اليوم سوف نتعلم كيفية تربيع التعبيرات الكبيرة بسرعة بدون آلة حاسبة. بشكل عام، أعني الأعداد التي تتراوح من عشرة إلى مائة. التعبيرات الكبيرة نادرة للغاية في المسائل الحقيقية، وأنت تعرف بالفعل كيفية حساب القيم الأقل من عشرة، لأن هذا جدول ضرب عادي. ستكون المواد الموجودة في درس اليوم مفيدة للطلاب ذوي الخبرة إلى حد ما، لأن الطلاب المبتدئين ببساطة لن يقدروا سرعة وفعالية هذه التقنية.
أولا، دعونا معرفة ما نتحدث عنه نحن نتحدث عن. أقترح، على سبيل المثال، لبناء تعسفي التعبير العددي، كما نفعل عادة. لنفترض 34. نرفعه بضربه في نفسه بعمود:
\[((34)^(2))=\times \frac(34)(\frac(34)(+\frac(136)(\frac(102)(1156))))\]
1156 هو المربع 34
ويمكن وصف مشكلة هذه الطريقة في نقطتين:
1) يتطلب وثائق مكتوبة؛
2) من السهل جدًا ارتكاب خطأ أثناء عملية الحساب.
سنتعلم اليوم كيفية الضرب بسرعة بدون آلة حاسبة، شفويًا وبدون أخطاء تقريبًا.
اذا هيا بنا نبدأ. للعمل، نحتاج إلى صيغة مربع المجموع والفرق. دعنا نكتبهم:
\[(((أ+ب))^(2))=((أ)^(2))+2ab+((ب)^(2))\]
\[(((أ-ب))^(2))=((أ)^(2))-2ab+((ب)^(2))\]
ماذا يعطينا هذا؟ الحقيقة هي أن أي قيمة في النطاق من 10 إلى 100 يمكن تمثيلها بالرقم $a$، الذي يقبل القسمة على 10، والرقم $b$، وهو باقي القسمة على 10.
على سبيل المثال، يمكن تمثيل 28 على النحو التالي:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 20+8 \\& 30-2 \\\end(align)\]
ونقدم باقي الأمثلة بنفس الطريقة:
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\& 60-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\& 50-8 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 70+7 \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\& 30-9 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 20+6 \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 30+9 \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\& 90-9 \\\end(align)\]
ماذا تخبرنا هذه الفكرة؟ والحقيقة هي أنه مع مجموع أو فرق، يمكننا تطبيق الحسابات الموضحة أعلاه. بالطبع، لتقصير الحسابات، لكل عنصر يجب عليك اختيار التعبير مع الحد الثاني الأصغر. على سبيل المثال، من بين الخيارات $20+8$ و$30-2$، يجب عليك اختيار الخيار $30-2$.
نختار بالمثل خيارات للأمثلة المتبقية:
\[\begin(align)& ((28)^(2)) \\& 30-2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((51)^(2)) \\& 50+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((42)^(2)) \\& 40+2 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((77)^(2)) \\& 80-3 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((21)^(2)) \\& 20+1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((26)^(2)) \\& 30-4 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((39)^(2)) \\& 40-1 \\\end(align)\]
\[\begin(align)& ((81)^(2)) \\& 80+1 \\\end(align)\]
لماذا يجب أن نسعى جاهدين لتبسيط الحد الثاني عند الضرب بسرعة؟ الأمر كله يتعلق بالحسابات الأولية لمربع المجموع والفرق. الحقيقة هي أن المصطلح $2ab$ مع علامة زائد أو ناقص هو الأكثر صعوبة في الحساب عند حل المشكلات الحقيقية. وإذا كان العامل $a$، وهو مضاعف 10، يتم ضربه بسهولة دائمًا، فمع العامل $b$، وهو رقم يتراوح من واحد إلى عشرة، يواجه العديد من الطلاب صعوبات بانتظام.
\[{{28}^{2}}={{(30-2)}^{2}}=200-120+4=784\]
\[{{51}^{2}}={{(50+1)}^{2}}=2500+100+1=2601\]
\[{{42}^{2}}={{(40+2)}^{2}}=1600+160+4=1764\]
\[{{77}^{2}}={{(80-3)}^{2}}=6400-480+9=5929\]
\[{{21}^{2}}={{(20+1)}^{2}}=400+40+1=441\]
\[{{26}^{2}}={{(30-4)}^{2}}=900-240+16=676\]
\[{{39}^{2}}={{(40-1)}^{2}}=1600-80+1=1521\]
\[{{81}^{2}}={{(80+1)}^{2}}=6400+160+1=6561\]
إذن، في ثلاث دقائق، قمنا بضرب ثمانية أمثلة. وهذا أقل من 25 ثانية لكل تعبير. في الواقع، بعد القليل من التدريب، سوف تقوم بالعد بشكل أسرع. لن يستغرق الأمر أكثر من خمس إلى ست ثوانٍ لحساب أي تعبير مكون من رقمين.
ولكن هذا ليس كل شيء. بالنسبة لأولئك الذين تبدو لهم التقنية الموضحة غير سريعة بما فيه الكفاية وباردة بما فيه الكفاية، أقترح المزيد طريقة سريعةالضرب، والذي، مع ذلك، لا يصلح لجميع المهام، ولكن فقط لتلك التي تختلف بواحد عن مضاعفات العدد 10. يوجد في درسنا أربع قيم من هذا القبيل: 51 و21 و81 و39.
قد يبدو الأمر أسرع بكثير، فنحن بالفعل نحصيهم في سطرين فقط. لكن في الحقيقة من الممكن التسريع، ويتم ذلك على النحو التالي. نكتب القيمة التي هي من مضاعفات العدد عشرة، وهي الأقرب إلى ما نحتاج إليه. على سبيل المثال، لنأخذ 51. لذلك، دعونا نبني في البداية خمسين:
\[{{50}^{2}}=2500\]
من الأسهل تربيع مضاعفات العشرة. والآن نضيف ببساطة خمسين و51 إلى التعبير الأصلي، وستكون الإجابة هي نفسها:
\[{{51}^{2}}=2500+50+51=2601\]
وهكذا مع كل الأعداد التي تختلف بواحد.
إذا كانت القيمة التي نبحث عنها أكبر من تلك التي نعدها، فإننا نضيف أرقامًا إلى المربع الناتج. إذا كان الرقم المطلوب أصغر، كما هو الحال في 39، فعند تنفيذ الإجراء، تحتاج إلى طرح القيمة من المربع. دعونا نتدرب دون استخدام الآلة الحاسبة:
\[{{21}^{2}}=400+20+21=441\]
\[{{39}^{2}}=1600-40-39=1521\]
\[{{81}^{2}}=6400+80+81=6561\]
كما ترون، في جميع الحالات الإجابات هي نفسها. علاوة على ذلك، فإن هذه التقنية قابلة للتطبيق على أي قيم مجاورة. على سبيل المثال:
\[\begin(align)& ((26)^(2))=625+25+26=676 \\& 26=25+1 \\\end(align)\]
وفي الوقت نفسه، لا نحتاج إلى تذكر حسابات مربعات المجموع والفرق واستخدام الآلة الحاسبة. سرعة العمل تفوق الثناء. لذلك، تذكر وتدرب واستخدمها في الممارسة العملية.
النقاط الرئيسية
مع هذه التقنية يمكنك بسهولة مضاعفة أي منها الأعداد الطبيعيةتتراوح من 10 إلى 100. علاوة على ذلك، يتم إجراء جميع العمليات الحسابية شفهيًا، بدون آلة حاسبة وحتى بدون ورق!
أولاً، تذكر مربعات القيم التي هي مضاعفات 10:
\[\begin(align)& ((10)^(2))=100,((20)^(2))=400,((30)^(2))=900,..., \\ & ((80)^(2))=6400,((90)^(2))=8100. \\\النهاية(محاذاة)\]
\[\begin(align)& ((34)^(2))=(((30+4))^(2))=((30)^(2))+2\cdot 30\cdot 4+ ((4)^(2))= \\& =900+240+16=1156; \\\النهاية(محاذاة)\]
\[\begin(align)& ((27)^(2))=(((30-3))^(2))=((30)^(2))-2\cdot 30\cdot 3+ ((3)^(2))= \\& =900-180+9=729. \\\النهاية(محاذاة)\]
كيف نحسب بشكل أسرع
ولكن هذا ليس كل شيء! باستخدام هذه التعبيرات، يمكنك على الفور تربيع الأرقام "المجاورة" للأرقام المرجعية. على سبيل المثال، نحن نعرف 152 (القيمة المرجعية)، ولكننا بحاجة إلى إيجاد 142 (رقم مجاور أقل من القيمة المرجعية بواحد). دعنا نكتبها:
\[\begin(align)& ((14)^(2))=((15)^(2))-14-15= \\& =225-29=196. \\\النهاية(محاذاة)\]
يرجى ملاحظة: لا التصوف! يتم الحصول على مربعات الأرقام التي تختلف بمقدار 1 عن طريق ضرب الأرقام المرجعية في حد ذاتها عن طريق طرح أو إضافة قيمتين:
\[\begin(align)& ((31)^(2))=((30)^(2))+30+31= \\& =900+61=961. \\\النهاية(محاذاة)\]
لماذا يحدث هذا؟ لنكتب صيغة مربع المجموع (والفرق). دع $n$ تكون القيمة المرجعية لدينا. ثم يتم حسابها على النحو التالي:
\[\begin(align)& (((n-1))^(2))=(n-1)(n-1)= \\& =(n-1)\cdot n-(n-1) )= \\& ==((n)^(2))-n-(n-1) \\\end(align)\]
- هذه هي الصيغة.
\[\begin(align)& (((n+1))^(2))=(n+1)(n+1)= \\& =(n+1)\cdot n+(n+1) = \\& =((n)^(2))+n+(n+1) \\\end(align)\]
- صيغة مماثلة للأرقام الأكبر من 1.
آمل أن توفر لك هذه التقنية الوقت في جميع اختبارات وامتحانات الرياضيات عالية المخاطر. وهذا كل شيء بالنسبة لي. أرك لاحقًا!
صيغ الضرب المختصرة.
دراسة صيغ الضرب المختصرة: مربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين؛ الفرق بين مربعين من التعبيرات؛ مكعب المجموع ومكعب الفرق بين تعبيرين؛ المبالغ والاختلافات بين مكعبات اثنين من التعبيرات.
تطبيق صيغ الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.
لتبسيط التعبيرات، وتحليل كثيرات الحدود إلى عوامل، وتقليل كثيرات الحدود إلى الشكل القياسي، يتم استخدام صيغ الضرب المختصرة. يجب حفظ صيغ الضرب المختصرة عن ظهر قلب.
دع أ، ب ر. ثم:
1. مربع مجموع تعبيرين يساويمربع التعبير الأول زائد ضعف ناتج التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.
(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أ + ب 2
2. مربع الفرق بين تعبيرين يساويمربع التعبير الأول ناقص ضعف حاصل ضرب التعبير الأول والثاني زائد مربع التعبير الثاني.
(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2
3. فرق المربعاتتعبيران يساوي حاصل ضرب الفرق بين هذين التعبيرين ومجموعهما.
أ 2 - ب 2 = (أ -ب) (أ+ب)
4. مكعب المبلغتعبيران يساوي مكعب التعبير الأول زائد ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني بالإضافة إلى مكعب التعبير الثاني.
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3
5. مكعب الفرقتعبيران يساوي مكعب التعبير الأول ناقص ثلاثة أضعاف ناتج مربع التعبير الأول والثاني زائد ثلاثة أضعاف منتج التعبير الأول ومربع الثاني ناقص مكعب التعبير الثاني.
(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3
6. مجموع المكعباتتعبيران يساوي حاصل ضرب مجموع التعبيرين الأول والثاني والمربع غير الكامل للفرق بين هذين التعبيرين.
أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 - أ ب + ب 2)
7. اختلاف المكعباتتعبيران يساوي حاصل ضرب الفرق بين التعبيرين الأول والثاني في المربع غير الكامل لمجموع هذه التعبيرات.
أ 3 - ب 3 = (أ - ب) (أ 2 + أ + ب 2)
تطبيق صيغ الضرب المختصرة عند حل الأمثلة.
مثال 1.
احسب
أ) باستخدام صيغة مربع مجموع تعبيرين، لدينا
(40+1) 2 = 40 2 + 2 40 1 + 1 2 = 1600 + 80 + 1 = 1681
ب) باستخدام صيغة مربع الفرق بين تعبيرين نحصل على ذلك
98 2 = (100 - 2) 2 = 100 2 - 2 100 2 + 2 2 = 10000 - 400 + 4 = 9604
مثال 2.
احسب
باستخدام صيغة الفرق بين مربعي التعبيرين، نحصل على
مثال 3.
تبسيط التعبير
(س - ص) 2 + (س + ص) 2
دعونا نستخدم الصيغ الخاصة بمربع المجموع ومربع الفرق بين تعبيرين
(x - y) 2 + (x + y) 2 = x 2 - 2xy + y 2 + x 2 + 2xy + y 2 = 2x 2 + 2y 2
صيغ الضرب المختصرة في جدول واحد:
(أ + ب) 2 = أ 2 + 2أ + ب 2
(أ - ب) 2 = أ 2 - 2أ + ب 2
أ 2 - ب 2 = (أ - ب) (أ+ب)
(أ + ب) 3 = أ 3 + 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 + ب 3
(أ - ب) 3 = أ 3 - 3 أ 2 ب + 3 أ ب 2 - ب 3
أ 3 + ب 3 = (أ + ب) (أ 2 - أ ب + ب 2)
أ 3 - ب 3 = (أ - ب) (أ 2 + أ + ب 2)
مربع العدد هو نتيجة عملية رياضية ترفع هذا العدد إلى القوة الثانية، أي ضرب هذا العدد في نفسه مرة واحدة. من المعتاد تعيين مثل هذه العملية على النحو التالي: Z2، حيث Z هو رقمنا، 2 هي درجة "المربع". ستخبرك مقالتنا بكيفية حساب مربع الرقم.
احسب المربع
إذا كان الرقم بسيطا وصغيرا، فمن السهل القيام بذلك إما في رأسك، أو باستخدام جدول الضرب، الذي نعرفه جميعا جيدا. على سبيل المثال:
42 = 4x4 = 16؛ 72 = 7x7 = 49؛ 92 = 9×9 = 81.
إذا كان الرقم كبيرا أو "ضخما"، فيمكنك استخدام جدول المربعات، الذي تعلمه الجميع في المدرسة، أو الآلة الحاسبة. على سبيل المثال:
122 = 12x12 = 144؛ 172 = 17x17 = 289; 1392 = 139x139 = 19321.
وأيضاً للحصول على النتيجة المطلوبة للمثالين أعلاه، يمكنك ضرب هذه الأرقام في عمود.
للحصول على مربع أي كسر يجب:
- قم بتحويل الكسر (إذا كان الكسر يحتوي على جزء صحيح أو عدد عشري) إلى جزء غير لائق. إذا كان الكسر صحيحًا، فلا داعي لتحويل أي شيء.
- اضرب المقام في المقام والبسط في بسط الكسر.
على سبيل المثال:
(3/2)2 = (3/2)x(3/2) = (3x3)/(2x2) = 9/4؛ (5/7)2 = (5/7)x(5/7) = (5x5)/(7x7) = 25/49؛ (14/17)2 = (14×14)/(17×17) = 196/289.
أسهل طريقة في أي من هذه الخيارات هي استخدام الآلة الحاسبة. للقيام بذلك تحتاج:
- اكتب رقمًا على لوحة المفاتيح
- انقر على الزر الذي يحمل علامة "الضرب".
- اضغط على الزر الذي يحمل علامة المساواة
يمكنك أيضًا دائمًا استخدام محركات البحث على الإنترنت، مثل Google. للقيام بذلك، تحتاج فقط إلى إدخال الاستعلام المناسب في حقل محرك البحث والحصول على نتيجة جاهزة.
على سبيل المثال: لحساب مربع الرقم 9.17، تحتاج إلى كتابة 9.17*9.17، أو 9.17^2، أو "9.17 تربيع" في محرك البحث. في أي من هذه الخيارات نظام البحثسيعطيك النتيجة الصحيحة - 84.0889.
الآن أنت تعرف كيفية حساب مربع أي رقم يهمك، سواء كان رقمًا صحيحًا أو كسرًا، سواء كان كبيرًا أو صغيرًا!
