Уроки 32-33. Обратные тригонометрические функции

09.07.2015 6432 0

Цель: рассмотреть обратные тригонометрические функции, их использование для записи решений тригонометрических уравнений.

I. Сообщение темы и цели уроков

II. Изучение нового материала

1. Обратные тригонометрические функции

Рассмотрение этой темы начнем со следующего примера.

Пример 1

Решим уравнение: a ) sin x = 1/2; б) sin x = а.

а) На оси ординат отложим значение 1/2 и построим углы x 1 и х2, для которых sin x = 1/2. При этом х1 + х2 = π, откуда х2 = π – x 1 . По таблице значений тригонометрических функций найдем величину х1 = π/6, тогда Учтем периодичность функции синуса и запишем решения данного уравнения: где k ∈ Z .

б) Очевидно, что алгоритм решения уравнения sin х = а такой же, как и в предыдущем пункте. Разумеется, теперь по оси ординат откладывается величина а. Возникает необходимость каким-то образом обозначить угол х1. Условились такой угол обозначать символом arcsin а. Тогда решения данного уравнения можно записать в виде Эти две формулы можно объединить в одну: при этом

Аналогичным образом вводятся и остальные обратные тригонометрические функции.

Очень часто бывает необходимо определить величину угла по известному значению его тригонометрической функции. Такая задача является многозначной - существует бесчисленное множество углов, тригонометрические функции которых равны одному и тому же значению. Поэтому, исходя из монотонности тригонометрических функций, для однозначного определения углов вводят следующие обратные тригонометрические функции.

Арксинус числа a (arcsin , синус которого равен а, т. е.

Арккосинус числа a (arccos а) - такой угол а из промежутка , косинус которого равен а, т. е.

Арктангенс числа a (arctg а) - такой угол а из промежутка тангенс которого равен а, т. е. tg а = а.

Арккотангенс числа a (arcctg а) - такой угол а из промежутка (0; π), котангенс которого равен а, т. е. ctg а = а.

Пример 2

Найдем:

Учитывая определения обратных тригонометрических функций получим:

Пример 3

Вычислим

Пусть угол а = arcsin 3/5, тогда по определению sin a = 3/5 и . Следовательно, надо найти cos а. Используя основное тригонометрическое тождество, получим: Учтено, что и cos a ≥ 0. Итак,

Свойства функции	Функция
	у = arcsin х	у = arccos х	у = arctg х	у = arcctg х
Область определения	х ∈ [-1; 1]	х ∈ [-1; 1]	х ∈ (-∞; +∞)	х ∈ (-∞ +∞)
Область значений	y ∈ [ -π/2 ; π /2 ]	y ∈	y ∈ (-π/2 ; π /2 )	y ∈ (0; π)
Четность	Нечетная	Ни четная, ни нечетная	Нечетная	Ни четная, ни нечетная
Нули функции (y = 0)	При х = 0	При х = 1	При х = 0	у ≠ 0
Промежутки знакопостоянства	у > 0 при х ∈ (0; 1], у < 0 при х ∈ [-1; 0)	у > 0 при х ∈ [-1; 1)	у > 0 при х ∈ (0; +∞), у < 0 при х ∈ (-∞; 0)	у > 0 при x ∈ (-∞; +∞)
Монотонность	Возрастает	Убывает	Возрастает	Убывает
Связь с тригонометрической функцией	sin у = х	cos у = х	tg у = х	ctg у = х
График

Приведем еще ряд типичных примеров, связанных с определениями и основными свойствами обратных тригонометрических функций.

Пример 4

Найдем область определения функции

Для того чтобы функция у была определена, необходимо выполнение неравенства которое эквивалентно системе неравенств Решением первого неравенства является промежуток х ∈ (-∞; +∞), второго - Этот промежуток и является решением системы неравенств, а следовательно, и областью определения функции

Пример 5

Найдем область изменения функции

Рассмотрим поведение функции z = 2х - х2 (см. рисунок).

Видно, что z ∈ (-∞; 1]. Учитывая, что аргумент z функции арккотангенса меняется в указанных пределах, из данных таблицы получим, что Таким образом, область изменения

Пример 6

Докажем, что функция у = arctg х нечетная. Пусть Тогда tg а = -х или х = - tg а = tg (- a ), причем Следовательно, - a = arctg х или а = - arctg х. Таким образом, видим, что т. е. у(х) - функция нечетная.

Пример 7

Выразим через все обратные тригонометрические функции

Пусть Очевидно, что Тогда Так как

Введем угол Так как то

Аналогично поэтому и

Итак,

Пример 8

Построим график функции у = cos (arcsin х).

Обозначим а = arcsin x , тогда Учтем, что х = sin а и у = cos а, т. е. x 2 + у2 = 1, и ограничения на х (х ∈ [-1; 1]) и у (у ≥ 0). Тогда графиком функции у = cos (arcsin х) является полуокружность.

Пример 9

Построим график функции у = arccos (cos x ).

Так как функция cos х изменяется на отрезке [-1; 1], то функция у определена на всей числовой оси и изменяется на отрезке . Будем иметь в виду, что у = arccos (cos x ) = х на отрезке ; функция у является четной и периодической с периодом 2π. Учитывая, что этими свойствами обладает функция cos x , теперь легко построить график.

Отметим некоторые полезные равенства:

Пример 10

Найдем наименьшее и наибольшее значения функции Обозначим тогда Получим функцию Эта функция имеет минимум в точке z = π/4, и он равен Наибольшее значение функции достигается в точке z = -π/2, и оно равно Таким образом, и

Пример 11

Решим уравнение

Учтем, что Тогда уравнение имеет вид: или откуда По определению арктангенса получим:

2. Решение простейших тригонометрических уравнений

Аналогично примеру 1 можно получить решения простейших тригонометрических уравнений.

Уравнение	Решение
tgx = а
ctg х = а

Пример 12

Решим уравнение

Так как функция синус нечетная, то запишем уравнение в виде Решения этого уравнения: откуда находим

Пример 13

Решим уравнение

По приведенной формуле запишем решения уравнения: и найдем

Заметим, что в частных случаях (а = 0; ±1) при решении уравнений sin х = а и cos х = а проще и удобнее использовать не общие формулы, а записывать решения на основании единичной окружности:

для уравнения sin х = 1 решения

для уравнения sin х = 0 решения х = π k ;

для уравнения sin х = -1 решения

для уравнения cos х = 1 решения х = 2π k ;

для уравнения cos х = 0 решения

для уравнения cos х = -1 решения

Пример 14

Решим уравнение

Так как в данном примере имеется частный случай уравнения, то по соответствующей формуле запишем решение: откуда найдем

III. Контрольные вопросы (фронтальный опрос)

1. Дайте определение и перечислите основные свойства обратных тригонометрических функций.

2. Приведите графики обратных тригонометрических функций.

3. Решение простейших тригонометрических уравнений.

IV. Задание на уроках

§ 15, № 3 (а, б); 4 (в, г); 7 (а); 8 (а); 12 (б); 13 (а); 15 (в); 16 (а); 18 (а, б); 19 (в); 21;

§ 16, № 4 (а, б); 7 (а); 8 (б); 16 (а, б); 18 (а); 19 (в, г);

§ 17, № 3 (а, б); 4 (в, г); 5 (а, б); 7 (в, г); 9 (б); 10 (а, в).

V. Задание на дом

§ 15, № 3 (в, г); 4 (а, б); 7 (в); 8 (б); 12 (а); 13 (б); 15 (г); 16 (б); 18 (в, г); 19 (г); 22;

§ 16, № 4 (в, г); 7 (б); 8 (а); 16 (в, г); 18 (б); 19 (а, б);

§ 17, № 3 (в, г); 4 (а, б); 5 (в, г); 7 (а, б); 9 (г); 10 (б, г).

VI. Творческие задания

1. Найдите область определения функции:

Ответы :

2. Найдите область значений функции:

Ответы:

3. Постройте график функции:

VII. Подведение итогов уроков

Подготовка к ЕГЭ по математике

Эксперимент

Урок 9. Обратные тригонометрические функции.

Практика

Конспект урока

Главным образом умения работать с аркфункциями нам пригодятся при решении тригонометрических уравнений и неравенств.

Задания, которые мы сейчас рассмотрим, делятся на два вида: вычисление значений обратных тригонометрических функций и их преобразования с использованием основных свойств.

Вычисления значений аркфункций

Начнем с вычисления значений аркфункций.

Задача №1 . Вычислить .

Как видим все аргументы аркфункций положительные и табличные, а это значит, что мы можем восстановить значение углов по первой части таблицы значений тригонометрических функций для углов от до . Этот диапазон углов входит в область значений каждой из аркфункций, поэтому просто пользуемся таблицей, находим в ней значение тригонометрической функции и восстанавливаем, какому углу оно соответствует.

а)

б)

в)

г)

Ответ. .

Задача №2 . Вычислить

.

В данном примере мы уже видим отрицательные аргументы. Типичная ошибка в данном случае - это просто вынести минус из-под функции и просто свести задачу к предыдущей. Однако это делать можно не во всех случаях. Вспомним, как в теоретической части урока мы оговаривали четность всех аркфункций. Нечетными из них являются арксинус и арктангенс, т. е. из них выносится минус, а арккосинус и арккотангенс - это функции общего вида, для упрощения минуса в аргументе у них имеются специальные формулы. После расчета во избежание ошибок проверяем, чтобы результат входил в область значений.

Когда аргументы функций упрощены до положительной формы, выписываем из таблицы соответствующие им значения углов.

Может возникнуть вопрос, почему бы не выписывать значение угла, соответствующего, например, сразу из таблицы? Во-первых, потому что таблицу до запомнить тяжелее, чем до , во-вторых, потому что отрицательных значений синуса в ней нет, а отрицательные значения тангенса дадут по таблице неверный угол. Лучше иметь универсальный подход к решению, чем запутаться в множестве различных подходов.

Задача №3 . Вычислить .

а) Типичная ошибка в данном случае - это начать выносить минус и что-то упрощать. Первое, что необходимо заметить, это то, что аргумент арксинуса не входит в область определения

Следовательно, данная запись не имеет значения, и вычислить арксинус нельзя.

б) Стандартная ошибка в данном случае заключается в том, что путают местами значения аргумента и функции и дают ответ . Это неверно! Конечно, возникает мысль, что в таблице косинусу соответствует значение , но в таком случае перепутано то, что вычисляются аркфункции не от углов, а от значений тригонометрических функций. Т. е. , а не .

Кроме того, поскольку мы выяснили, что является именно аргументом арккосинуса, то необходимо проверить, чтобы он входил в область определения. Для этого вспомним, что , т. е. , а значит арккосинус не имеет смысла и вычислить его нельзя.

Кстати, например, выражение имеет смысл, т. к. , но поскольку значение косинуса, равное не является табличным, то и вычислить арккосинус с помощью таблицы нельзя.

Ответ. Выражения не имеют смысла.

В данном примере мы не рассматриваем арктангенс и арккотангенс, т. к. у них не ограничена область определения и значения функций будут для любых аргументов.

Задача №4 . Вычислить .

По сути дела задача сводится к самой первой, просто нам необходимо отдельно вычислить значения двух функций, а потом подставить их в исходное выражение.

Аргумент арктангенса табличный и результат принадлежит области значений.

Аргумент арккосинуса не табличный, но нас это не должно пугать, т. к. чему бы не был равен арккосинус, его значение при умножении на ноль даст в результате ноль. Осталось одно важное замечание: необходимо проверить принадлежит ли аргумент арккосинуса области определения, поскольку если это не так, то все выражение не будет иметь смысла в независимости от того, что в нем присутствует умножение на ноль. Но , поэтому мы можем утверждать, что имеет смысл и в ответе получаем ноль.

Приведем еще пример, в котором необходимо уметь вычислить одну аркфункцию, зная значение другой.

Задача №5 . Вычислить , если известно, что .

Может показаться, что необходимо из указанного уравнения вычислить сначала значение икса, а затем подставить его в искомое выражение, т. е. в арккотангенс, но этого делать не нужно.

Вспомним, по какой формуле связаны между собой указанные функции:

И выразим из нее то, что нам нужно:

Для уверенности можете проверить, что результат лежит в области значений арккотангенса.

Преобразования аркфункций с использованием их основных свойств

Теперь перейдем к серии заданий, в которых нам придется использовать преобразования аркфункций с использованием их основных свойств.

Задача №6 . Вычислить .

Для решения воспользуемся основными свойствами указанных аркфункций, только обязательно проверяя при этом соответствующие им ограничения.

а)

б) .

Ответ. а) ; б) .

Задача №7 . Вычислить .

Типичная ошибка в данном случае - это сразу же написать в ответ 4. Как мы указывали в предыдущем примере, для использования основных свойств аркфункций необходимо проверить соответствующие ограничения на их аргумент. Мы имеем дело со свойством:

при

Но . Главное на этом этапе решения не подумать, что указанное выражение не имеет смысла и его нельзя вычислить. Ведь четверку, которая является аргументом тангенса, мы можем уменьшить при помощи вычитания периода тангенса, и это не повлияет на значение выражения. Проделав такие действия, у нас появится шанс уменьшить аргумент так, чтобы он вошел в указанный диапазон.

Т. к. поскольку , следовательно, , т. к. .

Задача №8 . Вычислить.

В указанном примере мы имеем дело с выражением, которое похоже на основное свойство арксинуса, но только в нем присутствуют кофункции. Его надо привести к виду синус от арксинуса или косинус от арккосинуса. Поскольку преобразовывать прямые тригонометрические функции проще, чем обратные, перейдем от синуса к косинусу с помощью формулы «тригонометрической единицы».

Как мы уже знаем:

В нашем случае в роли . Вычислим для удобства сначала .

Перед подстановкой его в формулу выясним ее знак, т. е. знак исходного синуса. Синус мы должны вычислить от значения арккосинуса, каким бы это значение ни было, мы знаем, что оно лежит в диапазоне . Этому диапазону соответствуют углы первой и второй четвертей, в которых синус положителен (проверьте это сами с помощью тригонометрической окружности).

На сегодняшнем практическом занятии мы рассмотрели вычисление и преобразование выражений, содержащих обратные тригонометрические функции

Закрепите материал с помощью тренажёров

Тренажёр 1 Тренажёр 2 Тренажёр 3 Тренажёр 4 Тренажёр 5

Выпускная работа на тему "Обратные тригонометрические функции. Задачи, содержащие обратные тригонометрические функции" выполнена на курсах повышения квалификации.

Содержит краткий теоретический материал, разобранные примеры и задачи для самостоятельного решения по каждому разделу.

Работа адресована учащимся старших классов, учителям.

Скачать:

Предварительный просмотр:

ВЫПУСКНАЯ РАБОТА

ТЕМУ:

«ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ»

Выполнила:

учитель математики

МОУ СОШ №5, г. Лермонтова

ГОРБАЧЕНКО В.И.

Пятигорск 2011

ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ.

ЗАДАЧИ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

1. КРАТКИЕ ТЕОРЕТИЧЕСКИЕ СВЕДЕНИЯ

1.1. Решения простейших уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции:

Таблица 1.

Уравнение	Решение

1.2. Решение простейших неравенств, содержащих обратные тригонометрические функции

Таблица 2.

Неравенство	Решение

1.3. Некоторые тождества для обратных тригонометрических функций

Из определения обратных тригонометрических функций, вытекают тождества

, (1)

, (2)

, (3)

, (4)

Кроме того, верны тождества

, (5)

, (6)

, (7)

, (8)

Тождества, связывающие разноименные обратные тригонометрические функции

(9)

(10)

2. УРАВНЕНИЯ, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

2.1. Уравнения вида и т.д.

Такие уравнения сводятся к рациональным уравнениям подстановкой.

Пример.

Решение.

Замена () приводит уравнение к квадратному, корни которого .

Корень 3 не удовлетворяет условию .

Тогда получаем обратную подстановку

Ответ .

Задачи.

2.2. Уравнения вида , где - рациональная функция.

Для решения уравнений такого вида необходимо положить , решить уравнение простейшего вида и сделать обратную подстановку.

Пример .

Решение .

Пусть . Тогда

Ответ . .

Задачи .

2.3. Уравнения, содержащие либо разные аркфункции, либо аркфункции от разных аргументов.

Если в уравнение входят выражения, содержащие разные аркфункции, или эти аркфункции зависят от разных аргументов, то сведение таких уравнений к их алгебраическому следствию осуществляется обычно вычислением некоторой тригонометрической функции от обеих частей уравнения. Получающиеся при это посторонние корни отделяются проверкой. Если в качестве прямой функции выбирается тангенс или котангенс, то решения входящие в область определения этих функций могут быть потеряны. Поэтому перед вычислением значения тангенса или котангенса от обеих частей уравнения следует убедиться в том, что среди точек, не входящих в область определения этих функций, нет корней исходного уравнения.

Пример.

Решение .

Перенесем в правую часть и вычислим значение синуса от обеих частей уравнения

В результате преобразований получим

Корни этого уравнения

Сделаем проверку

При имеем

Таким образом, является корнем уравнения.

Подставляя , заметим, что левая часть получившегося соотношения положительна, а правая часть отрицательна. Таким образом, - посторонний корень уравнения.

Ответ. .

Задачи.

2.4. Уравнения, содержащие обратные тригонометрические функции одного аргумента.

Такие уравнения можно свести к простейшим с помощью основных тождеств (1) – (10).

Пример .

Решение.

Ответ.

Задачи.

3. НЕРАВЕНСТВА, СОДЕРЖАЩИЕ ОБРАТНЫЕ ТРИГОНОМЕТРИЧЕСКИЕ ФУНКЦИИ

3.1. Простейшие неравенства.

Решения простейших неравенств основано на применении формул табл.2.

Пример.

Решение.

Т.к. , то решением неравенства является промежуток .

Ответ .

Задачи.

3.2. Неравенства вида , - некоторая рациональная функция.

Неравенства вида , - некоторая рациональная функция, а - одна из обратных тригонометрических функций решаются в два этапа – сначала решается неравенство относительно неизвестного , а затем простейшее неравенство, содержащее обратную тригонометрическую функцию.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

Решения неравенства

Возвращаясь к исходному неизвестному, получаем, что исходное неравенство сводиться к двум простейшим

Объединяя эти решения, получаем решения исходного неравенства

Ответ .

Задачи.

3.3. Неравенства, содержащие либо разноименные аркфункции, либо аркфункции разных аргументов.

Неравенства, связывающие значения различных обратных тригонометрических функций или значения одной тригонометрической функции, вычисленные от различных аргументов, удобно решать, вычислив значения некоторой тригонометрической функции от обеих частей неравенств. Следует помнить, что получающееся при этом неравенство будет равносильно исходному лишь в том случае, когда множество значений правой и левой частей исходного неравенства принадлежат одному и тому же промежутку монотонности этой тригонометрической функции.

Пример.

Решение.

Множество допустимых значений , входящих в неравенство: . При . Следовательно, значения не являются решениями неравенства.

При как правая часть, так и левая часть неравенства имеют значения, принадлежащие промежутку . Т.к. на промежутке функция синус монотонно возрастает, то при исходное неравенство равносильно

Решаем последнее неравенство

Пересекая с промежутком , получим решение

Ответ.

Замечание. Можно решить с использованием

Задачи.

3.4. Неравенство вида , где - одна из обратных тригонометрических функций, - рациональная функция.

Такие неравенства решаются с помощью подстановки и сведением к простейшему неравенству табл.2.

Пример.

Решение.

Пусть , тогда

Сделаем обратную подстановку, получим систему

Ответ .

Задачи.

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

ГОУ ВПО «Марийский Государственный Университет»

Кафедра математики и МПМ

Курсовая работа

Обратные тригонометрические функции

Выполнила:

студентка

33 группы ЕНФ

Яшметова Л. Н.

Научный руководитель:

к.п.н. доцент

Бородина М. В.

Йошкар-Ола

Введение…………………………………………………………………………...3

Глава I. Определение обратных тригонометрических функций.

1.1. Функция у = arcsin x ……………………………………………………........4

1.2. Функция у = arccos x …………………………………………………….......5

1.3. Функция у = arctg x ………………………………………………………….6

1.4. Функция у = arcctg x …………………………………………………….......7

Глава II. Решение уравнений с обратными тригонометрическими функциями.

Основные соотношения для обратных тригонометрических функций….8

Решение уравнений, содержащих обратные тригонометрические функции……………………………………………………………………..11

Вычисление значений обратных тригонометрических функций…..........21

Заключение……………………………………………………………………….25

Список использованной литературы…………………………………………...26

Введение

Во многих задачах встречается необходимость находить не только значения тригонометрических функций по данному углу, но и, обратно, угол или дугу по заданному значению какой-нибудь тригонометрической функции.

Задачи с обратными тригонометрическими функциями содержатся в заданиях ЕГЭ (особенно много в части В и С). Например, в части В Единого государственного экзамена требовалось по значению синуса (косинуса) найти соответствующее значение тангенса или вычислить значение выражения, содержащего табличные значения обратных тригонометрических функций. Относительно этого типа заданий заметим, что таких заданий в школьных учебниках недостаточно для формирования прочного навыка их выполнения.

Т.о. целью курсовой работы является рассмотреть обратные тригонометрические функции и их свойства, и научиться решат задачи с обратными тригонометрическими функциями.

Чтобы достичь цели, нам потребуется решить следующие задачи:

Изучить теоретические основы обратных тригонометрических функций,

Показать применение теоретических знаний на практике.

Глава I . Определение обратных тригонометрических функций

1.1. Функция у = arcsin x

Рассмотрим функцию ,
. (1)

В этом промежутке функция монотонна (возрастает от -1 до 1), следовательно, существует обратная функция

,
. (2)

Каждому данному значению у (величины синуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение х (величины дуги) из промежутка
. Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

Где
. (3)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (1). Функция (3) называется арксинусом аргумента . График этой функции – кривая, симметричная графику функции , где , относительно биссектрисы I и III координатных углов.

Приведем свойства функции, где .

Свойство 1. Область изменения значений функции: .

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е.

Свойство 3. Функция, где , имеет единственный корень
.

Свойство 4. Если, то
; если , то.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до 1 значение функции возрастает от
до
.

1.2. Функция y = ar с cos x

Рассмотрим функцию
, . (4)

В этом промежутке функция монотонна (убывает от +1 до -1), значит, для нее существует обратная функция

, , (5)

т.е. каждому значению (величины косинуса) из промежутка [-1,1] соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка . Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

, . (6)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной функции (4). Функция (6) называется арккосинусом аргумента х . График этой функции можно построить на основании свойств графиков взаимно обратных функций.

Функция , где , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции :
.

Свойство 2. Величины
и
связаны соотношением

Свойство 3. Функция имеет единственный корень
.

Свойство 4. Функция отрицательных значений не принимает.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от -1 до +1 значения функции убывают от до 0.

1.3. Функция y = arctgx

Рассмотрим функцию
,
. (7)

Отметим, что эта функция определена для всех значений , лежащих строго внутри промежутка от до ; на концах этого промежутка она не существует, так как значения

- точки разрыва тангенса.

В промежутке
функция монотонна (возрастает от -
до
), следовательно, для функции (1) существует обратная функция:

,
, (8)

т.е. каждому данному значению (величины тангенса) из промежутка
соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка .

Переходя к общепринятым обозначениям, получаем

,
. (9)

Это и есть аналитическое задание функции, обратной (7). Функция (9) называется арктангенсом аргумента х . Отметим, что при
значение функции
, а при

, т.е. график функции имеет две асимптоты:
и.

Функция , , обладает следующими свойствами.

Свойство 1. Область изменения значений функции
.

Свойство 2. Функция – нечетная, т.е. .

Свойство 3. Функция имеет единственный корень .

Свойство 4. Если
, то

; если , то
.

Свойство 5. Функция монотонна: при возрастании аргумента от до значения функции возрастают от до +.

1.4. Функция y = arcctgx

Рассмотрим функцию
,
. (10)

Эта функция определена для всех значений , лежащих внутри промежутка от 0 до ; на концах этого промежутка она не существует, поскольку значения и - точки разрыва котангенса. В промежутке (0,) функция монотонна (убывает от до), следовательно, для функции (1) существует обратная функция

, (11)

т.е. каждому данному значению (величины котангенса) из промежутка (
) соответствует одно вполне определенное значение (величины дуги) из промежутка (0,). Переходя к общепринятым обозначениям, получаем связаны соотношением.Реферат >> Математика тригонометрическим функциям . К обратным тригонометрическим функциям обычно относят шесть функций : аркси́нус...

Диалектика развития понятия функции в школьном курсе математики

Дипломная работа >> Педагогика

... . Обратные тригонометрические функции . Основная цель – изучить свойства тригонометрических функций , научить учащихся строить их графики. Первой тригонометрической функцией ...

Как возникло и развивалось понятие функции

Реферат >> Математика

Как в это уравнение входит обратная тригонометри­ческая функция , циклоида не является алгебраической... а также обозначения тригонометрических} обратных тригонометрических , показательных и логариф­мических функций . Такие функции называли элементар­ными. Вскоре...