Euler umkreist Lösungsbeispiele. Beziehungen zwischen Konzepten. Euler-Kreise. Neues Material lernen

Wenn Sie denken, dass Sie nichts über Euler-Kreise wissen, liegen Sie falsch. Tatsächlich sind Sie ihnen wahrscheinlich schon mehr als einmal begegnet, Sie wussten nur nicht, wie sie heißen. Wo genau? Schemata in Form von Euler-Kreisen bildeten die Grundlage vieler beliebter Internet-Memes (online verbreitete Bilder zu einem bestimmten Thema).

Lassen Sie uns gemeinsam herausfinden, was das für Kreise sind, warum sie so heißen und warum sie so praktisch sind, um viele Probleme zu lösen.

Ursprung des Begriffs

ist ein geometrisches Diagramm, das hilft, logische Zusammenhänge zwischen Phänomenen und Konzepten zu finden und/oder klarer zu machen. Es hilft auch, die Beziehung zwischen einer Menge und ihrem Teil darzustellen.

Es ist noch nicht ganz klar, oder? Guck auf dieses Bild:

Das Bild zeigt eine Vielzahl aller möglichen Spielzeuge. Bei einigen Spielzeugen handelt es sich um Baukästen – sie sind in einem separaten Oval hervorgehoben. Dies ist Teil einer großen Reihe von „Spielzeugen“ und gleichzeitig ein separates Set (schließlich kann es sich bei einem Baukasten um „Lego“ oder primitive Baukästen aus Bausteinen für Kinder handeln). Ein Teil der großen Vielfalt an „Spielzeugen“ kann Aufziehspielzeug sein. Sie sind keine Konstrukteure, deshalb zeichnen wir für sie ein separates Oval. Das gelbe ovale „Aufziehauto“ bezieht sich sowohl auf das Set „Spielzeug“ als auch auf das kleinere Set „Aufziehauto“. Daher ist es in beiden Ovalen gleichzeitig abgebildet.

Nun, ist es klarer geworden? Deshalb sind Euler-Kreise eine Methode, die klar zeigt: Es ist besser, einmal zu sehen, als hundertmal zu hören. Sein Vorteil besteht darin, dass Klarheit das Denken vereinfacht und dazu beiträgt, schneller und einfacher eine Antwort zu erhalten.

Der Autor der Methode ist der Wissenschaftler Leonhard Euler (1707-1783). Über die nach ihm benannten Diagramme sagte er: „Kreise sind geeignet, unser Denken zu erleichtern.“ Euler gilt als deutscher, schweizerischer und sogar russischer Mathematiker, Mechaniker und Physiker. Tatsache ist, dass er viele Jahre an der St. Petersburger Akademie der Wissenschaften arbeitete und einen wesentlichen Beitrag zur Entwicklung der russischen Wissenschaft leistete.

Vor ihm ließ sich der deutsche Mathematiker und Philosoph Gottfried Leibniz bei der Konstruktion seiner Schlussfolgerungen von einem ähnlichen Prinzip leiten.

Eulers Methode hat wohlverdiente Anerkennung und Popularität erhalten. Und nach ihm verwendeten viele Wissenschaftler es in ihrer Arbeit und modifizierten es auch auf ihre eigene Weise. Beispielsweise verwendete der tschechische Mathematiker Bernard Bolzano die gleiche Methode, allerdings mit Rechteckkreisen.

Auch der deutsche Mathematiker Ernest Schroeder leistete seinen Beitrag. Aber die Hauptverdienste gehören dem Engländer John Venn. Er war ein Spezialist für Logik und veröffentlichte das Buch „Symbolische Logik“, in dem er seine Version der Methode ausführlich darlegte (er verwendete hauptsächlich Bilder von Schnittpunkten von Mengen).

Dank Venns Beitrag wird die Methode sogar Venn-Diagramme oder Euler-Venn-Diagramme genannt.

Warum werden Eulerkreise benötigt?

Eulerkreise haben einen angewandten Zweck, das heißt, mit ihrer Hilfe werden Probleme im Zusammenhang mit der Vereinigung oder Schnittmenge von Mengen in Mathematik, Logik, Management und mehr in der Praxis gelöst.

Wenn wir über die Arten von Euler-Kreisen sprechen, können wir sie in solche einteilen, die die Vereinheitlichung einiger Konzepte beschreiben (zum Beispiel die Beziehung zwischen Gattung und Art) – wir haben sie anhand eines Beispiels am Anfang des Artikels betrachtet.

Und auch solche, die den Schnittpunkt von Mengen nach einem Merkmal beschreiben. John Venn ließ sich bei seinen Plänen von diesem Prinzip leiten. Und genau das liegt vielen beliebten Memes im Internet zugrunde. Hier ist ein Beispiel für solche Euler-Kreise:

Es ist lustig, nicht wahr? Und das Wichtigste: Alles wird sofort klar. Sie können viele Worte aufwenden, um Ihren Standpunkt zu erläutern, oder Sie können einfach ein einfaches Diagramm zeichnen, das sofort alles an seinen Platz bringt.

Wenn Sie sich übrigens nicht für einen Beruf entscheiden können, zeichnen Sie ein Diagramm in Form von Eulerkreisen. Vielleicht hilft Ihnen eine Zeichnung wie diese bei Ihrer Wahl:

Die Optionen, die am Schnittpunkt aller drei Kreise liegen, sind der Beruf, der Sie nicht nur ernähren, sondern auch erfreuen wird.

Lösen von Problemen mit Euler-Kreisen

Schauen wir uns einige Beispiele für Probleme an, die mit Euler-Kreisen gelöst werden können.

Hier auf dieser Seite - http://logika.vobrazovanie.ru/index.php?link=kr_e.html Elena Sergeevna Sazhenina bietet interessante und einfache Probleme, deren Lösung die Euler-Methode erfordert. Mit Hilfe von Logik und Mathematik werden wir einen von ihnen analysieren.

Problem mit Lieblingscartoons

Sechstklässler füllten einen Fragebogen aus und fragten nach ihren Lieblingscartoons. Es stellte sich heraus, dass die meisten von ihnen „Schneewittchen und die sieben Zwerge“, „SpongeBob“ und „SpongeBob“ mochten. Quadratische Hose" und "Wolf und Kalb". Die Klasse besteht aus 38 Schülern. 21 Schüler mögen Schneewittchen und die sieben Zwerge. Darüber hinaus mögen drei von ihnen auch „Der Wolf und das Kalb“, sechs mögen „SpongeBob Schwammkopf“ und ein Kind mag alle drei Zeichentrickfilme gleichermaßen. „Der Wolf und das Kalb“ hat 13 Fans, von denen fünf im Fragebogen zwei Cartoons nannten. Wir müssen herausfinden, wie viele Sechstklässler SpongeBob Schwammkopf mögen.

Lösung:

Da wir gemäß den Bedingungen des Problems drei Mengen erhalten, zeichnen wir drei Kreise. Und da die Antworten der Jungs zeigen, dass sich die Mengen überschneiden, sieht die Zeichnung so aus:

Wir erinnern uns, dass gemäß den Bedingungen der Aufgabe unter den Fans des Cartoons „Der Wolf und das Kalb“ fünf Jungs zwei Cartoons gleichzeitig ausgewählt haben:

Es stellt sich heraus, dass:

21 – 3 – 6 – 1 = 11 – die Jungs wählten nur „Schneewittchen und die sieben Zwerge“.

13 – 3 – 1 – 2 = 7 – die Jungs schauen sich nur „Der Wolf und das Kalb“ an.

Es bleibt nur herauszufinden, wie viele Sechstklässler den Zeichentrickfilm „SpongeBob Schwammkopf“ den beiden anderen Optionen vorziehen. Von der Gesamtzahl der Schüler ziehen wir alle ab, die die beiden anderen Cartoons lieben oder mehrere Optionen gewählt haben:

38 – (11 + 3 + 1 + 6 + 2 + 7) = 8 – die Leute schauen sich nur „SpongeBob Schwammkopf“ an.

Jetzt können wir alle resultierenden Zahlen sicher addieren und Folgendes herausfinden:

Der Zeichentrickfilm „SpongeBob Schwammkopf“ wurde von 8 + 2 + 1 + 6 = 17 Personen ausgewählt. Dies ist die Antwort auf die im Problem gestellte Frage.

Schauen wir uns auch an Aufgabe, das 2011 ausgestellt wurde Einheitlicher Staatsexamenstest in Informatik und IKT (Quelle - http://eileracrugi.narod.ru/index/0-6).

Bedingungen des Problems:

In der Abfragesprache der Suchmaschinen wird das Symbol „|“ verwendet, um die logische „ODER“-Verknüpfung zu kennzeichnen, und das Symbol „&“ wird für die logische „UND“-Verknüpfung verwendet.

Die Tabelle zeigt die Suchanfragen und die Anzahl der gefundenen Seiten für ein bestimmtes Segment des Internets.

Anfrage	Gefundene Seiten (in Tausend)
Kreuzer \| Schlachtschiff	7000
Kreuzer	4800
Schlachtschiff	4500

Wie viele Seiten (in Tausend) werden für die Suchanfrage gefunden? Kreuzer und Schlachtschiff?

Es wird davon ausgegangen, dass alle Fragen nahezu gleichzeitig ausgeführt werden, sodass sich die Seitenmenge, die alle gesuchten Wörter enthält, während der Ausführung der Abfragen nicht ändert.

Lösung:

Mithilfe von Eulerkreisen stellen wir die Bedingungen des Problems dar. In diesem Fall verwenden wir die Zahlen 1, 2 und 3, um die resultierenden Bereiche zu bezeichnen.

Basierend auf den Bedingungen des Problems erstellen wir die Gleichungen:

Kreuzer | Schlachtschiff: 1 + 2 + 3 = 7000
Kreuzer: 1 + 2 = 4800
Schlachtschiff: 2 + 3 = 4500

Finden Kreuzer und Schlachtschiff(in der Zeichnung als Fläche 2 angegeben), setzen Sie Gleichung (2) in Gleichung (1) ein und finden Sie heraus, dass:

4800 + 3 = 7000, woraus wir 3 = 2200 erhalten.

Jetzt können wir dieses Ergebnis in Gleichung (3) einsetzen und herausfinden, dass:

2 + 2200 = 4500, woraus 2 = 2300.

Antwort: 2300 – die Anzahl der bei der Anfrage gefundenen Seiten Kreuzer und Schlachtschiff.

Wie Sie sehen, helfen Euler-Kreise dabei, auch recht komplexe oder auf den ersten Blick einfach verwirrende Probleme schnell und einfach zu lösen.

Abschluss

Ich denke, es ist uns gelungen, Sie davon zu überzeugen, dass Euler-Kreise nicht nur eine unterhaltsame und interessante Sache sind, sondern auch eine sehr nützliche Methode zur Lösung von Problemen. Und nicht nur abstrakte Probleme Schulunterricht, aber auch ganz viele Alltagsprobleme. Auswahl zukünftiger Beruf, Zum Beispiel.

Sie werden wahrscheinlich auch neugierig sein zu erfahren, dass sich Eulers Kreise in der modernen Populärkultur nicht nur in Form von Memes, sondern auch in beliebten Fernsehserien widerspiegeln. Wie „The Big Bang Theory“ und „4Isla“.

Nutzen Sie dieses nützliche und visuelle Methode Probleme lösen. Und erzählen Sie unbedingt Ihren Freunden und Klassenkameraden davon. Hierfür gibt es unter dem Artikel spezielle Buttons.

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Jedes Objekt oder Phänomen hat bestimmte Eigenschaften (Zeichen).

Es stellt sich heraus, dass die Bildung eines Konzepts über einen Gegenstand in erster Linie die Fähigkeit bedeutet, ihn von anderen ihm ähnlichen Gegenständen zu unterscheiden.

Wir können sagen, dass ein Konzept der mentale Inhalt eines Wortes ist.

Konzept - Es ist eine Denkform, die Objekte in ihren allgemeinsten und wesentlichsten Eigenschaften darstellt.

Ein Konzept ist eine Gedankenform und keine Wortform, da ein Wort nur eine Bezeichnung ist, mit der wir diesen oder jenen Gedanken kennzeichnen.

Wörter können unterschiedlich sein, aber dennoch dasselbe Konzept bedeuten. Auf Russisch – „Bleistift“, auf Englisch – „Bleistift“, auf Deutsch – Bleistift. Der gleiche Gedanke verschiedene Sprachen hat einen anderen verbalen Ausdruck.

BEZIEHUNGEN ZWISCHEN KONZEPTEN. EULER-KREISE.

Begriffe, die in ihrem Inhalt Gemeinsamkeiten aufweisen, werden aufgerufen VERGLEICHBAR(„Anwalt“ und „Stellvertreter“; „Student“ und „Sportler“).

Ansonsten werden die Konzepte berücksichtigt UNVERGLEICHLICH(„Krokodil“ und „Notizbuch“; „Mann“ und „Dampfschiff“).

Wenn Konzepte neben gemeinsamen Merkmalen auch gemeinsame Volumenelemente aufweisen, werden sie aufgerufen KOMPATIBEL.

Es gibt sechs Arten von Beziehungen zwischen vergleichbaren Konzepten. Es ist praktisch, Beziehungen zwischen den Bereichen von Konzepten mithilfe von Euler-Kreisen darzustellen (Kreisdiagramme, bei denen jeder Kreis den Bereich eines Konzepts angibt).

ART DER BEZIEHUNG ZWISCHEN KONZEPTEN	BILD MIT EULER-KREISEN
GLEICHHEIT (IDENTITÄT) Die Geltungsbereiche der Konzepte stimmen völlig überein. Diese. Dabei handelt es sich um inhaltlich unterschiedliche Konzepte, bei denen jedoch an die gleichen Volumenelemente gedacht wird.	1) A – Aristoteles B – Begründer der Logik 2) A – Quadrat B – gleichseitiges Rechteck
UNTERORDNUNG (UNTERORDNUNG) Der Geltungsbereich eines Konzepts geht vollständig in den Geltungsbereich eines anderen ein, erschöpft ihn jedoch nicht.	1) A – Person B – Schüler 2) A – Tier B – Elefant
SCHNITTSTELLE (KREUZUNG) Die Volumina zweier Konzepte stimmen teilweise überein. Das heißt, Konzepte enthalten gemeinsame Elemente, aber auch Elemente, die nur zu einem von ihnen gehören.	1) A – Anwalt B – Stellvertreter 2) A – Student B – Sportler
KOORDINATION (KOORDINATION) Konzepte, die keine gemeinsamen Elemente haben, fallen vollständig in den Geltungsbereich des dritten, umfassenderen Konzepts.	1) A – Tier B – Katze; C – Hund; D – Maus 2) A – Edelmetall B – Gold; C – Silber; D – Platin
GEGENTEIL (KONTRAPARITÄT) Die Konzepte A und B fallen nicht einfach in den Geltungsbereich des dritten Konzepts, sondern scheinen sich an dessen entgegengesetzten Polen zu befinden. Das heißt, Konzept A hat in seinem Inhalt ein solches Merkmal, das in Konzept B durch das Gegenteil ersetzt wird.	1) A – weiße Katze; B – rote Katze (Katzen sind sowohl schwarz als auch grau) 2) A – heißer Tee; Eistee (Tee kann auch warm sein) D.h. Die Konzepte A und B erschöpfen nicht den gesamten Umfang des Konzepts, in dem sie enthalten sind.
WIDERSPRUCH (KONTRADITIONALITÄT) Die Beziehung zwischen Konzepten, von denen einer das Vorhandensein bestimmter Merkmale ausdrückt, und der andere deren Fehlen, das heißt, er leugnet diese Merkmale einfach, ohne sie durch andere zu ersetzen.	1) A – hohes Haus B – niedriges Haus 2) A – gewinnendes Los B – nicht gewinnendes Los D.h. Die Begriffe A und Nicht-A erschöpfen den gesamten Umfang des Begriffs, in den sie einbezogen sind, da zwischen ihnen kein zusätzlicher Begriff platziert werden kann.

Übung : Bestimmen Sie die Art der Beziehung basierend auf dem Umfang der folgenden Konzepte. Zeichnen Sie sie mit Eulerkreisen.

1) A – heißer Tee; B – Eistee; C – Tee mit Zitrone

Heißer Tee (B) und Eistee (C) stehen in einem gegensätzlichen Verhältnis.

Tee mit Zitrone (C) kann entweder heiß sein,

also kalt, aber es kann zum Beispiel auch warm sein.

2)A- Holz; IN- Stein; MIT- Struktur; D- Haus.

Ist jedes Gebäude (C) ein Haus (D)? - Nein.

Ist jedes Haus (D) ein Gebäude (C)? - Ja.

Etwas Hölzernes (A) ist unbedingt ein Haus (D) oder ein Gebäude (C) – Nein.

Aber Sie können eine Holzkonstruktion (zum Beispiel eine Kabine) finden,

Sie können auch ein Holzhaus finden.

Etwas aus Stein (B) ist nicht unbedingt ein Haus (D) oder Gebäude (C).

Aber es kann ein Steingebäude oder ein Steinhaus sein.

3)A- Russische Stadt; IN- Hauptstadt Russlands;

MIT- Moskau; D- Stadt an der Wolga; E- Uglitsch.

Die Hauptstadt Russlands (B) und Moskau (C) sind dieselbe Stadt.

Uglitsch (E) ist eine Stadt an der Wolga (D).

Gleichzeitig sind Moskau, Uglitsch, wie jede Stadt an der Wolga,

Sind Russische Städte(A)

Problem 1.

Jeder der 35 Sechstklässler ist Leser von mindestens einer von zwei Bibliotheken: der Schulbibliothek und der Bezirksbibliothek. Davon entleihen 25 Personen Bücher aus der Schulbibliothek, 20 aus der Kreisbibliothek.

Wie viele Sechstklässler:

1. Sind Leser beider Bibliotheken;
2. keine Leser der Bezirksbibliothek sind;
3. Sind keine Leser der Schulbibliothek;
4. Sind nur Leser der Regionalbibliothek;
5. Gibt es Leser nur in der Schulbibliothek?

Beachten Sie, dass die erste Frage der Schlüssel zum Verständnis und zur Lösung dieses Problems ist. Schließlich versteht man nicht sofort, wie das Ergebnis 20 + 25 = 45 von 35 ist. Die erste Frage gibt einen Hinweis zum Verständnis der Bedingung: Es gibt Studierende, die beide Bibliotheken besuchen. Und wenn der Zustand des Problems in einem Diagramm dargestellt wird, liegt die Antwort auf die erste Frage auf der Hand.

Lösung.

1. 20 + 25 – 35 = 10 (Personen) – sind Leser beider Bibliotheken. Im Diagramm ist dies der gemeinsame Teil der Kreise. Wir haben die einzige uns unbekannte Menge ermittelt. Wenn wir uns nun das Diagramm ansehen, können wir die gestellten Fragen leicht beantworten.

2. 35 – 20 = 15 (Personen) – sind keine Leser der Bezirksbibliothek. (Im Diagramm der linke Teil des linken Kreises)

3. 35 – 25 = 10 (Personen) – sind keine Leser der Schulbibliothek. (Im Diagramm der rechte Teil des rechten Kreises)

4. 35 – 25 = 10 (Personen) – sind nur Leser der Regionalbibliothek. (Im Diagramm der rechte Teil des rechten Kreises)

5. 35 – 20 = 15 (Personen) – sind nur Leser der Schulbibliothek. (Im Diagramm der linke Teil des linken Kreises).

Es ist klar, dass 2 und 5 , und auch 3 und 4 – sind gleichwertig und Die Antworten darauf sind die gleichen .

Bei der Lösung dieses Problems haben wir eine Methode seiner grafischen Darstellung unter Verwendung der sogenannten verwendet Euler-Kreise. Diese Methode wurde von Leonhard Euler vorgeschlagen und wird häufig zur Lösung logischer Probleme verwendet.

Leonard Euler(4(15) April 1707, Basel, Schweiz - 7(18) September 1783, St. Petersburg, Russisches Reich) – Schweizer, Deutsche und Russischer Mathematiker, der maßgeblich zur Entwicklung der Mathematik sowie der Mechanik, Physik, Astronomie und einer Reihe angewandter Wissenschaften beigetragen hat. Einige seiner Nachkommen leben noch immer in Russland.

Schauen wir uns ein anderes Beispiel an.

Aufgabe 2.

Einige der Bewohner unseres Gebäudes abonnieren nur die Zeitung „Komsomolskaja Prawda“, einige nur die Zeitung „Izvestia“ und einige – beide Zeitungen. Wie viel Prozent der Bewohner des Hauses abonnieren beide Zeitungen, wenn 85 % von ihnen die Zeitung „Komsomolskaja Prawda“ und 75 % die Zeitung „Iswestija“ abonnieren?

Lösung.

Hier besteht kein grundsätzlicher Unterschied zur vorherigen Lösung. Ersetzen Sie in der fertigen Zeichnung die Daten: 25 durch 85 % und 20 durch 75 %. Da alle Bewohner des Hauses 100 % ausmachen, ersetzen wir 35 durch 100 % und erhalten eine fertige Lösung: 85 % + 75 % – 100 % = 60 %.

Antwort: 60 % der Einwohner abonnieren beide Zeitungen.

Je komplexer und komplizierter das mit Mengen verbundene logische Problem ist, desto offensichtlicher ist der Effekt der Verwendung von Euler-Kreisen. Erst nach der Erstellung der Zeichnung wird ihre Lösung deutlich.

Aufgabe 3.

Es gibt 70 Kinder in drei siebten Klassen. Davon engagieren sich 27 im Schauspielverein, 32 singen im Chor, 22 sind sportbegeistert. Es gibt 10 Jungs vom Chor im Theaterclub, 6 Athleten im Chor, 8 Athleten im Theaterclub; 3 Athleten besuchen sowohl den Theaterclub als auch den Chor. Wie viele Kinder singen nicht im Chor, interessieren sich nicht für Sport und engagieren sich nicht im Theaterclub? Wie viele Männer treiben nur Sport?

Lösung.

Lassen
D - Theaterclub,
X – Chor,
S – Sport.

Dann
im Kreis D - 27 Jungs,
im Kreis X – 32 Personen,
im Kreis C – 22 Schüler.

Die 10 Jungs aus dem Theaterclub, die im Chor singen, werden im gemeinsamen Teil der Kreise D und X sein. Drei von ihnen sind auch Sportler, sie werden im gemeinsamen Teil aller drei Kreise sein. Die restlichen sieben interessieren sich nicht für Sport. Ebenso 8 – 3 = 5 Sportler, die nicht im Chor singen und 6 – 3 = 3, die nicht im Theaterclub teilnehmen.

Es ist leicht zu erkennen, dass 5 + 3 + 3 = 11 Sportler einen Chor oder Theaterverein besuchen,

22 – (5 + 3 + 3) = 11 treiben nur Sport;

70 – (11 + 12 + 19 + 7 + 3 + 3 + 5) = 10 – singen Sie nicht im Chor, nehmen Sie nicht an einem Theaterclub teil, treiben Sie keinen Sport.

Antwort: 10 Personen und 11 Personen.

Aufgabe 4.

Die Klasse besteht aus 30 Personen. 20 von ihnen nutzen täglich die U-Bahn, 15 den Bus, 23 den Trolleybus, 10 sowohl U-Bahn als auch Trolleybus, 12 sowohl U-Bahn als auch Bus, 9 sowohl Trolleybus als auch Bus. Wie viele Menschen nutzen täglich alle drei Verkehrsmittel?

Lösung.

1 Weg. Zur Lösung verwenden wir wieder Euler-Kreise. Sei x Person nutzt alle drei Verkehrsmittel. Dann genieße es
nur mit U-Bahn und Trolleybus – (10 – x) Personen,
nur mit Bus und Trolleybus – (9 – x) Personen,
nur mit U-Bahn und Bus – (12 – x) Personen.

Lassen Sie uns herausfinden, wie viele Menschen allein die U-Bahn nutzen:
20 – (12 – x) – (10 – x) – x = x – 2.

Ebenso erhalten wir: x – 6 – nur mit dem Bus und x + 4 – nur mit dem Trolleybus, da es nur 30 Personen sind, erstellen wir die Gleichung:
x + (12 – x) + (9 – x) + (10 – x) + (x + 4) + (x – 2) + (x – 6) = 30,
von hier x = 3.

Methode 2. Aber Sie können dieses Problem auch anders lösen: 20 + 15 + 23 – 10 – 12 – 9 + x = 30, 27 + x = 30, x = 3. Hier haben wir die Anzahl der Schüler, die mindestens ein Verkehrsmittel nutzen, addiert und von der resultierenden Zahl die Anzahl derjenigen abgezogen, die zwei oder drei Verkehrsmittel nutzen, und die Summe daher 2-3 Mal eingetragen. Somit haben wir die Anzahl aller Schüler in der Klasse erhalten.

Antwort. 3 Personen nutzen täglich alle drei Verkehrsmittel.

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Eulerkreise sind Figuren, die herkömmlicherweise Mengen darstellen und einige Eigenschaften von Operationen auf Mengen visuell veranschaulichen. In der Literatur werden Euler-Kreise manchmal als Venn-Diagramme (oder Euler-Venn-Diagramme) bezeichnet. Euler-Kreise, die die grundlegenden Operationen auf Mengen veranschaulichen, sind in Abb. dargestellt. 1.2 (die als Ergebnis dieser Operationen erhaltenen Mengen sind schattiert markiert). AR 00 ABV Abb. 1.2 Beispiel 1.8. Unter Verwendung von Eulerkreisen stellen wir zunächst die Gültigkeit der ersten Beziehung fest, die die Verteilungseigenschaft der Vereinigungs- und Schnittoperationen von Mengen ausdrückt. 1.3, und der Kreis, der die Menge A darstellt, ist vertikal schattiert, und die Fläche, die dem Schnittpunkt der Mengen B und C entspricht, ist horizontal schattiert. Infolgedessen ist die Fläche, die die Menge A U (BPS) darstellt, auf die eine oder andere Weise schattiert. In Abb. In Abb. 1.3.5 ist die Fläche, die der Vereinigung der Mengen A und B entspricht, vertikal schattiert und horizontal die Vereinigung der Mengen A und C, so dass in beiden Fällen die Fläche, die die Menge darstellt (A U B) P (A U C) und fällt mit dem Bereich zusammen, der mit einer beliebigen Methode in Abb. schattiert wurde. 1.3,a. Somit ermöglichen Euler-Kreise die Feststellung der Gültigkeit von (1.10). Betrachten Sie nun das zweite Gesetz von De Morgan (1.7), das in Abb. schattiert ist. 1.4, und die Fläche stellt die Menge der LIVs dar, und der unschattierte Teil des Rechtecks Q (außerhalb des schattierten Teils) entspricht der Menge der LIVs. In Abb. 1,4,5 Teile des Rechtecks 12, vertikal und horizontal schattiert, entsprechen A bzw. B. Dann entspricht die Lie-Menge B der Fläche, die auf mindestens eine der angegebenen Arten schattiert ist. Es deckt sich mit dem in Abb. nicht schattierten Bereich. 1.4,a und entsprechend der Menge der LPBs, die die Gültigkeit von (1.11) begründet. Fragen und Aufgaben 1.1. Die Notation m|n, wobei m,n € Z, bedeutet, dass die Zahl m die Zahl n vollständig teilt (dann ist sie ein Teiler von n). Beschreiben Sie die gegebenen Mengen unter der Voraussetzung, dass x € N: 1,2. Beweisen Sie die folgenden Beziehungen und veranschaulichen Sie sie mit Eulerkreisen: . 1.3. Stellen Sie fest, in welcher Beziehung (X C Y, X E Y oder X = Y) die Mengen X und Y stehen, wenn: a Verwenden Sie Euler-Kreise zur Veranschaulichung. 1.4. Sei Aj die Menge der Punkte, die die Seiten eines Dreiecks bilden, das in einen gegebenen Kreis eingeschrieben ist. Beschreiben Sie die Vereinigung und den Durchschnitt aller dieser Mengen, wenn die Dreiecke: a) beliebig sind; b) richtig; c) rechteckig. Finden Sie IK und flAi ieN i en für gegebene Mengenfamilien: 1.6. Geben Sie an, welche der folgenden Beziehungen falsch sind, und erklären Sie, warum: 1. 7. Geben Sie an, welche der Sätze einander gleich sind: . 1.8. Finden Sie die Lie-Mengen B, AG\B, A\B, BA\A und stellen Sie sie auf der Zahlengeraden dar, wenn A = (1,0. Betrachten Sie das Segment als universelle Menge, suchen Sie die Komplemente von und stellen Sie sie auf der Zahlengeraden dar Mengen: . 1.10. Wählen Sie gemäß den Beschreibungen unten Personengruppen für jeden Eintrag Aussagen in der Sprache der Mengen aus passendes Sprichwort oder ein Sprichwort. Wir hoffen, dass wir dadurch noch einmal die Bedeutung von Volkssprüchen analysieren können. Wenn es sich bei Z beispielsweise um eine Gruppe von Personen handelt, die selbst nicht genau wissen, wovon sie sprechen, dann kann der Eintrag x £ Z dem Sprichwort „Er hörte ein Klingeln, weiß aber seitdem nicht, wo es ist.“ ist genau das, was man über eine begabte Person sagt angegebene Eigenschaft(in diesem Fall eine charakteristische Eigenschaft der Menge Z, siehe 1.1). Gruppen von Menschen ft – die universelle Menge aller Menschen, L – freundlich, 5e B – außergewöhnlich, mit großen Fähigkeiten, S – dumm, D – klug, E – auf ihre eigene Weise handeln, nicht auf Ratschläge hören, F – verbunden durch egoistische Beziehungen, G – viel versprechend, I – diejenigen, die ihre Versprechen nicht halten, J – diejenigen, die ihre offizielle Position missbrauchen, K – diejenigen, die zu selbstgefällig, zu selbstgefällig sind, L – diejenigen, die sich in etwas einmischen außer ihrem eigenen Geschäft, M – diejenigen, die unternehmungslustig und geschickt sind, die wissen, wie man sich organisiert, P – diejenigen, die mehrere Dinge gleichzeitig übernehmen, Q – fruchtbar arbeiten, S – Fehler machen, T – sich schuldig fühlen und die Möglichkeit haben der Vergeltung, U – keine Ergebnisse erzielen, V – sich selbst mit ihrem Verhalten verraten, W – kurzsichtig, X – gemeinsam handeln, sich nicht gegenseitig verraten, U – erfahrene, erfahrene Menschen. Aufzeichnen von Aussagen in der Mengensprache heK; xeGnH; xCBCiQ; x£jr\U; xeJ; Saum; heSPE; xCTnV; xEPDU; xGE; x € FnX; xeYnS; xeDOW. Sprichwörter und Sprüche - Gott gibt einer lebhaften Kuh kein Horn. - großes Schiff- tolles Schwimmen. - Freier Wille. - Ein Rabe hackt einer Krähe nicht das Auge aus. - Es gibt kein Gesetz für Narren. - Wenn du zwei Hasen jagst, wirst du keinen fangen. - Die Katze weiß, wessen Fleisch sie gefressen hat. - Cricket kennt dein Nest. - Und die alte Frau kann in Schwierigkeiten geraten. - Das Huhn ist nicht die Tante, das Schwein ist nicht die Schwester. - Wer es wagte, hat es gegessen. - Einfachheit genügt jedem weisen Mann. - Die Meise hat sich einen Namen gemacht, aber das Meer nicht in Brand gesteckt. - Die Welt ist nicht ohne gute Menschen. 1.11. Beweisen Sie die Gültigkeit der Beziehungen (1.2). 1.12. Beweisen Sie die Gültigkeit der zweiten der Beziehungen der Verteilungseigenschaft der Vereinigungs- und Schnittoperationen direkt und durch Widerspruch. 1.13. Mit der Methode der mathematischen Induktion können wir das für jeden beweisen natürliche Zahl n gelten die Ungleichungen n^2n~1 und (l + :r)n ^ 1 + ns, Vs>-1 (Bernoullis Ungleichung). 1.14. Beweisen Sie, dass das arithmetische Mittel von n positiven reellen Zahlen nicht kleiner ist als ihr geometrisches Mittel, d. h. Klausel 1.15. Brown, Jones und Smith werden wegen Mitschuld an einem Banküberfall angeklagt. Die Diebe flüchteten in einem Auto, das auf sie wartete. Während der Ermittlungen sagte Brown aus, dass es sich um einen blauen Buick, Jones um einen blauen Chrysler und Smith um einen Ford Mustang handelte, allerdings nicht um Blau. Welche Farbe das Auto hatte und welche Marke, falls bekannt, wollte die Ermittlungen jeweils verwirren von ihnen wurde entweder nur die Marke des Autos oder nur seine Farbe korrekt angegeben? 1.1c. Für Polarexpedition Aus den acht Bewerbern A, B, C, D J5, F, G und Z müssen sechs Spezialisten ausgewählt werden: Biologe, Hydrologe, Wettervorhersager, Funker, Mechaniker und Arzt. Die Aufgaben eines Biologen können von E und G, eines Hydrologen – B und F, eines Wettervorhersagers – F und G, eines Funkers – C und D, eines Mechanikers – C und Z, eines Arztes – A und D, wahrgenommen werden. aber jeder von ihnen kann, wenn er auf einer Expedition ist, nur eine Aufgabe erfüllen. Wer und von wem sollte auf die Expedition mitgenommen werden, wenn F nicht ohne D gehen kann – ohne I und ohne C, C nicht mit G und D nicht mit B?

Leonhard Euler - größter Mathematiker verfasste mehr als 850 wissenschaftliche Arbeiten.In einem von ihnen tauchten diese Kreise auf.

Das hat der Wissenschaftler geschrieben„Sie eignen sich sehr gut, um unsere Überlegungen zu erleichtern.“

Euler-Kreise ist ein geometrisches Diagramm, das hilft, logische Zusammenhänge zwischen Phänomenen und Konzepten zu finden und/oder klarer zu machen. Es hilft auch, die Beziehung zwischen einer Menge und ihrem Teil darzustellen.

Problem 1

Von den 90 Touristen, die eine Reise unternehmen, sprechen 30 Personen Deutsch, 28 Personen Englisch und 42 Personen Französisch.8 Personen sprechen gleichzeitig Englisch und Deutsch, 10 Personen sprechen Englisch und Französisch, 5 Personen sprechen Deutsch und Französisch, 3 Personen sprechen alle drei Sprachen. Wie viele Touristen sprechen keine Sprache?

Lösung:

Lassen Sie uns den Zustand des Problems grafisch darstellen – anhand von drei Kreisen

Antwort: 10 Personen.

Problem 2

Viele Kinder in unserer Klasse lieben Fußball, Basketball und Volleyball. Und manche haben sogar zwei oder drei dieser Sportarten. Es ist bekannt, dass 6 Personen aus der Klasse nur Volleyball, 2 nur Fußball und 5 nur Basketball spielen. Nur 3 Personen können Volleyball und Fußball spielen, 4 können Fußball und Basketball spielen, 2 können Volleyball und Basketball spielen. Eine Person aus der Klasse kann alle Spiele spielen, 7 können kein Spiel spielen. Ich muss finden:

Wie viele Personen sind in der Klasse?

Wie viele Leute können Fußball spielen?

Wie viele Personen können Volleyball spielen?

Problem 3

Im Kinderlager waren 70 Kinder. Davon engagieren sich 20 im Schauspielverein, 32 singen im Chor, 22 sind sportbegeistert. Es gibt 10 Chorkinder im Theaterclub, 6 Athleten im Chor, 8 Athleten im Theaterclub und 3 Athleten besuchen sowohl den Theaterclub als auch den Chor. Wie viele Kinder singen nicht im Chor, interessieren sich nicht für Sport und engagieren sich nicht im Theaterclub? Wie viele Männer treiben nur Sport?

Problem 4

Von den Mitarbeitern des Unternehmens besuchten 16 Frankreich, 10 Italien und 6 England. In England und Italien – fünf, in England und Frankreich – 6, in allen drei Ländern – 5 Mitarbeiter. Wie viele Personen haben sowohl Italien als auch Frankreich besucht, wenn das Unternehmen insgesamt 19 Mitarbeiter beschäftigt und jeder von ihnen mindestens eines dieser Länder besucht hat?

Problem 5

Sechstklässler füllten einen Fragebogen aus und fragten nach ihren Lieblingscartoons. Es stellte sich heraus, dass die meisten von ihnen „Schneewittchen und die sieben Zwerge“, „SpongeBob Schwammkopf“ und „Der Wolf und das Kalb“ mochten. Die Klasse besteht aus 38 Schülern. 21 Schüler mögen Schneewittchen und die sieben Zwerge. Darüber hinaus mögen drei von ihnen auch „Der Wolf und das Kalb“, sechs mögen „SpongeBob Schwammkopf“ und ein Kind mag alle drei Zeichentrickfilme gleichermaßen. „Der Wolf und das Kalb“ hat 13 Fans, von denen fünf im Fragebogen zwei Cartoons nannten. Wir müssen herausfinden, wie viele Sechstklässler SpongeBob Schwammkopf mögen.

Probleme, die die Schüler lösen müssen

1. Die Klasse besteht aus 35 Schülern. Sie alle sind Leser von Schul- und Bezirksbibliotheken. Davon entleihen 25 Bücher die Schulbibliothek, 20 die Bezirksbibliothek. Wie viele davon:

a) keine Leser der Schulbibliothek sind;

b) keine Leser der Bezirksbibliothek sind;

c) sind nur Leser der Schulbibliothek;

d) sind nur Leser der Regionalbibliothek;

e) sind Leser beider Bibliotheken?

2.Jeder Schüler in der Klasse lernt Englisch oder deutsche Sprache, oder beide dieser Sprachen. Englische Sprache 25 Personen lernen Deutsch, 27 Personen lernen Deutsch und 18 Personen lernen beides. Wie viele Schüler gibt es in der Klasse?

3. Zeichnen Sie auf einem Blatt Papier einen Kreis mit einer Fläche von 78 cm2 und ein Quadrat mit einer Fläche von 55 cm2. Die Schnittfläche eines Kreises und eines Quadrats beträgt 30 cm2. Der nicht von Kreis und Quadrat eingenommene Teil des Blattes hat eine Fläche von 150 cm2. Finden Sie den Bereich des Blattes.

4. Die Touristengruppe besteht aus 25 Personen. Davon sind 20 Personen unter 30 Jahre alt und 15 Personen über 20 Jahre alt. Könnte das wahr sein? Wenn ja, in welchem Fall?

5. B Kindergarten 52 Kinder. Jeder von ihnen liebt Kuchen oder Eis oder beides. Die Hälfte der Kinder mag Kuchen und 20 Personen mögen Kuchen und Eis. Wie viele Kinder lieben Eis?

6. Die Klasse besteht aus 36 Personen. Schüler dieser Klasse besuchen mathematische, physikalische und chemische Clubs, wobei 18 Personen den mathematischen Club besuchen, 14 - physikalische, 10 - chemische. Darüber hinaus ist bekannt, dass 2 Personen alle drei Clubs besuchen, 8 Personen besuchen sowohl mathematische als auch physikalische, 5 – sowohl mathematische als auch chemische, 3 – sowohl physikalische als auch chemische Kreise. Wie viele Schüler der Klasse besuchen keinen Verein?

7. Nach den Ferien fragte der Klassenlehrer, welches der Kinder ins Theater, Kino oder Zirkus ging. Es stellte sich heraus, dass von 36 Schülern zwei noch nie im Kino, Theater oder Zirkus waren. 25 Personen besuchten das Kino; im Theater - 11; im Zirkus - 17; sowohl im Kino als auch im Theater - 6; sowohl im Kino als auch im Zirkus - 10; sowohl im Theater als auch im Zirkus - 4. Wie viele Personen besuchten gleichzeitig Theater, Kino und Zirkus?

Lösung Probleme mit dem Einheitlichen Staatsexamen unter Verwendung von Eulerkreisen

Problem 1

Kreuzer und Schlachtschiff? Es wird davon ausgegangen, dass alle Fragen nahezu gleichzeitig ausgeführt werden, sodass sich die Seitenmenge, die alle gesuchten Wörter enthält, während der Ausführung der Abfragen nicht ändert.

Anfrage	Gefundene Seiten (in Tausend)
Kreuzer \| Schlachtschiff	7000
Kreuzer	4800
Schlachtschiff	4500

Lösung:

Mithilfe von Eulerkreisen stellen wir die Bedingungen des Problems dar. In diesem Fall verwenden wir die Zahlen 1, 2 und 3, um die resultierenden Bereiche zu bezeichnen.

Basierend auf den Bedingungen des Problems erstellen wir die Gleichungen:

Kreuzer | Schlachtschiff: 1 + 2 + 3 = 7000
Kreuzer: 1 + 2 = 4800
Schlachtschiff: 2 + 3 = 4500

Finden Kreuzer und Schlachtschiff(in der Zeichnung als Fläche 2 angegeben), setzen Sie Gleichung (2) in Gleichung (1) ein und finden Sie heraus, dass:

4800 + 3 = 7000, woraus wir 3 = 2200 erhalten.

Jetzt können wir dieses Ergebnis in Gleichung (3) einsetzen und herausfinden, dass:

2 + 2200 = 4500, woraus 2 = 2300.

Antwort: 2300 – Anzahl der bei der Anfrage gefundenen SeitenKreuzer und Schlachtschiff.

Problem 2

In der Suchmaschinen-Anfragesprache zu bezeichnen

Die Tabelle zeigt die Suchanfragen und die Anzahl der gefundenen Seiten für ein bestimmtes Segment des Internets.

Anfrage	Gefundene Seiten (in Tausend)
Kuchen \| Kuchen	12000
Kuchen und Torten	6500
Kuchen	7700

Wie viele Seiten (in Tausend) werden für die Suchanfrage gefunden? Kuchen?

Lösung

Um das Problem zu lösen, zeigen wir die Mengen von Kuchen und Torten in Form von Eulerkreisen an.

A B C ).

Aus der Problemstellung folgt:

Kuchen │Kuchen = A + B + C = 12000

Kuchen und Torten = B = 6500

Kuchen = B + C = 7700

Um die Anzahl der Kuchen zu ermitteln (Kuchen = A + B ), müssen wir den Sektor finden Ein Kuchen│Kuchen ) subtrahiere die Menge der Pies.

Kuchen│Kuchen – Kuchen = A + B + C -(B + C) = A = 1200 – 7700 = 4300

Sektor A entspricht also 4300

Kuchen = A + B = 4300+6500 = 10800

Problem 3

|“ und für die logische Operation „AND“ – das Symbol „&“.

Die Tabelle zeigt die Suchanfragen und die Anzahl der gefundenen Seiten für ein bestimmtes Segment des Internets.

Anfrage	Gefundene Seiten (in Tausend)
Kuchen & Backen	5100
Kuchen	9700
Kuchen \| Bäckerei	14200

Wie viele Seiten (in Tausend) werden für die Suchanfrage gefunden? Bäckerei?

Es wird angenommen, dass alle Abfragen fast gleichzeitig ausgeführt wurden, sodass sich die Seitengruppe, die alle gesuchten Wörter enthielt, während der Ausführung der Abfragen nicht änderte.

Lösung

Um das Problem zu lösen, zeigen wir die Mengen an Kuchen und Backen in Form von Euler-Kreisen.

Bezeichnen wir jeden Sektor mit einem separaten Buchstaben ( A B C ).

Aus der Problemstellung folgt:

Kuchen und Gebäck = B = 5100

Kuchen = A + B = 9700

Kuchen │ Gebäck = A + B + C = 14200

Um die Backmenge zu ermitteln (Backen = B + C ), müssen wir den Sektor finden IN , hierfür aus der allgemeinen Menge ( Kuchen │ Backen) den Satz abziehen Kuchen.

Kuchen │ Backen – Kuchen = A + B + C -(A + B) = C = 14200–9700 = 4500

Sektor B ist gleich 4500, also Backen = B + C = 4500+5100 = 9600

Problem 4
absteigend
Um anzuzeigenDie logische Verknüpfung „ODER“ verwendet das Symbol „|“ und für die logische Operation „AND“ – das Symbol „&“.
Lösung

Stellen wir uns Gruppen von Schäferhunden, Terriern und Spaniels in Form von Eulerkreisen vor, die die Sektoren mit Buchstaben bezeichnen ( A B C D ).

Mit Paniels │(Terrier & Schäferhunde) = G + B

Mit Paniel│Schäferhunde= G + B + C

Spaniels│Terrier│Hirten= A + B + C + D

Terrier & Hirten = B

Ordnen wir die Anfragenummern in absteigender Reihenfolge der Seitenzahl an:3 2 1 4

Problem 5

Die Tabelle zeigt Anfragen an den Suchserver. Ordnen Sie die Anforderungsnummern in der richtigen Reihenfolge an zunehmend die Anzahl der Seiten, die die Suchmaschine für jede Anfrage findet.
Um anzuzeigenDie logische Verknüpfung „ODER“ verwendet das Symbol „|“ und für die logische Operation „AND“ – das Symbol „&“.

1	Barock \| Klassizismus \| Empire-Stil
2	Barock \| (Klassizismus & Empire-Stil)
3	Klassizismus und Empire-Stil
4	Barock \| Klassizismus

Lösung

Stellen wir uns die Mengen Klassizismus, Empirestil und Klassizismus in Form von Eulerkreisen vor und bezeichnen die Sektoren mit Buchstaben ( A B C D ).

Lassen Sie uns die Problembedingung in Form einer Summe von Sektoren umwandeln:

Barock│ Klassizismus│Reich = A + B + C + D
Barock │(Klassizismus & Empire) = G + B
Klassizismus & Empire-Stil = B
Barock│Klassizismus = G + B + A

Anhand der Sektorsummen sehen wir, welche Anfrage mehr Seiten hervorgebracht hat.

Ordnen wir die Anfragenummern in aufsteigender Reihenfolge der Seitenzahl an:3 2 4 1

Problem 6
Die Tabelle zeigt Anfragen an den Suchserver. Ordnen Sie die Anforderungsnummern in der richtigen Reihenfolge an zunehmend die Anzahl der Seiten, die die Suchmaschine für jede Anfrage findet.
Um anzuzeigenDie logische Verknüpfung „ODER“ verwendet das Symbol „|“ und für die logische Operation „AND“ – das Symbol „&“.

1	Kanarienvögel \| Stieglitz \| Inhalt
2	Kanarienvögel & Inhalt
3	Kanarienvögel & Stieglitz & Inhalt
4	Zucht & Haltung & Kanarienvögel & Stieglitz

Lösung

Um das Problem zu lösen, stellen wir uns Abfragen in Form von Euler-Kreisen vor.

K - Kanarienvögel,

Ш – Stieglitz,

R – Zucht.

Kanarienvögel \| Terrier \| Inhalt	Kanarienvögel & Inhalt	Kanarienvögel & Stieglitz & Inhalt	Zucht & Haltung & Kanarienvögel & Stieglitz

Die erste Anfrage hat den größten Bereich schattierter Sektoren, dann die zweite, dann die dritte und die vierte Anfrage den kleinsten.

In aufsteigender Reihenfolge nach Seitenanzahl werden die Anfragen in der folgenden Reihenfolge angezeigt: 4 3 2 1

Bitte beachten Sie, dass in der ersten Anfrage die gefüllten Sektoren der Euler-Kreise die gefüllten Sektoren der zweiten Anfrage enthalten und die gefüllten Sektoren der zweiten Anfrage die gefüllten Sektoren der dritten Anfrage enthalten und die gefüllten Sektoren der dritten Anfrage enthalten der gefüllte Sektor der vierten Anfrage.

Nur unter solchen Voraussetzungen können wir sicher sein, dass wir das Problem richtig gelöst haben.

Aufgabe 7 (Einheitliches Staatsexamen 2013)

Die Tabelle zeigt die Suchanfragen und die Anzahl der gefundenen Seiten für ein bestimmtes Segment des Internets.

Anfrage	Seiten gefunden (in Tausenden)
Fregatte \| Zerstörer	3400
Fregatte und Zerstörer	900
Fregatte	2100

Wie viele Seiten (in Tausend) werden für die Suchanfrage gefunden? Zerstörer?
Es wird angenommen, dass alle Abfragen fast gleichzeitig ausgeführt wurden, sodass sich die Seitengruppe, die alle gesuchten Wörter enthielt, während der Ausführung der Abfragen nicht änderte.