Protozoen trigonometrische Gleichungen werden meist mit Formeln gelöst. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind:

sinx = a

cosx = a

tgx = a

ctgx = a

x ist der zu findende Winkel,
a ist eine beliebige Zahl.

Und hier sind die Formeln, mit denen Sie die Lösungen dieser einfachsten Gleichungen sofort aufschreiben können.

Für Sinus:

Für Kosinus:

x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Für Tangente:

x = arctan a + π n, n ∈ Z

Für Kotangens:

x = arcctg a + π n, n ∈ Z

Eigentlich ist es das theoretischer Teil Lösen einfacher trigonometrischer Gleichungen. Außerdem alles!) Gar nichts. Die Anzahl der Fehler zu diesem Thema ist jedoch einfach überwältigend. Vor allem, wenn das Beispiel leicht von der Vorlage abweicht. Warum?

Ja, weil viele Leute diese Briefe aufschreiben, ohne ihre Bedeutung überhaupt zu verstehen! Er schreibt mit Vorsicht auf, damit nichts passiert...) Das muss geklärt werden. Trigonometrie für Menschen, oder doch Menschen für Trigonometrie!?)

Lass es uns herausfinden?

Ein Winkel ist gleich arccos a, zweite: -arccos a.

Und es wird immer so klappen. Für jeden A.

Wenn Sie mir nicht glauben, fahren Sie mit der Maus über das Bild oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet.) Ich habe die Nummer geändert A zu etwas Negativem. Wie auch immer, wir haben eine Ecke bekommen arccos a, zweite: -arccos a.

Daher kann die Antwort immer als zwei Reihen von Wurzeln geschrieben werden:

x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z

x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z

Fassen wir diese beiden Serien zu einer zusammen:

x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z

Und das ist alles. Bekommen allgemeine Formel die einfachste trigonometrische Gleichung mit dem Kosinus lösen.

Wenn Sie verstehen, dass dies keine überwissenschaftliche Weisheit ist, sondern nur eine gekürzte Version von zwei Antwortreihen, Sie können auch die Aufgaben „C“ bearbeiten. Bei Ungleichungen, bei der Auswahl von Wurzeln aus einem gegebenen Intervall... Da funktioniert die Antwort mit einem Plus/Minus nicht. Aber wenn man die Antwort sachlich behandelt und sie in zwei separate Antworten aufteilt, wird alles gelöst.) Genau deshalb untersuchen wir das. Was, wie und wo.

In der einfachsten trigonometrischen Gleichung

sinx = a

wir erhalten auch zwei Serien von Wurzeln. Stets. Und diese beiden Serien können auch aufgezeichnet werden in einer Zeile. Nur diese Zeile wird schwieriger:

x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z

Aber das Wesentliche bleibt dasselbe. Mathematiker haben einfach eine Formel entworfen, um für Reihen von Wurzeln einen statt zwei Einträge zu machen. Und alle!

Lassen Sie uns die Mathematiker überprüfen? Und man weiß nie...)

In der vorherigen Lektion wurde die Lösung (ohne Formeln) einer trigonometrischen Gleichung mit Sinus ausführlich besprochen:

Die Antwort führte zu zwei Reihen von Wurzeln:

x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z

x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z

Wenn wir dieselbe Gleichung mit der Formel lösen, erhalten wir die Antwort:

x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z

Eigentlich ist dies eine unvollendete Antwort.) Das muss der Schüler wissen arcsin 0,5 = π /6. Die vollständige Antwort wäre:

x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z

Dies wirft eine interessante Frage auf. Antwort per x 1; x 2 (das ist die richtige Antwort!) und durch einsam X (und das ist die richtige Antwort!) – sind sie dasselbe oder nicht? Das werden wir jetzt herausfinden.)

Wir ersetzen in der Antwort durch x 1 Werte N =0; 1; 2; usw., wir zählen, wir erhalten eine Reihe von Wurzeln:

x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 usw.

Mit der gleichen Ersetzung als Antwort mit x 2 , wir bekommen:

x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 usw.

Ersetzen wir nun die Werte N (0; 1; 2; 3; 4...) in die allgemeine Formel für Single X . Das heißt, wir erhöhen minus eins auf die Nullpotenz, dann auf die erste, zweite Potenz usw. Nun, natürlich ersetzen wir 0 im zweiten Term; 1; 2 3; 4 usw. Und wir zählen. Wir bekommen die Serie:

x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 usw.

Das ist alles, was Sie sehen können.) Die allgemeine Formel gibt uns genau die gleichen Ergebnisse ebenso wie die beiden Antworten getrennt. Einfach alles auf einmal, der Reihe nach. Die Mathematiker ließen sich nicht täuschen.)

Auch Formeln zur Lösung trigonometrischer Gleichungen mit Tangens und Kotangens können überprüft werden. Aber wir werden es nicht tun.) Sie sind bereits einfach.

Ich habe diese ganze Substitution aufgeschrieben und gezielt überprüft. Hier ist es wichtig, eines zu verstehen einfache Sache: Es gibt Formeln zur Lösung elementarer trigonometrischer Gleichungen, nur eine kurze Zusammenfassung der Antworten. Der Kürze halber mussten wir Plus/Minus in die Kosinuslösung und (-1) n in die Sinuslösung einfügen.

Diese Einsätze stören in keiner Weise bei Aufgaben, bei denen Sie lediglich die Antwort auf eine Elementargleichung aufschreiben müssen. Wenn Sie jedoch eine Ungleichung lösen müssen oder dann etwas mit der Antwort tun müssen: Wurzeln in einem Intervall auswählen, auf ODZ prüfen usw., können diese Einfügungen eine Person leicht verunsichern.

Und was machen? Ja, schreiben Sie die Antwort entweder in zwei Reihen auf oder lösen Sie die Gleichung/Ungleichung mithilfe des trigonometrischen Kreises. Dann verschwinden diese Einfügungen und das Leben wird einfacher.)

Wir können zusammenfassen.

Zur Lösung einfachster trigonometrischer Gleichungen gibt es vorgefertigte Antwortformeln. Vier Stücke. Sie eignen sich gut, um die Lösung einer Gleichung sofort aufzuschreiben. Beispielsweise müssen Sie die Gleichungen lösen:

sinx = 0,3

Leicht: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z

cosx = 0,2

Kein Problem: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z

tgx = 1,2

Leicht: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z

ctgx = 3,7

Einer übrig: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z

cos x = 1,8

Wenn Sie vor Wissen glänzen, schreiben Sie sofort die Antwort:

x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z

dann strahlst du schon, dieses... jenes... aus einer Pfütze.) Richtige Antwort: es gibt keine Lösungen. Verstehst du nicht warum? Lesen Sie, was Arkuskosinus ist. Wenn sich außerdem auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung Tabellenwerte von Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens befinden, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 usw. - Die Antwort durch die Bögen wird unvollendet sein. Bögen müssen in Bogenmaß umgerechnet werden.

Und wenn Sie auf Ungleichheit stoßen, z

dann lautet die Antwort:

x πn, n ∈ Z

Es gibt seltenen Unsinn, ja...) Hier müssen Sie trigonometrischer Kreis entscheiden. Was wir im entsprechenden Thema tun werden.

Für diejenigen, die diese Zeilen heldenhaft vorlesen. Ich kann einfach nicht anders, als Ihre gigantischen Bemühungen zu schätzen. Bonus für Sie.)

Bonus:

Beim Aufschreiben von Formeln in einer alarmierenden Kampfsituation sind selbst erfahrene Nerds oft verwirrt darüber, wo πn, und wo 2π n. Hier ist ein einfacher Trick für Sie. In alle Formeln wert πn. Bis auf die einzige Formel mit Arkuskosinus. Es steht da 2πn. Zwei peen. Stichwort - zwei. In derselben Formel gibt es zwei am Anfang unterschreiben. Plus und Minus. Hier und da - zwei.

Also wenn du geschrieben hast zwei Wenn Sie das Vorzeichen vor dem Arkuskosinus eingeben, können Sie sich leichter merken, was am Ende passieren wird zwei peen. Und umgekehrt passiert es auch. Die Person wird das Zeichen übersehen ± , kommt zum Ende, schreibt richtig zwei Pien, und er wird zur Besinnung kommen. Es liegt etwas vor uns zwei Zeichen! Die Person wird zum Anfang zurückkehren und den Fehler korrigieren! So.)

Wenn Ihnen diese Seite gefällt...

Übrigens habe ich noch ein paar weitere interessante Seiten für Sie.)

Sie können das Lösen von Beispielen üben und Ihr Niveau herausfinden. Testen mit sofortiger Verifizierung. Lasst uns lernen – mit Interesse!)

Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.

cos-GleichungX = A

Jede Wurzel der Gleichung

cos X = A (1)

kann als Abszisse eines Schnittpunkts der Sinuskurve betrachtet werden y = cosX mit einer geraden Linie y =A und umgekehrt ist die Abszisse jedes solchen Schnittpunkts eine der Wurzeln von Gleichung (1). Somit fällt die Menge aller Wurzeln von Gleichung (1) mit der Menge der Abszissen aller Schnittpunkte der Kosinuswelle zusammen y = cosX mit einer geraden Linie y = A .

Wenn | A| >1 , dann der Kosinus y = cosX schneidet keine Linie y = A .

In diesem Fall hat Gleichung (1) keine Wurzeln.

Bei |A| < 1 es gibt unendlich viele Schnittpunkte.

für a > 0

Für ein< 0.

Wir werden alle diese Schnittpunkte in zwei Gruppen einteilen:

A -2 , A - 1 , A 1 , A 2 , ... ,

B -2 , B - 1 , B 1 , B 2 , ... ,

Punkt A hat eine Abszisse arccos A , und alle anderen Punkte der ersten Gruppe sind davon in Abständen getrennt, die ein Vielfaches von 2 sind π

arccos A+ 2k π . (2)

Punkt IN, wie aus den Figuren leicht zu verstehen ist, weist eine Abszisse auf - arccosA , und alle anderen Punkte der zweiten Gruppe werden in Abständen, die ein Vielfaches von 2 sind, davon entfernt π . Daher werden ihre Abszissen ausgedrückt als

arccos A+ 2nπ . (3)

Somit hat Gleichung (1) zwei Gruppen von Wurzeln, die durch die Formeln (2) und (3) definiert sind. Aber diese beiden Formeln können offensichtlich als eine Formel geschrieben werden

X = ± arccos A+ 2m π , (4)

Wo M durchläuft alle ganzen Zahlen (m = 0, ±1, ±2, ±3, ...).

Die Überlegungen, die wir bei der Ableitung dieser Formel angestellt haben, sind nur dann richtig, wenn
| A| =/= 1. Formal ist die Beziehung jedoch (4) bestimmt alle Wurzeln der Gleichung cosx=a und bei | A| =1. (Beweisen Sie es!) Daher können wir sagen, dass die Formel (4) gibt alle Wurzeln der Gleichung (1) für beliebige Werte an A , Wenn nur |A| < 1 .

Aber noch in drei Sonderfällen ( A = 0, A = -1, A= +1) empfehlen wir, die Formel nicht zu verwenden (4) , aber verwenden Sie andere Beziehungen. Es ist nützlich, sich an die Wurzeln der Gleichung zu erinnern cos X = 0 sind durch die Formel gegeben

X = π / 2 +n π ; (5)

Wurzeln der Gleichung cos X = -1 sind durch die Formel gegeben

X = π + 2m π ; (6)

und schließlich die Wurzeln der Gleichung cos X = 1 sind durch die Formel gegeben

X = 2m π ; (7)

Abschließend stellen wir fest, dass die Formeln (4) , (5), (6) und (7) sind nur unter der Annahme korrekt, dass der gewünschte Winkel vorliegt X ausgedrückt im Bogenmaß. Wenn es in Grad ausgedrückt wird, müssen diese Formeln natürlich geändert werden. Also die Formel (4) sollte durch die Formel ersetzt werden

X = ± arccos A+ 360° n,

Formel (5) Formel

X = 90° + 180° n usw.

An einem Punkt zentriert A.
α - Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.

Definition
Sinus (sin α) ist eine trigonometrische Funktion abhängig vom Winkel α zwischen Hypotenuse und Bein rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis Länge der gegenüberliegenden Seite |BC| zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Akzeptierte Notationen

;
;
.

;
;
.

Diagramm der Sinusfunktion, y = sin x

Diagramm der Kosinusfunktion, y = cos x

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Periodizität

Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.

Parität

Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.

Definitions- und Wertebereich, Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt (n - ganze Zahl).

	y = Sünde x	y = weil x
Umfang und Kontinuität	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Wertebereich	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Zunehmend
Absteigend
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y = 0	y = 1

Grundformeln

Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus

Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz

;
;

Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus

Summen- und Differenzformeln

Sinus durch Kosinus ausdrücken

;
;
;
.

Kosinus durch Sinus ausdrücken

;
;
;
.

Ausdruck durch Tangente

; .

Wenn wir haben:
; .

Bei :
; .

Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Tangens und Kotangens

Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke durch komplexe Variablen

;

Eulers Formel

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; . Formeln ableiten > > >

Ableitungen n-ter Ordnung:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekante, Kosekans

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen zu Sinus und Kosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.

Arkussinus, Arkussinus

Arccosinus, arccos

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind die Gleichungen

Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a

Gleichung cos(x) = a

Erklärung und Begründung

1. Wurzeln cosx-Gleichungen= a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).

Lass | ein |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции

y = cos x. Auf dem Intervall nimmt die Funktion y = cos x von 1 auf -1 ab. Aber eine abnehmende Funktion nimmt jeden ihrer Werte nur an einem Punkt ihres Definitionsbereichs an, daher hat die Gleichung cos x = a nur eine Wurzel in diesem Intervall, die per Definition des Arkuskosinus gleich ist: x 1 = arccos a (und für diesen Wurzelcos x = A).

Kosinus - gleiche Funktion, daher auf dem Intervall [-n; 0] die Gleichung cos x = und hat auch nur eine Wurzel – die Zahl gegenüber x 1, also

x 2 = -arccos a.

Somit ist im Intervall [-n; p] (Länge 2p) Gleichung cos x = a mit | ein |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.

Die Funktion y = cos x ist periodisch mit einer Periode von 2n, daher unterscheiden sich alle anderen Wurzeln von denen, die um 2n (n € Z) gefunden werden. Wir erhalten die folgende Formel für die Wurzeln der Gleichung cos x = a wenn

x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.

1. Sonderfälle der Lösung der Gleichung cosx = a.

Es ist nützlich, sich spezielle Notationen für die Wurzeln der Gleichung cos x = a zu merken, wenn

a = 0, a = -1, a = 1, was leicht unter Verwendung des Einheitskreises als Referenz ermittelt werden kann.

Da der Kosinus gleich der Abszisse des entsprechenden Punktes ist Einheitskreis, erhalten wir, dass cos x = 0 genau dann ist, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt A oder Punkt B ist.

Ebenso gilt cos x = 1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt C ist, also

x = 2πп, k € Z.

Auch cos x = -1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt D ist, also x = n + 2n,

Gleichung sin(x) = a

Erklärung und Begründung

1. Wurzeln Sinx-Gleichungen= a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функции y = sinx).

Sacharowa Ljudmila Wladimirowna
MBOU „Sekundär“ allgemein bildende Schule Nr. 59" Barnaul
Mathematiklehrer [email protected]

№1 Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen

Ziel: 1. Leiten Sie Formeln für Lösungen der einfachsten trigonometrischen Gleichungen der Form her sinx =a, cosx=a, tgx=a, ctgx=a;

2. Lernen Sie, einfache trigonometrische Gleichungen mithilfe von Formeln zu lösen.

Ausrüstung: 1) Tabellen mit Grafiken trigonometrische Funktionen y= sinx, y=cosx, y=tgx, y=ctgx; 2) Wertetabelle der inversen trigonometrischen Funktionen; 3) Zusammenfassende Formeltabelle zur Lösung einfacher trigonometrischer Gleichungen.

Vorlesungsplan:

1 .Herleitung von Formeln für die Wurzeln der Gleichung

a) sinx =a,

b) cosx= A,

c) tgx= A,

d) ctgx= A.

2 . Mündliche Frontalarbeit zur Festigung der erhaltenen Formeln.

3 . Papierkram um das gelernte Material zu festigen

Während des Unterrichts.

In Algebra, Geometrie, Physik und anderen Fächern stehen wir vor einer Vielzahl von Problemen, zu deren Lösung das Lösen von Gleichungen gehört. Wir haben die Eigenschaften trigonometrischer Funktionen untersucht, daher ist es naheliegend, sich Gleichungen zuzuwenden, in denen das Unbekannte unter dem Funktionszeichen enthalten ist

Definition: Gleichungen der Form sinx = A , cosx= A , tgx= A , ctgx= A werden die einfachsten trigonometrischen Gleichungen genannt.

Es ist sehr wichtig zu lernen, wie man die einfachsten trigonometrischen Gleichungen löst, da alle Methoden und Techniken zur Lösung trigonometrischer Gleichungen darin bestehen, sie auf die einfachsten zu reduzieren.

Beginnen wir mit der Ableitung von Formeln, die beim Lösen trigonometrischer Gleichungen „aktiv“ funktionieren.

1.Gleichungen der Form sinx = A.

Lösen wir die Gleichung sinx = A grafisch. Dazu erstellen wir in einem Koordinatensystem Graphen der Funktionen y=sinx und y= A.

1) Wenn A> 1 und A Sünde x= A hat keine Lösungen, da die Gerade und die Sinuswelle keine gemeinsamen Punkte haben.

2) Wenn -1a a die Sinuswelle unendlich oft kreuzt. Dies bedeutet, dass die Gleichung sinx= A hat unendlich viele Lösungen.

Da die Sinusperiode 2 beträgt , um dann die Gleichung zu lösen sinx= A Es reicht aus, alle Lösungen auf einem beliebigen Segment der Länge 2 zu finden.

Lösen der Gleichung auf [-/2; /2] nach Definition des Arkussinus x= Arcsin A, und auf x=-arcsin A. Unter Berücksichtigung der Periodizität der Funktion у=sinx erhalten wir die folgenden Ausdrücke

x = -arcsin A+2n, n Z.

Beide Lösungsreihen sind kombinierbar

X = (-1) n arcsin A+n, nZ.

In den folgenden drei Fällen verwenden sie lieber einfachere Beziehungen als eine allgemeine Formel:

Wenn A=-1, dann sin x =-1, x=-/2+2n

Wenn A=1, dann sin x =1, x =/2+2n

Wenn a= 0, dann sin x =0. x = n,

Beispiel: Lösen Sie eine Gleichung sinx =1/2.

Lassen Sie uns Lösungsformeln erstellen x=arcsin 1/2+ 2n

X= - arcsin a+2n

Berechnen wir den Wert arcsin1/2. Setzen wir den gefundenen Wert in die Lösungsformeln ein

x=5/6+2 n

oder nach der allgemeinen Formel

X= (-1) n arcsin 1/2+n,

X= (-1) n /6+n,

2. Gleichungen der Form cosx= A.

Lösen wir die Gleichung cosx= A auch grafisch, indem die Funktionen y= cosx und y= aufgetragen werden A.

1) Wenn a 1, dann die Gleichung cosx= A hat keine Lösungen, da die Graphen keine gemeinsamen Punkte haben.

2) Wenn -1 A cosx= A Es hat unendliche Menge Entscheidungen.

Wir finden alle Lösungen cosx= A auf einem Intervall der Länge 2, da die Periode des Kosinus 2 ist.

Nach der Definition des Arkuskosinus lautet die Lösung der Gleichung x= arcos a. Unter Berücksichtigung der Parität der Kosinusfunktion lautet die Lösung der Gleichung auf [-;0] x=-arcos A.

So lösen wir die Gleichung cosx= A x= + arcos A+ 2 n,

In drei Fällen verwenden wir nicht die allgemeine Formel, sondern einfachere Beziehungen:

Wenn A=-1, dann cosx =-1, x =-/2+2n

Wenn A=1, dann cosx =1, x = 2n,

Wenn a=0, dann cosx=0. x =/2+n

Beispiel: Lösen Sie eine Gleichung cos x =1/2,

Lassen Sie uns Lösungsformeln erstellen x=arccos 1/2+ 2n

Berechnen wir den Wert arccos1/2.

Setzen wir den gefundenen Wert in die Lösungsformeln ein

X= + /3+ 2n, nZ.

Gleichungen der Form tgx= A.

Da die Periode der Tangente gleich ist, müssen alle Lösungen der Gleichung gefunden werden tgx= A, es reicht aus, alle Lösungen auf einem beliebigen Längenintervall zu finden. Per Definition des Arkustangens ist die Lösung der Gleichung auf (-/2; /2) Arcustangens A. Unter Berücksichtigung der Periode der Funktion können alle Lösungen der Gleichung in der Form geschrieben werden

x= Arctan A+ n, nZ.

Beispiel: Löse die Gleichung tan x = 3/3

Lassen Sie uns eine Formel zum Lösen von x= erstellen arctan 3/3 +n, nZ.

Berechnen wir den Arcustangens-Wert arctan 3/3= /6, also

X=/6+ n, nZ.

Herleitung der Formel zur Lösung der Gleichung Mit tgx= A können den Studierenden zur Verfügung gestellt werden.

Beispiel.

Löse die Gleichung ctg x = 1.

x = arcсtg 1 + n, nZ,

X = /4 + n, nZ.

Als Ergebnis des untersuchten Materials können die Studierenden die Tabelle ausfüllen:

„Trigonometrische Gleichungen lösen.“

Die gleichung

Übungen zur Festigung des gelernten Stoffes.

(Mündlich) Welche der geschriebenen Gleichungen kann mit den Formeln gelöst werden:

a) x= (-1) n arcsin A+n, nZ;

b) x= + arcos a+ 2n?

cos x = 2/2, tan x= 1, sin x = 1/3, cos x = 3/3, sin x = -1/2, cos x= 2/3, sin x = 3, cos x = 2 .

Welche der folgenden Gleichungen haben keine Lösungen?

Lösen Sie die Gleichungen:

a) Sünde x = 0; e) Sünde x = 2/2; h) Sünde x = 2;

b) cos x = 2/2; e) cos x = -1/2; i) cos x = 1;

d) tan x = 3; g) Kinderbett x = -1; j) tan x = 1/ 3.

3. Lösen Sie die Gleichungen:

a) Sünde 3x = 0; e) 2cos x = 1;

b) cos x/2 =1/2; e) 3 tg 3x =1;

d) sin x/4 = 1; g) 2cos(2x+ /5) = 3.

Beim Lösen dieser Gleichungen ist es sinnvoll, die Regeln zum Lösen von Gleichungen der Form aufzuschreiben Sünde V x = A, Und Mit Sünde V x = A, | A|1.

Sünde V x = a, |a|1.

V x = (-1) n arcsin A+n, nZ,

x= (-1) n 1/ V Arcsin A+n/ V, nZ.

Zusammenfassung der Lektion:

Heute haben wir im Unterricht Formeln zur Lösung einfacher trigonometrischer Gleichungen abgeleitet.

Wir haben uns Beispiele für die Lösung einfacher trigonometrischer Gleichungen angesehen.

Wir haben die Tabelle ausgefüllt, die wir zum Lösen der Gleichungen verwenden werden.

Hausaufgaben.

№2 Trigonometrische Gleichungen lösen

Ziel: Studienmethoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen: 1) reduzierbar auf quadratische; 2) reduzierbar auf homogene trigonometrische Gleichungen.

Um die Beobachtungsfähigkeiten der Schüler bei der Verwendung zu entwickeln auf verschiedene Arten trigonometrische Gleichungen lösen.

Frontalarbeit mit Studierenden.

Wie lauten die Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen? cos x= A, sin x= A, tgx = A, ctg x = A.

Lösen Sie die Gleichungen (mündlich):

cos x=-1, sin x=0, tgx =0, cos x=1, cos x=1,5, sin x=0.

Finden Sie die Fehler und denken Sie über die Gründe für die Fehler nach.

cos x=1/2, x= + /6+2k,k Z.

sin x= 3/2, x= /3+k, kZ.

tgx = /4, x=1+ k, kZ.

2. Neues Material studieren.

In dieser Lektion werden einige der gängigsten Methoden zum Lösen trigonometrischer Gleichungen behandelt.

Trigonometrische Gleichungen auf quadratisch reduziert.

Diese Klasse kann Gleichungen umfassen, die eine Funktion (Sinus oder Cosinus) oder zwei Funktionen desselben Arguments enthalten, von denen jedoch eine unter Verwendung grundlegender trigonometrischer Identitäten auf die zweite reduziert wird.

Wenn beispielsweise cosх in geraden Potenzen in die Gleichung eingeht, ersetzen wir es durch 1-sin 2 x, wenn sin 2 x, dann ersetzen wir es durch 1-cos 2 x.

Beispiel.

Gleichung lösen: 8 sin 2 x - 6sin x -5 =0.

Lösung: Bezeichnen wir sin x=t, dann 8t 2 - 6t – 5=0,

D= 196,

T 1 = -1/2, t 2 = -5/4.

Führen wir die umgekehrte Substitution durch und lösen die folgenden Gleichungen.

X=(-1) k+1 /6+ k, kZ.

Da -5/4>1 ist, hat die Gleichung keine Wurzeln.

Antwort: x=(-1) k+1 /6+ k, kZ.

Lösen von Konsolidierungsübungen.

Löse die Gleichung:

1) 2sin 2 x+ 3cos x = 0;

2) 5sin 2 x+ 6cos x -6 = 0;

3) 2sin 2 x+ 3cos 2 x = -2sin x;

4) 3 tg 2 x +2 tgx-1=0.

Homogene trigonometrische Gleichungen.

Definition: 1) Gleichung des FormularsA sinx + B cosx=0, (a=0, b=0) heißt eine homogene Gleichung ersten Grades bezüglich sin x und cos x.

Wird entschieden gegebene Gleichung indem man beide Teile durch dividiert cosx 0. Das Ergebnis ist die Gleichung atgx+ b=0.

2) Gleichung des FormularsA Sünde 2 X + B sinx cosx + C cos 2 X =0 heißt eine homogene Gleichung zweiten Grades, wobei a, b, c beliebige Zahlen sind.

Wenn a = 0, dann lösen wir die Gleichung, indem wir beide Seiten durch dividieren Weil 2 x 0. Als Ergebnis erhalten wir die Gleichung atg 2 x+ btgx+с =0.

Kommentar: Gleichung des FormularsA Sünde mx + B cos mx=0 oder

A Sünde 2 mx + B Sünde mx cos mx + C cos 2 mx =0 sind auch homogen. Um sie zu lösen, werden beide Seiten der Gleichung durch cos dividiert mx=0 oder weil 2 mx=0

3) Verschiedene Gleichungen, die ursprünglich keine homogenen Gleichungen sind, können auf homogene Gleichungen reduziert werden. Zum Beispiel,Sünde 2 mx + B Sünde mx cos mx + C cos 2 mx = D, Und A sinx + B cosx= D. Um diese Gleichungen zu lösen, müssen Sie die rechte Seite mit multiplizieren „trigonometrische Einheit“ diese. An Sünde 2 X + cos 2 X und mathematische Transformationen durchführen.

Übungen zur Festigung des gelernten Stoffes:

1) 2sin x- 3cos x = 0; 5) 4 sin 2 x – sin2x =3;

2) sin 2x+ cos2x = 0; 6) 3 sin 2 x + sinx cosx =2 cos 2 x ;

3) sin x+ 3cos x = 0; 7) 3 sin 2 x- sinx cosx =2;

4) sin 2 x -3 sinx cosx +2 cos 2 x =0

3. Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgaben.

In dieser Lektion können Sie je nach Vorbereitung der Gruppe über das Lösen von Gleichungen der Form nachdenken a sin mx +b cos mx=c, wobei a, b, c gleichzeitig ungleich Null sind.

Kräftigungsübungen:

1. 3sin x + cos x=2;

2. 3sin 2x + cos 2x= 2;

3. sin x/3 + cos x/3=1;

4. 12 sin x +5 cos x+13=0.

№ 3 Trigonometrische Gleichungen lösen

Ziel: 1) Studieren Sie die Methode zur Lösung trigonometrischer Gleichungen durch Faktorisierung; Lernen Sie, trigonometrische Gleichungen mit verschiedenen Methoden zu lösen trigonometrische Formeln;

2) Überprüfen Sie: Kenntnisse der Schüler über Formeln zur Lösung einfacher trigonometrischer Gleichungen; Fähigkeit, einfache trigonometrische Gleichungen zu lösen.

Unterrichtsplan:

Hausaufgaben überprüfen.

Mathematische Diktate.

Neues Material lernen.

Selbstständige Arbeit.

Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgaben.

Fortschritt der Lektion:

Hausaufgaben überprüfen (Lösungen trigonometrischer Gleichungen werden kurz an die Tafel geschrieben).

Mathematische Diktate.

IN 1

1. Welche Gleichungen werden als einfachste trigonometrische Gleichungen bezeichnet?

2. Wie heißt die Gleichung der Form?A sinx + B cosx=0? Geben Sie einen Lösungsweg an.

3.Schreiben Sie die Formel für die Wurzeln der Gleichung auf tgx = A(ctg x= A).

4. Schreiben Sie die Formeln für die Wurzeln der Gleichungen der Form auf cosx= A, Wo A=1, A=0, A=-1.

5. Schreiben Sie die allgemeine Formel für die Wurzeln der Gleichung auf Sünde x= A, | A|

6. Wie Gleichungen der Form gelöst werdenA cosx= B, | B|

UM 2

1. Schreiben Sie die Formeln für die Wurzeln der Gleichungen auf cosx= A,| A|

2. Schreiben Sie die allgemeine Formel für die Wurzeln der Gleichung auf

= A, | A|

3. Wie heißen Gleichungen der Form? Sünde x= A, tgx = A, Sünde x= A?

4.Schreiben Sie die Formeln für die Wurzeln der Gleichung auf Sünde x= A, Wenn A=1, A=0, A=-1.

5. Wie Gleichungen der Form gelöst werden Sünde A x= B, | B|

6. Welche Gleichungen nennt man homogene Gleichungen zweiten Grades? Wie werden sie gelöst?

Neues Material lernen.

Faktorisierungsmethode.

Eine der am häufigsten verwendeten Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen ist die Faktorisierungsmethode.

Wenn die Gleichung f(x) =0 als f 1 (x) f 2 (x) =0 dargestellt werden kann, dann reduziert sich das Problem auf die Lösung zweier Gleichungen f 1 (x) = 0, f 2 (x) = 0 .

(Bei Schülern ist es nützlich, sich an die Regel zu erinnern: Das Produkt der Faktoren ist gleich Null, wenn mindestens einer der Faktoren gleich Null ist und die anderen sinnvoll sind»)

Festigung des untersuchten Materials durch Lösung von Gleichungen unterschiedlicher Komplexität.

(sin x-1/2)(sin x+1)=0; 2) (cosx- 2/2)(sin x+ 2/2)=0;(selbst)

3) sin 2 x+ sin x cosx=0; 4) Sünde 2 x- Sünde x =0;

5) sin 2x – cosx=0; 6) 4 cos 2 x -1 =0; (2 Wege)

7) cosx+ cos3x=0; 8) Sünde 3x= Sünde 17x;

9) Sünde x+ Sünde 2x+ Sünde 3x=0; 10) cos3x cos5x

11) sin x cos5x = sin 9x cos3x sin 2x sin 2x

12) 3 cosx sin x+ cos 2 x=0(selbst)

13) 2 cos 2 x - sin (x- /2)+ tanx tan (x+/2)=0.

Selbstständige Arbeit.

Option-1 Option-2

1) 6 sin 2 x+ 5sin x -1=0; 1) 3 cos 2 x+2 cosx -5=0;

2) sin 2x – cos2x=0; 2) 3 cos x/2 - sin x/2=0;

3) 5 sin 2 x+ sin x cosx -2 cos 2 x=2; 3) 4sin 2 x- sin x cosx +7cos 2 x=5;

4) sin x+sin5x=sin3x+sin7x; 4) Sünde x-Sünde 2x +sin 3x-sin 4x=0;

5) sin x+cosx=1. 5) sin x+cosx=2.

8. Zusammenfassung der Lektion. Hausaufgaben.