое уравнение задаёт окружность с центром в точке (0;2 ) с радиусом 1. Второе уравнение при a ≠ 0 задаёт параболу с вершиной в начале координат.
Если a 2
Вслучаеа) параболакасаетсяокружности. Извторогоуравнениясистемыследу-
ет, что x 2 = y / a , |
подставляем это значения для |
x2 |
в первоеуравнение: |
||||||||||
1 |
|||||||||||||
+(y −2 ) |
= 1, |
+ y |
− 4 y + 4 = 1, y |
4 − a y + 3 |
= 0. |
||||||||
В случае касания в силу симметрии существует единственное значение y , поэтому дискриминант полученного уравнения должен быть
равен 0. Так как ордината y точки касания положительная и т.к.
y = 2 |
− a |
получаем, |
|||||||||||||||
> 0; D |
1 2 |
||||||||||||||||
4 − a |
4 − a |
− 12 = 0, |
4 − a |
> 0 |
|||||||||||||
получаем: 4 |
= 2 |
= 4 −2 |
|||||||||||||||
a = |
4 + 2 3 |
4 + 2 3 |
2 + |
||||||||||||||
( 4 − 2 3)( 4 + 2 3) = |
16 − 12 = |
||||||||||||||||
4 − 2 3 |
Если a > 2 + 2 3 , то парабола будет пересекать окружность в 4 точ-
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна
2010-2011 уч. год., № 5, 8 кл. Математика. Квадратные уравнения
Следовательно, система имеет хотя бы одно решение, если
a ≥ 2 + 2 3 .
Пример 10. Сумма квадратов цифр некоторого натурального двузначного числа на 9 больше удвоенного произведения этих цифр. После деления этого двузначного числа на сумму его цифр в частном получается 4 и в остатке 3. Найти это двузначное число.
Пусть двузначное число равно 10 a + b , где a и b – цифры этого числа. Тогда из первого условия задачи получаем: a 2 + b 2 = 9 + 2 ab , а из второго условия получаем: 10 a + b = 4 (a + b ) + 3.
a2 + b2 = 9 + 2 ab,
Решаем систему уравнений: 6 a − 3 b = 3.
Из второго уравнения системы получаем
6a − 3b = 3, 2a − b = 1, b = 2a − 1.
Подставляемэтозначениедля b впервоеуравнениесистемы:
a 2 + ( 2a − 1) 2 = 9 + 2a ( 2a − 1) , 5a 2 − 4a + 1 = 9 + 4a 2 − 2a ,
a 2 − 2a − 8 = 0, D 1 = 1 + 8 = 9, a = 1 ± 3, a 1 = 4, a 2 = − 2 < 0, b 1 = 7.
Ответ: 47.
Пример 11. После смешения двух растворов, один из которых содержал 48 г, а другой 20 г, безводного йодистого калия, получили 200 г нового раствора. Найдите концентрацию каждого из первоначальных растворов, если концентрация первого раствора была на 15% больше концентрации второго.
Обозначим через x % – концентрацию второго раствора, а через (x + 15 ) % – концентрацию первого раствора.
(x + 15 )% |
x % |
|||
I раствор |
II раствор |
В первом растворе 48 г составляет (x + 15 ) % от веса всего раствора,
поэтому вес раствора равен x 48 + 15 100. Во втором растворе 20 г со-
© 2011, ФЗФТШ при МФТИ. Составитель: Яковлева Тамара Харитоновна