Die Konstruktion von Funktionsgraphen, die Module enthalten, bereitet Schülern meist erhebliche Schwierigkeiten. Es ist jedoch nicht alles so schlimm. Es reicht aus, sich ein paar Algorithmen zur Lösung solcher Probleme zu merken, und Sie können problemlos einen Graphen selbst der scheinbar komplexesten Funktion erstellen. Lassen Sie uns herausfinden, um welche Art von Algorithmen es sich handelt.

1. Zeichnen eines Graphen der Funktion y = |f(x)|

Beachten Sie, dass die Menge der Funktionswerte y = |f(x)| : y ≥ 0. Somit liegen die Graphen solcher Funktionen immer vollständig in der oberen Halbebene.

Zeichnen eines Graphen der Funktion y = |f(x)| besteht aus den folgenden einfachen vier Schritten.

1) Konstruieren Sie sorgfältig und sorgfältig einen Graphen der Funktion y = f(x).

2) Lassen Sie alle Punkte im Diagramm unverändert, die über oder auf der 0x-Achse liegen.

3) Zeigen Sie den Teil des Diagramms, der unterhalb der 0x-Achse liegt, symmetrisch relativ zur 0x-Achse an.

Beispiel 1. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = |x 2 – 4x + 3|

1) Wir erstellen einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4x + 3. Offensichtlich ist der Graph dieser Funktion eine Parabel. Finden wir die Koordinaten aller Schnittpunkte der Parabel mit den Koordinatenachsen und die Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel.

x 2 – 4x + 3 = 0.

x 1 = 3, x 2 = 1.

Daher schneidet die Parabel die 0x-Achse in den Punkten (3, 0) und (1, 0).

y = 0 2 – 4 0 + 3 = 3.

Daher schneidet die Parabel die 0y-Achse im Punkt (0, 3).

Koordinaten des Parabelscheitelpunkts:

x in = -(-4/2) = 2, y in = 2 2 – 4 2 + 3 = -1.

Daher ist Punkt (2, -1) der Scheitelpunkt dieser Parabel.

Zeichnen Sie mit den erhaltenen Daten eine Parabel (Abb. 1)

2) Der unter der 0x-Achse liegende Teil des Diagramms wird symmetrisch relativ zur 0x-Achse angezeigt.

3) Wir erhalten einen Graphen der ursprünglichen Funktion ( Reis. 2, dargestellt in gepunkteter Linie).

2. Zeichnen der Funktion y = f(|x|)

Beachten Sie, dass Funktionen der Form y = f(|x|) gerade sind:

y(-x) = f(|-x|) = f(|x|) = y(x). Das bedeutet, dass die Graphen solcher Funktionen symmetrisch zur 0y-Achse sind.

Das Zeichnen eines Graphen der Funktion y = f(|x|) besteht aus der folgenden einfachen Aktionskette.

1) Zeichnen Sie die Funktion y = f(x) grafisch auf.

2) Belassen Sie den Teil des Graphen, für den x ≥ 0 ist, also den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.

3) Zeigen Sie den in Punkt (2) angegebenen Teil des Diagramms symmetrisch zur 0y-Achse an.

4) Wählen Sie als endgültige Grafik die Vereinigung der in den Punkten (2) und (3) erhaltenen Kurven aus.

Beispiel 2. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4 · |x| + 3

Da x 2 = |x| 2, dann kann die ursprüngliche Funktion in der folgenden Form umgeschrieben werden: y = |x| 2 – 4 · |x| + 3. Jetzt können wir den oben vorgeschlagenen Algorithmus anwenden.

1) Wir erstellen sorgfältig und sorgfältig einen Graphen der Funktion y = x 2 – 4 x + 3 (siehe auch Reis. 1).

2) Wir verlassen den Teil des Graphen, für den x ≥ 0 ist, also den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.

3) Anzeige rechte Seite Grafiken sind symmetrisch zur 0y-Achse.

(Abb. 3).

Beispiel 3. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = log 2 |x|

Wir wenden das oben angegebene Schema an.

1) Erstellen Sie einen Graphen der Funktion y = log 2 x (Abb. 4).

3. Zeichnen Sie die Funktion y = |f(|x|)|

Beachten Sie, dass Funktionen der Form y = |f(|x|)| sind auch gerade. Tatsächlich ist y(-x) = y = |f(|-x|)| = y = |f(|x|)| = y(x), und daher sind ihre Graphen symmetrisch um die 0y-Achse. Die Wertemenge solcher Funktionen: y ≥ 0. Dies bedeutet, dass die Graphen solcher Funktionen vollständig in der oberen Halbebene liegen.

Um die Funktion y = |f(|x|)| darzustellen, müssen Sie Folgendes tun:

1) Konstruieren Sie sorgfältig einen Graphen der Funktion y = f(|x|).

2) Lassen Sie den Teil des Diagramms, der über oder auf der 0x-Achse liegt, unverändert.

3) Zeigen Sie den Teil des Diagramms unterhalb der 0x-Achse symmetrisch relativ zur 0x-Achse an.

4) Wählen Sie als endgültige Grafik die Vereinigung der in den Punkten (2) und (3) erhaltenen Kurven aus.

Beispiel 4. Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = |-x 2 + 2|x| – 1|.

1) Beachten Sie, dass x 2 = |x| 2. Dies bedeutet, dass anstelle der ursprünglichen Funktion y = -x 2 + 2|x| - 1

Sie können die Funktion y = -|x| verwenden 2 + 2|x| – 1, da ihre Diagramme übereinstimmen.

Wir erstellen einen Graphen y = -|x| 2 + 2|x| – 1. Dazu verwenden wir Algorithmus 2.

a) Stellen Sie die Funktion y = -x 2 + 2x – 1 grafisch dar (Abb. 6).

b) Wir belassen den Teil des Graphen, der in der rechten Halbebene liegt.

c) Wir stellen den resultierenden Teil des Diagramms symmetrisch zur 0y-Achse dar.

d) Die resultierende Grafik ist in der Abbildung durch die gepunktete Linie dargestellt (Abb. 7).

2) Es gibt keine Punkte oberhalb der 0x-Achse; wir lassen die Punkte auf der 0x-Achse unverändert.

3) Der Teil des Diagramms, der sich unterhalb der 0x-Achse befindet, wird symmetrisch relativ zu 0x angezeigt.

4) Das resultierende Diagramm ist in der Abbildung mit einer gepunkteten Linie dargestellt (Abb. 8).

Beispiel 5. Stellen Sie die Funktion y = |(2|x| – 4) / (|x| + 3)| grafisch dar

1) Zuerst müssen Sie die Funktion y = (2|x| – 4) / (|x| + 3) zeichnen. Dazu kehren wir zu Algorithmus 2 zurück.

a) Zeichnen Sie sorgfältig die Funktion y = (2x – 4) / (x + 3) (Abb. 9).

Beachten Sie, dass diese Funktion gebrochen linear ist und ihr Graph eine Hyperbel ist. Um eine Kurve darzustellen, müssen Sie zunächst die Asymptoten des Diagramms ermitteln. Horizontal – y = 2/1 (das Verhältnis der Koeffizienten von x im Zähler und Nenner des Bruchs), vertikal – x = -3.

2) Wir lassen den Teil des Diagramms, der über oder auf der 0x-Achse liegt, unverändert.

3) Der Teil des Diagramms, der sich unterhalb der 0x-Achse befindet, wird symmetrisch relativ zu 0x angezeigt.

4) Die endgültige Grafik ist in der Abbildung dargestellt (Abb. 11).

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„Transformation von Funktionen“ – Wippe. Verschieben Sie die Y-Achse nach oben. Drehen Sie die Lautstärke ganz auf – Sie erhöhen die A (Amplitude) der Luftvibrationen. Verschieben Sie die x-Achse nach links. Lernziele. 3 Punkte. Musik. Zeichnen Sie die Funktion grafisch auf und bestimmen Sie D(f), E(f) und T: Kompression entlang der x-Achse. Verschieben Sie die Y-Achse nach unten. Fügen Sie der Palette Rot hinzu und reduzieren Sie k (Frequenz) der elektromagnetischen Schwingungen.

„Funktionen mehrerer Variablen“ – Ableitungen höherer Ordnung. Eine Funktion zweier Variablen kann grafisch dargestellt werden. Differential- und Integralrechnung. Interne und Grenzpunkte. Bestimmung des Grenzwertes einer Funktion aus 2 Variablen. Kurs der mathematischen Analyse. Bermann. Grenzwert einer Funktion aus 2 Variablen. Funktionsgraph. Satz. Begrenzter Bereich.

„Das Konzept einer Funktion“ – Methoden zum Zeichnen von Graphen quadratische Funktion. Es ist wichtig, verschiedene Möglichkeiten zum Definieren einer Funktion zu erlernen methodische Technik. Merkmale des Studiums quadratischer Funktionen. Genetische Interpretation des Begriffs „Funktion“. Funktionen und Graphen in einem Schulmathematikkurs. Die Idee einer linearen Funktion wird hervorgehoben, wenn eine bestimmte lineare Funktion grafisch dargestellt wird.

„Themenfunktion“ – Analyse. Es gilt nicht herauszufinden, was der Schüler nicht weiß, sondern was er weiß. Den Grundstein legen für Erfolgreiche Fertigstellung Einheitliches Staatsexamen und Zulassung zu Universitäten. Synthese. Wenn Schüler anders arbeiten, sollte der Lehrer auch anders mit ihnen arbeiten. Analogie. Verallgemeinerung. Verteilung der Aufgaben des Einheitlichen Staatsexamens nach Hauptinhaltsblöcken Schulkurs Mathematik.

„Transformation von Funktionsgraphen“ – Wiederholen Sie die Arten von Graphtransformationen. Ordnen Sie jedem Diagramm eine Funktion zu. Symmetrie. Ziel der Lektion: Diagramme erstellen komplexe Funktionen. Schauen wir uns Beispiele für Transformationen an und erklären wir jede Art von Transformation. Transformation von Funktionsgraphen. Dehnen. Verstärken Sie die Konstruktion von Funktionsgraphen durch Transformationen von Graphen elementarer Funktionen.

„Funktionsgraphen“ – Funktionstyp. Der Wertebereich einer Funktion umfasst alle Werte der abhängigen Variablen y. Der Graph einer Funktion ist eine Parabel. Der Graph der Funktion ist eine kubische Parabel. Der Graph einer Funktion ist eine Hyperbel. Der Definitionsbereich und der Wertebereich einer Funktion. Korrelieren Sie jede Zeile mit ihrer Gleichung: Der Definitionsbereich der Funktion umfasst alle Werte der unabhängigen Variablen x.

Build-Funktion

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„Natürlicher Logarithmus“ – 0,1. Natürliche Logarithmen. 4. Logarithmische Pfeile. 0,04. 7.121.

„Potenzfunktion Grad 9“ – U. Kubische Parabel. Y = x3. Lehrerin der 9. Klasse Ladoshkina I.A. Y = x2. Hyperbel. 0. Y = xn, y = x-n wobei n das Gegebene ist natürliche Zahl. X. Der Exponent ist eine gerade natürliche Zahl (2n).

„Quadratische Funktion“ – 1 Definition einer quadratischen Funktion 2 Eigenschaften einer Funktion 3 Graphen einer Funktion 4 Quadratische Ungleichungen 5 Fazit. Eigenschaften: Ungleichungen: Vorbereitet von Andrey Gerlitz, Schüler der 8A-Klasse. Plan: Diagramm: -Intervalle der Monotonie für a > 0 für a< 0. Квадратичная функция. Квадратичные функции используются уже много лет.

„Quadratische Funktion und ihr Graph“ – Lösung.y=4x A(0,5:1) 1=1 A-gehört. Wenn a=1, nimmt die Formel y=ax die Form an.

„Quadratische Funktion der 8. Klasse“ – 1) Konstruieren Sie den Scheitelpunkt einer Parabel. Zeichnen eines Diagramms einer quadratischen Funktion. X. -7. Konstruieren Sie einen Graphen der Funktion. Algebra 8. Klasse Lehrer 496 Bovina Schule T.V. -1. Konstruktionsplan. 2) Konstruieren Sie die Symmetrieachse x=-1. j.

1. Gebrochene lineare Funktion und ihr Graph

Eine Funktion der Form y = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome sind, wird als gebrochene rationale Funktion bezeichnet.

Mit dem Konzept Rationale Zahlen ihr kennt euch wahrscheinlich schon. Ebenfalls rationale Funktionen sind Funktionen, die als Quotient zweier Polynome dargestellt werden können.

Wenn eine gebrochene rationale Funktion der Quotient von zwei ist lineare Funktionen– Polynome ersten Grades, d.h. Funktion der Form

y = (ax + b) / (cx + d), dann heißt es gebrochen linear.

Beachten Sie, dass in der Funktion y = (ax + b) / (cx + d) c ≠ 0 ist (sonst wird die Funktion linear y = ax/d + b/d) und dass a/c ≠ b/d (sonst ist). Funktion ist konstant). Die lineare Bruchfunktion ist für alle reellen Zahlen außer x = -d/c definiert. Graphen gebrochener linearer Funktionen unterscheiden sich in ihrer Form nicht von dem Graphen y = 1/x, den Sie kennen. Eine Kurve, die ein Graph der Funktion y = 1/x ist, heißt Hyperbel. Mit unbegrenzter Vergrößerung von x Absolutwert Die Funktion y = 1/x nimmt im Absolutwert unbegrenzt ab und beide Zweige des Diagramms nähern sich der x-Achse: der rechte nähert sich von oben und der linke von unten. Die Linien, denen sich die Zweige einer Hyperbel nähern, werden als ihre bezeichnet Asymptoten.

Beispiel 1.

y = (2x + 1) / (x – 3).

Lösung.

Wählen wir den gesamten Teil aus: (2x + 1) / (x – 3) = 2 + 7/(x – 3).

Nun ist leicht zu erkennen, dass der Graph dieser Funktion aus dem Graphen der Funktion y = 1/x durch die folgenden Transformationen erhalten wird: Verschiebung um 3 Einheitssegmente nach rechts, siebenfache Streckung entlang der Oy-Achse und Verschiebung um 2 Gerätesegmente nach oben.

Jeder Bruch y = (ax + b) / (cx + d) kann auf ähnliche Weise geschrieben werden, wobei der „ganzzahlige Teil“ hervorgehoben wird. Folglich sind die Graphen aller gebrochenen linearen Funktionen Hyperbeln, die auf unterschiedliche Weise entlang der Koordinatenachsen verschoben und entlang der Oy-Achse gestreckt sind.

Um einen Graphen einer beliebigen gebrochen-linearen Funktion zu erstellen, ist es überhaupt nicht notwendig, den Bruch, der diese Funktion definiert, zu transformieren. Da wir wissen, dass der Graph eine Hyperbel ist, reicht es aus, die Geraden zu finden, denen sich seine Zweige nähern – die Asymptoten der Hyperbel x = -d/c und y = a/c.

Beispiel 2.

Finden Sie die Asymptoten des Graphen der Funktion y = (3x + 5)/(2x + 2).

Lösung.

Die Funktion ist bei x = -1 nicht definiert. Das bedeutet, dass die Gerade x = -1 als vertikale Asymptote dient. Um die horizontale Asymptote zu finden, wollen wir herausfinden, wie sich die Werte der Funktion y(x) nähern, wenn der Absolutwert des Arguments x zunimmt.

Teilen Sie dazu Zähler und Nenner des Bruchs durch x:

y = (3 + 5/x) / (2 + 2/x).

Da x → ∞, tendiert der Bruch zu 3/2. Das bedeutet, dass die horizontale Asymptote die Gerade y = 3/2 ist.

Beispiel 3.

Zeichnen Sie die Funktion y = (2x + 1)/(x + 1).

Lösung.

Wählen wir den „ganzen Teil“ des Bruchs aus:

(2x + 1) / (x + 1) = (2x + 2 – 1) / (x + 1) = 2(x + 1) / (x + 1) – 1/(x + 1) =

2 – 1/(x + 1).

Nun ist leicht zu erkennen, dass der Graph dieser Funktion aus dem Graphen der Funktion y = 1/x durch die folgenden Transformationen erhalten wird: eine Verschiebung um 1 Einheit nach links, eine symmetrische Darstellung bezüglich Ox und eine Verschiebung um 2 Einheitensegmente nach oben entlang der Oy-Achse.

Domäne D(y) = (-∞; -1)ᴗ(-1; +∞).

Wertebereich E(y) = (-∞; 2)ᴗ(2; +∞).

Schnittpunkte mit Achsen: c Oy: (0; 1); c Ox: (-1/2; 0). Die Funktion nimmt in jedem Intervall des Definitionsbereichs zu.

Antwort: Abbildung 1.

2. Bruchrationale Funktion

Betrachten Sie eine gebrochene rationale Funktion der Form y = P(x) / Q(x), wobei P(x) und Q(x) Polynome mit höherem Grad als dem ersten sind.

Beispiele für solche rationalen Funktionen:

y = (x 3 – 5x + 6) / (x 7 – 6) oder y = (x – 2) 2 (x + 1) / (x 2 + 3).

Wenn die Funktion y = P(x) / Q(x) den Quotienten zweier Polynome mit höherem Grad als dem ersten darstellt, ist ihr Graph in der Regel komplexer und es kann manchmal schwierig sein, ihn genau zu konstruieren , mit allen Details. Allerdings reicht es oft aus, Techniken zu verwenden, die denen ähneln, die wir oben bereits vorgestellt haben.

Der Bruch sei ein echter Bruch (n< m). Известно, что любую несократимую рациональную дробь можно представить, и притом der einzige Weg, als Summe endliche Zahl elementare Brüche, dessen Form durch Zerlegung des Nenners des Bruchs Q(x) in das Produkt reeller Faktoren bestimmt wird:

P(x)/Q(x) = A 1 /(x – K 1) m1 + A 2 /(x – K 1) m1-1 + … + A m1 /(x – K 1) + …+

L 1 /(x – K s) ms + L 2 /(x – K s) ms-1 + … + L ms /(x – K s) + …+

+ (B 1 x + C 1) / (x 2 +p 1 x + q 1) m1 + … + (B m1 x + C m1) / (x 2 +p 1 x + q 1) + …+

+ (M 1 x + N 1) / (x 2 +p t x + q t) m1 + … + (M m1 x + N m1) / (x 2 +p t x + q t).

Offensichtlich kann der Graph einer gebrochenen rationalen Funktion als Summe der Graphen elementarer Brüche erhalten werden.

Zeichnen von Graphen gebrochener rationaler Funktionen

Betrachten wir verschiedene Möglichkeiten, Graphen einer gebrochenen rationalen Funktion zu erstellen.

Beispiel 4.

Zeichnen Sie einen Graphen der Funktion y = 1/x 2 .

Lösung.

Wir verwenden den Graphen der Funktion y = x 2, um einen Graphen von y = 1/x 2 zu konstruieren, und verwenden die Technik des „Teilens“ der Graphen.

Domäne D(y) = (-∞; 0)ᴗ(0; +∞).

Wertebereich E(y) = (0; +∞).

Es gibt keine Schnittpunkte mit den Achsen. Die Funktion ist gerade. Steigt für alle x ab dem Intervall (-∞; 0), sinkt für x von 0 bis +∞.

Antwort: Abbildung 2.

Beispiel 5.

Zeichnen Sie die Funktion y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x).

Lösung.

Domäne D(y) = (-∞; 3)ᴗ(3; +∞).

y = (x 2 – 4x + 3) / (9 – 3x) = (x – 3)(x – 1) / (-3(x – 3)) = -(x – 1)/3 = -x/ 3 + 1/3.

Hier verwendeten wir die Technik der Faktorisierung, Reduktion und Reduktion auf eine lineare Funktion.

Antwort: Abbildung 3.

Beispiel 6.

Zeichnen Sie die Funktion y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) grafisch auf.

Lösung.

Der Definitionsbereich ist D(y) = R. Da die Funktion gerade ist, ist der Graph symmetrisch zur Ordinate. Bevor wir ein Diagramm erstellen, transformieren wir den Ausdruck noch einmal und heben den gesamten Teil hervor:

y = (x 2 – 1)/(x 2 + 1) = 1 – 2/(x 2 + 1).

Beachten Sie, dass die Isolierung des ganzzahligen Teils in der Formel einer gebrochenen rationalen Funktion eine der wichtigsten Aufgaben beim Erstellen von Diagrammen ist.

Wenn x → ±∞, dann ist y → 1, d. h. die Gerade y = 1 ist eine horizontale Asymptote.

Antwort: Abbildung 4.

Beispiel 7.

Betrachten wir die Funktion y = x/(x 2 + 1) und versuchen wir, ihren größten Wert genau zu finden, d. h. am meisten Hochpunkt rechte Hälfte der Grafik. Um dieses Diagramm genau zu erstellen, reicht der heutige Wissensstand nicht aus. Offensichtlich kann unsere Kurve nicht sehr hoch „steigen“, weil Der Nenner beginnt schnell, den Zähler zu „überholen“. Mal sehen, ob der Wert der Funktion gleich 1 sein kann. Dazu müssen wir die Gleichung x 2 + 1 = x, x 2 – x + 1 = 0 lösen. Diese Gleichung hat nicht echte Wurzeln. Das bedeutet, dass unsere Annahme falsch ist. Um das Meiste zu finden sehr wichtig Funktion müssen Sie herausfinden, bei welchem ​​größten A die Gleichung A = x/(x 2 + 1) eine Lösung hat. Ersetzen wir die ursprüngliche Gleichung durch eine quadratische: Аx 2 – x + А = 0. Diese Gleichung hat eine Lösung, wenn 1 – 4А 2 ≥ 0. Von hier aus finden wir Höchster Wert A = 1/2.

Antwort: Abbildung 5, max y(x) = ½.

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