Глава 2
3) числу

поставим в соответствие точку.

Единичную окружность с установленным соответствием назовем

числовой окружностью .

Это вторая геометрическая модель для множества действительных

чисел. Первую модель – числовую прямую – учащиеся уже знают. Есть

аналогия: для числовой прямой правило соответствия (от числа к точке)

почти дословно такое же. Но есть и принципиальное отличие – источник

основных трудностей в работе с числовой окружностью: на прямой каждая

точка соответствует единственному числу, на окружности это не так. Если

окружности соответствует числу, то она соответствует и всем

числам вида

Где – длина единичной окружности, а – целое

Рис. 1

число, показывающее количество полных обходов окружности в ту или иную

сторону.

Этот момент труден для учащихся. Следует предложить им для

понимания сути дела реальную задачу:

Беговая дорожка стадиона имеет длину 400 м, бегун находится в 100 м

от места старта. Какой путь он пробежал? Если он только начал бег, то

пробежал 100 м; если успел пробежать один круг, то – (

Два круга – () ; если успел пробежать

кругов, то путь составит (

) . Вот теперь можно сопоставить

полученный результат с выражением

Пример 1. Каким числам соответствует точка

числовой окружности

Решение. Так как длина всей окружности

То длина ее четверти

А потому – всем числам вида

Аналогично устанавливается, каким числам соответствуют точки

называют соответственно первой, второй, третьей,

четвертой четвертями числовой окружности.

Вся школьная тригонометрия строится на модели числовой

окружности. Опыт показывает, что недоработки с этой моделью, слишком

поспешное введение тригонометрических функций не позволяют создать

надежный фундамент для успешного усвоения материала. Следовательно, не

нужно торопиться, а отвести некоторое время на рассмотрение следующих

пяти различных типов задач с числовой окружностью.

Первый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,

соответствующих заданным числам, выраженным в долях числа

Пример 2.

числам

Решение. Разделим дугу

пополам точкой на три равные части –

точками

(рис.2). Тогда

Значит, числу

Соответствует точка

Числу
Пример

3.
на

числовой

окружности

точки,

соответствующие числам:

Решение. Построения будем проводить

а) Отложив дугу

(ее длина

) пять раз

от точки

в отрицательном направлении,

получим точку

б) Отложив дугу

(ее длина

) семь раз от

в положительном направлении, получим точку, отделяющую

третью часть дуги

Она и будет соответствовать числу

в) Отложив дугу

(ее длина

) пять раз от точки

в положительном

направлении, получим точку

Отделяющую третью часть дуги. Она и

будет соответствовать числу

(опыт показывает, что лучше откладывать не

пять раз по

А 10 раз по

После этого примера уместно привести два главных макета числовой

окружности: на первом из них (рис.3) все четверти разделены пополам, на

втором (рис.4) – на три равные части. Эти макеты полезно иметь в кабинете

математики.

Рис. 2

Рис. 3 Рис. 4

Обязательно следует обсудить с учащимися вопрос: что будет, если по

каждому из макетов двигаться не в положительном, а в отрицательном

направлении? На первом макете выделенным точкам придется присвоить

другие «имена»: соответственно

и т. д.; на втором макете:

Второй тип задач. Отыскание на числовой окружности точек,

соответствующих заданным числам, не выраженным в долях числа

Пример 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие

числам 1; 2; 3; -5.

Решение.

Здесь придется опираться на то, что

Поэтому точка 1

располагается на дуге

ближе к точке

Точки 2 и 3 – на дуге, первая –

Вторая – ближе к (рис.5).

Несколько подробнее остановимся

на отыскании точки, соответствующей числу – 5.

Двигаться надо из точки

в отрицательном направлении, т.е. по часовой

Рис. 5

стрелке. Если пройти в этом направлении до точки

Получим

Значит, точка, соответствующая числу – 5, расположена

чуть правее точки

(см. рис.5).

Третий тип задач. Составление аналитических записей (двойных

неравенств) для дуг числовой окружности.

Фактически мы действуем по тому

же плану, который использовался в 5-8

классах для изучения числовой прямой:

сначала по числу находят точку, затем по

точке – число, потом используют двойные

неравенства для записи промежутков на

числовой прямой.

Рассмотрим для примера открытую

Где – середина первой

четверти числовой окружности, а

– середина ее

второй четверти (рис.6).

Неравенства, характеризующие дугу, т.е. представляющие собой

аналитическую модель дуги, предлагается составлять в два этапа. На первом

этапе составляют ядро аналитической записи (это главное, чему следует

научить школьников); для заданной дуги

На втором

этапе составляют общую запись:

Если же речь идет о дуге

То при записи ядра нужно учесть, что

() лежит внутри дуги, а потому к началу дуги приходится двигаться

в отрицательном направлении. Значит, ядро аналитической записи дуги

имеет вид

Рис. 6

Термины «ядро аналитической

записи дуги», «аналитическая запись

дуги» не являются общепринятыми,

соображений.

Четвертый

задач.

Отыскание

декартовых

координат

точек числовой окружности, центр

которой совмещен с началом системы

координат.

Сначала рассмотрим один достаточно тонкий момент, до сих пор

практически не упоминавшейся в действующих школьных учебниках.

Приступая к изучению модели «числовая окружность на координатной

плоскости», учителя должны отчетливо осознавать, какие трудности ждут

здесь учащихся. Эти трудности связаны с тем, что при изучении указанной

модели от школьников требуется достаточно высокий уровень

математической культуры, ведь им приходится работать одновременно в

двух системах координат – в «криволинейной», когда информация о

положении точки снимается по окружности (числу

соответствует на

окружности точка

(); – «криволинейная координата» точки), и в

декартовой прямоугольной системе координат (у точки

Как у всякой точки

координатной плоскости, есть абсцисса и ордината). Задача учителя – помочь

школьникам в преодолении этих естественных трудностей. К сожалению,

обычно в школьных учебниках на это не обращают внимания и с самых

первых уроков используют записи

Не учитывая, что буква в

сознании школьника четко ассоциируется с абсциссой в декартовой

прямоугольной системе координат, а не с длиной пройденного по числовой

окружности пути. Поэтому при работе с числовой окружностью не следует

использовать символы

Рис. 7

Вернемся к четвертому типу задач. Речь идет о переходе от записи

записи

(), т.е. от криволинейных координат к декартовым.

Совместим числовую окружность с декартовой прямоугольной системой

координат так, как показано на рис. 7. Тогда точки

будут иметь

следующие координаты:

() () () (). Очень важно

научить школьников определять координаты всех тех точек, которые

отмечены на двух основных макетах (см. рис.3,4). Для точки

Все сводится к

рассмотрению равнобедренного прямоугольного треугольника с гипотенузой

Его катеты равны

Значит, координаты

). Аналогично обстоит дело с точками

Но разница лишь в том, что надо учитывать

знаки абсциссы и ординаты. Конкретно:

Что следует запомнить учащимся? Только то, что модули абсциссы и

ординаты у середин всех четвертей равны

А знаки они должны уметь

определять для каждой точки непосредственно по чертежу.

Для точки

Все сводится к рассмотрению прямоугольного

треугольника с гипотенузой 1 и углом

(рис.9). Тогда катет,

противолежащий углу

Будет равен

прилежащий

√

Значит,

координаты точки

Аналогично обстоит дело с точкой

только катеты «меняются местами», а потому

Рис. 8

Рис. 9

получаем

). Именно значения

(с точностью до знаков) и будут

«обслуживать» все точки второго макета (см. рис.4), кроме точек

качестве абсцисс и ординат. Предлогаемый способ запоминания: «где короче,

; где длиннее, там

Пример 5. Найти координаты точки

(см. рис.4).

Решение. Точка

Расположена ближе к вертикальной оси, чем к

горизонтальной, т.е. модуль ее абсциссы меньше, чем модуль ее ординаты.

Значит, модуль абсциссы равен

Модуль ординаты равен

Знаки в обоих

случаях отрицательны (третья четверть). Вывод: точка

Имеет координаты

В четвертом типе задач отыскиваются декартовы координаты всех

точек, представленных на первом и втором макетах, о которых упоминалось

Фактически в курсе данного типа задач мы готовим учащихся к

вычислению значений тригонометрических функций. Если все здесь будет

отработано достаточко надежно, то переход на новую ступень абстракции

(ордината – синус, абсцисса – косинус) окажется менее болезненным, чем

Четвертый тип включает в себя задания такого типа: для точки

найти знаки декартовых координат

Решение не должно вызывать трудности у учащихся: числу

соответствует точка

Четвертой четверти, значит, .

Пятый тип задач. Отыскание на числовой окружности точек по

заданным координатам.

Пример 6. Найти на числовой окружности точки с ординатой

записать, каким числам они соответствуют.

Решение. Прямая

Пересекает числовую окружность в точках
(рис.11). С помощью второго макета (см. рис.4) устанавливаем, что точка

соответствует числу

Значит, она

соответствует всем числам вида
соответствует числу

А значит, и

всем числам вида

Ответ:

Пример 7. Найти на числовой

окружности точки с абсциссой

записать, каким числам они соответствуют.

Решение. Прямая
√

пересекает числовую окружность в точках

– серединах второй и третьей четвертей (рис.10). С помощью первого

макета устанавливаем, что точка

соответствует числу

А значит, всем

числам вида

соответствует числу

А значит, всем

числам вида

Ответ:

Надо обязательно показать второй вариант

записи ответа к примеру 7. Ведь точка

соответствует и числу

Т.е. всем числам вида

получаем:

Рис. 10

Рис.11

Подчеркнем неоспоримую важность

пятого типа задач. Фактически мы приучаем

школьников

решению

простейших

тригонометрических уравнений: в примере 6

речь идет об уравнении

А в примере

– об уравнении

понимания сути дела важно научить

школьников решать уравнения видов

по числовой окружности,

не торопясь переходить к формулам

Опыт показывает, что если первая стадия (работа на

числовой окружности) не отработана достаточно надежно, то вторая стадия

(работа по формулам) воспринимается школьниками формально, что,

естественно, надо преодолевать.

Аналогично примерам 6 и 7 следует найти на числовой окружности

точки со всеми «главными» ординатами и абсциссами

качестве особых сюжетов уместно выделить следующие:

Замечание 1. В пропедевтическом плане полезна подготовительная

работа к теме «Длина окружности» в курсе геометрии 9-го класса. Важный

совет : в систему упражнений следует включить задания типа предложенного

ниже. Единичная окружность разделена на четыре равные части точками

дуга разделена точкой пополам, а дуга разделена точками

на три равные части (рис.12). Чему равны длины дуг

(считается, что обход окружности осуществляется в положительном

направлении)?

Рис. 12

Пятый тип задач включает в себя и работу с условиями типа

означает,
к

решению

простейших

тригонометрических неравенств мы также «подбираемся» постепенно.

пяти уроков и лишь на шестом уроке следует ввести определения синуса и

косинуса как координат точки числовой окружности. При этом

целесообразно снова порешать все типы задач со школьниками, но уже с

использованием введенных обозначений, предлагая выполнить такие,

например, задания: вычислить

Решить уравнение

неравенство

и т.д. Подчеркнем, что на первых уроках

тригонометрии простейшие тригонометрические уравнения и неравенства

являются не целью обучения, а используются в качестве средства для

усвоения главного – определений синуса и косинуса как координат точек

числовой окружности.

Пусть числу

соответствует точка

числовой окружности. Тогда ее абсцисса

называется косинусом числа

и обозначается

А ее ордината называется синусом числа

и обозначается. (рис.13).

Из этого определения сразу можно

установить знаки синуса и косинуса по

четвертям: для синуса

Для косинуса

Посвящать этому целый урок (как это

принято) вряд ли целесообразно. Не следует

заставлять школьников запоминать эти знаки: всякое механическое

запоминание, заучивание – это насильственный прием, которому учащиеся,

При изучении тригонометрии в школе каждый ученик сталкивается с весьма интересным понятием «числовая окружность». От умения школьного учителя объяснить, что это такое, и для чего она нужна, зависит, насколько хорошо ученик пойдём тригонометрию впоследствии. К сожалению, далеко не каждый учитель может доступно объяснить этот материал. В результате многие ученики путаются даже с тем, как отмечать точки на числовой окружности . Если вы дочитаете эту статью до конца, то научитесь делать это без проблем.

Итак, приступим. Нарисуем окружность, радиус которой равен 1. Самую «правую» точку этой окружности обозначим буквой O :

Поздравляю, вы только что нарисовали единичную окружность. Поскольку радиус этой окружности равен 1, то её длина равна .

Каждому действительному числу можно поставить в соответствие длину траектории вдоль числовой окружности от точки O . За положительное направление принимается направление движения против часовой стрелки. За отрицательное – по часовой стрелке:

Расположение точек на числовой окружности

Как мы уже отмечали, длина числовой окружности (единичной окружности) равна . Где тогда будет располагаться на этой окружности число ? Очевидно, от точки O против часовой стрелки нужно пройти половину длины окружности, и мы окажемся в нужной точке. Обозначим её буквой B :

Обратите внимание, что в ту же точку можно было бы попасть, пройдя полуокружность в отрицательном направлении. Тогда бы мы отложили на единичной окружности число . То есть числам и соответствует одна и та же точка.

Причём этой же точке соответствуют также числа , , , и, вообще, бесконечное множество чисел, которые можно записать в виде , где , то есть принадлежит множеству целых чисел. Всё это потому, что из точки B можно совершить «кругосветное» путешествие в любую сторону (добавить или вычесть длину окружности ) и попасть в ту же самую точку. Получаем важный вывод, который нужно понять и запомнить.

Каждому числу соответствует единственная точка на числовой окружности. Но каждой точке на числовой окружности соответствует бесконечно много чисел.

Разобьем теперь верхнюю полуокружность числовой окружности на дуги равной длины точкой C . Легко видеть, что длина дуги OC равна . Отложим теперь от точки C дугу той же длины в направлении против часовой стрелки. В результате попадём в точку B . Результат вполне ожидаемый, поскольку . Отложим эту дугу в том же направлении ещё раз, но теперь уже от точки B . В результате попадём в точку D , которая будет уже соответствовать числу :

Заметим опять, что эта точка соответствует не только числу , но и, например, числу , потому что в эту точку можно попасть, отложив от точки O четверть окружности в направлении движения часовой стрелки (в отрицательном направлении).

И, вообще, отметим снова, что этой точке соответствует бесконечно много чисел, которые можно записать в виде . Но их также можно записать в виде . Или, если хотите, в виде . Все эти записи абсолютно равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Разобьём теперь дугу на OC пополам точкой M . Сообразите теперь, чему равна длина дуги OM ? Правильно, вдвое меньше дуги OC . То есть . Каким числам соответствует точка M на числовой окружности? Уверен, что теперь вы сообразите, что эти числа можно записать в виде .

Но можно и иначе. Давайте в представленной формуле возьмём . Тогда получим, что . То есть эти числа можно записать в виде . Этот же результат можно было получить, используя числовую окружность. Как я уже говорил, оба записи равнозначны, и они могут быть получены одна из другой.

Теперь вы легко можете привести пример чисел, которым соответствуют точки N , P и K на числовой окружности. Например, числам , и :

Часто именно минимальные положительные числа и берут для обозначения соответствующих точек на числовой окружности. Хотя это совсем не обязательно, и точке N , как вы уже знаете, соответствует бесконечное множество других чисел. В том числе, например, число .

Если разбить дугу OC на три равные дуги точками S и L , так что точка S будет лежать между точками O и L , то длина дуги OS будет равна , а длина дуги OL будет равна . Используя знания, которые вы получили в предыдущей части урока, вы без труда сообразите, как получились остальные точки на числовой окружности:

Числа не кратные π на числовой окружности

Зададимся теперь вопросом, где на числовой прямой отметить точку, соответствующую числу 1? Чтобы это сделать, надо от самой «правой» точки единичной окружности O отложить дугу, длина которой была бы равна 1. Указать место искомой точки мы можем лишь приблизительно. Поступим следующим образом.

В этой статье мы очень подробно разберем определение числовой окружности, узнаем её главное свойство и расставим числа 1,2,3 и т.д. Про то, как отмечать другие числа на окружности (например, \(\frac{π}{2}, \frac{π}{3}, \frac{7π}{4}, 10π, -\frac{29π}{6}\)) разбирается в .

Числовой окружностью называют окружность единичного радиуса, точки которой соответствуют , расставленным по следующим правилам:

1) Начало отсчета находится в крайней правой точке окружности;

2) Против часовой стрелки - положительное направление; по часовой – отрицательное;

3) Если в положительном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(t\);

4) Если в отрицательном направлении отложить на окружности расстояние \(t\), то мы попадем в точку со значением \(–t\).

Почему окружность называется числовой?
Потому что на ней обозначаются числа. В этом окружность похожа на числовую ось – на окружности, как и на оси, для каждого числа есть определенная точка.

Зачем знать, что такое числовая окружность?
С помощью числовой окружности определяют значение синусов, косинусов, тангенсов и котангенсов. Поэтому для знания тригонометрии и сдачи ЕГЭ на 60+ баллов, обязательно нужно понимать, что такое числовая окружность и как на ней расставить точки.

Что в определении означают слова «…единичного радиуса…»?
Это значит, что радиус этой окружности равен \(1\). И если мы построим такую окружность с центром в начале координат, то она будет пересекаться с осями в точках \(1\) и \(-1\).

Ее не обязательно рисовать маленькой, можно изменить «размер» делений по осям, тогда картинка будет крупнее (см. ниже).

Почему радиус именно единица? Так удобнее, ведь в этом случае при вычислении длины окружности с помощью формулы \(l=2πR\) мы получим:

Длина числовой окружности равна \(2π\) или примерно \(6,28\).

А что значит «…точки которой соответствуют действительным числам»?
Как говорили выше, на числовой окружности для любого действительного числа обязательно найдется его «место» - точка, которая соответствует этому числу.

Зачем определять на числовой окружности начало отсчета и направления?
Главная цель числовой окружности - каждому числу однозначно определить свою точку. Но как можно определить, где поставить точку, если неизвестно откуда считать и куда двигаться?

Тут важно не путать начало отсчета на координатной прямой и на числовой окружности – это две разные системы отсчета! А так же не путайте \(1\) на оси \(x\) и \(0\) на окружности – это точки на разных объектах.

Какие точки соответствуют числам \(1\), \(2\) и т.д?

Помните, мы приняли, что у числовой окружности радиус равен \(1\)? Это и будет нашим единичным отрезком (по аналогии с числовой осью), который мы будем откладывать на окружности.

Чтобы отметить на числовой окружности точку соответствующую числу 1, нужно от 0 пройти расстояние равное радиусу в положительном направлении.

Чтобы отметить на окружности точку соответствующую числу \(2\), нужно пройти расстояние равное двум радиусам от начала отсчета, чтобы \(3\) – расстояние равное трем радиусам и т.д.

При взгляде на эту картинку у вас могут возникнуть 2 вопроса:
1. Что будет, когда окружность «закончится» (т.е. мы сделаем полный оборот)?
Ответ: пойдем на второй круг! А когда и второй закончится, пойдем на третий и так далее. Поэтому на окружность можно нанести бесконечное количество чисел.

2. Где будут отрицательные числа?
Ответ: там же! Их можно так же расставить, отсчитывая от нуля нужное количество радиусов, но теперь в отрицательном направлении.

К сожалению, обозначать на числовой окружности целые числа затруднительно. Это связано с тем, что длина числовой окружности будет равна не целому числу: \(2π\). И на самых удобных местах (в точках пересечения с осями) тоже будут не целые числа, а доли

Представляем вашему вниманию видеоурок по теме «Числовая окружность». Дается определение, что такое синус, косинус, тангенс, котангенс и функции y = sin x , y = cos x , y = tg x , y = ctg x для любого числового аргумента. Рассматривается стандартные задачи на соответствие между числами и точками в единичной числовой окружности для нахождения каждому числу единственной точки, и, наоборот, на нахождение для каждой точки множество чисел которые ей соответствуют.

Тема: Элементы теории тригонометрических функций

Урок: Числовая окружность

Наша ближайшая цель - определить тригонометрические функции: синус , косинус , тангенс , котангенс-

Числовой аргумент можно откладывать на координатной прямой или на окружности.

Такая окружность называется числовой или единичной, т.к. для удобства берут окружность с

Например, дана точка Отметим ее на координатной прямой

и на числовой окружности .

При работе с числовой окружностью условились, что движение против часовой стрелки - положительное направление, по часовой стрелке - отрицательное.

Типовые задачи - нужно определить координаты заданной точки либо, наоборот, найти точку по ее координатам.

Координатная прямая устанавливает взаимно-однозначное соответствие между точками и числами. Например, числу соответствует точка А с координатой

Каждая точка В с координатой характеризуется только одним числом - расстоянием от 0 до взятым со знаком плюс или минус.

На числовой окружности взаимно-однозначное соответствие работает только в одну сторону.

Например, есть точка В на координатной окружности (рис.2), длина дуги равна 1, т.е. эта точка соответствует 1.

Дана окружность, длина окружности Если то - длина единичной окружности.

Если мы прибавим , получим ту же точку В, еще - тоже попадем в т. В, отнимем - тоже т. В.

Рассмотрим точку B: длина дуги =1, тогда числа характеризуют т. В на числовой окружности.

Таким образом, числу 1 соответствует единственная точка числовой окружности - точка В, а точке В соответствует бесчисленное множество точек вида .

Для числовой окружности верно следующее:

Если т. М числовой окружности соответствует числу то она соответствует и числу вида

Можно делать сколько угодно полных оборотов вокруг числовой окружности в положительном или отрицательном направлении - точка одна и та же. Поэтому тригонометрические уравнения имеют бесчисленное множество решений.

Например, дана точка D. Каковы числа, которым она соответствует?

Измеряем дугу .

множество всех чисел, соответствующих точке D.

Рассмотрим основные точки на числовой окружности.

Длина всей окружности.

Т.е. запись множества координат может быть различной.

Рассмотрим типовые задачи на числовую окружность.

1. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Выделяем целую часть:

Необходимо найти т. на числовой окружности. , тогда.

В это множество входит и точка .

2. Дано: . Найти: точку на числовой окружности.

Необходимо найти т.

т.также принадлежит этому множеству.

Решая стандартные задачи на соответствие между числами и точками на числовой окружности, мы выяснили, что можно для каждого числа найти единственную точку, и можно для каждой точки найти множество чисел, которые характеризуются данной точкой.

Разделим дугу на три равные части и отметим точки M и N.

Найдем все координаты этих точек.

Итак, наша цель - определение тригонометрических функций. Для этого нам необходимо научиться задавать аргумент функции. Мы рассмотрели точки единичной окружности и решили две типовые задачи - найти точку на числовой окружности и записать все координаты точки единичной окружности.

1. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Учеб. Для общеобразоват. Учреждений.- 4-е изд. - М.: Мнемозина, 2002.-192 с.: ил.

2. Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М.: Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

3. Макарычев Ю. Н. Алгебра. 9 класс: учеб.для учащихся общеобразоват. учреждений / Ю. Н. Макарычев, Н. Г. Миндюк, К. И. Нешков, И. Е. Феоктистов. — 7-е изд., испр. и доп. — М.: Мнемозина, 2008.

4. Алимов Ш.А., Колягин Ю.М., Сидоров Ю.В. Алгебра. 9 класс. 16-е изд. - М., 2011. - 287 с.

5. Мордкович А. Г. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 1. Учебник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, П. В. Семенов. — 12-е изд., стер. — М.: 2010. — 224 с.: ил.

6. Алгебра. 9 класс. В 2 ч. Ч. 2. Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Л. А. Александрова, Т. Н. Мишустина и др.; Под ред. А. Г. Мордковича. — 12-е изд., испр. — М.: 2010.-223 с.: ил.

Мордкович А.Г. и др. Алгебра 9 кл.: Задачник для учащихся общеобразовательных учреждений / А. Г. Мордкович, Т. Н. Мишустина и др. — 4-е изд. — М. : Мнемозина, 2002.-143 с.: ил.

№№ 531; 536; 537; 541; 552.

Видеоуроки относятся к наиболее эффективным средствам обучения, особенно таких школьных дисциплин, как математика. Поэтому автор данного материала собрал в единое целое только полезную, важную и грамотную информацию.

Данный урок рассчитан на 11:52 минут. Практически столько же времени требуется учителю на уроке для объяснения нового материала по данной теме. Хотя главным достоинством видеоурока будет тот факт, что обучающиеся будут внимательно слушать то, о чем говорит автор, не отвлекаясь на посторонние темы и разговоры. Ведь если обучающиеся будут слушать не внимательно, то упустят важный момент урока. А если материал будет объяснять учитель сам, то его обучающиеся смогут легко отвлечь от главного своими разговорами на отвлеченные темы. И, конечно, становится понятно, какой способ будет боле рационален.

Начало урока автор посвящает повторению тех функций, с которыми обучающиеся знакомились ранее в курсе алгебры. И первыми предлагается начать изучать - тригонометрические функции. Чтобы их рассматривать и изучать требуется новая математическая модель. И этой моделью становится числовая окружность, которая, как раз, и заявлена в теме урока. Для этого вводится понятие единичной окружности, задается ее определение. Далее на рисунке автор показывает все компоненты такой окружности, и что пригодится обучающимся для дальнейшего обучения. Дугами обозначаются четверти.

Затем автор предлагает рассмотреть числовую окружность. Здесь же он делает замечание, что удобнее использовать единичную окружность. На этой окружности показано, как получается точка M, если t>0, t<0 или t=0. После этого вводится понятие самой числовой окружности.

Далее автор напоминает обучающимся, как находится длина окружности. А затем он выводит длину единичной окружности. Эти теоретические данные предлагается применить на практике. Для этого рассматривается пример, где требуется найти на окружности точку, соответствующую определенным значениям чисел. Решение примера сопровождается иллюстрацией в виде рисунка, а также необходимыми математическими записями.

Согласно условию второго примера, необходимо найти точки на числовой окружности. Здесь также все решение сопровождается комментариями, иллюстрациями и математической записью. Это способствует развитию и совершенствованию математической грамотности обучающихся. Аналогично построен и третий пример.

Далее автор отмечает те числа на окружности, которые встречаются чаще других. Здесь же он предлагает сделать два макета числовой окружности. Когда оба макета готовы, рассматривается следующий, четвертый пример, где требуется найти точку на числовой окружности, соответствующую числу 1. После этого примера формулируется утверждение, согласно которому можно найти точку M, соответствующей числу t.

Далее вводится замечание, согласно которому обучающие узнают, что числу «пи» соответствуют все числа, которые попадают в данную точку при проходе ею всю окружность. Эту информацию подкрепляет пятый пример. Его решение содержит логически правильные рассуждения и рисунки, иллюстрирующие ситуацию.

ТЕКСТОВАЯ РАСШИФРОВКА:

ЧИСЛОВАЯ ОКРУЖНОСТЬ

Ранее мы изучали функции, заданные аналитическими выражениями. И эти функции называли алгебраическими. Но в школьном курсе математики изучаются функции и других классов, не алгебраические. Начнем изучение тригонометрических функций.

Для того, чтобы ввести тригонометрические функции нам понадобится новая математическая модель - числовая окружность. Рассмотрим единичную окружность. Окружность, радиус которой равен масштабному отрезку, без указания конкретных единиц измерения, будем называть единичной. Радиус такой окружности считать равным 1.

Будем пользоваться единичной окружностью, в которой проведены горизонтальный и вертикальный диаметры СА и DВ(цэ а и дэ бэ).(смотри рисунок1).

Дугу АВ будем называть первой четвертью, дугу ВС - второй четвертью, дугу СD - третьей четвертью, а дугу DА - четвертой четвертью.

Рассмотрим числовую окружность. Вообще, любую окружность можно рассматривать как числовую, но удобнее для этой цели пользоваться единичной окружностью.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ Дана единичная окружность, на ней отмечена начальная точка А - правый конец горизонтального диаметра. Поставим в соответствие каждому действительному числу t (тэ) точку окружности по следующему правилу:

1) Если t>0(тэ больше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении против часовой стрелки (положительное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины t. Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

2) Если t<0(тэ меньше нуля), то, двигаясь из точки А в направлении по часовой стрелке (отрицательное направление обхода окружности), опишем по окружности путь АМ (а эм) длины |t| (модуль тэ). Точка М и будет искомой точкой М(t) (эм от тэ).

3) Числу t = 0 поставим в соответствие точку А.

Единичную окружность с установленным соответствием (между действительными числами и точками окружности) будем называть числовой окружностью.

Известно, что длина окружности L (эль) вычисляется по формуле L =2πR (эль равно два пи эр), где π≈3,14 , R - радиус окружности. Для единичной окружности R=1см, значит L =2π≈6,28 см (эль равно два пи примерно 6,28).

Рассмотрим примеры.

ПРИМЕР 1.Найти на числовой окружности точку, которая соответствует заданному числу: ,.(пи на два, пи, три пи на два, два пи, одиннадцать пи на два, семь пи, минус пять пи на два)

Решение. Первые шесть чисел положительны, поэтому для отыскания соответствующих им точек окружности нужно пройти по окружности путь заданной длины, двигаясь из точки А в положительном направлении. Длина каждой четверти единичной окружности равна. Значит, АВ =, то есть числу соответствует точка В (смотри рис. 1). АС = , то есть числу соответствует точка С. АD = , то есть числу соответствует точка D. А числу соответствует снова точка А, потому что пройдя по окружности путь длиной мы попали в начальную точку А.

Рассмотрим, где будет находится точка такое Так как мы уже знаем, что длинна окружности, то приведем к виду (четыре пи плюс три пи на два). То есть, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно описать два раза целую окружность (путь длиной 4π) и дополнительно путь длиной, который закончится в точке D.

Что такое? Это 3∙2π + π (три умноженное на два пи плюс пи). Значит, двигаясь из точки А в положительном направлении, нужно описать три раза целую окружность и дополнительно путь длиной π, который закончится в точке С.

Чтобы найти на числовой окружности точку, соответствующую отрицательному числу, нужно из точки А пройти по окружности в отрицательном направлении (по часовой стрелке) путь длиной, а это соответствует 2π + . Этот путь завершится в точке D.

ПРИМЕР 2. Найти на числовой окружности точки, (пи на шесть, пи на четыре, пи на три).

Решение. Разделив дугу АВ пополам, мы получим точку Е, которая соответствует. А разделив дугу АВ на три равные части точками F и О, получим, что точка F соответствует, а точка T соответствует

(смотри рис 2).

ПРИМЕР 3. Найти на числовой окружности точки, (минус тринадцать пи на четыре, девятнадцать пи на шесть).

Решение. Отложив дугу АЕ (а эм) длиной (пи на четыре) от точки А тринадцать раз в отрицательном направлении, получим точку Н (аш) - середину дуги ВС.

Отложив дугу АF длиной (пи на шесть) от точки А девятнадцать раз в положительном направлении, попадем в точку N (эн), которая принадлежит третьей четверти (дуге СD) и СN равно третьей части дуги СD (сэ дэ).

(смотри рис примера 2).

Чаще всего приходится искать на числовой окружности точки, которые соответствуют числам, (пи на шесть, пи на четыре, пи на три, пи на два), а также те, которые кратны им, то есть, (семь пи на шесть, пять пи на четыре, четыре пи на три, одиннадцать пи на два). Поэтому для того, чтобы быстро ориентироваться целесообразно сделать два макета числовой окружности.

На первом макете каждая из четвертей числовой окружности будет разделена на две равные части и около каждой из полученных точек запишем их «имена»:

На втором макете каждая из четвертей разделена на три равные части и около каждой из полученных двенадцати точек то же запишем их «имена»:

Если двигаться по часовой стрелке, то получим для имеющихся на чертежах точек те же «имена», только со значением минус. Для первого макета:

Аналогично, если двигаться по второму макету по часовой стрелке из точки О.

ПРИМЕР 4. Найти на числовой окружности точки, соответствующие числам 1 (один).

Решение. Зная, что π≈3,14 (пи приблизительно равно три целые четырнадцать сотых) , ≈ 1,05(пи на три приблизительно равно одна целая пять сотых), ≈ 0,79(пи на четыре приблизительно равно ноль целых семьдесят девять сотых). Значит, < 1 < (один больше, чем пи на четыре, но меньше, чем пи на три), то есть число 1 находится в первой четверти.

Справедливо следующее утверждение: если точка М числовой окружности соответствуют числу t, то она соответствует и любому числу вида t + 2π k (тэ плюс два пи ка), где ка - любое целое число и k ϵ Z (ка принадлежит зэт).

Используя это утверждение, можно сделать вывод, что точке соответствуют все точки вида t =+ 2πk (тэ равно пи на три плюс два пи ка), где kϵZ(ка принадлежит зэт), а точке (пять пи на четыре) - точки вида t = + 2πk (тэ равно пять пи на четыре плюс два пи ка), где kϵZ(ка принадлежит зэт) и так далее.

ПРИМЕР 5.Найти на числовой окружности точку: а) ; б) .

Решение. а) Имеем: = =(6 +) ∙ π = 6π + = + 3∙ 2π.(двадцать пи на три равно двадцать на три пи равно шесть плюс две трети, умноженное на пи равно шесть пи плюс два пи на три равно два пи на три плюс три умноженное на два пи).

Это значит, что числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу (это вторая четверть) (смотри второй макет на рис 4).

б) Имеем: = - (8 +) ∙ π = + 2π ∙ (- 4).(минус тридцать пять пи на четыре равно минус восемь плюс три четвертые, умноженное на пи равно минус три пи на четыре плюс два пи, умноженное на минус четыре). То есть числу соответствует на числовой окружности та же точка, что и числу