Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen werden in der Regel mit Formeln gelöst. Ich möchte Sie daran erinnern, dass die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind:
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
x ist der zu findende Winkel,
a ist eine beliebige Zahl.
Und hier sind die Formeln, mit denen Sie die Lösungen dieser einfachsten Gleichungen sofort aufschreiben können.
Für Sinus:
Für Kosinus:
x = ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Für Tangente:
x = arctan a + π n, n ∈ Z
Für Kotangens:
x = arcctg a + π n, n ∈ Z
Eigentlich ist es das theoretischer Teil einfachste Lösungen trigonometrische Gleichungen. Außerdem alles!) Gar nichts. Die Anzahl der Fehler zu diesem Thema ist jedoch einfach überwältigend. Vor allem, wenn das Beispiel leicht von der Vorlage abweicht. Warum?
Ja, weil viele Leute diese Briefe aufschreiben, ohne ihre Bedeutung überhaupt zu verstehen! Er schreibt mit Vorsicht auf, damit nichts passiert...) Das muss geklärt werden. Trigonometrie für Menschen, oder doch Menschen für Trigonometrie!?)
Lass es uns herausfinden?
Ein Winkel ist gleich arccos a, zweite: -arccos a.
Und es wird immer so klappen. Für jeden A.
Wenn Sie mir nicht glauben, fahren Sie mit der Maus über das Bild oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet.) Ich habe die Nummer geändert A zu etwas Negativem. Wie auch immer, wir haben eine Ecke bekommen arccos a, zweite: -arccos a.
Daher kann die Antwort immer als zwei Reihen von Wurzeln geschrieben werden:
x 1 = arccos a + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - arccos a + 2π n, n ∈ Z
Fassen wir diese beiden Serien zu einer zusammen:
x= ± arccos a + 2π n, n ∈ Z
Und das ist alles. Wir haben eine allgemeine Formel zur Lösung der einfachsten trigonometrischen Gleichung mit dem Kosinus erhalten.
Wenn Sie verstehen, dass dies keine überwissenschaftliche Weisheit ist, sondern nur eine gekürzte Version von zwei Antwortreihen, Sie können auch die Aufgaben „C“ bearbeiten. Bei Ungleichungen, bei der Auswahl von Wurzeln aus einem gegebenen Intervall... Da funktioniert die Antwort mit einem Plus/Minus nicht. Aber wenn man die Antwort sachlich behandelt und sie in zwei separate Antworten aufteilt, wird alles gelöst.) Genau deshalb untersuchen wir das. Was, wie und wo.
In der einfachsten trigonometrischen Gleichung
sinx = a
wir erhalten auch zwei Serien von Wurzeln. Stets. Und diese beiden Serien können auch aufgezeichnet werden in einer Zeile. Nur diese Zeile wird schwieriger:
x = (-1) n arcsin a + π n, n ∈ Z
Aber das Wesentliche bleibt dasselbe. Mathematiker haben einfach eine Formel entworfen, um für Reihen von Wurzeln einen statt zwei Einträge zu machen. Und alle!
Lassen Sie uns die Mathematiker überprüfen? Und man weiß nie...)
In der vorherigen Lektion wurde die Lösung (ohne Formeln) einer trigonometrischen Gleichung mit Sinus ausführlich besprochen:
Die Antwort führte zu zwei Reihen von Wurzeln:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Wenn wir dieselbe Gleichung mit der Formel lösen, erhalten wir die Antwort:
x = (-1) n arcsin 0,5 + π n, n ∈ Z
Eigentlich ist dies eine unvollendete Antwort.) Das muss der Schüler wissen arcsin 0,5 = π /6. Die vollständige Antwort wäre:
x = (-1)n π /6+ π n, n ∈ Z
Dies wirft eine interessante Frage auf. Antwort per x 1; x 2 (das ist die richtige Antwort!) und durch einsam X (und das ist die richtige Antwort!) – sind sie dasselbe oder nicht? Das werden wir jetzt herausfinden.)
Wir ersetzen in der Antwort durch x 1 Werte N =0; 1; 2; usw., wir zählen, wir erhalten eine Reihe von Wurzeln:
x 1 = π/6; 13π/6; 25π/6 usw.
Mit der gleichen Ersetzung als Antwort mit x 2 , wir bekommen:
x 2 = 5π/6; 17π/6; 29π/6 usw.
Ersetzen wir nun die Werte N (0; 1; 2; 3; 4...) in die allgemeine Formel für Single X . Das heißt, wir erhöhen minus eins auf die Nullpotenz, dann auf die erste, zweite Potenz usw. Nun, natürlich ersetzen wir 0 im zweiten Term; 1; 2 3; 4 usw. Und wir zählen. Wir bekommen die Serie:
x = π/6; 5π/6; 13π/6; 17π/6; 25π/6 usw.
Das ist alles, was Sie sehen können.) Allgemeine Formel gibt uns genau die gleichen Ergebnisse ebenso wie die beiden Antworten getrennt. Einfach alles auf einmal, der Reihe nach. Die Mathematiker ließen sich nicht täuschen.)
Auch Formeln zur Lösung trigonometrischer Gleichungen mit Tangens und Kotangens können überprüft werden. Aber wir werden es nicht tun.) Sie sind bereits einfach.
Ich habe diese ganze Substitution aufgeschrieben und gezielt überprüft. Hier ist es wichtig, eines zu verstehen einfache Sache: Es gibt Formeln zur Lösung elementarer trigonometrischer Gleichungen, nur eine kurze Zusammenfassung der Antworten. Der Kürze halber mussten wir Plus/Minus in die Kosinuslösung und (-1) n in die Sinuslösung einfügen.
Diese Einsätze stören in keiner Weise bei Aufgaben, bei denen Sie lediglich die Antwort auf eine Elementargleichung aufschreiben müssen. Wenn Sie jedoch eine Ungleichung lösen müssen oder dann etwas mit der Antwort tun müssen: Wurzeln in einem Intervall auswählen, auf ODZ prüfen usw., können diese Einfügungen eine Person leicht verunsichern.
Und was machen? Ja, schreiben Sie die Antwort entweder in zwei Reihen auf oder lösen Sie die Gleichung/Ungleichung mithilfe des trigonometrischen Kreises. Dann verschwinden diese Einfügungen und das Leben wird einfacher.)
Wir können zusammenfassen.
Zur Lösung einfachster trigonometrischer Gleichungen gibt es vorgefertigte Antwortformeln. Vier Stücke. Sie eignen sich gut, um die Lösung einer Gleichung sofort aufzuschreiben. Beispielsweise müssen Sie die Gleichungen lösen:
sinx = 0,3
Leicht: x = (-1) n arcsin 0,3 + π n, n ∈ Z
cosx = 0,2
Kein Problem: x = ± arccos 0,2 + 2π n, n ∈ Z
tgx = 1,2
Leicht: x = arctan 1,2 + π n, n ∈ Z
ctgx = 3,7
Einer übrig: x= arcctg3,7 + π n, n ∈ Z
cos x = 1,8
Wenn Sie vor Wissen glänzen, schreiben Sie sofort die Antwort:
x= ± arccos 1,8 + 2π n, n ∈ Z
dann strahlst du schon, dieses... jenes... aus einer Pfütze.) Richtige Antwort: es gibt keine Lösungen. Verstehst du nicht warum? Lesen Sie, was Arkuskosinus ist. Wenn sich außerdem auf der rechten Seite der ursprünglichen Gleichung Tabellenwerte von Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens befinden, - 1; 0; √3; 1/2; √3/2 usw. - Die Antwort durch die Bögen wird unvollendet sein. Bögen müssen in Bogenmaß umgerechnet werden.
Und wenn Sie auf Ungleichheit stoßen, z
dann lautet die Antwort:
x πn, n ∈ Z
Es gibt seltenen Unsinn, ja...) Hier müssen Sie trigonometrischer Kreis entscheiden. Was wir im entsprechenden Thema tun werden.
Für diejenigen, die diese Zeilen heldenhaft vorlesen. Ich kann einfach nicht anders, als Ihre gigantischen Bemühungen zu schätzen. Bonus für Sie.)
Bonus:
Beim Aufschreiben von Formeln in einer alarmierenden Kampfsituation sind selbst erfahrene Nerds oft verwirrt darüber, wo πn, und wo 2π n. Hier ist ein einfacher Trick für Sie. In alle Formeln wert πn. Bis auf die einzige Formel mit Arkuskosinus. Es steht da 2πn. Zwei peen. Stichwort - zwei. In derselben Formel gibt es zwei am Anfang unterschreiben. Plus und Minus. Hier und da - zwei.
Also wenn du geschrieben hast zwei Wenn Sie das Vorzeichen vor dem Arkuskosinus eingeben, können Sie sich leichter merken, was am Ende passieren wird zwei peen. Und umgekehrt passiert es auch. Die Person wird das Zeichen übersehen ± , kommt zum Ende, schreibt richtig zwei Pien, und er wird zur Besinnung kommen. Es liegt etwas vor uns zwei Zeichen! Die Person wird zum Anfang zurückkehren und den Fehler korrigieren! So.)
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Sie können sich mit Funktionen und Ableitungen vertraut machen.
Trigonometrische Gleichungen sind kein einfaches Thema. Sie sind zu vielfältig.) Zum Beispiel diese:
sin 2 x + cos3x = ctg5x
sin(5x+π /4) = cot(2x-π /3)
sinx + cos2x + tg3x = ctg4x
Und dergleichen...
Aber diese (und alle anderen) trigonometrischen Monster haben zwei gemeinsame und obligatorische Merkmale. Erstens – Sie werden es nicht glauben – es gibt trigonometrische Funktionen in den Gleichungen.) Zweitens: Es werden alle Ausdrücke mit x gefunden innerhalb derselben Funktionen. Und nur dort! Wenn X irgendwo auftaucht draußen, Zum Beispiel, sin2x + 3x = 3, Dies wird bereits eine Gleichung gemischten Typs sein. Solche Gleichungen erfordern eine individuelle Herangehensweise. Wir werden sie hier nicht berücksichtigen.
Wir werden in dieser Lektion auch keine bösen Gleichungen lösen.) Hier werden wir uns damit befassen die einfachsten trigonometrischen Gleichungen. Warum? Ja, weil die Lösung beliebig trigonometrische Gleichungen bestehen aus zwei Phasen. Im ersten Schritt wird die böse Gleichung durch verschiedene Transformationen auf eine einfache reduziert. Im zweiten Schritt wird diese einfachste Gleichung gelöst. Kein anderer Weg.
Wenn Sie also auf der zweiten Stufe Probleme haben, macht die erste Stufe wenig Sinn.)
Wie sehen elementare trigonometrische Gleichungen aus?
sinx = a
cosx = a
tgx = a
ctgx = a
Hier A steht für eine beliebige Zahl. Beliebig.
Übrigens gibt es innerhalb einer Funktion möglicherweise kein reines X, sondern eine Art Ausdruck, wie zum Beispiel:
cos(3x+π /3) = 1/2
und dergleichen. Dies erschwert das Leben, hat jedoch keinen Einfluss auf die Methode zur Lösung einer trigonometrischen Gleichung.
Wie löst man trigonometrische Gleichungen?
Trigonometrische Gleichungen können auf zwei Arten gelöst werden. Der erste Weg: die Verwendung von Logik und dem trigonometrischen Kreis. Wir werden uns diesen Weg hier ansehen. Der zweite Weg – die Verwendung von Gedächtnis und Formeln – wird in der nächsten Lektion besprochen.
Der erste Weg ist klar, zuverlässig und schwer zu vergessen.) Er eignet sich gut zum Lösen trigonometrischer Gleichungen, Ungleichungen und aller möglichen kniffligen, nicht standardmäßigen Beispiele. Logik ist stärker als Gedächtnis!)
Gleichungen mit einem trigonometrischen Kreis lösen.
Wir beinhalten elementare Logik und die Fähigkeit, den trigonometrischen Kreis zu verwenden. Weißt du nicht wie? Allerdings... Sie werden es in der Trigonometrie schwer haben...) Aber das spielt keine Rolle. Schauen Sie sich die Lektionen „Trigonometrischer Kreis...... Was ist das?“ an. und „Messen von Winkeln auf einem trigonometrischen Kreis.“ Da ist alles einfach. Im Gegensatz zu Lehrbüchern...)
Oh du weißt!? Und sogar „Praktisches Arbeiten mit dem trigonometrischen Kreis“ gemeistert!? Glückwunsch. Dieses Thema wird für Sie nah und verständlich sein.) Besonders erfreulich ist, dass es dem trigonometrischen Kreis egal ist, welche Gleichung Sie lösen. Sinus, Cosinus, Tangens, Kotangens – bei ihm ist alles gleich. Es gibt nur ein Lösungsprinzip.
Wir nehmen also eine beliebige elementare trigonometrische Gleichung. Zumindest das hier:
cosx = 0,5
Wir müssen X finden. Sie müssen in menschlicher Sprache sprechen Finden Sie den Winkel (x), dessen Kosinus 0,5 beträgt.
Wie haben wir den Kreis bisher genutzt? Wir haben einen Winkel darauf gezeichnet. In Grad oder Bogenmaß. Und zwar sofort gesehen trigonometrische Funktionen dieses Winkels. Jetzt machen wir das Gegenteil. Zeichnen wir auf dem Kreis einen Kosinus von 0,5 und sofort wir werden sehen Ecke. Es bleibt nur noch, die Antwort aufzuschreiben.) Ja, ja!
Zeichnen Sie einen Kreis und markieren Sie den Kosinus mit 0,5. Natürlich auf der Kosinusachse. So:
Zeichnen wir nun den Winkel, den uns dieser Kosinus gibt. Bewegen Sie Ihre Maus über das Bild (oder berühren Sie das Bild auf Ihrem Tablet) und du wirst sehen genau diese Ecke X.
Der Kosinus welchen Winkels beträgt 0,5?
x = π /3
cos 60°= cos( π /3) = 0,5
Manche Leute werden skeptisch lachen, ja... Hat es sich gelohnt, einen Kreis zu bilden, wenn schon alles klar ist... Man kann natürlich kichern...) Aber Tatsache ist, dass dies eine falsche Antwort ist. Oder besser: unzureichend. Kreiskenner wissen, dass es hier eine ganze Reihe anderer Winkel gibt, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben.
Wenn Sie die bewegliche Seite OA drehen Volle Umdrehung, Punkt A kehrt in seine ursprüngliche Position zurück. Mit dem gleichen Kosinus gleich 0,5. Diese. Der Winkel wird sich ändern um 360° oder 2π Bogenmaß, und Kosinus - nein. Der neue Winkel 60° + 360° = 420° wird auch eine Lösung unserer Gleichung sein, weil
Solche vollständigen Revolutionen können durchgeführt werden unendliche Menge... Und all diese neuen Winkel werden Lösungen für unsere trigonometrische Gleichung sein. Und sie alle müssen als Antwort irgendwie niedergeschrieben werden. Alle. Ansonsten zählt die Entscheidung nicht, ja...)
Die Mathematik kann dies einfach und elegant tun. Schreiben Sie eine kurze Antwort auf unendliche Menge Entscheidungen. So sieht es für unsere Gleichung aus:
x = π /3 + 2π n, n ∈ Z
Ich werde es entziffern. Schreibe immer noch sinnvoll Das ist doch angenehmer, als dummerweise ein paar geheimnisvolle Buchstaben zu zeichnen, oder?)
π /3 - Das ist die gleiche Ecke wie wir gesehen auf dem Kreis und bestimmt nach der Kosinustabelle.
2π ist eine komplette Umdrehung im Bogenmaß.
N - das ist die Anzahl der vollständigen, d.h. ganz U/min Es ist klar, dass N kann gleich 0, ±1, ±2, ±3 usw. sein. Wie aus dem kurzen Eintrag hervorgeht:
n ∈ Z
N gehört ( ∈ ) Menge von ganzen Zahlen ( Z ). Übrigens statt des Briefes N Es können durchaus Buchstaben verwendet werden k, m, t usw.
Diese Notation bedeutet, dass Sie jede ganze Zahl annehmen können N . Mindestens -3, mindestens 0, mindestens +55. Was immer du willst. Wenn Sie diese Zahl in die Antwort einsetzen, erhalten Sie einen bestimmten Winkel, der definitiv die Lösung unserer harten Gleichung sein wird.)
Oder mit anderen Worten: x = π /3 ist die einzige Wurzel einer unendlichen Menge. Um alle anderen Wurzeln zu erhalten, reicht es aus, eine beliebige Anzahl voller Umdrehungen zu π /3 zu addieren ( N ) im Bogenmaß. Diese. 2πn Bogenmaß.
Alle? Nein. Ich verlängere das Vergnügen bewusst. Zur besseren Erinnerung.) Wir haben nur einen Teil der Antworten auf unsere Gleichung erhalten. Ich werde diesen ersten Teil der Lösung folgendermaßen schreiben:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 1 - nicht nur eine Wurzel, sondern eine ganze Reihe von Wurzeln, in Kurzform niedergeschrieben.
Es gibt aber auch Winkel, die ebenfalls einen Kosinus von 0,5 ergeben!
Kehren wir zu unserem Bild zurück, von dem wir die Antwort aufgeschrieben haben. Da ist sie:
Bewegen Sie Ihre Maus über das Bild und wir sehen ein anderer Blickwinkel ergibt auch einen Kosinus von 0,5. Was ist Ihrer Meinung nach gleichwertig? Die Dreiecke sind gleich... Ja! Es ist gleich dem Winkel X , nur in negativer Richtung verzögert. Das ist die Ecke -X. Aber wir haben x bereits berechnet. π /3 oder 60°. Daher können wir sicher schreiben:
x 2 = - π /3
Nun, natürlich addieren wir alle Winkel, die sich durch volle Umdrehungen ergeben:
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Das ist jetzt alles.) Auf dem trigonometrischen Kreis wir gesehen(Wer versteht das natürlich)) Alle Winkel, die einen Kosinus von 0,5 ergeben. Und schrieb diese Aspekte kurz auf mathematische Form. Die Antwort ergab zwei unendliche Reihen von Wurzeln:
x 1 = π /3 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = - π /3 + 2π n, n ∈ Z
Das ist die richtige Antwort.
Hoffnung, allgemeines Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen Die Verwendung eines Kreises ist klar. Wir markieren auf dem Kreis den Kosinus (Sinus, Tangens, Kotangens) von gegebene Gleichung, zeichne die entsprechenden Winkel ein und schreibe die Antwort auf. Natürlich müssen wir herausfinden, in welchen Ecken wir uns befinden gesehen auf dem Kreis. Manchmal ist es nicht so offensichtlich. Nun ja, ich habe gesagt, dass hier Logik gefragt ist.)
Schauen wir uns zum Beispiel eine andere trigonometrische Gleichung an:
Bitte bedenken Sie, dass die Zahl 0,5 nicht die einzig mögliche Zahl in Gleichungen ist!) Es ist für mich einfach bequemer, sie zu schreiben als Wurzeln und Brüche.
Wir arbeiten nach dem allgemeinen Prinzip. Wir zeichnen einen Kreis und markieren (natürlich auf der Sinusachse!) 0,5. Wir zeichnen alle diesem Sinus entsprechenden Winkel auf einmal ein. Wir erhalten dieses Bild:
Befassen wir uns zunächst mit dem Winkel X im ersten Viertel. Wir erinnern uns an die Sinustabelle und bestimmen den Wert dieses Winkels. Es ist eine einfache Sache:
x = π /6
Wir erinnern uns an volle Runden und schreiben guten Gewissens die erste Reihe von Antworten auf:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
Die Hälfte der Arbeit ist erledigt. Aber jetzt müssen wir feststellen zweite Ecke... Es ist schwieriger als die Verwendung von Kosinuswerten, ja ... Aber die Logik wird uns retten! So bestimmen Sie den zweiten Winkel durch x? Ja, einfach! Die Dreiecke im Bild sind gleich und die rote Ecke X gleich Winkel X . Nur wird vom Winkel π aus in negativer Richtung gezählt. Deshalb ist es rot.) Und für die Antwort benötigen wir einen korrekt gemessenen Winkel von der positiven Halbachse OX, also aus einem Winkel von 0 Grad.
Wir bewegen den Cursor über die Zeichnung und sehen alles. Die erste Ecke habe ich entfernt, um das Bild nicht zu verkomplizieren. Der Winkel, der uns interessiert (grün dargestellt), ist gleich:
π - x
X wir wissen das π /6 . Daher wird der zweite Winkel sein:
π - π /6 = 5π /6
Erinnern wir uns noch einmal an das Hinzufügen vollständiger Umdrehungen und schreiben die zweite Reihe von Antworten auf:
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Das ist alles. Eine vollständige Antwort besteht aus zwei Reihen von Wurzeln:
x 1 = π /6 + 2π n, n ∈ Z
x 2 = 5π /6 + 2π n, n ∈ Z
Tangenten- und Kotangensgleichungen lassen sich leicht lösen, indem man dasselbe allgemeine Prinzip zur Lösung trigonometrischer Gleichungen verwendet. Wenn Sie natürlich wissen, wie man Tangens und Kotangens auf einem trigonometrischen Kreis zeichnet.
In den obigen Beispielen habe ich den Tabellenwert von Sinus und Cosinus verwendet: 0,5. Diese. eine dieser Bedeutungen, die der Schüler kennt muss. Erweitern wir nun unsere Fähigkeiten auf alle anderen Werte. Entscheide, also entscheide!)
Nehmen wir also an, wir müssen diese trigonometrische Gleichung lösen:
In den kurzen Tabellen gibt es keinen solchen Kosinuswert. Wir ignorieren das kaltblütig gruselige Tatsache. Zeichnen Sie einen Kreis, markieren Sie 2/3 auf der Kosinusachse und zeichnen Sie die entsprechenden Winkel ein. Wir bekommen dieses Bild.
Schauen wir uns zunächst den Blickwinkel im ersten Viertel an. Wenn wir nur wüssten, was x ist, würden wir die Antwort sofort aufschreiben! Wir wissen es nicht... Scheitern!? Ruhig! Die Mathematik bringt ihre eigenen Leute nicht in Schwierigkeiten! Sie hat sich für diesen Fall Arkuskosinusse ausgedacht. Weiß nicht? Vergeblich. Finden Sie es heraus. Es ist viel einfacher als Sie denken. In diesem Link gibt es keinen einzigen kniffligen Zauberspruch zum Thema „inverse trigonometrische Funktionen“ ... Das ist in diesem Thema überflüssig.
Wenn Sie sich auskennen, sagen Sie sich einfach: „X ist ein Winkel, dessen Kosinus gleich 2/3 ist.“ Und sofort können wir, rein durch die Definition des Arkuskosinus, schreiben:
Wir erinnern uns an die zusätzlichen Umdrehungen und schreiben in aller Ruhe die erste Reihe von Wurzeln unserer trigonometrischen Gleichung auf:
x 1 = arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Die zweite Wurzelreihe für den zweiten Winkel wird fast automatisch notiert. Alles ist gleich, nur X (arccos 2/3) wird mit einem Minus versehen:
x 2 = - arccos 2/3 + 2π n, n ∈ Z
Und das ist es! Das ist die richtige Antwort. Noch einfacher als mit Tabellenwerten. Es ist nicht nötig, sich etwas zu merken.) Den aufmerksamsten wird übrigens auffallen, dass dieses Bild die Lösung durch den Arkuskosinus zeigt im Wesentlichen nicht anders als das Bild für cos-Gleichungen x = 0,5.
Genau so! Allgemeines Prinzip Deshalb ist es üblich! Ich habe bewusst zwei nahezu identische Bilder gezeichnet. Der Kreis zeigt uns den Winkel X durch seinen Kosinus. Ob es sich um einen Tafelkosinus handelt oder nicht, ist jedem unbekannt. Was das für ein Winkel ist, π /3, oder was der Arkuskosinus ist – das müssen wir entscheiden.
Gleiches Lied mit Sinus. Zum Beispiel:
Zeichnen Sie erneut einen Kreis, markieren Sie den Sinus gleich 1/3 und zeichnen Sie die Winkel. Dies ist das Bild, das wir bekommen:
Und wieder ist das Bild fast das gleiche wie bei der Gleichung sinx = 0,5. Wieder beginnen wir im ersten Viertel aus der Ecke. Was ist X gleich, wenn sein Sinus 1/3 beträgt? Kein Problem!
Nun ist die erste Packung Wurzeln fertig:
x 1 = arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Befassen wir uns mit dem zweiten Blickwinkel. Im Beispiel mit einem Tabellenwert von 0,5 war es gleich:
π - x
Auch hier wird es genau so sein! Nur x ist unterschiedlich, Arcsin 1/3. Na und!? Sie können das zweite Wurzelpaket sicher aufschreiben:
x 2 = π - arcsin 1/3 + 2π n, n ∈ Z
Das ist eine völlig richtige Antwort. Obwohl es nicht sehr bekannt vorkommt. Aber es ist klar, hoffe ich.)
So werden trigonometrische Gleichungen mithilfe eines Kreises gelöst. Dieser Weg ist klar und verständlich. Er ist es, der in trigonometrischen Gleichungen mit der Auswahl von Wurzeln in einem bestimmten Intervall speichert trigonometrische Ungleichungen- diese werden grundsätzlich fast immer im Kreis gelöst. Kurz gesagt, bei allen Aufgaben, die etwas schwieriger sind als Standardaufgaben.
Lassen Sie uns das Wissen in der Praxis anwenden?)
Lösen Sie trigonometrische Gleichungen:
Erstens einfacher, direkt aus dieser Lektion.
Jetzt ist es komplizierter.
Hinweis: Hier müssen Sie über den Kreis nachdenken. Persönlich.)
Und jetzt sind sie äußerlich einfach... Sie werden auch Sonderfälle genannt.
sinx = 0
sinx = 1
cosx = 0
cosx = -1
Hinweis: Hier müssen Sie im Kreis herausfinden, wo es zwei Antwortreihen und wo eine gibt ... Und wie Sie eine statt zwei Antwortreihen schreiben. Ja, damit keine einzige Wurzel aus einer unendlichen Zahl verloren geht!)
Na ja, ganz einfach):
sinx = 0,3
cosx = π
tgx = 1,2
ctgx = 3,7
Hinweis: Hier müssen Sie wissen, was Arkussinus und Arkuskosinus sind? Was ist Arcustangens, Arkuskotangens? Am meisten einfache Definitionen. Sie müssen sich aber keine Tabellenwerte merken!)
Die Antworten sind natürlich ein Durcheinander):
x 1= arcsin0,3 + 2π n, n ∈ Z
x 2= π - arcsin0,3 + 2
Es klappt nicht alles? Das passiert. Lesen Sie die Lektion noch einmal. Nur nachdenklich(Es gibt so ein veraltetes Wort...) Und folgen Sie den Links. Die Hauptlinks beziehen sich auf den Kreis. Ohne sie ist die Trigonometrie so, als würde man mit verbundenen Augen über die Straße gehen. Manchmal funktioniert es.)
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Gleichheit, die das Unbekannte unter dem Zeichen enthält Trigonometrische Funktion(„sin x, cos x, tan x“ oder „ctg x“) wird als trigonometrische Gleichung bezeichnet, und ihre Formeln werden wir weiter betrachten.
Die einfachsten Gleichungen sind „sin x=a, cos x=a, tg x=a, ctg x=a“, wobei „x“ der zu findende Winkel und „a“ eine beliebige Zahl ist. Schreiben wir die Grundformeln für jede von ihnen auf.
1. Gleichung „sin x=a“.
Für `|a|>1` gibt es keine Lösungen.
Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.
Wurzelformel: `x=(-1)^n arcsin a + \pi n, n \in Z`
2. Gleichung „cos x=a“.
Für „|a|>1“ – wie im Fall des Sinus – gibt es keine Lösungen unter reellen Zahlen.
Wenn `|a| \leq 1` hat unendlich viele Lösungen.
Wurzelformel: `x=\pm arccos a + 2\pi n, n \in Z`
Sonderfälle für Sinus und Cosinus in Diagrammen. 
3. Gleichung „tg x=a“.
Hat unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.
Wurzelformel: `x=arctg a + \pi n, n \in Z`
4. Gleichung „ctg x=a“.
Es gibt auch unendlich viele Lösungen für alle Werte von „a“.
Wurzelformel: `x=arcctg a + \pi n, n \in Z`
Formeln für die Wurzeln trigonometrischer Gleichungen in der Tabelle
Für Sinus: 
Für Kosinus: 
Für Tangens und Kotangens: 
Formeln zum Lösen von Gleichungen mit inversen trigonometrischen Funktionen:
Methoden zur Lösung trigonometrischer Gleichungen
Das Lösen einer trigonometrischen Gleichung besteht aus zwei Schritten:
- mit Hilfe der Umwandlung in das Einfachste;
- Lösen Sie die einfachste Gleichung, die Sie mit den oben beschriebenen Wurzelformeln und Tabellen erhalten haben.
Schauen wir uns die wichtigsten Lösungsmethoden anhand von Beispielen an.
Algebraische Methode.
Bei dieser Methode wird eine Variable ersetzt und durch eine Gleichheit ersetzt.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2cos^2(x+\frac \pi 6)-3sin(\frac \pi 3 - x)+1=0“.
`2cos^2(x+\frac \pi 6)-3cos(x+\frac \pi 6)+1=0`,
Ersetzen Sie: `cos(x+\frac \pi 6)=y`, dann `2y^2-3y+1=0`,
Wir finden die Wurzeln: `y_1=1, y_2=1/2`, woraus zwei Fälle folgen:
1. `cos(x+\frac \pi 6)=1`, `x+\frac \pi 6=2\pi n`, `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`.
2. `cos(x+\frac \pi 6)=1/2`, `x+\frac \pi 6=\pm arccos 1/2+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3- \frac \pi 6+2\pi n`.
Antwort: `x_1=-\frac \pi 6+2\pi n`, `x_2=\pm \frac \pi 3-\frac \pi 6+2\pi n`.
Faktorisierung.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „sin x+cos x=1“.
Lösung. Verschieben wir alle Terme der Gleichheit nach links: „sin x+cos x-1=0“. Mit transformieren und faktorisieren wir die linke Seite:
„sin x — 2sin^2 x/2=0“,
`2sin x/2 cos x/2-2sin^2 x/2=0`,
`2sin x/2 (cos x/2-sin x/2)=0`,
- `sin x/2 =0`, `x/2 =\pi n`, `x_1=2\pi n`.
- `cos x/2-sin x/2=0`, `tg x/2=1`, `x/2=arctg 1+ \pi n`, `x/2=\pi/4+ \pi n` , `x_2=\pi/2+ 2\pi n`.
Antwort: „x_1=2\pi n“, „x_2=\pi/2+ 2\pi n“.
Reduktion auf eine homogene Gleichung
Zuerst müssen Sie diese trigonometrische Gleichung auf eine von zwei Formen reduzieren:
„a sin x+b cos x=0“ (homogene Gleichung ersten Grades) oder „a sin^2 x + b sin x cos x +c cos^2 x=0“ (homogene Gleichung zweiten Grades).
Teilen Sie dann beide Teile durch „cos x \ne 0“ – für den ersten Fall, und durch „cos^2 x \ne 0“ – für den zweiten. Wir erhalten Gleichungen für „tg x“: „a tg x+b=0“ und „a tg^2 x + b tg x +c =0“, die mit bekannten Methoden gelöst werden müssen.
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „2 sin^2 x+sin x cos x - cos^2 x=1“.
Lösung. Schreiben wir die rechte Seite als „1=sin^2 x+cos^2 x“:
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x=` `sin^2 x+cos^2 x`,
`2 sin^2 x+sin x cos x — cos^2 x -` ` sin^2 x — cos^2 x=0`
`sin^2 x+sin x cos x — 2 cos^2 x=0`.
Dies ist eine homogene trigonometrische Gleichung zweiten Grades, wir teilen ihre linke und rechte Seite durch „cos^2 x \ne 0“, wir erhalten:
`\frac (sin^2 x)(cos^2 x)+\frac(sin x cos x)(cos^2 x) — \frac(2 cos^2 x)(cos^2 x)=0`
`tg^2 x+tg x — 2=0`. Lassen Sie uns den Ersatz „tg x=t“ einführen, was zu „t^2 + t - 2=0“ führt. Die Wurzeln dieser Gleichung sind „t_1=-2“ und „t_2=1“. Dann:
- `tg x=-2`, `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`
- `tg x=1`, `x=arctg 1+\pi n`, `x_2=\pi/4+\pi n`, ` n \in Z`.
Antwort. `x_1=arctg (-2)+\pi n`, `n \in Z`, `x_2=\pi/4+\pi n`, `n \in Z`.
Übergang zum Halbwinkel
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „11 sin x – 2 cos x = 10“.
Lösung. Wenden wir die Formeln an Doppelwinkel, was zu: `22 sin (x/2) cos (x/2) -` `2 cos^2 x/2 + 2 sin^2 x/2=` `10 sin^2 x/2+10 cos^ führt 2 x/2`
`4 tg^2 x/2 — 11 tg x/2 +6=0`
Anwendung des oben Gesagten algebraische Methode, wir bekommen:
- `tg x/2=2`, `x_1=2 arctg 2+2\pi n`, `n \in Z`,
- `tg x/2=3/4`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Antwort. `x_1=2 arctg 2+2\pi n, n \in Z`, `x_2=arctg 3/4+2\pi n`, `n \in Z`.
Einführung des Hilfswinkels
In der trigonometrischen Gleichung „a sin x + b cos x =c“, wobei a,b,c Koeffizienten sind und x eine Variable ist, dividieren Sie beide Seiten durch „sqrt (a^2+b^2)“:
`\frac a(sqrt (a^2+b^2)) sin x +` `\frac b(sqrt (a^2+b^2)) cos x =` `\frac c(sqrt (a^2 ) +b^2))`.
Die Koeffizienten auf der linken Seite haben die Eigenschaften von Sinus und Cosinus, nämlich dass die Summe ihrer Quadrate gleich 1 ist und ihre Module nicht größer als 1 sind. Bezeichnen wir sie wie folgt: `\frac a(sqrt (a^2 +b^2))=cos \varphi` , ` \frac b(sqrt (a^2+b^2)) =sin \varphi`, `\frac c(sqrt (a^2+b^2)) =C`, dann:
`cos \varphi sin x + sin \varphi cos x =C`.
Schauen wir uns das folgende Beispiel genauer an:
Beispiel. Lösen Sie die Gleichung: „3 sin x+4 cos x=2“.
Lösung. Teilen Sie beide Seiten der Gleichheit durch „sqrt (3^2+4^2)“, wir erhalten:
`\frac (3 sin x) (sqrt (3^2+4^2))+` `\frac(4 cos x)(sqrt (3^2+4^2))=` `\frac 2(sqrt (3^2+4^2))`
„3/5 sin x+4/5 cos x=2/5“.
Bezeichnen wir „3/5 = cos \varphi“, „4/5=sin \varphi“. Da „sin \varphi>0“, „cos \varphi>0“, dann nehmen wir „\varphi=arcsin 4/5“ als Hilfswinkel. Dann schreiben wir unsere Gleichheit in der Form:
`cos \varphi sin x+sin \varphi cos x=2/5`
Wenn wir die Formel für die Winkelsumme für den Sinus anwenden, schreiben wir unsere Gleichheit in der folgenden Form:
`sin (x+\varphi)=2/5`,
`x+\varphi=(-1)^n arcsin 2/5+ \pi n`, `n \in Z`,
`x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Antwort. `x=(-1)^n arcsin 2/5-` `arcsin 4/5+ \pi n`, `n \in Z`.
Bruchrationale trigonometrische Gleichungen
Dabei handelt es sich um Gleichungen mit Brüchen, deren Zähler und Nenner trigonometrische Funktionen enthalten.
Beispiel. Löse die Gleichung. `\frac (sin x)(1+cos x)=1-cos x`.
Lösung. Multiplizieren und dividieren Sie die rechte Seite der Gleichheit durch „(1+cos x)“. Als Ergebnis erhalten wir:
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac ((1-cos x)(1+cos x))(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (1-cos^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)=` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)`
`\frac (sin x)(1+cos x)-` `\frac (sin^2 x)(1+cos x)=0`
`\frac (sin x-sin^2 x)(1+cos x)=0`
Wenn man bedenkt, dass der Nenner nicht gleich Null sein kann, erhalten wir „1+cos x \ne 0“, „cos x \ne -1“, „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“.
Setzen wir den Zähler des Bruchs mit Null gleich: „sin x-sin^2 x=0“, „sin x(1-sin x)=0“. Dann ist „sin x=0“ oder „1-sin x=0“.
- `sin x=0`, `x=\pi n`, `n \in Z`
- `1-sin x=0`, `sin x=-1`, `x=\pi /2+2\pi n, n \in Z`.
Vorausgesetzt, dass „x \ne \pi+2\pi n, n \in Z“, sind die Lösungen „x=2\pi n, n \in Z“ und „x=\pi /2+2\pi n“. , `n \in Z`.
Antwort. `x=2\pi n`, `n \in Z`, `x=\pi /2+2\pi n`, `n \in Z`.
Trigonometrie und insbesondere trigonometrische Gleichungen werden in fast allen Bereichen der Geometrie, Physik und Technik verwendet. Das Studium beginnt in der 10. Klasse, es gibt immer Aufgaben für das Einheitliche Staatsexamen, also versuchen Sie, sich alle Formeln der trigonometrischen Gleichungen zu merken – sie werden Ihnen auf jeden Fall nützlich sein!
Sie müssen sie jedoch nicht einmal auswendig lernen, die Hauptsache ist, das Wesentliche zu verstehen und daraus ableiten zu können. Es ist nicht so schwierig, wie es scheint. Überzeugen Sie sich selbst, indem Sie sich das Video ansehen.
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Nachfolgend finden Sie einige Beispiele für die Arten personenbezogener Daten, die wir möglicherweise sammeln, und wie wir diese Informationen verwenden können.
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Die einfachsten trigonometrischen Gleichungen sind die Gleichungen
Cos (x) = a, sin (x) = a, tg (x) = a, ctg (x) =a
Gleichung cos(x) = a
Erklärung und Begründung
- Die Wurzeln der Gleichung cosx = a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | cosx |< 1 для любого x (прямая y = а при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функцииy = cosx).
Lass | ein |< 1. Тогда прямая у = а пересекает график функции
y = cos x. Auf dem Intervall nimmt die Funktion y = cos x von 1 auf -1 ab. Aber eine abnehmende Funktion nimmt jeden ihrer Werte nur an einem Punkt ihres Definitionsbereichs an, daher hat die Gleichung cos x = a nur eine Wurzel in diesem Intervall, die per Definition des Arkuskosinus gleich ist: x 1 = arccos a (und für diesen Wurzelcos x = A).
Kosinus - gleiche Funktion, daher auf dem Intervall [-n; 0] die Gleichung cos x = und hat auch nur eine Wurzel – die Zahl gegenüber x 1, also
x 2 = -arccos a.
Somit ist im Intervall [-n; p] (Länge 2p) Gleichung cos x = a mit | ein |< 1 имеет только корни x = ±arccos а.
Die Funktion y = cos x ist periodisch mit einer Periode von 2n, daher unterscheiden sich alle anderen Wurzeln von denen, die um 2n (n € Z) gefunden werden. Wir erhalten die folgende Formel für die Wurzeln der Gleichung cos x = a wenn
x = ±arccos a + 2pp, n £ Z.
- Sonderfälle der Lösung der Gleichung cosx = a.
Es ist nützlich, sich spezielle Notationen für die Wurzeln der Gleichung cos x = a zu merken, wenn
a = 0, a = -1, a = 1, was leicht unter Verwendung des Einheitskreises als Referenz ermittelt werden kann.
Da der Kosinus gleich der Abszisse des entsprechenden Punktes ist Einheitskreis, erhalten wir, dass cos x = 0 genau dann ist, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt A oder Punkt B ist.
Ebenso gilt cos x = 1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt C ist, also
x = 2πп, k € Z.
Auch cos x = -1 genau dann, wenn der entsprechende Punkt des Einheitskreises Punkt D ist, also x = n + 2n,
Gleichung sin(x) = a
Erklärung und Begründung
- Wurzeln Sinx-Gleichungen= a. Wann | ein | > 1 hat die Gleichung keine Wurzeln, da | sinx |< 1 для любого x (прямая y = а на рисунке при а >1 oder bei a< -1 не пересекает график функции y = sinx).
