• 22.09.2014

  Funktionsprinzip. Wenn Sie die Taste der ersten Ziffer des SA1-Codes drücken, schaltet der Trigger DD1.1 um und Spannung erscheint am Eingang D des Triggers DD1.2 hohes Level. Wenn Sie also die nächste Taste des Codes SA2 drücken, ändert der Trigger DD1.2 seinen Zustand und bereitet den nächsten Trigger zum Umschalten vor. Bei einem weiteren korrekten Set arbeitet der DD2.2-Trigger zuletzt, und ...

• 03.10.2014

  Das vorgeschlagene Gerät stabilisiert Spannung bis zu 24 V und Strom bis zu 2 A mit Kurzschlussschutz. Im Falle eines instabilen Starts des Stabilisators sollte die Synchronisation von einem autonomen Impulsgenerator verwendet werden (Abb. 2. Die Stabilisatorschaltung ist in Abb. 1 dargestellt. Auf VT1 VT2 ist ein Schmitt-Trigger montiert, der einen leistungsstarken Regeltransistor VT3 steuert. Details: VT3 ist mit einem Kühlkörper ausgestattet ...

• 20.09.2014

  Der Verstärker (siehe Foto) wird nach dem traditionellen Schema mit automatischer Vorspannung an Lampen hergestellt: Ausgang - AL5, Treiber - 6G7, Kenotron - AZ1. Ein Diagramm eines der beiden Kanäle des Stereoverstärkers ist in Abb. 1 dargestellt. Vom Lautstärkeregler gelangt das Signal in das Gitter der 6G7-Lampe, wird verstärkt und von der Anode dieser Lampe über den Trennkondensator C4 zu ...

• 15.11.2017

  NE555 - Universaltimer - ein Gerät zur Bildung (Erzeugung) von Einzel- und Wiederholungsimpulsen mit stabilen Zeiteigenschaften. Es ist ein asynchrones RS-Flip-Flop mit bestimmten Eingangsschwellen, genau definierten analogen Komparatoren und einem eingebauten Spannungsteiler (Präzisions-Schmitt-Trigger mit RS-Flip-Flop). Es wird verwendet, um verschiedene Generatoren, Modulatoren, Zeitrelais, Schwellenwertgeräte und andere zu bauen ...

Die Fähigkeit, das Volumen räumlicher Figuren zu berechnen, ist wichtig, um eine Reihe praktischer Probleme in der Geometrie zu lösen. Eine der häufigsten Formen ist die Pyramide. In diesem Artikel betrachten wir die Pyramiden, sowohl vollständig als auch abgeschnitten.

Pyramide als dreidimensionale Figur

Jeder weiß davon ägyptische Pyramiden, daher ist es gut dargestellt, welche Figur diskutiert wird. Trotzdem sind ägyptische Steinbauten nur ein Sonderfall einer riesigen Klasse von Pyramiden.

Betrachtetes geometrisches Objekt in Allgemeiner Fall ist eine polygonale Basis, bei der jeder Scheitelpunkt mit einem Punkt im Raum verbunden ist, der nicht zur Ebene der Basis gehört. Diese Definition führt zu einer Figur, die aus einem n-Eck und n Dreiecken besteht.

Jede Pyramide besteht aus n+1 Flächen, 2*n Kanten und n+1 Ecken. Da die betrachtete Figur ein perfektes Polyeder ist, gehorchen die Zahlen der markierten Elemente der Euler-Gleichung:

2*n = (n+1) + (n+1) - 2.

Das Polygon an der Basis gibt der Pyramide den Namen, zum Beispiel dreieckig, fünfeckig und so weiter. Auf dem Foto unten ist eine Reihe von Pyramiden mit unterschiedlichen Basen dargestellt.

Der Punkt, an dem n Dreiecke der Figur verbunden sind, wird als Spitze der Pyramide bezeichnet. Wenn eine Senkrechte von ihr auf die Basis abgesenkt wird und sie im geometrischen Zentrum schneidet, wird eine solche Figur als gerade Linie bezeichnet. Ist diese Bedingung nicht erfüllt, liegt eine schiefe Pyramide vor.

Eine gerade Figur, deren Basis ein gleichseitiges (gleichwinkliges) n-Eck bildet, heißt regulär.

Pyramidenvolumenformel

Um das Volumen der Pyramide zu berechnen, verwenden wir die Integralrechnung. Dazu teilen wir die Figur durch Sekantenebenen parallel zur Basis in unendlich viele dünne Schichten. Die folgende Abbildung zeigt eine viereckige Pyramide mit Höhe h und Seitenlänge L, bei der eine dünne Schnittschicht mit einem Viereck markiert ist.

Die Fläche jeder solchen Schicht kann nach folgender Formel berechnet werden:

A(z) = A 0 *(h – z) 2 /h 2 .

Hier ist A 0 die Fläche der Basis, z ist der Wert der vertikalen Koordinate. Es ist ersichtlich, dass wenn z = 0 ist, die Formel den Wert A 0 ergibt.

Um die Formel für das Volumen der Pyramide zu erhalten, sollten Sie das Integral über die gesamte Höhe der Figur berechnen, also:

V = ∫ h 0 (A(z)*dz).

Durch Einsetzen der Abhängigkeit A(z) und Berechnung der Stammfunktion erhalten wir den Ausdruck:

V = -A 0 *(h-z) 3 /(3*h 2)| h 0 \u003d 1/3 * A 0 * h.

Wir haben die Formel für das Volumen einer Pyramide erhalten. Um den Wert von V zu ermitteln, reicht es aus, die Höhe der Figur mit der Fläche der Basis zu multiplizieren und das Ergebnis dann durch drei zu teilen.

Beachten Sie, dass der resultierende Ausdruck für die Berechnung des Volumens einer Pyramide beliebigen Typs gültig ist. Das heißt, es kann geneigt sein und seine Basis kann ein beliebiges n-Eck sein.

und sein Volumen

Erhalten im obigen Absatz allgemeine Formel bei einer Pyramide mit regelmäßiger Grundfläche kann das Volumen verfeinert werden. Die Fläche einer solchen Basis wird berechnet durch folgende Formel:

A 0 = n/4*L 2 *ctg(pi/n).

Dabei ist L die Seitenlänge eines regelmäßigen Polygons mit n Ecken. Das Symbol Pi ist die Zahl Pi.

Durch Einsetzen des Ausdrucks für A 0 in die allgemeine Formel erhalten wir das Volumen Richtige Pyramide:

V n = 1/3*n/4*L 2 *h*ctg(pi/n) = n/12*L 2 *h*ctg(pi/n).

Für eine dreieckige Pyramide führt diese Formel beispielsweise zu folgendem Ausdruck:

V 3 \u003d 3/12 * L 2 * h * ctg (60 °) \u003d √3 / 12 * L 2 * h.

Für das Richtige viereckige Pyramide Die Volumenformel hat die Form:

V 4 \u003d 4/12 * L 2 * h * ctg (45 o) \u003d 1/3 * L 2 * h.

Um das Volumen regelmäßiger Pyramiden zu bestimmen, müssen die Seite ihrer Basis und die Höhe der Figur bekannt sein.

Pyramide abgeschnitten

Angenommen, wir haben eine beliebige Pyramide genommen und einen Teil ihrer Seitenfläche abgeschnitten, der die Spitze enthält. Die verbleibende Figur wird als Pyramidenstumpf bezeichnet. Es besteht bereits aus zwei n-Eckbasen und n Trapezoiden, die diese verbinden. Wenn die Schnittebene parallel zur Basis der Figur war, wird ein Pyramidenstumpf mit parallelen ähnlichen Basen gebildet. Das heißt, die Längen der Seiten von einem von ihnen können durch Multiplizieren der Längen des anderen mit einem Koeffizienten k erhalten werden.

Die obige Abbildung stellt ein abgeschnittenes regelmäßiges dar. Es ist zu erkennen, dass seine obere Basis, wie die untere, von einem regelmäßigen Sechseck gebildet wird.

Die Formel, die mit einer Integralrechnung ähnlich der obigen abgeleitet werden kann, lautet:

V = 1/3*h*(A 0 + A 1 + √(A 0 *A 1)).

Wobei A 0 und A 1 die Bereiche der unteren (großen) bzw. oberen (kleinen) Basen sind. Die Variable h bezeichnet die Höhe des Pyramidenstumpfes.

Das Volumen der Pyramide von Cheops

Es ist merkwürdig, das Problem der Bestimmung des Volumens zu lösen, das die größte ägyptische Pyramide enthält.

1984 legten die britischen Ägyptologen Mark Lehner und Jon Goodman die genauen Abmessungen der Cheops-Pyramide fest. Seine ursprüngliche Höhe betrug 146,50 Meter (derzeit etwa 137 Meter). Die durchschnittliche Länge jeder der vier Seiten der Struktur betrug 230,363 Meter. Die Basis der Pyramide ist quadratisch mit hoher Genauigkeit.

Verwenden wir die angegebenen Zahlen, um das Volumen dieses Steinriesen zu bestimmen. Da die Pyramide ein regelmäßiges Viereck ist, gilt für sie die Formel:

Setzen wir die Zahlen ein, erhalten wir:

V 4 \u003d 1/3 * (230,363) 2 * 146,5 ≈ 2591444 m 3.

Das Volumen der Cheops-Pyramide beträgt fast 2,6 Millionen m 3. Zum Vergleich stellen wir fest, dass das olympische Becken ein Volumen von 2,5 Tausend m 3 hat. Das heißt, um die gesamte Cheops-Pyramide zu füllen, werden mehr als 1000 solcher Pools benötigt!

- Dies ist ein Polyeder, der aus der Basis der Pyramide und einem dazu parallelen Abschnitt besteht. Wir können sagen, dass ein Pyramidenstumpf eine Pyramide mit abgeschnittener Spitze ist. Diese Figur hat viele einzigartige Eigenschaften:

• Die Seitenflächen der Pyramide sind Trapeze;
• Die seitlichen Rippen eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes sind gleich lang und im gleichen Winkel zur Basis geneigt;
• Die Basen sind ähnliche Polygone;
• Bei einem regelmäßigen Pyramidenstumpf sind die Flächen gleich gleichschenklige Trapeze, deren Fläche gleich ist. Sie sind auch in einem Winkel zur Basis geneigt.

Die Formel für die Fläche der Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes ist die Summe der Flächen seiner Seiten:

Da die Seiten des Pyramidenstumpfes Trapeze sind, müssen Sie die Formel verwenden, um die Parameter zu berechnen trapezförmiger Bereich. Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf kann eine andere Formel zur Berechnung der Fläche angewendet werden. Da alle seine Seiten, Flächen und Winkel an der Basis gleich sind, ist es möglich, die Umfänge der Basis und des Apothems anzuwenden und auch die Fläche durch den Winkel an der Basis abzuleiten.

Sind nach den Verhältnissen in einem regelmäßigen Pyramidenstumpf das Apothem (Höhe der Seite) und die Seitenlängen der Grundfläche gegeben, so lässt sich die Fläche durch das Halbprodukt der Summe der Umfänge berechnen die Basen und das Apothem:

Schauen wir uns ein Beispiel für die Berechnung der Seitenfläche eines Pyramidenstumpfes an.
Gegeben sei eine regelmäßige fünfeckige Pyramide. Apothema l\u003d 5 cm beträgt die Länge des Gesichts in der großen Basis a\u003d 6 cm, und das Gesicht befindet sich an der kleineren Basis b\u003d 4 cm Berechnen Sie die Fläche des Pyramidenstumpfes.

Lassen Sie uns zuerst die Umfänge der Basen finden. Da uns eine fünfeckige Pyramide gegeben ist, verstehen wir, dass die Grundflächen Fünfecke sind. Das bedeutet, dass die Basen eine Figur mit fünf identischen Seiten sind. Finden Sie den Umfang der größeren Basis:

Auf die gleiche Weise finden wir den Umfang der kleineren Basis:

Jetzt können wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes berechnen. Wir ersetzen die Daten in der Formel:

So haben wir die Fläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes durch die Umfänge und Apotheme berechnet.

Eine andere Möglichkeit, die seitliche Oberfläche einer regelmäßigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel durch die Ecken an der Basis und den Bereich genau dieser Basen.

Schauen wir uns eine Beispielrechnung an. Erinnere dich daran angegebene Formel gilt nur für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf.

Gegeben sei eine regelmäßige viereckige Pyramide. Die Fläche der unteren Basis beträgt a = 6 cm, die Fläche der oberen b = 4 cm Der Flächenwinkel an der Basis beträgt β = 60°. Finden Sie die seitliche Oberfläche eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Lassen Sie uns zuerst die Fläche der Basen berechnen. Da die Pyramide regelmäßig ist, sind alle Flächen der Basen einander gleich. Da die Basis ein Viereck ist, verstehen wir, dass eine Berechnung erforderlich ist quadratische Fläche. Es ist das Produkt aus Breite und Länge, aber quadriert sind diese Werte gleich. Finden Sie die Fläche der größeren Basis:


Nun verwenden wir die gefundenen Werte, um die Seitenfläche zu berechnen.

Mit ein paar einfachen Formeln haben wir die Fläche des seitlichen Trapezes eines Pyramidenstumpfes leicht durch verschiedene Werte berechnet.

Pyramide. Pyramidenstumpf

Pyramide wird ein Polyeder genannt, dessen eine Fläche ein Polygon ist ( Base ), und alle anderen Flächen sind Dreiecke mit einem gemeinsamen Eckpunkt ( Seitenflächen ) (Abb. 15). Die Pyramide heißt Korrekt , wenn ihre Grundfläche ein regelmäßiges Polygon ist und die Spitze der Pyramide in die Mitte der Grundfläche projiziert wird (Abb. 16). Eine dreieckige Pyramide, bei der alle Kanten gleich sind, heißt Tetraeder .

Seitenrippe Pyramide heißt die Seite der Seitenfläche, die nicht zur Basis gehört Höhe Pyramide ist der Abstand von ihrer Spitze zur Ebene der Basis. Alle Seitenkanten einer regelmäßigen Pyramide sind einander gleich, alle Seitenflächen sind gleich gleichschenklige Dreiecke. Die Höhe der Seitenfläche einer vom Scheitelpunkt gezogenen regelmäßigen Pyramide wird als bezeichnet Apothema . Diagonalschnitt Ein Abschnitt einer Pyramide wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zur selben Fläche gehören.

Seitenfläche Pyramide heißt die Summe der Flächeninhalte aller Seitenflächen. Bereich volle Oberfläche ist die Summe der Flächen aller Seitenflächen und der Basis.

Sätze

1. Wenn bei einer Pyramide alle Seitenkanten gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises nahe der Basis projiziert.

2. Wenn in der Pyramide alle Seitenkanten haben gleiche Längen, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des umschriebenen Kreises in der Nähe der Basis projiziert.

3. Wenn in der Pyramide alle Flächen gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, dann wird die Spitze der Pyramide in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert.

Um das Volumen einer beliebigen Pyramide zu berechnen, ist die Formel richtig:

wo v- Lautstärke;

S Haupt- Grundfläche;

H ist die Höhe der Pyramide.

Für eine reguläre Pyramide gelten die folgenden Formeln:

wo p- Umfang der Basis;

ha- Apothem;

H- Höhe;

S voll

S-Seite

S Haupt- Grundfläche;

v ist das Volumen einer regelmäßigen Pyramide.

Pyramidenstumpf wird der Teil der Pyramide genannt, der zwischen der Basis und der Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist (Abb. 17). Richtiger Pyramidenstumpf wird der Teil einer regelmäßigen Pyramide genannt, der zwischen der Basis und einer Schnittebene parallel zur Basis der Pyramide eingeschlossen ist.

Stiftungen Pyramidenstumpf - ähnliche Polygone. Seitenflächen - Trapez. Höhe Pyramidenstumpf nennt man den Abstand zwischen seinen Basen. Diagonale Ein Pyramidenstumpf ist ein Segment, das seine Scheitel verbindet, die nicht auf derselben Fläche liegen. Diagonalschnitt Ein Abschnitt eines Pyramidenstumpfes wird als Ebene bezeichnet, die durch zwei Seitenkanten verläuft, die nicht zu derselben Fläche gehören.

Für einen Pyramidenstumpf gelten die Formeln:

(4)

wo S 1 , S 2 - Bereiche der oberen und unteren Basis;

S voll ist die Gesamtoberfläche;

S-Seite ist die seitliche Oberfläche;

H- Höhe;

v ist das Volumen des Pyramidenstumpfes.

Für einen regelmäßigen Pyramidenstumpf gilt die folgende Formel:

wo p 1 , p 2 - Basisumfänge;

ha- das Apothem eines regelmäßigen Pyramidenstumpfes.

Beispiel 1 In einer regelmäßigen dreieckigen Pyramide beträgt der Diederwinkel an der Basis 60º. Finden Sie die Tangente des Neigungswinkels der Seitenkante zur Ebene der Basis.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 18).

Die Pyramide ist richtig, sie bedeutet an der Basis gleichseitiges Dreieck und alle Seitenflächen sind gleichschenklige Dreiecke. Der Flächenwinkel an der Basis ist der Neigungswinkel der Seitenfläche der Pyramide zur Ebene der Basis. Linearer Winkel Es wird einen Winkel geben a zwischen zwei Loten: d.h. Die Spitze der Pyramide wird auf die Mitte des Dreiecks projiziert (die Mitte des umschriebenen Kreises und des einbeschriebenen Kreises im Dreieck). ABC). Der Neigungswinkel der Seitenrippe (z SB) ist der Winkel zwischen der Kante selbst und ihrer Projektion auf die Grundebene. Für Rippe SB dieser Winkel wird der Winkel sein SBD. Um die Tangente zu finden, müssen Sie die Schenkel kennen SO und OB. Lassen Sie die Länge des Segments BD ist 3 a. Punkt Ö Liniensegment BD ist in Teile geteilt: und Von finden wir SO: Von finden wir:

Antworten:

Beispiel 2 Berechne das Volumen eines regelmäßigen viereckigen Pyramidenstumpfes, wenn die Diagonalen seiner Grundflächen cm und cm und die Höhe 4 cm beträgt.

Entscheidung. Um das Volumen eines Pyramidenstumpfes zu finden, verwenden wir Formel (4). Um die Flächen der Basen zu finden, musst du die Seiten der Basisquadrate finden und ihre Diagonalen kennen. Die Seiten der Grundflächen betragen 2 cm bzw. 8 cm. Das bedeutet die Flächen der Grundflächen und Wenn wir alle Daten in die Formel einsetzen, berechnen wir das Volumen des Pyramidenstumpfes:

Antworten: 112 cm3.

Beispiel 3 Finden Sie die Fläche der Seitenfläche eines regelmäßigen dreieckigen Pyramidenstumpfes, dessen Seiten der Basis 10 cm und 4 cm betragen und die Höhe der Pyramide 2 cm beträgt.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 19).

Die Seitenfläche dieser Pyramide ist ein gleichschenkliges Trapez. Um die Fläche eines Trapezes zu berechnen, müssen Sie die Basen und die Höhe kennen. Die Basen sind per Zustand gegeben, nur die Höhe bleibt unbekannt. Finden Sie es von wo UND 1 E senkrecht von einem Punkt UND 1 auf der Ebene der unteren Basis, EIN 1 D- senkrecht von UND 1 an AC. UND 1 E\u003d 2 cm, da dies die Höhe der Pyramide ist. Zur Findung DE Wir werden eine zusätzliche Zeichnung erstellen, in der wir eine Draufsicht darstellen (Abb. 20). Punkt Ö- Projektion der Zentren der oberen und unteren Basen. da (siehe Abb. 20) und andererseits OK ist der Radius des Inkreises und Om ist der Radius des Inkreises:

MK=DE.

Nach dem Satz des Pythagoras aus

Seitenfläche:

Antworten:

Beispiel 4 An der Basis der Pyramide liegt ein gleichschenkliges Trapez, dessen Basen a und b (a> b). Jede Seitenfläche bildet einen Winkel gleich der Ebene der Basis der Pyramide j. Finden Sie die Gesamtfläche der Pyramide.

Entscheidung. Machen wir eine Zeichnung (Abb. 21). Gesamtfläche der Pyramide SABCD ist gleich der Summe der Flächen und der Fläche des Trapezes A B C D.

Wir verwenden die Aussage, dass, wenn alle Flächen der Pyramide gleich zur Ebene der Basis geneigt sind, die Spitze in die Mitte des in die Basis einbeschriebenen Kreises projiziert wird. Punkt Ö- Scheitelpunktprojektion S am Fuß der Pyramide. Dreieck SOD ist die orthogonale Projektion des Dreiecks CSD zur Basisebene. Nach dem Orthogonalprojektionsflächensatz flache Figur wir bekommen:

Ähnlich heißt es Somit wurde das Problem darauf reduziert, die Fläche des Trapezes zu finden A B C D. Zeichne ein Trapez A B C D getrennt (Abb. 22). Punkt Ö ist der Mittelpunkt eines Kreises, der in ein Trapez eingeschrieben ist.

Da einem Trapez ein Kreis einbeschrieben werden kann, gilt dann oder Nach dem Satz des Pythagoras haben wir