Осталось доказать возможность представления a=b·q+r
для отрицательных b
.
Так как модуль числа b
в этом случае является положительным числом, то для имеет место представление , где q 1
– некоторое целое число, а r
– целое число, удовлетворяющее условиям . Тогда, приняв q=−q 1
, получаем нужное нам представление a=b·q+r
для отрицательных b
.
Переходим к доказательству единственности.
Предположим, что помимо представления a=b·q+r
, q
и r
– целые числа и , существует еще одно представление a=b·q 1 +r 1
, где q 1
и r 1
– некоторые целые числа, причем q 1 ≠q
и .
После вычитания из левой и правой части первого равенства соответственно левой и правой части второго равенства, получаем 0=b·(q−q 1)+r−r 1
, которое равносильно равенству r−r 1 =b·(q 1 −q)
. Тогда должно быть справедливо и равенство вида , а в силу свойств модуля числа - и равенство .
Из условий и можно сделать вывод, что . Так как q
и q 1
– целые и q≠q 1
, то , откуда заключаем, что . Из полученных неравенств и следует, что равенство вида невозможно при нашем предположении. Поэтому, не существует другого представления числа a
, кроме a=b·q+r
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком
Равенство a=b·c+d
позволяет находить неизвестное делимое a
, если известны делитель b
, неполное частное c
и остаток d
. Рассмотрим пример.
Пример.
Чему равно делимое, если при его делении на целое число −21
получилось неполное частное 5
и остаток 12
?
Решение.
Нам требуется вычислить делимое a
, когда известен делитель b=−21
, неполное частное c=5
и остаток d=12
. Обратившись к равенству a=b·c+d
, получаем a=(−21)·5+12
. Соблюдая , сначала проводим умножение целых чисел −21
и 5
по правилу умножения целых чисел с разными знаками , после чего выполняем сложение целых чисел с разными знаками : (−21)·5+12=−105+12=−93
.
Ответ:
−93
.
Связи между делимым, делителем, неполным частным и остатком также выражаются равенствами вида b=(a−d):c
, c=(a−d):b
и d=a−b·c
. Эти равенства позволяют вычислять делитель, неполное частное и остаток соответственно. Нам часто придется находить остаток от деления целого числа a
на целое число b
, когда известны делимое, делитель и неполное частное, используя формулу d=a−b·c
. Чтобы в дальнейшем не возникало вопросов, разберем пример вычисления остатка.
Пример.
Найдите остаток от деления целого числа −19
на целое число 3
, если известно, что неполное частное равно −7
.
Решение.
Для вычисления остатка от деления воспользуемся формулой вида d=a−b·c
. Из условия имеем все необходимые данные a=−19
, b=3
, c=−7
. Получаем d=a−b·c=−19−3·(−7)=
−19−(−21)=−19+21=2
(разность −19−(−21)
мы вычисляли по правилу вычитания целого отрицательного числа).
Ответ:
Деление с остатком целых положительных чисел, примеры
Как мы уже не раз отмечали, целые положительные числа представляют собой натуральные числа. Поэтому деление с остатком целых положительных чисел проводится по всем правилам деления с остатком натуральных чисел. Очень важно уметь с легкостью выполнять деление с остатком натуральных чисел , так как именно оно лежит в основе деления не только целых положительных чисел, но и в основе всех правил деления с остатком произвольных целых чисел.
С нашей точки зрения наиболее удобно выполнять деление столбиком , этот способ позволяет получить и неполное частное (или просто частное) и остаток. Рассмотрим пример деления с остатком целых положительных чисел.
Пример.
Выполните деление с остатком числа 14 671
на 54
.
Решение.
Выполним деление данных целых положительных чисел столбиком:
Неполное частное получилось равным 271
, а остаток равен 37
.
Ответ:
14 671:54=271 (ост. 37)
.
Правило деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное, примеры
Сформулируем правило, позволяющее выполнять деление с остатком целого положительного числа на целое отрицательное число.
Неполное частное от деления целого положительного числа a
на целое отрицательное число b
представляет собой число, противоположное неполному частному от деления a
на модуль числа b
, а остаток от деления a
на b
равен остатку от деления на .
Из этого правила следует, что неполное частное от деления целого положительного числа на целое отрицательное число является целым неположительным числом .
Переделаем озвученное правило в алгоритм деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное:
- Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если при этом остаток получился равным нулю, то исходные числа делятся без остатка, и по правилу деления целых чисел с противоположными знаками искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
- Записываем число, противоположное полученному неполному частному, и остаток. Эти числа являются соответственно искомым частным и остатком от деления исходного целого положительного числа на целое отрицательное.
Приведем пример использования алгоритма деления целого положительного числа на целое отрицательное.
Пример.
Выполните деление с остатком целого положительного числа 17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся алгоритмом деления с остатком целого положительного числа на целое отрицательное.
Разделив
Число, противоположное числу 3
, - это −3
. Таким образом, искомое неполное частное от деления 17
на −5
равно −3
, а остаток равен 2
.
Ответ:
17
:(−5)=−3 (ост. 2)
.
Пример.
Разделите 45
на −15
.
Решение.
Модули делимого и делителя равны 45
и 15
соответственно. Число 45
делится на 15
без остатка, частное при этом равно 3
. Следовательно, целое положительное число 45
делится на целое отрицательное число −15
без остатка, частное при этом равно числу, противоположному 3
, то есть, −3
. Действительно, по правилу деления целых чисел с разными знаками имеем .
Ответ:
45:(−15)=−3
.
Деление с остатком целого отрицательного числа на целое положительное, примеры
Дадим формулировку правила деления с остатком целого отрицательного числа на целое положительное.
Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое положительное число b
нужно взять число, противоположное неполному частному от деления модулей исходных чисел и вычесть из него единицу, после чего остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
.
Из данного правила деления с остатком следует, что неполное частное от деления целого отрицательного на целое положительное число является целым отрицательным числом.
Из озвученного правила вытекает алгоритм деления с остатком целого отрицательного числа a
на целое положительное b
:
- Находим модули делимого и делителя.
- Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно числу, противоположному частному от деления модулей.)
- Записываем число, противоположное полученному неполному частному и вычитаем из него число 1
. Вычисленное число является искомым неполным частным c
от деления исходного целого отрицательного числа на целое положительное.
Разберем решение примера, в котором воспользуемся записанным алгоритмом деления с остатком.
Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
.
Решение.
Модуль делимого −17
равен 17
, а модуль делителя 5
равен 5
.
Разделив 17
на 5
, получаем неполное частное 3
и остаток 2
.
Число, противоположное 3
, есть −3
. Вычитаем из −3
единицу: −3−1=−4
. Итак, искомое неполное частное равно −4
.
Осталось вычислить остаток. В нашем примере a=−17
, b=5
, c=−4
, тогда d=a−b·c=−17−5·(−4)=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Таким образом, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое положительное число 5
равно −4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):5=−4 (ост. 3)
.
Пример.
Разделите целое отрицательное число −1 404
на целое положительное число 26
.
Решение.
Модуль делимого равен 1 404
, модуль делителя равен 26
.
Разделим 1 404
на 26
столбиком:
Так как модуль делимого разделился на модуль делителя без остатка, то исходные целые числа делятся без остатка, причем искомое частное равно числу, противоположному 54
, то есть, −54
.
Ответ:
(−1 404):26=−54
.
Правило деления с остатком целых отрицательных чисел, примеры
Сформулируем правило деления с остатком целых отрицательных чисел.
Чтобы получить неполное частное c
от деления целого отрицательного числа a
на целое отрицательное число b
, нужно вычислить неполное частное от деления модулей исходных чисел и прибавить к нему единицу, после этого остаток d
вычислить по формуле d=a−b·c
.
Из этого правила следует, что неполное частное от деления целых отрицательных чисел является целым положительным числом.
Перепишем озвученное правило в виде алгоритма деления целых отрицательных чисел:
- Находим модули делимого и делителя.
- Делим модуль делимого на модуль делителя, получаем неполное частное и остаток. (Если остаток равен нулю, то исходные целые числа делятся без остатка, и искомое частное равно частному от деления модуля делимого на модуль делителя.)
- К полученному неполному частному прибавляем единицу, это число есть искомое неполное частное от деления исходных целых отрицательных чисел.
- Вычисляем остаток по формуле d=a−b·c
.
Рассмотрим применение алгоритма деления целых отрицательных чисел при решении примера.
Пример.
Найдите неполное частное и остаток от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
.
Решение.
Воспользуемся соответствующим алгоритмом деления с остатком.
Модуль делимого равен 17
, модуль делителя равен 5
.
Деление 17
на 5
дает неполное частное 3
и остаток 2
.
К неполному частному 3
прибавляем единицу: 3+1=4
. Следовательно, искомое неполное частное от деления −17
на −5
равно 4
.
Осталось вычислить остаток. В этом примере a=−17
, b=−5
, c=4
, тогда d=a−b·c=−17−(−5)·4=
−17−(−20)=−17+20=3
.
Итак, неполное частное от деления целого отрицательного числа −17
на целое отрицательное число −5
равно 4
, а остаток равен 3
.
Ответ:
(−17):(−5)=4 (ост. 3)
.
Проверка результата деления целых чисел с остатком
После того, как выполнено деление целых чисел с остатком, полезно выполнить проверку полученного результата. Проверка проводится в два этапа. На первом этапе проверяется, является ли остаток d
неотрицательным числом, а также проверяется выполнение условия . Если все условия первого этапа проверки выполнены, то можно приступать ко второму этапу проверки, в противном случае можно утверждать, что при делении с остатком где-то была допущена ошибка. На втором этапе проверяется справедливость равенства a=b·c+d
. Если это равенство справедливо, то деление с остатком было проведено верно, в противном случае – где-то была допущена ошибка.
Рассмотрим решения примеров, в которых выполняется проверка результата деления целых чисел с остатком.
Пример.
При делении числа −521
на −12
было получено неполное частное 44
и остаток 7
, выполните проверку результата.
Решение.
−2
при b=−3
, c=7
, d=1
. Имеем b·c+d=−3·7+1=−21+1=−20
. Таким образом, равенство a=b·c+d
– неверное (в нашем примере a=−19
).
Следовательно, деление с остатком было проведено неверно.
Деление с остатком
- это деление одного числа на другое, при котором остаток не равен нулю.
Выполнить деление не всегда возможно, так как бывают случаи, когда одно число не делится на другое. Например, число 11 не делится на 3, так как нет такого натурального числа, при умножении которого на 3 получилось бы 11.
Когда деление невозможно выполнить условились делить не всё делимое, а только наибольшую его часть, какая только может разделиться на делитель. В данном примере наибольшая часть делимого, которая может быть разделена на 3 - это 9 (в результате получим 3), оставшаяся меньшая часть делимого - 2 не разделится на 3.
Говоря о делении 11 на 3, 11 по прежнему называется делимым, 3 - делителем, результат деления - число 3, называют неполным частным
, а число 2 - остатком от деления
. Само деление в этом случае называют делением с остатком.
Неполным частным называют наибольшее число, которое при умножении на делитель даёт произведение, не превосходящее делимого. Разность между делимым и этим произведением называют остатком. Остаток всегда меньше делителя, иначе его тоже можно было бы поделить на делитель.
Деление с остатком можно записывать так:
11: 3 = 3 (остаток 2)
Если при делении одного натурального числа на другое в остатке получается 0, то говорят, что первое число делится на второе нацело. Например, 4 делится на 2 нацело. Число 5 не делится на 2 нацело. Слово нацело обычно опускают для краткости и говорят: такое-то число делится на другое, например: 4 делится на 2, а 5 не делится на 2.
Проверка деления с остатком
Проверить результат деления с остатком можно следующим способом: неполное частное умножить на делитель (или наоборот) и к полученному произведению прибавить остаток. Если в результате получится число, равное делимому, то деление с остатком сделано верно:
11: 3 = 3 (остаток 2)
В этой статье мы внимательно рассмотрим деление с остатком
. Начнем с общего представления об этом действии, далее выясним смысл деления натуральных чисел с остатком
, и введем необходимые термины. Потом очертим круг задач, решаемых с помощью деления натуральных чисел с остатком. В заключении остановимся на всевозможных связях между делимым, делителем, неполным частным и остатком от деления.
Навигация по странице.
Ответ:
Делимое равно 79
.
Следует также отметить, что проверка результата деления натуральных чисел с остатком осуществляется проверкой справедливости полученного равенства a=b·c+d
.
Нахождение остатка, если известно делимое, делитель и неполное частное
По своему смыслу остаток d
– это то количество элементов, которое остается в исходном множестве после исключения из его a
элементов b
раз по c
элементов. Следовательно, в силу смысла умножения натуральных чисел и смысла вычитания натуральных чисел справедливо равенство d=a−b·c
. Таким образом, остаток d
от деления натурального числа a
на натуральное число b
равен разности делимого a
и произведения делителя b
на неполное частное c
.
Полученная связь d=a−b·c
позволяет находить остаток, когда известно делимое, делитель и неполное частное. Рассмотрим решение примера.
От общего представления о делении натуральных чисел с остатком будем двигаться дальше, и в этой статье мы разберемся с принципами, по которым проводится это действие. Вообще деление с остатком
имеет много общего с делением натуральных чисел без остатка , так что мы будем часто ссылаться на материал указанной статьи.
Сначала разберемся с делением натуральных чисел с остатком в столбик. Дальше мы покажем, как можно отыскать результат деления натуральных чисел с остатком, проводя последовательное вычитание. После этого перейдем к методу подбора неполного частного, не забывая при этом приводить примеры с подробным описанием решения. Далее запишем алгоритм, позволяющий проводить деление натуральных чисел с остатком в общем случае. В конце статьи мы покажем, как выполняется проверка результата деления натуральных чисел с остатком.
Навигация по странице.
Деление натуральных чисел в столбик с остатком
Одним из самых удобных способов деления натуральных чисел с остатком является деление столбиком. В статье деление натуральных чисел столбиком мы очень подробно разобрали этот метод деления. Здесь не будем повторяться, а просто приведем решение одного примера.
Пример.
Выполните деление с остатком натурального числа 273 844
на натуральное число 97
.
Решение.
Проведем деление столбиком:
Таким образом, неполное частное от деления 273 844
на 97
равно 2 823
, а остаток равен 13
.
Ответ:
273 844:97=2 823 (ост. 13)
.
Деление натуральных чисел с остатком через последовательное вычитание
Найти неполное частное и остаток от деления натуральных чисел можно, выполняя последовательное вычитание делителя.
Суть этого подхода проста: из элементов имеющегося множества последовательно формируются множества с требуемым количеством элементов до того момента, пока это возможно, количество полученных множеств дает неполное частное, а количество оставшихся элементов в исходном множестве – остаток от деления.
Приведем пример.
Пример.
Допустим, нам нужно разделить 7
на 3
.
Решение.
Представим, что нам нужно разложить 7
яблок в пакеты по 3
яблока. Из исходного количества яблок мы берем 3
штуки и кладем их в первый пакет. При этом в силу смысла вычитания натуральных чисел у нас остается 7−3=4
яблока. Из них мы опять берем 3
штуки, и кладем их во второй пакет. После этого у нас остается 4−3=1
яблоко. Понятно, что на этом процесс заканчивается (мы не можем сформировать еще один пакет с требуемым количеством яблок, так как оставшееся количество яблок 1
меньше нужного нам количества 3
). В итоге мы имеем два пакета с требуемым количеством яблок и одно яблоко в остатке.
Тогда в силу смысла деления натуральных чисел с остатком можно утверждать, что мы получили следующий результат 7:3=2 (ост. 1)
.
Ответ:
7:3=2 (ост. 1)
.
Рассмотрим решение еще одного примера, при этом приведем лишь математические выкладки.
Пример.
Разделите натуральное число 145
на 46
, выполняя последовательное вычитание.
Решение.
145−46=99
(при необходимости обращайтесь к статье вычитание натуральных чисел). Так как 99
больше, чем 46
, то проводим вычитание делителя второй раз: 99−46=53
. Так как 53>46
, то вычитаем делитель третий раз: 53−46=7
. Так как 7
меньше, чем 46
, то еще раз провести вычитание мы не сможем, то есть, на этом заканчиваем процесс последовательного вычитания.
В итоге нам потребовалось из делимого 145
последовательно вычесть 3
раза делитель 46
, после чего получился остаток 7
. Таким образом, 145:46=3 (ост. 7)
.
Ответ:
145:46=3 (ост. 7)
.
Следует заметить, что если делимое меньше делителя, то мы не сможем проводить последовательное вычитание. Да это и не нужно, так как в этом случае мы можем сразу написать ответ. В этом случае неполное частное равно нулю, а остаток равен делимому. То есть, если a
Еще нужно сказать, что выполнять деление натуральных чисел с остатком рассмотренным способом хорошо лишь тогда, когда для получения результата требуется провести небольшое количество последовательных вычитаний.
Подбор неполного частного
При делении данных натуральных чисел a
и b
с остатком неполное частное c можно подобрать. Сейчас мы покажем, на чем основан процесс подбора и как он должен проходить.
Сначала определимся, среди каких чисел искать неполное частное. Когда мы говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком, то выяснили, что неполное частное может быть либо нулем, либо натуральным числом, то есть, одним из чисел 0
, 1
, 2
, 3
, ... Таким образом, искомое неполное частное является одним из записанных чисел, и нам остается перебрать их, чтобы определить, каким именно числом является неполное частное.
Дальше нам потребуется уравнение вида d=a−b·c
, задающее , а также тот факт, что остаток всегда меньше делителя (это мы также упоминали, когда говорили о смысле деления натуральных чисел с остатком).
Теперь можно переходить непосредственно к описанию процесса подбора неполного частного. Делимое a
и делитель b
нам известны изначально, в качестве неполного частного c
мы последовательно принимаем числа 0
, 1
, 2
, 3
, …, каждый раз вычисляя значение d=a−b·c
и сравнивая его с делителем. Этот процесс завершается, как только полученное значение будет меньше, чем делитель. При этом число c
на этом шаге является искомым неполным частным, а значение d=a−b·c
является остатком от деления.
Осталось разобрать процесс подбора неполного частного на примере.
Пример.
Выполните деление с остатком натурального числа 267
на 21
.
Решение.
Подберем неполное частное. В нашем примере a=267
, b=21
. Будем последовательно придавать c
значения 0
, 1
, 2
, 3
, …, вычисляя на каждом шаге значение d=a−b·c
и сравнивая его с делителем 21
.
При c=0
имеем d=a−b·c=267−21·0=267−0=267
(сначала выполняется умножение натуральных чисел , а затем – вычитание, об этом написано в статье ). Полученное число больше, чем 21
(при необходимости изучите материал статьи сравнение натуральных чисел). Поэтому продолжаем процесс подбора.
При c=1
имеем d=a−b·c=267−21·1=267−21=246
. Так как 246>21
, то продолжаем процесс.
При c=2
получаем d=a−b·c=267−21·2=267−42=225
. Так как 225>21
, то двигаемся дальше.
При c=3
имеем d=a−b·c=267−21·3=267−63=204
. Так как 204>21
, то продолжаем подбор.
При c=12
получаем d=a−b·c=267−21·12=267−252=15
. Получили число 15
, которое меньше, чем 21
, поэтому процесс можно считать завершенным. Мы подобрали неполное частное c=12
, при этом остаток d
получился равным 15
.
Ответ:
267:21=12 (ост. 15)
.
Алгоритм деления натуральных чисел с остатком, примеры, решения
В этом пункте мы рассмотрим алгоритм, позволяющий проводить деление с остатком натурального числа a
на натуральное число b
в тех случаях, когда метод последовательного вычитания (и метод подбора неполного частного) требует слишком большого количества вычислительных операций.
Сразу отметим, что если делимое a
меньше, чем делитель b
, то мы знаем и неполное частное и остаток: при ab
.
Прежде чем мы подробно опишем все шаги алгоритма деления натуральных чисел с остатком, ответим на три вопроса: что нам изначально известно, что нам нужно найти и исходя из каких соображений мы это будем делать? Изначально нам известно делимое a
и делитель b
. Нам нужно найти неполное частное c
и остаток d
. Равенство a=b·c+d
задает связь между делимым, делителем, неполным частным и остатком . Из записанного равенства следует, что если мы представим делимое a
в виде суммы b·c+d
, в которой d
меньше, чем b
(так как остаток всегда меньше делителя), то мы увидим и неполное частное c
и остаток d
.
Осталось лишь разобраться, как делимое a
представить в виде суммы b·c+d
. Алгоритм, позволяющий это сделать, очень схож с алгоритмом деления натуральных чисел без остатка . Опишем все шаги, и одновременно будем вести решение примера для большей ясности. Разделим 899
на 47
.
Первые пять пунктов алгоритма позволят представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Нужно отметить, что действия из этих пунктов циклически повторяются снова и снова, пока не будут найдены все слагаемые, дающие в сумме делимое. В заключительном шестом пункте полученная сумма преобразуется к виду b·c+d
(если полученная сумма уже не будет иметь такой вид), откуда становятся видны искомое неполное частное и остаток.
Итак, приступаем к представлению делимого 899
в виде суммы нескольких слагаемых.
Сначала вычисляем, насколько количество знаков в записи делимого больше, чем количество знаков в записи делителя, и запоминаем это число.
В нашем примере в записи делимого 3
знака (899
– трехзначное число), а в записи делителя – два знака (47
– двузначное число), следовательно, в записи делимого на один знак больше, и мы запоминаем число 1
.
Теперь в записи делителя справа дописываем цифры 0
в количестве, определяемым числом, полученным в предыдущем пункте. При этом если записанное число будет больше делимого, то из запомненного в предыдущем пункте числа нужно вычесть 1
.
Возвращаемся к нашему примеру. В записи делителя 47
дописываем справа одну цифру 0
, и получаем число 470
. Так как 470<899
, то запомненное в предыдущем пункте число НЕ нужно уменьшать на 1
. Таким образом, у нас в памяти остается число 1
.
После этого к цифре 1
справа приписываем цифры 0
в количестве, определяемом числом, запомненном в предыдущем пункте. При этом получаем единицу разряда, с которым мы будем работать дальше.
В нашем примере к цифре 1
приписываем 1
цифру 0
, при этом получаем число 10
, то есть, мы будем работать с разрядом десятков.
Теперь последовательно умножаем делитель на 1
, 2
, 3
, … единицы рабочего разряда до того момента, пока не получим число, большее или равное делимому.
Мы выяснили, что в нашем примере рабочим разрядом является разряд десятков. Поэтому мы сначала умножаем делитель на одну единицу разряда десятков, то есть, умножаем 47
на 10
, получаем 47·10=470
. Полученное число 470
меньше делимого 899
, поэтому переходим к умножению делителя на две единицы разряда десятков, то есть 47
умножаем на 20
. Имеем 47·20=940
. Мы получили число, которое больше, чем 899
.
Число, полученное на предпоследнем шаге при последовательном умножении, является первым из искомых слагаемых.
В разбираемом примере искомым слагаемым является число 470
(это число равно произведению 47·100
, это равенство мы используем позже).
После этого находим разность между делимым и первым найденным слагаемым. Если полученное число больше делителя, то приступаем к нахождению второго слагаемого. Для этого повторяем все описанные шаги алгоритма, но уже в качестве делимого принимаем полученное здесь число. Если в этом пункте опять получается число, большее делителя, то приступаем к нахождению третьего слагаемого, еще раз повторяя шаги алгоритма, приняв полученное число в качестве делимого. И так действуем дальше, находя четвертое, пятое и последующие слагаемые, пока полученное в этом пункте число не будет меньше делителя. Как только это произошло, то полученное здесь число принимаем в качестве последнего искомого слагаемого (забегая вперед, скажем, что оно равно остатку), и переходим к завершающему этапу.
Возвращаемся к нашему примеру. На этом шаге имеем 899−470=429
. Так как 429>47
, то принимаем это число в качестве делимого и повторяем с ним все этапы алгоритма.
В записи числа 429
на один знак больше, чем в записи числа 47
, поэтому, запоминаем число 1
.
Теперь в записи делимого справа дописываем одну цифру 0
, получаем число 470
, которое больше числа 429
. Поэтому, из запомненного в предыдущем пункте числа 1
вычитаем 1
, получаем число 0
, которое и запоминаем.
Так как в предыдущем пункте мы запомнили число 0
, то к цифре 1
не нужно справа приписывать ни одной цифры 0
. При этом имеем число 1
, то есть, рабочим разрядом является разряд единиц.
Теперь последовательно умножаем делитель 47
на 1
, 2
, 3
, … Не будем останавливаться на этом подробно. Скажем лишь, что 47·9=423<429
, а 47·10=470>429
. Вторым искомым слагаемым является число 423
(которое равно 47·9
, что мы используем дальше).
Разность между 429
и 423
равна 6
. Это число меньше, чем делитель 47
, поэтому оно является третьим (и последним) искомым слагаемым. Теперь мы можем переходить к завершающему этапу.
Ну вот мы и подошли к заключительному этапу. Все предыдущие действия были направлены на то, чтобы представить делимое в виде суммы нескольких слагаемых. Теперь полученную сумму осталось преобразовать к виду b·c+d
. С этой задачей нам поможет справиться распределительное свойство умножения относительно сложения . После этого станут видны искомое неполное частное и остаток.
В нашем примере делимое 899
равно сумме трех слагаемых 470
, 423
и 6
. Сумму 470+423+6
можно переписать в виде 47·10+47·9+6
(помните, мы обращали внимание на равенства 470=47·10
и 423=47·9
). Теперь применяем свойство умножения натурального числа на сумму, при этом получаем 47·10+47·9+6=
47·(10+9)+6=
47·19+6
. Таким образом, делимое преобразовано к нужному нам виду 899=47·19+6
, откуда легко находится неполное частное 19
и остаток 6
.
Итак, 899:47=19 (ост. 6)
.
Конечно же, при решении примеров Вы не будете настолько подробно описывать процесс деления с остатком.