FizMat: Quadratische Funktion. Ein vollständiges Quadrat auswählen. Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, Bedingungen für ihre Existenz und Zahlen. Direkte und inverse Vieta-Theoreme. Zerlegung eines quadratischen Trinoms in lineare Faktoren. So beweisen Sie den Satz von Vieta

Der Satz von Vieta wird häufig verwendet, um bereits gefundene Wurzeln zu überprüfen. Wenn Sie die Wurzeln gefunden haben, können Sie mit den Formeln \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) die Werte von \(p \) und \(q\ ). Und wenn sich herausstellt, dass sie dieselben sind wie in der ursprünglichen Gleichung, dann sind die Wurzeln richtig gefunden.

Lassen Sie uns zum Beispiel mit die Gleichung \(x^2+x-56=0\) lösen und die Wurzeln erhalten: \(x_1=7\), \(x_2=-8\). Überprüfen wir, ob uns im Lösungsprozess ein Fehler unterlaufen ist. In unserem Fall ist \(p=1\) und \(q=-56\). Nach dem Satz von Vieta gilt:

\(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)7+(-8)=-1 \\7\cdot(-8)=-56\end(cases)\) \(\Leftrightarrow\) \(\begin(cases)-1=-1\\-56=-56\end(cases)\ )

Beide Aussagen stimmten überein, was bedeutet, dass wir die Gleichung richtig gelöst haben.

Diese Prüfung kann mündlich erfolgen. Es dauert 5 Sekunden und erspart Ihnen dumme Fehler.

Vietas umgekehrter Satz

Wenn \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\end(cases)\), dann sind \(x_1\) und \(x_2\) die Wurzeln der quadratischen Gleichung \ (x^ 2+px+q=0\).

Oder auf einfache Weise: Wenn Sie eine Gleichung der Form \(x^2+px+q=0\) haben, dann lösen Sie das System \(\begin(cases)x_1+x_2=-p \\x_1 \cdot x_2=q\ end(cases)\) finden Sie seine Wurzeln.

Dank dieses Satzes können Sie schnell die Wurzeln finden quadratische Gleichung, besonders wenn diese Wurzeln sind . Diese Fähigkeit ist wichtig, weil sie viel Zeit spart.

Beispiel . Lösen Sie die Gleichung \(x^2-5x+6=0\).

Lösung : Unter Verwendung des Umkehrsatzes von Vieta finden wir, dass die Wurzeln die Bedingungen erfüllen: \(\begin(cases)x_1+x_2=5 \\x_1 \cdot x_2=6\end(cases)\).
Schauen Sie sich die zweite Gleichung des Systems \(x_1 \cdot x_2=6\) an. In welche zwei lässt sich die Zahl \(6\) zerlegen? Auf \(2\) und \(3\), \(6\) und \(1\) oder \(-2\) und \(-3\) und \(-6\) und \(- 1\). Die erste Gleichung des Systems sagt Ihnen, welches Paar Sie wählen müssen: \(x_1+x_2=5\). \(2\) und \(3\) sind ähnlich, da \(2+3=5\).
Antwort : \(x_1=2\), \(x_2=3\).

Beispiele . Finden Sie mithilfe der Umkehrung des Satzes von Vieta die Wurzeln der quadratischen Gleichung:
a) \(x^2-15x+14=0\); b) \(x^2+3x-4=0\); c) \(x^2+9x+20=0\); d) \(x^2-88x+780=0\).

Lösung :
a) \(x^2-15x+14=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(14\)? \(2\) und \(7\), \(-2\) und \(-7\), \(-1\) und \(-14\), \(1\) und \(14\ ). Welche Zahlenpaare ergeben \(15\)? Antwort: \(1\) und \(14\).

b) \(x^2+3x-4=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(-4\)? \(-2\) und \(2\), \(4\) und \(-1\), \(1\) und \(-4\). Welche Zahlenpaare ergeben in der Summe \(-3\)? Antwort: \(1\) und \(-4\).

c) \(x^2+9x+20=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(20\)? \(4\) und \(5\), \(-4\) und \(-5\), \(2\) und \(10\), \(-2\) und \(-10\ ), \(-20\) und \(-1\), \(20\) und \(1\). Welche Zahlenpaare ergeben in der Summe \(-9\)? Antwort: \(-4\) und \(-5\).

d) \(x^2-88x+780=0\) – in welche Faktoren zerfällt \(780\)? \(390\) und \(2\). Ergibt die Summe \(88\)? Nein. Welche anderen Multiplikatoren hat \(780\)? \(78\) und \(10\). Ergibt die Summe \(88\)? Ja. Antwort: \(78\) und \(10\).

Es ist nicht notwendig, den letzten Term auf alle möglichen Faktoren zu erweitern (wie im letzten Beispiel). Sie können sofort prüfen, ob ihre Summe \(-p\) ergibt.

Wichtig! Satz von Vieta und umgekehrter Satz nur mit arbeiten, d. h. mit einem, dessen Koeffizient vor \(x^2\) gleich eins. Wenn uns zunächst eine nichtreduzierte Gleichung gegeben wurde, können wir sie reduzieren, indem wir einfach durch den Koeffizienten vor \(x^2\) dividieren.

Zum Beispiel, sei die Gleichung \(2x^2-4x-6=0\) gegeben und wir wollen einen der Sätze von Vieta verwenden. Das können wir aber nicht, da der Koeffizient von \(x^2\) gleich \(2\) ist. Beseitigen wir es, indem wir die gesamte Gleichung durch \(2\) dividieren.

\(2x^2-4x-6=0\) \(|:2\)
\(x^2-2x-3=0\)

Bereit. Jetzt können Sie beide Sätze verwenden.

Antworten auf häufig gestellte Fragen

Frage: Mit dem Satz von Vieta können Sie jedes Problem lösen?
Antwort: Leider gibt es keine. Wenn die Gleichung keine ganzen Zahlen enthält oder überhaupt keine Wurzeln hat, hilft der Satz von Vieta nicht weiter. In diesem Fall müssen Sie verwenden diskriminierend . Glücklicherweise sind 80 % der Gleichungen in Schulkurs Mathematik hat vollständige Lösungen.

Quadratische Funktion.

Eine Funktion, die durch die Formel y = ax2 + bx + c gegeben ist, wobei x und y Variablen sind und a, b, c gegebene Zahlen sind und a ungleich 0 ist.
angerufen quadratische Funktion

Auswahl volles Quadrat.

Herleitung der Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung, Bedingungen für ihre Existenz und Zahlen.

– Diskriminante einer quadratischen Gleichung.

Direkte und inverse Vieta-Theoreme.

Zersetzung quadratisches Trinom zu linearen Faktoren.

Satz. Lassen

X 1 und X 2 - Wurzeln eines quadratischen TrinomsX 2 + px + Q. Dann wird dieses Trinom wie folgt in lineare Faktoren zerlegt:X 2 + px + Q = (X - X 1) (X - X 2).

Nachweisen. Lassen Sie uns stattdessen ersetzen

P Und Qihre Ausdrücke durchX 1 und X 2 und verwenden Sie die Gruppierungsmethode:

x 2 + px + Q = X 2 - (X 1 + X 2 ) X + X 1 X 2 = X 2 - X 1 X - X 2 X + X 1 X 2 = X (X - X 1 ) - X 2 (X - X 1 ) = = (X - X 1 ) (X - X 2 ). Der Satz ist bewiesen.

Quadratische Gleichung. Graph eines quadratischen Trinoms

Gleichung des Formulars

eine quadratische Gleichung genannt. Die Zahl D = b 2 - 4ac ist die Diskriminante dieser Gleichung.
Wenn

dann die Zahlen

sind die Wurzeln (oder Lösungen) einer quadratischen Gleichung. Wenn D = 0, dann sind die Wurzeln gleich:

Wenn D< 0, то квадратное уравнение корней не имеет.
Gültige Formeln:

— Vieta-Formeln; A
ax 2 + bx + c = a(x - x 1)(x - x 2) -
Faktorisierungsformel.
Der Graph der quadratischen Funktion (quadratisches Trinom) y = ax 2 + bx + c ist eine Parabel. Die Lage der Parabel in Abhängigkeit von den Vorzeichen des Koeffizienten a und der Diskriminante D ist in Abb. dargestellt.

Die Zahlen x 1 und x 2 auf der Abszissenachse sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung ax 2 + bx + + c = 0; Koordinaten des Scheitelpunkts der Parabel (Punkt A) in allen Fällen

der Schnittpunkt der Parabel mit der Ordinatenachse hat die Koordinaten (0; c).
Wie eine Gerade und ein Kreis teilt eine Parabel eine Ebene in zwei Teile. In einem dieser Teile erfüllen die Koordinaten aller Punkte die Ungleichung y > ax 2 + bx + c, im anderen das Gegenteil. Wir bestimmen das Ungleichheitszeichen im ausgewählten Teil der Ebene, indem wir es an einem beliebigen Punkt in diesem Teil der Ebene finden.
Betrachten wir das Konzept einer Tangente an eine Parabel (oder einen Kreis). Wir nennen die Gerade y - kx + 1 Tangente an eine Parabel (oder einen Kreis), wenn sie mit dieser Kurve einen gemeinsamen Punkt hat.

Im Berührungspunkt M(x; y) gilt für eine Parabel die Gleichheit kx +1 = ax 2 + bx + c (für einen Kreis - die Gleichheit (x - x 0) 2 + (kx + 1 - y 0 ) 2 - R 2). Indem wir die Diskriminante der resultierenden quadratischen Gleichung mit Null gleichsetzen (da die Gleichung eine eindeutige Lösung haben muss), gelangen wir zu den Bedingungen für die Berechnung der Tangentenkoeffizienten.

In quadratischen Gleichungen gibt es eine Reihe von Beziehungen. Die wichtigsten sind die Beziehungen zwischen Wurzeln und Koeffizienten. Auch in quadratischen Gleichungen gibt es eine Reihe von Beziehungen, die durch den Satz von Vieta gegeben sind.

In diesem Thema stellen wir den Satz von Vieta selbst und seinen Beweis für eine quadratische Gleichung vor, den Satz, der zum Satz von Vieta invers ist, und analysieren eine Reihe von Beispielen zur Lösung von Problemen. Im Material werden wir besonderes Augenmerk auf die Berücksichtigung der Formeln von Vieta legen, die die Beziehung zwischen realen Wurzeln definieren algebraische Gleichung Grad N und seine Koeffizienten.

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Formulierung und Beweis des Satzes von Vieta

Formel für die Wurzeln einer quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0 der Form x 1 = - b + D 2 · a, x 2 = - b - D 2 · a, wobei D = b 2 − 4 a c, stellt Beziehungen her x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a. Dies wird durch den Satz von Vieta bestätigt.

Satz 1

In einer quadratischen Gleichung a x 2 + b x + c = 0, Wo x 1 Und x 2– Wurzeln, die Summe der Wurzeln ist gleich dem Verhältnis der Koeffizienten B Und A, das mit dem umgekehrten Vorzeichen genommen wurde, und das Produkt der Wurzeln ist gleich dem Verhältnis der Koeffizienten C Und A, d.h. x 1 + x 2 = - b a, x 1 x 2 = c a.

Beweis 1

Wir bieten Ihnen das folgende Schema zur Durchführung des Beweises an: Nehmen Sie die Formel der Wurzeln, bilden Sie die Summe und das Produkt der Wurzeln der quadratischen Gleichung und transformieren Sie dann die resultierenden Ausdrücke, um sicherzustellen, dass sie gleich sind - b a Und c a jeweils.

Bilden wir die Summe der Wurzeln x 1 + x 2 = - b + D 2 · a + - b - D 2 · a. Reduzieren wir die Brüche auf gemeinsamer Nenner- b + D 2 · a + - b - D 2 · a = - b + D + - b - D 2 · a . Öffnen wir die Klammern im Zähler des resultierenden Bruchs und stellen ähnliche Terme dar: - b + D + - b - D 2 · a = - b + D - b - D 2 · a = - 2 · b 2 · a . Reduzieren wir den Bruch um: 2 - b a = - b a.

So haben wir die erste Beziehung des Satzes von Vieta bewiesen, die sich auf die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung bezieht.

Kommen wir nun zur zweiten Beziehung.

Dazu müssen wir das Produkt der Wurzeln der quadratischen Gleichung bilden: x 1 · x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a.

Erinnern wir uns an die Regel zum Multiplizieren von Brüchen und schreiben wir das letzte Produkt wie folgt: - b + D · - b - D 4 · a 2.

Lassen Sie uns eine Klammer mit einer Klammer im Zähler des Bruchs multiplizieren oder die Quadratdifferenzformel verwenden, um dieses Produkt schneller umzuwandeln: - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 .

Lassen Sie uns die Definition verwenden Quadratwurzel um den folgenden Übergang durchzuführen: - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2. Formel D = b 2 − 4 a c entspricht der Diskriminante einer quadratischen Gleichung, also in einen Bruch statt D kann ersetzt werden b 2 − 4 a c:

b 2 - D 4 a 2 = b 2 - (b 2 - 4 a c) 4 a 2

Öffnen wir die Klammern, fügen ähnliche Begriffe hinzu und erhalten: 4 · a · c 4 · a 2 . Wenn wir es verkürzen auf 4 a, dann bleibt c a übrig. Auf diese Weise haben wir die zweite Beziehung des Satzes von Vieta für das Produkt von Wurzeln bewiesen.

Der Beweis des Satzes von Vieta kann in einer sehr lakonischen Form geschrieben werden, wenn wir die Erklärungen weglassen:

x 1 + x 2 = - b + D 2 a + - b - D 2 a = - b + D + - b - D 2 a = - 2 b 2 a = - b a , x 1 x 2 = - b + D 2 · a · - b - D 2 · a = - b + D · - b - D 4 · a 2 = - b 2 - D 2 4 · a 2 = b 2 - D 4 · a 2 = = D = b 2 - 4 · a · c = b 2 - b 2 - 4 · a · c 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a .

Wenn die Diskriminante einer quadratischen Gleichung gleich Null ist, hat die Gleichung nur eine Wurzel. Um den Satz von Vieta auf eine solche Gleichung anwenden zu können, können wir annehmen, dass die Gleichung mit einer Diskriminante gleich Null zwei identische Wurzeln hat. In der Tat, wann D=0 Die Wurzel der quadratischen Gleichung ist: - b 2 · a, dann x 1 + x 2 = - b 2 · a + - b 2 · a = - b + (- b) 2 · a = - 2 · b 2 · a = - b a und x 1 · x 2 = - b 2 · a · - b 2 · a = - b · - b 4 · a 2 = b 2 4 · a 2 , und da D = 0, also b 2 - 4 · a · c = 0, daher b 2 = 4 · a · c, dann b 2 4 · a 2 = 4 · a · c 4 · a 2 = c a.

In der Praxis wird der Satz von Vieta am häufigsten auf die reduzierte quadratische Gleichung der Form angewendet x 2 + p x + q = 0, wobei der führende Koeffizient a gleich 1 ist. In diesem Zusammenhang ist der Satz von Vieta speziell für Gleichungen dieser Art formuliert. Dies schränkt die Allgemeingültigkeit nicht ein, da jede quadratische Gleichung durch eine äquivalente Gleichung ersetzt werden kann. Dazu müssen Sie beide Teile durch eine von Null verschiedene Zahl a dividieren.

Lassen Sie uns eine andere Formulierung des Satzes von Vieta geben.

Satz 2

Summe der Wurzeln in der gegebenen quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0 wird gleich dem Koeffizienten von x sein, der mit dem umgekehrten Vorzeichen genommen wird, das Produkt der Wurzeln wird gleich dem freien Term sein, d.h. x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q.

Satz umgekehrt zum Satz von Vieta

Wenn Sie sich die zweite Formulierung des Satzes von Vieta genau ansehen, können Sie dies für die Wurzeln erkennen x 1 Und x 2 reduzierte quadratische Gleichung x 2 + p x + q = 0 die folgenden Beziehungen gelten: x 1 + x 2 = − p, x 1 · x 2 = q. Aus diesen Beziehungen x 1 + x 2 = − p, x 1 x 2 = q folgt Folgendes x 1 Und x 2 sind die Wurzeln der quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0. Wir kommen also zu einer Aussage, die die Umkehrung des Satzes von Vieta ist.

Wir schlagen nun vor, diese Aussage als Satz zu formalisieren und ihren Beweis durchzuführen.

Satz 3

Wenn die Zahlen x 1 Und x 2 sind so x 1 + x 2 = − p Und x 1 x 2 = q, Das x 1 Und x 2 sind die Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung x 2 + p x + q = 0.

Beweis 2

Quoten ersetzen P Und Q zu ihrem Ausdruck durch x 1 Und x 2 ermöglicht es Ihnen, die Gleichung umzuwandeln x 2 + p x + q = 0 in ein Äquivalent .

Wenn wir die Zahl in die resultierende Gleichung einsetzen x 1 anstatt X, dann erhalten wir die Gleichheit x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = 0. Das ist Gleichheit für alle x 1 Und x 2 verwandelt sich in eine echte numerische Gleichheit 0 = 0 , als x 1 2 − (x 1 + x 2) x 1 + x 1 x 2 = x 1 2 − x 1 2 − x 2 x 1 + x 1 x 2 = 0. Das bedeutet es x 1- Wurzel der Gleichung x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, Na und x 1 ist auch die Wurzel der äquivalenten Gleichung x 2 + p x + q = 0.

Einsetzen in die Gleichung x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0 Zahlen x 2 anstelle von x können wir Gleichheit erreichen x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = 0. Diese Gleichheit kann seitdem als wahr angesehen werden x 2 2 − (x 1 + x 2) x 2 + x 1 x 2 = x 2 2 − x 1 x 2 − x 2 2 + x 1 x 2 = 0. Es stellt sich heraus, dass x 2 ist die Wurzel der Gleichung x 2 − (x 1 + x 2) x + x 1 x 2 = 0, und daher die Gleichungen x 2 + p x + q = 0.

Die Umkehrung des Satzes von Vieta wurde bewiesen.

Beispiele für die Verwendung des Satzes von Vieta

Beginnen wir nun mit der Analyse der typischsten Beispiele zu diesem Thema. Beginnen wir mit der Analyse von Problemen, die die Anwendung des zum Vieta-Theorem umgekehrten Theorems erfordern. Es kann verwendet werden, um durch Berechnungen erzeugte Zahlen daraufhin zu überprüfen, ob sie die Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung sind. Dazu müssen Sie deren Summe und Differenz berechnen und dann die Gültigkeit der Beziehungen x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = a c überprüfen.

Die Erfüllung beider Beziehungen zeigt an, dass die bei den Berechnungen erhaltenen Zahlen die Wurzeln der Gleichung sind. Wenn wir feststellen, dass mindestens eine der Bedingungen nicht erfüllt ist, können diese Zahlen nicht die Wurzeln der in der Problemstellung angegebenen quadratischen Gleichung sein.

Beispiel 1

Welches der Zahlenpaare 1) x 1 = − 5, x 2 = 3, oder 2) x 1 = 1 - 3, x 2 = 3 + 3, oder 3) x 1 = 2 + 7 2, x 2 = 2 - 7 2 ist ein Wurzelpaar einer quadratischen Gleichung 4 x 2 − 16 x + 9 = 0?

Lösung

Finden wir die Koeffizienten der quadratischen Gleichung 4 x 2 − 16 x + 9 = 0. Das ist a = 4, b = − 16, c = 9. Nach dem Satz von Vieta muss die Summe der Wurzeln einer quadratischen Gleichung gleich sein - b a, also, 16 4 = 4 , und das Produkt der Wurzeln muss gleich sein c a, also, 9 4 .

Überprüfen wir die erhaltenen Zahlen, indem wir die Summe und das Produkt der Zahlen aus drei gegebenen Paaren berechnen und sie mit den erhaltenen Werten vergleichen.

Im ersten Fall x 1 + x 2 = − 5 + 3 = − 2. Dieser Wert ist ungleich 4, daher muss die Prüfung nicht fortgesetzt werden. Nach dem umgekehrten Satz zum Satz von Vieta können wir sofort schlussfolgern, dass das erste Zahlenpaar nicht die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind.

Im zweiten Fall ist x 1 + x 2 = 1 - 3 + 3 + 3 = 4. Wir sehen, dass die erste Bedingung erfüllt ist. Aber die zweite Bedingung ist nicht: x 1 · x 2 = 1 - 3 · 3 + 3 = 3 + 3 - 3 · 3 - 3 = - 2 · 3. Der Wert, den wir erhalten haben, ist unterschiedlich 9 4 . Das bedeutet, dass das zweite Zahlenpaar nicht die Wurzeln der quadratischen Gleichung sind.

Betrachten wir nun das dritte Paar. Hier x 1 + x 2 = 2 + 7 2 + 2 - 7 2 = 4 und x 1 x 2 = 2 + 7 2 2 - 7 2 = 2 2 - 7 2 2 = 4 - 7 4 = 16 4 - 7 4 = 9 4. Beide Bedingungen sind erfüllt, was bedeutet, dass x 1 Und x 2 sind die Wurzeln einer gegebenen quadratischen Gleichung.

Antwort: x 1 = 2 + 7 2 , x 2 = 2 - 7 2

Wir können auch die Umkehrung des Satzes von Vieta verwenden, um die Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu finden. Der einfachste Weg besteht darin, ganzzahlige Wurzeln der gegebenen quadratischen Gleichungen mit ganzzahligen Koeffizienten auszuwählen. Andere Optionen können in Betracht gezogen werden. Dies kann die Berechnungen jedoch erheblich erschweren.

Um Wurzeln auszuwählen, nutzen wir die Tatsache, dass, wenn die Summe zweier Zahlen gleich dem zweiten Koeffizienten einer quadratischen Gleichung mit einem Minuszeichen ist und das Produkt dieser Zahlen gleich dem freien Term ist, diese Zahlen sind Wurzeln dieser quadratischen Gleichung.

Beispiel 2

Als Beispiel verwenden wir die quadratische Gleichung x 2 − 5 x + 6 = 0. Zahlen x 1 Und x 2 können die Wurzeln dieser Gleichung sein, wenn zwei Gleichungen erfüllt sind x 1 + x 2 = 5 Und x 1 x 2 = 6. Wählen wir diese Zahlen aus. Dies sind die Nummern 2 und 3, da 2 + 3 = 5 Und 2 3 = 6. Es stellt sich heraus, dass 2 und 3 die Wurzeln dieser quadratischen Gleichung sind.

Die Umkehrung des Satzes von Vieta kann verwendet werden, um die zweite Wurzel zu finden, wenn die erste bekannt oder offensichtlich ist. Dazu können wir die Beziehungen x 1 + x 2 = - b a, x 1 · x 2 = c a verwenden.

Beispiel 3

Betrachten Sie die quadratische Gleichung 512 x 2 − 509 x − 3 = 0. Wir müssen Wurzeln finden gegebene Gleichung.

Lösung

Die erste Wurzel der Gleichung ist 1, da die Summe der Koeffizienten dieser quadratischen Gleichung Null ist. Es stellt sich heraus, dass x 1 = 1.

Lassen Sie uns nun die zweite Wurzel finden. Hierzu können Sie die Relation verwenden x 1 x 2 = c a. Es stellt sich heraus, dass 1 x 2 = − 3.512, Wo x 2 = - 3.512.

Antwort: Wurzeln der in der Problemstellung angegebenen quadratischen Gleichung 1 Und - 3 512 .

Nur in einfachen Fällen ist es möglich, Wurzeln mithilfe des zum Satz von Vieta inversen Satzes auszuwählen. In anderen Fällen ist es besser, mithilfe der Formel nach den Wurzeln einer quadratischen Gleichung durch eine Diskriminante zu suchen.

Dank der Umkehrung des Satzes von Vieta können wir auch quadratische Gleichungen unter Verwendung der vorhandenen Wurzeln konstruieren x 1 Und x 2. Dazu müssen wir die Summe der Wurzeln berechnen, die den Koeffizienten für ergibt X mit dem entgegengesetzten Vorzeichen der gegebenen quadratischen Gleichung und dem Produkt der Wurzeln, das den freien Term ergibt.

Beispiel 4

Schreiben Sie eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln Zahlen sind − 11 Und 23 .

Lösung

Nehmen wir das an x 1 = − 11 Und x 2 = 23. Die Summe und das Produkt dieser Zahlen sind gleich: x 1 + x 2 = 12 Und x 1 x 2 = − 253. Das bedeutet, dass der zweite Koeffizient 12 ist, der freie Term − 253.

Machen wir eine Gleichung: x 2 − 12 x − 253 = 0.

Antwort: x 2 − 12 x − 253 = 0 .

Wir können den Satz von Vieta verwenden, um Probleme zu lösen, bei denen es um die Vorzeichen der Wurzeln quadratischer Gleichungen geht. Der Zusammenhang zwischen dem Satz von Vieta hängt mit den Vorzeichen der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung zusammen x 2 + p x + q = 0 auf die folgende Weise:

wenn die quadratische Gleichung reelle Wurzeln hat und wenn der Achsenabschnittsterm Q eine positive Zahl ist, dann haben diese Wurzeln das gleiche Vorzeichen „+“ oder „-“;
ob die quadratische Gleichung Wurzeln hat und ob der Achsenabschnittsterm Q eine negative Zahl ist, dann ist eine Wurzel „+“ und die zweite „-“.

Beide Aussagen sind eine Konsequenz der Formel x 1 x 2 = q und Regeln für die Multiplikation von positiven und negative Zahlen sowie Zahlen mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Beispiel 5

Sind die Wurzeln einer quadratischen Gleichung x 2 − 64 x − 21 = 0 positiv?

Lösung

Nach dem Satz von Vieta können die Wurzeln dieser Gleichung nicht beide positiv sein, da sie die Gleichheit erfüllen müssen x 1 x 2 = − 21. Dies ist mit Positiv unmöglich x 1 Und x 2.

Antwort: Nein

Beispiel 6

Bei welchen Parameterwerten R quadratische Gleichung x 2 + (r + 2) x + r − 1 = 0 werde zwei haben echte Wurzeln mit unterschiedlichen Vorzeichen.

Lösung

Beginnen wir damit, die Werte davon zu finden R, für die die Gleichung zwei Wurzeln hat. Lassen Sie uns die Diskriminante finden und sehen, was R es werden positive Werte angenommen. D = (r + 2) 2 − 4 1 (r − 1) = r 2 + 4 r + 4 − 4 r + 4 = r 2 + 8. Ausdruckswert r 2 + 8 positiv für jeden echten R Daher ist die Diskriminante für jeden reellen Wert größer als Null R. Dies bedeutet, dass die ursprüngliche quadratische Gleichung zwei Wurzeln für alle reellen Werte des Parameters hat R.

Nun wollen wir sehen, wann die Wurzeln Wurzeln schlagen verschiedene Zeichen. Dies ist möglich, wenn ihr Produkt negativ ist. Nach dem Satz von Vieta ist das Produkt der Wurzeln der reduzierten quadratischen Gleichung gleich dem freien Term. Dies bedeutet, dass diese Werte die richtige Lösung sind R, für die der freie Term r − 1 negativ ist. Lass uns entscheiden lineare Ungleichung r − 1< 0 , получаем r < 1 .

Antwort: bei r< 1 .

Vieta-Formeln

Es gibt eine Reihe von Formeln, mit denen Operationen mit den Wurzeln und Koeffizienten nicht nur quadratischer, sondern auch kubischer und anderer Gleichungstypen durchgeführt werden können. Sie werden Vieta-Formeln genannt.

Für eine algebraische Gradgleichung N der Form a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . Man geht davon aus, dass die Gleichung + a n - 1 x + a n = 0 hat N echte Wurzeln x 1 , x 2 , … , x n, darunter möglicherweise die gleichen:
x 1 + x 2 + x 3 + . . . + x n = - a 1 a 0 , x 1 · x 2 + x 1 · x 3 + . . . + x n - 1 · x n = a 2 a 0 , x 1 · x 2 · x 3 + x 1 · x 2 · x 4 + . . . + x n - 2 · x n - 1 · x n = - a 3 a 0 , . . . x 1 · x 2 · x 3 · . . . · x n = (- 1) n · a n a 0

Definition 1

Vietas Formeln helfen uns dabei:

Satz über die Zerlegung eines Polynoms in lineare Faktoren;
Bestimmung gleicher Polynome durch die Gleichheit aller ihrer entsprechenden Koeffizienten.

Somit ist das Polynom a 0 · x n + a 1 · x n - 1 + . . . + a n - 1 · x + a n und seine Entwicklung in lineare Faktoren der Form a 0 · (x - x 1) · (x - x 2) · . . . · (x - x n) sind gleich.

Wenn wir die Klammern erweitern letzte Arbeit und die entsprechenden Koeffizienten gleichsetzen, erhalten wir die Formeln von Vieta. Mit n = 2 können wir Vietas Formel für die quadratische Gleichung erhalten: x 1 + x 2 = - a 1 a 0, x 1 · x 2 = a 2 a 0.

Definition 2

Vietas Formel für die kubische Gleichung:
x 1 + x 2 + x 3 = - a 1 a 0 , x 1 x 2 + x 1 x 3 + x 2 x 3 = a 2 a 0 , x 1 x 2 x 3 = - a 3 a 0

Die linke Seite der Vieta-Formel enthält die sogenannten elementaren symmetrischen Polynome.

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Der Kern dieser Technik besteht darin, Wurzeln ohne die Hilfe einer Diskriminante zu finden. Für eine Gleichung der Form x2 + bx + c = 0, bei der es zwei verschiedene reelle Wurzeln gibt, sind zwei Aussagen wahr.

Die erste Aussage besagt, dass die Summe der Wurzeln dieser Gleichung gleich dem Wert des Koeffizienten der Variablen x (in diesem Fall b) ist, jedoch mit umgekehrtem Vorzeichen. Optisch sieht es so aus: x1 + x2 = −b.

Die zweite Aussage bezieht sich nicht mehr auf die Summe, sondern auf das Produkt dieser beiden Wurzeln. Dieses Produkt wird dem freien Koeffizienten gleichgesetzt, d.h. C. Oder x1 * x2 = c. Beide Beispiele werden im System gelöst.

Der Satz von Vieta vereinfacht die Lösung erheblich, weist jedoch eine Einschränkung auf. Eine quadratische Gleichung, deren Wurzeln mit dieser Technik gefunden werden können, muss reduziert werden. In der obigen Gleichung ist der Koeffizient a, der Eins vor x2, gleich eins. Jede Gleichung kann durch Division des Ausdrucks durch den ersten Koeffizienten in eine ähnliche Form gebracht werden, diese Operation ist jedoch nicht immer rational.

Beweis des Satzes

Zunächst sollten wir uns daran erinnern, wie traditionell es üblich ist, nach den Wurzeln einer quadratischen Gleichung zu suchen. Die ersten und zweiten Wurzeln werden gefunden, nämlich: x1 = (-b-√D)/2, x2 = (-b+√D)/2. Im Allgemeinen ist es durch 2a teilbar, aber wie bereits erwähnt, kann der Satz nur angewendet werden, wenn a=1.

Aus dem Satz von Vieta ist bekannt, dass die Summe der Wurzeln gleich dem zweiten Koeffizienten mit Minuszeichen ist. Das bedeutet, dass x1 + x2 = (-b-√D)/2 + (-b+√D)/2 = −2b/2 = −b.

Das Gleiche gilt für das Produkt unbekannter Wurzeln: x1 * x2 = (-b-√D)/2 * (-b+√D)/2 = (b2-D)/4. Im Gegenzug ist D = b2-4c (wieder mit a=1). Es stellt sich heraus, dass das Ergebnis ist: x1 * x2 = (b2- b2)/4+c = c.

Aus dem einfachen Beweis kann nur eine Schlussfolgerung gezogen werden: Der Satz von Vieta ist vollständig bestätigt.

Zweite Formulierung und Beweis

Der Satz von Vieta hat eine andere Interpretation. Genauer gesagt handelt es sich nicht um eine Interpretation, sondern um eine Formulierung. Tatsache ist, dass der Satz mit einer anderen Formel geschrieben werden kann, wenn die gleichen Bedingungen wie im ersten Fall erfüllt sind: Es gibt zwei verschiedene reelle Wurzeln.

Diese Gleichheit sieht folgendermaßen aus: x2 + bx + c = (x - x1)(x - x2). Wenn die Funktion P(x) zwei Punkte x1 und x2 schneidet, kann sie als P(x) = (x - x1)(x - x2) * R(x) geschrieben werden. Wenn P einen zweiten Grad hat und der ursprüngliche Ausdruck genau so aussieht, dann ist R Primzahl, nämlich 1. Diese Aussage ist deshalb wahr, weil sonst die Gleichheit nicht gilt. Der Koeffizient x2 beim Öffnen von Klammern sollte nicht sein mehr als eine, und der Ausdruck muss quadratisch bleiben.

Eine der Methoden zum Lösen einer quadratischen Gleichung ist die Verwendung VIET-Formeln, das nach FRANCOIS VIETTE benannt wurde.

Er war ein berühmter Anwalt, der im 16. Jahrhundert dem französischen König diente. IN Freizeit studierte Astronomie und Mathematik. Er stellte einen Zusammenhang zwischen den Wurzeln und Koeffizienten einer quadratischen Gleichung her.

Vorteile der Formel:

1 . Durch die Anwendung der Formel können Sie schnell eine Lösung finden. Denn es ist nicht nötig, den zweiten Koeffizienten in das Quadrat einzugeben, dann 4ac davon zu subtrahieren, die Diskriminante zu finden und ihren Wert in die Formel einzusetzen, um die Wurzeln zu finden.

2 . Ohne Lösung können Sie die Vorzeichen der Wurzeln bestimmen und die Werte der Wurzeln auswählen.

3 . Nachdem man ein System aus zwei Datensätzen gelöst hat, ist es nicht schwer, die Wurzeln selbst zu finden. In der obigen quadratischen Gleichung ist die Summe der Wurzeln gleich dem Wert des zweiten Koeffizienten mit Minuszeichen. Das Produkt der Wurzeln in der obigen quadratischen Gleichung ist gleich dem Wert des dritten Koeffizienten.

4 . Schreiben Sie unter Verwendung dieser Wurzeln eine quadratische Gleichung auf, d. h. lösen Sie das Umkehrproblem. Diese Methode wird beispielsweise bei der Lösung von Problemen der theoretischen Mechanik verwendet.

5 . Es ist praktisch, die Formel zu verwenden, wenn der führende Koeffizient gleich eins ist.

Mängel:

1 . Die Formel ist nicht universell.