X = X durchschnittlich X

Absolut

Fehler

Relativ

Fehler

a+ B

a+ B

Bedingungen Messfehler Und Messfehler werden synonym verwendet.) Das Ausmaß dieser Abweichung lässt sich beispielsweise nur mit statistischen Methoden abschätzen. Gleichzeitig z wahre Bedeutung der durchschnittliche statistische Wert, der aus erhalten wurde statistische Verarbeitung Ergebnisse einer Messreihe. Dieser erhaltene Wert ist nicht exakt, sondern nur der wahrscheinlichste. Daher ist es notwendig, in den Messungen anzugeben, wie genau sie sind. Dazu wird neben dem erhaltenen Ergebnis auch der Messfehler angezeigt. Zum Beispiel aufzeichnen T=2,8±0,1 C. bedeutet, dass der wahre Wert der Menge T liegt im Bereich von 2,7 s. Vor 2,9 s. eine bestimmte Wahrscheinlichkeit (siehe Konfidenzintervall, Konfidenzwahrscheinlichkeit, Standardfehler).

Im Jahr 2006 wurde auf internationaler Ebene ein neues Dokument verabschiedet, das die Bedingungen für die Durchführung von Messungen festlegt und neue Regeln für den Vergleich staatlicher Standards festlegt. Der Begriff „Fehler“ wurde obsolet und stattdessen wurde der Begriff „Messunsicherheit“ eingeführt.

Feststellung des Fehlers

Abhängig von den Eigenschaften der Messgröße werden verschiedene Methoden zur Bestimmung des Messfehlers verwendet.

• Die Kornfeld-Methode besteht darin, ein Konfidenzintervall zu wählen, das vom minimalen bis zum maximalen Messergebnis reicht, und den Fehler als die Hälfte der Differenz zwischen dem maximalen und minimalen Messergebnis anzugeben:

• Mittlerer quadratischer Fehler:

• Mittlerer quadratischer Fehler des arithmetischen Mittels:

Fehlerklassifizierung

Je nach Präsentationsform

• Absoluter Fehler - Δ X ist eine Schätzung des absoluten Messfehlers. Die Größe dieses Fehlers hängt von der Berechnungsmethode ab, die wiederum durch die Verteilung der Zufallsvariablen bestimmt wird X MeAS . In diesem Fall gilt die Gleichheit:

Δ X = | X TRue − X MeAS | ,

Wo X TRue ist der wahre Wert, und X MeAS - Messwert muss mit einer bestimmten Wahrscheinlichkeit nahe 1 erfüllt sein. Wenn Zufallswert X MeAS nach dem Normalgesetz verteilt ist, wird üblicherweise seine Standardabweichung als absoluter Fehler angenommen. Der absolute Fehler wird in denselben Einheiten gemessen wie die Größe selbst.

• Relativer Fehler- das Verhältnis des absoluten Fehlers zum als wahr akzeptierten Wert:

Der relative Fehler ist eine dimensionslose Größe oder wird als Prozentsatz gemessen.

• Reduzierter Fehler- relativer Fehler, ausgedrückt als Verhältnis des absoluten Fehlers des Messgeräts zum herkömmlich akzeptierten Wert einer Größe, konstant über den gesamten Messbereich oder einen Teil des Bereichs. Berechnet nach der Formel

Wo X N- Normalisierungswert, der von der Art der Skala abhängt Messinstrument und wird durch seinen Abschluss bestimmt:

Wenn die Instrumentenskala einseitig ist, d.h. die untere Messgrenze ist dann Null X N bestimmt gleich der oberen Messgrenze;
- Wenn die Instrumentenskala doppelseitig ist, entspricht der Normalisierungswert der Breite des Messbereichs des Instruments.

Der angegebene Fehler ist eine dimensionslose Größe (kann als Prozentsatz gemessen werden).

Aufgrund des Vorfalls

• Instrumentelle/instrumentelle Fehler- Fehler, die durch die Fehler der verwendeten Messgeräte bedingt sind und durch Unvollkommenheiten im Funktionsprinzip, Ungenauigkeit der Waagenkalibrierung und mangelnde Sichtbarkeit des Geräts verursacht werden.
• Methodische Fehler- Fehler aufgrund der Unvollkommenheit der Methode sowie Vereinfachungen, die der Methodik zugrunde liegen.
• Subjektive/Bediener-/persönliche Fehler- Fehler aufgrund der Aufmerksamkeit, Konzentration, Bereitschaft und anderer Qualitäten des Bedieners.

In der Technik werden Instrumente verwendet, um nur mit einer bestimmten vorgegebenen Genauigkeit zu messen – dem Hauptfehler, den der Normalbetrieb unter normalen Betriebsbedingungen für ein bestimmtes Gerät zulässt.

Wenn das Gerät unter anderen als den normalen Bedingungen arbeitet, tritt ein zusätzlicher Fehler auf, der den Gesamtfehler des Geräts erhöht. Weitere Fehler sind: Temperatur, verursacht durch Temperaturabweichung Umfeld Abweichung vom Normalzustand, Installation, Abweichung der Geräteposition von der normalen Betriebsposition usw. Als normale Umgebungstemperatur werden 20°C angenommen und die normale Atmosphärendruck 01,325 kPa.

Ein verallgemeinertes Merkmal von Messgeräten ist die Genauigkeitsklasse, die durch die maximal zulässigen Haupt- und Zusatzfehler sowie andere Parameter bestimmt wird, die die Genauigkeit von Messgeräten beeinflussen; Die Bedeutung der Parameter wird durch Normen für bestimmte Arten von Messgeräten festgelegt. Die Genauigkeitsklasse von Messgeräten charakterisiert deren Präzisionseigenschaften, ist jedoch kein direkter Indikator für die Genauigkeit der mit diesen Instrumenten durchgeführten Messungen, da die Genauigkeit auch von der Messmethode und den Bedingungen ihrer Durchführung abhängt. Messgeräten, deren Grenzen des zulässigen Grundfehlers in Form der angegebenen Grundfehler (Relativfehler) angegeben werden, werden Genauigkeitsklassen zugeordnet, die aus den folgenden Zahlen ausgewählt werden: (1; 1,5; 2,0; 2,5; 3,0; 4,0; 5,0 ; 6,0)*10n, wobei n = 1; 0; -1; -2 usw.

Durch die Natur der Manifestation

• Zufälliger Fehler- Fehler, der von Messung zu Messung unterschiedlich (in Größe und Vorzeichen) ist. Zufällige Fehler können mit Unvollkommenheiten der Instrumente (Reibung in mechanischen Geräten usw.), Erschütterungen unter städtischen Bedingungen oder Unvollkommenheiten des Messobjekts (z. B. beim Messen des Durchmessers eines dünnen Drahtes, der möglicherweise nicht ganz rund ist) verbunden sein Querschnitt infolge von Unvollkommenheiten im Herstellungsprozess), mit den Eigenschaften der gemessenen Größe selbst (z. B. bei der Messung der Menge). Elementarteilchen pro Minute durch einen Geigerzähler geht).
• Systematischer Fehler- ein Fehler, der sich im Laufe der Zeit nach einem bestimmten Gesetz ändert (ein Sonderfall ist ein konstanter Fehler, der sich im Laufe der Zeit nicht ändert). Systematische Fehler können mit Instrumentenfehlern (falsche Skala, Kalibrierung usw.) verbunden sein, die vom Experimentator nicht berücksichtigt werden.
• Progressiver (Drift-)Fehler– ein unvorhersehbarer Fehler, der sich im Laufe der Zeit langsam ändert. Es handelt sich um einen instationären Zufallsprozess.
• Grober Fehler (Miss)- ein Fehler, der auf ein Versehen des Experimentators oder eine Fehlfunktion der Ausrüstung zurückzuführen ist (z. B. wenn der Experimentator die Anzahl der Unterteilungen auf der Instrumentenskala falsch abgelesen hat, wenn im Stromkreis ein Kurzschluss aufgetreten ist).

In unserer Zeit hat der Mensch eine große Vielfalt an Messgeräten aller Art erfunden und nutzt diese. Doch egal wie perfekt die Technologie zu ihrer Herstellung ist, sie alle haben einen mehr oder weniger großen Fehler. Dieser Parameter ist in der Regel auf dem Instrument selbst angegeben. Um die Genauigkeit des ermittelten Wertes beurteilen zu können, müssen Sie verstehen, was die auf der Markierung angegebenen Zahlen bedeuten. Darüber hinaus entstehen bei komplexen mathematischen Berechnungen zwangsläufig relative und absolute Fehler. Es wird häufig in der Statistik, der Industrie (Qualitätskontrolle) und in einer Reihe anderer Bereiche eingesetzt. Wie dieser Wert berechnet wird und wie man ihn interpretiert – genau darauf geht es in diesem Artikel.

Absoluter Fehler

Bezeichnen wir mit x den ungefähren Wert einer Größe, der beispielsweise durch eine einzelne Messung erhalten wird, und mit x 0 ihren genauen Wert. Berechnen wir nun die Größe der Differenz zwischen diesen beiden Zahlen. Der absolute Fehler ist genau der Wert, den wir als Ergebnis dieser einfachen Operation erhalten haben. In der Sprache der Formeln diese Definition kann in dieser Form geschrieben werden: Δ x = | x - x 0 |.

Relativer Fehler

Die absolute Abweichung hat einen wichtigen Nachteil: Sie ermöglicht keine Beurteilung des Schweregrades des Fehlers. Wir kaufen zum Beispiel 5 kg Kartoffeln auf dem Markt und ein skrupelloser Verkäufer hat bei der Gewichtsmessung einen Fehler von 50 Gramm zu seinen Gunsten gemacht. Das heißt, der absolute Fehler betrug 50 Gramm. Für uns wird ein solches Versehen eine Kleinigkeit sein und wir werden es nicht einmal beachten. Stellen Sie sich vor, was passieren würde, wenn bei der Zubereitung des Arzneimittels ein ähnlicher Fehler auftritt? Hier wird alles viel ernster. Und bei der Beladung eines Güterwagens dürften Abweichungen auftreten, die weit über diesen Wert hinausgehen. Daher ist der absolute Fehler selbst nicht sehr aussagekräftig. Darüber hinaus berechnen sie sehr oft zusätzlich die relative Abweichung, die dem Verhältnis des absoluten Fehlers zum genauen Wert der Zahl entspricht. Dies wird aufgezeichnet die folgende Formel: δ = Δ x / x 0 .

Fehlereigenschaften

Angenommen, wir haben zwei unabhängige Größen: x und y. Wir müssen die Abweichung des Näherungswerts ihrer Summe berechnen. In diesem Fall können wir den absoluten Fehler als Summe der vorberechneten absoluten Abweichungen jedes einzelnen davon berechnen. Bei manchen Messungen kann es vorkommen, dass sich Fehler bei der Bestimmung von x- und y-Werten gegenseitig aufheben. Oder es kann vorkommen, dass sich die Abweichungen durch die Addition maximal verstärken. Daher muss bei der Berechnung des absoluten Gesamtfehlers das Worst-Case-Szenario berücksichtigt werden. Das Gleiche gilt für die Differenz zwischen Fehlern mehrerer Größen. Diese Eigenschaft ist nur für den absoluten Fehler charakteristisch und kann nicht auf die relative Abweichung angewendet werden, da dies zwangsläufig zu einem falschen Ergebnis führt. Schauen wir uns diese Situation anhand des folgenden Beispiels an.

Angenommen, Messungen im Inneren des Zylinders ergaben, dass der Innenradius (R 1) 97 mm und der Außenradius (R 2) 100 mm beträgt. Es ist notwendig, die Dicke seiner Wand zu bestimmen. Finden wir zunächst den Unterschied: h = R 2 - R 1 = 3 mm. Wenn das Problem nicht den absoluten Fehler angibt, wird dieser als halber Skalenteil des Messgeräts angenommen. Somit ist Δ(R 2) = Δ(R 1) = 0,5 mm. Der gesamte absolute Fehler beträgt: Δ(h) = Δ(R 2) + Δ(R 1) = 1 mm. Berechnen wir nun die relative Abweichung aller Werte:

δ(R 1) = 0,5/100 = 0,005,

δ(R 1) = 0,5/97 ≈ 0,0052,

δ(h) = Δ(h)/h = 1/3 ≈ 0,3333>> δ(R 1).

Wie Sie sehen, beträgt der Fehler bei der Messung beider Radien nicht mehr als 5,2 %, und der Fehler bei der Berechnung ihrer Differenz – der Dicke der Zylinderwand – betrug sogar 33,(3) %!

Die folgende Eigenschaft besagt: Die relative Abweichung des Produkts mehrerer Zahlen ist ungefähr gleich der Summe relative Abweichungen individuelle Faktoren:

δ(xy) ≈ δ(x) + δ(y).

Darüber hinaus gilt diese Regel unabhängig von der Anzahl der bewerteten Werte. Die dritte und letzte Eigenschaft des relativen Fehlers ist die relative Schätzung k-te Zahlen Grad ungefähr in | k | mal der relative Fehler der ursprünglichen Zahl.

Nehmen wir an, wir führen eine Reihe von durch N Messungen der gleichen Menge X. Aufgrund zufälliger Fehler sind Einzelwerte möglich X 1 ,X 2 ,X 3, X n sind nicht gleich und das arithmetische Mittel ist gleich arithmetische Summe alle Messwerte geteilt durch die Anzahl der Messungen:

. (S.1)

wobei å das Vorzeichen der Summe ist, ich- Messnummer, N- Anzahl der Messungen.

Also - der Wert, der dem wahren Wert am nächsten kommt. Niemand kennt die wahre Bedeutung. Sie können nur das Intervall D berechnen X in der Nähe, in der der wahre Wert mit einiger Wahrscheinlichkeit lokalisiert werden kann R. Dieses Intervall heißt Konfidenzintervall. Man nennt die Wahrscheinlichkeit, mit der der wahre Wert hineinfällt Konfidenzwahrscheinlichkeit oder Zuverlässigkeitskoeffizient(da die Kenntnis der Konfidenzwahrscheinlichkeit es ermöglicht, den Grad der Zuverlässigkeit des erhaltenen Ergebnisses einzuschätzen). Bei der Berechnung des Konfidenzintervalls erforderlichen Abschluss Zuverlässigkeit wird im Voraus festgelegt. Sie wird durch praktische Bedürfnisse bestimmt (z. B. werden an Flugzeugmotorenteile strengere Anforderungen gestellt als an einen Bootsmotor). Um eine größere Zuverlässigkeit zu erreichen, ist natürlich eine Erhöhung der Anzahl und Gründlichkeit der Messungen erforderlich.

Aufgrund der Tatsache, dass zufällige Fehler einzelner Messungen probabilistischen Gesetzen und Methoden unterliegen mathematische Statistik und Wahrscheinlichkeitstheorien ermöglichen die Berechnung des quadratischen Mittelfehlers des arithmetischen Mittelwerts Dx sl. Schreiben wir die Formel zur Berechnung ohne Beweis auf Dx cl für eine kleine Anzahl von Messungen ( N < 30).

Die Formel heißt Studentenformel:

, (A.2)

Wo T n, p – Student-Koeffizient, abhängig von der Anzahl der Messungen N und Konfidenzwahrscheinlichkeit R.

Der Student-Koeffizient ergibt sich aus der folgenden Tabelle, nachdem die Werte zuvor auf der Grundlage praktischer Anforderungen (wie oben erwähnt) ermittelt wurden N Und R.

Bei der Verarbeitung der Ergebnisse Labor arbeit Es reicht aus, 3-5 Messungen durchzuführen und eine Konfidenzwahrscheinlichkeit von 0,68 anzunehmen.

Es kommt jedoch vor, dass bei mehreren Messungen die gleichen Werte erhalten werden X. Wir haben zum Beispiel fünfmal den Durchmesser des Drahtes gemessen und fünfmal den gleichen Wert erhalten. Das bedeutet also keineswegs, dass kein Fehler vorliegt. Dies bedeutet lediglich, dass der Zufallsfehler jeder Messung kleiner ist Genauigkeit Gerät d, das auch genannt wird Instrumentenraum,oder instrumental, Fehler. Der Instrumentenfehler des Geräts d wird durch die Genauigkeitsklasse des Geräts bestimmt, die in seinem Reisepass angegeben oder auf dem Gerät selbst angegeben ist. Und manchmal wird davon ausgegangen, dass er gleich dem Teilungspreis des Geräts ist (der Teilungspreis des Geräts ist der Wert seiner kleinsten Teilung) oder die Hälfte des Teilungspreises (wenn die Hälfte des Teilungspreises des Geräts durch annähernd bestimmt werden kann). Auge).

Da jeder der Werte X Ich habe einen Fehler d erhalten, also das volle Konfidenzintervall Dx oder absoluter Messfehler, wird nach folgender Formel berechnet:

. (S.3)

Beachten Sie, dass, wenn in Formel (A.3) eine der Größen mindestens dreimal größer ist als die andere, die kleinere vernachlässigt wird.

Der absolute Fehler allein spiegelt nicht die Qualität der durchgeführten Messungen wider. Allein anhand der Angabe, dass der absolute Fehler beispielsweise 0,002 m² beträgt, kann man beispielsweise nicht beurteilen, wie gut diese Messung durchgeführt wurde. Einen Eindruck von der Qualität der durchgeführten Messungen vermittelt relativer Fehler e, gleich dem Verhältnis absoluter Fehler zum Mittelwert des Messwertes. Der relative Fehler gibt an, welchen Anteil der absolute Fehler am Messwert hat. In der Regel wird der relative Fehler in Prozent ausgedrückt:

Schauen wir uns ein Beispiel an. Der Durchmesser der Kugel soll mit einem Mikrometer gemessen werden, dessen instrumenteller Fehler d = 0,01 mm beträgt. Als Ergebnis von drei Messungen wurden folgende Durchmesserwerte ermittelt:

D 1 = 2,42 mm, D 2 = 2,44 mm, D 3 = 2,48 mm.

Mit der Formel (A.1) wird der arithmetische Mittelwert des Kugeldurchmessers ermittelt

Mithilfe der Tabelle der Student-Koeffizienten ermitteln sie dann ein Konfidenzniveau von 0,68 mit drei Messungen T n, p = 1,3. Berechnen Sie dann mit Formel (A.2). zufälliger Fehler Messungen Dd sl

Denn der resultierende Zufallsfehler ist bei der Ermittlung des absoluten Messfehlers nur doppelt so groß wie der instrumentelle Fehler Dd nach (A.3) sind sowohl der Zufallsfehler als auch der Gerätefehler zu berücksichtigen, d.h.

mm » ±0,03 mm.

Der Fehler wurde auf Hundertstel Millimeter gerundet, da die Genauigkeit des Ergebnisses die Genauigkeit des Messgeräts, die in diesem Fall 0,01 mm beträgt, nicht überschreiten kann.

Der Durchmesser des Drahtes beträgt also

mm.

Dieser Eintrag legt nahe, dass der wahre Wert des Kugeldurchmessers mit einer Wahrscheinlichkeit von 68 % im Intervall (2,42 ¸ 2,48) mm liegt.

Der relative Fehler e des erhaltenen Wertes gemäß (A.4) beträgt

%.

Die Maße werden aufgerufen gerade, wenn die Werte von Größen direkt durch Instrumente bestimmt werden (z. B. Längenmessung mit einem Lineal, Zeitbestimmung mit einer Stoppuhr usw.). Die Maße werden aufgerufen indirekt, wenn der Wert der gemessenen Größe durch direkte Messungen anderer Größen bestimmt wird, die mit der spezifischen gemessenen Beziehung verbunden sind.

Zufällige Fehler bei direkten Messungen

Absoluter und relativer Fehler. Lass es ausgeführt werden N Messungen der gleichen Menge X sofern kein systematischer Fehler vorliegt. Die einzelnen Messergebnisse lauten wie folgt: X 1 ,X 2 , …,X N. Als bester Mittelwert wird der Messwert ausgewählt:

Absoluter Fehler einer einzelnen Messung nennt man eine Differenz der Form:

.

Durchschnittlicher absoluter Fehler N Einheitsmaße:

(2)

angerufen durchschnittlicher absoluter Fehler.

Relativer Fehler Das Verhältnis des durchschnittlichen absoluten Fehlers zum Durchschnittswert der Messgröße heißt:

. (3)

Gerätefehler bei direkten Messungen

Wenn keine besonderen Anweisungen vorliegen, beträgt der Gerätefehler die Hälfte seines Teilungswertes (Lineal, Becher).

Der Fehler von Instrumenten, die mit einem Nonius ausgestattet sind, entspricht dem Wert der Noniusteilung (Mikrometer – 0,01 mm, Messschieber – 0,1 mm).

Der Fehler der Tabellenwerte beträgt eine halbe Einheit der letzten Ziffer (fünf Einheiten der nächsten Ordnung nach der letzten signifikanten Ziffer).

Der Fehler elektrischer Messgeräte wird nach der Genauigkeitsklasse berechnet MIT auf der Instrumentenskala angezeigt:

Zum Beispiel:
Und
,

Wo U max Und ICH max– Messgrenze des Gerätes.

Bei Geräten mit Digitalanzeige entspricht der Fehler einer der letzten Ziffern der Anzeige.

Nach der Bewertung der zufälligen und instrumentellen Fehler wird derjenige berücksichtigt, dessen Wert größer ist.

Berechnung von Fehlern bei indirekten Messungen

Die meisten Messungen sind indirekt. In diesem Fall ist der gewünschte Wert X eine Funktion mehrerer Variablen A,B, C… , deren Werte durch direkte Messungen ermittelt werden können: X = f( A, B, C…).

Das arithmetische Mittel des Ergebnisses indirekter Messungen ist gleich:

X = f( A, B, C…).

Eine Möglichkeit, den Fehler zu berechnen, besteht darin, den natürlichen Logarithmus der Funktion X = f( A, B, C...). Wenn beispielsweise der gewünschte Wert X durch die Beziehung X = bestimmt wird , dann erhalten wir nach dem Logarithmus: lnX = ln A+ln B+ln( C+ D).

Das Differential dieses Ausdrucks hat die Form:

.

Bezogen auf die Berechnung von Näherungswerten lässt sich der relative Fehler in der Form schreiben:

 =
. (4)

Der absolute Fehler wird nach folgender Formel berechnet:

Х = Х(5)

Somit erfolgt die Berechnung der Fehler und die Berechnung des Ergebnisses für indirekte Messungen in der folgenden Reihenfolge:

1) Messen Sie alle in der ursprünglichen Formel enthaltenen Größen, um das Endergebnis zu berechnen.

2) Berechnen Sie die arithmetischen Durchschnittswerte jedes Messwerts und ihre absoluten Fehler.

3) Setzen Sie die Durchschnittswerte aller Messwerte in die ursprüngliche Formel ein und berechnen Sie den Durchschnittswert des gewünschten Wertes:

X = f( A, B, C…).

4) Logarithmieren Sie die ursprüngliche Formel X = f( A, B, C...) und notieren Sie den Ausdruck für den relativen Fehler in Form der Formel (4).

5) Berechnen Sie den relativen Fehler  = .

6) Berechnen Sie den absoluten Fehler des Ergebnisses mit Formel (5).

7) Das Endergebnis wird wie folgt geschrieben:

Die absoluten und relativen Fehler der einfachsten Funktionen sind in der Tabelle angegeben: