При прямих вимірах

1. Нехай на вольтметрі одноразово виміряно дві напруги U 1 = 10 В, U 2 = 200 У. Вольтметр має такі характеристики: клас точності d кл т = 0,2, U max = 300 Ст.

Визначимо абсолютну та відносну похибки цих вимірювань.

Так як обидва виміри зроблено на одному приладі, то D U 1 = D U 2 та обчислюються за формулою (В.4)

Відповідно до визначення відносні похибки U 1 та U 2 відповідно рівні

ε 1 = 0,6 ∙ В / 10 В = 0,06 = 6%,

ε 2 = 0,6 ∙ В / 200 В = 0,003 = 0,3%.

З наведених результатів обчислень ε 1 і ε 2 видно, що ε 1 значно більше ε 2 .

Звідси випливає правило: слід вибирати прилад з такою межею вимірювань, щоб показання були в останній третині шкали.

2. Нехай деяка величина виміряна багаторазово, тобто зроблено nокремих вимірів цієї величини Ах 1 , А х 2 ,...,Ах 3 .

Тоді обчислення абсолютної похибки роблять такі операции:

1) за формулою (В.5) визначають середнє арифметичне значення А 0 вимірюваної величини;

2) обчислюють суму квадратів відхилень окремих вимірювань від знайденого середнього арифметичного та за формулою (В.6) визначають середню квадратичну похибку, яка характеризує абсолютну похибку одиничного виміру при багаторазових прямих вимірах деякої величини;

3) відносна похибка обчислюється за формулою (В.2).

Обчислення абсолютної та відносної похибки

При непрямому вимірі

Обчислення похибок при непрямих вимірах – складніше завдання, оскільки у разі шукана величина є функцією інших допоміжних величин, вимір яких супроводжується появою похибок. Зазвичай при вимірах, якщо не брати до уваги промахів, випадкові похибки виявляються дуже малими в порівнянні з вимірюваною величиною. Вони настільки малі, що другі і більше високі ступеніпохибок лежать за межами точностей вимірювань і їх можна знехтувати. Через небагато похибок для отримання формули похибки
побічно вимірюваної величини застосовують способи диференціального обчислення. При непрямому вимірі величини, коли безпосередньо вимірюються величини, пов'язані з шуканою деякою математичною залежністю, зручніше спочатку визначити відносну похибку і вже
через знайдену відносну похибку обчислювати абсолютну похибку виміру.

Диференціальне літочислення дає найбільш простий спосіб визначення відносної похибки при непрямому вимірі.

Нехай шукана величина Апов'язана функціональною залежністю з кількома незалежними безпосередньо вимірюваними величинами x 1 ,
x 2 , ..., x k, тобто.

A= f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Для визначення відносної похибки величини Абереться натуральний логарифм від обох частин рівності

ln A= ln f(x 1 , x 2 , ..., x k).

Потім обчислюється диференціал натурального логарифмуфункції
A= f(x 1 ,x 2 , ..., x k),

dln A= dln f(x 1 , x 2 , ..., x k)

В отриманому вираженні виробляються всі можливі перетворення алгебри і спрощення. Після цього всі символи диференціалів d замінюються на символи похибки D, причому негативні знаки перед диференціалами незалежних змінних замінюються на позитивні, тобто береться найбільш несприятливий випадок, коли всі похибки складаються. І тут обчислюється максимальна похибка результату.

З урахуванням вищесказаного

але ε = D А / А

Даний виразє формулою відносної похибки величини Апри непрямих вимірах, воно визначає відносну похибку шуканої величини, через відносні похибки вимірюваних величин. Обчисливши за формулою (В.11) відносну похибку,
визначають абсолютну похибку величини Аяк добуток відносної похибки на розраховане значення Атобто.

D А = ε А, (В.12)

де виражається безрозмірним числом.

Отже, відносну та абсолютну похибки опосередковано вимірюваної величини слід розрахувати у такій послідовності:

1) береться формула, якою розраховується шукана величина (розрахункова формула);

2) береться натуральний логарифм з обох частин розрахункової формули;

3) обчислюється повний диференціалнатурального логарифму шуканої величини;

4) в отриманому вираженні виробляються всі можливі перетворення алгебри та спрощення;

5) символ диференціалів d замінюється на символ похибки D, причому всі негативні знаки перед диференціалами незалежних змінних замінюються на позитивні (величина відносної похибки буде максимальною) і виходить формула відносної похибки;

6) розраховується відносна похибка вимірюваної величини;

7) за розрахованою відносною похибкою обчислюється абсолютна похибка непрямого виміру за формулою (В.12).

Розглянемо кілька прикладів розрахунку відносної та абсолютної похибок при непрямому вимірі.

1. Шукана величина Апов'язана з безпосередньо вимірюваними величинами х, у, zспіввідношенням

де aі b- Постійні величини.

2. Візьмемо натуральний логарифм від виразу (Ст.13)

3. Обчислимо повний диференціал натурального логарифму шуканої величини Атобто диференціюємо (В.13)

4. Проводимо перетворення. Враховуючи, що d а= 0, оскільки а= const, cos у/sin y= ctg y, отримуємо:

5. Замінимо символи диференціалів символами похибок та знак «мінус» перед диференціалом на знак «плюс»

6. Розраховуємо відносну похибку вимірюваної величини.

7. За розрахованою відносною похибкою обчислюється абсолютна похибка непрямого виміру за такою формулою (В.12), тобто.

Визначається довжина хвилі жовтого кольоруспектральної лінії ртуті за допомогою дифракційної решітки(використовуючи прийняту послідовність обчислення відносної та абсолютної похибок для довжини хвилі жовтого кольору).

1. Довжина хвилі жовтого кольору у разі визначається по формуле:

де З- Постійна дифракційної решітки (непрямо вимірювана величина); φ ж – кут дифракції жовтої лінії даному порядкуспектра (безпосередньо вимірювана величина); Kж – порядок спектра, у якому проводилося спостереження.

Постійна дифракційна решітка обчислюється за формулою

де Kз - Порядок спектру зеленої лінії; λ з – відома довжина хвилі зеленого кольору (λ з – постійна); φ з - кут дифракції зеленої лінії в даному порядку спектра (безпосередньо вимірювана величина).

Тоді з урахуванням виразу (Ст.15)

(В.16)

де Kз, Kж - спостерігаються, які вважаються постійними; φ з, φ ж - являють-
ся безпосередньо вимірюваними величинами.

Вираз (В.16) – розрахункова формула довжини хвилі жовтого кольору, яка визначається за допомогою дифракційної решітки.

4. d Kз = 0; d Kж = 0; dλ з = 0, оскільки Kз, Kж і з - постійні величини;

Тоді

5. (В.17)

де D? ж, D? з - абсолютні похибки вимірювання кута дифракції жовтої
і зелений спектр ліній.

6. Розраховуємо відносну похибку довжини хвилі жовтого кольору.

7. Обчислюємо абсолютну похибку довжини хвилі жовтого кольору:

Dλ ж = ελ ж.

Нехай вимірювана має відоме значеннявеличина X. Звичайно, окремі, знайдені в процесі вимірювання значення цієї величини x1 , x2 ,… xnсвідомо недостатньо точні, тобто. не збігаються з X. Тоді величина
буде абсолютною похибкою i-го виміру. Але оскільки справжнє значеннярезультату X, як правило, не відомо, чи реальну оцінку абсолютної похибки використовуючи замість X середнє арифметичне
, яке розраховують за формулою:

Однак при малих обсягах вибірки замість
краще користуватися медіаною. Медіаною (Ме)називають таке значення випадкової величиних, при якому половина результатів має значення менше, а інша більша, ніж Ме. Для обчислення Мерезультати мають у своєму розпорядженні в порядку зростання, тобто утворюють так званий варіаційний ряд. Для непарної кількості вимірювань n медіана дорівнює значенню середнього члена ряду. Наприклад,
для n=3

Для парних n, значення Медорівнює напівсумі значень двох середніх результатів. Наприклад,
для n=4

Для розрахунку sкористуються неокругленими результатами аналізу з неточним останнім десятковим знаком.
При дуже великому числівибірки ( n>
) випадкові похибки можуть бути описані за допомогою нормального закону розподілу Гаусса. При малих nрозподіл може відрізнятиметься від нормального. У математичної статистикиця додаткова ненадійність усувається модифікованим симетричним. t-Розподілом. Існує деякий коефіцієнт t, званий коефіцієнтом Стьюдента, який в залежності від числа ступенів свободи ( f) та довірчої ймовірності ( Р) дозволяє перейти від вибірки до генеральної сукупності.
Стандартне відхилення середнього результату
визначається за формулою:

Величина

є довірчим інтервалом середнього значення
. Для серійних аналізів зазвичай вважають Р= 0,95.

Таблиця 1. Значення коефіцієнта Стьюдента ( t)

f

Приклад 1 . З десяти визначень змісту марганцю у пробі потрібно підрахувати стандартне відхиленняодиничного аналізу та довірчий інтервал середнього значення Mn %: 0,69; 0,68; 0,70; 0,67; 0,67; 0,69; 0,66; 0,68; 0,67; 0,68.
Рішення. За формулою (1) підраховують середнє значення аналізу

За табл. 1 (додаток) знаходять для f=n-1=9 коефіцієнт Стьюдента (Р=0,95) t=2,26 та розраховують довірчий інтервал середнього значення. Таким чином, середнє значення аналізу визначається інтервалом (0,679±0,009) % Мn.

Приклад 2 . Середнє з дев'яти вимірювань тиску водяної пари над розчином карбаміду при 20°С дорівнює 2,02 кПа. Вибіркове стандартне відхилення вимірів s = 0,04 кПа. Визначити ширину довірчого інтервалу для середнього з дев'яти та одиничного виміру, що відповідає 95%-ї довірчої ймовірності.
Рішення. Коефіцієнт Стюдента t для довірчої ймовірності 0,95 і f = 8 дорівнює 2,31. Враховуючи, що

і
, знайдемо:

- Ширина довірить. інтервалу для середнього значення

- Ширина довірить. інтервалу для одиничного виміру значення

Якщо ж є результати аналізу зразків із різним змістом, то із приватних середніх sшляхом усереднення можна обчислити загальне середнє значення s. Маючи mпроб і для кожної проби проводячи njпаралельних визначень, результати подають у вигляді таблиці:

Номер зразка	Номер аналізу

Середня похибка розраховують із рівняння:

зі ступенями свободи f = n – mде n – загальна кількістьвизначень, n =m. nj.

приклад 2.Обчислити середню помилку визначення марганцю у п'яти пробах стали з різним змістом його. Значення аналізу, % Mn:
1. 0,31; 0,30; 0,29; 0,32.
2. 0,51; 0,57; 0,58; 0,57.
3. 0,71; 0,69; 0,71; 0,71.
4. 0,92; 0,92; 0,95; 0,95.
5. 1,18; 1,17; 1,21; 1,19.
Рішення.За формулою (1) знаходять середні значення у кожній пробі, потім кожної проби розраховують квадрати різниць, за формулою (5) - похибка.
1)
= (0,31 + 0,30 + 0,29 + 0,32)/4 = 0,305.
2)
= (0,51 + 0,57 + 0,58 + 0,57)/4 = 0,578.
3)
= (0,71+ 0,69 + 0,71 + 0,71)/4 = 0,705.
4)
= (0,92+0,92+0,95+0,95)/4 =0,935.
5)
= (1,18 + 1,17 + 1, 21 + 1,19)/4 = 1,19.

Значення квадратів різниць
1) 0,0052 +0,0052 +0,0152 +0,0152 =0,500.10 -3 .
2) 0,0122 +0,0082 +0,0022 +0,0082 =0,276.10 -3 .
3) 0,0052 + 0,0152 + 0,0052 + 0,0052 = 0,300.10 -3 .
4) 0,0152+ 0,0152 + 0,0152 + 0,0152 = 0,900.10 -3 .
5) 0,012 +0,022 +0,022 + 02 = 0,900.10 -3 .
Середня похибка для f = 4,5 - 5 = 15

s= 0,014% (абс. при f=15 ступеням свободи).

Коли проводять по два паралельні визначення для кожного зразка і знаходять значення х"і х"для зразків рівняння перетворюється на вираз.

Абсолютна та відносна похибка числа.

Як характеристики точності наближених величин будь-якого походження вводяться поняття абсолютної та відносної похибки цих величин.

Позначимо через а наближення до точного числа А.

Визнач. Величина називається похибкою наближеного числа.

Визначення. Абсолютною похибкою наближеного числа а називається величина
.

Практично точне число А зазвичай невідоме, але завжди можемо вказати межі, у яких змінюється абсолютна похибка.

Визначення. Граничною абсолютною похибкою наближеного числа а називається найменша з верхніх меж для величини , Яку можна знайти при даному способі отримання числа.

На практиці як вибирають одну з верхніх меж для , Досить близьку до найменшої.

Оскільки
, то
. Іноді пишуть:
.

Абсолютна похибка- це різниця між результатом виміру

та істинним (дійсним) значенням вимірюваної величини.

Абсолютна похибка та гранична абсолютна похибка недостатні для характеристики точності вимірювання або обчислення. Якісно суттєвіша величина відносної похибки.

Визначення. Відносною похибкою наближеного числа а назвемо величину:

Визначення. Граничною відносною похибкою наближеного числа а назвемо величину

Бо
.

Таким чином, відносна похибка визначає фактично величину абсолютної похибки, що припадає на одиницю наближеного числа, що вимірюється або обчислюється.

приклад.Округлюючи точні числа А до трьох значущих цифр, визначити

абсолютну Dі відносну δ похибки отриманих наближених

Дано:

Знайти:

∆-абсолютна похибка

δ-відносна похибка

Рішення:

=|-13.327-(-13.3)|=0.027

,a 0

*100%=0.203%

Відповідь:=0,027; δ=0.203%

2.Десятична запис наближеного числа. Значна цифра. Вірні знаки числа (визначення вірних і значущих цифр, приклади; теорія про зв'язок відносної похибки та числа вірних знаків).

Вірні знаки числа.

Визначення. Значною цифрою наближеного числа а називається будь-яка цифра, відмінна від нуля, і нуль, якщо вона розташована між значущими цифрами або є представником збереженого десяткового розряду.

Наприклад, серед 0,00507 =
маємо 3 значущі цифри, а серед 0,005070=
значущі цифри, тобто. нуль праворуч, зберігаючи десятковий розряд, є значним.

Умовимося надалі праворуч записувати, якщо вони є значущими. Тоді, інакше кажучи,

значущими є всі цифри числа а, крім нулів зліва.

У десятковій системі числення будь-яке число а може бути представлене у вигляді кінцевої або нескінченної суми (десяткового дробу):

де
,
- перша цифра, m - ціле число, зване старшим десятковим розрядом числа а.

Наприклад, 518,3 = m=2.

Користуючись записом, введемо поняття про вірні десяткові знаки (у значущих цифрах).

го числа.

Визначення. Кажуть, що у наближеному числі а форми n – перших значущих цифр ,

де i= m, m-1,..., m-n+1 є вірними, якщо абсолютна похибка цього числа не перевищує половини одиниці розряду, що виражається n-ї цифрою:

Інакше остання цифра
називається сумнівною.

При записі наближеного числа без вказівки його похибки вимагають, щоб усі записані цифри

були вірними. Ця вимога дотримана у всіх математичних таблицях.

Термін "n вірних знаків" характеризує лише ступінь точності наближеного числа і його не слід розуміти так, що n перших значущих цифр наближеного числа а збігається з відповідними цифрами точного числа А. Наприклад, у чисел А = 10 а = 9997 всі значущі цифри різні але число а має 3 вірних значущих цифри. Справді, тут m=0 і n=3 (знаходимо підбором).

Оцінка похибок результатів вимірів

Похибки вимірювань та їх типи

Будь-які вимірювання завжди виробляються з якимись похибками, пов'язаними з обмеженою точністю вимірювальних приладів, неправильним вибором, і похибкою методу вимірювань, фізіологією експериментатора, особливостями вимірюваних об'єктів, зміною умов вимірювання тощо. , а й похибки виміру, т. е. інтервалу, у якому найімовірніше перебуває справжнє значення вимірюваної величини. Наприклад, при вимірі відрізка часу t секундоміром з ціною розподілу 0,2 с можна сказати, що справжнє значення його знаходиться в інтервалі від https://pandia.ru/text/77/496/images/image002_131.gif" width="85 height="23 src=">с..gif" width="16" height="17 src="> і X - відповідно справжнє і виміряне значення досліджуваної величини. Величина називається абсолютною похибкою(помилкою) виміру, а вираз , Що характеризує точність вимірювання, називається відносною похибкою.

Цілком природно прагнення експериментатора зробити будь-який вимір із найбільшою точністю, проте такий підхід не завжди доцільний. Чим точніше ми хочемо виміряти ту чи іншу величину, тим складніше прилади ми повинні використовувати, тим більше часу вимагатимуть ці вимірювання. Тому точність остаточного результату повинна відповідати меті експерименту, що проводиться. Теорія похибок дає рекомендації, як слід вести виміри та як обробляти результати, щоб величина похибки була мінімальною.

Усі які виникають при вимірах похибки зазвичай поділяють три типи – систематичні, випадкові і промахи, чи грубі помилки.

Систематичні похибкиобумовлені обмеженою точністю виготовлення приладів (приладові похибки), недоліками обраного методу вимірювань, неточністю розрахункової формули, неправильною установкою приладу і т. д. Таким чином, систематичні похибки викликаються факторами, що діють однаково при багаторазовому повторенні тих самих вимірювань. Розмір цієї похибки систематично повторюється чи змінюється за певним законом. Деякі систематичні помилки можуть бути виключені (на практиці завжди легко домогтися) шляхом зміни методу вимірювань, введення поправок до показань приладів, врахування постійного впливу зовнішніх факторів.

Хоча систематична (приладова) похибка при повторних вимірах дає відхилення величини, що вимірюється, від істинного значення в один бік, ми ніколи не знаємо в яку саме. Тому приладова похибка записується з подвійним знаком

Випадкові похибкивикликаються великою кількістю випадкових причин (зміною температури, тиску, струсу будівлі і т. д.), дії яких на кожен вимір по-різному і не може бути заздалегідь враховано. Випадкові похибки відбуваються також через недосконалість органів чуття експериментатора. До випадкових похибок відносяться і похибки обумовлені властивостями об'єкта, що вимірювається.

Виключити випадкові похибки окремих вимірювань неможливо, але можна зменшити вплив цих похибок на остаточний результат шляхом багаторазових вимірювань. Якщо випадкова похибка виявиться значно меншою за приладову (систематичну), то немає сенсу далі зменшувати величину випадкової похибки за рахунок збільшення числа вимірювань. Якщо ж випадкова похибка більша за приладову, то кількість вимірювань слід збільшити, щоб зменшити значення випадкової похибки і зробити її меншою або одного порядку з похибкою приладу.

Промахи, або грубі помилки,- це неправильні відліки по приладу, неправильний запис відліку і т. п. Як правило, промахи, зумовлені зазначеними причинами добре помітні, оскільки відповідні відліки різко відрізняються від інших відліків. Промахи мають бути усунені шляхом контрольних вимірів. Таким чином, ширину інтервалу в якому лежать справжні значення вимірюваних величин, будуть визначати лише випадкові та систематичні похибки.

2. Оцінка систематичної (приладової) похибки

При прямих вимірахзначення вимірюваної величини відраховується безпосередньо за шкалою вимірювального приладу. Помилка у відліку може досягати кількох десятих часток розподілу шкали. Зазвичай за таких вимірів величину систематичної похибки вважають рівною половині ціни розподілу шкали вимірювального приладу. Наприклад, при вимірі штангенциркулем з ціною розподілу 0,05 мм величина похибки приладової вимірювання приймають рівною 0,025 мм.

Цифрові вимірювальні прилади дають значення вимірюваних величин з похибкою, рівної значеннюоднієї одиниці останнього розряду шкалою приладу. Тож якщо цифровий вольтметр показує значение20,45 мВ, то абсолютна похибка при вимірі дорівнює мВ.

p align="justify"> Систематичні похибки виникають і при використанні постійних величин, що визначаються з таблиць. У таких випадках похибка приймається рівною половині останнього розряду. Наприклад, якщо в таблиці значення щільності сталі дається величиною, що дорівнює 7,9 103 кг/м3, то абсолютна похибка в цьому випадку дорівнює https://pandia.ru/text/77/496/images/image009_52.gif" width= "123" використовується формула

, (1)

де - приватні похідні функції по змінній https://pandia.ru/text/77 /496/images/image014_34.gif" width="65 height=44" height="44">.

Приватні похідні за змінними dі hбудуть рівні

Https://pandia.ru/text/77/496/images/image017_27.gif" width="71" height="44 src=">.

Таким чином, формула для визначення абсолютної систематичної похибки при вимірюванні об'єму циліндра відповідно має наступний вигляд

,

де і приладові помилки при вимірі діаметра та висоти циліндра

3. Оцінка випадкової похибки.

Довірчий інтервал та довірча ймовірність

https://pandia.ru/text/77/496/images/image016_30.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="45" height="21 src="> - функція розподілу випадкових помилок (похибок), що характеризує можливість появи помилки , σ – середня квадратична помилка.

Величина не є випадковою величиною і характеризує процес вимірювань. Якщо умови вимірювань не змінюються, то залишається постійною величиною. Квадрат цієї величини називають дисперсією вимірів.Чим менша дисперсія, тим менший розкид окремих значень і тим вища точність вимірів.

Точне значення середньої квадратичної помилки, як і справжнє значення вимірюваної величини, невідомо. Існує так звана статистична оцінка цього параметра, відповідно до якої середня квадратична помилка дорівнює середньої квадратичної помилки середнього арифметичного. Величина якої визначається за формулою

, (3)

де - середнє арифметичне отриманих значень; ? n- Число вимірювань.

Чим більше числовимірювань, тим менше https://pandia.ru/text/77/496/images/image027_14.gif" width="15", а випадкова абсолютна похибка , то результат вимірювань запишеться у вигляді , до якого потрапляє справжнє значення вимірюваної величини μ, називається довірчим інтервалом.Оскільки близька до σ. Для пошуку довірчого інтервалу і довірчої ймовірності при невеликій кількості вимірів , з яким ми маємо справу під час виконання лабораторних робіт , використовується розподіл ймовірностей Стьюдента.Це розподіл ймовірностей випадкової величини коефіцієнтом Стьюдентадає значення довірчого інтервалу в частках середньої квадратичної помилки середнього арифметичного.

Розподіл ймовірностей цієї величини не залежить від σ2, а суттєво залежить від кількості дослідів n.Зі збільшенням кількості дослідів nРозподіл Стьюдента прагне розподілу Гаусса.

Функція розподілу табульована (табл.1). Значення коефіцієнта Стьюдента знаходиться на перетині рядка, що відповідає числу вимірювань n, і стовпця, що відповідає довірчій ймовірності α

Таблиця 1.

Користуючись даними таблиці, можна:

1) визначити довірчий інтервал, задаючись певною ймовірністю;

2) вибрати довірчий інтервал та визначити довірчу ймовірність.

При непрямих вимірах середню квадратичну помилку середнього арифметичного значення функції обчислюють за формулою

. (5)

Довірчий інтервал та довірча ймовірність визначаються так само, як і у разі прямих вимірів.

Оцінка сумарної похибки вимірів. Запис остаточного результату.

Сумарну похибку результату вимірювань величини Х визначатимемо як середнє квадратичне значення систематичної та випадкової похибок

, (6)

де δх -приладова похибка, Δ х- Випадкова похибка.

Як Х може бути як безпосередньо, так і опосередковано вимірювана величина.

, α=…, Е=… (7)

Слід пам'ятати, що формули теорії помилок справедливі для великого число вимірів. Тому значення випадкової, а отже, і сумарної похибки визначається за малого nз великою помилкою. При обчисленні Δ хпри числі вимірювань рекомендується обмежуватися однією значущою цифрою, якщо вона більша за 3 і дві, якщо перша значна цифраменше 3. Наприклад, якщо Δ х= 0,042, то відкидаємо 2 та пишемо Δ х=0,04, а якщо Δ х=0,123, то пишемо Δ х=0,12.

Число розрядів результату та сумарної похибки має бути однаковим. Тому середня арифметична похибка має бути однаковим. Тому середнє арифметичне обчислюється спочатку однією розряд більше, ніж вимір, а запису результату його значення уточнюється до числа розрядів сумарної помилки.

4. Методика розрахунку похибок вимірів.

Похибки прямих вимірів

Під час обробки результатів прямих вимірів рекомендується прийняти такий порядок виконання операцій.

Проводяться вимірювання заданого фізичного параметра n раз у однакових умовах,та результати записуються в таблицю. Якщо результати деяких вимірів різко відрізняються за своїм значенням від інших вимірів, то вони як промахи відкидаються, якщо після перевірки не підтверджуються. Обчислюється середнє арифметичне n однакових вимірів. Воно приймається за найбільш ймовірне значення вимірюваної величини

Знаходяться абсолютні похибки окремих вимірів Обчислюються квадрати абсолютних похибок окремих вимірів (Δ х i)2 Визначається середня квадратична помилка середнього арифметичного

.

Вказується значення довірчої ймовірності α. У лабораторіях практикуму прийнято задавати =0,95. Знаходиться коефіцієнт Стьюдента для заданої довірчої ймовірності α та числа вироблених вимірювань (див. табл.) Визначається випадкова похибка

Визначається сумарна похибка

Оцінюється відносна похибка результату вимірів

.

Записується остаточний результат у вигляді

З = = Е = ...%.

5. Похибка непрямих вимірів

При оцінці справжнього значення опосередковано вимірюваної величини, можна використовувати два способи.

Перший спосібвикористовується, якщо величина yвизначається за різних умовахдосвіду. У цьому випадку для кожного із значень обчислюється , а потім визначається середнє арифметичне з усіх значень yi

Систематична (приладова) похибка знаходиться на підставі відомих похибок приладів всіх вимірювань за формулою. Випадкова похибка у разі визначається як помилка прямого виміру.

Другий спосібзастосовується, якщо ця функція yвизначається кілька разів при одних і тих же вимірювань. У лабораторному практикумі частіше використовується другий спосіб визначення непрямо вимірюваної величини. y.Систематична (приладова) похибка, як і при першому способі, знаходиться на підставі відомих похибок приладів всіх вимірювань за формулою

. (10)

Для знаходження випадкової похибки опосередкованого виміру спочатку розраховуються середні квадратичні помилки середнього арифметичного окремих вимірів. Потім перебуває середня квадратична помилка величини y.Завдання довірчої ймовірності α, знаходження коефіцієнта Стьюдента, з α=… Е=…%.

6. Приклад оформлення лабораторної роботи

Лабораторна робота №1

ВИЗНАЧЕННЯ ОБ'ЄМУ ЦИЛІНДРУ

Приладдя:штангенциркуль із ціною розподілу 0,05 мм, мікрометр із ціною розподілу 0,01 мм, циліндричне тіло.

Мета роботи:ознайомлення з найпростішими фізичними вимірами, визначення об'єму циліндра, розрахунок похибок прямих і непрямих вимірів.

Провести не менше 5 разів виміру штангенциркулем діаметра циліндра, а мікрометром його висоту.

Розрахункова формула для обчислення об'єму циліндра

де d – Діаметр циліндра; h – висота.

Результати вимірів

Таблиця 2.

№ виміру
5.4. Обчислення сумарної похибки Абсолютна похибка ; . 5. Відносна похибка, або точність вимірів ; Е = 0,5%. 6. Запис остаточного результату Остаточний результат для досліджуваної величини записується як Примітка. В остаточному записі число розрядів результату та абсолютної похибки має бути однаковим. 6. Графічне подання результатів вимірів Результати фізичних вимірівдуже часто представляють у графічній формі. Графіки мають ряд важливих переваг та цінних властивостей: а) дають можливість визначити вид функціональної залежності та межі, в яких вона справедлива; б) дозволяють наочно проводити порівняння експериментальних даних із теоретичною кривою; в) при побудові графіка згладжують стрибки під час функції, що виникають з допомогою випадкових помилок; г) дають можливість визначати деякі величини або проводити графічне диференціювання, інтегрування, розв'язування рівняння та ін. Графіки, як правило, виконуються на спеціальному папері (міліметровому, логарифмічному, напівлогарифмічному). Прийнято горизонтальною осі відкладати незалежну змінну, тобто величину, значення якої задає сам експериментатор, а вертикальної осі - ту величину, яку він при цьому визначає. Слід пам'ятати, що перетин координатних осей необов'язково має збігатися з нульовими значеннями x і у. При виборі початку координат слід керуватися тим, щоб повністю використовувалася вся площа креслення (рис.2). На координатах осях графіка вказуються як назви чи символи величин, а й одиниці їх виміру. Масштаб по осях координат слід вибирати так, щоб вимірювані точки розташовувалися по всій площі аркуша. При цьому масштаб повинен бути простим, щоб при нанесенні точок на графік не робити арифметичних підрахунків в розумі. Експериментальні точки на графіці повинні зображуватись точно і ясно. Крапки, отримані за різних умов експерименту (наприклад, при нагріванні та охолодженні), корисно наносити різними кольорами або різними значками. Якщо відома похибка експерименту, замість крапки краще зображати хрест чи прямокутник, розміри якого по осях відповідають цієї похибки. Не рекомендується поєднувати експериментальні точки між собою ламаною лінією. Криву на графіку слід проводити плавно, стежачи за тим, щоб експериментальні точки розташовувалися як вище, так і нижче за криву, як показано на рис.3. При побудові графіків крім системи координат із рівномірним масштабом застосовують звані функціональні масштаби. Підібравши відповідні функції x і y, можна на графіку отримати простішу лінію, ніж за звичайної побудови. Часто це буває потрібно при доборі до даного графіка формули визначення його параметрів. Функціональні масштаби застосовують також у тих випадках, коли на графіку потрібно розтягнути або скоротити якусь ділянку кривої. Найчастіше із функціональних масштабів використовують логарифмічний масштаб (рис.4).

Внаслідок похибок, властивих засобу вимірювань, обраного методу та методики вимірювань, відхилення зовнішніх умов, у яких виконується вимір, від встановлених, та інших причин результат практично кожного виміру обтяжений похибкою. Ця похибка обчислюється або оцінюється та приписується отриманому результату.

Похибка результату вимірів(коротко - похибка вимірів) - відхилення результату виміру від справжнього значення вимірюваної величини.

Справжнє значення величини внаслідок похибок залишається невідомим. Його застосовують під час вирішення теоретичних завдань метрології. Насправді користуються дійсним значенням величини, яке замінює справжнє значення.

Похибка виміру (Δх) знаходять за формулою:

x = x змін. - x дійств. (1.3)

де х змін. - Значення величини, отримане на підставі вимірювань; х дійств. - Значення величини, прийняте за дійсне.

За дійсне значення при одноразових вимірах нерідко приймають значення, отримане за допомогою зразкового засобу вимірів, при багаторазових вимірах - середнє арифметичне із значень окремих вимірів, що входять до цього ряду.

Похибки вимірювання можуть бути класифіковані за такими ознаками:

За характером прояви - систематичні та випадкові;

За способом висловлювання - абсолютні та відносні;

За умовами зміни вимірюваної величини - статичні та динамічні;

За способом обробки ряду вимірів - середні арифметичні та середні квадратичні;

За повнотою охоплення вимірювальної задачі - приватні та повні;

Стосовно одиниці фізичної величини- Похибки відтворення одиниці, зберігання одиниці та передачі розміру одиниці.

Систематична похибка виміру(коротко - систематична похибка) - складова похибки результату вимірювання, що залишається постійною для даного ряду вимірювань або закономірно змінюється при повторних вимірах однієї і тієї ж фізичної величини.

За характером прояву систематичні похибки поділяються на постійні, прогресивні та періодичні. Постійні систематичні похибки(коротко - постійні похибки) - похибки, тривалий часщо зберігають своє значення (наприклад, протягом усієї серії вимірювань). Це найпоширеніший вид похибки.

Прогресивні систематичні похибки(коротко - прогресивні похибки) - безперервно зростаючі або спадні похибки (наприклад, похибки від зносу вимірювальних наконечників, що контактують у процесі шліфування з деталлю при контролі її приладом активного контролю).

Періодична систематична похибка(коротко - періодична похибка) - похибка, значення якої є функцією часу або функцією переміщення покажчика вимірювального приладу (наприклад, наявність ексцентриситету в кутомірних приладах із круговою шкалою викликає систематичну похибку, що змінюється за періодичним законом).

Виходячи з причин появи систематичних похибок, розрізняють інструментальні похибки, похибки методу, суб'єктивні похибки та похибки внаслідок відхилення зовнішніх умов виміру від встановлених методик.

Інструментальна похибка виміру(коротко - інструментальна похибка) є наслідком ряду причин: зношування деталей приладу, зайве тертя в механізмі приладу, неточне нанесення штрихів на шкалу, невідповідність дійсного та номінального значень міри та ін.

Похибка методу вимірів(коротко - похибка методу) може виникнути через недосконалість методу вимірювань або допущених спрощень, встановлених методикою вимірювань. Наприклад, така похибка може бути обумовлена ​​недостатньою швидкодією застосовуваних засобів вимірювань при вимірюванні параметрів швидкопротікаючих процесів або неврахованими домішками щодо щільності речовини за результатами вимірювання його маси і обсягу.

Суб'єктивна похибка виміру(коротко - суб'єктивна похибка) обумовлена ​​індивідуальними похибками оператора. Іноді цю похибку називають особистою різницею. Вона викликається, наприклад, запізненням або випередженням прийняття оператором сигналу.

Похибка внаслідок відхилення(в один бік) зовнішніх умов виміру від встановлених методикою виміру призводить до виникнення систематичної складової похибки виміру.

p align="justify"> Систематичні похибки спотворюють результат вимірювання, тому вони підлягають виключенню, наскільки це можливо, шляхом введення поправок або юстуванням приладу з доведенням систематичних похибок до допустимого мінімуму.

Невиключена систематична похибка(коротко - невиключена похибка) - це похибка результату вимірювань, обумовлена ​​похибкою обчислення та введення поправки на дію систематичної похибки, або невеликою систематичною похибкою, поправка на дію якої не введена внаслідок дрібниці.

Іноді цей вид похибки називають невиключеними залишками систематичної похибки(коротко – невиключені залишки). Наприклад, при вимірі довжини штрихового метра в довжинах хвиль еталонного випромінювання виявлено кілька невиключених систематичних похибок (i): через неточний вимір температури - 1; через неточне визначення показника заломлення повітря - 2, через неточне значення довжини хвилі - 3 .

Зазвичай враховують суму невиключених систематичних похибок (встановлюють їх межі). При числі доданків N ≤ 3 межі невиключених систематичних похибок обчислюють за формулою

При числі доданків N ≥ 4 для обчислень використовують формулу

(1.5)

де k - Коефіцієнт залежності невиключених систематичних похибок від обраної довірчої ймовірності Р при їх рівномірному розподілі. За Р = 0,99, k = 1,4, за Р = 0,95, k = 1,1.

Випадкова похибка виміру(коротко - випадкова похибка) - складова похибки результату вимірювання, що змінюється випадковим чином (за знаком і значенням) у серії вимірювань одного й того самого розміру фізичної величини. Причини випадкових похибок: похибки округлення під час відліку показань, варіація показань, зміна умов вимірів випадкового характеру та інших.

Випадкові похибки викликають розсіювання результатів вимірів у серії.

В основі теорії похибок лежать два положення, що підтверджуються практикою:

1. При великій кількості вимірів випадкові похибки однакового числового значення, але різного знакузустрічаються однаково часто;

2. Великі (за абсолютним значенням) похибки зустрічаються рідше, ніж малі.

З першого положення випливає важливий для практики висновок: зі збільшенням числа вимірів випадкова похибка результату, отриманого із серії вимірів, зменшується, оскільки сума похибок окремих вимірів цієї серії прагне нулю, тобто.

(1.6)

Наприклад, в результаті вимірювань отримано ряд значень електричного опору(в які введені поправки на дії систематичних похибок): R 1 = 15,5 Ом, R 2 = 15,6 Ом, R 3 = 15,4 Ом, R 4 = 15,6 Ом та R 5 = 15,4 Ом . Звідси R = 15,5 Ом. Відхилення від R (R 1 = 0,0; R 2 = +0,1 Ом, R 3 = -0,1 Ом, R 4 = +0,1 Ом і R 5 = -0,1 Ом) є випадковими похибки окремих вимірів у цій серії. Неважко переконатися, що сума R i = 0,0. Це свідчить про те, що похибки окремих вимірів цього ряду обчислені правильно.

Незважаючи на те, що зі збільшенням числа вимірювань сума випадкових похибок прагне нуля (в даному прикладі вона випадково вийшла рівною нулю), обов'язково проводиться оцінка випадкової похибки результату вимірювань. Теоретично випадкових величин характеристикою розсіювання значень випадкової величини служить дисперсія о2. "|/о2 = а називають середнім квадратичним відхиленням генеральної сукупності або стандартним відхиленням.

Воно зручніше, ніж дисперсія, оскільки його розмірність збігається з розмірністю вимірюваної величини (наприклад, значення величини отримано вольтах, середнє квадратичне відхилення теж буде у вольтах). Так як у практиці вимірювань мають справу з терміном "похибка", для характеристики ряду вимірювань слід застосовувати похідний від нього термін "середня квадратична похибка". Характеристикою низки вимірів може бути середня арифметична похибка чи розмах результатів вимірів.

Розмах результатів вимірювань (коротко - розмах) - алгебраїчна різниця найбільшого та найменшого результатів окремих вимірювань, що утворюють ряд (або вибірку) з n вимірювань:

R n = X max – Х min (1.7)

де R n - Розмах; X max і Х min — найбільше та найменше значеннявеличини у цьому ряду вимірів.

Наприклад, з п'яти вимірювань діаметра d отвори значення R 5 = 25,56 мм і R 1 = 25,51 мм виявились максимальним та мінімальним його значенням. У цьому випадку R n = d 5 – d 1 = 25,56 мм – 25,51 мм = 0,05 мм. Це означає, що решта похибок даного ряду менше 0,05 мм.

Середня арифметична похибка окремого виміру в серії(коротко - середня арифметична похибка) - узагальнена характеристика розсіювання (внаслідок випадкових причин) окремих результатів вимірювань (однієї і тієї ж величини), що входять до серії з n рівноточних незалежних вимірювань, обчислюється за формулою

(1.8)

де Х і - результат і-го виміру, що входить у серію; х - середнє арифметичне з n значень величини: | Х і - X | - Абсолютне значення похибки i-го виміру; r – середня арифметична похибка.

Справжнє значення середньої арифметичної похибки р визначається із співвідношення

р = lim r, (1.9)

При числі вимірювань n > 30 між середньою арифметичною (r) та середньою квадратичною (s)похибками існують співвідношення

s = 1,25 r; r = 0,80 s. (1.10)

Перевага середньої арифметичної похибки – простота її обчислення. Але все ж таки частіше визначають середню квадратичну похибку.

Середня квадратична похибкаокремого виміру в серії (коротко - середня квадратична похибка) - узагальнена характеристика розсіювання (внаслідок випадкових причин) окремих результатів вимірів (одної і тієї ж величини), що входять до серії прівноточних незалежних вимірів, що обчислюється за формулою

(1.11)

Середня квадратична похибка для генеральної вибірки, що є статистичною межею S, може бути обчислена при /і-мх > за формулою:

Σ = lim S (1.12)

Насправді кількість вимірів завжди обмежена, тому обчислюється не σ , а її наближене значення (або оцінка), яким є s. Чим більше п,тим s ближче до своєї межі σ .

За нормального закону розподілу ймовірність того, що похибка окремого виміру в серії не перевищить обчислену середню квадратичну похибку, невелика: 0,68. Отже, у 32 випадках зі 100 або 3 випадках з 10 дійсна похибка може бути більшою за обчислену.

Малюнок 1.2 Зменшення значення випадкової похибки результату багаторазового виміру зі збільшенням числа вимірів у серії

У серії вимірювань існує залежність між середньою квадратичною похибкою окремого виміру s і середньою квадратичною похибкою середнього арифметичного S x:

яку нерідко називають "правилом У n". З цього правила випливає, що похибка вимірювань внаслідок дії випадкових причин може бути зменшена в n разів, якщо виконувати n вимірювань одного розміру будь-якої величини, а за остаточний результат набувати середнього арифметичного значення (рис. 1.2).

Виконання не менше 5 вимірів у серії дає змогу зменшити вплив випадкових похибок більш ніж у 2 рази. При 10 вимірах вплив випадкової похибки зменшується втричі. Подальше збільшення кількості вимірів який завжди економічно доцільно і, зазвичай, здійснюється лише за відповідальних вимірах, потребують високої точності.

Середня квадратична похибка окремого виміру з ряду подвійних однорідних вимірів S α обчислюється за формулою

(1.14)

де x "i і х"" i - і-і результати вимірювань одного розміру величини при прямому та зворотному напрямках одним засобом вимірювань.

При нерівноточних вимірах середню квадратичну похибку середнього арифметичного в серії визначають за формулою

(1.15)

де p i - Вага і-го вимірювання в серії нерівноточних вимірювань.

Середню квадратичну похибку результату непрямих вимірів величини Y, що є функцією Y = F (X 1 , X 2 , X n), обчислюють за формулою

(1.16)

де S 1 , S 2 , S n - Середні квадратичні похибки результатів вимірювань величин X 1 , X 2 , X n .

Якщо для більшої надійності отримання задовільного результату проводять кілька серій вимірів, середню квадратичну похибку окремого виміру з m серій (S m) знаходять за формулою

(1.17)

Де n – число вимірів у серії; N - загальна кількість вимірювань у всіх серіях; m – число серій.

При обмеженій кількості вимірювань часто необхідно знати похибку середньої квадратичної похибки. Для визначення похибки S, що обчислюється за формулою (2.7), і похибки S m , що обчислюється за формулою (2.12), можна скористатися такими виразами

(1.18)

(1.19)

де S і S m - Середні квадратичні похибки відповідно S і S m .

Наприклад, при обробці результатів низки вимірювань довжини х отримані

= 86 мм 2 при n = 10

= 3,1 мм

= 0,7 мм або S = ±0,7 мм

Значення S = ±0,7 мм означає, що через похибку обчислення s знаходиться в межах від 2,4 до 3,8 мм, отже, десяті частки міліметра тут ненадійні. У розглянутому випадку слід записати: S = ±3 мм.

Щоб мати велику впевненість щодо оцінки похибки результату вимірювань, обчислюють довірчу похибку чи довірчі межі похибки. При нормальному законі розподілу довірчі межі похибки обчислюють як ±t-s або ±t-s x , де s та s x — середні квадратичні похибки відповідно до окремого виміру в серії та середнього арифметичного; t - число, що залежить від довірчої ймовірності Р та числа вимірювань n.

Важливим поняттям є надійність результатів вимірів (α), тобто. ймовірність того, що значення вимірюваної величини потрапить в даний довірчий інтервал.

Наприклад, під час обробки деталей на верстатах у стійкому технологічному режимі розподіл похибок підпорядковується нормальному закону. Припустимо, що встановлено допуск на довжину деталі, що дорівнює 2а. У цьому випадку довірчим інтервалом, в якому знаходиться значення довжини деталі а, що шукається, буде (а - а, а + а).

Якщо 2a = ±3s, то надійність результату a = 0,68, тобто у 32 випадках зі 100 слід очікувати виходу розміру деталі за допуск 2а. При оцінюванні якості деталі з допуску 2a = ±3s надійність результату становитиме 0,997. У цьому випадку очікується виходу за встановлений допуск лише трьох деталей з 1000. Однак збільшення надійності можливе лише при зменшенні похибки довжини деталі. Так, підвищення надійності з a = 0,68 до a = 0,997 похибка довжини деталі необхідно зменшити втричі.

У останнім часомнабув широкого поширення термін «достовірність вимірів». У деяких випадках він необґрунтовано застосовується замість терміна «точність вимірів». Наприклад, у деяких джерелах можна зустріти вираз «встановлення єдності та достовірності вимірів у країні». Тоді як правильніше сказати «встановлення єдності та необхідної точності вимірів». Достовірність нами розглядається як якісна характеристика, що відбиває близькість до нуля випадкових похибок Кількісно вона може бути визначена через недостовірність вимірів.

Недостовірність вимірів(коротко - недостовірність) - оцінка розбіжності результатів у серії вимірювань внаслідок впливу сумарного впливу випадкових похибок (визначуваних статистичними та нестатистичними методами), що характеризується областю значень, в якій знаходиться справжнє значення вимірюваної величини.

Відповідно до рекомендацій Міжнародного бюро заходів та ваг недостовірність виражається у вигляді сумарної середньої квадратичної похибки вимірювань - Su включає середню квадратичну похибку S (визначувану статистичними методами) і середню квадратичну похибку u (визначається нестатистичними методами), тобто.

(1.20)

Гранична похибка виміру(коротко – гранична похибка) – максимальна похибка виміру (плюс, мінус), ймовірність якої не перевищує значення Р, при цьому різниця 1 – Р незначна.

Наприклад, за нормального закону розподілу ймовірність появи випадкової похибки, що дорівнює ±3s, становить 0,997, а різниця 1-Р = 0,003 незначна. Тож у багатьох випадках довірчу похибку ±3s, приймають за граничну, тобто. пр = ±3s. У разі потреби пр може мати й інші співвідношення з s при досить великому Р (2s, 2,5s, 4s і т.д.).

У зв'язку з тим, у стандартах ДСМ замість терміна «середня квадратична похибка» застосовано термін «середнє квадратичне відхилення», у подальших міркуваннях ми дотримуватимемося саме цього терміна.

Абсолютна похибка виміру(коротко - абсолютна похибка) - похибка виміру, виражена в одиницях вимірюваної величини. Так, похибка Х вимірювання довжини деталі Х, виражена в мікрометрах, є абсолютною похибкою.

Не слід плутати терміни "абсолютна похибка" і "абсолютне значення похибки", під яким розуміють значення похибки без урахування знака. Тож якщо абсолютна похибка виміру дорівнює ±2мкВ, то абсолютне значення похибки буде 0,2 мкВ.

Відносна похибка виміру(коротко - відносна похибка) - похибка виміру, виражена в частках значення вимірюваної величини або у відсотках. Відносну похибку δ знаходять із відносин:

(1.21)

Наприклад, є дійсне значення довжини деталі x = 10,00 мм і абсолютне значення похибки x = 0,01 мм. Відносна похибка становитиме

Статична похибка- Похибка результату вимірювання, обумовлена ​​умовами статичного вимірювання.

Динамічна похибка- Похибка результату вимірювання, обумовлена ​​умовами динамічного вимірювання.

Похибка відтворення одиниці- Похибка результату вимірювань, що виконуються при відтворенні одиниці фізичної величини. Так, похибка відтворення одиниці з допомогою національного зразка вказують як її складових: невиключеної систематичної похибки, характеризується її кордоном; випадковою похибкою, що характеризується середнім квадратичним відхиленням s та нестабільністю за рік ν.

Похибка передачі розміру одиниці- Похибка результату вимірювань, що виконуються при передачі розміру одиниці. У похибку передачі розміру одиниці входять невиключені систематичні похибки та випадкові похибки методу та засобів передачі розміру одиниці (наприклад, компаратора).