في دروس الهندسة في المدرسة الثانويةلقد قيل لنا جميعا عن المثلث. ومع ذلك، داخل المنهج المدرسينحن فقط نحصل على الأفضل المعرفة اللازمةوتعلم طرق الحساب الأكثر شيوعًا والمعيارية. هل هناك أي طرق غير عادية للعثور على هذه الكمية؟

كمقدمة، دعونا نتذكر المثلث الذي يعتبر قائم الزاوية، ونشير أيضًا إلى مفهوم المساحة.

المثلث القائم هو شكل هندسي مغلق، إحدى زواياه تساوي 90 0. المفاهيم المتكاملة في التعريف هي الساقين والوتر. الأرجل تعني جانبين يشكلان زاوية قائمة عند نقطة الاتصال. الوتر هو الضلع المقابل للزاوية القائمة. يمكن للمثلث القائم الزاوية أن يكون متساوي الساقين (سيكون ضلعاه بنفس الحجم)، لكنه لن يكون متساوي الأضلاع أبدًا (جميع الأضلاع ستكون بنفس الطول). لن نناقش تعريفات الارتفاع والوسيط والمتجهات والمصطلحات الرياضية الأخرى بالتفصيل. من السهل العثور عليها في الكتب المرجعية.

مربع مثلث قائم. على عكس المستطيلات، فإن القاعدة حول

ولا ينطبق عمل الأطراف في القرار. إذا تحدثنا بعبارات جافة، فإن مساحة المثلث تُفهم على أنها خاصية هذا الشكل لاحتلال جزء من المستوى، معبرًا عنه برقم. من الصعب جدًا أن تفهم، سوف توافق. دعونا لا نحاول التعمق في التعريف؛ فهذا ليس هدفنا. دعنا ننتقل إلى الشيء الرئيسي - كيفية العثور على المنطقة مثلث قائم؟ لن نقوم بإجراء الحسابات نفسها، وسوف نشير فقط إلى الصيغ. للقيام بذلك، دعونا نحدد الترميز: A، B، C - جوانب المثلث، الأرجل - AB، BC. الزاوية ACB مستقيمة. S هي مساحة المثلث، h n n هو ارتفاع المثلث، حيث nn هو الجانب الذي يتم خفضه عليه.

الطريقة الأولى. كيفية العثور على مساحة المثلث القائم إذا كان حجم أرجله معروفًا

الطريقة الثانية. ابحث عن مساحة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين

الطريقة الثالثة. حساب المساحة باستخدام المستطيل

نكمل المثلث الأيمن إلى مربع (إذا كان المثلث

متساوي الساقين) أو مستطيل. نحصل على شكل رباعي بسيط يتكون من مثلثين قائمي الزاوية متطابقين. وفي هذه الحالة ستكون مساحة إحداهما مساوية لنصف مساحة الشكل الناتج. يتم حساب S للمستطيل بواسطة منتج الجوانب. دعنا نشير إلى هذه القيمة M. ستكون قيمة المنطقة المطلوبة تساوي نصف M.

الطريقة الرابعة. "سراويل فيثاغورس". نظرية فيثاغورس الشهيرة

وكلنا نتذكر صيغته: "مجموع مربعات الساقين...". ولكن لا يستطيع الجميع ذلك

قل، ما علاقة بعض "السراويل" بالأمر؟ الحقيقة هي أن فيثاغورس درس في البداية العلاقة بين أضلاع المثلث القائم الزاوية. وبعد أن حدد الأنماط في نسبة جوانب المربعات، تمكن من استخلاص صيغة معروفة لنا جميعًا. ويمكن استخدامه في الحالات التي يكون فيها حجم أحد الجانبين غير معروف.

الطريقة الخامسة. كيفية العثور على مساحة المثلث القائم باستخدام صيغة هيرون

هذه أيضًا طريقة حسابية بسيطة إلى حد ما. تتضمن الصيغة التعبير عن مساحة المثلث من خلال القيم الرقميةجوانبها. لإجراء العمليات الحسابية، عليك معرفة أحجام جميع جوانب المثلث.

S = (p-AC)*(p-BC)، حيث p = (AB+BC+AC)*0.5

بالإضافة إلى ما سبق، هناك العديد من الطرق الأخرى للعثور على حجم هذا الشكل الغامض مثل المثلث. من بينها: الحساب باستخدام طريقة الدائرة المنقوشة أو المقيدة، الحساب باستخدام إحداثيات القمة، استخدام المتجهات، قيمه مطلقه، الجيوب، الظلال.

مثلث - مسطح الشكل الهندسيبزاوية واحدة تساوي 90 درجة . علاوة على ذلك، في الهندسة غالبا ما يكون من الضروري حساب مساحة هذا الشكل. سنخبرك بكيفية القيام بذلك أكثر.

أبسط صيغة لتحديد مساحة المثلث القائم الزاوية

البيانات الأولية، حيث: a وb هما أضلاع المثلث القادمة منها زاوية مستقيمة.

أي أن المساحة تساوي نصف حاصل ضرب الضلعين الممتدين من الزاوية القائمة. بالطبع، هناك صيغة هيرون المستخدمة لحساب مساحة المثلث المنتظم، ولكن لتحديد القيمة تحتاج إلى معرفة أطوال الأضلاع الثلاثة. وفقا لذلك، سيتعين عليك حساب الوتر، وهذا وقت إضافي.

أوجد مساحة المثلث القائم باستخدام صيغة هيرون

هذه صيغة معروفة ومبتكرة، ولكن لهذا سيتعين عليك حساب الوتر على قدمين باستخدام نظرية فيثاغورس.

في هذه الصيغة: أ، ب، ج هي أضلاع المثلث، و ع هو نصف المحيط.

أوجد مساحة المثلث القائم باستخدام الوتر والزاوية

إذا لم تكن أي من الأرجل معروفة في مشكلتك، فاستخدم أكثر من غيرها بطريقة بسيطةانت لا تستطيع. لتحديد القيمة التي تحتاجها لحساب طول الساقين. يمكن القيام بذلك ببساطة باستخدام الوتر وجيب التمام للزاوية المجاورة.

ب=ج×كوس(α)

بمجرد معرفة طول أحد الأرجل، يمكنك باستخدام نظرية فيثاغورس حساب الضلع الثاني الخارج من الزاوية القائمة.

ب 2 = ج 2 -أ 2

في هذه الصيغة، c وa هما الوتر والساق، على التوالي. الآن يمكنك حساب المساحة باستخدام الصيغة الأولى. بنفس الطريقة، يمكنك حساب أحد الساقين، مع مراعاة الثانية والزاوية. في هذه الحالة، أحد الجوانب المطلوبة سيكون مساوياً لمنتج الساق وظل الزاوية. هناك طرق أخرى لحساب المساحة، لكن بمعرفة النظريات والقواعد الأساسية، يمكنك بسهولة العثور على القيمة المطلوبة.

إذا لم يكن لديك أي من أضلاع المثلث، ولكن فقط الوسيط وإحدى الزوايا، فيمكنك حساب طول الجوانب. للقيام بذلك، استخدم خصائص الوسيط لتقسيم المثلث القائم إلى قسمين. وعليه فإنه يمكن أن يكون بمثابة الوتر إذا خرج منه زاوية حادة. استخدم نظرية فيثاغورس وحدد أطوال أضلاع المثلث القادمة من الزاوية القائمة.

كما ترون، بمعرفة الصيغ الأساسية ونظرية فيثاغورس، يمكنك حساب مساحة المثلث القائم الزاوية، الذي يحتوي على زاوية واحدة فقط وطول أحد الجوانب.

المثلث القائم هو مثلث تكون إحدى زواياه 90 درجة. ويمكن معرفة مساحتها إذا عرف الجانبان. يمكنك بالطبع اتخاذ الطريق الطويل - العثور على الوتر وحساب المساحة باستخدام ، ولكن في معظم الحالات لن يستغرق ذلك سوى وقت إضافي. ولهذا السبب تبدو صيغة مساحة المثلث القائم كما يلي:

مساحة المثلث القائم تساوي نصف منتج الساقين.

مثال لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية.
إعطاء مثلث قائم الزاوية مع الساقين أ= 8 سم، ب= 6 سم.
نحسب المساحة:
المساحة : 24 سم2

تنطبق نظرية فيثاغورس أيضًا على المثلث القائم الزاوية. – مجموع مربعي الساقين يساوي مربع الوتر.
يتم حساب صيغة مساحة المثلث القائم متساوي الساقين بنفس طريقة حساب المثلث القائم العادي.

مثال لحساب مساحة المثلث القائم الزاوية متساوي الساقين:
إعطاء مثلث مع الساقين أ= 4 سم، ب= 4 سم احسب المساحة :
أحسب المساحة : = 8 سم2

يمكن استخدام صيغة مساحة المثلث القائم بواسطة الوتر إذا تم إعطاء الشرط لساق واحدة. ومن نظرية فيثاغورس نجد طول الساق المجهولة. على سبيل المثال، نظرا للوتر جوالساق أ، رجل بسيكون مساوياً لـ:
بعد ذلك، احسب المساحة باستخدام الصيغة المعتادة. مثال لحساب صيغة مساحة المثلث القائم على أساس الوتر مطابق لتلك الموصوفة أعلاه.

دعونا نفكر في مشكلة مثيرة للاهتمام من شأنها أن تساعد في تعزيز المعرفة بصيغ حل المثلث.
مهمة: مساحة المثلث القائم الزاوية 180 مترا مربعا. انظر، ابحث عن الضلع الأصغر للمثلث إذا كان أقل من الثاني بمقدار 31 سم.
حل: دعونا نعين الساقين أو ب. والآن لنعوض بالبيانات في صيغة المساحة: نعلم أيضًا أن إحدى الساقين أصغر من الأخرى أ – ب= 31 سم
ومن الشرط الأول نحصل على ذلك
ونعوض بهذا الشرط في المعادلة الثانية:

وبما أننا وجدنا الجوانب، فإننا نزيل علامة الطرح.
اتضح أن الساق أ= 40 سم، أ ب= 9 سم.