Die Bestimmung der Ableitung einer Funktion ist die Umkehroperation zur Integration einer Funktion. Für elementare Funktionen Die Berechnung der Ableitung ist nicht schwierig; verwenden Sie einfach die Ableitungstabelle. Wenn wir brauchen Finden Sie die Ableitung aus komplexe Funktion, dann wird die Differenzierung deutlich schwieriger und erfordert mehr Sorgfalt und Zeit. Gleichzeitig ist es sehr leicht, einen Tippfehler oder einen kleinen Fehler zu machen, der letztendlich zu einer falschen Antwort führt. Daher ist es immer wichtig, dass Sie Ihre Entscheidung überprüfen können. Sie können dies mit diesem Online-Rechner tun, mit dem Sie kostenlos und ohne Registrierung auf der Website Ableitungen beliebiger Funktionen online mit einer detaillierten Lösung finden können. Das Ermitteln der Ableitung einer Funktion (Differenzierung) ist das Verhältnis des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments (numerisch ist die Ableitung gleich der Tangente der Tangente an den Graphen der Funktion). Wenn Sie die Ableitung einer Funktion an einem bestimmten Punkt berechnen müssen, benötigen Sie in der erhaltenen Antwort anstelle eines Arguments X ihn aufstellen numerischer Wert und berechne den Ausdruck. Bei Online-Derivatlösung Sie müssen die Funktion in das entsprechende Feld eingeben: Das Argument muss eine Variable sein X, da die Differenzierung genau entlang dieser erfolgt. Um die zweite Ableitung zu berechnen, müssen Sie die resultierende Antwort differenzieren.

Die Operation, die Ableitung zu finden, wird Differenzierung genannt.

Als Ergebnis der Lösung von Problemen bei der Suche nach Ableitungen der einfachsten (und nicht sehr einfachen) Funktionen durch Definition der Ableitung als Grenze des Verhältnisses von Inkrement zu Inkrement des Arguments entstand eine Tabelle mit Ableitungen und genau definierten Differenzierungsregeln . Die ersten, die sich mit der Suche nach Derivaten beschäftigten, waren Isaac Newton (1643–1727) und Gottfried Wilhelm Leibniz (1646–1716).

Daher ist es heutzutage zum Ermitteln der Ableitung einer Funktion nicht erforderlich, die oben genannte Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion zum Inkrement des Arguments zu berechnen, sondern Sie müssen lediglich die Tabelle von verwenden Ableitungen und die Regeln der Differenzierung. Zur Ermittlung der Ableitung eignet sich der folgende Algorithmus.

Um die Ableitung zu finden, benötigen Sie einen Ausdruck unter dem Primzeichen Zerlegen Sie einfache Funktionen in Komponenten und bestimmen Sie, welche Aktionen (Produkt, Summe, Quotient) Diese Funktionen hängen zusammen. Als nächstes finden wir die Ableitungen elementarer Funktionen in der Ableitungstabelle und die Formeln für die Ableitungen von Produkt, Summe und Quotient – ​​in den Differenzierungsregeln. Die Ableitungstabelle und die Differenzierungsregeln werden nach den ersten beiden Beispielen angegeben.

Beispiel 1. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Aus den Differenzierungsregeln erfahren wir, dass die Ableitung einer Summe von Funktionen die Summe der Ableitungen von Funktionen ist, d. h.

Aus der Ableitungstabelle erfahren wir, dass die Ableitung von „x“ gleich eins und die Ableitung des Sinus gleich dem Kosinus ist. Wir setzen diese Werte in die Summe der Ableitungen ein und finden die Ableitung, die für die Bedingung des Problems erforderlich ist:

Beispiel 2. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir differenzieren als Ableitung einer Summe, bei der der zweite Term einen konstanten Faktor hat; er lässt sich aus dem Vorzeichen der Ableitung entnehmen:

Sollten dennoch Fragen auftauchen, woher etwas kommt, werden diese in der Regel geklärt, nachdem man sich mit der Ableitungstabelle und den einfachsten Differenzierungsregeln vertraut gemacht hat. Wir machen gerade mit ihnen weiter.

Tabelle der Ableitungen einfacher Funktionen

1. Ableitung einer Konstante (Zahl). Beliebige Zahl (1, 2, 5, 200...), die im Funktionsausdruck enthalten ist. Immer gleich Null. Dies ist sehr wichtig, da dies sehr oft erforderlich ist
2. Ableitung der unabhängigen Variablen. Am häufigsten „X“. Immer gleich eins. Dies ist auch wichtig, um sich lange daran zu erinnern
3. Ableitung des Grades. Beim Lösen von Problemen müssen Sie Nichtquadratwurzeln in Potenzen umwandeln.
4. Ableitung einer Variablen nach der Potenz -1
5. Ableitung Quadratwurzel
6. Ableitung des Sinus
7. Ableitung des Kosinus
8. Ableitung der Tangente
9. Ableitung des Kotangens
10. Ableitung des Arkussinus
11. Ableitung des Arcuskosinus
12. Ableitung des Arkustangens
13. Ableitung des Arcuskotangens
14. Ableitung des natürlichen Logarithmus
15. Ableitung einer logarithmischen Funktion
16. Ableitung des Exponenten
17. Ableitung Exponentialfunktion

Differenzierungsregeln

1. Ableitung einer Summe oder Differenz
2. Derivat des Produkts
2a. Ableitung eines Ausdrucks multipliziert mit einem konstanten Faktor
3. Ableitung des Quotienten
4. Ableitung einer komplexen Funktion

Regel 1.Wenn das funktioniert

an einem Punkt differenzierbar sind, dann sind die Funktionen am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. die Ableitung der algebraischen Summe der Funktionen ist gleich algebraische Summe Ableitungen dieser Funktionen.

Folge. Wenn sich zwei differenzierbare Funktionen um einen konstanten Term unterscheiden, dann sind ihre Ableitungen gleich, d.h.

Regel 2.Wenn das funktioniert

sind irgendwann differenzierbar, dann ist ihr Produkt am selben Punkt differenzierbar

Und

diese. Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen und der Ableitung der anderen.

Folgerung 1. Der konstante Faktor kann aus dem Vorzeichen der Ableitung entnommen werden:

Folgerung 2. Die Ableitung des Produkts mehrerer differenzierbarer Funktionen ist gleich der Summe der Produkte der Ableitung jedes Faktors und aller anderen.

Zum Beispiel für drei Multiplikatoren:

Regel 3.Wenn das funktioniert

irgendwann differenzierbar Und , dann ist an dieser Stelle auch ihr Quotient differenzierbaru/v , und

diese. Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des Nenners ist und dessen Nenner das Quadrat von ist der ehemalige Zähler.

Wo kann man auf anderen Seiten nach Dingen suchen?

Bei der Bestimmung der Ableitung eines Produkts und eines Quotienten in realen Problemen ist es immer notwendig, mehrere Differenzierungsregeln gleichzeitig anzuwenden, daher finden Sie im Artikel weitere Beispiele zu diesen Ableitungen„Ableitung von Produkt und Quotient von Funktionen“.

Kommentar. Sie sollten eine Konstante (also eine Zahl) nicht als Term in einer Summe und als konstanten Faktor verwechseln! Bei einem Term ist seine Ableitung gleich Null, bei einem konstanten Faktor wird sie aus dem Vorzeichen der Ableitungen genommen. Das typischer Fehler, was in der Anfangsphase des Studiums von Derivaten auftritt, aber wenn der durchschnittliche Student mehrere ein- und zweiteilige Beispiele löst, macht er diesen Fehler nicht mehr.

Und wenn Sie bei der Differenzierung eines Produkts oder Quotienten einen Term haben u"v, indem u- eine Zahl, zum Beispiel 2 oder 5, also eine Konstante, dann ist die Ableitung dieser Zahl gleich Null und daher ist der gesamte Term gleich Null (dieser Fall wird in Beispiel 10 besprochen).

Ein weiterer häufiger Fehler besteht darin, die Ableitung einer komplexen Funktion mechanisch als Ableitung einer einfachen Funktion aufzulösen. Deshalb Ableitung einer komplexen Funktion ist ein eigener Artikel gewidmet. Aber zuerst lernen wir, Ableitungen einfacher Funktionen zu finden.

Unterwegs kommt man nicht ohne die Transformation von Ausdrücken aus. Dazu müssen Sie ggf. das Handbuch in einem neuen Fenster öffnen. Taten mit Kraft und Wurzeln Und Operationen mit Brüchen .

Wenn Sie nach Lösungen für Ableitungen von Brüchen mit Potenzen und Wurzeln suchen, also wenn die Funktion aussieht , dann folgen Sie der Lektion „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“.

Wenn Sie eine Aufgabe haben wie , dann nehmen Sie an der Lektion „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ teil.

Schritt-für-Schritt-Beispiele – So finden Sie die Ableitung

Beispiel 3. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir definieren die Teile des Funktionsausdrucks: Der gesamte Ausdruck stellt ein Produkt dar, und seine Faktoren sind Summen, in deren zweitem einer der Terme einen konstanten Faktor enthält. Wir wenden die Produktdifferenzierungsregel an: Die Ableitung des Produkts zweier Funktionen ist gleich der Summe der Produkte jeder dieser Funktionen mit der Ableitung der anderen:

Als nächstes wenden wir die Differenzierungsregel der Summe an: Die Ableitung der algebraischen Summe von Funktionen ist gleich der algebraischen Summe der Ableitungen dieser Funktionen. In unserem Fall hat der zweite Term in jeder Summe ein Minuszeichen. In jeder Summe sehen wir sowohl eine unabhängige Variable, deren Ableitung gleich eins ist, als auch eine Konstante (Zahl), deren Ableitung gleich Null ist. „X“ wird also zu Eins und minus 5 zu Null. Im zweiten Ausdruck wird „x“ mit 2 multipliziert, also multiplizieren wir zwei mit derselben Einheit wie die Ableitung von „x“. Wir erhalten folgende Ableitungswerte:

Wir setzen die gefundenen Ableitungen in die Summe der Produkte ein und erhalten die Ableitung der gesamten Funktion, die für die Problembedingung erforderlich ist:

Und Sie können die Lösung des Ableitungsproblems weiter überprüfen.

Beispiel 4. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. Wir müssen die Ableitung des Quotienten ermitteln. Wir wenden die Formel zur Differenzierung des Quotienten an: Die Ableitung des Quotienten zweier Funktionen ist gleich einem Bruch, dessen Zähler die Differenz zwischen den Produkten des Nenners und der Ableitung des Zählers und des Zählers und der Ableitung des ist Nenner, und der Nenner ist das Quadrat des vorherigen Zählers. Wir bekommen:

Die Ableitung der Faktoren im Zähler haben wir bereits in Beispiel 2 gefunden. Vergessen wir auch nicht, dass das Produkt, das im aktuellen Beispiel der zweite Faktor im Zähler ist, mit einem Minuszeichen genommen wird:

Wenn Sie nach Lösungen für Probleme suchen, bei denen Sie die Ableitung einer Funktion finden müssen, bei der es einen kontinuierlichen Haufen von Wurzeln und Potenzen gibt, wie zum Beispiel: , dann willkommen im Unterricht „Ableitung von Bruchsummen mit Potenzen und Wurzeln“ .

Wenn Sie mehr über die Ableitungen von Sinus, Cosinus, Tangens und anderen erfahren möchten trigonometrische Funktionen, das heißt, wenn die Funktion aussieht , dann eine Lektion für Sie „Ableitungen einfacher trigonometrischer Funktionen“ .

Beispiel 5. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir ein Produkt, dessen Faktor die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist, deren Ableitung wir in der Ableitungstabelle kennengelernt haben. Unter Verwendung der Regel zur Differenzierung des Produkts und des Tabellenwerts der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Sie können die Lösung des Ableitungsproblems unter überprüfen Online-Derivaterechner .

Beispiel 6. Finden Sie die Ableitung einer Funktion

Lösung. In dieser Funktion sehen wir einen Quotienten, dessen Dividende die Quadratwurzel der unabhängigen Variablen ist. Unter Verwendung der Regel der Differenzierung von Quotienten, die wir in Beispiel 4 wiederholt und angewendet haben, und dem tabellierten Wert der Ableitung der Quadratwurzel erhalten wir:

Um einen Bruch im Zähler loszuwerden, multiplizieren Sie Zähler und Nenner mit .

Datum: 10.05.2015

Wie findet man die Ableitung?

Differenzierungsregeln.

Um die Ableitung einer Funktion zu finden, müssen Sie nur drei Konzepte beherrschen:

2. Differenzierungsregeln.

3. Ableitung einer komplexen Funktion.

Genau in dieser Reihenfolge. Es ist ein Hinweis.)

Natürlich wäre es schön, eine Vorstellung von Derivaten im Allgemeinen zu haben. Was eine Ableitung ist und wie man mit der Ableitungstabelle arbeitet, wurde in der vorherigen Lektion anschaulich erklärt. Hier beschäftigen wir uns mit den Differenzierungsregeln.

Differenzierung ist die Operation, die Ableitung zu finden. Hinter diesem Begriff verbirgt sich nichts mehr. Diese. Ausdrücke „Finde die Ableitung einer Funktion“ Und „Eine Funktion differenzieren“- Es ist das Gleiche.

Ausdruck „Regeln der Differenzierung“ bezieht sich auf das Finden der Ableitung aus arithmetischen Operationen. Dieses Verständnis hilft sehr, Verwirrung in Ihrem Kopf zu vermeiden.

Konzentrieren wir uns und erinnern wir uns an alles, alles, alles Rechenoperationen. Es gibt vier davon. Addition (Summe), Subtraktion (Differenz), Multiplikation (Produkt) und Division (Quotient). Hier sind sie, die Regeln der Differenzierung:

Die Platte zeigt fünf Regeln auf vier Rechenoperationen. Ich bin nicht zu kurz gekommen.) Es ist nur so, dass Regel 4 eine elementare Konsequenz von Regel 3 ist. Aber sie ist so beliebt, dass es Sinn macht, sie als eigenständige Formel zu schreiben (und sich daran zu erinnern!).

Unter den Bezeichnungen U Und V einige (absolut alle!) Funktionen sind impliziert U(x) Und V(x).

Schauen wir uns ein paar Beispiele an. Erstens – die einfachsten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion y=sinx - x 2

Hier haben wir Unterschied zwei elementare Funktionen. Wir wenden Regel 2 an. Wir gehen davon aus, dass sinx eine Funktion ist U, und x 2 ist die Funktion V. Wir haben jedes Recht zu schreiben:

y" = (sinx - x 2)" = (sinx)"- (x 2)"

Das ist besser, oder?) Jetzt müssen nur noch die Ableitungen von Sinus und Quadrat von x ermittelt werden. Hierzu gibt es eine Derivatetabelle. Wir suchen einfach in der Tabelle nach den Funktionen, die wir benötigen ( sinx Und x 2), schauen Sie sich an, welche Derivate sie haben, und schreiben Sie die Antwort auf:

y" = (sinx)" - (x 2)" = cosx - 2x

Das ist es. Regel 1 der Summendifferenzierung funktioniert genauso.

Was ist, wenn wir mehrere Begriffe haben? Kein Problem.) Wir zerlegen die Funktion in Terme und suchen nach der Ableitung jedes Termes unabhängig von den anderen. Zum Beispiel:

Finden Sie die Ableitung der Funktion y=sinx - x 2 +cosx - x +3

Wir schreiben kühn:

y" = (sinx)" - (x 2)" + (cosx)" - (x)" + (3)"

Am Ende der Lektion gebe ich Tipps, die das Differenzieren einfacher machen.)

Praktische Tipps:

1. Prüfen Sie vor der Differenzierung, ob es möglich ist, die ursprüngliche Funktion zu vereinfachen.

2. In komplizierten Beispielen beschreiben wir die Lösung ausführlich, mit allen Klammern und Bindestrichen.

3. Beim Differenzieren von Brüchen mit konstante Zahl Wandeln Sie im Nenner die Division in eine Multiplikation um und wenden Sie Regel 4 an.

Das Lösen physikalischer Probleme oder Beispiele in der Mathematik ist ohne Kenntnis der Ableitung und der Methoden zu ihrer Berechnung völlig unmöglich. Die Ableitung ist eines der wichtigsten Konzepte in der mathematischen Analyse. Wir haben beschlossen, den heutigen Artikel diesem grundlegenden Thema zu widmen. Was ist ein Derivat, was ist seine physikalische und geometrische Bedeutung Wie berechnet man die Ableitung einer Funktion? Alle diese Fragen lassen sich zu einer einzigen zusammenfassen: Wie ist die Ableitung zu verstehen?

Geometrische und physikalische Bedeutung der Ableitung

Lass es eine Funktion geben f(x) , angegeben in einem bestimmten Intervall (a, b) . Zu diesem Intervall gehören die Punkte x und x0. Wenn sich x ändert, ändert sich auch die Funktion selbst. Das Argument ändern – der Unterschied in seinen Werten x-x0 . Dieser Unterschied wird geschrieben als Delta x und heißt Argumentinkrement. Eine Änderung oder Erhöhung einer Funktion ist die Differenz zwischen den Werten einer Funktion an zwei Punkten. Definition von Derivat:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist die Grenze des Verhältnisses des Inkrements der Funktion an einem bestimmten Punkt zum Inkrement des Arguments, wenn dieses gegen Null tendiert.

Ansonsten kann man es so schreiben:

Welchen Sinn hat es, eine solche Grenze zu finden? Und hier ist, was es ist:

Die Ableitung einer Funktion an einem Punkt ist gleich der Tangente des Winkels zwischen der OX-Achse und der Tangente an den Graphen der Funktion an einem bestimmten Punkt.

Physikalische Bedeutung der Ableitung: Die Ableitung des Weges nach der Zeit ist gleich der Geschwindigkeit der geradlinigen Bewegung.

Tatsächlich weiß jeder seit der Schulzeit, dass Geschwindigkeit ein besonderer Weg ist x=f(t) und Zeit T . Durchschnittsgeschwindigkeit für einen bestimmten Zeitraum:

Um die Bewegungsgeschwindigkeit zu einem bestimmten Zeitpunkt herauszufinden t0 Sie müssen das Limit berechnen:

Regel eins: Legen Sie eine Konstante fest

Die Konstante kann aus dem Ableitungszeichen entnommen werden. Darüber hinaus muss dies getan werden. Gehen Sie beim Lösen von Beispielen in der Mathematik als Regel vor: Wenn Sie einen Ausdruck vereinfachen können, müssen Sie ihn unbedingt vereinfachen .

Beispiel. Berechnen wir die Ableitung:

Regel zwei: Ableitung der Summe der Funktionen

Die Ableitung der Summe zweier Funktionen ist gleich der Summe der Ableitungen dieser Funktionen. Dasselbe gilt für die Ableitung der Funktionsdifferenz.

Wir werden diesen Satz nicht beweisen, sondern ein praktisches Beispiel betrachten.

Finden Sie die Ableitung der Funktion:

Regel drei: Ableitung des Funktionsprodukts

Die Ableitung des Produkts zweier differenzierbarer Funktionen wird nach folgender Formel berechnet:

Beispiel: Finden Sie die Ableitung einer Funktion:

Lösung:

Es ist wichtig, hier über die Berechnung von Ableitungen komplexer Funktionen zu sprechen. Die Ableitung einer komplexen Funktion ist gleich dem Produkt der Ableitung dieser Funktion nach dem Zwischenargument und der Ableitung des Zwischenarguments nach der unabhängigen Variablen.

Im obigen Beispiel stoßen wir auf den Ausdruck:

In diesem Fall ist das Zwischenargument 8x hoch fünf. Um die Ableitung eines solchen Ausdrucks zu berechnen, berechnen wir zunächst die Ableitung der externen Funktion nach dem Zwischenargument und multiplizieren dann mit der Ableitung des Zwischenarguments selbst nach der unabhängigen Variablen.

Regel vier: Ableitung des Quotienten zweier Funktionen

Formel zur Bestimmung der Ableitung des Quotienten zweier Funktionen:

Wir haben versucht, von Grund auf über Derivate für Dummies zu sprechen. Dieses Thema ist nicht so einfach, wie es scheint. Seien Sie also gewarnt: In den Beispielen stecken oft Fallstricke. Seien Sie also vorsichtig bei der Berechnung von Ableitungen.

Wenn Sie Fragen zu diesem oder anderen Themen haben, können Sie sich an uns wenden Studentenservice. Wir helfen Ihnen in kurzer Zeit, den schwierigsten Test zu lösen und die Aufgaben zu verstehen, auch wenn Sie noch nie zuvor Ableitungsrechnungen durchgeführt haben.