В задании B14 из ЕГЭ по математике требуется найти наименьшее или наибольшее значение функции одной переменной. Это достаточно тривиальная задача из математического анализа, и именно по этой причине научиться решать её в норме может и должен каждый выпускник средней школы. Разберём несколько примеров, которые школьники решали на диагностической работе по математике, прошедшей в Москве 7 декабря 2011 года.

В зависимости от промежутка, на котором требуется найти максимальное или минимальное значение функции, для решения этой задачи используется один из следующих стандартных алгоритмов.

I. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции на отрезке:

• Найти производную функции.
• Выбрать из точек, подозрительных на экстремум, те, которые принадлежат данному отрезку и области определения функции.
• Вычислить значения функции (не производной!) в этих точках.
• Среди полученных значений выбрать наибольшее или наименьшее, оно и будет искомым.

Пример 1. Найдите наименьшее значение функции
y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 на отрезке .

Решение: действуем по алгоритму нахождения наименьшего значения функции на отрезке:

• Область определения функции не ограничена: D(y) = R.
• Производная функции равна: y’ = 3x 2 – 36x + 81. Область определения производной функции также не ограничена: D(y’) = R.
• Нули производной: y’ = 3x 2 – 36x + 81 = 0, значит x 2 – 12x + 27 = 0, откуда x = 3 и x = 9, в наш промежуток входит только x = 9 (одна точка, подозрительная на экстремум).
• Находим значение функции в точке, подозрительной на экстремум и на краях промежутка. Для удобства вычислений представим функцию в виде: y = x 3 – 18x 2 + 81x + 23 = x (x -9) 2 +23:
  • y (8) = 8 · (8-9) 2 +23 = 31;
  • y (9) = 9 · (9-9) 2 +23 = 23;
  • y (13) = 13 · (13-9) 2 +23 = 231.

Итак, из полученных значений наименьшим является 23. Ответ: 23.

II. Алгоритм нахождения наибольшего или наименьшего значения функции:

• Найти область определения функции.
• Найти производную функции.
• Определить точки, подозрительные на экстремум (те точки, в которых производная функции обращается в ноль, и точки, в которых не существует двухсторонней конечной производной).
• Отметить эти точки и область определения функции на числовой прямой и определить знаки производной (не функции!) на получившихся промежутках.
• Определить значения функции (не производной!) в точках минимума (те точки, в которых знак производной меняется с минуса на плюс), наименьшее из этих значений будет наименьшим значением функции. Если точек минимума нет, то у функции нет наименьшего значения.
• Определить значения функции (не производной!) в точках максимума (те точки, в которых знак производной меняется с плюса на минус), наибольшее из этих значений будет наибольшим значением функции. Если точек максимума нет, то у функции нет наибольшего значения.

Пример 2. Найдите наибольшее значение функции.

Вариант 1. у

1. График функции у= f (x ) изображен на рисунке.

Укажите наибольшее значение этой функции 1

на отрезке [ a ; b ]. а 0 1 b х

1) 2,5; 2) 3; 3) 4; 4) 2.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image003_127.gif" width="242" height="133 src="> 1) -4; 2) -2; 3) 4; 4) 2.

4. Функции у= f (x ) задана на отрезке [ a ; b ]. у

На рисунке изображен график ее производной

у= f ´(x ). Исследуйте на экстремумы 1 b

функцию у= f (x ). В ответе укажите количество a 0 1 х

точек минимума.

1) 6; 2) 7; 3) 4;

5. Найдите наибольшее значение функции у= -2х2+8х -7.

1) -2; 2) 7; 3) 1;

6. Найдите наименьшее значение функции на отрезке .

1) https://pandia.ru/text/78/524/images/image005_87.gif" width="17" height="48 src=">.

7. Найдите наименьшее значение функции у= |2х+3 | - .

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image006_79.gif" width="17" height="47">; 4) - .

https://pandia.ru/text/78/524/images/image009_67.gif" width="144" height="33 src="> имеет минимум в точке хо=1,5 ?

1) 5; 2) -6; 3) 4; 4) 6. у

9. Укажите наибольшее значение функции у= f (x ) ,

1 х

0 1

1) 2,5; 2) 3; 3) -3;

у= lg (100 – x 2 ).

1) 10 ; 2) 100 ; 3) 2 ; 4) 1 .

11. Найдите наименьшее значение функции у=2 sin -1.

1) -1 ; 2) -3 ; 3) -2 ; 4) - .

Тест 14. Экстремумы. Наибольшее (наименьшее) значение функции.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image013_44.gif" width="130" height="115 src=">1. График функции у= f (x ) изображен на рисунке.

Укажите наименьшее значение этой функции 1

на отрезке [ a ; b ]. а b

0 1 x

1) 0; 2) - 4 ,5; 3) -2; 4) - 3.

2. у На рисунке изображен график функции у= f (x ).

Сколько точек максимума имеет функция?

1

0 1 х 1) 5; 2) 6; 3) 4; 4) 1.

3. В какой точке функция у= 2х2+24х -25 принимает наименьшее значение?

https://pandia.ru/text/78/524/images/image018_37.gif" width="76" height="48"> на отрезке [-3;-1].

1) - https://pandia.ru/text/78/524/images/image020_37.gif" width="17" height="47 src=">; 2); 4) - 5.

https://pandia.ru/text/78/524/images/image022_35.gif" width="135" height="33 src="> имеет минимум в точке хо= -2 ?

; 2) -6;; 4) 6. у

9. Укажите наименьшее значение функции у= f (x ) ,

график которой изображен на рисунке. 1 х

0 1

1) -1,5; 2) -1; 3) -3;

10. Найдите наибольшее значение функции у= log 11 (121 – x 2 ).

1) 11;; 3) 1;

11. Найдите наибольшее значение функции у=2 cos +3.

1) 5 ; 2) 3 ; 3) 2 ; 4) .

Ответы:

Миниатюрная и довольно простая задача из разряда тех, которые служат спасательным кругом плавающему студенту. На природе сонное царство середины июля, поэтому самое время устроиться с ноутбуком на пляже. Ранним утром заиграл солнечный зайчик теории, чтобы в скором времени сфокусироваться на практике, которая, несмотря на заявленную лёгкость, содержит осколки стекла в песке. В этой связи рекомендую добросовестно рассмотреть немногочисленные примеры этой странички. Для решения практических заданий необходимо уметь находить производные и понимать материал статьи Интервалы монотонности и экстремумы функции .

Сначала коротко о главном. На уроке о непрерывности функции я приводил определение непрерывности в точке и непрерывности на интервале. Образцово-показательное поведение функции на отрезке формулируется похожим образом. Функция непрерывна на отрезке если:

1) она непрерывна на интервале ;
2) непрерывна в точке справа и в точке слева .

Во втором пункте речь зашла о так называемой односторонней непрерывности функции в точке. Существует несколько подходов к её определению, но я буду придерживаться начатой ранее линии:

Функция непрерывна в точке справа , если она определена в данной точке и её правосторонний предел совпадает со значением функции в данной точке: . Она же непрерывна в точке слева , если определена в данной точке и её левосторонний предел равен значению в этой точке:

Представьте, что зелёные точки – это гвозди, на которых закреплена волшебная резинка:

Мысленно возьмите красную линию в руки. Очевидно, что как бы далеко мы не растягивали график вверх и вниз (вдоль оси ), функция всё равно останется ограниченной – изгородь сверху, изгородь снизу, и наше изделие пасётся в загоне. Таким образом, непрерывная на отрезке функция ограничена на нём . В курсе матанализа этот вроде бы простой факт констатируется и строго доказывается первой теоремой Вейерштрасса. …Многих раздражает, что в математике нудно обосновываются элементарные утверждения, однако в этом есть важный смысл. Предположим, некий житель махрового средневековья вытягивал график в небо за пределы видимости вот это вставляло. До изобретения телескопа ограниченность функции в космосе была вовсе не очевидна! Действительно, откуда вы знаете, что нас ждёт за горизонтом? Ведь когда-то и Земля считалась плоской, поэтому сегодня даже обыденная телепортация требует доказательства =)

Согласно второй теореме Вейерштрасса , непрерывная на отрезке функция достигает своей точной верхней грани и своей точной нижней грани .

Число также называют максимальным значением функции на отрезке и обозначают через , а число – минимальным значением функции на отрезке с пометкой .

В нашем случае:

Примечание : в теории распространены записи .

Грубо говоря, наибольшее значение находится там, где самая высокая точка графика, а наименьшее – где самая низкая точка.

Важно! Как уже заострялось внимание в статье об экстремумах функции , наибольшее значение функции и наименьшее значение функции – НЕ ТО ЖЕ САМОЕ , что максимум функции и минимум функции . Так, в рассматриваемом примере число является минимумом функции, но не минимальным значением.

Кстати, а что происходит вне отрезка ? Да хоть потоп, в контексте рассматриваемой задачи это нас совершенно не интересует. Задание предполагает лишь нахождение двух чисел и всё!

Более того, решение чисто аналитическое, следовательно, чертежа делать не надо !

Алгоритм лежит на поверхности и напрашивается из приведённого рисунка:

1) Находим значения функции в критических точках , которые принадлежат данному отрезку .

Ловите ещё одну плюшку: здесь отпадает необходимость проверять достаточное условие экстремума, поскольку, как только что было показано, наличие минимума или максимума ещё не гарантирует , что там минимальное или максимальное значение. Демонстрационная функция достигает максимума и волей судьбы это же число является наибольшим значением функции на отрезке . Но, понятно, такое совпадение имеет место далеко не всегда.

Итак, на первом шаге быстрее и проще вычислить значения функции в критических точках, принадлежащих отрезку, не заморачиваясь есть в них экстремумы или нет.

2) Вычисляем значения функции на концах отрезка.

3) Среди найденных в 1-м и 2-м пунктах значений функции выбираем самое маленькое и самое большое число, записываем ответ.

Садимся на берег синего моря и бьём пятками по мелководью:

Пример 1

Найти наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке

Решение :
1) Вычислим значения функции в критических точках, принадлежащих данному отрезку:

Вычислим значение функции во второй критической точке:

2) Вычислим значения функции на концах отрезка:

3) «Жирные» результаты получены с экспонентами и логарифмами, что существенно затрудняет их сравнение. По сей причине вооружимся калькулятором либо Экселем и вычислим приближённые значения, не забывая, что :

Вот теперь всё понятно.

Ответ :

Дробно-рациональный экземпляр для самостоятельного решения:

Пример 6

Найти максимальное и минимальное значения функции на отрезке

\(\blacktriangleright\) Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции на отрезке \(\) , необходимо схематично изобразить график функции на этом отрезке.
В задачах из данной подтемы это можно сделать с помощью производной: найти промежутки возрастания (\(f">0\) ) и убывания (\(f"<0\) ) функции, критические точки (где \(f"=0\) или \(f"\) не существует).

\(\blacktriangleright\) Не стоит забывать, что наибольшее/наименьшее значение функция может принимать не только во внутренних точках отрезка \(\) , а также на его концах.

\(\blacktriangleright\) Наибольшее/наименьшее значение функции - это значение координаты \(y=f(x)\) .

\(\blacktriangleright\) Производная сложной функции \(f(t(x))\) ищется по правилу: \[{\Large{f"(x)=f"(t)\cdot t"(x)}}\]
\[\begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f"(x)\\ \hline \textbf{1} & c & 0\\&&\\ \textbf{2} & x^a & a\cdot x^{a-1}\\&&\\ \textbf{3} & \ln x & \dfrac1x\\&&\\ \textbf{4} & \log_ax & \dfrac1{x\cdot \ln a}\\&&\\ \textbf{5} & e^x & e^x\\&&\\ \textbf{6} & a^x & a^x\cdot \ln a\\&&\\ \textbf{7} & \sin x & \cos x\\&&\\ \textbf{8} & \cos x & -\sin x\\ \hline \end{array} \quad \quad \quad \quad \begin{array}{|r|c|c|} \hline & \text{Функция } f(x) & \text{Производная } f"(x)\\ \hline \textbf{9} & \mathrm{tg}\, x & \dfrac1{\cos^2 x}\\&&\\ \textbf{10} & \mathrm{ctg}\, x & -\,\dfrac1{\sin^2 x}\\&&\\ \textbf{11} & \arcsin x & \dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{12} & \arccos x & -\,\dfrac1{\sqrt{1-x^2}}\\&&\\ \textbf{13} & \mathrm{arctg}\, x & \dfrac1{1+x^2}\\&&\\ \textbf{14} & \mathrm{arcctg}\, x & -\,\dfrac1{1+x^2}\\ \hline \end{array}\]

Задание 1 #2357

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = e^{x^2 - 4}\) на отрезке \([-10; -2]\) .

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \

\ Таким образом, \(y" = 0\) при \(x = 0\) .

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \([-10; -2]\) :

4) Эскиз графика на отрезке \([-10; -2]\) :

Таким образом, наименьшего на \([-10; -2]\) значения функция достигает в \(x = -2\) .

\ Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \([-10; -2]\) .

Ответ: 1

Задание 2 #2355

Уровень задания: Равен ЕГЭ

\(y = \sqrt{2}\cdot\sqrt{x^2 + 1}\) на отрезке \([-1; 1]\) .

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\sqrt{2}\cdot\dfrac{x}{\sqrt{x^2 + 1}} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad x = 0\,.\] Производная существует при любом \(x\) .

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \([-1; 1]\) :

4) Эскиз графика на отрезке \([-1; 1]\) :

Таким образом, наибольшего на \([-1; 1]\) значения функция достигает в \(x = -1\) или в \(x = 1\) . Сравним значения функции в этих точках.

\ Итого: \(2\) – наибольшее значение функции \(y\) на \([-1; 1]\) .

Ответ: 2

Задание 3 #2356

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции \(y = \cos 2x\) на отрезке \(\) .

ОДЗ: \(x\) – произвольный.

1) \

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-2\cdot \sin 2x = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x = \pi n, n\in\mathbb{Z}\qquad\Leftrightarrow\qquad x = \dfrac{\pi n}{2}, n\in\mathbb{Z}\,.\] Производная существует при любом \(x\) .

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :

(здесь бесконечное число промежутков, в которых чередуются знаки производной).

3) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) на рассматриваемом отрезке \(\) :

4) Эскиз графика на отрезке \(\) :

Таким образом, наименьшего на \(\) значения функция достигает в \(x = \dfrac{\pi}{2}\) .

\ Итого: \(-1\) – наименьшее значение функции \(y\) на \(\) .

Ответ: -1

Задание 4 #915

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -\log_{17}(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2)\) .

ОДЗ: \(2x^2 - 2\sqrt{2}x + 2 > 0\) . Решим на ОДЗ:

1) Обозначим \(2x^2-2\sqrt{2}x+2=t(x)\) , тогда \(y(t)=-\log_{17}t\) .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[-\dfrac{1}{\ln 17}\cdot\dfrac{4x-2\sqrt{2}}{2x^2-2\sqrt{2}x+2} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 4x-2\sqrt{2} = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) . Производная функции \(y\) не существует при \(2x^2-2\sqrt{2}x+2 = 0\) , но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :

3) Эскиз графика:

Таким образом, наибольшее значение функция достигает в \(x = \dfrac{\sqrt{2}}{2}\) :

\(y\left(\dfrac{\sqrt{2}}{2}\right) = -\log_{17}1 = 0\) ,

Итого: \(0\) – наибольшее значение функции \(y\) .

Ответ: 0

Задание 5 #2344

Уровень задания: Равен ЕГЭ

Найдите наименьшее значение функции

\(y = \log_{3}(x^2 + 8x + 19)\) .

ОДЗ: \(x^2 + 8x + 19 > 0\) . Решим на ОДЗ:

1) Обозначим \(x^2 + 8x + 19=t(x)\) , тогда \(y(t)=\log_{3}t\) .

Найдём критические точки (то есть внутренние точки области определения функции, в которых её производная равна \(0\) или не существует): \[\dfrac{1}{\ln 3}\cdot\dfrac{2x+8}{x^2 + 8x + 19} = 0\qquad\Leftrightarrow\qquad 2x+8 = 0\] – на ОДЗ, откуда находим корень \(x = -4\) . Производная функции \(y\) не существует при \(x^2 + 8x + 19 = 0\) , но у данного уравнения отрицательный дискриминант, следовательно, у него нет решений. Для того, чтобы найти наибольшее/наименьшее значение функции, нужно понять, как схематично выглядит её график.

2) Найдём промежутки знакопостоянства \(y"\) :

3) Эскиз графика:

Таким образом, \(x = -4\) – точка минимума функции \(y\) и наименьшее значение достигается в ней:

\(y(-4) = \log_{3}3 = 1\) .

Итого: \(1\) – наименьшее значение функции \(y\) .

Ответ: 1

Задание 6 #917

Уровень задания: Сложнее ЕГЭ

Найдите наибольшее значение функции

\(y = -e^{(x^2 - 12x + 36 + 2\ln 2)}\) .

Нередко приходится решать задачи, в которых необходимо найти наибольшее или наименьшее значения из совокупности тех значений, которые на отрезке принимает функция.

Обратимся, например, к графику функции f(х) = 1 + 2х 2 – х 4 на отрезке [-1; 2]. Для работы с функцией нам необходимо построить ее график.

Из построенного графика видно, что наибольшее значение на этом отрезке, равное 2, функция принимает в точках: х = -1 и х = 1; наименьшее значение, равное -7, функция принимает при х = 2.

Точка х = 0 является точкой минимума функции f(х) = 1 + 2х 2 – х 4 . Это значит, что существует окрестность точки х = 0, например, интервал (-1/2; 1/2) – такая, что в этой окрестности наименьшее значение функция принимает при х = 0. Однако на большем промежутке, например, на отрезке [-1; 2], наименьшее значение функция принимает на конце отрезка, а не в точке минимума.

Таким образом, чтобы найти наименьшее значения функции на определенном отрезке, необходимо сравнить ее значения на концах отрезка и в точках минимума.

В целом предположим, что функция f(х) непрерывная на отрезке и что функция имеет производную в каждой внутренней точке этого отрезка.

Чтобы на отрезке найти наибольшее и наименьшее значения функции, необходимо:

1) найти значения функции в концах отрезка, т.е. числа f(а) и f(b);

2) найти значения функции в стационарных точках, которые принадлежат интервалу (a; b);

3) выбрать из найденных значений наибольшее и наименьшее.

Применим полученные знания на практике и рассмотрим задачу.

Найти наибольшее и наименьшее значения функции f(х) = х 3 + х/3 на отрезке .

Решение.

1) f(1/2) = 6 1/8, f(2) = 9 ½.

2) f´(х) = 3х 2 – 3/х 2 = (3х 4 – 3)/х 2 , 3х 4 – 3 = 0; х 1 = 1, х 2 = -1.

Интервалу (1/2; 2) принадлежит одна стационарная точка х 1 = 1, f(1) = 4.

3) Из чисел 6 1/8, 9 ½ и 4 наибольшее 9 ½, наименьшее 4.

Ответ. Наибольшее значение функции равно 9 ½, наименьшее значение функции равно 4.

Часто при решении задач необходимо найти наибольшее и наименьшее значение функции не на отрезке, а на интервале.

В практических задачах обычно функция f(х) имеет на заданном интервале лишь одну стационарную точку: или точку максимума, или точку минимума. В этих случаях функция f(х) принимает наибольшее значение на данном интервале в точке максимума, а в точке минимума – наименьшее значение на данном интервале. Обратимся к задаче.

Число 36 записать в виде произведения двух положительных чисел, сумма которых наименьшая.

Решение.

1) Пусть первый множитель равен х, тогда второй множитель равен 36/х.

2) Сумма этих чисел равна х + 36/х.

3) По условия задачи х – положительное число. Итак, задача сводится к нахождению значения х – такого, при котором функция f(х) = х + 36/х принимает наименьшее значение на интервале х > 0.

4) Найдем производную: f´(х) = 1 – 36/х 2 =((х + 6)(х – 6)) / х 2 .

5) Стационарные точки х 1 = 6, х 2 = -6. На интервале х > 0 есть только одна стационарная точка х = 6. При переходе через точку х = 6 производная меняет знак «–» на знак «+», и поэтому х = 6 – точка минимума. Следовательно, наименьшее значение на интервале х > 0 функция f(х) = х + 36/х принимает в точке х = 6 (это значение f(6) = 12).

Ответ. 36 = 6 ∙ 6.

При решении некоторых задач, где необходимо найти наибольшее и наименьшее значения функции, полезно использовать следующее утверждение:

если значения функции f(х) на некотором промежутке неотрицательны, то эта функция и функция (f(х)) n , где n – натуральное число, принимают наибольшее (наименьшее) значение в одной и той же точке.

сайт, при полном или частичном копировании материала ссылка на первоисточник обязательна.