Arten exponentieller Ungleichungen und Methoden zu ihrer Lösung. Exponentielle Ungleichungen lösen: grundlegende Methoden. Definition von Exponentialgleichungen

In dieser Lektion werden wir uns verschiedene exponentielle Ungleichungen ansehen und lernen, wie man sie löst, basierend auf der Technik zur Lösung der einfachsten exponentiellen Ungleichungen

1. Definition und Eigenschaften einer Exponentialfunktion

Erinnern wir uns an die Definition und die grundlegenden Eigenschaften Exponentialfunktion. Auf den Eigenschaften liegt die Lösung von allem Exponentialgleichungen und Ungleichheiten.

Exponentialfunktion ist eine Funktion der Form , wobei die Basis der Grad ist und x die unabhängige Variable, das Argument, ist; y ist die abhängige Variable, Funktion.

Reis. 1. Graph der Exponentialfunktion

Die Grafik zeigt steigende und fallende Exponenten und veranschaulicht die Exponentialfunktion mit einer Basis größer als eins bzw. kleiner als eins, aber größer als null.

Beide Kurven verlaufen durch den Punkt (0;1)

Eigenschaften der Exponentialfunktion:

Domäne: ;

Wertebereich: ;

Die Funktion ist monoton, nimmt mit zu und ab.

Eine monotone Funktion nimmt jeden ihrer Werte mit einem einzigen Argumentwert an.

Wenn das Argument von minus auf plus unendlich ansteigt, steigt die Funktion von einschließlich Null auf plus unendlich, d. h. für gegebene Werte des Arguments haben wir eine monoton steigende Funktion (). Im Gegenteil, wenn das Argument von minus auf plus unendlich ansteigt, nimmt die Funktion von unendlich auf einschließlich Null ab, d. h. für gegebene Werte des Arguments haben wir eine monoton fallende Funktion ().

2. Die einfachsten exponentiellen Ungleichungen, Lösungsmethode, Beispiel

Basierend auf dem oben Gesagten stellen wir eine Methode zur Lösung einfacher exponentieller Ungleichungen vor:

Technik zur Lösung von Ungleichungen:

Die Grundlagen der Abschlüsse ausgleichen;

Vergleichen Sie Indikatoren, indem Sie das Ungleichheitszeichen beibehalten oder in das Gegenteil ändern.

Die Lösung komplexer exponentieller Ungleichungen besteht normalerweise darin, sie auf die einfachsten exponentiellen Ungleichungen zu reduzieren.

Grundabschluss mehr als eine, was bedeutet, dass das Ungleichheitszeichen erhalten bleibt:

Lassen Sie uns die rechte Seite entsprechend den Eigenschaften des Grades transformieren:

Die Basis des Grades ist kleiner als eins, das Ungleichheitszeichen muss umgekehrt werden:

Für Lösungen quadratische Ungleichung Lösen Sie die entsprechende quadratische Gleichung:

Mit dem Satz von Vieta finden wir die Wurzeln:

Die Äste der Parabel sind nach oben gerichtet.

Somit haben wir eine Lösung für die Ungleichung:

Es ist leicht zu erraten, dass die rechte Seite als Potenz mit einem Exponenten von Null dargestellt werden kann:

Die Basis des Grades ist größer als eins, das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht, wir erhalten:

Erinnern wir uns an die Technik zur Lösung solcher Ungleichungen.

Betrachten Sie die gebrochenrationale Funktion:

Wir finden den Definitionsbereich:

Finden der Wurzeln der Funktion:

Die Funktion hat eine einzelne Wurzel,

Wir wählen Intervalle mit konstantem Vorzeichen aus und bestimmen die Vorzeichen der Funktion für jedes Intervall:

Reis. 2. Intervalle der Vorzeichenkonstanz

So haben wir die Antwort erhalten.

Antwort:

3. Lösung standardmäßiger exponentieller Ungleichungen

Betrachten wir Ungleichheiten mit denselben Indikatoren, aber unterschiedlichen Grundlagen.

Eine der Eigenschaften der Exponentialfunktion besteht darin, dass sie für jeden Wert des Arguments streng positive Werte annimmt, was bedeutet, dass sie in eine Exponentialfunktion unterteilt werden kann. Teilen wir die gegebene Ungleichung durch ihre rechte Seite:

Ist die Basis des Grades größer als eins, bleibt das Ungleichheitszeichen erhalten.

Lassen Sie uns die Lösung veranschaulichen:

Abbildung 6.3 zeigt Diagramme von Funktionen und . Wenn das Argument größer als Null ist, liegt der Graph der Funktion offensichtlich höher und diese Funktion ist größer. Wenn die Argumentwerte negativ sind, wird die Funktion kleiner, also kleiner. Wenn das Argument gleich ist, sind die Funktionen gleich, das heißt angegebenen Punkt ist auch eine Lösung für die gegebene Ungleichung.

Reis. 3. Abbildung zum Beispiel 4

Transformieren wir die gegebene Ungleichung entsprechend den Eigenschaften des Grades:

Hier sind einige ähnliche Begriffe:

Teilen wir beide Teile auf in:

Jetzt lösen wir analog zu Beispiel 4 weiter, dividieren beide Teile durch:

Die Basis des Grades ist größer als eins, das Ungleichheitszeichen bleibt:

4. Grafische Lösung exponentieller Ungleichungen

Beispiel 6 – Lösen Sie die Ungleichung grafisch:

Schauen wir uns die Funktionen auf der linken und rechten Seite an und erstellen für jede davon ein Diagramm.

Die Funktion ist exponentiell und wächst über ihren gesamten Definitionsbereich, also für alle reellen Werte des Arguments.

Die Funktion ist linear und nimmt über ihren gesamten Definitionsbereich ab, also für alle reellen Werte des Arguments.

Wenn sich diese Funktionen schneiden, das System also eine Lösung hat, dann ist eine solche Lösung eindeutig und kann leicht erraten werden. Dazu iterieren wir über ganze Zahlen ()

Es ist leicht zu erkennen, dass die Wurzel dieses Systems folgende ist:

Somit schneiden sich die Graphen der Funktionen in einem Punkt mit einem Argument gleich eins.

Jetzt müssen wir eine Antwort bekommen. Die Bedeutung der gegebenen Ungleichung besteht darin, dass der Exponent größer oder gleich sein muss lineare Funktion, das heißt, höher zu sein oder damit zusammenzufallen. Die Antwort liegt auf der Hand: (Abbildung 6.4)

Reis. 4. Abbildung zum Beispiel 6

Deshalb haben wir uns mit der Lösung verschiedener standardmäßiger exponentieller Ungleichungen befasst. Als nächstes betrachten wir komplexere exponentielle Ungleichungen.

Referenzliste

Mordkovich A. G. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Mnemosyne. Muravin G. K., Muravin O. V. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Trappe. Kolmogorov A. N., Abramov A. M., Dudnitsyn Yu. P. et al. Algebra und die Anfänge der mathematischen Analyse. - M.: Aufklärung.

Mathematik. md. Mathematik-Wiederholung. com. Diffur. kemsu. ru.

Hausaufgaben

1. Algebra und die Anfänge der Analysis, Klassen 10-11 (A. N. Kolmogorov, A. M. Abramov, Yu. P. Dudnitsyn) 1990, Nr. 472, 473;

2. Lösen Sie die Ungleichung:

3. Lösen Sie die Ungleichung.

Mehrheitsbeschluss mathematische Probleme hängt irgendwie mit der Transformation numerischer, algebraischer oder funktionaler Ausdrücke zusammen. Das Vorstehende gilt insbesondere für die Entscheidung. In den Fassungen des Einheitlichen Staatsexamens in Mathematik gehört zu dieser Art von Aufgabe insbesondere die Aufgabe C3. Das Erlernen des Lösens von C3-Aufgaben ist nicht nur für den Zweck wichtig Erfolgreiche Fertigstellung Einheitliches Staatsexamen, sondern auch aus dem Grund, dass diese Fähigkeit beim Studium eines Mathematikkurses an einer höheren Schule nützlich sein wird.

Beim Lösen von C3-Aufgaben müssen Sie verschiedene Arten von Gleichungen und Ungleichungen lösen. Darunter sind rationale, irrationale, exponentielle, logarithmische, trigonometrische, enthaltende Module ( absolute Werte), sowie kombinierte. In diesem Artikel werden die wichtigsten Arten von Exponentialgleichungen und Ungleichungen sowie verschiedene Methoden zu deren Lösung erläutert. Informationen zum Lösen anderer Arten von Gleichungen und Ungleichungen finden Sie im Abschnitt „“ in Artikeln zu Methoden zur Lösung von C3-Problemen von Optionen für das einheitliche Staatsexamen Mathematik.

Bevor wir mit der spezifischen Analyse beginnen Exponentialgleichungen und Ungleichungen Als Nachhilfelehrer für Mathematik schlage ich vor, dass Sie den theoretischen Stoff, den wir benötigen, auffrischen.

Exponentialfunktion

Was ist eine Exponentialfunktion?

Funktion des Formulars j = ein x, Wo A> 0 und A≠ 1 heißt Exponentialfunktion.

Basic Eigenschaften der Exponentialfunktion j = ein x:

Graph einer Exponentialfunktion

Der Graph der Exponentialfunktion ist Exponent:

Graphen von Exponentialfunktionen (Exponenten)

Exponentialgleichungen lösen

Indikativ nennt man Gleichungen, in denen die unbekannte Variable nur in Exponenten einiger Potenzen vorkommt.

Für Lösungen Exponentialgleichungen Sie müssen den folgenden einfachen Satz kennen und anwenden können:

Satz 1. Exponentialgleichung A F(X) = A G(X) (Wo A > 0, A≠ 1) entspricht der Gleichung F(X) = G(X).

Darüber hinaus ist es nützlich, sich die grundlegenden Formeln und Operationen mit Graden zu merken:

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Beispiel 1. Löse die Gleichung:

Lösung: Wir verwenden die oben genannten Formeln und Substitutionen:

Die Gleichung lautet dann:

Diskriminante des Empfangenen quadratische Gleichung positiv:

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Das bedeutet, dass diese Gleichung zwei Wurzeln hat. Wir finden sie:

Wenn wir zur umgekehrten Substitution übergehen, erhalten wir:

Die zweite Gleichung hat keine Wurzeln, da die Exponentialfunktion im gesamten Definitionsbereich streng positiv ist. Lösen wir das zweite Problem:

Unter Berücksichtigung dessen, was in Satz 1 gesagt wurde, gehen wir zur äquivalenten Gleichung über: X= 3. Dies ist die Antwort auf die Aufgabe.

Antwort: X = 3.

Beispiel 2. Löse die Gleichung:

Lösung: Beschränkungen für das Gebiet akzeptable Werte die Gleichung tut dies nicht, da der Wurzelausdruck für jeden Wert sinnvoll ist X(Exponentialfunktion j = 9 4 -X positiv und ungleich Null).

Wir lösen die Gleichung durch äquivalente Transformationen unter Verwendung der Regeln der Multiplikation und Potenzteilung:

Der letzte Übergang wurde gemäß Satz 1 durchgeführt.

Antwort:X= 6.

Beispiel 3. Löse die Gleichung:

Lösung: beide Seiten der ursprünglichen Gleichung können durch 0,2 geteilt werden X. Dieser Übergang ist äquivalent, da dieser Ausdruck für jeden Wert größer als Null ist X(Die Exponentialfunktion ist in ihrem Definitionsbereich streng positiv). Dann nimmt die Gleichung die Form an:

Antwort: X = 0.

Beispiel 4. Löse die Gleichung:

Lösung: Wir vereinfachen die Gleichung zu einer elementaren Gleichung durch äquivalente Transformationen unter Verwendung der am Anfang des Artikels angegebenen Regeln der Division und Multiplikation von Potenzen:

Division beider Seiten der Gleichung durch 4 X, wie im vorherigen Beispiel, ist eine äquivalente Transformation, da dieser Ausdruck ist für keinen Wert gleich Null X.

Antwort: X = 0.

Beispiel 5. Löse die Gleichung:

Lösung: Funktion j = 3X, der auf der linken Seite der Gleichung steht, nimmt zu. Funktion j = —X Das -2/3 auf der rechten Seite der Gleichung nimmt ab. Das heißt, wenn sich die Graphen dieser Funktionen schneiden, dann höchstens in einem Punkt. In diesem Fall ist es leicht zu erraten, dass sich die Graphen an diesem Punkt schneiden X= -1. Es wird keine anderen Wurzeln geben.

Antwort: X = -1.

Beispiel 6. Löse die Gleichung:

Lösung: Wir vereinfachen die Gleichung durch äquivalente Transformationen und berücksichtigen dabei überall, dass die Exponentialfunktion für jeden Wert strikt größer als Null ist X und unter Verwendung der am Anfang des Artikels angegebenen Regeln zur Berechnung des Produkts und Quotienten der Potenzen:

Antwort: X = 2.

Exponentielle Ungleichungen lösen

Indikativ nennt man Ungleichungen, bei denen die unbekannte Variable nur in Exponenten einiger Potenzen enthalten ist.

Für Lösungen exponentielle Ungleichheiten Kenntnisse des folgenden Satzes sind erforderlich:

Satz 2. Wenn A> 1, dann die Ungleichung A F(X) > A G(X) entspricht einer Ungleichung derselben Bedeutung: F(X) > G(X). Wenn 0< A < 1, то показательное неравенство A F(X) > A G(X) entspricht einer Ungleichung mit umgekehrter Bedeutung: F(X) < G(X).

Beispiel 7. Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung: Stellen wir die ursprüngliche Ungleichung in der Form dar:

Teilen wir beide Seiten dieser Ungleichung durch 3 2 X, in diesem Fall (aufgrund der Positivität der Funktion j= 3 2X) Das Ungleichheitszeichen ändert sich nicht:

Verwenden wir die Substitution:

Dann nimmt die Ungleichung die Form an:

Die Lösung der Ungleichung ist also das Intervall:

Wenn wir zur umgekehrten Substitution übergehen, erhalten wir:

Aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion ist die linke Ungleichung automatisch erfüllt. Mit der bekannten Eigenschaft des Logarithmus kommen wir zur äquivalenten Ungleichung:

Da die Basis des Grades eine Zahl größer als eins ist, ist äquivalent (nach Satz 2) der Übergang zu der folgenden Ungleichung:

So, endlich bekommen wir es Antwort:

Beispiel 8. Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung: Unter Verwendung der Eigenschaften der Multiplikation und Potenzteilung schreiben wir die Ungleichung in der Form um:

Lassen Sie uns eine neue Variable einführen:

Unter Berücksichtigung dieser Substitution nimmt die Ungleichung die Form an:

Wenn wir Zähler und Nenner des Bruchs mit 7 multiplizieren, erhalten wir die folgende äquivalente Ungleichung:

Die folgenden Werte der Variablen erfüllen also die Ungleichung T:

Wenn wir dann zur umgekehrten Substitution übergehen, erhalten wir:

Da die Basis des Grades hier größer als eins ist, ist der Übergang zur Ungleichung äquivalent (nach Satz 2):

Endlich bekommen wir Antwort:

Beispiel 9. Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung:

Wir teilen beide Seiten der Ungleichung durch den Ausdruck:

Es ist immer größer als Null (aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion), daher besteht keine Notwendigkeit, das Ungleichheitszeichen zu ändern. Wir bekommen:

t liegt im Intervall:

Wenn wir zur umgekehrten Substitution übergehen, stellen wir fest, dass sich die ursprüngliche Ungleichung in zwei Fälle aufteilt:

Die erste Ungleichung hat aufgrund der Positivität der Exponentialfunktion keine Lösungen. Lösen wir das zweite Problem:

Beispiel 10. Lösen Sie die Ungleichung:

Lösung:

Parabelzweige j = 2X+2-X 2 sind nach unten gerichtet, daher wird es von oben durch den Wert begrenzt, den es an seinem Scheitelpunkt erreicht:

Parabelzweige j = X 2 -2X Die +2 im Indikator sind nach oben gerichtet, was bedeutet, dass er von unten durch den Wert begrenzt wird, den er an seinem Scheitelpunkt erreicht:

Gleichzeitig erweist sich die Funktion auch als nach unten beschränkt j = 3 X 2 -2X+2, was auf der rechten Seite der Gleichung liegt. Sie erreicht ihr Ziel niedrigster Wert am gleichen Punkt wie die Parabel im Exponenten, und dieser Wert ist gleich 3 1 = 3. Die ursprüngliche Ungleichung kann also nur dann wahr sein, wenn die Funktion links und die Funktion rechts einen Wert gleich 3 annehmen am selben Punkt (durch den Schnittpunkt Der Wertebereich dieser Funktionen ist nur diese Zahl). Diese Bedingung ist an einem einzigen Punkt erfüllt X = 1.

Antwort: X= 1.

Um zu lernen, zu entscheiden Exponentialgleichungen und Ungleichungen, Es ist notwendig, sich ständig darin zu üben, sie zu lösen. Verschiedene Dinge können Ihnen bei dieser schwierigen Aufgabe helfen. methodische Handbücher, Problembücher in der Elementarmathematik, Sammlungen von Wettbewerbsproblemen, Mathematikunterricht in der Schule sowie Einzelsitzungen mit einem professionellen Tutor. Ich wünsche Ihnen von Herzen viel Erfolg bei der Vorbereitung und hervorragende Ergebnisse bei der Prüfung.

Sergej Walerjewitsch

P.S. Liebe Gäste! Bitte schreiben Sie keine Aufforderungen zur Lösung Ihrer Gleichungen in die Kommentare. Leider habe ich dafür absolut keine Zeit. Solche Nachrichten werden gelöscht. Bitte lesen Sie den Artikel. Vielleicht finden Sie darin Antworten auf Fragen, die es Ihnen nicht ermöglichten, Ihre Aufgabe alleine zu lösen.

Das ist obligatorisch beim Lösen eines Systems von Exponentialgleichungen? Sicherlich, Transformation dieses System in ein System einfacher Gleichungen umwandeln.

Beispiele.

Gleichungssysteme lösen:

Lassen Sie uns ausdrücken bei durch X aus (2) der Systemgleichung und ersetzen Sie diesen Wert in die (1) Systemgleichung.

Wir lösen (2) die te Gleichung des resultierenden Systems:

2 x +2 x +2 =10, wenden Sie die Formel an: ein x + j=ein x∙ ein y.

2 x +2 x ∙2 2 =10, nehmen wir den gemeinsamen Faktor 2 x aus der Klammer:

2 x (1+2 2)=10 oder 2 x ∙5=10, also 2 x =2.

2 x =2 1, von hier x=1. Kehren wir zum Gleichungssystem zurück.

Antwort: (1; 2).

Lösung.

Wir stellen die linke und rechte Seite der Gleichung (1) in Form von Potenzen mit Basis dar 2 und die rechte Seite von (2) der Gleichung als Nullpotenz der Zahl 5 .

Wenn zwei Potenzen mit gleichen Basen gleich sind, dann sind auch die Exponenten dieser Potenzen gleich – wir setzen die Exponenten mit den Basen gleich 2 und Exponenten mit Basen 5 .

Das resultierende System lineare Gleichungen mit zwei Variablen lösen wir mit der Additionsmethode.

Wir finden x=2 und wir ersetzen stattdessen diesen Wert X in die zweite Gleichung des Systems ein.

Wir finden bei.

Antwort: (2; 1,5).

Lösung.

Wenn wir in den beiden vorherigen Beispielen zu einem einfacheren System übergegangen sind, indem wir die Indikatoren von zwei Graden mit den gleichen Basen gleichgesetzt haben, ist dieser Vorgang im dritten Beispiel unmöglich. Es ist praktisch, solche Systeme durch die Einführung neuer Variablen zu lösen. Wir werden Variablen einführen u Und v, und drücken Sie dann die Variable aus u durch v und wir erhalten eine Gleichung für die Variable v.

Wir lösen (2) die te Gleichung des Systems.

v 2 +63v-64=0. Wählen wir die Wurzeln mithilfe des Satzes von Vieta aus, wobei wir wissen: v 1 +v 2 = -63; v 1 ∙v 2 =-64.

Wir erhalten: v 1 =-64, v 2 =1. Wir kehren zum System zurück und finden dich.

Da die Werte der Exponentialfunktion immer positiv sind, gelten die Gleichungen 4 x = -1 und 4 y = -64 habe keine Lösungen.

Methoden zur Lösung von Gleichungssystemen

Erinnern wir uns zunächst kurz daran, welche Methoden es allgemein zur Lösung von Gleichungssystemen gibt.

Existieren vier Hauptwege Lösungen für Gleichungssysteme:

Substitutionsmethode: Nehmen Sie eine beliebige der angegebenen Gleichungen und drücken Sie $y$ durch $x$ aus. Dann wird $y$ in die Systemgleichung eingesetzt, aus der die Variable $x.$ ermittelt wird. Danach können wir leicht berechnen die Variable $y.$

Additionsmethode: Bei dieser Methode müssen Sie eine oder beide Gleichungen mit solchen Zahlen multiplizieren, dass bei der Addition beider eine der Variablen „verschwindet“.

Grafische Methode: Beide Gleichungen des Systems sind dargestellt Koordinatenebene und der Punkt ihres Schnittpunkts wird gefunden.

Methode zur Einführung neuer Variablen: Bei dieser Methode ersetzen wir einige Ausdrücke, um das System zu vereinfachen, und verwenden dann eine der oben genannten Methoden.