Es werden Beispiele für die Berechnung von Ableitungen höherer Ordnung expliziter Funktionen betrachtet. Es werden nützliche Formeln zur Berechnung von Ableitungen n-ter Ordnung angegeben.

Inhalt

Bestimmung von Ableitungen höherer Ordnung

Hier betrachten wir den Fall, in dem die Variable y explizit von der Variablen x abhängt:
.
Wenn wir die Funktion nach der Variablen x differenzieren, erhalten wir die Ableitung erster Ordnung oder einfach die Ableitung:
.
Als Ergebnis erhalten wir eine neue Funktion, die eine Ableitung der Funktion ist. Wenn wir diese neue Funktion nach der Variablen x differenzieren, erhalten wir die Ableitung zweiter Ordnung:
.
Durch Differenzieren der Funktion erhalten wir eine Ableitung dritter Ordnung:
.
Usw. Wenn wir die ursprüngliche Funktion n-mal differenzieren, erhalten wir die Ableitung n-ter Ordnung oder n-te Ableitung:
.

Derivate können bezeichnet werden Striche, römische Ziffern, arabische Ziffern in Klammern oder Brüche aus Differenzialen. Ableitungen dritter und vierter Ordnung können beispielsweise wie folgt bezeichnet werden:
;
.

Nachfolgend finden Sie Formeln, die bei der Berechnung von Ableitungen höherer Ordnung hilfreich sein können.

Nützliche Formeln für Ableitungen n-ter Ordnung

Derivate einiger elementare Funktionen :
;
;
;
;
.

Ableitung der Summe der Funktionen:
,
Wo sind Konstanten?

Leibniz-Formel Ableitung des Produkts zweier Funktionen:
,
Wo
- Binomialkoeffizienten.

Beispiel 1

Finden Sie die Ableitungen erster und zweiter Ordnung der folgenden Funktion:
.

Wir finden die Ableitung erster Ordnung. Wir nehmen die Konstante außerhalb des Ableitungszeichens und wenden die Formel aus der Ableitungstabelle an:
.
Wir wenden die Differenzierungsregel komplexer Funktionen an:
.
Hier .
Wir wenden die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an und verwenden die gefundenen Ableitungen:
.
Hier .

.
Um die Ableitung zweiter Ordnung zu finden, müssen wir die Ableitung der Ableitung erster Ordnung finden, also der Funktion:
.
Um Verwechslungen mit der Notation zu vermeiden, bezeichnen wir diese Funktion mit dem Buchstaben:
(A1.1) .
Dann Ableitung zweiter Ordnung von der ursprünglichen Funktion ist die Ableitung der Funktion:
.

Finden der Ableitung der Funktion. Dies geht einfacher mit der logarithmischen Ableitung. Logarithmieren wir (A1.1):
.
Lassen Sie uns nun unterscheiden:
(A1.2) .
Aber es ist konstant. Seine Ableitung ist Null. Wir haben bereits die Ableitung von gefunden. Die restlichen Ableitungen finden wir mithilfe der Differenzierungsregel einer komplexen Funktion.
;
;
.
Wir ersetzen in (A1.2):

.
Von hier
.

;
.

Beispiel 2

Finden Sie die Ableitung dritter Ordnung:
.

Finden der Ableitung erster Ordnung. Dazu nehmen wir die Konstante außerhalb des Vorzeichens der Ableitung und verwenden sie Tabelle der Derivate und bewerben Regel zum Finden der Ableitung einer komplexen Funktion .

.
Hier .
Also haben wir die Ableitung erster Ordnung gefunden:
.

Finden der Ableitung zweiter Ordnung. Dazu ermitteln wir die Ableitung von . Wir wenden die Ableitungsbruchformel an.
.
Ableitung zweiter Ordnung:
.

Jetzt finden wir, was wir suchen Ableitung dritter Ordnung. Dazu differenzieren wir.
;
;

.

Die Ableitung dritter Ordnung ist gleich
.

Beispiel 3

Finden Sie die Ableitung sechster Ordnung der folgenden Funktion:
.

Wenn Sie die Klammern öffnen, wird klar, dass die ursprüngliche Funktion ein Polynom vom Grad ist. Schreiben wir es als Polynom:
,
wo sind konstante Koeffizienten.

Als nächstes bewerben wir uns n-te Formel Ableitung einer Potenzfunktion:
.
Für die Ableitung sechster Ordnung (n = 6 ) wir haben:
.
Daraus wird deutlich, dass bei . Wenn wir haben:
.

Für die Ableitung einer Summe von Funktionen verwenden wir die Formel:

.
Um die Ableitung sechster Ordnung der ursprünglichen Funktion zu finden, müssen wir also nur den Koeffizienten des Polynoms im höchsten Grad ermitteln. Wir finden es, indem wir die höchsten Potenzen in den Produkten der Summen der ursprünglichen Funktion multiplizieren:

.
Von hier. Dann
.

Beispiel 4

Finden Sie die n-te Ableitung einer Funktion
.

Lösung > > >

Beispiel 5

Finden Sie die n-te Ableitung der folgenden Funktion:
,
wobei und Konstanten sind.

In diesem Beispiel ist es praktisch, Berechnungen mit komplexen Zahlen durchzuführen. Lassen Sie uns eine komplexe Funktion haben
(A5.1) ,
wobei und Funktionen der reellen Variablen x sind;
- imaginäre Einheit, .
Wenn wir (A.1) n-mal differenzieren, erhalten wir:
(A5.2) .
Manchmal ist es einfacher, die n-te Ableitung einer Funktion zu finden. Dann werden die n-ten Ableitungen der Funktionen als Real- und Imaginärteil der n-ten Ableitung definiert:
;
.

Lassen Sie uns diese Technik verwenden, um unser Beispiel zu lösen. Betrachten Sie die Funktion
.
Hier haben wir die Eulersche Formel angewendet
,
und führte die Bezeichnung ein
.
Dann wird die n-te Ableitung der ursprünglichen Funktion durch die Formel bestimmt:
.

Finden wir die n-te Ableitung der Funktion
.
Dazu wenden wir die Formel an:
.
In unserem Fall
.
Dann
.

Wir haben also die n-te Ableitung der komplexen Funktion gefunden:
,
Wo .
Finden wir den Realteil der Funktion.
Stellen wir uns das vor komplexe Zahl in demonstrativer Form:
,
Wo ;
; .
Dann
;

.

Beispiellösung
.

Lassen , .
Dann ;
.
Bei ,
,
,
.
Und wir erhalten die Formel für die n-te Ableitung des Kosinus:
.

,
Wo
; .

Betrachten Sie eine Funktion zweier Variablen:

Da die Variablen $x$ und $y$ unabhängig sind, können wir für eine solche Funktion das Konzept der partiellen Ableitung einführen:

Die partielle Ableitung der Funktion $f$ am Punkt $M=\left(((x)_(0));((y)_(0)) \right)$ in Bezug auf die Variable $x$ ist das Limit

\[(((f)")_(x))=\underset(\Delta x\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) )+\Delta x;((y)_(0)) \right))(\Delta x)\]

Ebenso können Sie die partielle Ableitung nach der Variablen $y$ definieren:

\[(((f)")_(y))=\underset(\Delta y\to 0)(\mathop(\lim ))\,\frac(f\left(((x)_(0) );((y)_(0))+\Delta y \right))(\Delta y)\]

Mit anderen Worten: Um die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer Variablen zu finden, müssen Sie alle anderen Variablen außer der gewünschten Variablen festlegen und dann die gewöhnliche Ableitung nach dieser gewünschten Variablen ermitteln.

Dies führt zur Haupttechnik zur Berechnung solcher Ableitungen: Gehen Sie einfach davon aus, dass alle Variablen außer dieser eine Konstante sind, und differenzieren Sie dann die Funktion so, wie Sie eine „normale“ Funktion differenzieren würden – mit einer Variablen. Zum Beispiel:

$\begin(align)& ((\left(((x)^(2))+10xy \right))_(x))^(\prime )=((\left(((x)^(2 )) \right))^(\prime ))_(x)+10y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))_(x)=2x+10y, \\& (( \left(((x)^(2))+10xy \right))_(y))^(\prime )=((\left(((x)^(2)) \right))^(\ prime ))_(y)+10x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(y)=0+10x=10x. \\\end(align)$

Offensichtlich liefern partielle Ableitungen nach verschiedenen Variablen unterschiedliche Antworten – das ist normal. Es ist viel wichtiger zu verstehen, warum wir beispielsweise im ersten Fall ruhig 10y$ unter dem Ableitungszeichen entfernt haben und im zweiten Fall den ersten Term vollständig auf Null gesetzt haben. All dies geschieht aufgrund der Tatsache, dass alle Buchstaben mit Ausnahme der Variablen, anhand derer differenziert wird, als Konstanten betrachtet werden: Sie können herausgenommen, „verbrannt“ usw. werden.

Was ist „partielle Ableitung“?

Heute werden wir über Funktionen mehrerer Variablen und partielle Ableitungen davon sprechen. Was ist zunächst eine Funktion mehrerer Variablen? Bisher sind wir es gewohnt, eine Funktion als $y\left(x \right)$ oder $t\left(x \right)$ oder eine beliebige Variable und eine einzelne Funktion davon zu betrachten. Jetzt haben wir eine Funktion, aber mehrere Variablen. Wenn sich $y$ und $x$ ändern, ändert sich auch der Wert der Funktion. Wenn sich beispielsweise $x$ verdoppelt, ändert sich der Wert der Funktion, und wenn sich $x$ ändert, sich aber $y$ nicht ändert, ändert sich der Wert der Funktion auf die gleiche Weise.

Natürlich kann eine Funktion mehrerer Variablen ebenso wie eine Funktion einer Variablen differenziert werden. Da es jedoch mehrere Variablen gibt, ist eine Differenzierung nach verschiedenen Variablen möglich. In diesem Fall ergeben sich spezifische Regeln, die bei der Differenzierung einer Variablen nicht existierten.

Wenn wir die Ableitung einer Funktion von einer beliebigen Variablen berechnen, müssen wir zunächst angeben, für welche Variable wir die Ableitung berechnen – dies wird als partielle Ableitung bezeichnet. Zum Beispiel haben wir eine Funktion aus zwei Variablen und können sie sowohl in $x$ als auch in $y$ berechnen – zwei partielle Ableitungen für jede der Variablen.

Zweitens gelten alle anderen in dieser Funktion enthaltenen Variablen als Konstanten, sobald wir eine der Variablen festgelegt haben und beginnen, die partielle Ableitung nach ihr zu berechnen. Wenn wir beispielsweise in $z\left(xy \right)$ die partielle Ableitung nach $x$ betrachten, dann betrachten wir es überall dort, wo wir auf $y$ stoßen, als Konstante und behandeln es als solche. Insbesondere können wir bei der Berechnung der Ableitung eines Produkts $y$ aus Klammern herausnehmen (wir haben eine Konstante) und bei der Berechnung der Ableitung einer Summe, wenn wir irgendwo eine Ableitung eines Ausdrucks erhalten, der $y$ und enthält nicht $x$ enthält, dann ist die Ableitung dieses Ausdrucks gleich „Null“ als Ableitung einer Konstante.

Auf den ersten Blick scheint es, als würde ich über etwas Kompliziertes sprechen, und viele Schüler sind zunächst verwirrt. Partielle Ableitungen haben jedoch nichts Übernatürliches, und das werden wir nun am Beispiel konkreter Probleme sehen.

Probleme mit Radikalen und Polynomen

Aufgabe Nr. 1

Um keine Zeit zu verschwenden, beginnen wir ganz am Anfang mit seriösen Beispielen.

Lassen Sie mich zunächst an diese Formel erinnern:

Dies ist der Standard-Tabellenwert, den wir aus dem Standardkurs kennen.

In diesem Fall wird die Ableitung $z$ wie folgt berechnet:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)\]

Machen wir es noch einmal, da die Wurzel nicht $x$ ist, sondern ein anderer Ausdruck, in diesem Fall $\frac(y)(x)$, dann verwenden wir zuerst den Standardtabellenwert und dann, da die Wurzel ist nicht $x $, sondern ein anderer Ausdruck, müssen wir unsere Ableitung mit einem anderen dieses Ausdrucks in Bezug auf dieselbe Variable multiplizieren. Berechnen wir zunächst Folgendes:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((y)")_(x))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(x)))(((x)^(2)))=\frac(0\cdot x-y\cdot 1)(((x)^(2)) )=-\frac(y)(((x)^(2)))\]

Wir kehren zu unserem Ausdruck zurück und schreiben:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1) (2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)\]

Im Grunde ist das alles. Es ist jedoch falsch, es in dieser Form zu belassen: Eine solche Konstruktion ist für weitere Berechnungen unpraktisch, also wandeln wir sie ein wenig um:

\[\frac(1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \left(-\frac(y)(((x)^(2))) \right)=\frac (1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \frac(y)(((x)^(2)))=\]

\[=-\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(((y)^(2)))(((x)^ (4))))=-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(x\cdot ((y)^(2)))(y\cdot ((x)^(4)))) =-\frac(1)(2)\sqrt(\frac(y)(((x)^(3))))\]

Die Antwort ist gefunden. Kommen wir nun zu $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)\]

Schreiben wir es separat auf:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((y)"))_(y))\cdot x-y \cdot ((((x)"))_(y)))(((x)^(2)))=\frac(1\cdot x-y\cdot 0)(((x)^(2)) )=\frac(1)(x)\]

Nun schreiben wir auf:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(\frac(y)(x)) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot ((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(2\sqrt(\frac(y)(x)))\cdot \frac(1)(x)=\]

\[=\frac(1)(2)\cdot \sqrt(\frac(x)(y))\cdot \sqrt(\frac(1)(((x)^(2))))=\frac (1)(2)\sqrt(\frac(x)(y\cdot ((x)^(2))))=\frac(1)(2\sqrt(xy))\]

Erledigt.

Problem Nr. 2

Dieses Beispiel ist sowohl einfacher als auch komplexer als das vorherige. Es ist komplizierter, weil es mehr Aktionen gibt, aber einfacher, weil es keine Wurzel gibt und außerdem die Funktion symmetrisch in Bezug auf $x$ und $y$ ist, d. h. Wenn wir $x$ und $y$ vertauschen, ändert sich die Formel nicht. Diese Bemerkung wird unsere Berechnung der partiellen Ableitung weiter vereinfachen, d. h. Es reicht aus, einen davon zu zählen und im zweiten einfach $x$ und $y$ zu vertauschen.

Kommen wir zur Sache:

\[(((z)")_(x))=((\left(\frac(xy)(((x)^(2))+((y)^(2))+1) \right ))^(\prime ))_(x)=\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+( (y)^(2))+1 \right)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ) )_(x))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Lass uns zählen:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(x \right))^(\prime ))=y\cdot 1=y\ ]

Allerdings verstehen viele Schüler diese Schreibweise nicht, also schreiben wir es so:

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot y+x\cdot ((\left(y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot y+x\cdot 0=y\]

Damit sind wir einmal mehr von der Universalität des partiellen Ableitungsalgorithmus überzeugt: Egal wie wir sie berechnen, wenn alle Regeln richtig angewendet werden, wird die Antwort dieselbe sein.

Schauen wir uns nun eine weitere partielle Ableitung unserer großen Formel an:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=((\left((( x)^(2)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(((y)^(2)) \right))^(\prime ))_(x) +(((1)")_(x))=2x+0+0\]

Setzen wir die resultierenden Ausdrücke in unsere Formel ein und erhalten:

\[\frac(((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \ rechts)-xy((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x))(((\left (((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\cdot \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right)-xy\cdot 2x)(((\left((( x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\]

\[=\frac(y\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1-2((x)^(2)) \right))(((\ left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))=\frac(y\left(((y)^(2)) -((x)^(2))+1 \right))(((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2 )))\]

Basierend auf den gezählten $x$. Und um $y$ aus demselben Ausdruck zu berechnen, führen wir nicht dieselbe Abfolge von Aktionen aus, sondern nutzen die Symmetrie unseres ursprünglichen Ausdrucks – wir ersetzen einfach alle $y$ in unserem ursprünglichen Ausdruck durch $x$ und umgekehrt:

\[(((z)")_(y))=\frac(x\left(((x)^(2))-((y)^(2))+1 \right))((( \left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(2)))\]

Aufgrund der Symmetrie haben wir diesen Ausdruck viel schneller berechnet.

Nuancen der Lösung

Für partielle Ableitungen funktionieren alle Standardformeln, die wir für gewöhnliche verwenden, nämlich die Ableitung des Quotienten. Gleichzeitig ergeben sich jedoch Besonderheiten: Wenn wir die partielle Ableitung von $x$ betrachten, betrachten wir sie, wenn wir sie aus $x$ erhalten, als Konstante, und daher ist ihre Ableitung gleich „Null“. .

Wie bei gewöhnlichen Derivaten kann der Teil (derselbe) durch mehrere berechnet werden verschiedene Wege. Dieselbe Konstruktion, die wir gerade berechnet haben, kann beispielsweise wie folgt umgeschrieben werden:

\[((\left(\frac(y)(x) \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot ((\left(\frac(1)(x) \right)) ^(\prime ))_(x)=-y\frac(1)(((x)^(2)))\]

\[((\left(xy \right))^(\prime ))_(x)=y\cdot (((x)")_(x))=y\cdot 1=y\]

Gleichzeitig können Sie andererseits die Formel aus der Ableitungssumme verwenden. Wie wir wissen, ist es gleich der Summe der Ableitungen. Schreiben wir zum Beispiel Folgendes:

\[((\left(((x)^(2))+((y)^(2))+1 \right))^(\prime ))_(x)=2x+0+0=2x \]

Wenn wir das alles wissen, versuchen wir nun, mit ernsteren Ausdrücken zu arbeiten, da reelle partielle Ableitungen nicht nur auf Polynome und Wurzeln beschränkt sind: Es gibt auch Trigonometrie, Logarithmen und die Exponentialfunktion. Jetzt machen wir das.

Probleme mit trigonometrischen Funktionen und Logarithmen

Aufgabe Nr. 1

Schreiben wir die folgenden Standardformeln:

\[((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(2\sqrt(x))\]

\[((\left(\cos x \right))^(\prime ))_(x)=-\sin x\]

Mit diesem Wissen bewaffnet, versuchen wir Folgendes zu lösen:

\[(((z)")_(x))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(x)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Schreiben wir eine Variable separat auf:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y)\right))^(\prime ))_(x)=-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Kehren wir zu unserem Design zurück:

\[=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \left(-\frac(1)(y)\cdot \sin \frac(x)(y) \right)=\frac(1)(2\sqrt(x))\cdot \cos \frac(x)(y)-\frac(\sqrt(x))( y)\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Das war's, wir haben es für $x$ gefunden, jetzt machen wir die Berechnungen für $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\sqrt(x)\cdot \cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y )=((\left(\sqrt(x) \right))^(\prime ))_(y)\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot ((\left (\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Berechnen wir noch einmal einen Ausdruck:

\[((\left(\cos \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot ((\left( \frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=-\sin \frac(x)(y)\cdot x\cdot \left(-\frac(1)(( (y)^(2))) \right)\]

Wir kehren zum ursprünglichen Ausdruck zurück und setzen die Lösung fort:

\[=0\cdot \cos \frac(x)(y)+\sqrt(x)\cdot \frac(x)(((y)^(2)))\sin \frac(x)(y) =\frac(x\sqrt(x))(((y)^(2)))\cdot \sin \frac(x)(y)\]

Erledigt.

Problem Nr. 2

Schreiben wir die Formel auf, die wir brauchen:

\[((\left(\ln x \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(x)\]

Jetzt zählen wir mit $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\cdot \left(1+0 \right)=\frac(1)(x+\ln y)\]

Gefunden für $x$. Wir zählen nach $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(\ln \left(x+\ln y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac( 1)(x+\ln y).((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=\frac(1)(x+\ln y)\left(0+\frac(1)(y) \right)=\frac(1)(y\left(x+\ln y \right))\ ]

Das Problem ist behoben.

Nuancen der Lösung

Unabhängig davon, welche Funktion wir partiell ableiten, bleiben die Regeln dieselben, unabhängig davon, ob wir mit Trigonometrie, mit Wurzeln oder mit Logarithmen arbeiten.

Die klassischen Regeln für die Arbeit mit Standardableitungen bleiben unverändert, nämlich die Ableitung einer Summe und einer Differenz, eines Quotienten und einer komplexen Funktion.

Die letzte Formel findet man am häufigsten bei der Lösung von Problemen mit partiellen Ableitungen. Wir treffen sie fast überall. Es gab noch nie eine einzige Aufgabe, bei der wir nicht darauf gestoßen sind. Aber egal welche Formel wir verwenden, es kommt noch eine weitere Anforderung hinzu, nämlich die Besonderheit der Arbeit mit partiellen Ableitungen. Sobald wir eine Variable festlegen, sind alle anderen Konstanten. Wenn wir insbesondere die partielle Ableitung des Ausdrucks $\cos \frac(x)(y)$ nach $y$ betrachten, dann ist $y$ die Variable und $x$ bleibt überall konstant. Das Gleiche funktioniert auch umgekehrt. Es kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden, und die Ableitung der Konstante selbst ist gleich „Null“.

All dies führt dazu, dass partielle Ableitungen desselben Ausdrucks, jedoch in Bezug auf unterschiedliche Variablen, völlig unterschiedlich aussehen können. Schauen wir uns zum Beispiel die folgenden Ausdrücke an:

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(x)=1+0=1\]

\[((\left(x+\ln y \right))^(\prime ))_(y)=0+\frac(1)(y)=\frac(1)(y)\]

Probleme mit Exponentialfunktionen und Logarithmen

Aufgabe Nr. 1

Schreiben wir zunächst die folgende Formel:

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x))\]

Wenn wir diese Tatsache sowie die Ableitung einer komplexen Funktion kennen, versuchen wir zu berechnen. Ich werde es jetzt auf zwei verschiedene Arten lösen. Das erste und offensichtlichste ist die Ableitung des Produkts:

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Lassen Sie uns den folgenden Ausdruck separat lösen:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(((((x)"))_(x))\cdot y-x .((((y)"))_(x)))(((y)^(2)))=\frac(1\cdot y-x\cdot 0)(((y)^(2))) =\frac(y)(((y)^(2)))=\frac(1)(y)\]

Wir kehren zu unserem ursprünglichen Design zurück und fahren mit der Lösung fort:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\left(1 +\frac(1)(y)\right)\]

Alles, $x$ wird berechnet.

Allerdings werden wir nun, wie versprochen, versuchen, dieselbe partielle Ableitung auf andere Weise zu berechnen. Beachten Sie dazu Folgendes:

\[((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))=((e)^(x+\frac(x)(y)))\]

Schreiben wir es so:

\[((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=( (\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y )))\cdot ((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=((e)^(x+\frac(x)(y)) )\cdot \left(1+\frac(1)(y) \right)\]

Als Ergebnis erhielten wir genau die gleiche Antwort, allerdings fiel der Rechenaufwand geringer aus. Dazu genügte der Hinweis, dass bei der Durchführung des Produkts Indikatoren hinzugefügt werden können.

Jetzt zählen wir mit $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right) )^(\prime ))_(y)=((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(y)\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ) )_(y)=\]

\[=0\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \cdot ((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Lassen Sie uns einen Ausdruck separat lösen:

\[((\left(\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(((((x)"))_(y))\cdot y-x \cdot ((((y)"))_(y)))(((y)^(2)))=\frac(0-x\cdot 1)(((y)^(2))) =-\frac(1)(((y)^(2)))=-\frac(x)(((y)^(2)))\]

Fahren wir mit der Lösung unserer ursprünglichen Konstruktion fort:

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))\cdot \left(-\frac(x)(((y)^(2) )) \right)=-\frac(x)(((y)^(2)))\cdot ((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y) ))\]

Natürlich könnte dieselbe Ableitung auch auf die zweite Art berechnet werden, und die Antwort wäre dieselbe.

Problem Nr. 2

Zählen wir mit $x$:

\[(((z)")_(x))=((\left(x \right))_(x))\cdot \ln \left(((x)^(2))+y \right )+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\]

Berechnen wir einen Ausdruck separat:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(2x)((( x)^(2))+y)\]

Fahren wir mit der Lösung der ursprünglichen Konstruktion fort: $$

Das ist die Antwort.

Es bleibt noch, analog mit $y$ zu finden:

\[(((z)")_(y))=((\left(x \right))^(\prime ))_(y).\ln \left(((x)^(2)) +y \right)+x\cdot ((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\]

Wie immer berechnen wir einen Ausdruck separat:

\[((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=((\left(((x)^(2)) \right) )^(\prime ))_(y)+(((y)")_(y))=0+1=1\]

Wir lösen weiterhin das Grunddesign:

Alles ist berechnet. Wie Sie sehen, fallen die Antworten völlig unterschiedlich aus, je nachdem, welche Variable zur Differenzierung herangezogen wird.

Nuancen der Lösung

Hier leuchtendes Beispiel wie die Ableitung derselben Funktion auf zwei verschiedene Arten berechnet werden kann. Schau hier:

\[(((z)")_(x))=\left(((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y))) \right)=( (\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e) ^(x))\cdot ((\left(((e)^(\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac(x)(y)))+((e)^(x))\cdot ((e)^(\frac (x)(y)))\cdot \frac(1)(y)=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\ left(1+\frac(1)(y) \right)\]

\[(((z)")_(x))=((\left(((e)^(x)).((e)^(\frac(x)(y))) \right)) ^(\prime ))_(x)=((\left(((e)^(x+\frac(x)(y))) \right))^(\prime ))_(x)=(( e)^(x+\frac(x)(y))).((\left(x+\frac(x)(y) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((e)^(x))\cdot ((e)^(^(\frac(x)(y))))\left(1+\frac(1)(y) \right)\ ]

Bei der Auswahl unterschiedlicher Pfade kann die Anzahl der Berechnungen unterschiedlich sein, aber die Antwort wird, wenn alles richtig gemacht wird, dieselbe sein. Dies gilt sowohl für klassische als auch für partielle Ableitungen. Gleichzeitig erinnere ich Sie noch einmal daran: Je nachdem, welche Variable die Ableitung nimmt, d.h. Differenzierung kann die Antwort völlig anders ausfallen. Sehen:

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(x)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 2x\]

\[((\left(\ln \left(((x)^(2))+y \right) \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)(((x )^(2))+y)\cdot ((\left(((x)^(2))+y \right))^(\prime ))_(y)=\frac(1)((( x)^(2))+y)\cdot 1\]

Um all dieses Material zu konsolidieren, versuchen wir abschließend, zwei weitere Beispiele zu berechnen.

Probleme mit trigonometrischen Funktionen und Funktionen mit drei Variablen

Aufgabe Nr. 1

Schreiben wir die folgenden Formeln auf:

\[((\left(((a)^(x)) \right))^(\prime ))=((a)^(x))\cdot \ln a\]

\[((\left(((e)^(x)) \right))^(\prime ))=((e)^(x))\]

Lösen wir nun unseren Ausdruck:

\[(((z)")_(x))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(x)=((3 )^(x.\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=\]

Berechnen wir separat die folgende Konstruktion:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(x)=(((x)")_(x))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot \sin y+x\cdot 0=\sin y\]

Wir lösen weiterhin den ursprünglichen Ausdruck:

\[=((3)^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot \sin y\]

Dies ist die endgültige Antwort der privaten Variablen auf $x$. Jetzt zählen wir mit $y$:

\[(((z)")_(y))=((\left(((3)^(x\sin y)) \right))^(\prime ))_(y)=((3 )^(x\sin y))\cdot \ln 3\cdot ((\left(x\sin y \right))^(\prime ))_(y)=\]

Lassen Sie uns einen Ausdruck separat lösen:

\[((\left(x\cdot \sin y \right))^(\prime ))_(y)=(((x)")_(y))\cdot \sin y+x((\ left(\sin y \right))^(\prime ))_(y)=0\cdot \sin y+x\cdot \cos y=x\cdot \cos y\]

Lösen wir unsere Konstruktion bis zum Ende:

\[=((3)^(x\cdot \sin y))\cdot \ln 3\cdot x\cos y\]

Problem Nr. 2

Auf den ersten Blick mag dieses Beispiel recht kompliziert erscheinen, da es drei Variablen gibt. Tatsächlich ist dies eines der meisten einfache Aufgaben im heutigen Video-Tutorial.

Suchen nach $x$:

\[(((t)")_(x))=((\left(x((e)^(y))+y((e)^(z)) \right))^(\prime ) )_(x)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(x)+((\left(y\cdot ((e) ^(z)) \right))^(\prime ))_(x)=\]

\[=((\left(x \right))^(\prime ))_(x)\cdot ((e)^(y))+x\cdot ((\left(((e)^(y )) \right))^(\prime ))_(x)=1\cdot ((e)^(y))+x\cdot o=((e)^(y))\]

Kommen wir nun zu $y$:

\[(((t)")_(y))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+y\cdot ((e)^(z)) \right))^ (\prime ))_(y)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((\left(y\cdot ((e)^(z)) \right))^(\prime ))_(y)=\]

\[=x\cdot ((\left(((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(y)+((e)^(z))\cdot ((\left (y \right))^(\prime ))_(y)=x\cdot ((e)^(y))+((e)^(z))\]

Wir haben die Antwort gefunden.

Jetzt müssen Sie nur noch nach $z$ suchen:

\[(((t)")_(z))=((\left(x\cdot ((e)^(y))+((y)^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=((\left(x\cdot ((e)^(y)) \right))^(\prime ))_(z)+((\left(y\cdot ((e )^(z)) \right))^(\prime ))_(z)=0+y\cdot ((\left(((e)^(z)) \right))^(\prime )) _(z)=y\cdot ((e)^(z))\]

Wir haben die dritte Ableitung berechnet, die die Lösung des zweiten Problems vervollständigt.

Nuancen der Lösung

Wie Sie sehen, gibt es in diesen beiden Beispielen nichts Kompliziertes. Das Einzige, wovon wir überzeugt sind, ist, dass die Ableitung einer komplexen Funktion häufig verwendet wird und wir je nachdem, welche partielle Ableitung wir berechnen, unterschiedliche Antworten erhalten.

In der letzten Aufgabe wurden wir gebeten, uns mit einer Funktion von drei Variablen gleichzeitig zu befassen. Daran ist nichts auszusetzen, aber am Ende waren wir überzeugt, dass sie sich alle deutlich voneinander unterscheiden.

Wichtige Punkte

Die letzten Erkenntnisse aus dem heutigen Video-Tutorial lauten wie folgt:

1. Partielle Ableitungen werden auf die gleiche Weise berechnet wie gewöhnliche, aber um die partielle Ableitung nach einer Variablen zu berechnen, nehmen wir alle anderen in dieser Funktion enthaltenen Variablen als Konstanten.
2. Bei der Arbeit mit partiellen Ableitungen verwenden wir die gleichen Standardformeln wie bei gewöhnlichen Ableitungen: Summe, Differenz, Ableitung von Produkt und Quotient und natürlich Ableitung einer komplexen Funktion.

Natürlich reicht es nicht aus, sich diese Videolektion allein anzuschauen, um dieses Thema vollständig zu verstehen. Deshalb gibt es auf meiner Website derzeit eine Reihe von Aufgaben zu diesem Video, die speziell dem heutigen Thema gewidmet sind – gehen Sie rein, laden Sie diese Aufgaben herunter, lösen Sie sie und überprüfen Sie die Antwort . Und danach keine Probleme mit partiellen Ableitungen, weder in Prüfungen noch im Studium unabhängige Arbeit das wirst du nicht haben. Natürlich ist dies nicht die letzte Lektion in höherer Mathematik, also besuchen Sie unsere Website, fügen Sie VKontakte hinzu, abonnieren Sie YouTube, liken Sie und bleiben Sie bei uns!

Die Funktion sei gegeben. Da x und y unabhängige Variablen sind, kann sich eine von ihnen ändern, während die andere ihren Wert behält. Geben wir der unabhängigen Variablen x ein Inkrement, während der Wert von y unverändert bleibt. Dann erhält z ein Inkrement, das als partielles Inkrement von z in Bezug auf x bezeichnet wird und mit bezeichnet wird. Also, .

Ebenso erhalten wir das Teilinkrement von z über y: .

Das Gesamtinkrement der Funktion z wird durch die Gleichheit bestimmt.

Wenn es einen Grenzwert gibt, wird dieser als partielle Ableitung der Funktion an einem Punkt nach der Variablen x bezeichnet und mit einem der folgenden Symbole bezeichnet:

.

Partielle Ableitungen nach x an einem Punkt werden normalerweise mit den Symbolen bezeichnet .

Die partielle Ableitung von nach der Variablen y wird ähnlich definiert und bezeichnet:

Somit wird die partielle Ableitung einer Funktion mehrerer (zwei, drei oder mehr) Variablen als Ableitung einer Funktion einer dieser Variablen definiert, sofern die Werte der übrigen unabhängigen Variablen konstant sind. Daher werden partielle Ableitungen einer Funktion mithilfe der Formeln und Regeln zur Berechnung von Ableitungen einer Funktion einer Variablen ermittelt (in diesem Fall werden x bzw. y berücksichtigt). konstanter Wert).

Partielle Ableitungen werden partielle Ableitungen erster Ordnung genannt. Sie können als Funktionen von betrachtet werden. Diese Funktionen können partielle Ableitungen haben, die partielle Ableitungen zweiter Ordnung genannt werden. Sie sind wie folgt definiert und gekennzeichnet:

; ;

; .

Differentiale 1. und 2. Ordnung einer Funktion zweier Variablen.

Volles Differential Funktionen (Formel 2.5) heißen Differentiale erster Ordnung.

Die Formel zur Berechnung der Gesamtdifferenz lautet wie folgt:

(2.5) bzw , Wo ,

partielle Differentiale einer Funktion.

Die Funktion soll stetige partielle Ableitungen zweiter Ordnung haben. Das Differential zweiter Ordnung wird durch die Formel bestimmt. Finden wir es:

Von hier: . Symbolisch wird es so geschrieben:

.

UNBESTIMMTES INTEGRAL.

Stammfunktion der Funktion, unbestimmtes Integral, Eigenschaften.

Die Funktion F(x) wird aufgerufen Stammfunktion für eine gegebene Funktion f(x), wenn F"(x)=f(x) oder, was dasselbe ist, wenn dF(x)=f(x)dx.

Satz. Wenn eine Funktion f(x), definiert in einem Intervall (X) endlicher oder unendlicher Länge, eine Stammfunktion F(x) hat, dann hat sie auch unendlich viele Stammfunktionen; Sie alle sind im Ausdruck F(x) + C enthalten, wobei C eine beliebige Konstante ist.

Die Menge aller Stammfunktionen für eine gegebene Funktion f(x), die in einem bestimmten Intervall oder auf einem Segment endlicher oder unendlicher Länge definiert ist, wird aufgerufen unbestimmtes Integral aus der Funktion f(x) [oder aus dem Ausdruck f(x)dx ] und wird mit dem Symbol bezeichnet.

Wenn F(x) eine der Stammfunktionen für f(x) ist, dann gemäß dem Stammfunktionssatz

, wobei C eine beliebige Konstante ist.

Per Definition einer Stammfunktion ist F"(x)=f(x) und daher dF(x)=f(x) dx. In Formel (7.1) heißt f(x) eine Integrandenfunktion und f( x) dx heißt Integrandenausdruck.

Partielle Ableitungen einer Funktion zweier Variablen.
Konzept und Lösungsbeispiele

In dieser Lektion werden wir unsere Bekanntschaft mit der Funktion zweier Variablen fortsetzen und uns mit der vielleicht häufigsten thematischen Aufgabe befassen – dem Finden partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung sowie das totale Differential der Funktion. Teilzeitstudierende stoßen in der Regel im 1. Studienjahr im 2. Semester auf partielle Ableitungen. Darüber hinaus taucht nach meinen Beobachtungen die Aufgabe, partielle Ableitungen zu finden, fast immer in der Prüfung auf.

Für effektives Lernen das folgende Material für Sie notwendig in der Lage sein, „gewöhnliche“ Ableitungen von Funktionen einer Variablen mehr oder weniger sicher zu finden. Den richtigen Umgang mit Derivaten erfahren Sie im Unterricht Wie findet man die Ableitung? Und Ableitung einer komplexen Funktion. Wir benötigen außerdem eine Tabelle mit Ableitungen elementarer Funktionen und Differenzierungsregeln; am praktischsten ist es, wenn sie in gedruckter Form vorliegt. Bekomme es Referenzmaterial auf der Seite möglich Mathematische Formeln und Tabellen.

Lassen Sie uns kurz das Konzept einer Funktion zweier Variablen wiederholen. Ich werde versuchen, mich auf das Nötigste zu beschränken. Eine Funktion aus zwei Variablen wird normalerweise als geschrieben, wobei die Variablen aufgerufen werden unabhängige Variablen oder Argumente.

Beispiel: – Funktion zweier Variablen.

Manchmal wird die Notation verwendet. Es gibt auch Aufgaben, bei denen anstelle eines Buchstabens der Buchstabe verwendet wird.

MIT geometrischer Punkt In Bezug auf das Sehen repräsentiert eine Funktion zweier Variablen am häufigsten eine Oberfläche eines dreidimensionalen Raums (Ebene, Zylinder, Kugel, Paraboloid, Hyperboloid usw.). Aber in Wirklichkeit ist das mehr analytische Geometrie, und auf unserer Agenda steht die mathematische Analyse, bei der mein Universitätslehrer mich nie betrügen ließ und die meine Stärke ist.

Kommen wir zur Frage, partielle Ableitungen erster und zweiter Ordnung zu finden. Ich habe eine gute Nachricht für diejenigen, die ein paar Tassen Kaffee getrunken haben und sich auf unglaublich schwieriges Material einlassen: Partielle Ableitungen sind fast dasselbe wie „gewöhnliche“ Ableitungen einer Funktion einer Variablen.

Für partielle Ableitungen gelten alle Differentiationsregeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Es gibt nur ein paar kleine Unterschiede, die wir gleich kennenlernen werden:

...ja, übrigens, für dieses Thema habe ich erstellt kleines PDF-Buch, mit dem Sie in nur wenigen Stunden „die Zähne reinkriegen“ können. Aber wenn Sie die Seite nutzen, werden Sie mit Sicherheit das gleiche Ergebnis erzielen – nur vielleicht etwas langsamer:

Beispiel 1

Finden Sie die partiellen Ableitungen erster und zweiter Ordnung der Funktion

Lassen Sie uns zunächst die partiellen Ableitungen erster Ordnung ermitteln. Es gibt zwei davon.

Bezeichnungen:
oder – partielle Ableitung nach „x“
oder – partielle Ableitung nach „y“

Lass uns beginnen mit . Wenn wir die partielle Ableitung nach „x“ finden, wird die Variable als Konstante (konstante Zahl) betrachtet..

Kommentare zu den durchgeführten Aktionen:

(1) Das erste, was wir tun, wenn wir die partielle Ableitung finden, ist die Schlussfolgerung alle Funktion in Klammern unter der Primzahl mit Index.

Achtung, wichtig! WIR VERLIEREN KEINE Indizes während des Lösungsprozesses. Wenn Sie in diesem Fall irgendwo einen „Strich“ ohne zeichnen, kann der Lehrer ihn zumindest neben die Aufgabe legen (wegen Unaufmerksamkeit sofort einen Teil des Punktes abbeißen).

(2) Wir verwenden die Regeln der Differenzierung , . Für einfaches Beispiel So können beide Regeln problemlos in einem Schritt angewendet werden. Achten Sie auf den ersten Begriff: seit wird als Konstante betrachtet und jede Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden, dann setzen wir es aus Klammern. Das heißt, in dieser Situation ist es nicht besser als eine gewöhnliche Zahl. Schauen wir uns nun den dritten Begriff an: Hier gibt es im Gegenteil nichts herauszunehmen. Da es eine Konstante ist, ist es auch eine Konstante, und in diesem Sinne ist es nicht besser als der letzte Term – „sieben“.

(3) Wir verwenden tabellarische Ableitungen und .

(4) Lassen Sie uns die Antwort vereinfachen oder, wie ich gerne sagen möchte, „optimieren“.

Jetzt . Wenn wir die partielle Ableitung nach „y“ finden, dann die Variableals Konstante betrachtet (konstante Zahl).

(1) Wir verwenden die gleichen Differenzierungsregeln , . Im ersten Term nehmen wir die Konstante aus dem Vorzeichen der Ableitung heraus, im zweiten Term können wir nichts herausnehmen, da es bereits eine Konstante ist.

(2) Wir verwenden die Ableitungstabelle elementarer Funktionen. Lassen Sie uns im Geiste alle „X“ in der Tabelle in „I“ ändern. Das heißt, diese Tabelle gilt gleichermaßen für (und zwar für fast jeden Buchstaben). Die von uns verwendeten Formeln sehen insbesondere so aus: und .

Was bedeuten partielle Ableitungen?

Im Wesentlichen ähneln partielle Ableitungen erster Ordnung „gewöhnliches“ Derivat:

- Das Funktionen, die charakterisieren Änderungsrate Funktionen in Richtung der bzw. -Achsen. So zum Beispiel die Funktion charakterisiert die Steilheit von „Anstiegen“ und „Gefällen“ Oberflächen in Richtung der Abszissenachse, und die Funktion gibt Auskunft über das „Relief“ derselben Oberfläche in Richtung der Ordinatenachse.

! Notiz : Hier meinen wir Richtungen, die parallel Koordinatenachsen.

Zum besseren Verständnis betrachten wir einen bestimmten Punkt auf der Ebene und berechnen dort den Wert der Funktion („Höhe“):
– und stellen Sie sich nun vor, dass Sie hier (AUF DER Oberfläche) sind.

Berechnen wir die partielle Ableitung nach „x“ an einem bestimmten Punkt:

Das negative Vorzeichen der „X“-Ableitung sagt uns etwas darüber abnehmend funktioniert an einem Punkt in Richtung der Abszissenachse. Mit anderen Worten: Wenn wir ein kleines, kleines machen (unendlich) Schritt zur Spitze der Achse (parallel zu dieser Achse), dann gehen wir den Hang der Oberfläche hinunter.

Nun erfahren wir die Beschaffenheit des „Geländes“ in Richtung der Ordinatenachse:

Die Ableitung nach „y“ ist daher an einem Punkt in Richtung der Achse der Funktion positiv erhöht sich. Vereinfacht gesagt erwartet uns hier ein Anstieg.

Darüber hinaus charakterisiert die partielle Ableitung an einem Punkt Änderungsrate funktioniert in die entsprechende Richtung. Je größer der resultierende Wert ist Modulo– je steiler die Oberfläche und umgekehrt, je näher sie am Nullpunkt liegt, desto flacher ist die Oberfläche. In unserem Beispiel ist also die „Steigung“ in Richtung der Abszissenachse steiler als der „Berg“ in Richtung der Ordinatenachse.

Aber das waren zwei Privatwege. Von unserem jetzigen Standpunkt aus ist es ganz klar, (und im Allgemeinen von jedem Punkt auf einer bestimmten Oberfläche) wir können uns in eine andere Richtung bewegen. Daher besteht ein Interesse daran, eine allgemeine „Navigationskarte“ zu erstellen, die uns über die „Landschaft“ der Oberfläche informiert nach Möglichkeit an jedem Punkt Definitionsbereich dieser Funktion entlang aller verfügbaren Wege. Über dieses und andere interessante Dinge Ich werde es Ihnen in einer der nächsten Lektionen erzählen, aber jetzt kehren wir zur technischen Seite des Problems zurück.

Lassen Sie uns die elementaren angewandten Regeln systematisieren:

1) Wenn wir nach differenzieren, wird die Variable als Konstante betrachtet.

2) Bei der Differenzierung erfolgt nach, dann wird als Konstante betrachtet.

3) Die Regeln und die Ableitungstabelle elementarer Funktionen sind für jede Variable (oder jede andere) gültig und anwendbar, nach der die Differenzierung durchgeführt wird.

Schritt zwei. Wir finden partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Es gibt vier davon.

Bezeichnungen:
oder – zweite Ableitung nach „x“
oder – zweite Ableitung nach „y“
oder - gemischt Ableitung von „x nach igr“
oder - gemischt Ableitung von „Y“

Mit der zweiten Ableitung gibt es keine Probleme. Apropos in einfacher Sprache, Die zweite Ableitung ist die Ableitung der ersten Ableitung.

Der Einfachheit halber werde ich die bereits gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung umschreiben:

Lassen Sie uns zunächst gemischte Derivate finden:

Wie Sie sehen, ist alles einfach: Wir nehmen die partielle Ableitung und differenzieren sie erneut, aber in diesem Fall – diesmal nach dem „Y“.

Ebenfalls:

In praktischen Beispielen können Sie sich auf die folgende Gleichheit konzentrieren:

Daher ist es sehr praktisch, anhand gemischter Ableitungen zweiter Ordnung zu überprüfen, ob wir die partiellen Ableitungen erster Ordnung korrekt gefunden haben.

Finden Sie die zweite Ableitung nach „x“.
Keine Erfindungen, nehmen wir es und differenziere es noch einmal durch „x“:

Ebenfalls:

Es ist zu beachten, dass Sie beim Finden etwas zeigen müssen erhöhte Aufmerksamkeit , da es keine wundersamen Gleichheiten gibt, um sie zu überprüfen.

Zweite Ableitungen finden ebenfalls breite Anwendung praktischer Nutzen Insbesondere werden sie bei der Findungsaufgabe eingesetzt Extrema einer Funktion zweier Variablen. Aber alles hat seine Zeit:

Beispiel 2

Berechnen Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion an diesem Punkt. Finden Sie Ableitungen zweiter Ordnung.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antworten am Ende der Lektion). Wenn Sie Schwierigkeiten haben, Wurzeln zu unterscheiden, kehren Sie zur Lektion zurück Wie findet man die Ableitung? Im Allgemeinen werden Sie ziemlich bald lernen, solche Derivate „on the fly“ zu finden.

Lassen Sie uns mehr in die Hände bekommen komplexe Beispiele:

Beispiel 3

Prüfe das . Geben Sie die Gesamtdifferenz erster Ordnung an.

Lösung: Finden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung:

Achten Sie auf den Index: Neben dem „X“ ist es nicht verboten, in Klammern zu schreiben, dass es sich um eine Konstante handelt. Dieser Hinweis kann für Anfänger sehr nützlich sein, um die Navigation in der Lösung zu erleichtern.

Weitere Kommentare:

(1) Wir nehmen alle Konstanten außerhalb des Vorzeichens der Ableitung. In diesem Fall und und daher wird ihr Produkt als konstante Zahl betrachtet.

(2) Vergessen Sie nicht, wie man Wurzeln richtig unterscheidet.

(1) Wir nehmen alle Konstanten aus dem Vorzeichen der Ableitung heraus; in diesem Fall ist die Konstante .

(2) Unter der Primzahl bleibt das Produkt zweier Funktionen übrig, daher müssen wir die Regel zur Differenzierung des Produkts verwenden .

(3) Vergessen Sie nicht, dass dies eine komplexe Funktion ist (wenn auch die einfachste aller komplexen). Wir verwenden die entsprechende Regel: .

Nun finden wir gemischte Ableitungen zweiter Ordnung:

Dies bedeutet, dass alle Berechnungen korrekt durchgeführt wurden.

Schreiben wir die Gesamtdifferenz auf. Im Kontext der betrachteten Aufgabe macht es keinen Sinn zu sagen, wie hoch das Gesamtdifferential einer Funktion zweier Variablen ist. Es ist wichtig, dass genau dieser Unterschied sehr oft in praktischen Problemen niedergeschrieben werden muss.

Gesamtdifferential erster Ordnung Die Funktion zweier Variablen hat die Form:

In diesem Fall:

Das heißt, Sie müssen nur die bereits gefundenen partiellen Ableitungen erster Ordnung dumm in die Formel einsetzen. In dieser und ähnlichen Situationen ist es am besten, Differentialzeichen in Zählern zu schreiben:

Und auf wiederholte Anfragen von Lesern, vollständiges Differential zweiter Ordnung.

Es sieht aus wie das:

Lassen Sie uns SORGFÄLTIG die „einbuchstabigen“ Ableitungen 2. Ordnung finden:

und schreibe das „Monster“ auf, indem du sorgfältig die Quadrate und das Produkt „anfügst“ und nicht vergisst, die gemischte Ableitung zu verdoppeln:

Es ist in Ordnung, wenn etwas schwierig erscheint; Sie können später jederzeit auf Ableitungen zurückkommen, nachdem Sie die Differenzierungstechnik beherrschen:

Beispiel 4

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion . Prüfe das . Geben Sie die Gesamtdifferenz erster Ordnung an.

Schauen wir uns eine Reihe von Beispielen an komplexe Funktionen:

Beispiel 5

Finden Sie die partiellen Ableitungen erster Ordnung der Funktion.

Lösung:

Beispiel 6

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .
Notieren Sie die Gesamtdifferenz.

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können (Antwort am Ende der Lektion). Ich werde Ihnen keine vollständige Lösung geben, da sie recht einfach ist.

Sehr oft werden alle oben genannten Regeln in Kombination angewendet.

Beispiel 7

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .

(1) Wir verwenden die Regel zum Differenzieren der Summe

(2) Der erste Term wird in diesem Fall als Konstante betrachtet, da es im Ausdruck nichts gibt, was von „x“ abhängt – nur „y“. Weißt du, es ist immer schön, wenn ein Bruch in Null umgewandelt werden kann. Für den zweiten Term wenden wir die Produktdifferenzierungsregel an. In diesem Sinne hätte sich übrigens nichts geändert, wenn stattdessen eine Funktion angegeben worden wäre – das ist hier wichtig Produkt zweier Funktionen, JEDES davon hängt davon ab "X" Daher müssen Sie die Produktdifferenzierungsregel verwenden. Für den dritten Term wenden wir die Differenzierungsregel einer komplexen Funktion an.

(1) Der erste Term sowohl im Zähler als auch im Nenner enthält ein „Y“, daher müssen Sie die Regel zur Differenzierung von Quotienten verwenden: . Der zweite Term hängt NUR von „x“ ab, was bedeutet, dass er als Konstante betrachtet wird und zu Null wird. Für den dritten Term verwenden wir die Regel zum Differenzieren einer komplexen Funktion.

Den Lesern, die es mutig fast bis zum Ende der Lektion geschafft haben, erzähle ich zur Erleichterung einen alten Mekhmatov-Witz:

Eines Tages tauchte ein böses Derivat im Raum der Funktionen auf und begann, jeden zu differenzieren. Alle Funktionen sind in alle Richtungen verstreut, niemand will sich verwandeln! Und nur eine Funktion läuft nicht weg. Der Derivat kommt auf sie zu und fragt:

- Warum rennst du nicht vor mir weg?

- Ha. Aber das ist mir egal, denn ich bin „e hoch X“ und du wirst mir nichts antun!

Worauf das böse Derivat mit einem heimtückischen Lächeln antwortet:

- Hier irren Sie sich, ich unterscheide Sie durch „Y“, also sollten Sie eine Null sein.

Wer den Witz verstanden hat, beherrscht Ableitungen zumindest bis zur Stufe „C“.

Beispiel 8

Finden Sie partielle Ableitungen erster Ordnung einer Funktion .

Dies ist ein Beispiel, das Sie selbst lösen können. Die vollständige Lösung und ein Beispiel des Problems finden Sie am Ende der Lektion.

Nun, das ist fast alles. Abschließend kann ich nicht anders, als Mathematikliebhabern eine Freude mit einem weiteren Beispiel zu bereiten. Dabei geht es nicht einmal um Amateure, jeder hat ein anderes Maß an mathematischer Vorbereitung – es gibt Menschen (und nicht so selten), die sich gerne mit schwierigeren Aufgaben messen. Allerdings ist das letzte Beispiel in dieser Lektion nicht so komplex, sondern aus rechentechnischer Sicht umständlich.

Gegeben sei eine Funktion zweier Variablen. Erhöhen wir das Argument und lassen es unverändert. Dann erhält die Funktion ein Inkrement, das als partielles Inkrement durch Variable bezeichnet wird und wie folgt bezeichnet wird:

In ähnlicher Weise erhalten wir durch Festlegen des Arguments und Erhöhen des Arguments ein teilweises Inkrement der Funktion um die Variable:

Die Menge wird als Gesamtinkrement der Funktion an einem Punkt bezeichnet.

Definition 4. Die partielle Ableitung einer Funktion zweier Variablen nach einer dieser Variablen ist die Grenze des Verhältnisses des entsprechenden Teilinkrements der Funktion zum Inkrement einer gegebenen Variablen, wenn diese gegen Null tendiert (wenn diese Grenze gilt). existiert). Die partielle Ableitung wird wie folgt bezeichnet: oder, oder.

Somit haben wir per Definition:

Partielle Ableitungen von Funktionen werden nach denselben Regeln und Formeln als Funktion einer Variablen berechnet, wobei zu berücksichtigen ist, dass bei der Differenzierung nach einer Variablen diese als konstant und bei der Differenzierung nach einer Variablen als konstant betrachtet wird .

Beispiel 3. Finden Sie partielle Ableitungen von Funktionen:

Lösung. a) Um herauszufinden, betrachten wir ihn als konstanten Wert und differenzieren ihn als Funktion einer Variablen:

Unter der Annahme eines konstanten Wertes finden wir in ähnlicher Weise:

Definition 5. Das Gesamtdifferential einer Funktion ist die Summe der Produkte der partiellen Ableitungen dieser Funktion durch die Inkremente der entsprechenden unabhängigen Variablen, d.h.

Wenn man bedenkt, dass die Differentiale der unabhängigen Variablen mit ihren Zuwächsen übereinstimmen, d. h. , die Formel für das Gesamtdifferential kann geschrieben werden als

Beispiel 4. Finden Sie das vollständige Differential der Funktion.

Lösung. Da wir die Gesamtdifferentialformel verwenden, finden wir

Partielle Ableitungen höherer Ordnung

Partielle Ableitungen werden partielle Ableitungen erster Ordnung oder erste partielle Ableitungen genannt.

Definition 6. Die partiellen Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion sind die partiellen Ableitungen der partiellen Ableitungen erster Ordnung.

Es gibt vier partielle Ableitungen zweiter Ordnung. Sie werden wie folgt bezeichnet:

Partielle Ableitungen 3., 4. und höherer Ordnung werden ähnlich definiert. Für eine Funktion gilt beispielsweise:

Partielle Ableitungen zweiter oder höherer Ordnung, die nach verschiedenen Variablen gebildet werden, werden gemischte partielle Ableitungen genannt. Für eine Funktion sind dies Ableitungen. Beachten Sie, dass Gleichheit gilt, wenn die gemischten Ableitungen stetig sind.

Beispiel 5. Finden Sie partielle Ableitungen zweiter Ordnung einer Funktion

Lösung. Die partiellen Ableitungen erster Ordnung für diese Funktion finden Sie in Beispiel 3:

Wenn wir nach den Variablen x und y differenzieren, erhalten wir