Quadrat Parallelogramm, gebaut auf Vektoren wird als Produkt der Längen dieser Vektoren und des Sinus des Winkels zwischen ihnen berechnet. Wenn nur die Koordinaten der Vektoren bekannt sind, müssen Sie sie für die Berechnung verwenden Koordinatenmethoden, auch zur Bestimmung des Winkels zwischen Vektoren.

Du wirst brauchen

• - Konzept des Vektors;
• - Eigenschaften von Vektoren;
• - Kartesischen Koordinaten;
• - trigonometrische Funktionen.

Anweisungen

• Wenn die Längen der Vektoren und der Winkel zwischen ihnen bekannt sind, können Sie die Fläche ermitteln Parallelogramm, gebaut auf Vektoren, finden Sie das Produkt ihrer Module (Vektorlängen) durch den Sinus des Winkels zwischen ihnen S=│a│ │ b│ sin(α).
• Wenn die Vektoren im kartesischen Koordinatensystem angegeben sind, dann um die Fläche zu finden Parallelogramm Darauf aufbauend gehen Sie wie folgt vor:
• Finden Sie die Koordinaten der Vektoren, sofern diese nicht sofort angegeben sind, indem Sie die Koordinaten der Anfänge von den entsprechenden Koordinaten der Enden der Vektoren subtrahieren. Wenn zum Beispiel die Koordinaten des Startpunkts des Vektors (1;-3;2) und des Endpunkts (2;-4;-5) sind, dann sind die Koordinaten des Vektors (2-1;- 4+3;-5-2)=(1 ;-1;-7). Seien die Koordinaten des Vektors a(x1;y1;z1), des Vektors b(x2;y2;z2).
• Finden Sie die Längen der einzelnen Vektoren. Quadrieren Sie jede der Vektorkoordinaten und ermitteln Sie deren Summe x1²+y1²+z1². Ziehen Sie die Quadratwurzel aus dem Ergebnis. Gehen Sie für den zweiten Vektor genauso vor. Somit erhalten wir │a│und│b│.
• Finden Sie das Skalarprodukt der Vektoren. Multiplizieren Sie dazu die entsprechenden Koordinaten und addieren Sie die Produkte │a b│= x1 x2+ y1 y2+ z1 z2.
• Bestimmen Sie den Kosinus des Winkels zwischen ihnen, für den das in Schritt 3 erhaltene Skalarprodukt der Vektoren durch das Produkt der Längen der Vektoren dividiert wird, die in Schritt 2 berechnet wurden (Cos(α)= │a b│/(│a │ │ b│)).
• Der Sinus des resultierenden Winkels ist gleich der Quadratwurzel der Differenz zwischen der Zahl 1 und dem Quadrat des Kosinus desselben Winkels, berechnet in Schritt 4 (1-Cos²(α)).
• Fläche berechnen Parallelogramm, gebaut auf Vektoren Nachdem Sie das in Schritt 2 berechnete Produkt ihrer Längen gefunden haben, multiplizieren Sie das Ergebnis mit der Zahl, die Sie nach den Berechnungen in Schritt 5 erhalten haben.
• Für den Fall, dass die Koordinaten der Vektoren in der Ebene angegeben sind, wird die Z-Koordinate bei Berechnungen einfach verworfen. Diese Berechnung ist numerischer Ausdruck Vektorprodukt zweier Vektoren.

Die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Parallelogramms ist gleich dem Produkt der Längen dieser Vektoren und dem Winkel des Winkels, der zwischen ihnen liegt.

Es ist gut, wenn die Bedingungen die Längen derselben Vektoren angeben. Es kommt jedoch auch vor, dass die Formel für die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms erst nach Berechnungen mit Koordinaten angewendet werden kann.
Wenn Sie Glück haben und die Bedingungen die Längen der Vektoren angeben, müssen Sie nur die Formel anwenden, die wir im Artikel bereits ausführlich besprochen haben. Die Fläche entspricht dem Produkt der Module und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen:

Betrachten wir ein Beispiel für die Berechnung der Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms.

Aufgabe: Das Parallelogramm ist aus den Vektoren und aufgebaut. Finden Sie die Fläche, wenn und der Winkel zwischen ihnen 30° beträgt.
Lassen Sie uns die Vektoren durch ihre Werte ausdrücken:

Vielleicht haben Sie eine Frage: Woher kommen die Nullen? Es sei daran erinnert, dass wir mit Vektoren und für sie arbeiten . Beachten Sie außerdem, dass das Ergebnis in einen Ausdruck konvertiert wird, wenn es sich um einen Ausdruck handelt. Nun führen wir die abschließenden Berechnungen durch:

Kehren wir zum Problem zurück, wenn die Längen der Vektoren in den Bedingungen nicht angegeben sind. Wenn Ihr Parallelogramm im kartesischen Koordinatensystem liegt, müssen Sie Folgendes tun.

Berechnung der Seitenlängen einer durch Koordinaten gegebenen Figur

Zuerst ermitteln wir die Koordinaten der Vektoren und subtrahieren die entsprechenden Anfangskoordinaten von den Endkoordinaten. Nehmen wir an, die Koordinaten des Vektors a sind (x1;y1;z1) und der Vektor b ist (x3;y3;z3).
Jetzt ermitteln wir die Länge jedes Vektors. Dazu muss jede Koordinate quadriert werden und dann die erhaltenen Ergebnisse addiert werden endliche Zahl Extrahieren Sie die Wurzel. Basierend auf unseren Vektoren ergeben sich folgende Berechnungen:


Jetzt müssen wir das Skalarprodukt unserer Vektoren finden. Dazu werden ihre entsprechenden Koordinaten multipliziert und addiert.

Aus den Längen der Vektoren und ihrem Skalarprodukt können wir den Kosinus des zwischen ihnen liegenden Winkels ermitteln .
Jetzt können wir den Sinus desselben Winkels finden:
Jetzt haben wir alle notwendigen Größen und können die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms mithilfe der bereits bekannten Formel leicht ermitteln.

In dieser Lektion werden wir uns zwei weitere Operationen mit Vektoren ansehen: Vektorprodukt von Vektoren Und gemischtes Produkt von Vektoren (sofortiger Link für diejenigen, die ihn brauchen). Es ist in Ordnung, manchmal kommt es vor, dass das vollkommene Glück zusätzlich dazu führt Skalarprodukt von Vektoren , es werden immer mehr benötigt. Das ist Vektorsucht. Es mag den Anschein haben, als würden wir uns in die Wildnis begeben analytische Geometrie. Das ist nicht so. In diesem Abschnitt der höheren Mathematik gibt es im Allgemeinen wenig Holz, außer vielleicht genug für Pinocchio. Tatsächlich ist das Material sehr gewöhnlich und einfach – kaum komplizierter als dasselbe Skalarprodukt , sogar typische Aufgaben es wird weniger sein. Das Wichtigste in der analytischen Geometrie ist, wie viele überzeugt sein werden oder bereits überzeugt sind, KEINE FEHLER BEI BERECHNUNGEN ZU MACHEN. Wiederholen Sie es wie einen Zauberspruch und Sie werden glücklich sein =)

Wenn Vektoren irgendwo in der Ferne funkeln, wie ein Blitz am Horizont, ist das egal, beginnen Sie mit der Lektion Vektoren für Dummies Grundkenntnisse über Vektoren wiederherzustellen oder wiederzuerlangen. Besser vorbereitete Leser können sich gezielt mit den Informationen vertraut machen; ich habe versucht, so viel wie möglich zu sammeln komplette Sammlung Beispiele, die häufig in zu finden sind praktische Arbeit

Was macht dich sofort glücklich? Als ich klein war, konnte ich zwei und sogar drei Bälle jonglieren. Es hat gut geklappt. Jetzt müssen Sie überhaupt nicht mehr jonglieren, da wir darüber nachdenken nur räumliche Vektoren, A flache Vektoren mit zwei Koordinaten wird weggelassen. Warum? So sind diese Aktionen entstanden – der Vektor und das gemischte Produkt von Vektoren werden definiert und wirken darin dreidimensionaler Raum. Es ist schon einfacher!

Diese Operation beinhaltet, genau wie das Skalarprodukt zwei Vektoren. Das sollen unvergängliche Buchstaben sein.

Die Aktion selbst bezeichnet durch auf die folgende Weise: . Es gibt auch andere Optionen, aber ich bin es gewohnt, das Vektorprodukt von Vektoren auf diese Weise in eckigen Klammern mit einem Kreuz zu bezeichnen.

Und zwar sofort Frage: wenn in Skalarprodukt von Vektoren Es handelt sich um zwei Vektoren, und hier werden dann auch zwei Vektoren multipliziert Was ist der Unterschied? Der offensichtliche Unterschied liegt zunächst einmal im ERGEBNIS:

Das Ergebnis des Skalarprodukts von Vektoren ist NUMBER:

Das Ergebnis des Kreuzprodukts von Vektoren ist VEKTOR: , das heißt, wir multiplizieren die Vektoren und erhalten wieder einen Vektor. Geschlossener Club. Daher stammt eigentlich auch der Name der Operation. In verschiedenen Bildungsliteratur Bezeichnungen können auch variieren, ich verwende den Buchstaben .

Definition von Kreuzprodukt

Zuerst erfolgt eine Definition mit Bild, dann Kommentare.

Definition: Vektorprodukt nichtkollinear Vektoren, aufgenommen in dieser Reihenfolge , genannt VECTOR, Länge was numerisch ist gleich der Fläche des Parallelogramms, auf diesen Vektoren aufgebaut; Vektor orthogonal zu Vektoren und ist so gerichtet, dass die Basis eine richtige Ausrichtung hat:

Lassen Sie uns die Definition Stück für Stück aufschlüsseln, hier gibt es eine Menge interessanter Dinge!

Daher können die folgenden wichtigen Punkte hervorgehoben werden:

1) Die ursprünglichen Vektoren, angezeigt durch rote Pfeile, per Definition nicht kollinear. Ereignis kollineare Vektoren Es wäre angebracht, etwas später darüber nachzudenken.

2) Es werden Vektoren genommen in einer streng definierten Reihenfolge: – „a“ wird mit „be“ multipliziert, nicht „sein“ mit „a“. Das Ergebnis der Vektormultiplikation ist VECTOR, was blau angezeigt wird. Wenn die Vektoren in umgekehrter Reihenfolge multipliziert werden, erhalten wir einen Vektor gleicher Länge und entgegengesetzter Richtung (Himbeerfarbe). Das heißt, die Gleichheit ist wahr .

3) Machen wir uns nun mit der geometrischen Bedeutung des Vektorprodukts vertraut. Das ist ein sehr wichtiger Punkt! Die LÄNGE des blauen Vektors (und damit des purpurroten Vektors) ist numerisch gleich der FLÄCHE des aus den Vektoren aufgebauten Parallelogramms. In der Abbildung ist dieses Parallelogramm schwarz schattiert.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch und natürlich ist die Nennlänge des Vektorprodukts nicht gleich der Fläche des Parallelogramms.

Erinnern wir uns an eines davon geometrische Formeln: Die Fläche eines Parallelogramms ist gleich dem Produkt benachbarter Seiten und dem Sinus des Winkels zwischen ihnen. Basierend auf dem oben Gesagten gilt daher die Formel zur Berechnung der LÄNGE eines Vektorprodukts:

Ich betone, dass es in der Formel um die LÄNGE des Vektors geht und nicht um den Vektor selbst. Was ist die praktische Bedeutung? Und die Bedeutung ist, dass bei Problemen der analytischen Geometrie die Fläche eines Parallelogramms oft durch das Konzept eines Vektorprodukts ermittelt wird:

Erhalten wir die zweite wichtige Formel. Die Diagonale eines Parallelogramms (rote gestrichelte Linie) teilt es in zwei Teile gleiches Dreieck. Daher kann die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks (rote Schattierung) mit der Formel ermittelt werden:

4) Eine ebenso wichtige Tatsache ist, dass der Vektor orthogonal zu den Vektoren ist . Natürlich ist auch der entgegengesetzt gerichtete Vektor (Himbeerpfeil) orthogonal zu den ursprünglichen Vektoren.

5) Der Vektor ist so gerichtet, dass Basis Es hat Rechts Orientierung. In der Lektion über Übergang auf eine neue Basis Ich habe ausführlich genug darüber gesprochen Ebenenausrichtung, und jetzt werden wir herausfinden, was Raumorientierung ist. Ich werde es dir an den Fingern erklären rechte Hand . Geistig kombinieren Zeigefinger mit Vektor und Mittelfinger mit Vektor. Ringfinger und kleiner Finger Drücken Sie es in Ihre Handfläche. Ergebend Daumen– Das Vektorprodukt wird nachgeschlagen. Dies ist eine rechtsorientierte Basis (in der Abbildung ist es diese). Ändern Sie nun die Vektoren ( Zeige- und Mittelfinger) an manchen Stellen dreht sich der Daumen um und das Vektorprodukt schaut bereits nach unten. Auch das ist eine rechtsorientierte Grundlage. Sie haben vielleicht eine Frage: Welche Basis hat die linke Orientierung? Den gleichen Fingern „zuweisen“. linke Hand Vektoren und erhalten die linke Basis und die linke Ausrichtung des Raums (in diesem Fall befindet sich der Daumen in Richtung des unteren Vektors). Im übertragenen Sinne „verdrehen“ oder orientieren diese Sockel den Raum verschiedene Seiten. Und dieses Konzept sollte nicht als weit hergeholt oder abstrakt betrachtet werden – zum Beispiel ändert sich die Ausrichtung des Raums durch den gewöhnlichsten Spiegel, und wenn man „das reflektierte Objekt aus dem Spiegel herauszieht“, dann im Allgemeinen Es wird nicht möglich sein, es mit dem „Original“ zu kombinieren. Halten Sie übrigens drei Finger an den Spiegel und analysieren Sie das Spiegelbild ;-)

...wie gut es ist, dass Sie es jetzt wissen rechts- und linksorientiert Grundlagen, denn die Aussagen einiger Dozenten zu einer Orientierungsänderung sind beängstigend =)

Kreuzprodukt kollinearer Vektoren

Die Definition wurde ausführlich besprochen, es bleibt noch herauszufinden, was passiert, wenn die Vektoren kollinear sind. Wenn die Vektoren kollinear sind, können sie auf einer Geraden platziert werden und unser Parallelogramm „faltet“ sich auch zu einer Geraden. Der Bereich davon, wie Mathematiker sagen, degenerieren Parallelogramm ist gleich Null. Dasselbe folgt aus der Formel: Der Sinus von Null oder 180 Grad ist gleich Null, was bedeutet, dass die Fläche Null ist

Also, wenn, dann . Streng genommen ist das Vektorprodukt selbst gleich dem Nullvektor, aber in der Praxis wird dies oft vernachlässigt und es wird geschrieben, dass es einfach gleich Null ist.

Besonderer Fall– Vektorprodukt eines Vektors mit sich selbst:

Mit dem Vektorprodukt können Sie die Kollinearität dreidimensionaler Vektoren überprüfen, wir werden unter anderem auch dieses Problem analysieren.

Um praktische Beispiele zu lösen, benötigen Sie möglicherweise trigonometrische Tabelle um daraus die Werte der Sinuswerte zu ermitteln.

Nun, lasst uns das Feuer anzünden:

Beispiel 1

a) Bestimmen Sie die Länge des Vektorprodukts von Vektoren, wenn

b) Finden Sie die Fläche eines auf Vektoren aufgebauten Parallelogramms, wenn

Lösung: Nein, das ist kein Tippfehler, ich habe die Ausgangsdaten in den Klauseln bewusst gleich gemacht. Denn das Design der Lösungen wird anders sein!

a) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Länge Vektor (Kreuzprodukt). Nach der entsprechenden Formel:

Antwort:

Wenn Sie nach der Länge gefragt wurden, geben wir in der Antwort die Maßeinheiten an.

b) Entsprechend der Bedingung müssen Sie finden Quadrat auf Vektoren aufgebautes Parallelogramm. Die Fläche dieses Parallelogramms ist numerisch gleich der Länge des Vektorprodukts:

Antwort:

Bitte beachten Sie, dass sich die Antwort überhaupt nicht auf das Vektorprodukt bezieht; wir wurden danach gefragt Bereich der Figur, dementsprechend ist die Dimension quadratische Einheiten.

Wir schauen uns immer an, WAS wir je nach Erkrankung finden müssen, und formulieren darauf basierend klar Antwort. Es mag wie Literalismus erscheinen, aber unter den Lehrern gibt es viele Literalisten, und die Aufgabe hat gute Chancen, zur Überarbeitung zurückgegeben zu werden. Das ist zwar keine besonders weit hergeholte Spitzfindigkeit – wenn die Antwort falsch ist, entsteht der Eindruck, dass die Person sie nicht versteht einfache Dinge und/oder den Kern der Aufgabe nicht verstanden. Dieser Punkt muss bei der Lösung von Problemen in der höheren Mathematik und auch in anderen Fächern stets unter Kontrolle gehalten werden.

Wo ist der große Buchstabe „en“ geblieben? Im Prinzip hätte es der Lösung zusätzlich beigefügt werden können, aber um den Eintrag zu verkürzen, habe ich darauf verzichtet. Ich hoffe, jeder versteht das und ist eine Bezeichnung für dasselbe.

Ein beliebtes Beispiel für eine DIY-Lösung:

Beispiel 2

Finden Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Die Formel zum Ermitteln der Fläche eines Dreiecks durch das Vektorprodukt finden Sie in den Kommentaren zur Definition. Die Lösung und Antwort finden Sie am Ende der Lektion.

In der Praxis ist die Aufgabe wirklich sehr häufig; Dreiecke können einen im Allgemeinen quälen.

Um andere Probleme zu lösen, benötigen wir:

Eigenschaften des Vektorprodukts von Vektoren

Einige Eigenschaften des Vektorprodukts haben wir bereits betrachtet, ich werde sie jedoch in diese Liste aufnehmen.

Für beliebige Vektoren und eine beliebige Zahl gelten die folgenden Eigenschaften:

1) In anderen Informationsquellen wird dieser Punkt in den Eigenschaften meist nicht hervorgehoben, ist aber aus praktischer Sicht sehr wichtig. So lass es sein.

2) – Die Eigenschaft wird oben auch besprochen, manchmal wird sie auch genannt Antikommutativität. Mit anderen Worten: Die Reihenfolge der Vektoren ist wichtig.

3) – assoziativ oder assoziativ Vektorproduktgesetze. Konstanten können leicht außerhalb des Vektorprodukts verschoben werden. Was sollen sie dort wirklich tun?

4) – Verteilung oder verteilend Vektorproduktgesetze. Auch beim Öffnen der Klammern gibt es keine Probleme.

Schauen wir uns zur Veranschaulichung ein kurzes Beispiel an:

Beispiel 3

Finden Sie, ob

Lösung: Die Bedingung erfordert wiederum das Ermitteln der Länge des Vektorprodukts. Lass uns unsere Miniatur bemalen:

(1) Gemäß den Assoziationsgesetzen nehmen wir die Konstanten außerhalb des Bereichs des Vektorprodukts.

(2) Wir verschieben die Konstante aus dem Modul heraus und das Modul „frisst“ das Minuszeichen. Die Länge darf nicht negativ sein.

(3) Der Rest ist klar.

Antwort:

Es ist Zeit, mehr Holz ins Feuer zu legen:

Beispiel 4

Berechnen Sie die Fläche eines aus Vektoren aufgebauten Dreiecks, wenn

Lösung: Ermitteln Sie die Fläche des Dreiecks mithilfe der Formel . Der Haken daran ist, dass die Vektoren „tse“ und „de“ selbst als Summen von Vektoren dargestellt werden. Der Algorithmus hier ist Standard und erinnert ein wenig an die Beispiele Nr. 3 und 4 der Lektion Skalarprodukt von Vektoren . Der Übersichtlichkeit halber unterteilen wir die Lösung in drei Phasen:

1) Im ersten Schritt drücken wir das Vektorprodukt tatsächlich durch das Vektorprodukt aus Lassen Sie uns einen Vektor als Vektor ausdrücken. Zur Länge noch kein Wort!

(1) Ersetzen Sie die Ausdrücke der Vektoren.

(2) Mithilfe der Verteilungsgesetze öffnen wir die Klammern gemäß der Regel der Multiplikation von Polynomen.

(3) Mithilfe assoziativer Gesetze verschieben wir alle Konstanten über die Vektorprodukte hinaus. Mit etwas Erfahrung können die Schritte 2 und 3 gleichzeitig durchgeführt werden.

(4) Der erste und der letzte Term sind aufgrund der netten Eigenschaft gleich Null (Nullvektor). Im zweiten Term nutzen wir die Eigenschaft der Antikommutativität eines Vektorprodukts:

(5) Wir präsentieren ähnliche Begriffe.

Als Ergebnis stellte sich heraus, dass der Vektor durch einen Vektor ausgedrückt wurde, was erreicht werden musste:

2) Im zweiten Schritt ermitteln wir die Länge des benötigten Vektorprodukts. Diese Aktion ähnelt Beispiel 3:

3) Finden Sie die Fläche des erforderlichen Dreiecks:

Die Stufen 2-3 der Lösung hätten in einer Zeile geschrieben werden können.

Antwort:

Das betrachtete Problem ist recht häufig Tests, hier ist ein Beispiel für eine unabhängige Lösung:

Beispiel 5

Finden Sie, ob

Eine kurze Lösung und Antwort am Ende der Lektion. Mal sehen, wie aufmerksam Sie beim Studium der vorherigen Beispiele waren ;-)

Kreuzprodukt von Vektoren in Koordinaten

, angegeben auf Orthonormalbasis, ausgedrückt durch die Formel:

Die Formel ist wirklich einfach: In die oberste Zeile der Determinante schreiben wir die Koordinatenvektoren, in die zweite und dritte Zeile „tragen“ wir die Koordinaten der Vektoren und wir setzen in strenger Reihenfolge– zuerst die Koordinaten des „ve“-Vektors, dann die Koordinaten des „double-ve“-Vektors. Wenn die Vektoren in einer anderen Reihenfolge multipliziert werden müssen, sollten die Zeilen vertauscht werden:

Beispiel 10

Prüfen Sie, ob die folgenden Raumvektoren kollinear sind:
A)
B)

Lösung: Die Prüfung basiert auf einer der Aussagen dieser Lektion: Wenn die Vektoren kollinear sind, dann ist ihr Vektorprodukt gleich Null (Nullvektor): .

a) Finden Sie das Vektorprodukt:

Somit sind die Vektoren nicht kollinear.

b) Finden Sie das Vektorprodukt:

Antwort: a) nicht kollinear, b)

Hier finden Sie vielleicht alle grundlegenden Informationen zum Vektorprodukt von Vektoren.

Dieser Abschnitt wird nicht sehr groß sein, da es nur wenige Probleme gibt, wenn das gemischte Produkt von Vektoren verwendet wird. Tatsächlich wird alles von der Definition abhängen, geometrische Bedeutung und ein paar Arbeitsformeln.

Gemischte Arbeit Vektoren ist das Produkt von drei Vektoren:

Sie reihten sich also wie ein Zug auf und können es kaum erwarten, identifiziert zu werden.

Zunächst noch einmal eine Definition und ein Bild:

Definition: Gemischte Arbeit nicht koplanar Vektoren, in dieser Reihenfolge aufgenommen, angerufen quaderförmiges Volumen, aufgebaut auf diesen Vektoren, ausgestattet mit einem „+“-Zeichen, wenn die Basis rechts ist, und einem „–“-Zeichen, wenn die Basis links ist.

Machen wir die Zeichnung. Für uns unsichtbare Linien sind mit gestrichelten Linien gezeichnet:

Lassen Sie uns in die Definition eintauchen:

2) Es werden Vektoren genommen in einer bestimmten Reihenfolge, das heißt, die Neuordnung der Vektoren im Produkt erfolgt, wie Sie sich vorstellen können, nicht ohne Konsequenzen.

3) Bevor ich auf die geometrische Bedeutung eingehe, möchte ich auf eine offensichtliche Tatsache hinweisen: Das gemischte Produkt von Vektoren ist eine ZAHL: . In der Lehrliteratur kann das Design etwas anders sein; ich bin es gewohnt, ein gemischtes Produkt mit zu bezeichnen und das Ergebnis von Berechnungen mit dem Buchstaben „pe“.

A-Priorat Das Mischprodukt ist das Volumen des Parallelepipeds, aufgebaut auf Vektoren (die Abbildung ist mit roten Vektoren und schwarzen Linien gezeichnet). Das heißt, die Zahl entspricht dem Volumen eines bestimmten Parallelepipeds.

Notiz : Die Zeichnung ist schematisch.

4) Machen wir uns keine Gedanken mehr über das Konzept der Orientierung von Basis und Raum. Der letzte Teil bedeutet, dass dem Volumen ein Minuszeichen hinzugefügt werden kann. In einfachen Worten, das Mischprodukt kann negativ sein: .

Direkt aus der Definition folgt die Formel zur Berechnung des Volumens eines auf Vektoren aufgebauten Parallelepipeds.