Der elektronische Ressource ist ein hervorragendes Material zum Dirigieren interaktives Lernen V moderne Schulen. Es ist kompetent geschrieben, klar strukturiert und entspricht Schulplan. Dank ausführlicher Erklärungen wird das in der Videolektion präsentierte Thema möglichst vielen Schülern in der Klasse klar. Lehrer müssen bedenken, dass nicht alle Schüler über den gleichen Wahrnehmungsgrad, die gleiche Verständnisgeschwindigkeit oder die gleiche Basis verfügen. Solche Materialien werden Ihnen helfen, mit Schwierigkeiten umzugehen, mit Ihren Kommilitonen gleichzuziehen und Ihre akademischen Leistungen zu verbessern. Mit ihrer Hilfe kann ein Student in einer ruhigen häuslichen Umgebung, unabhängig oder zusammen mit einem Tutor, ein bestimmtes Thema verstehen, Theorie studieren und Beispiele ansehen praktische Anwendung die eine oder andere Formel usw.
Diese Videolektion ist dem Thema „Sinus und Cosinus der Argumentdifferenz“ gewidmet. Es wird davon ausgegangen, dass die Studierenden bereits die Grundlagen der Trigonometrie erlernt haben und mit den Grundfunktionen und ihren Eigenschaften, Geisterformeln und Tabellen trigonometrischer Werte vertraut sind.
Bevor Sie mit dem Studium dieses Themas fortfahren, müssen Sie außerdem den Sinus und Cosinus der Summe der Argumente verstehen, zwei Grundformeln kennen und diese verwenden können.
Zu Beginn der Videolektion erinnert der Ansager die Schüler an diese beiden Formeln. Als nächstes wird die erste Formel demonstriert – der Sinus der Argumentdifferenz. Neben der Ableitung der Formel selbst wird auch gezeigt, wie sie von einer anderen abgeleitet wird. Somit muss sich der Schüler keine neue Formel merken, ohne sie zu verstehen, was ein häufiger Fehler ist. Dies ist für die Schüler dieser Klasse sehr wichtig. Sie müssen immer daran denken, dass Sie vor dem Minuszeichen ein +-Zeichen hinzufügen können und ein Minuszeichen auf dem Pluszeichen schließlich in ein Minuszeichen umgewandelt wird. Mit diesem einfachen Schritt können Sie die Formel für den Sinus einer Summe verwenden und die Formel für den Sinus der Differenz von Argumenten erhalten.
Die Formel für den Kosinus der Differenz leitet sich in ähnlicher Weise aus der Formel für den Kosinus der Summe der Argumente ab.
Der Sprecher erklärt alles Schritt für Schritt und daraus ergibt sich auf ähnliche Weise die allgemeine Formel für den Kosinus aus Summe und Differenz von Argumenten und Sinus.
Das erste Beispiel aus dem praktischen Teil dieser Videolektion schlägt vor, den Kosinus von Pi/12 zu ermitteln. Es wird vorgeschlagen, diesen Wert in Form einer bestimmten Differenz darzustellen, bei der Minuend und Subtrahend tabellarische Werte sind. Als nächstes wird die Kosinusformel für die Differenz der Argumente angewendet. Durch Ersetzen des Ausdrucks können Sie die resultierenden Werte ersetzen und die Antwort erhalten. Der Ansager liest die Antwort vor, die am Ende des Beispiels angezeigt wird.
Das zweite Beispiel ist eine Gleichung. Sowohl auf der rechten als auch auf der linken Seite sehen wir die Kosinuswerte der Differenzen der Argumente. Der Sprecher ähnelt Gussformeln, die diese Ausdrücke ersetzen und vereinfachen. Diese Formeln sind auf der rechten Seite geschrieben, damit die Schüler verstehen können, woher bestimmte Änderungen kommen.
Ein weiteres Beispiel, das dritte, ist ein bestimmter Bruch, bei dem wir sowohl im Zähler als auch im Nenner haben trigonometrische Ausdrücke, nämlich die Unterschiede der Produkte.
Auch hier werden beim Lösen Reduktionsformeln verwendet. So können Schüler erkennen, dass es immer schwieriger wird, den Rest zu verstehen, wenn sie ein Thema in der Trigonometrie verpassen.
Und schließlich das vierte Beispiel. Dies ist auch eine Gleichung, bei deren Lösung neue erlernte und alte Formeln verwendet werden müssen.
Sie können sich die Beispiele im Video-Tutorial genauer ansehen und versuchen, es selbst zu lösen. Sie können als festgelegt werden Hausaufgaben Schulkinder.
TEXTDEKODIERUNG:
Das Thema der Lektion ist „Sinus und Cosinus der Argumentdifferenz“.
Im vorherigen Kurs haben wir zwei kennengelernt trigonometrische Formeln Sinus und Cosinus der Summe der Argumente.
sin(x + y) = sin x cos y + cos x sin y,
cos (x + y) = cos x cos y - sin x sin y.
Sinus der Summe zweier Winkel gleich der Summe zwischen dem Produkt aus dem Sinus des ersten Winkels und dem Cosinus des zweiten Winkels und dem Produkt aus dem Cosinus des ersten Winkels und dem Sinus des zweiten Winkels;
Der Kosinus der Summe zweier Winkel ist gleich der Differenz zwischen dem Produkt der Kosinuswerte dieser Winkel und dem Produkt der Summe dieser Winkel.
Mit diesen Formeln werden wir die Formeln Sinus und Cosinus der Argumentdifferenz ableiten.
Sinus der Argumentdifferenz sin(x-y)
Zwei Formeln (Sinus der Summe und Sinus der Differenz) können wie folgt geschrieben werden:
Sünde(xy) = sin x cos ycos x sin y.
Ebenso leiten wir die Formel für den Kosinus der Differenz ab:
Schreiben wir den Kosinus der Differenz zwischen den Argumenten als Summe um und wenden die bereits bekannte Formel für den Kosinus der Summe an: cos (x + y) = cosxcosy – sinxsiny.
nur für die Argumente x und -y. Wenn wir diese Argumente in die Formel einsetzen, erhalten wir cosxcos(- y) - sinxsin(- y).
sin(- y)= - siny). und wir erhalten den endgültigen Ausdruck cosxcosy + sinxsiny.
cos (x - y) = cos (x +(- y)) = cos xcos(- y) - sin x sin(- y)= cosx cos y + sin xsin y.
Das bedeutet cos (x - y) = cosxcos y + sin xsin y.
Der Kosinus der Differenz zweier Winkel ist gleich der Summe zwischen dem Produkt der Kosinuswerte dieser Winkel und dem Produkt der Sinuswerte dieser Winkel.
Wir kombinieren zwei Formeln (Kosinus der Summe und Kosinus der Differenz) zu einer und schreiben
cos(xy) = cosxcos y sin xsin y.
Denken Sie daran, dass Formeln in der Praxis sowohl von links nach rechts als auch umgekehrt angewendet werden können.
Schauen wir uns Beispiele an.
BEISPIEL 1. Berechnen Sie den Kosinus (Kosinus von Pi geteilt durch zwölf).
Lösung. Schreiben wir pi dividiert durch zwölf als die Differenz von pi durch drei und pi dividiert durch vier: = - .
Setzen wir die Werte in die Differenz-Cosinus-Formel ein: cos (x – y) = cosxcosy + sinxsiny, also cos = cos (-) = cos cos + sin sin
Wir wissen, dass cos = , cos = sin= , sin = . Wertetabelle anzeigen.
Ersetzen wir den Wert von Sinus und Cosinus Zahlenwerte und wir erhalten ∙ + ∙, wenn wir einen Bruch mit einem Bruch multiplizieren, multiplizieren wir die Zähler und Nenner, wir erhalten
cos = cos (-) = cos cos + sin sin = ∙ + ∙ = = =.
Antwort: cos =.
BEISPIEL 2. Lösen cos-Gleichung(2π - 5x) = cos(- 5x) (Der Kosinus von zwei pi minus fünf x ist gleich dem Kosinus von pi mal zwei minus fünf x).
Lösung. Auf die linke und rechte Seite der Gleichung wenden wir die Reduktionsformeln cos(2π - cos (Cosinus von zwei Pi minus Alpha ist gleich Cosinus von Alpha) und cos(- = sin (Cosinus von Pi mal zwei minus Alpha ist gleich an Sinus von Alpha), erhalten wir cos 5x = sin 5x, geben es in die Form einer homogenen Gleichung ersten Grades und erhalten cos 5x - sin 5x = 0. Dies ist eine homogene Gleichung ersten Grades. Lassen Sie uns Teilen Sie beide Seiten des Gleichungsterms durch cos 5x. Wir haben:
cos 5x: cos 5x - sin 5x: cos 5x = 0, weil cos 5x: cos 5x = 1 und sin 5x: cos 5x = tan 5x, dann erhalten wir:
Da wir bereits wissen, dass die Gleichung tgt = a eine Lösung t = arctga + πn hat und t = 5x, a = 1 gilt, erhalten wir
5x = arctan 1 + πn,
A arctg-Wert 1, dann tg 1= Tabelle anzeigen
Setzen Sie den Wert in die Gleichung ein und lösen Sie sie:
Antwort: x = +.
BEISPIEL 3. Ermitteln Sie den Wert des Bruchs. (Im Zähler steht die Differenz des Produkts der Kosinuswerte von fünfundsiebzig Grad und fünfundsechzig Grad und dem Produkt der Sinuswerte von fünfundsiebzig Grad und fünfundsechzig Grad, und im Nenner steht die Differenz des Sinusprodukts von fünfundachtzig Grad und dem Kosinus von fünfunddreißig Grad und dem Produkt von Kosinus von fünfundachtzig Grad und Sinus von fünfunddreißig Grad).
Lösung. Im Zähler dieses Bruchs kann die Differenz in den Kosinus der Summe der Argumente 75° und 65° „kollabiert“ werden, und im Nenner kann die Differenz in den Sinus der Differenz zwischen den Argumenten „kollabiert“ werden 85° und 35°. Wir bekommen
Antwort 1.
BEISPIEL 4. Lösen Sie die Gleichung: cos(-x) + sin(-x) = 1 (Kosinus der Differenz von Pi mal vier und x plus der Sinus der Differenz von Pi mal vier und x ist gleich eins).
Lösung. Wenden wir die Formeln Kosinusdifferenz und Sinusdifferenz an.
Zeigen allgemeine Formel Kosinusdifferenz
Dann ist cos (-x) = cos cos x + sinsinх
Zeigen Sie die allgemeine Formel für die Sinusdifferenz
und sin (-х)= sin cosх - cos sinх
Setze diese Ausdrücke in die Gleichung cos(-x) + sin(-x) = 1 ein und erhalte:
cos cos x + sinsin x + sin cos x - cos sin x = 1,
Da cos= und sin= Tabelle die Bedeutung von Sinus und Cosinus anzeigen
Wir erhalten ∙ cos x + ∙ sinx + ∙ cos x - ∙ sinx = 1,
Der zweite und der vierte Begriff sind gegensätzlich, daher heben sie sich gegenseitig auf und es bleibt:
∙ cos + ∙ cos = 1,
Lass uns entscheiden gegebene Gleichung und das verstehen wir
2∙ ∙ cos x= 1,
Da wir bereits wissen, dass die Gleichung cos = a eine Lösung hat T = arcosA+ 2πk, und da wir t=x, a = haben, erhalten wir
x = arccos + 2πn,
und da der Wert arccos ist, dann ist cos =
Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus für zwei Winkel α und β ermöglichen es uns, von der Summe dieser Winkel zum Produkt der Winkel α + β 2 und α - β 2 zu gelangen. Beachten wir gleich, dass Sie die Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus nicht mit den Formeln für Sinus und Cosinus von Summe und Differenz verwechseln sollten. Im Folgenden listen wir diese Formeln auf, geben ihre Ableitungen an und zeigen Anwendungsbeispiele für spezifische Probleme.
Yandex.RTB R-A-339285-1
Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus
Schreiben wir auf, wie die Summen- und Differenzformeln für Sinus und Cosinus aussehen
Summen- und Differenzformeln für Sinus
sin α + sin β = 2 sin α + β 2 cos α - β 2 sin α - sin β = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Summen- und Differenzformeln für Kosinuswerte
cos α + cos β = 2 cos α + β 2 cos α - β 2 cos α - cos β = - 2 sin α + β 2 cos α - β 2 , cos α - cos β = 2 sin α + β 2 · β - α 2
Diese Formeln gelten für alle Winkel α und β. Die Winkel α + β 2 und α - β 2 werden Halbsumme und Halbdifferenz der Winkel Alpha bzw. Beta genannt. Geben wir die Formulierung für jede Formel an.
Definitionen von Formeln für Summen und Differenzen von Sinus und Cosinus
Summe der Sinuswerte zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Sinus der Halbsumme dieser Winkel und dem Kosinus der Halbdifferenz.
Differenz der Sinuswerte zweier Winkel ist gleich dem Doppelten des Produkts aus dem Sinus der Halbdifferenz dieser Winkel und dem Kosinus der Halbsumme.
Summe der Kosinuswerte zweier Winkel ist gleich dem doppelten Produkt aus dem Kosinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel.
Differenz der Kosinuswerte zweier Winkel ist gleich dem Doppelten des Produkts aus dem Sinus der Halbsumme und dem Kosinus der Halbdifferenz dieser Winkel, genommen mit negativem Vorzeichen.
Ableiten von Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus
Um Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus zweier Winkel abzuleiten, werden Additionsformeln verwendet. Lassen Sie uns sie unten auflisten
sin (α + β) = sin α · cos β + cos α · sin β sin (α - β) = sin α · cos β - cos α · sin β cos (α + β) = cos α · cos β - sin α sin β cos (α - β) = cos α cos β + sin α sin β
Stellen wir uns auch die Winkel selbst als Summe von Halbsummen und Halbdifferenzen vor.
α = α + β 2 + α – β 2 = α 2 + β 2 + α 2 – β 2 β = α + β 2 – α – β 2 = α 2 + β 2 – α 2 + β 2
Wir gehen direkt zur Herleitung der Summen- und Differenzformeln für sin und cos über.
Herleitung der Formel für die Sinussumme
In der Summe sin α + sin β ersetzen wir α und β durch die oben angegebenen Ausdrücke für diese Winkel. Wir bekommen
sin α + sin β = sin α + β 2 + α – β 2 + sin α + β 2 – α – β 2
Nun wenden wir auf den ersten Ausdruck die Additionsformel und auf den zweiten die Formel für den Sinus von Winkeldifferenzen an (siehe Formeln oben).
sin α + β 2 + α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 + sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 Öffnen Sie die Klammern, fügen Sie ähnliche Begriffe hinzu und erhalten Sie die erforderliche Formel
sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 + sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α + β 2 cos α - β 2
Die Schritte zum Ableiten der übrigen Formeln sind ähnlich.
Herleitung der Formel für die Sinusdifferenz
sin α - sin β = sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 sin α + β 2 + α - β 2 - sin α + β 2 - α - β 2 = sin α + β 2 cos α - β 2 + cos α + β 2 sin α - β 2 - sin α + β 2 cos α - β 2 - cos α + β 2 sin α - β 2 = = 2 sin α - β 2 cos α + β 2
Herleitung der Formel für die Summe der Kosinuswerte
cos α + cos β = cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 + cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 + cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = 2 cos α + β 2 cos α - β 2
Herleitung der Formel für die Kosinusdifferenz
cos α - cos β = cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 cos α + β 2 + α - β 2 - cos α + β 2 - α - β 2 = cos α + β 2 cos α - β 2 - sin α + β 2 sin α - β 2 - cos α + β 2 cos α - β 2 + sin α + β 2 sin α - β 2 = = - 2 sin α + β 2 sin α - β 2
Beispiele zur Lösung praktischer Probleme
Überprüfen wir zunächst eine der Formeln, indem wir bestimmte Winkelwerte darin einsetzen. Sei α = π 2, β = π 6. Berechnen wir den Wert der Summe der Sinuswerte dieser Winkel. Zunächst nutzen wir die Tabelle der Grundwerte trigonometrische Funktionen, und wenden Sie dann die Formel für die Summe der Sinuswerte an.
Beispiel 1. Überprüfung der Formel für die Summe der Sinuswerte zweier Winkel
α = π 2, β = π 6 sin π 2 + sin π 6 = 1 + 1 2 = 3 2 sin π 2 + sin π 6 = 2 sin π 2 + π 6 2 cos π 2 - π 6 2 = 2 sin π 3 cos π 6 = 2 3 2 3 2 = 3 2
Betrachten wir nun den Fall, dass die Winkelwerte von den in der Tabelle dargestellten Grundwerten abweichen. Sei α = 165°, β = 75°. Berechnen wir die Differenz zwischen den Sinuswerten dieser Winkel.
Beispiel 2. Anwendung der Sinusdifferenzformel
α = 165°, β = 75° sin α - sin β = sin 165° - sin 75° sin 165 - sin 75 = 2 sin 165° - sin 75° 2 cos 165° + sin 75° 2 = = 2 sin 45 ° cos 120° = 2 2 2 - 1 2 = 2 2
Mit den Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus können Sie von der Summe oder Differenz zum Produkt trigonometrischer Funktionen übergehen. Oft werden diese Formeln als Formeln für den Übergang von einer Summe zu einem Produkt bezeichnet. Bei der Lösung werden häufig Formeln für die Summe und Differenz von Sinus und Cosinus verwendet trigonometrische Gleichungen und beim Konvertieren trigonometrischer Ausdrücke.
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