Bevor Sie Fragen zu dieser geometrischen Figur und ihren Eigenschaften untersuchen, sollten Sie einige Begriffe verstehen. Wenn jemand von einer Pyramide hört, stellt er sich riesige Gebäude in Ägypten vor. So sehen die einfachsten aus. Aber sie passieren verschiedene Typen und Formen, was bedeutet, dass die Berechnungsformel für geometrische Formen unterschiedlich sein wird.

Pyramide – geometrische Figur , bezeichnet und repräsentiert mehrere Gesichter. Im Wesentlichen ist dies dasselbe Polyeder, an dessen Basis ein Polygon liegt und an dessen Seiten sich Dreiecke befinden, die an einem Punkt verbunden sind – dem Scheitelpunkt. Die Figur gibt es in zwei Haupttypen:

• richtig;
• gekürzt.

Im ersten Fall ist die Basis ein regelmäßiges Vieleck. Hier sind alle Seitenflächen gleich zwischen sich und der Figur selbst werden das Auge eines Perfektionisten erfreuen.

Im zweiten Fall gibt es zwei Sockel – einen großen ganz unten und einen kleinen dazwischen, der die Form des Hauptsockels wiederholt. Mit anderen Worten, ein Pyramidenstumpf ist ein Polyeder mit einem parallel zur Grundfläche geformten Querschnitt.

Begriffe und Symbole

Schlüsselbegriffe:

• Regelmäßiges (gleichseitiges) Dreieck- eine Figur mit drei gleichen Winkeln und gleichen Seiten. In diesem Fall betragen alle Winkel 60 Grad. Die Figur ist das einfachste reguläre Polyeder. Wenn diese Figur an der Basis liegt, wird ein solches Polyeder als regelmäßiges Dreieck bezeichnet. Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, wird die Pyramide als regelmäßige viereckige Pyramide bezeichnet.
• Scheitel– der höchste Punkt, an dem sich die Kanten treffen. Die Höhe der Spitze wird durch eine gerade Linie gebildet, die von der Spitze bis zur Basis der Pyramide verläuft.
• Rand– eine der Ebenen des Polygons. Es kann die Form eines Dreiecks im Falle einer dreieckigen Pyramide oder die Form eines Trapezes haben Pyramidenstumpf.
• Abschnitt- eine flache Figur, die durch Dissektion entstanden ist. Es sollte nicht mit einem Abschnitt verwechselt werden, da ein Abschnitt auch zeigt, was sich hinter dem Abschnitt verbirgt.
• Apothema- ein Segment, das von der Spitze der Pyramide bis zu ihrer Basis gezogen wird. Es ist auch die Höhe der Fläche, auf der sich der zweite Höhenpunkt befindet. Diese Definition gilt nur für ein reguläres Polyeder. Wenn es sich beispielsweise nicht um einen Pyramidenstumpf handelt, ist die Fläche ein Dreieck. In diesem Fall wird die Höhe dieses Dreiecks zum Apothem.

Flächenformeln

Finden Sie die Mantelfläche der Pyramide Jeder Typ kann auf verschiedene Arten durchgeführt werden. Wenn die Figur nicht symmetrisch ist und ein Polygon ist mit verschiedene Seiten, dann ist es in diesem Fall einfacher, die Gesamtoberfläche durch die Gesamtheit aller Oberflächen zu berechnen. Mit anderen Worten: Sie müssen die Fläche jeder Fläche berechnen und addieren.

Abhängig von den bekannten Parametern können Formeln zur Berechnung eines Quadrats, eines Trapezes, eines beliebigen Vierecks usw. erforderlich sein. Die Formeln selbst in verschiedenen Fällen wird es auch Unterschiede geben.

Bei einer regelmäßigen Figur ist das Auffinden des Bereichs viel einfacher. Es reicht aus, nur wenige Schlüsselparameter zu kennen. In den meisten Fällen sind Berechnungen speziell für solche Zahlen erforderlich. Daher werden im Folgenden die entsprechenden Formeln angegeben. Andernfalls müssten Sie alles über mehrere Seiten hinausschreiben, was Sie nur verwirren und verwirren würde.

Grundformel zur Berechnung Die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide hat folgende Form:

S=½ Pa (P ist der Umfang der Basis und das Apothem)

Schauen wir uns ein Beispiel an. Das Polyeder hat eine Basis mit Segmenten A1, A2, A3, A4, A5, und alle sind gleich 10 cm. Das Apothem sei gleich 5 cm. Zuerst müssen Sie den Umfang ermitteln. Da alle fünf Flächen der Basis gleich sind, können Sie sie wie folgt ermitteln: P = 5 * 10 = 50 cm. Als nächstes wenden wir die Grundformel an: S = ½ * 50 * 5 = 125 cm im Quadrat.

Die Mantelfläche stimmt Dreieckige Pyramide am einfachsten zu berechnen. Die Formel sieht so aus:

S =½* ab *3, wobei a das Apothem und b die Fläche der Basis ist. Der Faktor drei bedeutet hier die Anzahl der Flächen der Basis und der erste Teil ist die Fläche der Seitenfläche. Schauen wir uns ein Beispiel an. Gegeben sei eine Figur mit einem Apothem von 5 cm und einer Basiskante von 8 cm. Wir berechnen: S = 1/2*5*8*3=60 cm im Quadrat.

Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes Es ist etwas schwieriger zu berechnen. Die Formel sieht so aus: S =1/2*(p_01+ p_02)*a, wobei p_01 und p_02 die Umfänge der Basen sind und das Apothem ist. Schauen wir uns ein Beispiel an. Nehmen wir an, dass bei einer viereckigen Figur die Seitenabmessungen der Grundflächen 3 und 6 cm betragen und das Apothem 4 cm beträgt.

Hier müssen Sie zunächst die Umfänge der Sockel ermitteln: ð_01 =3*4=12 cm; р_02=6*4=24 cm. Es müssen noch die Werte in die Hauptformel eingesetzt werden und wir erhalten: S =1/2*(12+24)*4=0,5*36*4=72 cm im Quadrat.

So können Sie die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide beliebiger Komplexität ermitteln. Sie sollten vorsichtig sein und nicht verwirren diese Berechnungen mit der Gesamtfläche des gesamten Polyeders. Und wenn Sie dies noch tun müssen, berechnen Sie einfach die Fläche der größten Basis des Polyeders und addieren Sie sie zur Fläche der Seitenfläche des Polyeders.

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Lange vor dem Studium der Geometrie begegnen Studierende dem Konzept einer Pyramide. Der Fehler liegt bei den berühmten großen ägyptischen Weltwundern. Deshalb stellen sich die meisten Studenten, wenn sie mit dem Studium dieses wunderbaren Polyeders beginnen, es bereits klar vor. Alle oben genannten Attraktionen haben die richtige Form. Was regelmäßige Pyramide und welche Eigenschaften es hat, wird weiter besprochen.

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Definition

Es gibt eine ganze Reihe von Definitionen für eine Pyramide. Seit der Antike erfreut es sich großer Beliebtheit.

Euklid definierte es beispielsweise als eine Körperfigur, die aus Ebenen besteht, die von einer Ebene ausgehend in einem bestimmten Punkt zusammenlaufen.

Heron lieferte eine präzisere Formulierung. Er bestand darauf, dass dies die Figur sei hat eine Basis und Flugzeuge darin in Form von Dreiecken, in einem Punkt zusammenlaufen.

Basierend auf der modernen Interpretation wird die Pyramide als räumliches Polyeder dargestellt, das aus bestimmten k-Eck- und k-flachen Dreiecksfiguren besteht, die einen gemeinsamen Punkt haben.

Schauen wir es uns genauer an, Aus welchen Elementen besteht es:

• Das K-Eck gilt als Grundlage der Figur;
• Als Kanten des Seitenteils ragen 3-eckige Formen hervor;
• der obere Teil, von dem die Seitenelemente ausgehen, wird Apex genannt;
• alle Segmente, die einen Scheitelpunkt verbinden, werden Kanten genannt;
• Wenn eine gerade Linie vom Scheitelpunkt in einem Winkel von 90 Grad zur Ebene der Figur abgesenkt wird, entspricht ihr im Innenraum enthaltener Teil der Höhe der Pyramide.
• In jedem Seitenelement kann eine Senkrechte, ein sogenanntes Apothem, zur Seite unseres Polyeders gezogen werden.

Die Anzahl der Kanten wird mit der Formel 2*k berechnet, wobei k die Anzahl der Seiten des k-Ecks ist. Wie viele Flächen ein Polyeder wie beispielsweise eine Pyramide hat, lässt sich mit dem Ausdruck k+1 ermitteln.

Wichtig! Eine Pyramide regelmäßiger Form ist eine stereometrische Figur, deren Grundebene ein k-Eck mit gleichen Seiten ist.

Grundeigenschaften

Richtige Pyramide hat viele Eigenschaften, die für sie einzigartig sind. Lassen Sie uns sie auflisten:

1. Die Basis ist eine Figur mit der richtigen Form.
2. Die Kanten der Pyramide, die die Seitenelemente begrenzen, haben gleiche Zahlenwerte.
3. Die Seitenelemente sind gleichschenklige Dreiecke.
4. Die Höhenbasis der Figur fällt in die Mitte des Polygons und ist gleichzeitig Mittelpunkt des Eingeschriebenen und Umschriebenen.
5. Alle Seitenrippen sind im gleichen Winkel zur Grundebene geneigt.
6. Alle Seitenflächen haben gegenüber der Grundfläche den gleichen Neigungswinkel.

Vielen Dank an alle aufgeführten Immobilien ist die Durchführung von Elementberechnungen viel einfacher. Basierend auf den oben genannten Eigenschaften achten wir auf zwei Zeichen:

1. Wenn das Polygon in einen Kreis passt, haben die Seitenflächen gleiche Winkel zur Grundfläche.
2. Bei der Beschreibung eines Kreises um ein Polygon werden alle Kanten der Pyramide, die vom Scheitelpunkt ausgehen, haben Gleiche Länge und gleiche Winkel mit der Basis.

Die Basis ist ein Quadrat

Regelmäßige viereckige Pyramide - ein Polyeder, dessen Grundfläche ein Quadrat ist.

Es hat vier Seitenflächen, die gleichschenklig aussehen.

Ein Quadrat wird auf einer Ebene dargestellt, basiert aber auf allen Eigenschaften eines regelmäßigen Vierecks.

Wenn Sie beispielsweise die Seite eines Quadrats mit seiner Diagonale verbinden müssen, verwenden Sie die folgende Formel: Die Diagonale ist gleich dem Produkt aus der Quadratseite und der Quadratwurzel aus zwei.

Es basiert auf einem regelmäßigen Dreieck

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide ist ein Polyeder, dessen Grundfläche ein regelmäßiges Dreieck ist.

Wenn die Basis ein regelmäßiges Dreieck ist und die Seitenkanten gleich den Kanten der Basis sind, dann ist eine solche Figur ein Tetraeder genannt.

Alle Flächen eines Tetraeders sind gleichseitige 3-Ecke. In diesem Fall müssen Sie einige Punkte kennen und dürfen bei der Berechnung keine Zeit damit verschwenden:

• der Neigungswinkel der Rippen zu jeder Basis beträgt 60 Grad;
• die Größe aller Innenflächen beträgt ebenfalls 60 Grad;
• jedes Gesicht kann als Basis dienen;
• , innerhalb der Figur eingezeichnet, handelt es sich um gleiche Elemente.

Abschnitte eines Polyeders

In jedem Polyeder gibt es mehrere Arten von Abschnitten Wohnung. Oft in Schulkurs Geometrien funktionieren mit zwei:

• axial;
• parallel zur Basis.

Ein Axialschnitt entsteht durch den Schnitt eines Polyeders mit einer Ebene, die durch den Scheitelpunkt, die Seitenkanten und die Achse verläuft. In diesem Fall ist die Achse die vom Scheitelpunkt ausgehende Höhe. Die Schnittebene wird durch die Schnittlinien mit allen Flächen begrenzt, sodass ein Dreieck entsteht.

Aufmerksamkeit! IN richtige Pyramide der Axialschnitt ist ein gleichschenkliges Dreieck.

Verläuft die Schnittebene parallel zur Grundfläche, so ergibt sich die zweite Möglichkeit. In diesem Fall haben wir eine Querschnittsfigur ähnlich der Basis.

Befindet sich beispielsweise an der Basis ein Quadrat, dann ist der zur Basis parallele Abschnitt ebenfalls ein Quadrat, nur mit kleineren Abmessungen.

Bei der Lösung von Problemen unter dieser Bedingung verwenden sie Zeichen und Eigenschaften der Ähnlichkeit von Figuren, basierend auf dem Satz von Thales. Zunächst muss der Ähnlichkeitskoeffizient bestimmt werden.

Wenn die Ebene parallel zur Basis gezeichnet wird und sie abschneidet Oberer Teil Polyeder, so entsteht im unteren Teil ein regelmäßiger Pyramidenstumpf. Dann nennt man die Grundflächen eines Polyederstumpfes ähnliche Polyeder. In diesem Fall sind die Seitenflächen gleichschenklige Trapeze. Der Axialschnitt ist ebenfalls gleichschenklig.

Um die Höhe eines Polyederstumpfes zu bestimmen, ist es notwendig, die Höhe einzutragen Axialschnitt, also in einem Trapez.

Oberflächenbereiche

Die wichtigsten geometrischen Probleme, die in einem Schulgeometriekurs gelöst werden müssen, sind Ermitteln der Oberfläche und des Volumens einer Pyramide.

Es gibt zwei Arten von Oberflächenwerten:

• Bereich der Seitenelemente;
• Fläche der gesamten Oberfläche.

Aus dem Namen selbst ist klar, wovon wir sprechen. Die Seitenfläche umfasst nur die Seitenelemente. Daraus folgt, dass man, um es zu finden, lediglich die Flächen der Seitenebenen addieren muss, also die Flächen der gleichschenkligen 3-Ecke. Versuchen wir, die Formel für die Fläche der Seitenelemente abzuleiten:

1. Die Fläche eines gleichschenkligen Dreiecks beträgt Str=1/2(aL), wobei a die Seite der Basis und L das Apothem ist.
2. Die Anzahl der Seitenebenen hängt von der Art des k-Ecks an der Basis ab. Beispielsweise hat eine regelmäßige viereckige Pyramide vier Seitenebenen. Daher ist es notwendig, die Flächen von vier Figuren Sside=1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)+1/2(aL)=1/2*4a*L zu addieren. Der Ausdruck wird auf diese Weise vereinfacht, da der Wert 4a = Rosn ist, wobei Rosn der Umfang der Basis ist. Und der Ausdruck 1/2*Rosn ist sein Halbumfang.
3. Daraus schließen wir, dass die Fläche der Seitenelemente einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus dem Halbumfang der Basis und dem Apothem ist: Sside = Rosn * L.

Quadrat Vollflächig Pyramide besteht aus der Summe der Flächen der Seitenebenen und der Basis: Sp.p. = Sside + Sbas.

Für die Grundfläche wird hier die Formel entsprechend der Art des Polygons verwendet.

Volumen einer regelmäßigen Pyramide gleich dem Produkt aus der Fläche der Grundebene und der Höhe dividiert durch drei: V=1/3*Sbas*H, wobei H die Höhe des Polyeders ist.

Was ist eine regelmäßige Pyramide in der Geometrie?

Eigenschaften einer regelmäßigen viereckigen Pyramide

Typisch geometrische Probleme im Flugzeug und drinnen dreidimensionaler Raum sind die Probleme bei der Bestimmung der Oberflächen verschiedener Figuren. In diesem Artikel stellen wir die Formel für die Mantelfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide vor.

Was ist eine Pyramide?

Lassen Sie uns eine strenge geben geometrische Definition Pyramiden. Angenommen, wir haben ein Polygon mit n Seiten und n Winkeln. Wählen wir einen beliebigen Punkt im Raum, der nicht in der Ebene des angegebenen n-Ecks liegt, und verbinden wir ihn mit jedem Scheitelpunkt des Polygons. Wir erhalten eine Figur mit einem bestimmten Volumen, die als n-eckige Pyramide bezeichnet wird. Lassen Sie uns beispielsweise in der folgenden Abbildung zeigen, wie eine fünfeckige Pyramide aussieht.

Die beiden wichtigen Elemente jeder Pyramide sind ihre Basis (n-Eck) und ihre Spitze. Diese Elemente sind durch n Dreiecke miteinander verbunden, die in Allgemeiner Fall sind einander nicht gleich. Die von oben zur Basis abfallende Senkrechte wird als Höhe der Figur bezeichnet. Wenn sie die Basis im geometrischen Mittelpunkt schneidet (fällt mit dem Massenschwerpunkt des Polygons zusammen), dann wird eine solche Pyramide als Gerade bezeichnet. Wenn zusätzlich zu dieser Bedingung die Grundfläche ein regelmäßiges Vieleck ist, dann heißt die gesamte Pyramide regelmäßig. Das Bild unten zeigt, wie regelmäßige Pyramiden mit dreieckiger, viereckiger, fünfeckiger und sechseckiger Grundfläche aussehen.

Oberfläche der Pyramide

Bevor wir uns der Frage nach der Mantelfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide zuwenden, sollten wir uns näher mit dem Konzept der Oberfläche selbst befassen.

Wie oben erwähnt und in den Abbildungen dargestellt, besteht jede Pyramide aus einer Reihe von Flächen oder Seiten. Eine Seite ist die Basis und n Seiten sind Dreiecke. Die Oberfläche der gesamten Figur ist die Summe der Flächen jeder ihrer Seiten.

Es ist zweckmäßig, eine Oberfläche am Beispiel der Entwicklung einer Figur zu untersuchen. Die Entwicklung für eine regelmäßige viereckige Pyramide ist in den folgenden Abbildungen dargestellt.

Wir sehen, dass seine Oberfläche gleich der Summe von vier Flächen identischer gleichschenkliger Dreiecke und der Fläche eines Quadrats ist.

Die Gesamtfläche aller Dreiecke, die die Seiten einer Figur bilden, wird üblicherweise Mantelfläche genannt. Als nächstes zeigen wir, wie man es für eine regelmäßige viereckige Pyramide berechnet.

Mantelfläche einer viereckigen regelmäßigen Pyramide

Um die Mantelfläche der angegebenen Figur zu berechnen, wenden wir uns erneut der obigen Entwicklung zu. Nehmen wir an, wir kennen die Seite der quadratischen Grundfläche. Bezeichnen wir es mit dem Symbol a. Man erkennt, dass jedes der vier identischen Dreiecke eine Basis der Länge a hat. Um ihre Gesamtfläche zu berechnen, müssen Sie diesen Wert für ein Dreieck kennen. Aus dem Geometriekurs wissen wir, dass die Fläche S t eines Dreiecks gleich dem Produkt aus Grundfläche und Höhe ist, das in zwei Hälften geteilt werden sollte. Also:

Wobei h b - Höhe gleichschenkligen Dreiecks, an der Basis von a gezeichnet. Für eine Pyramide ist diese Höhe ein Apothem. Jetzt muss noch der resultierende Ausdruck mit 4 multipliziert werden, um die Fläche S b der Seitenfläche der betreffenden Pyramide zu erhalten:

S b = 4*S t = 2*h b *a.

Diese Formel enthält zwei Parameter: das Apothem und die Seite der Basis. Wenn letzteres unter den meisten Problembedingungen bekannt ist, muss ersteres unter Kenntnis anderer Größen berechnet werden. Hier sind die Formeln zur Berechnung des Apothems h b für zwei Fälle:

• wenn die Länge der Seitenrippe bekannt ist;
• wenn die Höhe der Pyramide bekannt ist.

Wenn wir die Länge der Seitenkante (Seite eines gleichschenkligen Dreiecks) mit dem Symbol L bezeichnen, dann wird das Apothem h b durch die Formel bestimmt:

h b = √(L 2 - a 2 /4).

Dieser Ausdruck ist das Ergebnis der Anwendung des Satzes des Pythagoras auf die Seitenfläche des Dreiecks.

Wenn die Höhe h der Pyramide bekannt ist, kann das Apothem h b wie folgt berechnet werden:

h b = √(h 2 + a 2 /4).

Es ist auch nicht schwer, diesen Ausdruck zu finden, wenn wir in das Innere der Pyramide schauen rechtwinkliges Dreieck, gebildet durch die Schenkel h und a/2 und die Hypotenuse h b.

Lassen Sie uns zeigen, wie man diese Formeln anwendet, indem wir zwei interessante Probleme lösen.

Problem mit bekannter Oberfläche

Es ist bekannt, dass die Fläche der Seitenfläche des Vierecks 108 cm 2 beträgt. Es ist notwendig, die Länge seines Apothems h b zu berechnen, wenn die Höhe der Pyramide 7 cm beträgt.

Schreiben wir die Formel für die Fläche S b der Seitenfläche in Bezug auf die Höhe. Wir haben:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a.

Hier haben wir einfach die entsprechende Apothemformel in den Ausdruck für S b eingesetzt. Quadrieren wir beide Seiten der Gleichung:

S b 2 = 4*a 2 *h 2 + a 4.

Um den Wert von a zu ermitteln, nehmen wir eine Änderung der Variablen vor:

t 2 + 4*h 2 *t - S b 2 = 0.

Lassen Sie uns jetzt ersetzen bekannte Werte und entscheiden quadratische Gleichung:

t 2 + 196*t - 11664 = 0.

Wir haben nur die positive Wurzel dieser Gleichung aufgeschrieben. Dann sind die Seiten der Basis der Pyramide gleich:

a = √t = √47,8355 ≈ 6,916 cm.

Um die Länge des Apothems zu ermitteln, verwenden Sie einfach die Formel:

h b = √(h 2 + a 2 /4) = √(7 2 + 6,916 2 /4) ≈ 7,808 cm.

Seitenfläche der Cheops-Pyramide

Bestimmen wir den Wert der Mantelfläche für den größten Ägyptische Pyramide. Es ist bekannt, dass an seiner Basis ein Quadrat mit einer Seitenlänge von 230,363 Metern liegt. Die Höhe des Bauwerks betrug ursprünglich 146,5 Meter. Setzt man diese Zahlen in die entsprechende Formel für S b ein, erhält man:

S b = 2*√(h 2 + a 2 /4) *a = 2*√(146,5 2 +230,363 2 /4)*230,363 ≈ 85860 m 2.

Der gefundene Wert ist etwas größer als die Fläche von 17 Fußballfeldern.

Oberfläche der Pyramide. In diesem Artikel werden wir uns mit Problemen mit regelmäßigen Pyramiden befassen. Ich möchte Sie daran erinnern, dass eine regelmäßige Pyramide eine Pyramide ist, deren Basis ein regelmäßiges Vieleck ist, wobei die Spitze der Pyramide in die Mitte dieses Vielecks projiziert wird.

Die Seitenfläche einer solchen Pyramide ist ein gleichschenkliges Dreieck.Die Höhe dieses Dreiecks, das von der Spitze einer regelmäßigen Pyramide ausgeht, wird Apothem genannt, SF – Apothem:

Bei der unten dargestellten Problemart müssen Sie die Oberfläche der gesamten Pyramide oder die Fläche ihrer Seitenfläche ermitteln. Der Blog hat bereits mehrere Probleme mit regelmäßigen Pyramiden besprochen, bei denen es um das Auffinden der Elemente (Höhe, Grundkante, Seitenkante) ging.

IN Aufgaben zum Einheitlichen Staatsexamen In der Regel werden regelmäßige dreieckige, viereckige und sechseckige Pyramiden betrachtet. Ich habe keine Probleme mit regelmäßigen fünfeckigen und siebeneckigen Pyramiden gesehen.

Die Formel für die Fläche der gesamten Oberfläche ist einfach: Sie müssen die Summe der Fläche der Basis der Pyramide und der Fläche ihrer Seitenfläche ermitteln:

Betrachten wir die Aufgaben:

Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide betragen 72, die Seitenkanten betragen 164. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

Die Oberfläche der Pyramide ist gleich der Summe der Flächen der Mantelfläche und der Grundfläche:

*Die Mantelfläche besteht aus vier flächengleichen Dreiecken. Die Basis der Pyramide ist ein Quadrat.

Wir können die Seitenfläche der Pyramide berechnen mit:

Somit beträgt die Oberfläche der Pyramide:

Antwort: 28224

Die Seiten der Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide sind gleich 22, die Seitenkanten sind gleich 61. Finden Sie die Mantelfläche dieser Pyramide.

Die Grundfläche einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide ist ein regelmäßiges Sechseck.

Die Mantelfläche dieser Pyramide besteht aus sechs Flächen gleicher Dreiecke mit den Seiten 61,61 und 22:

Lassen Sie uns die Fläche des Dreiecks mithilfe der Heron-Formel ermitteln:

Somit beträgt die Mantelfläche:

Antwort: 3240

*Bei den oben dargestellten Problemen könnte die Fläche der Seitenfläche mit einer anderen Dreiecksformel ermittelt werden, dafür müssen Sie jedoch das Apothem berechnen.

27155. Finden Sie die Oberfläche einer regelmäßigen viereckigen Pyramide, deren Grundseiten 6 und deren Höhe 4 beträgt.

Um die Oberfläche der Pyramide zu ermitteln, müssen wir die Fläche der Basis und die Fläche der Mantelfläche kennen:

Die Fläche der Grundfläche beträgt 36, da es sich um ein Quadrat mit der Seitenlänge 6 handelt.

Die Seitenfläche besteht aus vier Flächen, die sind gleiche Dreiecke. Um die Fläche eines solchen Dreiecks zu ermitteln, müssen Sie dessen Basis und Höhe (Apothem) kennen:

*Die Fläche eines Dreiecks ist gleich der Hälfte des Produkts aus der Grundfläche und der zu dieser Grundfläche gezogenen Höhe.

Die Basis ist bekannt, sie ist gleich sechs. Finden wir die Höhe. Betrachten Sie ein rechtwinkliges Dreieck (gelb hervorgehoben):

Ein Bein ist gleich 4, da dies die Höhe der Pyramide ist, das andere ist gleich 3, da es der halben Kante der Basis entspricht. Wir können die Hypotenuse mithilfe des Satzes des Pythagoras ermitteln:

Dies bedeutet, dass die Fläche der Seitenfläche der Pyramide beträgt:

Somit beträgt die Oberfläche der gesamten Pyramide:

Antwort: 96

27069. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen viereckigen Pyramide sind gleich 10, die Seitenkanten sind gleich 13. Finden Sie die Oberfläche dieser Pyramide.

27070. Die Seiten der Basis einer regelmäßigen sechseckigen Pyramide sind gleich 10, die Seitenkanten sind gleich 13. Finden Sie die Mantelfläche dieser Pyramide.

Es gibt auch Formeln für die Mantelfläche einer regelmäßigen Pyramide. Bei einer regelmäßigen Pyramide ist die Basis eine orthogonale Projektion der Mantelfläche, daher:

P- Basisumfang, l- Apothem der Pyramide

*Diese Formel basiert auf der Formel für die Fläche eines Dreiecks.

Wenn Sie mehr darüber erfahren möchten, wie diese Formeln abgeleitet werden, sollten Sie sich die Veröffentlichung von Artikeln nicht entgehen lassen.Das ist alles. Viel Glück!

Mit freundlichen Grüßen Alexander Krutitskikh.

P.S.: Ich wäre Ihnen dankbar, wenn Sie mir in den sozialen Netzwerken von der Seite erzählen würden.

ist eine vielschichtige Figur, deren Basis ein Polygon ist und deren übrige Flächen durch Dreiecke mit einem gemeinsamen Scheitelpunkt dargestellt werden.

Wenn die Grundfläche ein Quadrat ist, heißt die Pyramide viereckig, wenn ein Dreieck – dann dreieckig. Die Höhe der Pyramide wird von ihrer Spitze senkrecht zur Basis gezeichnet. Wird auch zur Flächenberechnung verwendet Apothema– die Höhe der Seitenfläche, abgesenkt von ihrer Oberseite.
Die Formel für die Fläche der Seitenfläche einer Pyramide ist die Summe der Flächen ihrer Seitenflächen, die einander gleich sind. Diese Berechnungsmethode wird jedoch nur sehr selten angewendet. Grundsätzlich wird die Fläche der Pyramide durch den Umfang der Basis und des Apothems berechnet:

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche der Seitenfläche einer Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit der Basis ABCDE und der Spitze F. AB =BC =CD =DE =EA =3 cm. Apothem a = 5 cm. Finden Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Finden wir den Umfang. Da alle Kanten der Basis gleich sind, ist der Umfang des Fünfecks gleich:
Jetzt können Sie die Seitenfläche der Pyramide ermitteln:

Fläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide

Eine regelmäßige dreieckige Pyramide besteht aus einer Basis, in der ein regelmäßiges Dreieck liegt, und drei Seitenflächen gleicher Fläche.
Die Formel für die Mantelfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide kann auf unterschiedliche Weise berechnet werden. Sie können die übliche Berechnungsformel mit Umfang und Apothem anwenden oder die Fläche einer Fläche ermitteln und mit drei multiplizieren. Da die Fläche einer Pyramide ein Dreieck ist, wenden wir die Formel für die Fläche eines Dreiecks an. Es werden ein Apothem und die Länge der Basis benötigt. Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Mantelfläche einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide.

Gegeben sei eine Pyramide mit Apothem a = 4 cm und Grundfläche b = 2 cm. Ermitteln Sie die Fläche der Seitenfläche der Pyramide.
Ermitteln Sie zunächst die Fläche einer der Seitenflächen. In diesem Fall wird es sein:
Setzen Sie die Werte in die Formel ein:
Da bei einer regelmäßigen Pyramide alle Seiten gleich sind, ist die Fläche der Seitenfläche der Pyramide gleich der Summe der Flächen der drei Flächen. Jeweils:

Fläche eines Pyramidenstumpfes

Gekürzt Eine Pyramide ist ein Polyeder, das aus einer Pyramide besteht und deren Querschnitt parallel zur Grundfläche verläuft.
Die Formel für die Mantelfläche eines Pyramidenstumpfes ist sehr einfach. Die Fläche ist gleich dem Produkt aus der halben Summe der Umfänge der Basen und des Apothems: