Wie zeichnet man die Funktion y=sin x grafisch auf? Schauen wir uns zunächst den Sinusgraphen des Intervalls an.

Wir nehmen ein einzelnes Segment mit einer Länge von 2 Zellen im Notizbuch. Auf der Oy-Achse markieren wir eins.

Der Einfachheit halber runden wir die Zahl π/2 auf 1,5 (und nicht auf 1,6, wie es die Rundungsregeln erfordern). In diesem Fall entspricht ein Segment der Länge π/2 3 Zellen.

Auf der Ox-Achse markieren wir nicht einzelne Segmente, sondern Segmente der Länge π/2 (alle 3 Zellen). Dementsprechend entspricht ein Segment der Länge π 6 Zellen und ein Segment der Länge π/6 entspricht 1 Zelle.

Bei dieser Wahl eines Einheitssegments entspricht der auf einem Notizbuchblatt in einem Kasten dargestellte Graph weitestgehend dem Graphen der Funktion y=sin x.

Lassen Sie uns eine Tabelle mit Sinuswerten im Intervall erstellen:

Wir markieren die resultierenden Punkte auf der Koordinatenebene:

Da y=sin x eine ungerade Funktion ist, ist der Sinusgraph symmetrisch in Bezug auf den Ursprungspunkt O(0;0). Unter Berücksichtigung dieser Tatsache zeichnen wir den Graphen links weiter und dann die Punkte -π:

Die Funktion y=sin x ist periodisch mit der Periode T=2π. Daher wird der Graph einer Funktion im Intervall [-π;π] unendlich oft nach rechts und links wiederholt.

FUNKTIONSGRAFIKEN

Sinusfunktion

- ein Haufen R alles reelle Zahlen.

Mehrere Funktionswerte— Segment [-1; 1], d.h. Sinusfunktion - begrenzt.

Komische Funktion: sin(−x)=−sin x für alle x ∈ R.

Die Funktion ist periodisch

sin(x+2π k) = sin x, wobei k ∈ Z für alle x ∈ R.

Sünde x = 0 für x = π·k, k ∈ Z.

Sünde x > 0(positiv) für alle x ∈ (2π·k , π+2π·k ), k ∈ Z.

Sünde x< 0 (negativ) für alle x ∈ (π+2π·k , 2π+2π·k ), k ∈ Z.

Kosinusfunktion

Funktionsdomäne- ein Haufen R alles reelle Zahlen.

Mehrere Funktionswerte— Segment [-1; 1], d.h. Kosinusfunktion - begrenzt.

Gleiche Funktion: cos(−x)=cos x für alle x ∈ R.

Die Funktion ist periodisch mit der kleinsten positiven Periode 2π:

cos(x+2π k) = cos x, wobei k ∈ Z für alle x ∈ R.

cos x = 0 bei
cos x > 0 für alle
weil x< 0 für alle
Die Funktion nimmt zu von −1 bis 1 in Intervallen:
Die Funktion nimmt ab von −1 bis 1 in Intervallen:
Der größte Wert der Funktion sin x = 1 an Punkten:
Der kleinste Wert der Funktion sin x = −1 an Punkten:

Tangentenfunktion

Mehrere Funktionswerte— der gesamte Zahlenstrahl, d.h. Tangente - Funktion unbegrenzt.

Komische Funktion: tg(−x)=−tg x
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur OY-Achse.

Die Funktion ist periodisch mit der kleinsten positiven Periode π, d.h. tg(x+π k) = tan x, k ∈ Z für alle x aus dem Definitionsbereich.

Kotangensfunktion

Mehrere Funktionswerte— der gesamte Zahlenstrahl, d.h. Kotangens - Funktion unbegrenzt.

Komische Funktion: ctg(−x)=−ctg x für alle x aus dem Definitionsbereich.
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zur OY-Achse.

Die Funktion ist periodisch mit der kleinsten positiven Periode π, d.h. cotg(x+π k)=ctg x, k ∈ Z für alle x aus dem Definitionsbereich.

Arkussinusfunktion

Funktionsdomäne— Segment [-1; 1]

Mehrere Funktionswerte- Segment -π /2 arcsin x π /2, d.h. Arkussinus - Funktion begrenzt.

Komische Funktion: arcsin(−x)=−arcsin x für alle x ∈ R.
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Im gesamten Definitionsbereich.

Arkuskosinusfunktion

Funktionsdomäne— Segment [-1; 1]

Mehrere Funktionswerte— Segment 0 arccos x π, d.h. Arkuskosinus - Funktion begrenzt.

Die Funktion nimmt zuüber den gesamten Definitionsbereich.

Arkustangensfunktion

Funktionsdomäne- ein Haufen R alles reelle Zahlen.

Mehrere Funktionswerte— Segment 0 π, d.h. Arkustangens - Funktion begrenzt.

Komische Funktion: arctg(−x)=−arctg x für alle x ∈ R.
Der Graph der Funktion ist symmetrisch zum Ursprung.

Die Funktion nimmt zuüber den gesamten Definitionsbereich.

Arcus-Tangens-Funktion

Funktionsdomäne- ein Haufen R alles reelle Zahlen.

Mehrere Funktionswerte— Segment 0 π, d.h. Arkuskotangens - Funktion begrenzt.

Die Funktion ist weder gerade noch ungerade.
Der Graph der Funktion ist weder in Bezug auf den Ursprung noch in Bezug auf die Oy-Achse asymmetrisch.

Die Funktion nimmt abüber den gesamten Definitionsbereich.

An einem Punkt zentriert A.
α - Winkel ausgedrückt im Bogenmaß.

Definition
Sinus (sin α) ist eine trigonometrische Funktion abhängig vom Winkel α zwischen Hypotenuse und Bein rechtwinkliges Dreieck, gleich dem Verhältnis Länge der gegenüberliegenden Seite |BC| zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Kosinus (cos α) ist eine trigonometrische Funktion, die vom Winkel α zwischen der Hypotenuse und dem Schenkel eines rechtwinkligen Dreiecks abhängt und dem Verhältnis der Länge des angrenzenden Schenkels |AB| entspricht zur Länge der Hypotenuse |AC|.

Akzeptierte Notationen

;
;
.

;
;
.

Diagramm der Sinusfunktion, y = sin x

Diagramm der Kosinusfunktion, y = cos x

Eigenschaften von Sinus und Cosinus

Periodizität

Funktionen y = Sünde x und y = weil x periodisch mit Punkt 2π.

Parität

Die Sinusfunktion ist ungerade. Die Kosinusfunktion ist gerade.

Definitions- und Wertebereich, Extrema, Zunahme, Abnahme

Die Sinus- und Kosinusfunktionen sind in ihrem Definitionsbereich stetig, also für alle x (siehe Beweis der Kontinuität). Ihre Haupteigenschaften sind in der Tabelle aufgeführt (n - ganze Zahl).

	y = Sünde x	y = weil x
Umfang und Kontinuität	- ∞ < x < + ∞	- ∞ < x < + ∞
Wertebereich	-1 ≤ y ≤ 1	-1 ≤ y ≤ 1
Zunehmend
Absteigend
Maxima, y ​​= 1
Minima, y ​​= - 1
Nullen, y = 0
Schnittpunkte mit der Ordinatenachse, x = 0	y = 0	y = 1

Grundformeln

Summe der Quadrate von Sinus und Cosinus

Formeln für Sinus und Cosinus aus Summe und Differenz

;
;

Formeln für das Produkt von Sinus und Cosinus

Summen- und Differenzformeln

Sinus durch Kosinus ausdrücken

;
;
;
.

Kosinus durch Sinus ausdrücken

;
;
;
.

Ausdruck durch Tangente

; .

Wenn wir haben:
; .

Bei :
; .

Tabelle der Sinus- und Cosinuswerte, Tangens und Kotangens

Diese Tabelle zeigt die Werte von Sinus und Cosinus für bestimmte Werte des Arguments.

Ausdrücke durch komplexe Variablen

;

Eulers Formel

Ausdrücke durch hyperbolische Funktionen

;
;

Derivate

; . Formeln ableiten > > >

Ableitungen n-ter Ordnung:
{ -∞ < x < +∞ }

Sekante, Kosekans

Umkehrfunktionen

Umkehrfunktionen zu Sinus und Kosinus sind Arkussinus bzw. Arkuskosinus.

Arkussinus, Arkussinus

Arccosinus, arccos

Verweise:
IN. Bronstein, K.A. Semendyaev, Handbuch der Mathematik für Ingenieure und Studenten, „Lan“, 2009.

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Eisen rostet, ohne Verwendung zu finden,
Stilles Wasser verrottet oder gefriert in der Kälte,
und der Geist eines Menschen, der keinen Nutzen für sich findet, verkümmert.
Leonardo da Vinci

Verwendete Technologien: Problembasiertes Lernen, kritisches Denken, kommunikative Kommunikation.

Ziele:

• Entwicklung kognitives Interesse zum Lernen.
• Untersuchung der Eigenschaften der Funktion y = sin x.
• Ausbildung praktischer Fähigkeiten zur Erstellung eines Graphen der Funktion y = sin x basierend auf dem untersuchten theoretischen Material.

Aufgaben:

1. Nutzen Sie das vorhandene Wissenspotenzial über die Eigenschaften der Funktion y = sin x in konkreten Situationen.

2. Wenden Sie die bewusste Herstellung von Verbindungen zwischen analytischen und geometrischen Modellen der Funktion y = sin x an.

Entwickeln Sie Eigeninitiative, eine gewisse Bereitschaft und Interesse, eine Lösung zu finden; die Fähigkeit, Entscheidungen zu treffen, dabei nicht stehen zu bleiben und Ihren Standpunkt zu verteidigen.

Förderung der kognitiven Aktivität, des Verantwortungsbewusstseins, des gegenseitigen Respekts, des gegenseitigen Verständnisses, der gegenseitigen Unterstützung und des Selbstvertrauens bei den Schülern; Kultur der Kommunikation.

Während des Unterrichts

Bühne 1. Aktualisierung des Grundwissens, Motivation zum Erlernen neuer Materialien

„Betreten der Lektion.“

An der Tafel stehen drei Aussagen:

1. Die trigonometrische Gleichung sin t = a hat immer Lösungen.
2. Zeitplan komische Funktion kann mithilfe einer Symmetrietransformation um die Oy-Achse konstruiert werden.
3. Eine trigonometrische Funktion kann mit einer Haupthalbwelle grafisch dargestellt werden.

Die Studierenden diskutieren zu zweit: Sind die Aussagen wahr? (1 Minute). Die Ergebnisse des Erstgesprächs (ja, nein) werden dann in der Tabelle in der Spalte „Vorher“ eingetragen.

Der Lehrer legt die Ziele und Ziele des Unterrichts fest.

2. Wissen aktualisieren (frontal auf einem Modell eines trigonometrischen Kreises).

Die Funktion s = sin t haben wir bereits kennengelernt.

1) Welche Werte kann die Variable t annehmen. Welchen Umfang hat diese Funktion?

2) In welchem ​​Intervall liegen die Werte des Ausdrucks sin t? Finden Sie den größten und kleinsten Wert der Funktion s = sin t.

3) Lösen Sie die Gleichung sin t = 0.

4) Was passiert mit der Ordinate eines Punktes, wenn er sich im ersten Viertel bewegt? (die Ordinate steigt). Was passiert mit der Ordinate eines Punktes, wenn er sich im zweiten Viertel bewegt? (die Ordinate nimmt allmählich ab). Wie hängt das mit der Monotonie der Funktion zusammen? (Die Funktion s = sin t nimmt auf der Strecke zu und auf der Strecke ab).

5) Schreiben wir die Funktion s = sin t in der uns bekannten Form y = sin x (wir konstruieren sie im üblichen xOy-Koordinatensystem) und erstellen eine Tabelle der Werte dieser Funktion.

X	0
bei	0			1			0

Stufe 2. Wahrnehmung, Verständnis, primäre Festigung, unfreiwilliges Auswendiglernen

Stufe 4. Primäre Systematisierung Kenntnisse und Handlungsmethoden, deren Übertragung und Anwendung in neuen Situationen

6. Nr. 10.18 (b,c)

Stufe 5. Endkontrolle, Korrektur, Beurteilung und Selbsteinschätzung

7. Wir kehren zu den Aussagen (Beginn der Lektion) zurück, besprechen die Verwendung der Eigenschaften der trigonometrischen Funktion y = sin x und füllen die Spalte „Nachher“ in der Tabelle aus.

8. D/z: Abschnitt 10, Nr. 10.7(a), 10.8(b), 10.11(b), 10.16(a)

Wir haben dieses Verhalten festgestellt trigonometrische Funktionen, und Funktionen y = Sünde x insbesondere, auf dem gesamten Zahlenstrahl (oder für alle Werte des Arguments). X) wird vollständig durch sein Verhalten im Intervall bestimmt 0 < X < π / 2 .

Daher zeichnen wir zunächst die Funktion auf y = Sünde x genau in diesem Intervall.

Lassen Sie uns die folgende Wertetabelle unserer Funktion erstellen;

Indem wir die entsprechenden Punkte auf der Koordinatenebene markieren und sie mit einer glatten Linie verbinden, erhalten wir die in der Abbildung gezeigte Kurve

Die resultierende Kurve könnte auch geometrisch konstruiert werden, ohne eine Tabelle mit Funktionswerten zu erstellen y = Sünde x .

1. Teilen Sie das erste Viertel eines Kreises mit dem Radius 1 in 8 gleiche Teile. Die Ordinaten der Teilungspunkte des Kreises sind die Sinuswerte der entsprechenden Winkel.

2. Das erste Viertel des Kreises entspricht Winkeln von 0 bis π / 2 . Daher auf der Achse X Nehmen wir ein Segment und teilen es in 8 gleiche Teile.

3. Zeichnen wir gerade Linien parallel zu den Achsen X, und aus den Teilungspunkten konstruieren wir Senkrechte, bis sie sich mit horizontalen Linien schneiden.

4. Verbinden Sie die Schnittpunkte mit einer glatten Linie.

Schauen wir uns nun das Intervall an π / 2 < X < π .
Jeder Argumentwert X aus diesem Intervall kann dargestellt werden als

X = π / 2 + φ

Wo 0 < φ < π / 2 . Nach Reduktionsformeln

Sünde ( π / 2 + φ ) = cos φ = Sünde( π / 2 - φ ).

Achsenpunkte X mit Abszissen π / 2 + φ Und π / 2 - φ symmetrisch zueinander um den Achsenpunkt X mit Abszisse π / 2 , und die Sinuswerte an diesen Punkten sind gleich. Dadurch können wir einen Graphen der Funktion erhalten y = Sünde x im Intervall [ π / 2 , π ] durch einfache symmetrische Darstellung des Graphen dieser Funktion im Intervall relativ zur Geraden X = π / 2 .

Jetzt die Immobilie nutzen ungerade Paritätsfunktion y = Sünde x,

Sünde(- X) = - Sünde X,

Es ist einfach, diese Funktion im Intervall [- π , 0].

Die Funktion y = sin x ist periodisch mit einer Periode von 2π ;. Um den gesamten Graphen dieser Funktion zu konstruieren, reicht es daher aus, die in der Abbildung gezeigte Kurve nach links und rechts periodisch mit einem Punkt fortzusetzen 2π .

Die resultierende Kurve heißt Sinusoid . Es stellt den Graphen der Funktion dar y = Sünde x.

Die Abbildung veranschaulicht gut alle Eigenschaften der Funktion y = Sünde x , was wir bereits bewiesen haben. Erinnern wir uns an diese Eigenschaften.

1) Funktion y = Sünde x für alle Werte definiert X , daher ist ihr Definitionsbereich die Menge aller reellen Zahlen.

2) Funktion y = Sünde x begrenzt. Alle akzeptierten Werte liegen zwischen -1 und 1, einschließlich dieser beiden Zahlen. Folglich wird der Variationsbereich dieser Funktion durch die Ungleichung -1 bestimmt < bei < 1. Wann X = π / 2 + 2k π Funktion dauert höchste Werte, gleich 1, und für x = - π / 2 + 2k π - kleinste Werte, gleich - 1.

3) Funktion y = Sünde x ist ungerade (die Sinuskurve ist symmetrisch zum Ursprung).

4) Funktion y = Sünde x periodisch mit Periode 2 π .

5) In 2n Intervallen π < X < π + 2n π (n ist eine beliebige ganze Zahl) ist positiv und in Intervallen π + 2k π < X < 2π + 2k π (k ist eine beliebige ganze Zahl) ist negativ. Bei x = k π Die Funktion geht auf Null. Daher sind diese Werte des Arguments x (0; ± π ; ±2 π ; ...) heißen Funktionsnullstellen y = Sünde x

6) In Abständen - π / 2 + 2n π < X < π / 2 + 2n π Funktion y = Sünde X steigt monoton und in Intervallen an π / 2 + 2k π < X < 3π / 2 + 2k π es nimmt monoton ab.

Besonderes Augenmerk sollten Sie auf das Verhalten der Funktion legen y = Sünde x in der Nähe des Punktes X = 0 .

Zum Beispiel sin 0,012 ≈ 0,012; Sünde(-0,05) ≈ -0,05;

Sünde 2° = Sünde π 2 / 180 = Sünde π / 90 ≈ 0,03 ≈ 0,03.

Gleichzeitig ist zu beachten, dass für alle Werte von x

| Sünde X| < | x | . (1)

Tatsächlich sei der Radius des in der Abbildung gezeigten Kreises gleich 1,
A / AOB = X.

Dann Sünde X= Wechselstrom. Aber AC< АВ, а АВ, в свою очередь, меньше длины дуги АВ, на которую опирается угол X. Die Länge dieses Bogens ist offensichtlich gleich X, da der Radius des Kreises 1 ist. Also bei 0< X < π / 2

Sünde x< х.

Daher aufgrund der Seltsamkeit der Funktion y = Sünde x Es ist leicht zu zeigen, dass wenn – π / 2 < X < 0

| Sünde X| < | x | .

Endlich wann X = 0

| Sünde x | = | x |.

Also für | X | < π / 2 Ungleichung (1) ist bewiesen. Tatsächlich gilt diese Ungleichung auch für | X | > π / 2 aufgrund der Tatsache, dass | Sünde X | < 1, a π / 2 > 1

Übungen

1. Gemäß dem Diagramm der Funktion y = Sünde x Bestimmen Sie: a) Sünde 2; b) Sünde 4; c) Sünde (-3).

2. Gemäß dem Funktionsgraphen y = Sünde x Bestimmen Sie welche Zahl aus dem Intervall
[ - π / 2 , π / 2 ] hat einen Sinus von: a) 0,6; b) -0,8.

3. Gemäß dem Diagramm der Funktion y = Sünde x Bestimmen Sie, welche Zahlen einen Sinus haben,
gleich 1/2.

4. Finden Sie ungefähr (ohne Verwendung von Tabellen): a) sin 1°; b) Sünde 0,03;
c) Sünde (-0,015); d) Sünde (-2°30").