Die Abhängigkeit der Variablen y von der Variablen x, bei der jeder Wert von x einem einzelnen Wert von y entspricht, wird als Funktion bezeichnet. Die Notation ist y=f(x). Jede Funktion hat eine Reihe grundlegender Eigenschaften wie Monotonie, Parität, Periodizität und andere.

Betrachten Sie die Paritätseigenschaft genauer.

Eine Funktion y=f(x) wird auch dann aufgerufen, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

2. Der Wert der Funktion am Punkt x, der zum Geltungsbereich der Funktion gehört, muss gleich dem Wert der Funktion am Punkt -x sein. Das heißt, für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d f (-x) wahr sein.

Graph einer geraden Funktion

Wenn wir einen Graphen bauen gleiche Funktion es wird symmetrisch um die y-Achse sein.

Beispielsweise ist die Funktion y=x^2 gerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=3. f(x)=3^2=9.

f(-x)=(-3)^2=9. Daher gilt f(x) = f(-x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion gerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^2.

Die Abbildung zeigt, dass der Graph symmetrisch zur y-Achse ist.

Graph einer ungeraden Funktion

Eine Funktion y=f(x) heißt ungerade, wenn sie die folgenden zwei Bedingungen erfüllt:

1. Der Definitionsbereich der gegebenen Funktion muss symmetrisch zum Punkt O sein. Das heißt, wenn ein Punkt a zum Definitionsbereich der Funktion gehört, dann muss der entsprechende Punkt -a auch zum Definitionsbereich der gegebenen Funktion gehören.

2. Für jeden Punkt x aus dem Funktionsbereich muss die folgende Gleichheit f (x) \u003d -f (x) erfüllt sein.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Punkt O - dem Ursprung. Beispielsweise ist die Funktion y=x^3 ungerade. Lass es uns überprüfen. Der Definitionsbereich ist die gesamte Zahlenachse, was bedeutet, dass sie symmetrisch um den Punkt O ist.

Nehmen Sie ein beliebiges x=2. f(x)=2^3=8.

f(-x)=(-2)^3=-8. Also f(x) = -f(x). Damit sind für uns beide Bedingungen erfüllt, was bedeutet, dass die Funktion ungerade ist. Unten ist ein Diagramm der Funktion y=x^3.

Die Abbildung zeigt deutlich, dass die ungerade Funktion y=x^3 bezüglich des Ursprungs symmetrisch ist.

Eine Funktion heißt gerade (ungerade), wenn für alle und die Gleichheit

.

Der Graph einer geraden Funktion ist achsensymmetrisch
.

Der Graph einer ungeraden Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Beispiel 6.2. Untersuche nach geraden oder ungeraden Funktionen

1)
; 2)
; 3)
.

Lösung.

1) Die Funktion wird mit definiert
. Lass uns finden
.

Diese.
. Diese Funktion ist also gerade.

2) Die Funktion ist definiert für

Diese.
. Somit ist diese Funktion ungerade.

3) die Funktion ist definiert für , d.h. zum

,
. Daher ist die Funktion weder gerade noch ungerade. Nennen wir es eine allgemeine Funktion.

3. Untersuchung einer Funktion auf Monotonie.

Funktion
heißt in einem Intervall steigend (fallend), wenn in diesem Intervall jeder größere Wert des Arguments einem größeren (kleineren) Wert der Funktion entspricht.

Funktionen, die in einem bestimmten Intervall zunehmen (fallen), werden als monoton bezeichnet.

Wenn die Funktion
auf dem Intervall differenzierbar
und hat eine positive (negative) Ableitung
, dann die Funktion
steigt (sinkt) in diesem Intervall.

Beispiel 6.3. Finden Sie Intervalle der Monotonie von Funktionen

1)
; 3)
.

Lösung.

1) Diese Funktion ist auf der gesamten Zahlenachse definiert. Finden wir die Ableitung.

Die Ableitung ist Null, wenn
und
. Definitionsbereich - numerische Achse, geteilt durch Punkte
,
für Intervalle. Lassen Sie uns das Vorzeichen der Ableitung in jedem Intervall bestimmen.

In der Pause
die Ableitung negativ ist, nimmt die Funktion in diesem Intervall ab.

In der Pause
die Ableitung ist positiv, daher nimmt die Funktion in diesem Intervall zu.

2) Diese Funktion ist definiert, wenn
oder

.

Wir bestimmen das Vorzeichen des quadratischen Trinoms in jedem Intervall.

Somit der Funktionsumfang

Finden wir die Ableitung
,
, wenn
, d.h.
, aber
. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen
.

In der Pause
die Ableitung ist negativ, daher nimmt die Funktion im Intervall ab
. In der Pause
die Ableitung positiv ist, steigt die Funktion im Intervall
.

4. Untersuchung einer Funktion für ein Extremum.

Punkt
wird der maximale (minimale) Punkt der Funktion genannt
, wenn es eine solche Umgebung des Punktes gibt das für alle
diese Nachbarschaft befriedigt die Ungleichung

.

Die Maximum- und Minimumpunkte einer Funktion werden als Extrempunkte bezeichnet.

Wenn die Funktion
am Punkt ein Extremum hat, dann ist die Ableitung der Funktion an dieser Stelle gleich Null oder existiert nicht (eine notwendige Bedingung für die Existenz eines Extremums).

Die Punkte, an denen die Ableitung gleich Null ist oder nicht existiert, werden als kritisch bezeichnet.

5. Hinreichende Bedingungen für die Existenz eines Extremums.

Regel 1. Wenn beim Übergang (von links nach rechts) durch den kritischen Punkt Derivat
ändert das Vorzeichen von "+" auf "-", dann am Punkt Funktion
hat ein Maximum; wenn von "-" bis "+", dann das Minimum; wenn
das Vorzeichen nicht ändert, dann gibt es kein Extremum.

Regel 2. An der Stelle lassen
erste Ableitung der Funktion
Null
, und die zweite Ableitung existiert und ist ungleich Null. Wenn ein
, dann ist der maximale Punkt, wenn
, dann ist der Minimalpunkt der Funktion.

Beispiel 6.4 . Entdecken Sie die Maximum- und Minimum-Funktionen:

1)
; 2)
; 3)
;

4)
.

Lösung.

1) Die Funktion ist definiert und stetig auf dem Intervall
.

Finden wir die Ableitung
und löst die Gleichung
, d.h.
.von hier
sind kritische Punkte.

Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in den Intervallen ,
.

Beim Passieren von Punkten
und
die Ableitung wechselt das Vorzeichen von „–“ nach „+“, also nach Regel 1
sind die Mindestpunktzahl.

Beim Passieren eines Punktes
Ableitung ändert das Vorzeichen von "+" nach "-", also
ist der Höchstpunkt.

,
.

2) Die Funktion ist im Intervall definiert und stetig
. Finden wir die Ableitung
.

Durch Lösen der Gleichung
, finden
und
sind kritische Punkte. Wenn der Nenner
, d.h.
, dann existiert die Ableitung nicht. So,
ist der dritte kritische Punkt. Bestimmen wir das Vorzeichen der Ableitung in Intervallen.

Daher hat die Funktion an der Stelle ein Minimum
, Maximum an Punkten
und
.

3) Eine Funktion ist definiert und stetig, wenn
, d.h. bei
.

Finden wir die Ableitung

.

Finden wir die kritischen Punkte:

Nachbarschaften von Punkten
gehören nicht zum Definitionsbereich, sind also kein Extremum t. Lassen Sie uns also die kritischen Punkte untersuchen
und
.

4) Die Funktion ist definiert und kontinuierlich auf dem Intervall
. Wir verwenden Regel 2. Finden Sie die Ableitung
.

Finden wir die kritischen Punkte:

Finden wir die zweite Ableitung
und bestimme ihr Vorzeichen an den Punkten

An Punkten
Funktion hat ein Minimum.

An Punkten
Funktion hat ein Maximum.

Im Juli 2020 startet die NASA eine Expedition zum Mars. Raumfahrzeug wird einen elektronischen Datenträger mit den Namen aller registrierten Expeditionsteilnehmer an den Mars liefern.

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Noch ein Silvester... frostiges Wetter und Schneeflocken auf dem Fensterglas... All das veranlasste mich, wieder über... Fraktale zu schreiben, und was Wolfram Alpha darüber weiß. Bei dieser Gelegenheit dort interessanter Artikel, das Beispiele für zweidimensionale fraktale Strukturen enthält. Hier schauen wir uns mehr an komplexe Beispiele dreidimensionale Fraktale.

Ein Fraktal kann visuell als geometrische Figur oder Körper dargestellt (beschrieben) werden (was bedeutet, dass beide eine Menge sind, in diesem Fall eine Menge von Punkten), deren Details dieselbe Form wie die ursprüngliche Figur selbst haben. Das heißt, es ist eine selbstähnliche Struktur, wenn man die Details betrachtet, von denen wir bei Vergrößerung die gleiche Form sehen werden wie ohne Vergrößerung. Während im Falle des Üblichen geometrische Figur(kein Fraktal), wenn wir hineinzoomen, werden wir Details sehen, die mehr haben einfache Form als die ursprüngliche Form selbst. Beispielsweise sieht ein Teil einer Ellipse bei ausreichend hoher Vergrößerung wie ein gerades Liniensegment aus. Bei Fraktalen passiert das nicht: Bei jeder Zunahme sehen wir wieder dieselbe komplexe Form, die sich bei jeder Zunahme immer wieder wiederholt.

Benoit Mandelbrot, der Begründer der Wissenschaft der Fraktale, schrieb in seinem Artikel Fraktale und Kunst für die Wissenschaft: „Fraktale sind geometrische Formen, die in ihren Einzelheiten ebenso komplex sind wie in ihrer allgemeinen Form. Das heißt, wenn ein Teil eines Fraktals auf die Größe eines Ganzen vergrößert wird, sieht es wie ein Ganzes aus, entweder genau oder vielleicht mit einer leichten Verformung.

. Verwenden Sie dazu Millimeterpapier oder einen grafischen Taschenrechner. Wählen Sie für die unabhängige Variable beliebig viele Zahlenwerte aus x (\displaystyle x) und stecken Sie sie in die Funktion, um die Werte der abhängigen Variablen zu berechnen y (\displaystyle y). Trage die gefundenen Koordinaten der Punkte ein Koordinatenebene, und verbinden Sie dann diese Punkte, um die Funktion zu zeichnen.

• Setze das Positive in die Funktion ein Zahlenwerte x (\displaystyle x) und entsprechenden negativen numerischen Werten. Zum Beispiel eine gegebene Funktion f (x) = 2 x 2 + 1 (\displaystyle f(x)=2x^(2)+1). Ersetzen Sie die folgenden Werte darin x (\displaystyle x):

Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion symmetrisch zur y-Achse ist. Symmetrie bezieht sich auf das Spiegelbild des Graphen um die y-Achse. Wenn der Teil des Diagramms rechts von der y-Achse (positive Werte der unabhängigen Variablen) mit dem Teil des Diagramms links von der y-Achse (negative Werte der unabhängigen Variablen) übereinstimmt, wird die Der Graph ist symmetrisch zur y-Achse. Wenn die Funktion symmetrisch zur y-Achse ist, ist die Funktion gerade.

Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion symmetrisch zum Ursprung ist. Der Ursprung ist der Punkt mit den Koordinaten (0,0). Symmetrie um den Ursprung bedeutet, dass ein positiver Wert y (\displaystyle y)(mit einem positiven Wert x (\displaystyle x)) entspricht einem negativen Wert y (\displaystyle y)(mit einem negativen Wert x (\displaystyle x)), umgekehrt. Ungerade Funktionen haben Symmetrie bezüglich des Ursprungs.

Überprüfen Sie, ob der Graph der Funktion irgendeine Symmetrie hat. Der letzte Funktionstyp ist eine Funktion, deren Graph keine Symmetrie hat, dh es gibt kein Spiegelbild sowohl relativ zur y-Achse als auch relativ zum Ursprung. Zum Beispiel eine gegebene Funktion.

• Setzen Sie mehrere positive und entsprechende Werte in die Funktion ein negative Werte x (\displaystyle x):
• Nach den erhaltenen Ergebnissen besteht keine Symmetrie. Werte y (\displaystyle y) für entgegengesetzte Werte x (\displaystyle x) stimmen nicht überein und sind nicht entgegengesetzt. Die Funktion ist also weder gerade noch ungerade.
• Bitte beachten Sie, dass die Funktion f (x) = x 2 + 2 x + 1 (\displaystyle f(x)=x^(2)+2x+1) kann so geschrieben werden: f (x) = (x + 1) 2 (\displaystyle f(x)=(x+1)^(2)). In dieser Form geschrieben, scheint die Funktion gerade zu sein, weil es einen geraden Exponenten gibt. Aber dieses Beispiel beweist, dass die Form einer Funktion nicht schnell bestimmt werden kann, wenn die unabhängige Variable in Klammern eingeschlossen ist. In diesem Fall müssen Sie die Klammern öffnen und die resultierenden Exponenten analysieren.

Die Ihnen bis zu einem gewissen Grad vertraut waren. Dort wurde auch darauf hingewiesen, dass der Bestand an Funktionsimmobilien sukzessive wieder aufgefüllt wird. In diesem Abschnitt werden zwei neue Eigenschaften besprochen.

Bestimmung 1.

Die Funktion y \u003d f (x), x є X, wird aufgerufen, auch wenn für einen beliebigen Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) \u003d f (x) gilt.

Bestimmung 2.

Die Funktion y \u003d f (x), x є X, heißt ungerade, wenn für jeden Wert x aus der Menge X die Gleichheit f (-x) \u003d -f (x) wahr ist.

Beweisen Sie, dass y = x 4 eine gerade Funktion ist.

Lösung. Wir haben: f (x) \u003d x 4, f (-x) \u003d (-x) 4. Aber (-x) 4 = x 4 . Daher gilt für jedes x die Gleichheit f (-x) = f (x), d.h. die Funktion ist gerade.

Ebenso kann bewiesen werden, dass die Funktionen y - x 2, y \u003d x 6, y - x 8 gerade sind.

Beweisen Sie, dass y = x 3 eine ungerade Funktion ist.

Lösung. Wir haben: f (x) \u003d x 3, f (-x) \u003d (-x) 3. Aber (-x) 3 = -x 3 . Daher ist für jedes x die Gleichheit f (-x) \u003d -f (x), d.h. Die Funktion ist ungerade.

Ebenso kann bewiesen werden, dass die Funktionen y \u003d x, y \u003d x 5, y \u003d x 7 ungerade sind.

Sie und ich haben uns immer wieder davon überzeugt, dass neue Begriffe in der Mathematik meist einen „irdischen“ Ursprung haben, d.h. sie lassen sich irgendwie erklären. Dies gilt sowohl für gerade als auch für ungerade Funktionen. Siehe: y - x 3, y \u003d x 5, y \u003d x 7 sind ungerade Funktionen, während y \u003d x 2, y \u003d x 4, y \u003d x 6 gerade Funktionen sind. Und im Allgemeinen können wir für jede Funktion der Form y \u003d x "(unten werden wir diese Funktionen speziell untersuchen), bei der n eine natürliche Zahl ist, schließen: wenn n nicht ist gerade Zahl, dann ist die Funktion y \u003d x "ungerade; wenn n eine gerade Zahl ist, dann ist die Funktion y \u003d xn gerade.

Es gibt auch Funktionen, die weder gerade noch ungerade sind. Dies ist zum Beispiel die Funktion y \u003d 2x + 3. In der Tat f (1) \u003d 5 und f (-1) \u003d 1. Wie Sie sehen können, hier also weder die Identität f (-x ) \u003d f ( x), noch die Identität f(-x) = -f(x).

Eine Funktion kann also gerade, ungerade oder keines von beiden sein.

Studium der Frage, ob gegebene Funktion gerade oder ungerade, wird normalerweise das Studium einer Funktion für die Parität genannt.

In den Definitionen 1 und 2 wir redenüber die Werte der Funktion an den Punkten x und -x. Dies setzt voraus, dass die Funktion sowohl am Punkt x als auch am Punkt -x definiert ist. Das bedeutet, dass der Punkt -x gleichzeitig mit dem Punkt x zum Definitionsbereich der Funktion gehört. Enthält eine Zahlenmenge X zusammen mit jedem ihrer Elemente x das entgegengesetzte Element -x, so heißt X eine symmetrische Menge. Sagen wir (-2, 2), [-5, 5], (-oo, +oo) sind symmetrische Mengen, während )